ในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง ระบบสไตเนอร์ (ตั้งชื่อตามยาคอบ สไตเนอร์ ) คือรูปแบบหนึ่งของการออกแบบบล็อกโดยเฉพาะอย่างยิ่งการออกแบบ tที่มี λ = 1 และt = 2 หรือ (เมื่อเร็ว ๆ นี้) t ≥ 2

ระบบสไตเนอร์ที่มีพารามิเตอร์t , k , nเขียนแทนด้วย S( t , k , n ) คือเซตS ที่ มีสมาชิกn ตัวพร้อมกับเซตย่อยของS ที่มีสมาชิก k ตัว ( เรียกว่าบล็อก ) โดยมีคุณสมบัติว่าเซตย่อยของS ที่มีสมาชิก t ตัวแต่ละเซต จะอยู่ในบล็อกเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น ในสัญกรณ์ทางเลือกสำหรับการออกแบบบล็อก S( t , k , n ) จะเป็นการ ออกแบบ t- ( n , k , 1)

นิยามนี้ค่อนข้างใหม่ นิยามดั้งเดิมของระบบสไตเนอร์ยังกำหนดให้k = t + 1 ด้วย S(2,3, n ) เรียกว่าระบบสไตเนอร์แบบสามเท่า (หรือแบบสาม ) ในขณะที่ S(3,4, n ) เรียกว่าระบบสไตเนอร์แบบสี่เท่าและอื่นๆ ด้วยการขยายนิยามให้ครอบคลุมมากขึ้น ระบบการตั้งชื่อนี้จึงไม่จำเป็นต้องยึดถืออย่างเคร่งครัดอีกต่อไป

ปัญหาที่ค้างคามานานในทฤษฎีการออกแบบคือ มีระบบ Steiner ที่ไม่ธรรมดา (ไม่ธรรมดาในความหมายt < k < n ) ที่มีt ≥ 6 อยู่หรือไม่ และมีระบบ Steiner ที่มีt = 4 หรือ 5 อยู่เป็นอนันต์หรือไม่ ^{[ 1 ]} Peter Keevashได้พิสูจน์การมีอยู่ของทั้งสองระบบในปี 2014 การพิสูจน์ของเขาไม่ใช่แบบสร้างสรรค์และ ณ ปี 2019 ยังไม่มีระบบ Steiner ที่แท้จริงสำหรับค่าt ขนาดใหญ่ ที่ เป็นที่รู้จัก ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

ระนาบ เชิงโปรเจกที ฟ จำกัดอันดับqโดยมีเส้นเป็นบล็อก คือS(2, q + 1, q ² + q + 1)เนื่องจากมี จุด q ² + q + 1จุด แต่ละเส้นผ่าน จุด q + 1จุด และแต่ละคู่ของจุดที่แตกต่างกันจะอยู่บนเส้นเพียงเส้นเดียวเท่านั้น

ระนาบแอฟฟินจำกัดอันดับqโดยมีเส้นเป็นบล็อก คือS(2,  q ,  q ² )ระนาบแอฟฟินอันดับqสามารถได้มาจากการลบบล็อกหนึ่งและจุดทั้งหมดในบล็อกนั้นออกจากระนาบโปรเจกทีฟอันดับเดียวกัน การเลือกบล็อกที่แตกต่างกันเพื่อลบออกด้วยวิธีนี้อาจนำไปสู่ระนาบแอฟฟินที่ไม่สมมาตรกันได้

S(3,4, n ) เรียกว่าระบบสี่เท่าของสไตเนอร์เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการมีอยู่ของ S(3,4, n ) คือn 2 หรือ 4 (mod 6) มักใช้คำย่อ SQS( n ) สำหรับระบบเหล่านี้ จนถึงไอโซมอร์ฟิซึม SQS(8) และ SQS(10) มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว มี SQS(14) จำนวน 4 ตัว และ SQS(16) จำนวน 1,054,163 ตัว^{[ 5 ]}${\displaystyle \equiv }$

S(4,5, n ) เรียกว่าระบบ Steiner quintupleเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการมีอยู่ของระบบดังกล่าวคือn 3 หรือ 5 (mod 6) ซึ่งมาจากการพิจารณาที่ใช้กับระบบ Steiner แบบคลาสสิกทั้งหมด เงื่อนไขที่จำเป็นเพิ่มเติมคือn 4 (mod 5) ซึ่งมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนบล็อกต้องเป็นจำนวนเต็ม เงื่อนไขที่เพียงพอยังไม่เป็นที่ทราบ มีระบบ Steiner quintuple ที่ไม่ซ้ำกันสำหรับลำดับที่ 11 แต่ไม่มีสำหรับลำดับที่ 15 หรือลำดับที่ 17 ^{[ 6 ]}มีระบบที่ทราบสำหรับลำดับที่ 23, 35, 47, 71, 83, 107, 131, 167 และ 243 ลำดับที่เล็กที่สุดที่ยังไม่ทราบว่ามีอยู่ (ณ ปี 2011) คือ 21 ${\displaystyle \equiv }$${\displaystyle \not \equiv }$

