ในทางคณิตศาสตร์นิมเบอร์หรือที่เรียกว่าจำนวนกรันดี (อย่าสับสนกับจำนวนโครมาติกกรันดี ) ได้รับการแนะนำในทฤษฎีเกมเชิงผสมซึ่งนิยามว่าเป็นค่าของกองในเกมนิมนิมเบอร์คือเลขลำดับที่มีการบวกและการคูณนิมเบอร์ซึ่งแตกต่างจากการบวกและการคูณนิมเบอร์

เนื่องจากทฤษฎีบทสปราก-กรันดี (Sprague-Grundy theorem ) ที่ระบุว่าเกมที่เป็นกลาง ทุก เกมเทียบเท่ากับกองเกมนิม (Nim heap) ที่มีขนาดหนึ่ง จึงมีเกมที่เป็นกลางประเภทอื่น ๆ เกิดขึ้นมากมาย ซึ่งอาจพบได้ในเกมที่เล่นตามพรรคการเมืองเช่น เกม ที่เล่นตามอำนาจ (Domineering )

การดำเนินการบวกและคูณของนิมเบอร์เป็นการดำเนินการแบบเปลี่ยนหมู่และสลับที่ แต่ละนิมเบอร์จะมีตัวผกผันของการบวกของ ตัวเอง โดยเฉพาะอย่างยิ่งในคู่ของเลขลำดับบางคู่ ผลรวมของนิมเบอร์จะน้อยกว่าตัวบวกทั้งสองตัวแยกตัวน้อยที่สุด จะถูกนำไปใช้กับชุดของนิมเบอร์

ในฐานะคลาสนิมเบอร์จะถูกจัดดัชนีด้วยเลขลำดับและจัดเป็นคลาสย่อยของเลขเหนือจริง ซึ่ง จอห์น ฮอร์ตัน คอนเวย์ได้นำเสนอไว้เป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีเกมเชิงผสม ของ เขาอย่างไรก็ตาม นิมเบอร์มีความแตกต่างจากเลขลำดับและเลขเหนือจริงตรงที่มันปฏิบัติตาม กฎ เลขคณิต ที่แตกต่างกัน นั่นคือ การบวกนิม และการคูณนิม นอกจากจะเป็นคลาสที่แท้จริงมากกว่าเซตแล้ว นิมเบอร์ยังจัดเป็นฟิลด์ภายใต้การบวกนิม และการคูณนิมอีกด้วย

ในฐานะเซต นิมเบอร์จำกัดสามารถจัดเรียง ให้สอดคล้อง กับจำนวนลำดับจำกัด ซึ่งเป็นจำนวนธรรมชาติแบบหนึ่งต่อหนึ่งได้อย่างไรก็ตาม โครงสร้างเลขคณิตของนิมเบอร์เหล่านี้ไม่ได้ เป็นแบบ ไอโซมอร์ฟิก เลขคณิตนิมเบอร์มีความแตกต่างโดยพื้นฐานจากการดำเนินการเลขคณิตทั่วไปบนจำนวนธรรมชาติ

นิมเบอร์มักจะแสดงโดยใช้สัญลักษณ์รูปดาว{*0, *1, *2, ..., * ω , *( ω +1), ... }

Nim เป็นเกมที่ผู้เล่นสองคนผลัดกันกำจัดวัตถุออกจากกองที่แยกจากกัน เนื่องจากการเคลื่อนตัวจะขึ้นอยู่กับตำแหน่งเท่านั้น ไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าผู้เล่นคนใดกำลังเคลื่อนที่อยู่ และผลตอบแทนจะสมมาตรกันหรือไม่ Nim จึงเป็นเกมที่ยุติธรรม ในแต่ละเทิร์น ผู้เล่นจะต้องกำจัดวัตถุอย่างน้อยหนึ่งชิ้น และสามารถกำจัดวัตถุได้ไม่จำกัดจำนวนชิ้น หากวัตถุทั้งหมดมาจากกองเดียวกัน เป้าหมายของเกมคือการเป็นผู้เล่นที่กำจัดวัตถุชิ้นสุดท้าย จำนวนชิ้นของกองคือจำนวนวัตถุในกองนั้น เมื่อใช้การบวก Nim เราสามารถคำนวณจำนวนชิ้นของเกมโดยรวมได้ กลยุทธ์ที่ชนะคือการบังคับให้จำนวนชิ้นของเกมเป็น 0 ในเทิร์นของฝ่ายตรงข้าม

