ในฟิสิกส์เชิงสถิติและคณิตศาสตร์ ทฤษฎีการซึมผ่าน ( percolation theory)อธิบายพฤติกรรมของเครือข่ายเมื่อมีการเพิ่มโหนดหรือลิงก์เข้าไป นี่เป็นปรากฏการณ์การเปลี่ยนสถานะทาง เรขาคณิตชนิด หนึ่ง เนื่องจากเมื่อถึงสัดส่วนวิกฤตของการเพิ่ม เครือข่ายของกลุ่มเล็กๆ ที่ไม่เชื่อมต่อกันจะรวมตัวกันเป็น กลุ่ม ที่เชื่อมต่อกัน ขนาดใหญ่ขึ้นอย่างเห็นได้ชัด ซึ่งเรียกว่ากลุ่มที่แผ่ขยาย (spanning clusters)

คำถามตัวอย่าง (และที่มาของชื่อ) มีดังนี้ สมมติว่าเทของเหลวลงบนวัสดุที่มีรูพรุนของเหลวนั้นจะสามารถไหลจากรูหนึ่งไปยังอีกรูหนึ่งและไปถึงด้านล่างได้หรือไม่? คำถามเชิงฟิสิกส์นี้ถูกจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นเครือข่ายสามมิติที่มี จุดยอด n × n × nจุดซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่า "ไซต์" โดยที่ขอบหรือ "พันธะ" ระหว่างจุดข้างเคียงแต่ละคู่ อาจเปิด (ยอมให้ของเหลวผ่านได้) ด้วยความน่าจะเป็นpหรือปิดด้วยความน่าจะเป็น1 – pและถือว่าแต่ละจุดเป็นอิสระต่อกัน ดังนั้น สำหรับค่าp ที่กำหนด ความน่าจะเป็นที่เส้นทางเปิด (หมายถึงเส้นทางที่แต่ละจุดเชื่อมต่อเป็นพันธะ "เปิด") จะมีอยู่จากด้านบนไปยังด้านล่างคือเท่าใด? พฤติกรรมสำหรับค่า  n ที่มาก เป็นสิ่งที่น่าสนใจเป็นอย่างยิ่ง ปัญหาดังกล่าวซึ่งปัจจุบันเรียกว่าการซึมผ่านของพันธะได้รับการนำเสนอในวรรณกรรมคณิตศาสตร์โดยBroadbent & Hammersley (1957) ^{[ 1 ]}และ^{ได้รับ}การศึกษาอย่างเข้มข้นโดยนักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

ในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างออกไปเล็กน้อยสำหรับการสร้างกราฟแบบสุ่ม ตำแหน่งหนึ่งจะ "ถูกครอบครอง" ด้วยความน่าจะเป็นpหรือ "ว่างเปล่า" (ในกรณีนี้ ขอบของตำแหน่งนั้นจะถูกลบออก) ด้วยความน่าจะเป็น1 – pปัญหาที่เกี่ยวข้องเรียกว่า การซึมผ่าน ของตำแหน่ง (site percolation ) คำถามยังคงเหมือนเดิม: สำหรับค่าp ที่กำหนด ความน่าจะเป็นที่เส้นทางจะอยู่ระหว่างจุดสูงสุดและจุดต่ำสุดคืออะไร? ในทำนองเดียวกัน เราสามารถถามได้ว่า เมื่อกำหนดกราฟที่เชื่อมต่อกันแล้ว ที่สัดส่วน1 – pของความล้มเหลวเท่าใด กราฟจะกลายเป็นกราฟที่ไม่เชื่อมต่อกัน (ไม่มีส่วนประกอบขนาดใหญ่)