S(2,3, n ) เรียกว่าระบบสามเท่าของสไตเนอร์และบล็อกของมันเรียกว่าสามเท่าเป็นเรื่องปกติที่จะเห็นตัวย่อ STS( n ) สำหรับระบบสามเท่าของสไตเนอร์ที่มีอันดับnจำนวนคู่ทั้งหมดคือn(n-1)/2ซึ่งมีสามคู่ปรากฏในสามเท่า ดังนั้นจำนวนสามเท่าทั้งหมดคือn ( n −1)/6 สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าnต้องอยู่ในรูปแบบ6k+1หรือ6k + 3สำหรับk บาง ค่า ข้อเท็จจริงที่ว่าเงื่อนไขนี้เกี่ยวกับnเพียงพอสำหรับการมีอยู่ของ S(2,3, n ) ได้รับการพิสูจน์โดยRaj Chandra Bose ^{[ 7 ]}และ T. Skolem ^{[ 8 ]}ระนาบเชิงโปรเจกทีฟอันดับ 2 ( ระนาบ Fano ) เป็น STS(7) และระนาบเชิงแอฟฟินอันดับ 3 เป็น STS(9) ในระดับไอโซมอร์ฟิซึม STS(7) และ STS(9) มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว มี STS(13) สองตัว, STS(15) จำนวน 80 ตัว และ STS(19) จำนวน 11,084,874,829 ตัว^{[ 9 ]}

เราสามารถกำหนดการคูณบนเซตSโดยใช้ระบบสามเท่าของสไตเนอร์ได้ โดยกำหนดให้aa = aสำหรับทุกaในSและab = cถ้า { a , b , c } เป็นสามเท่า ซึ่งทำให้S เป็น ควา ซิกรุปแบบสลับที่ได้และ มีคุณสมบัติ เอกลักษณ์ นอกจากนี้ ยังมีคุณสมบัติเพิ่มเติมคือab = cหมายความว่าbc = aและca = b ^{[หมายเหตุ 1} ] ในทางกลับกัน ควาซิกรุป (จำกัด) ใดๆ ที่มีคุณสมบัติเหล่านี้เกิดขึ้นจากระบบสามเท่าของสไตเนอร์ ควาซิกรุปแบบสลับที่ได้และมีคุณสมบัติเอกลักษณ์ซึ่งสอดคล้องกับคุณสมบัติเพิ่มเติมนี้เรียกว่า ค ^วาซิกรุปของสไตเนอร์^{[ 10 ]}

ระบบ S(2,3,n) บางระบบสามารถแบ่งทริปเปิลออกเป็น (n-1)/2 เซต โดยแต่ละเซตมีทริปเปิลที่ไม่ซ้ำกันเป็นคู่ๆ (n/3) เซต สิ่งนี้เรียกว่า ระบบ ที่สามารถแก้ไขได้และระบบดังกล่าวเรียกว่าระบบทริปเปิลของเคิร์ก แมน ตามชื่อของโทมัส เคิร์กแมนผู้ซึ่งศึกษาระบบที่สามารถแก้ไขได้ดังกล่าวมาก่อนสไตเนอร์ เดล เมสเนอร์ เอิร์ล เครเมอร์ และคนอื่นๆ ได้ตรวจสอบชุดของระบบทริปเปิลของสไตเนอร์ที่ไม่ซ้ำกัน (กล่าวคือ ไม่มีระบบสไตเนอร์สองระบบใดในชุดดังกล่าวที่มีทริปเปิลร่วมกัน) เป็นที่ทราบกันดี (เบย์ส 1917, เครเมอร์และเมสเนอร์ 1974) ว่าสามารถสร้างระบบ S(2,3,9) ที่แตกต่างกันเจ็ดระบบเพื่อครอบคลุมทริปเปิลทั้งหมด 84 ชุดบนเซต 9 ได้ นอกจากนี้พวกเขายังทราบว่ามี 15360 วิธีที่แตกต่างกันในการค้นหาเซต 7 ของคำตอบดังกล่าว ซึ่งจะลดลงเหลือสองคำตอบที่ไม่เหมือนกันภายใต้การติดป้ายใหม่ โดยมีจำนวนซ้ำ 6720 และ 8640 ตามลำดับ