Cram เป็นเกมที่มักเล่นบนกระดานสี่เหลี่ยม โดยผู้เล่นจะผลัดกันวางโดมิโนในแนวนอนหรือแนวตั้งจนกว่าจะวางโดมิโนไม่ได้อีก ผู้เล่นคนแรกที่เดินไม่ได้จะแพ้ เนื่องจากการเดินที่เป็นไปได้ของผู้เล่นทั้งสองคนเท่ากัน จึงเป็นเกมที่ยุติธรรมและสามารถมีค่านิมเบอร์ได้ ตัวอย่างเช่น กระดานใดๆ ที่มีขนาดคู่คูณคู่จะมีนิมเบอร์เท่ากับ 0 กระดานใดๆ ที่มีขนาดคู่คูณคี่จะมีนิมเบอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ กระดาน ขนาด 2 × n ใดๆ จะมีนิมเบอร์เท่ากับ 0 สำหรับ nคู่ทุกตัวและนิมเบอร์เท่ากับ 1 สำหรับnคี่ ทุกตัว

ในเกมของ Northcott หมุดสำหรับผู้เล่นแต่ละคนจะถูกวางเรียงตามเสาที่มีช่องว่างจำนวนจำกัด ในแต่ละเทิร์น ผู้เล่นแต่ละคนต้องเลื่อนตัวหมากขึ้นหรือลงตามเสา แต่ไม่สามารถเลื่อนผ่านตัวหมากของผู้เล่นอีกฝ่ายได้ คอลัมน์หลายคอลัมน์ถูกวางซ้อนกันเพื่อเพิ่มความซับซ้อน ผู้เล่นที่ไม่สามารถเดินหมากต่อไปได้จะแพ้ ต่างจากเกมอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกับนิมเบอร์ จำนวนช่องว่างระหว่างโทเค็นสองอันในแต่ละแถวจะเท่ากับขนาดของกองนิม หากคู่ต่อสู้ของคุณเพิ่มช่องว่างระหว่างโทเค็นสองอัน ให้ลดช่องว่างนั้นลงในการเดินครั้งต่อไป มิฉะนั้น ให้เล่นเกมนิมและกำหนดผลรวมนิมของจำนวนช่องว่างระหว่างโทเค็นในแต่ละแถวให้เป็น 0

Hackenbush เป็นเกมที่คิดค้นโดยนักคณิตศาสตร์John Horton Conwayสามารถเล่นได้โดยใช้เส้น สีใดก็ได้ ที่เชื่อมต่อกันด้วยจุดปลายและเส้น "กราวด์" ผู้เล่นจะผลัดกันตัดเส้นออก เกมเวอร์ชันที่เป็นกลาง ซึ่งสามารถวิเคราะห์ได้โดยใช้เส้น สามารถทำได้โดยการตัดความแตกต่างของเส้นออก ทำให้ผู้เล่นแต่ละคนสามารถตัดกิ่งก้านสาขาใดๆ ก็ได้ ส่วนใดๆ ที่ขึ้นอยู่กับเส้นที่เพิ่งตัดออกเพื่อเชื่อมต่อกับเส้นกราวด์ก็จะถูกตัดออกเช่นกัน ด้วยวิธีนี้ การเชื่อมต่อกับกราวด์แต่ละครั้งจึงถือเป็นฮีป nim ที่มีค่า nim นอกจากนี้ การเชื่อมต่อที่แยกจากกันทั้งหมดกับเส้นกราวด์ยังสามารถนำมารวมกันเป็นเส้นของสถานะเกมได้อีกด้วย