คำถามเดียวกันนี้สามารถถามได้สำหรับมิติของโครงข่ายใดๆ ก็ได้ โดยทั่วไปแล้ว การตรวจสอบ โครงข่าย อนันต์ นั้นง่ายกว่าการตรวจสอบ โครงข่ายขนาดใหญ่ ในกรณีนี้ คำถามที่เกี่ยวข้องคือ: มีคลัสเตอร์เปิดอนันต์อยู่หรือไม่? กล่าวคือ มีเส้นทางของจุดที่เชื่อมต่อกันซึ่งมีความยาวอนันต์ "ผ่าน" โครงข่ายหรือไม่? ตามกฎศูนย์-หนึ่งของ Kolmogorovสำหรับค่าp ใดๆ ความน่าจะเป็นที่คลัสเตอร์อนันต์มีอยู่จะเป็นศูนย์หรือหนึ่ง เนื่องจากความน่าจะเป็นนี้เป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นของp (พิสูจน์โดยใช้ การอ้างเหตุผล แบบคู่ ) จึงต้องมีค่าpวิกฤต (แทนด้วย  p _c ) ซึ่งต่ำกว่าค่า p วิกฤต ความน่าจะเป็นจะเป็น 0 เสมอ และสูงกว่าค่า p วิกฤต ความน่าจะเป็นจะเป็น 1 เสมอ ในทางปฏิบัติ ภาวะวิกฤตนี้สังเกตได้ง่ายมาก แม้แต่สำหรับn ที่เล็กเพียง 100 ความน่าจะเป็นของเส้นทางเปิดจากด้านบนลงด้านล่างจะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วจากค่าใกล้เคียงศูนย์ไปจนถึง ค่า ใกล้เคียงหนึ่งในช่วงค่า  p สั้นๆ

ทฤษฎีFlory–Stockmayer (1941) ซึ่งศึกษาการเปลี่ยนไปสู่การเกิดเจลในปฏิกิริยาพอลิเมอไรเซชัน เป็นทฤษฎีแรกที่ตรวจสอบกระบวนการเพอร์โคเลชัน^{[ 2 ]}

ประวัติความเป็นมาของแบบจำลองการซึมผ่านอย่างที่เราทราบกันดีนั้นมีรากฐานมาจากอุตสาหกรรมถ่านหิน นับตั้งแต่การปฏิวัติอุตสาหกรรม ความสำคัญทางเศรษฐกิจของแหล่งพลังงานนี้ได้กระตุ้นให้เกิดการศึกษาทางวิทยาศาสตร์มากมายเพื่อทำความเข้าใจองค์ประกอบและเพิ่มประสิทธิภาพการใช้งาน ในช่วงทศวรรษ 1930 และ 1940 การวิเคราะห์เชิงคุณภาพโดยเคมีอินทรีย์ได้เปิดโอกาสให้มีการศึกษาเชิงปริมาณมากขึ้นเรื่อยๆ^{[ 3 ]}

ในบริบทนี้สมาคมวิจัยการใช้ถ่านหินแห่งอังกฤษ (BCURA) ก่อตั้งขึ้นในปี 1938 โดยเป็นสมาคมวิจัยที่ได้รับทุนสนับสนุนจากเจ้าของเหมืองถ่านหิน ในปี 1942 โรซาลินด์ แฟรงคลินซึ่งเพิ่งสำเร็จการศึกษาด้านเคมีจากมหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ ได้เข้าร่วม BCURA เธอเริ่มทำการวิจัยเกี่ยวกับความหนาแน่นและความพรุนของถ่านหิน ในช่วงสงครามโลกครั้งที่สอง ถ่านหินเป็นทรัพยากรเชิงยุทธศาสตร์ที่สำคัญ มันถูกใช้เป็นแหล่งพลังงาน แต่ยังเป็นส่วนประกอบหลักของหน้ากากป้องกันแก๊สพิษอีกด้วย