คำถามที่เกี่ยวข้องกับการค้นหาระบบ S(2,3,15) ที่แตกต่างกัน 13 ระบบที่ไม่ซ้ำกันนั้นถูกถามโดยJames Sylvesterในปี พ.ศ. 2403 ในฐานะส่วนขยายของปัญหาเด็กนักเรียนหญิงของ Kirkmanกล่าวคือ เด็กนักเรียนหญิงของ Kirkman สามารถเดินขบวนได้ตลอดภาคเรียน 13 สัปดาห์โดยไม่มีเด็กหญิงสามคนซ้ำกันตลอดภาคเรียนหรือไม่ คำถามนี้ได้รับการแก้ไขโดยRHF Dennistonในปี พ.ศ. 2517 ^{[ 11 ]}ซึ่งสร้างสัปดาห์ที่ 1 ดังนี้:

วันที่ 1 ABJ CEM FKL HIN DGO วันที่ 2 ACH DEI FGM JLN BKO วันที่ 3 ADL BHM GIK CFN EJO วันที่ 4 AEG BIL CJK DMN FHO วันที่ 5 AFI BCD GHJ EKN LMO วันที่ 6 AKM DFJ EHL BGN CIO วันที่ 7 ก่อน CGL DHK IJM ANO 

สำหรับเด็กผู้หญิงที่ติดป้ายกำกับ A ถึง O และสร้างวิธีแก้ปัญหาของสัปดาห์ถัดไปจากวิธีแก้ปัญหาของสัปดาห์ก่อนหน้าโดยเปลี่ยน A เป็น B, B เป็น C, ... L เป็น M และ M กลับเป็น A โดยที่ N และ O ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง วิธีแก้ปัญหาของสัปดาห์ที่ 13 เมื่อได้รับการติดป้ายกำกับใหม่แล้ว จะกลับไปเป็นวิธีแก้ปัญหาของสัปดาห์ที่ 1 เดนนิสตันรายงานในบทความของเขาว่า การค้นหาที่เขาใช้ใช้เวลา 7 ชั่วโมงบน คอมพิวเตอร์ Elliott 4130ที่มหาวิทยาลัยเลสเตอร์และเขายุติการค้นหาทันทีเมื่อพบวิธีแก้ปัญหาข้างต้น โดยไม่ได้พยายามพิสูจน์ความเป็นเอกลักษณ์ จำนวนวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เหมือนกันของปัญหาของซิลเวสเตอร์ยังคงไม่เป็นที่ทราบแน่ชัด ณ ปี 2021

จากนิยามของS( t , k , n )เป็นที่ชัดเจนว่า. (แม้ว่าความเท่าเทียมกันจะเป็นไปได้ในทางเทคนิค แต่ก็ทำให้ระบบนั้นดูธรรมดา) ${\displaystyle 1<t<k<n}$

ถ้าS( t , k , n )มีอยู่จริง การนำบล็อกทั้งหมดที่ประกอบด้วยองค์ประกอบเฉพาะมาหนึ่งบล็อกแล้วตัดองค์ประกอบนั้นทิ้ง จะได้ระบบอนุพันธ์S( t −1, k −1, n −1)ดังนั้น การมีอยู่ของS( t −1, k −1, n −1)จึงเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการมีอยู่ของS ( t , k , n )

จำนวน เซตย่อยที่มีสมาชิก tตัวในSคือในขณะที่จำนวน เซตย่อยที่มีสมาชิก tตัวในแต่ละบล็อกคือ เนื่องจากเซตย่อยที่มีสมาชิก t ตัว ทุกเซตบรรจุอยู่ในบล็อกเพียงบล็อกเดียว ดังนั้นเราจึงมีหรือ ${\displaystyle {\tbinom {n}{t}}}$${\displaystyle {\tbinom {k}{t}}}$${\displaystyle {\tbinom {n}{t}}=b{\tbinom {k}{t}}}$

${\displaystyle b={\frac {\tbinom {n}{t}}{\tbinom {k}{t}}}={\frac {n(n-1)\cdots (n-t+1)}{k(k-1)\cdots (k-t+1)}},}$

โดยที่bคือจำนวนบล็อก การให้เหตุผลในทำนองเดียวกันเกี่ยวกับ เซตย่อยที่มี tองค์ประกอบซึ่งประกอบด้วยองค์ประกอบเฉพาะ จะทำให้เราได้หรือ ${\displaystyle {\tbinom {n-1}{t-1}}=r{\tbinom {k-1}{t-1}}}$

${\displaystyle r={\frac {\tbinom {n-1}{t-1}}{\tbinom {k-1}{t-1}}}}$=${\displaystyle {\frac {(n-t+1)\cdots (n-2)(n-1)}{(k-t+1)\cdots (k-2)(k-1)}},}$

