โพลีโอมิโน

Q: การนับจำนวนโพลีโอมีโน

โพลีโอมีโนอิสระที่มี n = 2 ถึง 6 โดมิโน ฟรีตัวเดียว ทรอมิโน ฟรีสองตัว เทโทรมีโน ฟรีห้าชิ้น เพนโตมิโนอิสระ ทั้ง 12 ชิ้นระบายสีตามความสมมาตรของแต่ละชิ้น เฮกโซมิโน อิสระ 35 ชิ้นระบายสีตามสมมาตรของแต่ละชิ้น

Q: โพลีโอมีโนแบบอิสระ แบบด้านเดียว และแบบคงที่

มีวิธีทั่วไป 3 วิธีในการแยกแยะโพลีโอมีโนสำหรับการนับจำนวน: [ 8 ] [ 9 ]

โพลีโอมีโน (Polyomino)คือรูปทรงเรขาคณิตบนระนาบที่เชื่อมต่อกัน เกิดจากการนำ สี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วยจำนวนจำกัดมาต่อกันแบบขอบชนขอบ มันเป็นรูปทรงหลาย เหลี่ยม ที่มีเซลล์เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสอาจถือได้ว่าเป็นเซตย่อย ที่เชื่อมต่อกันและมีจำนวนจำกัด ของ การปูพื้น ด้วย สี่เหลี่ยมจัตุรัส ปกติ

โพลีโอมีโนถูกนำมาใช้ในปริศนายอด นิยม มาตั้งแต่ปี 1907 เป็นอย่างน้อย และการนับเพนโตมีโนมีย้อนไปถึงสมัยโบราณ^{[ 1 ]}ผลลัพธ์มากมายที่ใช้ชิ้นส่วนที่ทำจากสี่เหลี่ยมจัตุรัส 1 ถึง 6 ช่อง ได้รับการตีพิมพ์ครั้งแรกในFairy Chess Reviewระหว่างปี 1937 ถึง 1957 ภายใต้ชื่อ "ปัญหาการแบ่งส่วน" ชื่อโพลีโอมีโนถูกคิดค้นโดยSolomon W. Golombในปี 1953 ^{[ 2 ]}และได้รับความนิยมจากMartin Gardnerในคอลัมน์ " เกมคณิตศาสตร์ " ในScientific American เดือนพฤศจิกายน ^ปี 1960 [ ^{3 ]}

รูปทรง เรขาคณิตที่เกี่ยวข้องกับโพลีโอมีโน ได้แก่โพลีไอมอนด์ซึ่งเกิดจากรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า โพลีเฮกซ์ซึ่งเกิดจากรูปหกเหลี่ยม ปกติ และรูปทรงเรขาคณิต ระนาบอื่นๆ โพลีโอมีโนได้รับการขยายไปสู่มิติ ที่สูงขึ้น โดยการเชื่อมต่อลูกบาศก์เพื่อสร้างโพลีคิวบ์หรือไฮเปอร์คิวบ์เพื่อสร้างโพลีไฮเปอร์คิวบ์

ในฟิสิกส์เชิงสถิติการศึกษาโพลีโอมีโนและอะนาล็อกมิติสูงกว่า (ซึ่งมักถูกเรียกว่าสัตว์ตาข่ายในเอกสารนี้) จะถูกนำไปใช้กับปัญหาในฟิสิกส์และเคมี โพลีโอมีโนถูกใช้เป็นแบบจำลองของพอลิเมอร์แบบแตกแขนงและคลัสเตอร์การซึมผ่าน^{[ 4 ]}

โพลีโอมีโนยังปรากฏในพีชคณิตสลับเปลี่ยนในบริบทนี้ โพลีโอมีโนสามารถใช้เพื่อกำหนดอุดมคติทวินามที่สร้างขึ้นโดยไมเนอร์ 2 ภายในในวงแหวนพหุนามซึ่งตัวแปรสอดคล้องกับจุดยอดของโพลีโอมีโน ซึ่งเป็นการขยายอุดมคติดีเทอร์มิแนนต์แบบคลาสสิกของเมทริกซ์^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

เช่นเดียวกับปริศนามากมายในคณิตศาสตร์เพื่อความบันเทิง รูปทรงหลายเหลี่ยมคล้ายใบไม้ (polyominoes) ก่อให้เกิดปัญหา เชิงการจัดเรียงมากมายปัญหาพื้นฐานที่สุดคือการนับจำนวนรูปทรงหลายเหลี่ยมคล้ายใบไม้ที่มีขนาดที่กำหนด ไม่มีสูตรใดที่ค้นพบได้ ยกเว้นสำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมคล้ายใบไม้ประเภทพิเศษ มีการประมาณค่าอยู่บ้าง และมีอัลกอริทึมสำหรับการคำนวณค่าเหล่านั้น

โพลีโอมีโนที่มีรูนั้นไม่สะดวกสำหรับบางวัตถุประสงค์ เช่น ปัญหาการปูพื้น ในบางบริบท โพลีโอมีโนที่มีรูจะถูกยกเว้น โดยอนุญาตเฉพาะโพลีโอมีโนที่เชื่อมต่อกันแบบง่ายเท่านั้น^{[ 7 ]}

การนับจำนวนโพลีโอมีโน

โพลีโอมีโนอิสระที่มีn = 2 ถึง 6
โดมิโนฟรีตัวเดียว
ทรอมิโนฟรีสองตัว
เทโทรมีโนฟรีห้าชิ้น
เพนโตมิโนอิสระทั้ง 12 ชิ้นระบายสีตามความสมมาตรของแต่ละชิ้น
เฮกโซมิโนอิสระ 35 ชิ้นระบายสีตามสมมาตรของแต่ละชิ้น

โพลีโอมีโนแบบอิสระ แบบด้านเดียว และแบบคงที่

มีวิธีทั่วไป 3 วิธีในการแยกแยะโพลีโอมีโนสำหรับการนับจำนวน: ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

โพลีโอมีโน อิสระจะแตกต่างกันเมื่อไม่มีชิ้นใดเป็นการแปลงรูปทรงแบบแข็ง ( การเลื่อน การหมุนการสะท้อนหรือการสะท้อนแบบเลื่อน ) ของชิ้นอื่น (ชิ้นส่วนที่สามารถหยิบขึ้นมาพลิกได้) การเลื่อน การหมุน การสะท้อน หรือการสะท้อนแบบเลื่อนของโพลีโอมีโนอิสระจะไม่เปลี่ยนแปลงรูปทรงของมัน
โพลีโอมีโนแบบด้านเดียวจะแตกต่างกันเมื่อไม่มีชิ้นใดเป็นการเลื่อนหรือหมุนของชิ้นอื่น (ชิ้นส่วนที่ไม่สามารถพลิกกลับได้) การเลื่อนหรือหมุนโพลีโอมีโนแบบด้านเดียวจะไม่เปลี่ยนรูปร่างของมัน
โพลีโอมีโน แบบคงที่นั้นจะแตกต่างกันเมื่อไม่มีชิ้นใดเป็นการเลื่อนตำแหน่งของชิ้นอื่น (ชิ้นส่วนที่ไม่สามารถพลิกหรือหมุนได้) การเลื่อนตำแหน่งของโพลีโอมีโนแบบคงที่จะไม่ทำให้รูปร่างของมันเปลี่ยนแปลงไป

ตารางต่อไปนี้แสดงจำนวนของโพลีโอมีโนชนิดต่างๆ ที่มีจำนวน เซลล์ nเซลล์

n	ชื่อ	ฟรี			ด้านเดียว	ที่ตายตัว
n	ชื่อ	ทั้งหมด	มีรู	ไม่มีรู	ด้านเดียว	ที่ตายตัว
1	โมโนมิโน	1	0	1	1	1
2	โดมิโน	1	0	1	1	2
3	ทรอมิโน	2	0	2	2	6
4	เทโทรมีโน	5	0	5	7	19
5	เพนโตมิโน	12	0	12	18	63
6	เฮกโซมิโน	35	0	35	60	216
7	เฮปโตมิโน	108	1	107	196	760
8	อ็อกโตมิโน	369	6	363	704	2,725
9	โนโนมิโน	1,285	37	1,248	2,500	9,910
10	ดีโคมีโน	4,655	195	4,460	9,189	36,446
11	อันเดโคมิโน	17,073	979	16,094	33,896	135,268
12	โดเดโคมิโน	63,600	4,663	58,937	126,759	505,861
13	ไตรเดโคมิโน	238,591	21,474	217,117	476,270	1,903,890
ลำดับ OEIS		เอ000105	A001419	เอ000104	A000988	A001168

โพลีโอมีโนที่คงที่ได้รับการนับในปี 2004 จนถึงn = 56โดย Iwan Jensen ^{[ 10 ]}และในปี 2024 จนถึงn = 70โดย Gill Barequet และ Gil Ben-Shachar ^{[ 11 ]}

โพลีโอมีโนอิสระได้รับการนับในปี 2007 จนถึงn = 28โดย Tomás Oliveira e Silva ^{[ 12 ]}ในปี 2012 จนถึงn = 45โดย Toshihiro Shirakawa ^{[ 13 ]}ในปี 2023 จนถึงn = 50โดย John Mason ^{[ 14 ]}และในปี 2025 จนถึงn = 59โดย Toshihiro Shirakawa ^{[ 15 ]}

ลำดับ OEIS ข้างต้น ยกเว้น A001419 จะมีค่า 1 สำหรับจำนวนโพลีโอมีโนว่าง ซึ่งโพลีโอมีโนว่างคือโพลีโอมีโนที่ประกอบด้วยช่องสี่เหลี่ยมศูนย์ช่อง

