ในเรขาคณิตจำกัดระนาบฟาโน (ตั้งชื่อตามจิโน ฟาโน ) เป็นระนาบเชิงโปรเจกทีฟจำกัดที่มีจำนวนจุดและเส้นน้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ คือ 7 จุดและ 7 เส้น โดยมี 3 จุดบนทุกเส้นและ 3 เส้นผ่านทุกจุด จุดและเส้นเหล่านี้ไม่สามารถมีอยู่ได้ด้วยรูปแบบการตกกระทบแบบนี้ในเรขาคณิตแบบยุคลิดแต่สามารถกำหนดพิกัดให้ได้โดยใช้ฟิลด์จำกัดที่มีสององค์ประกอบ สัญลักษณ์มาตรฐานสำหรับระนาบนี้ ในฐานะที่เป็นสมาชิกของตระกูลปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟคือPG(2, 2)โดยที่PGย่อมาจาก " เรขาคณิตเชิงโปรเจกทีฟ " พารามิเตอร์แรกคือมิติทางเรขาคณิต (เป็นระนาบที่มีมิติ 2) และพารามิเตอร์ที่สองคืออันดับ (จำนวนจุดต่อเส้น ลบหนึ่ง)

ระนาบฟาโนเป็นตัวอย่างของโครงสร้างเหตุการณ์ จำกัด ดังนั้นคุณสมบัติหลายอย่างของมันจึงสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้เทคนิคเชิงการจัดเรียงและเครื่องมืออื่นๆ ที่ใช้ในการศึกษาเรขาคณิตเหตุการณ์เนื่องจากเป็นปริภูมิเชิงฉาย เทคนิคทางพีชคณิตจึงเป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพในการศึกษาเช่นกัน

ในการใช้งานที่แยกต่างหาก ระนาบฟาโนเป็นระนาบเชิงฉายที่ไม่สอดคล้องกับสัจพจน์ของฟาโนกล่าวอีกนัยหนึ่ง จุดทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสมบูรณ์จะอยู่บนเส้นตรงเดียวกันเสมอ^{[ 1 ]} ระนาบฟาโนของ 7 จุดและเส้นตรงคือระนาบฟาโน

การแสดงภาพระนาบฟาโนแบบมาตรฐานจะแสดงจุดทั้งเจ็ดจุดเป็นจุดยอดจุด กึ่งกลางของขอบ และจุดศูนย์กลางมวลของสามเหลี่ยมด้านเท่าและเส้นทั้งเจ็ดเส้นเป็นด้านทั้งสามและแกนสมมาตรทั้งสามของสามเหลี่ยม พร้อมกับวงกลมที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของขอบทั้งสาม อย่างไรก็ตาม ความแตกต่างทางสายตาของตำแหน่งจุดเหล่านี้และรูปร่างของเส้นเหล่านี้เป็นเพียงผลลัพธ์จากการแสดงภาพเท่านั้น ในฐานะโครงสร้างนามธรรม ระนาบฟาโนมีความสมมาตรสูง โดยมีสมมาตรที่เชื่อมโยงจุดใดๆ กับจุดอื่นๆ หรือเชื่อมโยงเส้นใดๆ กับเส้นอื่นๆ ได้

ระนาบฟาโนสามารถสร้างขึ้นได้โดยใช้พีชคณิตเชิงเส้นโดยเป็นระนาบเชิงโปรเจกทีฟเหนือฟิลด์จำกัดที่มีสององค์ประกอบ ในทำนองเดียวกัน เราสามารถสร้างระนาบเชิงโปรเจกทีฟเหนือฟิลด์จำกัดอื่นๆ ได้ โดยที่ระนาบฟาโนเป็นระนาบที่เล็กที่สุด