ถ่านหินเป็นวัสดุที่มีรูพรุน การวัดความหนาแน่น 'ที่แท้จริง' ของถ่านหินนั้น จำเป็นต้องจุ่มถ่านหินลงในของเหลวหรือก๊าซที่มีโมเลกุลขนาดเล็กพอที่จะเติมเต็มรูพรุนขนาดเล็กของถ่านหินได้ ในขณะที่พยายามวัดความหนาแน่นของถ่านหินโดยใช้ก๊าซหลายชนิด (ฮีเลียม เมทานอล เฮกเซน เบนซีน) และพบว่าค่าที่ได้แตกต่างกันไปตามชนิดของก๊าซที่ใช้ โรซาลินด์ แฟรงคลิน ได้แสดงให้เห็นว่ารูพรุนของถ่านหินนั้นประกอบด้วยโครงสร้างขนาดเล็กที่มีความยาวต่างกัน ซึ่งทำหน้าที่เป็นตะแกรงขนาดเล็กเพื่อแยกก๊าซต่างๆ ออกจากกัน เธอยังค้นพบอีกว่าขนาดของโครงสร้างเหล่านี้ขึ้นอยู่กับอุณหภูมิของการเกิดคาร์บอเนตในระหว่างการผลิตถ่านหิน ด้วยงานวิจัยนี้ เธอจึงได้รับปริญญาเอกและออกจาก BCURA ในปี 1946 ^{[ 4 ]}

ในช่วงกลางทศวรรษที่ 1950 ไซมอน บรอดเบนท์ ทำงานใน BCURA ในตำแหน่งนักสถิติ ในบรรดาความสนใจอื่นๆ เขาได้ศึกษาการใช้ถ่านหินในหน้ากากป้องกันแก๊สพิษ คำถามหนึ่งคือการทำความเข้าใจว่าของเหลวสามารถแพร่กระจายในรูพรุนของถ่านหินได้อย่างไร ซึ่งจำลองเป็นเขาวงกตแบบสุ่มของอุโมงค์เปิดหรือปิด ในปี 1954 ระหว่างการสัมมนาเกี่ยวกับวิธีการมอนเตคาร์โลเขาได้ตั้งคำถามกับจอห์น แฮมเมอร์สลีย์เกี่ยวกับการใช้วิธีการเชิงตัวเลขเพื่อวิเคราะห์แบบจำลองนี้^{[ 5 ]}

ในบทความปี 1957 บรอดเบนท์และแฮมเมอร์สลีย์ได้นำเสนอแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เพื่อจำลองปรากฏการณ์นี้ ซึ่งก็คือการซึมผ่าน (percolation)

สำหรับกราฟโครงข่ายอนันต์ส่วนใหญ่ ค่าp _cไม่สามารถคำนวณได้อย่างแม่นยำ แม้ว่าในบางกรณีจะมีค่าที่แน่นอนอยู่ก็ตาม ตัวอย่างเช่น:

• สำหรับโครงตาข่ายสี่เหลี่ยมจัตุรัสℤ ²ในสองมิติp _c = ⁠1/2สำหรับการแพร่กระจายของพันธะ ซึ่งเป็นข้อเท็จจริงที่เป็นคำถามเปิดมานานกว่า 20 ปี และในที่สุดก็ได้รับการแก้ไขโดย Harry Kestenในช่วงต้นทศวรรษ 1980 ^{[ 6 ]}ดู Kesten (1982)สำหรับการแพร่กระจายของไซต์บนโครงตาข่ายสี่เหลี่ยม ค่าของ p _cไม่เป็นที่ทราบจากการหาอนุพันธ์เชิงวิเคราะห์ แต่ทราบได้จากการจำลองโครงตาข่ายขนาดใหญ่เท่านั้น ซึ่งให้ค่าประมาณ p _c = 0.59274621 ± 0.00000013 ^{[ 7 ]}  
• กรณีจำกัดสำหรับแลตทิซในมิติสูงนั้นกำหนดโดยแลตทิซเบเธซึ่งมีเกณฑ์อยู่ที่p _c = ⁠1/z − 1สำหรับเลขการประสานงาน z กล่าวอีกนัยหนึ่ง คือ สำหรับ ต้นไม้ปกติที่มีดีกรี zจะเท่ากับz${\displaystyle z}$${\displaystyle p_{c}}$${\displaystyle 1/(z-1)}$