สมมาตรของโพลีโอมีโน

กลุ่มไดเฮดรัลD₄คือกลุ่มสมมาตร( กลุ่มสมมาตร )ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส กลุ่มนี้ประกอบด้วยการหมุนสี่แบบและการสะท้อนสี่แบบ เกิดจากการสะท้อนสลับกันรอบ_แกนxและรอบเส้นทแยงมุม โพลีโอมีโนอิสระหนึ่งตัวจะสอดคล้องกับโพลีโอมีโนคงที่อย่างมากที่สุด 8 ตัว ซึ่งเป็นภาพของมันภายใต้สมมาตรของD₄ อย่างไรก็ตาม ภาพเหล่านั้นไม่จำเป็นต้องแตกต่างกัน ยิ่งโพลีโอมีโนอิสระมีสมมาตรมากเท่าใด จำนวนโพลีโอมีโนคงที่ที่แตกต่างกันก็ _จะยิ่งน้อยลงเท่านั้น ดังนั้น โพลีโอมีโนอิสระที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้สมมาตรที่ไม่ใช่สมมาตรพื้นฐานบางส่วนหรือทั้งหมดของD₄อาจสอดคล้องกับโพลีโอมีโนคงที่เพียง 4, 2 หรือ 1 ตัวเท่านั้น ในทางคณิตศาสตร์ โพลีโอมีโนอิสระเป็น_ชั้น_{สมมูล}ของโพ ลีโอมีโนคงที่ภายใต้กลุ่มD₄

โพลีโอมีโนมีสมมาตรที่เป็นไปได้ดังต่อไปนี้^{[ 16 ]}จำนวนช่องสี่เหลี่ยมขั้นต่ำที่จำเป็นในโพลีโอมีโนที่มีสมมาตรดังกล่าวจะระบุไว้ในแต่ละกรณี:

โพลีโอมีโนคงที่ 8 ชิ้นต่อโพลีโอมีโนอิสระ 1 ชิ้น:
- ไม่มีความสมมาตร (4)
โพลีโอมีโนคงที่ 4 ชิ้นต่อโพลีโอมีโนอิสระ 1 ชิ้น:
- สมมาตรแบบกระจกเงาเมื่อเทียบกับทิศทางเส้นตารางเส้นหนึ่ง (4)
- สมมาตรแบบกระจกเงาเมื่อเทียบกับเส้นทแยงมุม (3)
- สมมาตรการหมุน 2 เท่า: C ₂ (4)
โพลีโอมีโนคงที่ 2 ชิ้นต่อโพลีโอมีโนอิสระ 1 ชิ้น:
- สมมาตรตามทิศทางเส้นตารางทั้งสอง และด้วยเหตุนี้จึงมีสมมาตรการหมุน 2 เท่าด้วย: D ₂ (2) (เรียกอีกอย่างว่ากลุ่มสี่ไคลน์ )
- สมมาตรตามทิศทางแนวทแยงทั้งสองทิศทาง และด้วยเหตุนี้จึงมีสมมาตรการหมุน 2 เท่าด้วย: D ₂ (7)
- สมมาตรการหมุน 4 เท่า: C ₄ (8)
โพลีโอมีโนคงที่ 1 ตัว ต่อโพลีโอมีโนอิสระ 1 ตัว:
- ความสมมาตรทั้งหมดของสี่เหลี่ยมจัตุรัส: D ₄ (1)

ในทำนองเดียวกัน จำนวนของโพลีโอมีโนด้านเดียวจะขึ้นอยู่กับสมมาตรของโพลีโอมีโนดังนี้:

โพลีโอมีโนแบบด้านเดียว 2 ชิ้นต่อโพลีโอมีโนอิสระ 1 ชิ้น:
- ไม่มีความสมมาตร
- สมมาตรการหมุน 2 เท่า: C ₂
- สมมาตรการหมุน 4 เท่า: C ₄
โพลีโอมีโนด้านเดียว 1 ชิ้นต่อโพลีโอมีโนอิสระ 1 ชิ้น:
- ความสมมาตรทั้งหมดของสี่เหลี่ยมจัตุรัส: D ₄
- ความสมมาตรแบบกระจกเงาเมื่อเทียบกับทิศทางหนึ่งของเส้นตาราง
- สมมาตรแบบกระจกเงาเมื่อเทียบกับเส้นทแยงมุม
- สมมาตรเมื่อเทียบกับทิศทางเส้นตารางทั้งสองทิศทาง และด้วยเหตุนี้จึงมีสมมาตรการหมุน 2 เท่าด้วย: D ₂
- สมมาตรตามทิศทางแนวทแยงทั้งสองทิศทาง และด้วยเหตุนี้จึงมีสมมาตรการหมุน 2 เท่า: D ₂

ตารางต่อไปนี้แสดงจำนวนของโพลีโอมีโนที่มี ช่องสี่เหลี่ยม nช่อง เรียงลำดับตามกลุ่มสมมาตร

n	ไม่มี	กระจก90°	กระจก45°	ซี₂	ดี₂ 90°	D ₂ 45°	ซี₄	ดี₄
1	0	0	0	0	0	0	0	1
2	0	0	0	0	1	0	0	0
3	0	0	1	0	1	0	0	0
4	1	1	0	1	1	0	0	1
5	5	2	2	1	1	0	0	1
6	20	6	2	5	2	0	0	0
7	84	9	7	4	3	1	0	0
8	316	23	5	18	4	1	1	1
9	1,196	38	26	19	4	0	0	2
10	4,461	90	22	73	8	1	0	0
11	16,750	147	91	73	10	2	0	0
12	62,878	341	79	278	15	3	3	3
ลำดับ OEIS	A006749	A006746	A006748	A006747	A056877	A056878	A144553	A142886

^{[ 17 ]}

อัลกอริทึมสำหรับการแจงนับโพลีโอมีโนคงที่

อัลกอริทึมแบบอุปนัย

แต่ละโพลีโอมีโนที่มีขนาดn + 1 สามารถสร้างได้โดยการเพิ่มสี่เหลี่ยมจัตุรัสลงในโพลีโอมีโนที่มีขนาดnซึ่งนำไปสู่ขั้นตอนวิธีสำหรับการสร้างโพลีโอมีโนแบบอุปนัย

โดยง่ายที่สุด เมื่อกำหนดรายการโพลีโอมีโนที่มีขนาดn แล้วสามารถเพิ่มช่องสี่เหลี่ยมถัดจากโพลีโอมีโนแต่ละอันในตำแหน่งที่เป็นไปได้แต่ละตำแหน่ง และโพลีโอมีโนที่ได้ที่มีขนาดn + 1 จะถูกเพิ่มลงในรายการหากไม่ใช่ตัวซ้ำกับตัวที่พบแล้ว การปรับปรุงในการจัดลำดับการแจงนับและการทำเครื่องหมายช่องสี่เหลี่ยมที่อยู่ติดกันที่ไม่ควรนำมาพิจารณาจะช่วยลดจำนวนกรณีที่ต้องตรวจสอบหาตัวซ้ำ^{[ 18 ]}วิธีนี้สามารถใช้ในการแจงนับโพลีโอมีโนแบบอิสระหรือแบบคงที่ก็ได้

วิธีการที่ซับซ้อนกว่า ซึ่งอธิบายโดย Redelmeier นั้น ถูกนำไปใช้โดยผู้เขียนหลายคน ไม่เพียงแต่เพื่อนับจำนวนโพลีโอมีโน (โดยไม่จำเป็นต้องจัดเก็บโพลีโอมีโนขนาดn ทั้งหมด ไว้ในขนาด n+1 เพื่อแจงนับโพลีโอมีโนขนาดn +1) แต่ยังใช้เพื่อพิสูจน์ขอบเขตบนของจำนวนโพลีโอมีโนอีกด้วย แนวคิดพื้นฐานคือ เราเริ่มต้นด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสหนึ่งอัน และจากนั้นเพิ่มสี่เหลี่ยมจัตุรัสเข้าไปแบบวนซ้ำ ขึ้นอยู่กับรายละเอียด อาจนับโพลีโอมีโนขนาดn แต่ละอัน nครั้ง โดยเริ่มจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งn อัน หรืออาจจัดเรียงให้แต่ละอันนับเพียงครั้งเดียวก็ได้

วิธีที่ง่ายที่สุดคือการบวกสี่เหลี่ยมทีละช่อง เริ่มจากสี่เหลี่ยมช่องแรก กำหนดหมายเลขให้กับสี่เหลี่ยมที่อยู่ติดกันตามเข็มนาฬิกาจากด้านบน คือ 1, 2, 3 และ 4 จากนั้นเลือกหมายเลขระหว่าง 1 ถึง 4 แล้วบวกสี่เหลี่ยมที่ตำแหน่งนั้น กำหนดหมายเลขให้กับสี่เหลี่ยมที่อยู่ติดกันที่ยังไม่มีหมายเลข โดยเริ่มจาก 5 จากนั้นเลือกหมายเลขที่มากกว่าหมายเลขที่เลือกไว้ก่อนหน้านี้ แล้วบวกสี่เหลี่ยมนั้น ทำเช่นนี้ต่อไปเรื่อยๆ โดยเลือกหมายเลขที่มากกว่าหมายเลขของสี่เหลี่ยมปัจจุบัน บวกสี่เหลี่ยมนั้น แล้วกำหนดหมายเลขให้กับสี่เหลี่ยมที่อยู่ติดกันใหม่ เมื่อสร้างสี่เหลี่ยมครบn ช่อง ก็จะได้ n -omino หนึ่งอัน

