ครอบงำ

ตัวอย่างเกม Domineering ที่เล่นบนกระดานขนาด 5x5 โดยผู้เล่นแนวนอน ("H" หรือ "ขวา") เป็นผู้เดินหมากคนแรก และแพ้ในรอบที่ 13
ประเภท	เกมแบบใช้แผ่นกระเบื้อง
ผู้เล่น	2
โอกาส	ไม่มี
ทักษะ	กลยุทธ์

เกมโดมิโน (หรือเรียกอีกอย่างว่าสต็อป-เกตหรือครอสแครม ) เป็นเกมทางคณิตศาสตร์ที่สามารถเล่นได้บนแผ่นกระดาษกราฟ ที่มีช่องสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใดก็ได้ ตัวอย่างเช่น สามารถเล่นได้บนสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 6x6 สี่เหลี่ยมผืนผ้า โพลีโอมีโนหรือส่วนประกอบใดๆ ก็ได้ ผู้เล่นสองคนมีโดมิโน จำนวนหนึ่ง ซึ่งพวกเขาจะวางลงบนตารางทีละตัว โดยปิดบังช่องสี่เหลี่ยมทีละช่อง ผู้เล่นคนหนึ่งวางโดมิโนในแนวตั้ง ขณะที่อีกคนวางในแนวนอน (ตามธรรมเนียมแล้ว ผู้เล่นเหล่านี้จะเรียกว่า "ซ้าย" และ "ขวา" ตามลำดับ หรือ "V" และ "H" ทั้งสองแบบใช้ในบทความนี้) เช่นเดียวกับเกมส่วนใหญ่ ใน ทฤษฎีเกมเชิงผสมผู้เล่นคนแรกที่ไม่สามารถขยับได้จะเป็นผู้แพ้

Domineering เป็นเกมฝ่ายเดียวที่ผู้เล่นใช้ตัวหมากต่างกัน ส่วนเวอร์ชัน ที่ไม่ลำเอียงของเกมนี้คือCram

นอกเหนือจากเกมที่ว่างเปล่าซึ่งไม่มีตารางแล้ว เกมที่ง่ายที่สุดคือเกมที่มีช่องสี่เหลี่ยมเพียงช่องเดียว

ในทั้งสองเกม เห็นได้ชัดว่าผู้เล่นทั้งสองฝ่ายไม่สามารถขยับได้ เนื่องจากเป็นการชนะของผู้เล่นคนที่สอง เกมเหล่านี้จึงนับเป็นศูนย์เกม

เกมนี้เป็นตาราง 2x1 มีข้อตกลงในการกำหนดค่าบวก ให้กับเกม เมื่อฝ่ายซ้ายชนะ และ ค่า ลบเมื่อฝ่ายขวาชนะ ในกรณีนี้ ฝ่ายซ้ายไม่มีตาเดิน ในขณะที่ฝ่ายขวาสามารถวางโดมิโนเพื่อปิดกระดานทั้งหมด ทำให้ไม่มีอะไรเหลือ ซึ่งเห็นได้ชัดว่าเป็นเกมที่ได้ศูนย์ ดังนั้นใน สัญลักษณ์ ตัวเลขเหนือจริงเกมนี้จึงเป็น {|0} = −1 ซึ่งสมเหตุสมผล เพราะตารางนี้ทำให้ฝ่ายขวาได้เปรียบ 1 ตาเดิน

เกมนี้ยังมีค่า {|0} = −1 ด้วย เนื่องจากกล่องเดียวเล่นไม่ได้

ตารางนี้เป็นกรณีแรกของการเลือก ฝ่ายขวาอาจเลือกเล่นช่องซ้ายสองช่อง เหลือ −1 ช่องขวาสุดก็เหลือ −1 เช่นกัน เขาอาจเลือกเล่นช่องกลางสองช่อง เหลือช่องเดี่ยวสองช่อง ตัวเลือกนี้เหลือ 0+0 = 0 ดังนั้นเกมนี้สามารถแสดงได้เป็น {|0,−1} ซึ่งคือ −2 ถ้าเล่นเกมนี้ร่วมกับเกมอื่น ๆ ฝ่ายขวาจะได้เดินฟรีสองครั้ง

คอลัมน์แนวตั้งจะถูกประเมินในลักษณะเดียวกัน หากมีแถวที่มีช่อง 2n หรือ 2n + 1 ช่อง จะนับเป็น −n ส่วนคอลัมน์ ที่มีขนาดดังกล่าวจะนับเป็น + n

นี่เป็นเกมที่ซับซ้อนกว่า ถ้าฝ่ายซ้ายเดินก่อน การเดินแต่ละครั้งจะเหลือช่อง 1×2 ซึ่งก็คือ +1 ในทางกลับกัน ฝ่ายขวาสามารถเดินไปที่ −1 ได้ ดังนั้น สัญลักษณ์ของ จำนวนเหนือจริงคือ {1|−1} อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่จำนวนเหนือจริง เพราะ 1 > −1 นี่คือเกม ไม่ใช่ตัวเลข สัญลักษณ์สำหรับสิ่งนี้คือ ±1 และมันเป็นเกมที่ร้อนแรงเพราะผู้เล่นแต่ละคนต้องการเดินมาถึงจุดนี้