โดยใช้การสร้างปริภูมิเชิงฉายมาตรฐานผ่านพิกัดเอกพันธุ์จุดทั้งเจ็ดบนระนาบฟาโนสามารถกำหนดป้ายกำกับได้ด้วยเลขฐานสองสามตัวที่ไม่เป็นศูนย์เรียงลำดับกันเจ็ดชุด ได้แก่ 001, 010, 011, 100, 101, 110 และ 111 สามารถทำได้ในลักษณะที่ว่า สำหรับจุดสองจุดใดๆpและqจุดที่สามบนเส้นตรงpqจะมีป้ายกำกับที่เกิดจากการบวกป้ายกำกับของpและqเข้าด้วยกันแบบมอดูลัส 2 ทีละหลัก (เช่น 010 และ 111 ได้ผลลัพธ์เป็น 101) กล่าวอีกนัยหนึ่ง จุดบนระนาบฟาโนสอดคล้องกับจุดที่ไม่เป็นศูนย์ของปริภูมิเวกเตอร์ จำกัด มิติ 3 บนฟิลด์จำกัดอันดับ 2

เนื่องจากโครงสร้างนี้ ระนาบฟาโนจึงถือว่าเป็นระนาบเดซาร์กส์แม้ว่าระนาบนี้จะเล็กเกินกว่าจะบรรจุการจัดเรียงเดซาร์กส์ ที่ไม่เสื่อมสภาพได้ (ซึ่งต้องใช้จุด 10 จุดและเส้น 10 เส้น)

เส้นในระนาบฟาโนอาจกำหนดพิกัดเอกพันธุ์ได้เช่นกัน โดยใช้เลขฐานสองสามตัวที่ไม่เป็นศูนย์ ในระบบพิกัดนี้ จุดหนึ่งจะอยู่บนเส้นตรงเส้นใดเส้นหนึ่งก็ต่อเมื่อพิกัดของจุดนั้นและพิกัดของเส้นตรงนั้นมีจำนวนตำแหน่งที่เป็นเลขคู่ซึ่งทั้งสองพิกัดมีค่าไม่เป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น จุด 101 อยู่บนเส้นตรง 111 เพราะมีเลขไม่เป็นศูนย์ในสองตำแหน่งที่เหมือนกัน ในแง่ของพีชคณิตเชิงเส้นพื้นฐาน จุดหนึ่งจะอยู่บนเส้นตรงเส้นใดเส้นหนึ่งก็ต่อเมื่อผลคูณภายในของเวกเตอร์ที่แทนจุดและเส้นตรงนั้นเป็นศูนย์

เส้นสามารถแบ่งออกได้เป็นสามประเภท

• ในสามบรรทัดนั้น ชุดเลขฐานสองสำหรับจุดต่างๆ จะมีเลข 0 อยู่ในตำแหน่งคงที่ ได้แก่ บรรทัดที่ 100 (ซึ่งประกอบด้วยจุด 001, 010 และ 011) มีเลข 0 อยู่ในตำแหน่งแรก และบรรทัดที่ 010 และ 001 ก็สร้างขึ้นในลักษณะเดียวกัน
• ในสามเส้นนั้น ตำแหน่งสองตำแหน่งในสามเลขฐานสองของแต่ละจุดจะมีค่าเดียวกัน กล่าวคือ ในเส้นที่ 110 (ซึ่งประกอบด้วยจุด 001, 110 และ 111) ตำแหน่งแรกและตำแหน่งที่สองจะเท่ากันเสมอ และเส้นที่ 101 และ 011 ก็ถูกสร้างขึ้นในลักษณะเดียวกัน
• ในบรรทัดที่เหลือ 111 (ซึ่งประกอบด้วยจุด 011, 101 และ 110) แต่ละชุดเลขฐานสองจะมีบิตที่ไม่เป็นศูนย์อยู่สองบิตพอดี

อีกทางเลือกหนึ่ง จุดทั้ง 7 จุดบนระนาบจะสอดคล้องกับสมาชิกที่ไม่ใช่เอกลักษณ์ทั้ง 7 ตัวของกลุ่ม(Z ₂ ) ³ = Z ₂ × Z ₂ × Z ₂เส้นบนระนาบจะสอดคล้องกับกลุ่มย่อยที่มีอันดับ 4 ซึ่งสมมาตรกับZ ₂ × Z ₂กลุ่มออโตมอร์ฟิซึม GL (3, 2)ของกลุ่ม (Z ₂ ) ³คือกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของระนาบฟาโน และมีอันดับ 168