วิธีนี้รับประกันว่าโพลีโอมีโนแต่ละอันที่กำหนดไว้จะถูกนับnครั้งพอดี โดยนับครั้งละหนึ่งช่องสำหรับช่องเริ่มต้นแต่ละช่อง สามารถปรับให้เหมาะสมยิ่งขึ้นได้โดยนับโพลีโอมีโนแต่ละอันเพียงครั้งเดียวแทนที่จะเป็นnครั้ง เริ่มจากช่องเริ่มต้น กำหนดให้เป็นช่องด้านล่างซ้ายของโพลีโอมีโน ไม่ต้องกำหนดหมายเลขให้กับช่องใดๆ ที่อยู่แถวล่าง หรืออยู่ทางซ้ายของช่องในแถวเดียวกัน นี่คือเวอร์ชันที่เรเดลไมเออร์อธิบายไว้

หากต้องการนับโพลีโอมีโนอิสระแทน ก็สามารถตรวจสอบสมมาตรหลังจากสร้าง โอมีโน n ตัวแต่ละตัวได้ อย่างไรก็ตาม การสร้างโพลีโอมีโนสมมาตรแยกต่างหาก (โดยใช้วิธีการที่แตกต่างออกไป) ^[²⁰^]จะเร็วกว่า^{[ 19 ]}และกำหนดจำนวนโพลีโอมีโนอิสระโดยใช้ทฤษฎีบทของ Burnside

วิธีเมทริกซ์ถ่ายโอน

ปัจจุบัน อัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดอยู่ในกลุ่มของกระบวนทัศน์เมทริกซ์การถ่ายโอน อาจเรียกสั้นๆ ว่าอัลกอริทึมเมทริกซ์การถ่ายโอน (TMA) Andrew Conway ^{[ 21 ]}เป็นคนแรกที่นำ TMA มาใช้ในช่วงทศวรรษ 1990 และคำนวณ 25 เทอมของลำดับโพลีโอมีโนคงที่ ( A001419ใน OEIS) Iwan Jensen ได้ปรับปรุงวิธีการของ Conway และนำ TMA มาใช้แบบขนานเป็นครั้งแรกในเอกสารสองฉบับในช่วงต้นทศวรรษ 2000 ^{[ 22 ]}^{[ 23 ]}เขาคำนวณได้ 56 เทอม ด้วยผลงานนี้ บางครั้ง TMA ก็ถูกเรียกว่าอัลกอริทึมของ Jensen ด้วยเช่นกัน ในปี 2024 Gill Barequet และนักศึกษาของเขา Gil Ben-Shachar ได้ทำการปรับปรุงอีกครั้งโดยการรัน TMA บนการหมุน 45° ของตารางสี่เหลี่ยม ซึ่งเป็นปัญหาที่เทียบเท่ากันแต่คำนวณได้ง่ายกว่า^{[ 24 ]}วิธีการนี้ครองสถิติการนับโพลีโอมีโนด้วยจำนวน 70 เทอม

โดยทั่วไปแล้ว วิธี TMA จะเร็วกว่าวิธีเดิมมาก แต่ก็ยังใช้เวลาเพิ่มขึ้นแบบเลขชี้กำลังตามnอยู่ดี โดยคร่าวๆ แล้ว วิธีนี้ทำได้โดยการกำหนดความกว้าง (ในกรณีของเส้นทแยงมุม จะกำหนดความกว้างตามแนวทแยงมุม) และนับจำนวนโพลีโอมีโนที่พอดีกับสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความกว้างนั้น หากทำเช่นนี้แล้ว ก็จำเป็นต้องติดตามเฉพาะขอบเขตของโพลีโอมีโนเท่านั้น และเนื่องจากโพลีโอมีโนหลายชิ้นสามารถสอดคล้องกับขอบเขตเดียวได้ วิธีนี้จึงเร็วกว่าการสร้างโพลีโอมีโนทุกชิ้น การทำซ้ำเช่นนี้สำหรับทุกความกว้างจะทำให้ได้โพลีโอมีโนทุกชิ้น

ถึงแม้ว่าอัลกอริทึมนี้จะมีประสิทธิภาพด้านเวลาในการทำงานที่ดีเยี่ยม แต่ข้อเสียคือมันใช้หน่วยความจำจำนวนมหาศาล ( ต้องใช้หน่วยความจำ หลาย กิกะไบต์ สำหรับ ค่า nที่มากกว่า 50) เขียนโปรแกรมได้ยากกว่าวิธีการอื่นๆ มาก และในปัจจุบันยังไม่สามารถนำมาใช้ในการนับจำนวนโพลีโอมีโนอิสระได้

การเติบโตแบบอะซิมโทติกของจำนวนโพลีโอมีโน

โพลีโอมีโนคงที่

ข้อโต้แย้งเชิงทฤษฎีและการคำนวณเชิงตัวเลขสนับสนุนการประมาณจำนวนโพลีโอมีโนคงที่ขนาด n

A_{n}\sim {\frac {c\lambda ^{n}}{n}}

โดยที่λ = 4.0626 และc = 0.3169 ^{[ 25 ]}อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์นี้ยังไม่ได้รับการพิสูจน์ และค่าของλและcเป็นเพียงค่าประมาณเท่านั้น

ผลลัพธ์ทางทฤษฎีที่ทราบกันนั้นไม่เฉพาะเจาะจงเท่ากับการประมาณการนี้ มีการพิสูจน์แล้วว่า

\lim _{n\rightarrow \infty }(A_{n})^{\frac {1}{n}}=\lambda

มีอยู่จริง กล่าวอีกนัยหนึ่งA _nเติบโตแบบเลขชี้กำลังขอบล่างที่ทราบดีที่สุดสำหรับλซึ่งพบในปี 2016 คือ 4.00253 ^{[ 26 ]}ขอบบนที่ทราบดีที่สุดคือλ < 4.5252 ^{[ 27 ]}

เพื่อกำหนดขอบเขตล่าง วิธีที่ง่ายแต่มีประสิทธิภาพสูงคือการต่อโพลีโอมีโนเข้าด้วยกัน กำหนดให้ช่องสี่เหลี่ยมบนขวาเป็นช่องสี่เหลี่ยมขวาสุดในแถวบนสุดของโพลีโอมีโน และกำหนดช่องสี่เหลี่ยมล่างซ้ายในทำนองเดียวกัน จากนั้น ช่องสี่เหลี่ยมบนขวาของโพลีโอมีโนขนาดn ใดๆ สามารถต่อกับช่องสี่เหลี่ยมล่างซ้ายของโพลีโอมีโนขนาดm ใดๆ เพื่อสร้างโพลีโอมีโนขนาด ( n + m ) ที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งพิสูจน์ได้ว่าA _n ·A _m ≤ A _{n + m}โดยใช้ความไม่เท่าเทียมกันนี้ เราสามารถแสดงได้ว่าλ ≥ ( A _n ) ^{1/ n}สำหรับทุกnการปรับปรุงขั้นตอนดังกล่าวร่วมกับข้อมูลสำหรับA _nทำให้ได้ขอบเขตล่างที่กล่าวไว้ข้างต้น

ขอบเขตบนได้มาจากการขยายวิธีการอุปนัยในการนับโพลีโอมีโน แทนที่จะเพิ่มสี่เหลี่ยมทีละช่อง จะเพิ่มกลุ่มสี่เหลี่ยมทีละกลุ่ม ซึ่งมักอธิบายว่าเป็นการเพิ่มกิ่งก้านโดยการพิสูจน์ว่า โอมีโน n ทุกตัว เป็นลำดับของกิ่งก้าน และโดยการพิสูจน์ขีดจำกัดของการรวมกันของกิ่งก้านที่เป็นไปได้ จะได้ขอบเขตบนของจำนวนโอ มีโน nตัว ตัวอย่างเช่น ในอัลกอริทึมที่อธิบายไว้ข้างต้น ในแต่ละขั้นตอนเราต้องเลือกตัวเลขที่มากกว่า และจะเพิ่มตัวเลขใหม่ไม่เกินสามตัว (เนื่องจากสี่เหลี่ยมที่ไม่มีหมายเลขไม่เกินสามช่องอยู่ติดกับสี่เหลี่ยมที่มีหมายเลข) สามารถใช้เพื่อให้ได้ขอบเขตบนที่ 6.75 โดยใช้กิ่งก้าน 2.8 ล้านกิ่งKlarnerและRivestได้ขอบเขตบนที่ 4.65 ^{[ 28 ]}ซึ่งต่อมาได้รับการปรับปรุงโดย Barequet และ Shalah เป็น 4.5252 ^{[ 27 ]}

โพลีโอมิโนฟรี

การประมาณค่าจำนวนโพลีโอมีโนคงที่และโพลีโอมีโนอิสระมีความสัมพันธ์กันในลักษณะง่ายๆ โพลีโอมีโนอิสระที่ไม่มีสมมาตร (การหมุนหรือการสะท้อน) สอดคล้องกับโพลีโอมีโนคงที่ที่แตกต่างกัน 8 แบบ และสำหรับn ที่มีค่ามาก โพลีโอมีโน nส่วน ใหญ่ จะไม่มีสมมาตร ดังนั้น จำนวน โพลีโอมีโน n คงที่จึง มีค่าประมาณ 8 เท่าของจำนวนโพ ลีโอมีโน nอิสระ ยิ่งไปกว่านั้น การประมาณค่านี้จะมีความแม่นยำมากขึ้นแบบเลขชี้กำลังเมื่อnเพิ่มขึ้น^{[ 16 ]}

โพลีโอมิโนประเภทพิเศษ

เป็นที่ทราบกันดีว่ามีสูตรที่แน่นอนสำหรับการนับจำนวนโพลีโอมีโนในกลุ่มพิเศษ เช่น กลุ่ม โพลีโอ มีโนนูนและกลุ่มโพลีโอมีโน แบบมีทิศทาง