การบวกแบบนิมเบอร์ (หรือที่เรียกว่าnim-addition ) สามารถใช้เพื่อคำนวณขนาดของฮีป nim เดี่ยวที่เทียบเท่ากับชุดของฮีป nim นิยามแบบเรียกซ้ำโดย ที่ ค่าต่ำสุดที่แยกออก(mex( S ))ของเซต ของลำดับ Sถูกกำหนดให้เป็นลำดับที่เล็กที่สุดที่ไม่ใช่สมาชิกของS$${\displaystyle \alpha \oplus \beta =\operatorname {mex} \!{\bigl (}\{\alpha '\oplus \beta :\alpha '<\alpha \}\cup \{\alpha \oplus \beta ':\beta '<\beta \}{\bigr )},}$$

สำหรับเลขลำดับจำกัด การหาค่าผล รวมนิม (nim-sum)บนคอมพิวเตอร์ทำได้ง่ายๆ โดยการนำค่าบิต เฉพาะตัว (xor, แสดงด้วย⊕ ) ของตัวเลขที่สอดคล้องกันมาคำนวณ ตัวอย่างเช่น ผลรวมนิมของ 7 และ 14 สามารถหาได้โดยการเขียน 7 เป็น 111 และ 14 เป็น 1110 หลักหน่วยบวก 1 หลักสองบวก 2 ซึ่งเราแทนที่ด้วย 0 หลักสี่บวก 2 ซึ่งเราแทนที่ด้วย 0 หลักแปดบวก 1 ดังนั้น ผลรวมนิมจึงเขียนในเลขฐานสองเป็น 1001 หรือในเลขฐานสิบเป็น 9

คุณสมบัติการบวกนี้เป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าทั้งmexและ XOR ให้กลยุทธ์ที่ชนะสำหรับ Nim และมีเพียงกลยุทธ์ดังกล่าวเพียงกลยุทธ์เดียวเท่านั้น หรือสามารถแสดงได้โดยตรงโดยการอุปนัย: ให้αและβเป็นลำดับจำกัดสองลำดับ และสมมติว่าผลรวม nim ของคู่ทั้งหมดที่มีหนึ่งในนั้นลดลงนั้นได้นิยามไว้แล้ว จำนวนเดียวที่มี XOR กับαเป็นα ⊕ βคือβและในทางกลับกัน ดังนั้นα ⊕ βจึงถูกตัดออก ในทางกลับกัน สำหรับลำดับใดๆ ที่γ < α ⊕ βการ XOR กับ ζ กับ α , βและγทั้งหมดจะต้องนำไปสู่การลดลงสำหรับหนึ่งในนั้น (เนื่องจาก 1 นำหน้าในζจะต้องปรากฏในอย่างน้อยหนึ่งในสาม) เนื่องจาก เราต้องมีอย่างใดอย่างหนึ่ง ดังนั้นγจึงรวมอยู่ในอย่างใดอย่างหนึ่ง และด้วยเหตุนี้α ⊕ βจึงเป็นลำดับที่ถูกตัดออกน้อยที่สุด $${\displaystyle \zeta :=\alpha \oplus \beta \oplus \gamma }$$$${\displaystyle \zeta \oplus \gamma =\alpha \oplus \beta >\gamma ,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha >\zeta \oplus \alpha &=\beta \oplus \gamma ,\quad {\text{or}}\\[4pt]\beta >\zeta \oplus \beta &=\alpha \oplus \gamma .\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}(\beta \oplus \gamma )\oplus \beta ,\quad {\text{or}}\\[4pt]\alpha \oplus (\alpha \oplus \gamma );\end{aligned}}}$$

การ บวก แบบนิมเบอร์เป็นการรวมกลุ่มและการสับเปลี่ยนโดยมี0เป็นองค์ประกอบเอกลักษณ์ การบวก นอกจากนี้ นิมเบอร์ยังเป็นตัวผกผันการบวกของตัวเอง[ 5 ดังนั้นα ⊕ β = 0 ก็ต่อเมื่อ α = β