โดยที่rคือจำนวนบล็อกที่บรรจุองค์ประกอบใดๆ จากคำจำกัดความเหล่านี้จะได้สมการ เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการมีอยู่ของS( t , k , n )คือbและrต้องเป็นจำนวนเต็ม เช่นเดียวกับการออกแบบบล็อกใดๆอสมการของฟิชเชอร์เป็นจริงในระบบสไตเนอร์ ${\displaystyle bk=rn}$${\displaystyle b\geq n}$

เมื่อกำหนดพารามิเตอร์ของระบบ Steiner S( t, k, n )และเซตย่อยขนาดซึ่งมีอยู่ในบล็อกอย่างน้อยหนึ่งบล็อก เราสามารถคำนวณจำนวนบล็อกที่ตัดกับเซตย่อยนั้นในจำนวนองค์ประกอบที่กำหนดโดยการสร้างสามเหลี่ยมปาสคาล [ ^{12 ] โดย} เฉพาะอย่างยิ่ง จำนวนบล็อกที่ตัดกับบล็อกที่กำหนดในจำนวนองค์ประกอบใดๆ จะไม่ขึ้นอยู่กับบล็อกที่เลือก ${\displaystyle t'\leq t}$

จำนวนบล็อกที่ประกอบด้วย เซตของจุดที่มีองค์ประกอบ i ใดๆ คือ:

${\displaystyle \lambda _{i}=\left.{\binom {n-i}{t-i}}\right/{\binom {k-i}{t-i}}{\text{ for }}i=0,1,\ldots ,t,}$

สามารถแสดงได้ว่า หากมีระบบสไตเนอร์S(2, k , n )โดยที่kเป็นกำลังของจำนวนเฉพาะที่มากกว่า 1 แล้วn ≠ 1 หรือk (mod k ( k −1))โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ระบบสามเท่าของสไตเนอร์S(2, 3, n )จะต้องมีn = 6 m + 1 หรือ 6 m + 3และดังที่เราได้กล่าวไปแล้ว นี่เป็นข้อจำกัดเพียงอย่างเดียวสำหรับระบบสามเท่าของสไตเนอร์ นั่นคือ สำหรับจำนวนธรรมชาติm แต่ละตัว ระบบS(2, 3, 6 m + 1)และS(2, 3, 6 m + 3)จะมีอยู่ ${\displaystyle \equiv }$

ระบบสามเท่าของสไตเนอร์ได้รับการกำหนดเป็นครั้งแรกโดยเวสลีย์ เอสบี วูลเฮาส์ในปี พ.ศ. 2387 ในคำถามรางวัลหมายเลข 1733 ของ Lady's and Gentlemen's Diary ^{[ 13 ]}ปัญหาที่ตั้งขึ้นได้รับการแก้ไขโดยโทมัส เคิร์กแมน  ( พ.ศ. 2490 ) ในปี พ.ศ. 2393 เคิร์กแมนได้ตั้งปัญหาที่แตกต่างออกไปซึ่งรู้จักกันในชื่อปัญหาเด็กนักเรียนหญิงของเคิร์กแมนซึ่งถามถึงระบบสามเท่าที่มีคุณสมบัติเพิ่มเติม (ความสามารถในการแก้ไข) โดยไม่ทราบถึงงานของเคิร์กแมน ยาคอบ สไตเนอร์  ( พ.ศ. 2496 ) ได้นำระบบสามเท่ากลับมาใช้ใหม่ และเนื่องจากงานนี้เป็นที่รู้จักกันอย่างแพร่หลาย ระบบจึงได้รับการตั้งชื่อเพื่อเป็นเกียรติแก่เขา

ในปี พ.ศ. 2453 Geoffrey Thomas Bennettได้นำเสนอภาพกราฟิกของระบบสามเท่าของ Steiner ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]}

ตัวอย่างหลายประการของระบบสไตเนอร์มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับทฤษฎีกลุ่มโดยเฉพาะอย่างยิ่งกลุ่มง่ายจำกัดที่เรียกว่ากลุ่มมาธิเยอเกิดขึ้นเป็น กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของระบบสไตเนอร์:

• กลุ่มMathieu M ₁₁คือกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของระบบ Steiner S(4,5,11)
• กลุ่มMathieu M ₁₂คือกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของระบบ Steiner S(5,6,12)
• กลุ่มMathieu M ₂₂เป็นกลุ่มย่อยดัชนี 2 ที่ไม่ซ้ำกันของกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของระบบ Steiner S(3,6,22)
• กลุ่มMathieu M ₂₃คือกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของระบบ Steiner S(4,7,23)
• กลุ่มMathieu M ₂₄คือกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของระบบ Steiner S(5,8,24)

มีระบบ Steiner S(5,6,12) ที่เป็นเอกลักษณ์ โดยกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของระบบนี้คือกลุ่ม Mathieu M ₁₂และในบริบทนี้จะใช้สัญลักษณ์ W ₁₂แทน