นิยามของ โพลีโอมีโน นูนนั้นแตกต่างจากนิยามปกติของความนูนแต่คล้ายกับนิยามที่ใช้สำหรับรูปทรงนูนเชิงตั้งฉากโพลีโอมีโนจะเรียกว่านูนในแนวตั้งหรือนูนตามคอลัมน์หากจุดตัดกับเส้นแนวตั้งใดๆ เป็นจุดนูน (กล่าวคือ แต่ละคอลัมน์ไม่มีรู) ในทำนองเดียวกัน โพลีโอมีโนจะเรียกว่านูนในแนวนอนหรือนูนตามแถวหากจุดตัดกับเส้นแนวนอนใดๆ เป็นจุดนูน โพลีโอมีโนจะเรียกว่านูนหากเป็นทั้งนูนตามแถวและนูนตามคอลัมน์^{[ 29 ]}

โพลีโอมีโนจะเรียกว่าเป็นโพลีโอมีโนแบบมีทิศทางหากโพลีโอมีโนนั้นประกอบด้วยช่องสี่เหลี่ยมช่องหนึ่ง ซึ่งเรียกว่ารากโดยที่ช่องสี่เหลี่ยมช่องอื่นๆ ทุกช่องสามารถเข้าถึงได้โดยการเคลื่อนที่ขึ้นหรือไปทางขวาหนึ่งช่อง โดยไม่หลุดออกจากโพลีโอมีโน

โพลีโอมีโนแบบมีทิศทาง^{[ 30 ]}โพลีโอมีโนนูนแบบคอลัมน์ (หรือแถว) ^{[ 31 ]}และโพลีโอมีโนนูน^{[ 32 ]}ได้รับการนับอย่างมีประสิทธิภาพโดยพื้นที่nเช่นเดียวกับพารามิเตอร์อื่นๆ เช่น เส้นรอบวง โดยใช้ฟังก์ชันสร้าง

โพลีโอมีโนจะเท่ากันก็ต่อเมื่อพื้นที่เท่ากับเส้นรอบรูป โพลีโอมีโนที่เท่ากันจะต้องสร้างจาก สี่เหลี่ยมจัตุรัส จำนวนคู่โดยจำนวนคู่ใดๆ ที่มากกว่า 15 ก็เป็นไปได้ ตัวอย่างเช่น โพลีโอมีโน 16 ช่องในรูปทรงสี่เหลี่ยมจัตุรัส 4 × 4 และโพลีโอมีโน 18 ช่องในรูปทรงสี่เหลี่ยมผืนผ้า 3 × 6 ต่างก็เท่ากัน สำหรับโพลีโอมีโนที่มีสี่เหลี่ยมจัตุรัส 15 ช่องหรือน้อยกว่านั้น เส้นรอบรูปจะมากกว่าพื้นที่เสมอ^{[ 33 ]}

การปูพื้นด้วยโพลีโอมีโน

ในคณิตศาสตร์เพื่อความบันเทิงมักมีการตั้งคำถามท้าทายเกี่ยวกับการปูพื้นพื้นที่ที่กำหนด หรือระนาบทั้งหมดด้วยโพลีโอมีโน^{[ 34 ]}และปัญหาที่เกี่ยวข้องจะได้รับการตรวจสอบในคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์

การปูพื้นพื้นที่ด้วยชุดของโพลีโอมีโน

ปริศนามักจะถามถึงการปูพื้นที่ที่กำหนดด้วยชุดของโพลีโอมีโนที่กำหนด เช่น เพนโตมีโน 12 ชิ้น หนังสือของ Golomb และ Gardner มีตัวอย่างมากมาย ปริศนาทั่วไปคือการปูพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด 6×10 ด้วยเพนโตมีโน 12 ชิ้น มีการค้นพบคำตอบ 2339 คำตอบในปี 1960 ^{[ 35 ]}ในกรณีที่อนุญาตให้มีโพลีโอมีโนหลายชุดในชุด Golomb ได้กำหนดลำดับชั้นของพื้นที่ต่างๆ ที่ชุดหนึ่งอาจสามารถปูพื้นได้ เช่น สี่เหลี่ยมผืนผ้า แถบ และระนาบทั้งหมด และแสดงให้เห็นว่าไม่สามารถตัดสินได้ว่าโพลีโอมีโนจากชุดที่กำหนดสามารถปูพื้นที่ระนาบได้หรือไม่โดยการแมปชุดของกระเบื้อง Wangไปยังชุดของโพลีโอมีโน^{[ 36 ]}

เนื่องจากปัญหาทั่วไปของการปูพื้นที่ของระนาบด้วยชุดของโพลีโอมีโนเป็นปัญหาNP-complete [ ^{37 ] การ}ปูพื้นด้วยชิ้นส่วนมากกว่าสองสามชิ้นจะกลายเป็นเรื่องยากที่จะจัดการได้อย่างรวดเร็ว ดังนั้นจึงจำเป็นต้องใช้ความช่วยเหลือจากคอมพิวเตอร์ วิธีการแบบดั้งเดิมในการปูพื้นที่ของระนาบที่มีขอบเขตจำกัดใช้วิธีการในวิทยาการคอมพิวเตอร์ที่เรียกว่าการย้อนกลับ^{[ 38 ]}

ในเกมซูโดกุจิ๊กซอว์ตารางสี่เหลี่ยมจะถูกปูด้วยพื้นที่รูปทรงโพลีโอมีโน (ลำดับA172477ในOEIS )

การปูพื้นที่ด้วยสำเนาของโพลีโอมีโนชิ้นเดียว

ปัญหาอีกประเภทหนึ่งถามว่าโพลีโอมีโนที่กำหนดให้สามารถปูสี่เหลี่ยมผืนผ้า ได้หรือ ไม่ และถ้าได้ จะสามารถปูสี่เหลี่ยมผืนผ้าใดได้บ้าง^{[ 39 ]}ปัญหาเหล่านี้ได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางสำหรับโพลีโอมีโนบางชนิด^{[ 40 ]}และมีตารางผลลัพธ์สำหรับโพลีโอมีโนแต่ละชนิด^{[ 41 ]} Klarnerและ Göbel แสดงให้เห็นว่าสำหรับโพลีโอมีโนใดๆ จะมีเซตจำกัดของ สี่เหลี่ยมผืนผ้า เฉพาะที่โพลีโอมีโนนั้นปูได้ โดยที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าอื่นๆ ทั้งหมดที่โพลีโอมีโนนั้นปูได้ สามารถปูได้ด้วยสี่เหลี่ยมผืนผ้าเฉพาะเหล่านั้น^{[ 42 ]}^{[ 43 ]} Kamenetsky และ Cooke แสดงให้เห็นว่าโพลีโอมีโนที่ไม่ทับซ้อนกัน (เรียกว่า "มีรู") ต่างๆ สามารถปูสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้อย่างไร^{[ 44 ]}

นอกเหนือจากรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแล้ว Golomb ยังให้ลำดับชั้นสำหรับโพลีโอมีโนเดี่ยว: โพลีโอมีโนอาจปูรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า แถบครึ่ง แถบโค้ง สำเนาที่ขยายใหญ่ขึ้นของตัวเอง ควอดแรนต์ แถบ ระนาบครึ่งระนาบทั้งหมด การรวมกันบางอย่าง หรือไม่ปูสิ่งใดเลย มีนัยยะบางอย่างระหว่างสิ่งเหล่านี้ ทั้งที่ชัดเจน (ตัวอย่างเช่น ถ้าโพลีโอมีโนปูระนาบครึ่งได้ ก็จะปูระนาบทั้งหมดได้) และไม่ชัดเจนนัก (ตัวอย่างเช่น ถ้าโพลีโอมีโนปูสำเนาที่ขยายใหญ่ขึ้นของตัวเองได้ ก็จะปูควอดแรนต์ได้) โพลีโอมีโนที่มีขนาดไม่เกิน 6 มีลักษณะเฉพาะในลำดับชั้นนี้ (โดยมีสถานะของเฮกโซมีโนหนึ่งตัว ซึ่งต่อมาพบว่าปูรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้ แต่ยังไม่ได้รับการแก้ไขในขณะนั้น) ^{[ 45 ]}

ในปี พ.ศ. 2544 คริสโตเฟอร์ มัวร์และจอห์น ไมเคิล ร็อบสัน แสดงให้เห็นว่าปัญหาการปูโพลีโอมีโนหนึ่งด้วยสำเนาของโพลีโอมีโนอีกอันหนึ่งนั้นเป็นปัญหา NP- complete ^{[ 46 ]}^{[ 47 ]}

การปูระนาบด้วยรูปหลายเหลี่ยมรูปเดียวซ้ำๆ กัน

การปูพื้นระนาบด้วยโพลีโอมีโนชิ้นเดียวก็ได้รับการถกเถียงกันอย่างมากเช่นกัน มีข้อสังเกตในปี 1965 ว่าโพลีโอมีโนทั้งหมดจนถึงเฮกโซมีโน^{[ 48 ]}และเฮปโตมีโนทั้งหมด ยกเว้นสี่ชิ้น สามารถปูพื้นระนาบได้^{[ 49 ]}จากนั้นเดวิด เบิร์ด ได้พิสูจน์ว่าอ็อกโตมีโนทั้งหมด ยกเว้น 26 ชิ้น สามารถปูพื้นระนาบได้^{[ 50 ]}รอว์สธอร์น พบว่าโพลีโอมีโนขนาด 9 ทั้งหมด ยกเว้น 235 ชิ้น สามารถ ปูพื้นได้ ^{[ 51 ]}และผลลัพธ์ดังกล่าวได้รับการขยายไปยังพื้นที่ที่ใหญ่กว่าโดยโรดส์ (ถึงขนาด 14) ^{[ 52 ]}และคนอื่นๆ โพลีโอมีโนที่ปูพื้นระนาบได้ถูกจัดประเภทตามสมมาตรของการปูพื้นและตามจำนวนแง่มุม (การวางแนว) ที่กระเบื้องปรากฏในนั้น^{[ 53 ]}^{[ 54 ]}