เช่นเดียวกับโครงสร้างเหตุการณ์ใดๆกราฟ Leviของระนาบ Fano เป็นกราฟสองส่วน โดยจุดยอดของส่วนหนึ่งแทนจุด และอีกส่วนหนึ่งแทนเส้น โดยจุดยอดสองจุดจะเชื่อมต่อกันหากจุดและเส้นที่สอดคล้องกันนั้นเกี่ยวข้องกันกราฟนี้เป็นกราฟลูกบาศก์ ที่เชื่อมต่อกัน (ปกติของดีกรี 3) มีเส้นรอบวง 6และแต่ละส่วนประกอบด้วยจุดยอด 7 จุด เป็นกราฟ Heawoodซึ่ง เป็น กรง 6 จุดที่ไม่ซ้ำกัน^{[ 2 ]}

การ เรียงตัวเชิงเส้น การแปลงอัตโนมัติหรือสมมาตรของระนาบฟาโน คือการเรียงสับเปลี่ยนของจุด 7 จุดที่รักษาความเป็นเส้นตรง กล่าวคือ จะนำ จุดที่ เป็นเส้นตรงเดียวกัน (บนเส้นเดียวกัน) ไปยังจุดที่เป็นเส้นตรงเดียวกัน ตามทฤษฎีบทพื้นฐานของเรขาคณิตเชิงโปรเจกทีฟกลุ่มการเรียงตัวเชิงเส้นแบบเต็ม(หรือกลุ่มการแปลงอัตโนมัติหรือกลุ่มสมมาตร ) คือกลุ่มเชิงเส้นเชิงโปรเจกทีฟPGL(3, 2) [ ^{a ] ​​Hirschfeld} 1979 , หน้า 131 ^{[ 3 ]}

นี่คือกลุ่มที่มีชื่อเสียงซึ่งมีอันดับ 168 = 2 ³ ·3·7 ซึ่งเป็นกลุ่มง่ายที่ไม่สลับที่ถัดไปหลังจากA ₅ที่มีอันดับ 60 (เรียงตามขนาด)

เนื่องจากกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนที่กระทำกับจุด 7 จุดของระนาบ กลุ่มการเรียงตัวจึงมีคุณสมบัติการถ่ายทอดแบบสองเท่าหมายความว่าคู่ลำดับของจุดใดๆ ก็สามารถแมปโดยการเรียงตัวอย่างน้อยหนึ่งรายการไปยังคู่ลำดับของจุดอื่นๆ ได้^{[ 4 ]} (ดูด้านล่าง)

นอกจากนี้ ยังอาจมอง Collineations ว่าเป็นออโตมอร์ฟิซึมที่รักษาสีของกราฟ Heawood ไว้ได้ (ดูรูปประกอบ)

การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตของจุดและเซตของเส้นตรงที่รักษาความสัมพันธ์เรียกว่าคู่ตรงข้ามและคู่ตรงข้ามอันดับสองเรียกว่าขั้วตรงข้าม^{[ 5 ]}

ความเป็นคู่สามารถมองได้ในบริบทของกราฟ Heawood ในฐานะออโตมอร์ฟิซึมที่กลับสี ตัวอย่างของความเป็นขั้วแสดงโดยการสะท้อนผ่านเส้นแนวตั้งที่แบ่งครึ่งการแสดงกราฟ Heawood ที่แสดงทางด้านขวา^{[ 6 ]}การมีอยู่ของความเป็นขั้วนี้แสดงให้เห็นว่าระนาบ Fano เป็นคู่ตัวเองนี่เป็นผลโดยตรงจากความสมมาตรระหว่างจุดและเส้นในคำจำกัดความของความสัมพันธ์การตกกระทบในแง่ของพิกัดเอกพันธุ์ ดังที่ได้อธิบายไว้ในส่วนก่อนหน้านี้

กลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนของจุดทั้ง 7 จุดมีชั้นสมมูล 6 ชั้น

โครงสร้างวงจรทั้งสี่นี้แต่ละแบบจะกำหนดคลาสการผันแปรเพียงคลาสเดียว:

• การเรียงสับเปลี่ยนเอกลักษณ์
• 21 การเรียงสับเปลี่ยนที่มี2 วงจร
• 42 รูปแบบการเรียงสับเปลี่ยนที่มี 4 วงจรและ 2 วงจร
• 56 การเรียงสับเปลี่ยนที่มี 3 วงจรสองชุด