• สำหรับ เครือข่าย แบบสุ่มที่มีลักษณะคล้ายต้นไม้โดยไม่มีความสัมพันธ์ระหว่างดีกรี สามารถแสดงได้ว่าเครือข่ายดังกล่าวสามารถมีส่วนประกอบขนาดใหญ่ได้และเกณฑ์การซึมผ่าน (ความน่าจะเป็นในการส่งผ่าน) กำหนดโดย โดยที่คือฟังก์ชันก่อกำเนิดที่สอดคล้องกับการกระจายดีกรีส่วนเกินดังนั้น สำหรับเครือข่าย Erdős–Rényi แบบสุ่ม ที่มีดีกรีเฉลี่ยp _c = ⁠${\displaystyle p_{c}={\frac {1}{g_{1}'(1)}}}$${\displaystyle g_{1}(z)}$${\displaystyle \langle k\rangle }$1/⟨k⟩⁠ . ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}
• ในเครือข่ายที่มีการรวมกลุ่มต่ำจุดวิกฤตจะถูกปรับขนาดดังนี้:${\displaystyle 0<C\ll 1}$${\displaystyle (1-C)^{-1}}$

${\displaystyle p_{c}={\frac {1}{1-C}}{\frac {1}{g_{1}'(1)}}.}$^{[ 11 ]}

สิ่งนี้บ่งชี้ว่าสำหรับการกระจายระดับที่กำหนด การจัดกลุ่มจะนำไปสู่เกณฑ์การซึมผ่านที่ใหญ่ขึ้น ส่วนใหญ่เป็นเพราะสำหรับจำนวนลิงก์ที่คงที่ โครงสร้างการจัดกลุ่มจะเสริมความแข็งแกร่งให้กับแกนกลางของเครือข่ายโดยแลกกับการลดทอนการเชื่อมต่อทั่วโลก สำหรับเครือข่ายที่มีการจัดกลุ่มสูง การจัดกลุ่มที่แข็งแกร่งอาจทำให้เกิดโครงสร้างแกนกลาง-รอบนอก ซึ่งแกนกลางและรอบนอกอาจซึมผ่านที่จุดวิกฤตที่แตกต่างกัน และการจัดการโดยประมาณข้างต้นไม่สามารถนำมาใช้ได้^{[ 12 ]}

ข้อเท็จจริงหลักในเฟสวิกฤตย่อยคือ "การลดลงแบบเอกซ์ponential" กล่าวคือ เมื่อp < p _cความน่าจะเป็นที่จุดเฉพาะ (เช่น จุดกำเนิด) อยู่ในคลัสเตอร์เปิด (หมายถึงเซตที่เชื่อมต่อกันสูงสุดของขอบ "เปิด" ของกราฟ) ที่มีขนาดrจะลดลงเป็นศูนย์ แบบเอกซ์ ponentialตาม  rสิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับการแพร่กระจายในสามมิติและมากกว่านั้นโดยMenshikov (1986)และโดยAizenman & Barsky (1987) อย่างอิสระ ในสองมิติ มันเป็นส่วนหนึ่งของการพิสูจน์ของ Kesten ที่ว่าp _c = ⁠1/2[ ¹³ ]^​​

กราฟคู่ของแลตทิซสี่เหลี่ยมℤ ²ก็คือแลตทิซสี่เหลี่ยมเช่นกัน ดังนั้น ในสองมิติ เฟสวิกฤตยิ่งยวดจึงเป็นคู่ของกระบวนการซึมผ่านแบบต่ำกว่าวิกฤต ซึ่งให้ข้อมูลที่สมบูรณ์เกี่ยวกับแบบจำลองวิกฤตยิ่งยวดที่มีd = 2ผลลัพธ์หลักสำหรับเฟสวิกฤตยิ่งยวดในสามมิติขึ้นไปคือ สำหรับ  N ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอ แทบจะแน่นอนว่าจะมีคลัสเตอร์เปิดอนันต์ในแผ่นสองมิติℤ ² × [0, N ] ^{d − 2}สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์โดยGrimmett & Marstrand (1990 ) ^{[ 14 ]}