โครงสร้างนี้เกิดจากคาร์ไมเคิล (1937) ^{[ 17 ]}

เพิ่มสมาชิกใหม่หนึ่งตัว เรียกว่า∞ลงในสมาชิก 11 ตัวของฟิลด์จำกัดF ₁₁ (นั่นคือ จำนวนเต็มมอด 11) เซตS นี้ ซึ่งมีสมาชิก 12 ตัว สามารถระบุอย่างเป็นทางการได้ว่าเป็นจุดบนเส้นตรงเชิงโปร เจกทีฟ เหนือF ₁₁เรียกเซตย่อยเฉพาะต่อไปนี้ที่มีขนาด 6 ว่า

${\displaystyle \{\infty ,1,3,4,5,9\},}$

"บล็อก" (ซึ่งประกอบด้วย∞พร้อมกับกำลังสองที่ไม่เป็นศูนย์ 5 ตัวในF ₁₁ ) จากบล็อกนี้ เราจะได้บล็อกอื่นๆ ของระบบ S(5,6,12) โดยการใช้การแปลงเศษส่วนเชิงเส้น ซ้ำๆ :

${\displaystyle z'=f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},}$

โดยที่a, b, c, dอยู่ในF ₁₁และad − bc = 1ด้วยธรรมเนียมปกติของการกำหนดf (− d / c ) = ∞และf (∞) = a / cฟังก์ชันเหล่านี้จะแมปเซตSไปยังตัวมันเอง ในภาษาเรขาคณิต ฟังก์ชันเหล่านี้คือฟังก์ชันโปร เจคทีฟ ของเส้นโปรเจคทีฟ ฟังก์ชันเหล่านี้ก่อตัวเป็นกลุ่มภายใต้การประกอบ ซึ่งเป็นกลุ่มเชิงเส้นพิเศษโปรเจคทีฟ PSL(2,11) ที่มีอันดับ 660 มีองค์ประกอบห้าตัวของกลุ่มนี้ที่ทำให้บล็อกเริ่มต้นคงที่ในแต่ละเซต^{[ 18 ]}กล่าวคือ องค์ประกอบที่b=c=0และad =1ดังนั้นf(z) = a ² zดังนั้นจะมีภาพของบล็อกนั้น 660/5 = 132 ภาพ อันเป็นผลสืบเนื่องมาจากคุณสมบัติการถ่ายทอดแบบทวีคูณของกลุ่มนี้ที่กระทำกับเซตนี้ เซตย่อยใดๆ ขององค์ประกอบห้าตัวของSจะปรากฏในภาพขนาดหกภาพนี้เพียงหนึ่งภาพเท่านั้น

การสร้าง W ₁₂ ทางเลือกอื่น ได้มาจากการใช้ 'kitten' ของ RT Curtis ^{[ 19 ]}ซึ่งมีจุดประสงค์เพื่อใช้เป็น "เครื่องคิดเลขพกพา" เพื่อเขียนบล็อกทีละบล็อก วิธีการ kitten นั้นขึ้นอยู่กับการเติมเต็มรูปแบบในตารางตัวเลข 3x3 ซึ่งแสดงถึงเรขาคณิตเชิงเส้นบนปริภูมิเวกเตอร์ F ₃ xF ₃ซึ่งเป็นระบบ S(2,3,9)

ความสัมพันธ์ระหว่างปัจจัยกราฟของกราฟสมบูรณ์ K ₆สร้าง S(5,6,12) ^{[ 20 ]} กราฟ AK ₆มี 6 จุดยอด 15 ขอบ 15 การจับคู่สมบูรณ์และ 6 การแยกตัวประกอบ 1 ที่แตกต่างกัน (วิธีแบ่งขอบออกเป็นการจับคู่สมบูรณ์ที่ไม่ซ้ำกัน) เซตของจุดยอด (ติดป้ายกำกับ 123456) และเซตของการแยกตัวประกอบ (ติดป้ายกำกับABCDEF ) ให้บล็อกหนึ่งบล็อกต่อเซต การแยกตัวประกอบแต่ละคู่มีการจับคู่สมบูรณ์ร่วมกันเพียงหนึ่งเดียว สมมติว่าการแยกตัวประกอบAและBมีการจับคู่ร่วมกันกับขอบ 12, 34 และ 56 เพิ่มบล็อกใหม่สามบล็อกAB 3456, 12 AB 56 และ 1234 ABโดยแทนที่ขอบแต่ละขอบในการจับคู่ร่วมกันด้วยป้ายกำกับการแยกตัวประกอบตามลำดับ ในทำนองเดียวกัน ให้เพิ่มบล็อกอีกสามบล็อก ได้แก่ 12 CDEF , 34 CDEFและ 56 CDEFโดยแทนที่ป้ายกำกับการแยกตัวประกอบด้วยป้ายกำกับขอบที่สอดคล้องกันของการจับคู่ทั่วไป ทำเช่นนี้สำหรับคู่การแยกตัวประกอบทั้ง 15 คู่ เพื่อเพิ่มบล็อกใหม่ 90 บล็อก สุดท้าย นำชุดการรวมกันทั้งหมดของวัตถุ 6 ชิ้นจาก 12 ชิ้น และทิ้งชุดการรวมกันใดๆ ที่มีวัตถุร่วมกัน 5 ชิ้นขึ้นไปกับบล็อกใดๆ ใน 92 บล็อกที่สร้างขึ้นมาแล้ว จะเหลือบล็อกอยู่ 40 บล็อกพอดี ส่งผลให้มีบล็อก S(5,6,12) ทั้งหมด2 + 90 + 40 = 132บล็อก วิธีนี้ได้ผลเพราะมีออโตมอร์ฟิซึมภายนอกบนกลุ่มสมมาตรS ₆ซึ่งแมปจุดยอดไปยังการแยกตัวประกอบและขอบไปยังพาร์ติชัน การสลับจุดยอดทำให้การแยกตัวประกอบสลับตำแหน่งกันแตกต่างกันไปตามออโตมอร์ฟิซึมภายนอก ${\displaystyle {\tbinom {12}{6}}=924}$