การศึกษาว่าโพลีโอมีโนใดสามารถปูระนาบได้นั้นได้รับการอำนวยความสะดวกโดยใช้เกณฑ์ของคอนเวย์ : ยกเว้นโนโนมีโนสองอัน โพลีโอมีโนที่ปูได้ทั้งหมดจนถึงขนาด 9 จะก่อให้เกิดพื้นที่อย่างน้อยหนึ่งช่องที่ตรงตามเกณฑ์นั้น โดยมีข้อยกเว้นสำหรับขนาดที่สูงกว่าบ่อยกว่า^{[ 55 ]}

โพลีโอมีโนหลายตัวสามารถปูทับสำเนาที่ใหญ่กว่าของตัวเองได้ และการทำซ้ำกระบวนการนี้แบบเรียกซ้ำจะให้การปูทับระนาบแบบrep-tileตัวอย่างเช่น สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ทุกตัว เป็นไปได้ที่จะรวม สำเนา $n 2$ ของ L-tromino, L-tetromino หรือ P-pentomino เข้าด้วยกันเป็นรูปร่างที่ใหญ่กว่าเพียงรูปเดียวที่คล้ายกับโพลีโอมีโนขนาดเล็กกว่าที่ใช้สร้างมันขึ้นมา^{[ 56 ]}

การปูพื้นรูปทรงเรขาคณิตทั่วไปด้วยโพลีโอมีโนชนิดต่างๆ

ค่าความเข้ากันได้ขั้นต่ำสำหรับเพน โตมิโนรูปตัว T และ W

ปัญหาความเข้ากันได้คือการนำโพลีโอมีโนสองตัวขึ้นไปมา แล้วหาภาพที่สามารถปูด้วยโพลีโอมีโนแต่ละตัวได้ ความเข้ากันได้ของโพลีโอมีโนได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางตั้งแต่ทศวรรษ 1990 Jorge Luis Mireles และ Giovanni Resta ได้เผยแพร่เว็บไซต์ที่มีผลลัพธ์ที่เป็นระบบ^{[ 57 ]}^{[ 58 ]}และ Livio Zucca แสดงผลลัพธ์สำหรับกรณีที่ซับซ้อนบางกรณี เช่น เพนโตมีโนสามแบบที่แตกต่างกัน^{[ 59 ]}ปัญหาทั่วไปอาจยาก ภาพที่เข้ากันได้ภาพแรกสำหรับเพนโตมีโน L และ X ได้รับการเผยแพร่ในปี 2005 และมีกระเบื้อง 80 ชิ้นของแต่ละชนิด^{[ 60 ]}โพลีโอมีโนหลายคู่ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าไม่เข้ากันโดยการตรวจสอบอย่างเป็นระบบ ยังไม่มีอัลกอริทึมใดที่ทราบสำหรับการตัดสินว่าโพลีโอมีโนสองตัวใดๆ เข้ากันได้หรือไม่

โพลีโอมีโนในปริศนาและเกม

นอกจากปัญหาการปูพื้นที่ที่อธิบายไว้ข้างต้นแล้ว ยังมีปริศนาคณิตศาสตร์เพื่อความบันเทิงที่ต้องพับโพลีโอมีโนเพื่อสร้างรูปทรงอื่นๆ^{[ 61 ]}^{[ 62 ]}การ์ดเนอร์เสนอเกมง่ายๆ หลายเกมโดยใช้เพนโตมีโนอิสระและกระดานหมากรุก^{[ 3 ]} ปริศนา ซูโดกุบางรูปแบบใช้พื้นที่รูปทรงโนโนมีโนบนตาราง เกมวิดีโอTetrisใช้เทโทรมีโนแบบด้านเดียวเจ็ดชิ้น (สะกดว่า "Tetriminos" ในเกม) และเกมกระดานBlokusใช้โพลีโอมีโนอิสระทั้งหมดจนถึงเพนโตมีโน

นิรุกติศาสตร์

คำว่าpolyominoและชื่อของขนาดต่างๆ ของ polyomino ล้วนเป็นคำที่มาจากคำว่าdominoซึ่งเป็นชิ้นส่วนเกมทั่วไปที่ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมสองอัน เชื่อกันว่าชื่อdominoสำหรับชิ้นส่วนเกมนี้มาจากเสื้อผ้างานแสดงลายจุดdomino ซึ่ง มาจากภาษาละตินdominus ^{[ 63 ]}แม้จะมีที่มาของคำนี้ แต่ในการตั้งชื่อ polyomino ตัวอักษรตัวแรกd-ของdominoกลับถูกตีความอย่างมีจินตนาการว่าเป็นคำนำหน้าdi- ที่ หมายถึง "สอง" และถูกแทนที่ด้วยคำนำ หน้าตัวเลข อื่นๆ

ดูเพิ่มเติม

ทฤษฎีการซึมผ่าน (Percolation theory ) คือการศึกษาทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับเซตย่อยแบบสุ่มของตารางจำนวนเต็ม ส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันอย่างจำกัดของเซตย่อยเหล่านี้จะก่อตัวเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยม (polyominoes)
แผนภาพยัง (Young diagram ) คือโพลีโอมีโนชนิดพิเศษที่ใช้ในทฤษฎีจำนวนเพื่ออธิบายการแบ่งส่วนของจำนวนเต็ม และในทฤษฎีกลุ่มและการประยุกต์ใช้ในฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์เพื่ออธิบายการแสดงแทนของกลุ่มสมมาตร
Blokusเกมกระดานที่ใช้ตัวต่อรูปทรงหลายเหลี่ยม (polyominoes)
สแควร์กราฟ (Squaregraph) เป็นกราฟแบบไม่มีทิศทางชนิดหนึ่ง ซึ่งรวมถึงกราฟของจุดยอดและขอบของโพลีโอมีโน (Polyominoes) เป็นกรณีพิเศษ
โพลีคิวบ์ซึ่งเป็นสิ่งที่เทียบเคียงได้ในรูปแบบสามมิติ