นี่คือตาราง 2×3 ซึ่งซับซ้อนยิ่งกว่า แต่เช่นเดียวกับเกม Domineering ใดๆ ก็ตาม มันสามารถแยกย่อยได้โดยการดูว่าการเคลื่อนไหวต่างๆ ของฝ่ายซ้ายและฝ่ายขวาเป็นอย่างไร ฝ่ายซ้ายสามารถเลือกคอลัมน์ซ้าย (หรือเทียบเท่ากับคอลัมน์ขวา) และขยับไปที่ ±1 แต่เห็นได้ชัดว่าการแบ่งตรงกลางออกเป็นสองเกมแยกกัน โดยแต่ละเกมมีค่า +1 นั้นเป็นความคิดที่ดีกว่า ดังนั้นการเคลื่อนไหวที่ดีที่สุดของฝ่ายซ้ายคือการขยับไปที่ +2 ฝ่ายขวามีการเคลื่อนไหวที่ "แตกต่างกัน" สี่แบบ แต่ทั้งหมดจะทำให้เกิดรูปร่างต่อไปนี้เมื่อหมุนไปในทิศทาง ใดทิศทางหนึ่ง :

เกมนี้ไม่ใช่เกมร้อน (หรือเรียกว่าเกมเย็น ) เพราะการเดินแต่ละครั้งจะส่งผลเสียต่อผู้เล่นที่เดิน ดังที่เราสามารถเห็นได้จากการพิจารณาการเดินแต่ละครั้ง ฝ่ายซ้ายสามารถเดินไปที่ −1 ฝ่ายขวาสามารถเดินไปที่ 0 หรือ +1 ดังนั้นเกมนี้จึงเป็น {−1|0,1} = {−1|0} = − 1 ⁄ 2

ตาราง 2×3 ของเราคือ {2|− 1 ⁄ 2 } ซึ่งสามารถแสดงได้ด้วยค่าเฉลี่ย3 ⁄ 4พร้อมกับโบนัสสำหรับการเคลื่อนที่ ("อุณหภูมิ") 1+1/4ดังนั้น :​${\displaystyle \textstyle \left\{2\left|-{\frac {1}{2}}\right.\right\}={\frac {3}{4}}\pm {\frac {5}{4}}}$

สถาบันวิจัยวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ได้จัดการแข่งขัน หมากรุกชิงชัย โดยมีเงินรางวัล 500 ดอลลาร์สำหรับผู้ชนะ เกมนี้เล่นบนกระดานขนาด 8x8 ผู้ชนะคือนักคณิตศาสตร์ แดน คาลิสเทรต ซึ่งเอาชนะเดวิด วูล์ฟในรอบชิงชนะเลิศ รายละเอียดของการแข่งขันนี้ปรากฏอยู่ในหนังสือGames of No Chance ของริชาร์ด เจ. โนวาคอฟสกี (หน้า 85)

ปัญหาหนึ่งเกี่ยวกับ Domineering คือการคำนวณกลยุทธ์ที่ชนะสำหรับกระดานขนาดใหญ่ โดยเฉพาะกระดานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ในปี 2000 Dennis Breuker, Jos Uiterwijk และJaap van den Herikได้คำนวณและเผยแพร่วิธีแก้ปัญหาสำหรับกระดาน 8x8 ^{[ 1 ]}กระดาน 9x9 ตามมาในไม่ช้าหลังจากมีการปรับปรุงโปรแกรมของพวกเขา จากนั้นในปี 2002 Nathan Bullock ได้แก้ปัญหากระดาน 10x10 ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของวิทยานิพนธ์ของเขาเกี่ยวกับ Domineering ^{[ 2 ]}กระดาน 11x11 ได้รับการแก้ไขโดย Jos Uiterwijk ในปี 2016 ^{[ 3 ]}

การครอบงำถือเป็นชัยชนะของผู้เล่นคนแรกสำหรับกระดานสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 2x2, 3x3, 4x4, 6x6, 7x7, 8x8, 9x9, 10x10 และ 11x11 และชัยชนะของผู้เล่นคนที่สองสำหรับกระดานขนาด 1x1 และ 5x5 ค่าอื่นๆ ที่ทราบสำหรับกระดานสี่เหลี่ยมผืนผ้าสามารถพบได้ในเว็บไซต์ของ Nathan Bullock ^{[ 4 ]}

เกม Cramเป็น เกมโดมิโนแบบ เป็นกลางที่ดัดแปลงมาจากเกม Domineering ความแตกต่างเพียงอย่างเดียวในกฎคือ ผู้เล่นแต่ละคนสามารถวางโดมิโนของตนในทิศทางใดก็ได้ ดูเหมือนจะเป็นเพียงความแตกต่างเล็กน้อยในกฎ แต่ส่งผลให้เกมแตกต่างไปอย่างสิ้นเชิง ซึ่งสามารถวิเคราะห์ได้ด้วยทฤษฎีบท Sprague– Grundy

• Blockbusting (เกม)เกมเชิงการจัดเรียงที่มีการนำการวิเคราะห์ไปประยุกต์ใช้กับ Domineering

• ด่านตรวจ ที่BoardGameGeek
• สามารถเล่นเวอร์ชันเต็มได้ที่ Pencil and Paper Games