ระบบสไตเนอร์ S(5, 8, 24) หรือที่รู้จักกันในชื่อแบบแผนวิทท์หรือเรขาคณิตวิทท์ถูกอธิบายครั้งแรกโดยคาร์ไมเคิล  ( 1931 ) และค้นพบใหม่โดยวิทท์  ( 1938 ) ระบบนี้เชื่อมโยงกับกลุ่มง่ายแบบสปอร์าดิก หลายกลุ่ม และกับแล ตทิซ 24 มิติพิเศษที่รู้จักกันในชื่อแลตทิซลีชกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของ S(5, 8, 24) คือกลุ่มมาธิเยอ M ₂₄และในบริบทนั้น แบบแผนจะถูกแทนด้วย W ₂₄ ("W" ย่อมาจาก "Witt")

เซตย่อยที่มีสมาชิก 8 ตัวทั้งหมดจากเซตที่มีสมาชิก 24 ตัวจะถูกสร้างขึ้นตามลำดับตัวอักษรและเซตย่อยใดๆ ที่แตกต่างจากเซตย่อยที่พบแล้วในตำแหน่งน้อยกว่าสี่ตำแหน่งจะถูกทิ้งไป

ลำดับของอ็อกทาดสำหรับธาตุ 01, 02, 03, ..., 22, 23, 24 คือ:

:: 01 02 03 04 05 06 07 08 :: 01 02 03 04 09 10 11 12 :: 01 02 03 04 13 14 15 16 :: . :: . (ละเว้นอ็อกทาด 753 ตัวถัดไป) :: . :: 13 14 15 16 17 18 19 20 :: 13 14 15 16 21 22 23 24 :: 17 18 19 20 21 22 23 24 

แต่ละองค์ประกอบเดี่ยวปรากฏ 253 ครั้งในกลุ่มแปดเหลี่ยม (octad) กลุ่มใดกลุ่มหนึ่ง แต่ละคู่ปรากฏ 77 ครั้ง แต่ละสามองค์ประกอบปรากฏ 21 ครั้ง แต่ละสี่องค์ประกอบ (tetrad) ปรากฏ 5 ครั้ง แต่ละห้าองค์ประกอบ (pentad) ปรากฏ 1 ครั้ง ไม่ใช่ทุกกลุ่มหกเหลี่ยม (hexad), กลุ่มเจ็ดเหลี่ยม (heptad) หรือกลุ่มแปดเหลี่ยม (octad) จะปรากฏขึ้น

มีการสร้างรหัสคำ 4096 คำของ รหัสไบนารี Golay 24 บิตและรหัสคำ 759 คำที่มีน้ำหนักแฮมมิงเท่ากับ 8 สอดคล้องกับระบบ S(5,8,24)

รหัส Golay สามารถสร้างขึ้นได้หลายวิธี เช่น การสร้างสตริงไบนารี 24 บิตทั้งหมดตามลำดับตัวอักษร และตัดทิ้งสตริงที่แตกต่างจากสตริงก่อนหน้าไม่เกิน 8 ตำแหน่งผลลัพธ์จะมีลักษณะดังนี้:

 000000000000000000000000 000000000000000011111111 000000000000111100001111 . (ละเว้นสตริง 24 บิต 4090 สตริงถัดไป) 111111111111000011110000 111111111111111100000000 111111111111111111111111 