หมายเหตุ

^ Golomb ( Polyominoes , คำนำฉบับพิมพ์ครั้งแรก) เขียนว่า "ข้อสังเกตที่ว่ามีรูปแบบที่แตกต่างกันสิบสองแบบ (pentominoes) ที่สามารถสร้างขึ้นได้จากหินห้าก้อนที่เชื่อมต่อกันบน กระดาน โกะ ... เป็นสิ่งที่เชื่อกันว่าเป็นผลงานของปรมาจารย์โบราณของเกมนั้น"
^ Golomb, Solomon W. (1994). Polyominoes (ฉบับที่ 2). Princeton, New Jersey: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02444-8.
^ ^a^b Gardner, M. (พฤศจิกายน 1960). "เพิ่มเติมเกี่ยวกับรูปทรงที่สามารถสร้างได้ด้วยโดมิโนที่ซับซ้อน (เกมคณิตศาสตร์)" Scientific American . 203 (5): 186– 201. doi : 10.1038/scientificamerican1160-186 . JSTOR 24940703 .
^ Whittington, SG; Soteros, CE (1990). "Lattice Animals: Rigorous Results and Wild Guesses". ใน Grimmett, G.; Welsh, D. (eds.). Disorder in Physical Systems . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด.
^ J. Herzog, T. Hibi, H. Ohsugi,อุดมคติทวินาม , ตำราระดับบัณฑิตศึกษาทางคณิตศาสตร์ 279, Springer, 2018, บทที่ 8
^ AA Qureshi, “Ideals generated by 2-minors, collections of cells and stack polyominoes”, Journal of Algebra 357 (2012), 279–303.
^ Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987). Tilings and Patterns . นิวยอร์ก: WH Freeman and Company. ISBN 978-0-7167-1193-3.
^ Redelmeier, D. Hugh (1981). "การนับโพลีโอมีโน: การโจมตีอีกครั้งหนึ่ง"คณิตศาสตร์ดิสครีต 36 ( 2): 191– 203. doi : 10.1016/0012-365X(81)90237-5 .
^โกลอมบ์ บทที่ 6
^ Iwan Jensen. "ชุดภาพสัตว์แบบตาข่ายหรือโพลีโอมีโน" . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2007-06-12 . เรียกดูเมื่อ2007-05-06 .
^ Barequet, Gill; Ben-Shachar, Gil (มกราคม 2024). "การนับโพลีโอมีโนส์ ฉบับปรับปรุงใหม่" . รายงานการประชุมสัมมนาด้านวิศวกรรมอัลกอริทึมและการทดลอง (ALENEX) ปี 2024 - การนับโพลีโอมีโนส์ ฉบับปรับปรุงใหม่ . สมาคมคณิตศาสตร์อุตสาหกรรมและประยุกต์. หน้า 133–143 . doi : 10.1137/1.9781611977929.10 . ISBN 978-1-61197-792-9.
^ Tomás Oliveira e Silva. "การนับจำนวนสัตว์บนการปูพื้นแบบยุคลิด {4,4}" . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2007-04-23 . เรียกดูเมื่อ2007-05-06 .
^ "ตารางเวทมนตร์ฮาร์มอนิก การนับจำนวนโพลีโอมีโนโดยพิจารณาสมมาตร" (PDF )
^ "การนับโพลีโอมีโนขนาด 50" (PDF )
^ Shirakawa, Toshihiro (2025). "การนับจำนวนโพลีโอมีโนจนถึงขนาด N=59". arXiv : 2510.22446 [ math.CO ].
^ ^a ^bเรเดลไมเออร์ ส่วนที่ 3
^ Redelmeier, D.Hugh (1981). "การนับโพลีโอมีโน: การโจมตีอีกครั้งหนึ่ง"คณิตศาสตร์ดิสครีต 36 ( 2): 191– 203. doi : 10.1016/0012-365X(81)90237-5 .
^โกลอมบ์, หน้า 73–79
^เรเดลไมเออร์ ส่วนที่ 4
^เรเดลไมเออร์ ส่วนที่ 6
^ Conway, Andrew (1995). "การนับอนุกรมการซึมผ่าน 2 มิติโดยวิธีแลตติซจำกัด: ทฤษฎี". Journal of Physics A: Mathematical and General . 28 (2): 335– 349. Bibcode : 1995JPhA...28..335C . doi : 10.1088/0305-4470/28/2/011 . Zbl 0849.05003 .
^ Jensen, Iwan (2001). "การนับจำนวนสัตว์และต้นไม้บนโครงตาข่าย". วารสารฟิสิกส์สถิติ 102 ( 1): 865– 881. arXiv : cond-mat/0007239 . Bibcode : 2001JSP...102..865J . doi : 10.1023/A:1004855020556 .
^ Jensen, Iwan (2003). การนับโพลีโอมีโน: การใช้งานแบบขนานสำหรับการประมวลผลแบบคลัสเตอร์การประชุมวิชาการนานาชาติว่าด้วยวิทยาการคอมพิวเตอร์ (ICCS) หน้า 203–212 . doi : 10.1007/3-540-44863-2_21
^ Barequet, Gill; Ben-Shachar, Gil (2003). การนับโพลีโอมีโนอีกครั้ง . การประชุมสัมมนาด้านวิศวกรรมอัลกอริทึมและการทดลอง (SIAM). หน้า 133–143 . arXiv : 2310.20632 . doi : 10.1137/1.9781611977929.1 .
^ Jensen, Iwan; Guttmann, Anthony J. (2000). "สถิติของสัตว์บนโครงตาข่าย (โพลีโอมีโน) และรูปหลายเหลี่ยม". Journal of Physics A: Mathematical and General . 33 (29): L257– L263. arXiv : cond-mat/0007238v1 . Bibcode : 2000JPhA...33L.257J . doi : 10.1088/0305-4470/33/29/102 . S2CID 6461687 .
^ Barequet, Gill; Rote, Gunter; Shalah, Mira. "λ > 4: ขอบล่างที่ปรับปรุงแล้วของค่าคงที่การเติบโตของโพลีโอมีโน" Communications of the ACM . 59 (7): 88– 95. doi : 10.1145/2851485 .
^ ^a^b Barequet, Gill; Shalah, Mira (2022). "ขอบเขตบนที่ปรับปรุงแล้วสำหรับค่าคงที่การเติบโตของโพลีโอมีโนและโพลีคิวบ์" . Algorithmica . 84 (12): 3559– 3586. arXiv : 1906.11447 . doi : 10.1007/s00453-022-00948-6 .
^ Klarner, DA; Rivest, RL (1973). "ขั้นตอนการปรับปรุงขอบเขตบนสำหรับจำนวนn -ominoes" (PDF)วารสารคณิตศาสตร์แคนาดา 25 ( 3): 585– 602. CiteSeerX 10.1.1.309.9151 . doi : 10.4153/CJM-1973-060-4 . S2CID 121448572.เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF ของรายงานทางเทคนิค)เมื่อ 2006-11-26 . สืบค้นเมื่อ2007-05-11 .
^ Wilf, Herbert S. (1994). Generatingfunctionology (ฉบับที่ 2). บอสตัน, แมสซาชูเซตส์: Academic Press. หน้า 151. ISBN 978-0-12-751956-2. Zbl 0831.05001 .
^ Bousquet-Mélou, Mireille (1998). "ผลลัพธ์การนับใหม่เกี่ยวกับสัตว์ที่มีทิศทางในสองมิติ"คณิตศาสตร์ดิสครีต 180 ( 1– 3 ): 73– 106. doi : 10.1016/S0012-365X(97)00109-X .
^ Delest, M.-P. (1988). "ฟังก์ชันก่อกำเนิดสำหรับโพลีโอมีโนนูนคอลัมน์"วารสารทฤษฎีเชิงการจัดเรียง, ชุด A . 48 (1): 12– 31. doi : 10.1016/0097-3165(88)90071-4 .
^ Bousquet-Mélou, Mireille ; Fédou, Jean-Marc (1995). "ฟังก์ชันก่อกำเนิดของโพลีโอมีโนนูน: การแก้ ระบบ q -differential" . Discrete Mathematics . 137 ( 1– 3): 53– 75. doi : 10.1016/0012-365X(93)E0161-V .
↑ Picciotto, Henri (1999), Geometry Labs , MathEducationPage.org, p. 208.
^ Martin, George E. (1996). Polyominoes: A guide to puzzles and problems in tiling (ฉบับที่ 2). Mathematical Association of America . ISBN 978-0-88385-501-0.
^ CB Haselgrove; Jenifer Haselgrove (ตุลาคม 1960). "โปรแกรมคอมพิวเตอร์สำหรับเพนโตมิโน" (PDF) . Eureka . 23 : 16– 18.
^ Golomb, Solomon W. (1970). "การปูพื้นด้วยชุดของโพลีโอมีโน" . วารสารทฤษฎีเชิงการจัดเรียง . 9 : 60– 71. doi : 10.1016/S0021-9800(70)80055-2 .
^ ED Demaine; ML Demaine (มิถุนายน 2007). "จิ๊กซอว์, การจับคู่ขอบ และการจัดเรียงโพลีโอมีโน: ความเชื่อมโยงและความซับซ้อน" . Graphs and Combinatorics . 23 : 195– 208. doi : 10.1007/s00373-007-0713-4 . S2CID 17190810 .
^ SW Golomb; LD Baumert (1965). "การเขียนโปรแกรมแบบย้อนกลับ" . วารสาร ACM . 12 (4): 516– 524. doi : 10.1145/321296.321300 .
^โกลอมบ์,โพลีโอมิโนส์ , บทที่ 8
^ Reid, Michael. "เอกสารอ้างอิงสำหรับโพลีโอมีโนที่แก้ไขได้" . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2004-01-16 . เรียกดูเมื่อ2007-05-11 .
^ Reid, Michael. "รายชื่อสี่เหลี่ยมผืนผ้าเฉพาะที่รู้จักสำหรับโพลีโอมีโนชนิดต่างๆ" . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2007-04-16 . เรียกดูเมื่อ2007-05-11 .
↑คลาร์เนอร์, ดา; โกเบล, เอฟ. (1969). "บรรจุกล่องที่มีตัวเลขตรงกัน". ข้อมูลคณิตศาสตร์ . 31 : 465– 472.
^ Klarner, David A. (กุมภาพันธ์ 1973). "ทฤษฎีบทฐานจำกัดฉบับปรับปรุงใหม่" (PDF) . รายงานทางเทคนิคของมหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด STAN-CS-73–338. เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 2007-10-23 . สืบค้นเมื่อ2007-05-12 .
^ Kamenetsky, Dmitry; Cooke, Tristrom (2015). "การปูพื้นสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้วยโพลีโอมีโนที่มีรู". arXiv : 1411.2699 [ cs.CG ]
^ Golomb, Solomon W. (1966). "การปูด้วยโพลีโอมีโน" . วารสารทฤษฎีเชิงการจัดเรียง . 1 (2): 280– 296. doi : 10.1016/S0021-9800(66)80033-9 .
^ มัวร์, คริสโตเฟอร์ ; ร็อบสัน, จอห์น ไมเคิล (2001). "ปัญหาการปูกระเบื้องที่ยากด้วยกระเบื้องแบบง่าย" (PDF) . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 17 มิถุนายน 2013
^ Petersen, Ivars (25 กันยายน 1999), "Math Trek: การปูพื้นด้วยโพลีโอมีโน" , Science News , เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 20 มีนาคม 2008 , เรียกดูเมื่อ11 มีนาคม 2012.
^ Gardner, Martin (กรกฎาคม 1965). "เกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างคณิตศาสตร์และรูปแบบที่เป็นระเบียบของศิลปะ Op art" Scientific American . 213 (1): 100– 104. doi : 10.1038/scientificamerican1265-100 .
^ Gardner, Martin (สิงหาคม 1965). "ความคิดเกี่ยวกับภารกิจในการสื่อสารกับสิ่งมีชีวิตที่มีสติปัญญาในโลกอื่น" Scientific American . 213 (2): 96– 100. doi : 10.1038/scientificamerican0865-96 .
^ Gardner, Martin (สิงหาคม 1975). "เพิ่มเติมเกี่ยวกับการปูระนาบ: ความเป็นไปได้ของโพลีโอมีโน โพลีไอมอนด์ และโพลีเฮกซ์" Scientific American . 233 (2): 112– 115. doi : 10.1038/scientificamerican0875-112 .
^ Rawsthorne, Daniel A. (1988). "ความซับซ้อนของการปูพื้นของn -ominoes ขนาดเล็ก ( n < 10)"คณิตศาสตร์ดิสครีต 70 : 71– 75. doi : 10.1016 /0012-365X(88)90081-7 .
^ Rhoads, Glenn C. (2003). การปูพื้นระนาบและการค้นหาโปรโตไทล์ที่ไม่เป็นคาบวิทยานิพนธ์ปริญญาเอก มหาวิทยาลัยรัตเกอร์ส
^ Grünbaum และ Shephard, ส่วนที่ 9.4
^ Keating, K.; Vince, A. (1999). "การปูระนาบด้วยโพลีโอมีโนไอโซเฮดรัล"เรขาคณิตแบบไม่ต่อเนื่องและเชิงคำนวณ 21 ( 4): 615– 630. doi : 10.1007/PL00009442 .
^ Rhoads, Glenn C. (2005). "การปูพื้นระนาบด้วยโพลีโอมีโน โพลีเฮกซ์ และโพลีไอมอนด์"วารสารคณิตศาสตร์เชิงคำนวณและประยุกต์174 (2): 329– 353. Bibcode : 2005JCoAM.174..329R . doi : 10.1016/j.cam.2004.05.002 .
↑นิซิกา, วิโอเรล (2003) "Rep-tiles กลับมาอีกครั้ง" การเลือกมวลพรอวิเดนซ์ RI: สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน หน้า 205– 217. นาย2027179 .
↑มิเรเลส, เจแอล, "โพลี²โอมิโน"
↑ "เรสต้า, จี., "โพลีโพลีโอมิโน"" . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2011-02-22 . เรียกดูเมื่อ2010-07-02 .
↑ "ซุกกา, แอล., "ทริปเปิล เพนโตมิโน"" . สืบค้นเมื่อ 2023-04-20 .
^ Barbans, Uldis; Cibulis, Andris; Lee, Gilbert; Liu, Andy; Wainwright, Robert (2005). "ทฤษฎีจำนวนโพลีโอมิโน (III)". ในCipra, Barry Arthur ; Demaine, Erik D.; Demaine, Martin L.; Rodgers, Tom (บรรณาธิการ). Tribute to a Mathemagician . Wellesley, MA: AK Peters. หน้า 131– 136. ISBN 978-1-56881-204-5.
^ Golomb, Solomon W. (7 เมษายน 1996). โพลีโอมีโน: ปริศนา รูปแบบ ปัญหา และการจัดเรียง . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน. หน้า 8. ISBN 978-0-691-02444-8.
^ Etzion, Tuvi (2020-12-28), "ปริศนาและการปูกระเบื้อง? อาณาจักรอันน่าหลงใหลของโซโลมอน โกลอมบ์" , ภูมิปัญญาของโซโลมอน , WORLD SCIENTIFIC, หน้า 145–160 , doi : 10.1142/9789811234378_0013 , ISBN 978-981-12-3436-1สืบค้นเมื่อ 2025-12-21{{citation}}: CS1 maint: พารามิเตอร์การทำงานพร้อม ISBN ( ลิงก์ )
^พจนานุกรมภาษาอังกฤษฉบับออก ซ์ฟ อร์ด ฉบับที่ 2 คำว่า domino