การเรียงสับเปลี่ยน 48 แบบที่มีวัฏจักร 7 สมบูรณ์ ก่อให้เกิดคลาสการสมมูลกัน 2 คลาสที่แตกต่างกัน โดยมีองค์ประกอบ 24 ตัว:

• จุด Aเชื่อมโยงกับจุด B , จุด Bเชื่อมโยงกับจุด C , และจุด Cเชื่อมโยงกับจุด Dดังนั้นจุด Dจึงอยู่บนเส้นเดียวกันกับจุดAและจุดB
• จุด Aเชื่อมโยงกับจุด B , จุด Bเชื่อมโยงกับจุด C , และ จุด Cเชื่อมโยงกับจุด Dดังนั้นจุด Dจึงอยู่บนเส้นเดียวกันกับจุดAและจุดC

(ดู รายชื่อทั้งหมดได้ ที่นี่ )

จำนวนการระบายสีที่ไม่เท่ากันของระนาบฟาโนด้วยสีต่างๆ สามารถคำนวณได้โดยการแทนค่าจำนวนโครงสร้างวัฏจักรลงในทฤษฎีบทการแจงนับของโปลยาจำนวนการระบายสีนี้คือ (ลำดับA241929ในOEIS ) ${\displaystyle n}$${\textstyle {{n^{7}+21n^{5}+98n^{3}+48n} \over 168}}$

ในระนาบเชิงโปรเจกทีฟใดๆ ชุดของจุดสี่จุดซึ่งไม่มีสามจุดใดอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และเส้นตรงหกเส้นที่เชื่อมจุดสองจุดเข้าด้วยกันเรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสมบูรณ์เส้นตรงเหล่านี้เรียก ว่า ด้านและคู่ของด้านที่ไม่ตัดกันที่จุดใดจุดหนึ่งในสี่จุดนั้นเรียกว่าด้านตรงข้ามจุดที่ด้านตรงข้ามตัดกันเรียกว่าจุดทแยงมุมซึ่งมีอยู่สามจุด^{[ 7 ]}

ถ้าการจัดเรียงนี้อยู่ในระนาบเชิงโปรเจกทีฟ และจุดทแยงมุมทั้งสามจุดอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จุดเจ็ดจุดและเส้นเจ็ดเส้นของการจัดเรียงที่ขยายออกจะก่อให้เกิดระนาบย่อยของระนาบเชิงโปรเจกทีฟซึ่งสมมาตรกับระนาบฟาโน และเรียกว่าระนาบย่อยฟาโน

ผลลัพธ์อันโด่งดังของAndrew M. Gleasonระบุว่า ถ้ารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสมบูรณ์ทุกรูปในระนาบเชิงโปรเจกทีฟจำกัดขยายไปยังระนาบย่อย Fano (นั่นคือ มีจุดทแยงมุมที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน) แล้วระนาบนั้นจะเป็นระนาบ Desarguesian ^{[ 8 ]} Gleason เรียกระนาบเชิงโปรเจกทีฟใดๆ ที่ตรงตามเงื่อนไขนี้ ว่า ระนาบ Fanoซึ่งทำให้เกิดความสับสนกับศัพท์สมัยใหม่ ยิ่งไปกว่านั้นสัจพจน์ของ Fanoระบุว่าจุดทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสมบูรณ์จะไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ซึ่งเป็นเงื่อนไขที่ใช้ได้ในระนาบเชิงโปรเจกทีฟแบบยุคลิดและแบบจริง ดังนั้น สิ่งที่ Gleason เรียกว่าระนาบ Fano จึงไม่ตรงตามสัจพจน์ของ Fano ^{[ 9 ]}