ในสองมิติที่มีp < ⁠1/2⁠มีความน่าจะเป็นหนึ่งที่จะมีคลัสเตอร์ปิดอนันต์ที่ไม่ซ้ำกัน (คลัสเตอร์ปิดคือเซตที่เชื่อมต่อกันสูงสุดของขอบ "ปิด" ของกราฟ) ดังนั้นเฟสย่อยวิกฤตอาจอธิบายได้ว่าเป็นเกาะเปิดที่มีจำนวนจำกัดในมหาสมุทรปิดอนันต์ เมื่อ p > ⁠1/2ในทางกลับ กันจะเกิดเกาะปิดที่มีขอบเขตจำกัดในมหาสมุทรเปิดอันไร้ขอบเขต ภาพจะซับซ้อนมากขึ้นเมื่อ d ≥ 3เนื่องจาก p _c < ⁠1/2และมีการอยู่ร่วมกันของกลุ่มเปิดและปิดอนันต์สำหรับp ระหว่าง p c _และ 1  − p _c

การซึมผ่านมีจุดเอกฐานที่จุดวิกฤตp = p _cและคุณสมบัติหลายอย่างมีพฤติกรรมเหมือนกฎกำลังที่มีใกล้เคียงทฤษฎีการปรับขนาดทำนายการมีอยู่ของเลขชี้กำลังวิกฤตซึ่งขึ้นอยู่กับจำนวน มิติ dที่กำหนดคลาสของจุดเอกฐาน เมื่อd = 2การทำนายเหล่านี้ได้รับการสนับสนุนจากข้อโต้แย้งจากทฤษฎีสนามคอนฟอร์มอลและวิวัฒนาการของ Schramm–Loewnerและรวมถึงค่าตัวเลขที่ทำนายไว้สำหรับเลขชี้กำลัง การทำนายส่วนใหญ่เหล่านี้เป็นเพียงการคาดเดา ยกเว้นเมื่อจำนวนมิติd เป็นไปตามเงื่อนไข d = 2หรือd ≥ 6ซึ่งได้แก่: ${\displaystyle p-p_{c}}$${\displaystyle p_{c}}$

• ไม่มีคลัสเตอร์อนันต์ (ทั้งแบบเปิดหรือแบบปิด)
• ความน่าจะเป็นที่จะมีเส้นทางเปิดจากจุดคงที่จุดหนึ่ง (เช่น จุดกำเนิด) ไปยังระยะทางrจะลดลงแบบพหุนาม กล่าวคือ อยู่ในลำดับของr ^αสำหรับ  α บางค่า
  • αไม่ขึ้นอยู่กับโครงสร้างแลตติซที่เลือก หรือพารามิเตอร์เฉพาะที่อื่นๆ มันขึ้นอยู่กับมิติ d เท่านั้น (นี่เป็นตัวอย่างหนึ่งของ หลักการ สากล )
  • ค่า αd _ลดลงจาก d = 2จนถึง d = 6แล้วจึงคงที่
  • α ₂ = − ⁠5/48⁠
  • α ₆ = −1 .
• รูปร่างของกลุ่มก้อนขนาดใหญ่ในสองมิติมีความไม่แปรเปลี่ยนเชิงคอนฟอร์มัล

ดู Grimmett ⁽ 1999) [ ^{15 ]}ในมิติ 11 มิติขึ้นไป ข้อเท็จจริงเหล่านี้ได้รับการพิสูจน์เป็นส่วนใหญ่โดยใช้เทคนิคที่เรียกว่าการขยายลูกไม้เชื่อกันว่าการขยายลูกไม้เวอร์ชันหนึ่งน่าจะใช้ได้กับมิติ 7 มิติขึ้นไป อาจมีนัยสำคัญสำหรับกรณีเกณฑ์ 6 มิติด้วย การเชื่อมโยงของการซึมผ่านกับการขยายลูกไม้พบได้ในHara & Slade (1990 ) ^{[ 16 ]}

ในสองมิติ ข้อเท็จจริงแรก ("ไม่มีการซึมผ่านในเฟสวิกฤต") ได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับแลตทิซจำนวนมากโดยใช้ความเป็นคู่ ความก้าวหน้าที่สำคัญได้เกิดขึ้นในการซึมผ่านสองมิติผ่านสมมติฐานของOded Schrammที่ว่าขีดจำกัดการปรับขนาดของคลัสเตอร์ขนาดใหญ่อาจอธิบายได้ในแง่ของวิวัฒนาการ Schramm–Loewnerสมมติฐานนี้ได้รับการพิสูจน์โดยSmirnov (2001) ^{[ 17 ]}ในกรณีพิเศษของการซึมผ่านไซต์บนแลตทิซสามเหลี่ยม