ลิงก์ภายนอก

การปูกระเบื้องสี่เหลี่ยมจตุรัสโพลีโอมิโนของคาร์ล ดาห์ลเคอ
การนำไปใช้และคำอธิบายวิธีการของเจนเซ่น
เอกสารที่อธิบายการประมาณค่าสมัยใหม่ (PS)
ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "โพลีโอมิโน" . แมทเวิลด์ .
MathPages – บันทึกเกี่ยวกับการนับจำนวนโพลีโอมีโนที่มีสมมาตรต่างๆ
รายชื่อโจทย์ปัญหาการวิเคราะห์ชิ้นส่วนใน Fairy Chess Review
Tetradsโดย Karl Scherer,โครงการสาธิต Wolfram

[1] Golomb ( Polyominoes , คำนำฉบับพิมพ์ครั้งแรก) เขียนว่า "ข้อสังเกตที่ว่ามีรูปแบบที่แตกต่างกันสิบสองแบบ (pentominoes) ที่สามารถสร้างขึ้นได้จากหินห้าก้อนที่เชื่อมต่อกันบน กระดาน โกะ ... เป็นสิ่งที่เชื่อกันว่าเป็นผลงานของปรมาจารย์โบราณของเกมนั้น"

[2] Golomb, Solomon W. (1994). Polyominoes (ฉบับที่ 2). Princeton, New Jersey: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02444-8.

[:1-3] Gardner, M. (พฤศจิกายน 1960). "เพิ่มเติมเกี่ยวกับรูปทรงที่สามารถสร้างได้ด้วยโดมิโนที่ซับซ้อน (เกมคณิตศาสตร์)" Scientific American . 203 (5): 186– 201. doi : 10.1038/scientificamerican1160-186 . JSTOR 24940703 .

[4] Whittington, SG; Soteros, CE (1990). "Lattice Animals: Rigorous Results and Wild Guesses". ใน Grimmett, G.; Welsh, D. (eds.). Disorder in Physical Systems . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด.

[5] J. Herzog, T. Hibi, H. Ohsugi,อุดมคติทวินาม , ตำราระดับบัณฑิตศึกษาทางคณิตศาสตร์ 279, Springer, 2018, บทที่ 8

[6] AA Qureshi, “Ideals generated by 2-minors, collections of cells and stack polyominoes”, Journal of Algebra 357 (2012), 279–303.

[7] Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987). Tilings and Patterns . นิวยอร์ก: WH Freeman and Company. ISBN 978-0-7167-1193-3.

[8] Redelmeier, D. Hugh (1981). "การนับโพลีโอมีโน: การโจมตีอีกครั้งหนึ่ง"คณิตศาสตร์ดิสครีต 36 ( 2): 191– 203. doi : 10.1016/0012-365X(81)90237-5 .

[9] โกลอมบ์ บทที่ 6

[10] Iwan Jensen. "ชุดภาพสัตว์แบบตาข่ายหรือโพลีโอมีโน" . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2007-06-12 . เรียกดูเมื่อ2007-05-06 .

[11] Barequet, Gill; Ben-Shachar, Gil (มกราคม 2024). "การนับโพลีโอมีโนส์ ฉบับปรับปรุงใหม่" . รายงานการประชุมสัมมนาด้านวิศวกรรมอัลกอริทึมและการทดลอง (ALENEX) ปี 2024 - การนับโพลีโอมีโนส์ ฉบับปรับปรุงใหม่ . สมาคมคณิตศาสตร์อุตสาหกรรมและประยุกต์. หน้า 133–143 . doi : 10.1137/1.9781611977929.10 . ISBN 978-1-61197-792-9.

[12] Tomás Oliveira e Silva. "การนับจำนวนสัตว์บนการปูพื้นแบบยุคลิด {4,4}" . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2007-04-23 . เรียกดูเมื่อ2007-05-06 .

[13] "ตารางเวทมนตร์ฮาร์มอนิก การนับจำนวนโพลีโอมีโนโดยพิจารณาสมมาตร" (PDF )

[14] "การนับโพลีโอมีโนขนาด 50" (PDF )

[15] Shirakawa, Toshihiro (2025). "การนับจำนวนโพลีโอมีโนจนถึงขนาด N=59". arXiv : 2510.22446 [ math.CO ].

[Redelmeier,_section_3-16] เรเดลไมเออร์ ส่วนที่ 3

[17] Redelmeier, D.Hugh (1981). "การนับโพลีโอมีโน: การโจมตีอีกครั้งหนึ่ง"คณิตศาสตร์ดิสครีต 36 ( 2): 191– 203. doi : 10.1016/0012-365X(81)90237-5 .

[18] โกลอมบ์, หน้า 73–79

[19] เรเดลไมเออร์ ส่วนที่ 4

[20] เรเดลไมเออร์ ส่วนที่ 6

[21] Conway, Andrew (1995). "การนับอนุกรมการซึมผ่าน 2 มิติโดยวิธีแลตติซจำกัด: ทฤษฎี". Journal of Physics A: Mathematical and General . 28 (2): 335– 349. Bibcode : 1995JPhA...28..335C . doi : 10.1088/0305-4470/28/2/011 . Zbl 0849.05003 .

[22] Jensen, Iwan (2001). "การนับจำนวนสัตว์และต้นไม้บนโครงตาข่าย". วารสารฟิสิกส์สถิติ 102 ( 1): 865– 881. arXiv : cond-mat/0007239 . Bibcode : 2001JSP...102..865J . doi : 10.1023/A:1004855020556 .

[23] Jensen, Iwan (2003). การนับโพลีโอมีโน: การใช้งานแบบขนานสำหรับการประมวลผลแบบคลัสเตอร์การประชุมวิชาการนานาชาติว่าด้วยวิทยาการคอมพิวเตอร์ (ICCS) หน้า 203–212 . doi : 10.1007/3-540-44863-2_21

[24] Barequet, Gill; Ben-Shachar, Gil (2003). การนับโพลีโอมีโนอีกครั้ง . การประชุมสัมมนาด้านวิศวกรรมอัลกอริทึมและการทดลอง (SIAM). หน้า 133–143 . arXiv : 2310.20632 . doi : 10.1137/1.9781611977929.1 .

[25] Jensen, Iwan; Guttmann, Anthony J. (2000). "สถิติของสัตว์บนโครงตาข่าย (โพลีโอมีโน) และรูปหลายเหลี่ยม". Journal of Physics A: Mathematical and General . 33 (29): L257– L263. arXiv : cond-mat/0007238v1 . Bibcode : 2000JPhA...33L.257J . doi : 10.1088/0305-4470/33/29/102 . S2CID 6461687 .

[26] Barequet, Gill; Rote, Gunter; Shalah, Mira. "λ > 4: ขอบล่างที่ปรับปรุงแล้วของค่าคงที่การเติบโตของโพลีโอมีโน" Communications of the ACM . 59 (7): 88– 95. doi : 10.1145/2851485 .

[:0-27] Barequet, Gill; Shalah, Mira (2022). "ขอบเขตบนที่ปรับปรุงแล้วสำหรับค่าคงที่การเติบโตของโพลีโอมีโนและโพลีคิวบ์" . Algorithmica . 84 (12): 3559– 3586. arXiv : 1906.11447 . doi : 10.1007/s00453-022-00948-6 .