รหัสคำเหล่านี้จะรวมกันเป็นกลุ่มภายใต้การดำเนินการ XOR

โครงสร้างนี้เกิดจากคาร์ไมเคิล (1931) ^{[ 21 ]}

เพิ่มสมาชิกใหม่หนึ่งตัว เรียกว่า∞ลงในสมาชิก 23 ตัวของฟิลด์จำกัดF ₂₃ (นั่นคือ จำนวนเต็มมอด 23) เซตS นี้ ซึ่งมีสมาชิก 24 ตัว สามารถระบุได้อย่างเป็นทางการว่าเป็นจุดบนเส้นตรงเชิงโปร เจกทีฟ เหนือF ₂₃เรียกเซตย่อยเฉพาะต่อไปนี้ที่มีขนาด 8 ว่า

${\displaystyle \{\infty ,0,1,3,12,15,21,22\},}$

"บล็อก" (เราสามารถเลือกอ็อกแทดใดก็ได้ของรหัสไบนารี Golay แบบขยาย ซึ่งมองได้ว่าเป็นรหัสเศษเหลือกำลังสอง) จากบล็อกนี้ เราจะได้บล็อกอื่นๆ ของระบบ S(5,8,24) โดยการใช้การแปลงเศษส่วนเชิงเส้น ซ้ำๆ :

${\displaystyle z'=f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},}$

โดยที่a, b, c, dอยู่ในF ₂₃และad − bc = 1ด้วยข้อกำหนดทั่วไปของการนิยามf (− d / c ) = ∞และf (∞) = a / cฟังก์ชันเหล่านี้จะแมปเซตSไปยังตัวมันเอง ในภาษาเรขาคณิต ฟังก์ชันเหล่านี้คือฟังก์ชันโปร เจคที ฟของเส้นโปรเจคทีฟ ฟังก์ชันเหล่านี้ก่อตัวเป็นกลุ่มภายใต้การประกอบ ซึ่งเป็นกลุ่มเชิงเส้นพิเศษโปรเจคทีฟ PSL(2,23) ที่มีอันดับ 6072 มีสมาชิกในกลุ่มนี้อยู่ 8 ตัวพอดีที่ทำให้บล็อกเริ่มต้นคงที่ในแต่ละเซต ดังนั้นจะมีภาพของบล็อกนั้น 6072/8 = 759 ภาพ ภาพเหล่านี้จะก่อตัวเป็นอ็อกแทดของ S(5,8,24)

เครื่องมือMiracle Octad Generator (MOG) เป็นเครื่องมือสำหรับสร้างอ็อกแทด เช่น อ็อกแทดที่มีเซตย่อยที่กำหนดไว้ ประกอบด้วยอาร์เรย์ขนาด 4x6 ที่มีค่าน้ำหนักกำหนดให้กับแถวต่างๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เซตย่อย 8 เซตจะต้องเป็นไปตามกฎสามข้อเพื่อให้เป็นอ็อกแทดของ S(5,8,24) ประการแรก แต่ละคอลัมน์ทั้ง 6 คอลัมน์จะต้องมีพาริตี เดียวกัน กล่าวคือ จำนวนเซลล์ในแต่ละคอลัมน์จะต้องเป็นเลขคี่หรือเลขคู่ ประการที่สอง แถวบนสุดจะต้องมีพาริตีเดียวกันกับแต่ละคอลัมน์ ประการที่สาม แถวต่างๆ จะถูกคูณด้วยค่าน้ำหนัก 0, 1, 2 และ 3 ตามลำดับ บนฟิลด์จำกัดลำดับที่ 4และผลรวมของคอลัมน์ทั้ง 6 คอลัมน์จะถูกคำนวณโดยใช้การคูณและการบวกตามนิยามทางพีชคณิตของฟิลด์จำกัดผลรวมของคอลัมน์ที่ได้ควรประกอบกันเป็นรหัสเลขฐานสิบ หกที่ถูกต้อง ในรูปแบบ( a , b , c , a + b + c , 3a + 2b + c , 2a + 3b + c )โดยที่a, b, cมาจากฟิลด์จำกัดลำดับที่ 4 เช่นกัน หากพาริตีของผลรวมคอลัมน์ไม่ตรงกับพาริตีของผลรวมแถว หรือไม่ตรงกันเอง หรือหากไม่มีa, b, cที่ทำให้ผลรวมคอลัมน์ประกอบกันเป็นรหัสเลขฐานสิบหกที่ถูกต้อง แสดงว่าเซตย่อยของ 8 นั้นไม่ใช่อ็อกแทดของ S(5,8,24)