• การซึมผ่านแบบกำหนดทิศทางที่จำลองผลของ แรง โน้มถ่วงที่กระทำต่อของเหลวได้รับการแนะนำในBroadbent & Hammersley (1957) ^{[ 1 ]}และมีความเชื่อมโยงกับกระบวนการสัมผัส
• แบบจำลองแรกที่ได้รับการศึกษาคือแบบจำลองการแพร่กระจายแบบเบอร์นูลลี ในแบบจำลองนี้ พันธะทั้งหมดเป็นอิสระต่อกัน นักฟิสิกส์เรียกแบบจำลองนี้ว่า การแพร่กระจายของพันธะ (bond percolation)
• ต่อมาได้มีการนำเสนอแบบจำลองทั่วไปขึ้นมา นั่นคือแบบจำลองคลัสเตอร์แบบสุ่มของ Fortuin–Kasteleynซึ่งมีความเชื่อมโยงหลายประการกับแบบจำลอง Isingและแบบจำลอง Potts อื่น ๆ
• การซึมผ่านแบบเบอร์นูลลี (พันธะ) บนกราฟสมบูรณ์เป็นตัวอย่างหนึ่งของกราฟสุ่มความน่าจะเป็นวิกฤตคือ  p = ⁠1/เอ็นโดยที่ Nคือจำนวนจุดยอด (ไซต์) ของกราฟ
• การซึมผ่านแบบบูตสแตรปจะกำจัดเซลล์ที่ใช้งานอยู่ออกจากคลัสเตอร์เมื่อมีเพื่อนบ้านที่ใช้งานอยู่น้อยเกินไป และจะพิจารณาการเชื่อมต่อของเซลล์ที่เหลืออยู่^{[ 18 ]}
• การซึมผ่านของทางเดินแรก
• การแทรกซึมแบบบุกรุก

ทฤษฎีการซึมผ่านถูกนำมาใช้เพื่อทำนายการแตกตัวของเปลือกไวรัสทางชีวภาพ (แคปซิด) ได้สำเร็จ^{[ 19 ] [ 20 ]} โดย มีการทำนายและตรวจจับเกณฑ์การแตกตัวของ แคปซิด ไวรัสตับอักเสบ B ได้จากการทดลอง ^{[ 21 ]}เมื่อจำนวนหน่วยย่อยที่สำคัญถูกนำออกจากเปลือกนาโนสโคปิกแบบสุ่ม มันจะแตกตัว และการแตกตัวนี้สามารถตรวจจับได้โดยใช้ Charge Detection Mass Spectroscopy (CDMS) รวมถึงเทคนิคอนุภาคเดี่ยวอื่นๆ นี่เป็นอะนาล็อกระดับโมเลกุลของเกมกระดานJenga ทั่วไป และมีความเกี่ยวข้องกับการศึกษาการแยกส่วนของไวรัสในวงกว้าง อนุภาคไวรัสที่มีเสถียรภาพมากกว่า (การเรียงตัวที่มีเกณฑ์การแตกตัวที่สูงกว่า) พบได้ในธรรมชาติในปริมาณที่มากกว่า^{[ 19 ]}

ทฤษฎีการซึมผ่านได้ถูกนำไปใช้ในการศึกษาว่าการแบ่งแยกสภาพแวดล้อมส่งผลกระทบต่อที่อยู่อาศัยของสัตว์อย่างไร^{[ 22 ]} และแบบจำลอง การแพร่กระจายของแบคทีเรียโรคระบาดYersinia pestis ^{[ 23 ]}

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีการซึมผ่าน (Percolation theory )

• PercoVIS: โปรแกรมสำหรับ macOS เพื่อแสดงภาพการแพร่กระจายบนเครือข่ายแบบเรียลไทม์
• การซึมผ่านแบบโต้ตอบ
• หลักสูตรออนไลน์ Nanohub เกี่ยวกับทฤษฎีการซึมผ่าน