[28] Klarner, DA; Rivest, RL (1973). "ขั้นตอนการปรับปรุงขอบเขตบนสำหรับจำนวนn -ominoes" (PDF)วารสารคณิตศาสตร์แคนาดา 25 ( 3): 585– 602. CiteSeerX 10.1.1.309.9151 . doi : 10.4153/CJM-1973-060-4 . S2CID 121448572.เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF ของรายงานทางเทคนิค)เมื่อ 2006-11-26 . สืบค้นเมื่อ2007-05-11 .

[W151-29] Wilf, Herbert S. (1994). Generatingfunctionology (ฉบับที่ 2). บอสตัน, แมสซาชูเซตส์: Academic Press. หน้า 151. ISBN 978-0-12-751956-2. Zbl 0831.05001 .

[30] Bousquet-Mélou, Mireille (1998). "ผลลัพธ์การนับใหม่เกี่ยวกับสัตว์ที่มีทิศทางในสองมิติ"คณิตศาสตร์ดิสครีต 180 ( 1– 3 ): 73– 106. doi : 10.1016/S0012-365X(97)00109-X .

[31] Delest, M.-P. (1988). "ฟังก์ชันก่อกำเนิดสำหรับโพลีโอมีโนนูนคอลัมน์"วารสารทฤษฎีเชิงการจัดเรียง, ชุด A . 48 (1): 12– 31. doi : 10.1016/0097-3165(88)90071-4 .

[32] Bousquet-Mélou, Mireille ; Fédou, Jean-Marc (1995). "ฟังก์ชันก่อกำเนิดของโพลีโอมีโนนูน: การแก้ ระบบ q -differential" . Discrete Mathematics . 137 ( 1– 3): 53– 75. doi : 10.1016/0012-365X(93)E0161-V .

[33] Picciotto, Henri (1999), Geometry Labs , MathEducationPage.org, p. 208.

[34] Martin, George E. (1996). Polyominoes: A guide to puzzles and problems in tiling (ฉบับที่ 2). Mathematical Association of America . ISBN 978-0-88385-501-0.

[35] CB Haselgrove; Jenifer Haselgrove (ตุลาคม 1960). "โปรแกรมคอมพิวเตอร์สำหรับเพนโตมิโน" (PDF) . Eureka . 23 : 16– 18.

[36] Golomb, Solomon W. (1970). "การปูพื้นด้วยชุดของโพลีโอมีโน" . วารสารทฤษฎีเชิงการจัดเรียง . 9 : 60– 71. doi : 10.1016/S0021-9800(70)80055-2 .

[37] ED Demaine; ML Demaine (มิถุนายน 2007). "จิ๊กซอว์, การจับคู่ขอบ และการจัดเรียงโพลีโอมีโน: ความเชื่อมโยงและความซับซ้อน" . Graphs and Combinatorics . 23 : 195– 208. doi : 10.1007/s00373-007-0713-4 . S2CID 17190810 .

[38] SW Golomb; LD Baumert (1965). "การเขียนโปรแกรมแบบย้อนกลับ" . วารสาร ACM . 12 (4): 516– 524. doi : 10.1145/321296.321300 .

[39] โกลอมบ์,โพลีโอมิโนส์ , บทที่ 8

[40] Reid, Michael. "เอกสารอ้างอิงสำหรับโพลีโอมีโนที่แก้ไขได้" . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2004-01-16 . เรียกดูเมื่อ2007-05-11 .

[41] Reid, Michael. "รายชื่อสี่เหลี่ยมผืนผ้าเฉพาะที่รู้จักสำหรับโพลีโอมีโนชนิดต่างๆ" . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2007-04-16 . เรียกดูเมื่อ2007-05-11 .

[42] คลาร์เนอร์, ดา; โกเบล, เอฟ. (1969). "บรรจุกล่องที่มีตัวเลขตรงกัน". ข้อมูลคณิตศาสตร์ . 31 : 465– 472.

[43] Klarner, David A. (กุมภาพันธ์ 1973). "ทฤษฎีบทฐานจำกัดฉบับปรับปรุงใหม่" (PDF) . รายงานทางเทคนิคของมหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด STAN-CS-73–338. เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 2007-10-23 . สืบค้นเมื่อ2007-05-12 .

[44] Kamenetsky, Dmitry; Cooke, Tristrom (2015). "การปูพื้นสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้วยโพลีโอมีโนที่มีรู". arXiv : 1411.2699 [ cs.CG ]

[45] Golomb, Solomon W. (1966). "การปูด้วยโพลีโอมีโน" . วารสารทฤษฎีเชิงการจัดเรียง . 1 (2): 280– 296. doi : 10.1016/S0021-9800(66)80033-9 .

[46] มัวร์, คริสโตเฟอร์ ; ร็อบสัน, จอห์น ไมเคิล (2001). "ปัญหาการปูกระเบื้องที่ยากด้วยกระเบื้องแบบง่าย" (PDF) . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 17 มิถุนายน 2013

[47] Petersen, Ivars (25 กันยายน 1999), "Math Trek: การปูพื้นด้วยโพลีโอมีโน" , Science News , เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 20 มีนาคม 2008 , เรียกดูเมื่อ11 มีนาคม 2012.

[48] Gardner, Martin (กรกฎาคม 1965). "เกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างคณิตศาสตร์และรูปแบบที่เป็นระเบียบของศิลปะ Op art" Scientific American . 213 (1): 100– 104. doi : 10.1038/scientificamerican1265-100 .

[49] Gardner, Martin (สิงหาคม 1965). "ความคิดเกี่ยวกับภารกิจในการสื่อสารกับสิ่งมีชีวิตที่มีสติปัญญาในโลกอื่น" Scientific American . 213 (2): 96– 100. doi : 10.1038/scientificamerican0865-96 .

[50] Gardner, Martin (สิงหาคม 1975). "เพิ่มเติมเกี่ยวกับการปูระนาบ: ความเป็นไปได้ของโพลีโอมีโน โพลีไอมอนด์ และโพลีเฮกซ์" Scientific American . 233 (2): 112– 115. doi : 10.1038/scientificamerican0875-112 .

[51] Rawsthorne, Daniel A. (1988). "ความซับซ้อนของการปูพื้นของn -ominoes ขนาดเล็ก ( n < 10)"คณิตศาสตร์ดิสครีต 70 : 71– 75. doi : 10.1016 /0012-365X(88)90081-7 .

[52] Rhoads, Glenn C. (2003). การปูพื้นระนาบและการค้นหาโปรโตไทล์ที่ไม่เป็นคาบวิทยานิพนธ์ปริญญาเอก มหาวิทยาลัยรัตเกอร์ส

[53] Grünbaum และ Shephard, ส่วนที่ 9.4

[54] Keating, K.; Vince, A. (1999). "การปูระนาบด้วยโพลีโอมีโนไอโซเฮดรัล"เรขาคณิตแบบไม่ต่อเนื่องและเชิงคำนวณ 21 ( 4): 615– 630. doi : 10.1007/PL00009442 .

[55] Rhoads, Glenn C. (2005). "การปูพื้นระนาบด้วยโพลีโอมีโน โพลีเฮกซ์ และโพลีไอมอนด์"วารสารคณิตศาสตร์เชิงคำนวณและประยุกต์174 (2): 329– 353. Bibcode : 2005JCoAM.174..329R . doi : 10.1016/j.cam.2004.05.002 .

[56] นิซิกา, วิโอเรล (2003) "Rep-tiles กลับมาอีกครั้ง" การเลือกมวลพรอวิเดนซ์ RI: สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน หน้า 205– 217. นาย2027179 .

[57] มิเรเลส, เจแอล, "โพลี²โอมิโน"

[58] "เรสต้า, จี., "โพลีโพลีโอมิโน"" . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2011-02-22 . เรียกดูเมื่อ2010-07-02 .

[59] "ซุกกา, แอล., "ทริปเปิล เพนโตมิโน"" . สืบค้นเมื่อ 2023-04-20 .

[60] Barbans, Uldis; Cibulis, Andris; Lee, Gilbert; Liu, Andy; Wainwright, Robert (2005). "ทฤษฎีจำนวนโพลีโอมิโน (III)". ในCipra, Barry Arthur ; Demaine, Erik D.; Demaine, Martin L.; Rodgers, Tom (บรรณาธิการ). Tribute to a Mathemagician . Wellesley, MA: AK Peters. หน้า 131– 136. ISBN 978-1-56881-204-5.

[61] Golomb, Solomon W. (7 เมษายน 1996). โพลีโอมีโน: ปริศนา รูปแบบ ปัญหา และการจัดเรียง . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน. หน้า 8. ISBN 978-0-691-02444-8.

[62] Etzion, Tuvi (2020-12-28), "ปริศนาและการปูกระเบื้อง? อาณาจักรอันน่าหลงใหลของโซโลมอน โกลอมบ์" , ภูมิปัญญาของโซโลมอน , WORLD SCIENTIFIC, หน้า 145–160 , doi : 10.1142/9789811234378_0013 , ISBN 978-981-12-3436-1สืบค้นเมื่อ 2025-12-21{{citation}}: CS1 maint: พารามิเตอร์การทำงานพร้อม ISBN ( ลิงก์ )

[63] พจนานุกรมภาษาอังกฤษฉบับออก ซ์ฟ อร์ด ฉบับที่ 2 คำว่า domino

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[

[ 19 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

37 ] การ

[ 38 ]

[ 39 ]

[ 40 ]

[ 41 ]

[ 42 ]

[ 43 ]

[ 44 ]

[ 45 ]

[ 46 ]

[ 47 ]

[ 48 ]

[ 49 ]

[ 50 ]

[ 51 ]

[ 52 ]

[ 53 ]

[ 54 ]

[ 55 ]

[ 56 ]

[ 57 ]

[ 58 ]

[ 59 ]

[ 60 ]

[ 61 ]

[ 62 ]

[ 63 ]