ระนาบฟาโนประกอบด้วยการจัดเรียงจุดและเส้นตรงประเภทต่างๆ จำนวนดังต่อไปนี้ สำหรับการจัดเรียงแต่ละประเภท จำนวนสำเนาของการจัดเรียงคูณด้วยจำนวนสมมาตรของระนาบที่ทำให้การจัดเรียงไม่เปลี่ยนแปลงจะเท่ากับ 168 ซึ่งเป็นขนาดของกลุ่มการเรียงเส้นตรงทั้งหมด โดยมีเงื่อนไขว่าสำเนาแต่ละสำเนาสามารถแมปไปยังสำเนาอื่นใดก็ได้ (ดูทฤษฎีบทการรักษาเสถียรภาพวงโคจร ) เนื่องจากระนาบฟาโนเป็นระนาบทวิภาค การจัดเรียงเหล่านี้จึงมาเป็นคู่ทวิภาค และสามารถแสดงได้ว่าจำนวนการเรียงเส้นตรงที่ตรึงการจัดเรียงหนึ่งๆ จะเท่ากับจำนวนการเรียงเส้นตรงที่ตรึงการจัดเรียงทวิภาคของมัน

• มีจุด 7 จุดที่มีสมมาตร 24 แบบที่ตรึงจุดใดๆ ก็ได้ และในทางกลับกัน มีเส้นตรง 7 เส้นที่มีสมมาตร 24 แบบที่ตรึงเส้นตรงใดๆ ก็ได้ จำนวนสมมาตรเป็นผลมาจากคุณสมบัติการถ่ายทอดแบบ 2 ของกลุ่มการเรียงตัวของเส้นตรง ซึ่งหมายความว่ากลุ่มนี้กระทำการถ่ายทอดต่อจุดต่างๆ
• มี จุดคู่ ลำดับ 42 คู่ และแต่ละคู่สามารถถูกแปลงโดยสมมาตรไปยังจุดคู่ลำดับอื่นใดก็ได้ สำหรับจุดคู่ลำดับใดๆ จะมีสมมาตร 4 ตัวที่ตรึงจุดคู่ลำดับนั้นไว้ ในทำนองเดียวกัน มี จุด คู่ไม่ลำดับ 21 คู่ และแต่ละคู่สามารถถูกแปลงโดยสมมาตรไปยังจุดคู่ไม่ลำดับอื่นใดก็ได้ สำหรับจุดคู่ไม่ลำดับใดๆ จะมีสมมาตร 8 ตัวที่ตรึงจุดคู่ไม่ลำดับนั้นไว้
• มีธง ทั้งหมด 21 อัน ซึ่งแต่ละอันประกอบด้วยเส้นตรงและจุดบนเส้นตรงนั้น ธงแต่ละอันจะสอดคล้องกับคู่ของจุดอีกสองจุดบนเส้นตรงเดียวกันโดยไม่มีลำดับ สำหรับแต่ละธง จะมีสมมาตรที่แตกต่างกัน 8 แบบที่ช่วยตรึงธงนั้นไว้
• มี 7 วิธีในการเลือกรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีจุดสี่จุด (ไม่เรียงลำดับ) โดยที่ไม่มีจุดสามจุดใดอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จุดทั้งสี่นี้จะประกอบกันเป็นส่วนเติมเต็มของเส้นตรง ซึ่งก็คือเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และการเรียงตัวของจุดบนเส้นตรงเดียวกันจะทำให้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสคงที่ได้ก็ต่อเมื่อมันทำให้เส้นทแยงมุมคงที่ด้วย ดังนั้นจึงมีสมมาตร 24 แบบที่ทำให้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสใดๆ ดังกล่าวคงที่ได้ ส่วนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสคู่ขนานนั้นประกอบด้วยเส้นตรงสี่เส้นที่ไม่มีเส้นตรงสามเส้นใดตัดกันที่จุดเดียว และจุดตัดทั้งหกจุดของเส้นตรงเหล่านั้น มันเป็นส่วนเติมเต็มของจุดในระนาบฟาโน
• มีจุดสามจุดทั้งหมด35 ชุด โดยเจ็ดชุดเป็นจุดสามจุดที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ทำให้เหลือจุดสามจุดหรือ สามเหลี่ยม ที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันอีก 28 ชุด การกำหนดค่าที่ประกอบด้วยจุดสามจุดของสามเหลี่ยมและเส้นตรงสามเส้นที่เชื่อมจุดแต่ละคู่จะถูกแทนด้วยวัฏจักร 6 ในกราฟ Heawood ออโตมอร์ฟิซึมที่รักษาสีของกราฟ Heawood ที่ตรึงจุดยอดแต่ละจุดของวัฏจักร 6 จะต้องเป็นออโตมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์^{[ 2 ]}ซึ่งหมายความว่ามีสามเหลี่ยมที่มีป้ายกำกับ 168 รูปที่ถูกตรึงไว้ด้วยการเรียงเส้นตรงเอกลักษณ์เท่านั้น และมีการเรียงเส้นตรงเพียงหกแบบที่ทำให้สามเหลี่ยมที่ไม่มีป้ายกำกับมีเสถียรภาพ หนึ่งแบบสำหรับแต่ละการเรียงสับเปลี่ยนของจุด สามเหลี่ยม 28 รูปนี้อาจมองได้ว่าสอดคล้องกับเส้นสัมผัสคู่ 28 เส้นของควอติก [ ^{10 ] มี} 84 วิธีในการระบุสามเหลี่ยมพร้อมกับจุดที่โดดเด่นหนึ่งจุดบนสามเหลี่ยมนั้นและสมมาตรสองแบบที่ตรึงการกำหนดค่านี้ คู่ขนานของการกำหนดค่าสามเหลี่ยมก็เป็นสามเหลี่ยมเช่นกัน${\displaystyle {\tbinom {7}{3}}}$
• มีวิธีเลือกจุดและเส้นตรงที่ไม่ทับซ้อนกัน ( แอนติแฟก ) ได้ 28 วิธี และมีวิธีสลับระนาบฟาโนได้ 6 วิธี โดยคงแอนติแฟกไว้คงที่ สำหรับทุกคู่จุด-เส้นตรงที่ไม่ทับซ้อนกัน( p , l )จุดสามจุดที่ไม่เท่ากับpและไม่อยู่ในlจะก่อตัวเป็นรูปสามเหลี่ยม และสำหรับทุกรูปสามเหลี่ยมจะมีวิธีจัดกลุ่มจุดที่เหลืออีกสี่จุดให้เป็นแอนติแฟกได้เพียงวิธีเดียว
• มีวิธีการกำหนดรูปหกเหลี่ยม ได้ 28 วิธี โดยที่ไม่มีจุดยอดสามจุดที่อยู่ติดกันอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และมีสมมาตร 6 แบบที่ใช้กำหนดรูปหกเหลี่ยมดังกล่าว
• มีวิธีการกำหนดรูปห้าเหลี่ยม 84 วิธี โดยที่ไม่มีจุดยอดสามจุดที่อยู่ติดกันอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และมีสมมาตรสองแบบที่ใช้กำหนดรูปห้าเหลี่ยมใดๆ