การคูณแบบ Nimber ( nim-multiplication ) ถูกกำหนดแบบเรียกซ้ำโดย

$${\displaystyle \alpha \otimes \beta =\operatorname {mex} \!{\bigl (}\{\alpha '\beta \oplus \alpha \,\beta '\oplus \alpha '\beta ':\alpha '<\alpha ,\beta '<\beta \}{\bigr )}.}$$

การคูณแบบนิมเบอร์เป็นการรวมกลุ่มและการสับเปลี่ยน โดยมีเลขลำดับ1เป็นองค์ประกอบเอกลักษณ์ การคูณ นอกจากนี้ การคูณแบบนิมเบอร์ยังกระจายตัวเหนือการบวกแบบนิมเบอร์ อีกด้วย

ดังนั้น ยกเว้นข้อเท็จจริงที่ว่านิมเบอร์จะประกอบเป็นคลาสที่เหมาะสมไม่ใช่เซต คลาสของนิมเบอร์จะประกอบเป็นริงอันที่จริง มันยังกำหนดฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตที่มีลักษณะเฉพาะ 2 ด้วย โดยที่อินเวอร์สการคูณนิมเบอร์ของα ที่ไม่เท่ากับศูนย์ กำหนดโดย

$${\displaystyle \alpha ^{-1}=\operatorname {mex} (S),}$$ โดยที่Sคือชุดลำดับที่เล็กที่สุด (นิมเบอร์) ที่

1. 0เป็นองค์ประกอบของS ;
2. ถ้า0 < α ′ < αและβ'เป็นองค์ประกอบของSแล้ว β ' ก็เป็นองค์ประกอบของS เช่นกัน${\displaystyle (1\oplus (\alpha '\oplus \alpha )\otimes \beta ')\otimes (\alpha ')^{-1}}$

สำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมดnเซตของนิมเบอร์ที่น้อยกว่า2 จะสร้างสนาม Galois GF(2 )อันดับ  2 ดังนั้น เซตของนิมเบอร์จำกัดจะมีไอโซมอร์ฟิกกับลิมิตตรงเมื่อn → ∞ของสนามGF(2 )สนามย่อยนี้ไม่ได้ปิดทางพีชคณิต เนื่องจากไม่มีสนามGF(2 )ที่kไม่ใช่กำลัง 2 อยู่ในสนามใดๆ เหล่านี้ ดังนั้นจึงไม่ได้อยู่ในลิมิตตรงของสนามเหล่านั้น ตัวอย่างเช่น พหุนามx + x + 1ซึ่งมีรากในGF(2 )ไม่มีรากในเซตของนิมเบอร์จำกัด

เช่นเดียวกับกรณีของการบวกเลข มีวิธีการคำนวณผลคูณเลขของเลขลำดับจำกัด ซึ่งกำหนดโดยกฎที่

1. ผลคูณเลขของกำลังแฟร์มาต์ 2 (ตัวเลขในรูปแบบ2 ) ที่มีจำนวนน้อยกว่าจะเท่ากับผลคูณสามัญของตัวเลขเหล่านั้น
2. กำลังสองของแฟร์มาต์ยกกำลัง 2 - xมีค่าเท่ากับ3 x /2เมื่อประเมินภายใต้การคูณสามัญของจำนวนธรรมชาติ

ฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตที่เล็กที่สุดของนิมเบอร์คือเซตของนิมเบอร์ที่น้อยกว่าลำดับω โดยที่ωคือลำดับอนันต์ที่เล็กที่สุด ดังนั้น ในฐานะนิมเบอร์ω จึงเป็นทรานเซนเดนทัลเหนือฟิลด์

ตารางต่อไปนี้แสดงการบวกและการคูณระหว่างเลข 16 หลักแรก

เซ็ตย่อยนี้ถูกปิดภายใต้การดำเนินการทั้งสอง เนื่องจาก 16 มีรูปแบบ  2 ( หากคุณต้องการตารางข้อความธรรมดา โปรดดูที่นี่ )

• จำนวนเหนือจริง