MOG สร้างขึ้นจากการสร้างการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (Conwell 1910, "The three-space PG(3,2) and its group") ระหว่าง 35 วิธีในการแบ่งเซต 8 ออกเป็นสองเซต 4 ที่แตกต่างกัน และ 35 เส้นของFano 3-space PG(3,2) นอกจากนี้ยังมีความสัมพันธ์ทางเรขาคณิต (Cullinane, "Symmetry Invariance in a Diamond Ring", Notices of the AMS, pp A193-194, Feb 1979) กับ 35 วิธีที่แตกต่างกันในการแบ่งอาร์เรย์ 4x4 ออกเป็น 4 กลุ่มที่แตกต่างกัน โดยแต่ละกลุ่มมี 4 เซลล์ ซึ่งหากอาร์เรย์ 4x4 แทนปริภูมิเชิงเส้น สี่มิติแบบจำกัด กลุ่มเหล่านั้นจะก่อให้เกิดเซตของปริภูมิย่อยขนานกัน

• รหัสน้ำหนักคงที่
• ปัญหาเด็กนักเรียนหญิงของเคิร์กแมน
• โครงสร้างซิลเวสเตอร์-กัลไล

• Assmus, EF; Key, JD (1992), การออกแบบและรหัสของการออกแบบ , เคมบริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, ISBN 978-0-521-41361-9
• เบธ, โทมัส; จุงนิคเคล, ดีเตอร์ ; เลนซ์, ฮันฟรีด (1986), ทฤษฎีการออกแบบ , เคมบริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2 (1999) ISBN 978-0-521-44432-3.
• Carmichael, Robert (1931), "การกำหนดค่าเชิงยุทธวิธีของลำดับที่สอง", American Journal of Mathematics , 53 (1): 217– 240, doi : 10.2307/2370885 , JSTOR  2370885
• คาร์ไมเคิล, โรเบิร์ต ดี. (1956) [1937], บทนำสู่ทฤษฎีกลุ่มอันดับจำกัด , โดเวอร์, ISBN 978-0-486-60300-1{{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help)
• Colbourn, Charles J.; Dinitz, Jeffrey H. (1996), Handbook of Combinatorial Designs , Boca Raton: Chapman & Hall/ CRC, ISBN 978-0-8493-8948-1, Zbl  0836.00010
• Colbourn, Charles J.; Dinitz, Jeffrey H. (2007), Handbook of Combinatorial Designs (ฉบับที่ 2), Boca Raton: Chapman & Hall/ CRC, ISBN 978-1-58488-506-1, Zbl  1101.05001
• Curtis, RT (1984), "ระบบ Steiner S(5,6,12), กลุ่ม Mathieu M ₁₂และ "ลูกแมว""ใน Atkinson, Michael D. (บรรณาธิการ), ทฤษฎีกลุ่มเชิงคำนวณ (Durham, 1982) , ลอนดอน: Academic Press, หน้า  353–358 , ISBN 978-0-12-066270-8, MR  0760669
• Hughes, DR; Piper, FC (1985), ทฤษฎีการออกแบบ , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, หน้า  173–176 , ISBN 978-0-521-35872-9.
• Kirkman, Thomas P. (1847), "เกี่ยวกับปัญหาในการรวมกัน", วารสารคณิตศาสตร์เคมบริดจ์และดับลิน , II : 191– 204.
• ลินด์เนอร์, ซีซี; ร็อดเจอร์, ซีเอ (1997), ทฤษฎีการออกแบบ , โบคา ราตัน: สำนักพิมพ์ซีอาร์ซี, ISBN 978-0-8493-3986-8
• Östergard, Patric RJ; Pottonen, Olli (2008), "ไม่มีระบบ Steiner S(4,5,17) อยู่จริง", Journal of Combinatorial Theory , Series A, 115 (8): 1570– 1573, doi : 10.1016/j.jcta.2008.04.005
• Steiner, J. (1853), "Combinatorische Aufgabe" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1853 (45): 181– 182, doi : 10.1515/crll.1853.45.181 , S2CID  199547187.
• วิตต์, เอิร์นส์ (1938), "Die 5-Fach Transitiven Gruppen von Mathieu", Abh. คณิตศาสตร์. เสม. มหาวิทยาลัย ฮัมบูร์ก , 12 : 256– 264, ดอย : 10.1007/BF02948947 , S2CID  123658601

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับระบบสไตเนอร์

• โรว์แลนด์, ท็อดด์ แอนด์ ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "Steiner System" . แมทเวิลด์ .
• Rumov, BT (2001) [1994], "ระบบสไตเนอร์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press
• ระบบสไตเนอร์โดย แอนดรีส์ อี. บรูเวอร์
• การนำ S(5,8,24) ไปใช้โดย ดร. อัลเบอร์โต เดลกาโด, เกบ ฮาร์ท และไมเคิล โคลเคเบ็ค
• S(5, 8, 24) ซอฟต์แวร์และการแสดงรายการโดย Johan E. Mebius