ระนาบฟาโนเป็นตัวอย่างของ การกำหนดค่า ( n ₃ )ซึ่งก็คือเซตของ จุด nจุดและเส้นตรงn เส้น โดยมีจุดสามจุดบนแต่ละเส้นตรงและเส้นตรงสามเส้นผ่านแต่ละจุด ระนาบฟาโนซึ่งเป็นการกำหนดค่า (7 ₃ ) มีเอกลักษณ์เฉพาะตัวและเป็นการกำหนดค่าที่เล็กที่สุดดังกล่าว^{[ 11 ]}ตามทฤษฎีบทของสไตน์นิทซ์^{[ 12 ]}การกำหนดค่าประเภทนี้สามารถเกิดขึ้นได้ในระนาบยุคลิดโดยมีเส้นโค้งอย่างมากที่สุดหนึ่งเส้น (เส้นตรงอื่นๆ ทั้งหมดอยู่บนเส้นตรงยุคลิด) ^{[ 13 ]}

ระนาบฟาโนเป็นการออกแบบบล็อกสมมาตรขนาด เล็ก โดยเฉพาะ การออกแบบ 2-(7, 3, 1)จุดของการออกแบบคือจุดของระนาบ และบล็อกของการออกแบบคือเส้นของระนาบ^{[ 14 ]} ด้วยเหตุนี้จึงเป็นตัวอย่างที่มีค่าในทฤษฎีการออกแบบ (บล็อก)

โดยที่จุดต่างๆ ถูกกำหนดหมายเลขเป็น 0, 1, 2, ..., 6 เส้น (ในฐานะเซตของจุด) คือการเลื่อนของเซตผลต่างระนาบ(7, 3, 1) ^ที่กำหนดโดย{0, 1, 3}ในกลุ่มZ / 7 Z [ ^{14 ]}โดยที่เส้นต่างๆ ถูกกำหนดหมายเลขเป็นℓ ₀ , ..., ℓ ₆เมทริกซ์เหตุการณ์ (ตาราง) จะได้รับดังนี้:

จุด เส้น	0	1	2	3	4	5	6
ℓ 0	1	1	0	1	0	0	0
ℓ 1	0	1	1	0	1	0	0
ℓ 2	0	0	1	1	0	1	0
ℓ 3	0	0	0	1	1	0	1
ℓ 4	1	0	0	0	1	1	0
ℓ 5	0	1	0	0	0	1	1
ℓ 6	1	0	1	0	0	0	1

ระนาบฟาโน ซึ่งเป็นการออกแบบบล็อก เป็นระบบสามเท่าของสไตเนอร์^{[ 15 ]} ด้วยเหตุนี้ จึงสามารถกำหนดโครงสร้างของควาซิกรุปได้ ควา ซิกรุปนี้สอดคล้องกับโครงสร้างการคูณที่กำหนดโดยอ็อกโทเนียน หน่วย e ₁ , e ₂ , ..., e ₇ (ละเว้น 1) หากไม่พิจารณาเครื่องหมายของผลคูณอ็อกโทเนียน ( Baez 2002 )

เมทริกซ์ Fano F ₇ถูกสร้างขึ้นโดยใช้จุดบนระนาบ Fano เป็นเซตพื้นฐาน และใช้เซตย่อยสามองค์ประกอบที่ไม่เรียงตัวกันเป็นฐาน

ระนาบฟาโนเป็นตัวอย่างสำคัญอย่างหนึ่งในทฤษฎีโครงสร้างของแมทรอยด์ การไม่ รวมระนาบฟาโนเป็นแมทรอยด์ไมเนอร์นั้นจำเป็นต่อการจำแนกลักษณะของแมทรอยด์หลายประเภทที่สำคัญ เช่น แมทรอยด์ปกติแม ทรอยด์ กราฟิกและแมทรอยด์โคกราฟิก

ถ้าคุณแบ่งเส้นตรงหนึ่งเส้นออกเป็นเส้นตรงสองจุดสามเส้น คุณจะได้ "โครงสร้างที่ไม่ใช่แบบฟาโน" ซึ่งสามารถฝังอยู่ในระนาบจริงได้ นี่เป็นอีกตัวอย่างสำคัญในทฤษฎีเมทริกซ์ เนื่องจากต้องตัดโครงสร้างนี้ออกไปเพื่อให้ทฤษฎีบทหลายข้อเป็นจริง

ระนาบฟาโนสามารถขยายในมิติที่สามเพื่อสร้างพื้นที่เชิงฉายสามมิติ ซึ่งแสดงด้วยPG(3, 2)ประกอบด้วยจุด 15 จุด เส้น 35 เส้น และระนาบ 15 ระนาบ และเป็นพื้นที่เชิงฉายสาม มิติที่เล็กที่สุด ^{[ 16 ]} นอกจากนี้ยังมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ^{[ 17 ]}

• แต่ละจุดประกอบด้วยเส้นตรง 7 เส้นและระนาบ 7 ระนาบ
• แต่ละเส้นประกอบด้วยระนาบ 3 ระนาบ และประกอบด้วยจุด 3 จุด
• ระนาบแต่ละระนาบประกอบด้วยจุด 7 จุดและเส้นตรง 7 เส้น
• ระนาบแต่ละระนาบมีลักษณะสมมาตรกับระนาบฟาโน
• ระนาบที่แตกต่างกันทุกคู่จะตัดกันเป็นเส้นตรง
• เส้นตรงและระนาบที่ไม่บรรจุเส้นตรงนั้น จะตัดกันเพียงจุดเดียวเท่านั้น

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับเครื่องบินฟาโน

• การกำหนดค่าเชิงฉาย
• การกำหนดค่า Pasch
• ลอตเตอรี่ทรานซิลเวเนีย

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. , "เครื่องบินฟาโน" , แมธเวิลด์