ในคณิตศาสตร์ประยุกต์แบบจำลองการกำหนดค่าแบบอ่อน (SCM)เป็น แบบจำลอง กราฟสุ่มที่อยู่ภายใต้หลักการของเอนโทรปีสูงสุดภายใต้ข้อจำกัดเกี่ยวกับความคาดหวังของลำดับดีกรีของกราฟ ที่ สุ่มตัวอย่าง^{[ 1 ]}ในขณะที่แบบจำลองการกำหนดค่า (CM) สุ่มตัวอย่างกราฟสุ่มที่มีลำดับดีกรีเฉพาะอย่างสม่ำเสมอ SCM จะคงลำดับดีกรีที่ระบุไว้โดยเฉลี่ยเหนือการรับรู้เครือข่ายทั้งหมด ในแง่นี้ SCM มีข้อจำกัดที่ผ่อนคลายมากเมื่อเทียบกับ CM ("ข้อจำกัดแบบอ่อน" มากกว่า "ข้อจำกัดแบบคม" ^{[ 2 ]} ) SCM สำหรับกราฟขนาดมีความน่าจะเป็นที่ไม่เป็นศูนย์ในการสุ่มตัวอย่างกราฟขนาดใด ๆในขณะที่ CM ถูกจำกัดเฉพาะกราฟที่มีโครงสร้างการเชื่อมต่อที่กำหนดไว้อย่างแม่นยำเท่านั้น ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

SCM เป็นกลุ่มสถิติของกราฟสุ่มที่มีจุดยอด ( ) ที่มีป้ายกำกับทำให้เกิดการกระจายความน่าจะเป็นบน(เซตของกราฟที่มีขนาด) ข้อจำกัดที่กำหนดให้กับกลุ่มนี้ได้แก่ค่าเฉลี่ยของดีกรีของจุดยอดเท่ากับค่าที่กำหนดสำหรับทุก แบบ จำลองนี้ได้รับ การกำหนดพารามิเตอร์อย่างสมบูรณ์โดยขนาดและลำดับดีกรีที่คาดหวังข้อจำกัดเหล่านี้เป็นทั้งแบบเฉพาะที่ (ข้อจำกัดหนึ่งข้อที่เกี่ยวข้องกับแต่ละจุดยอด) และแบบอ่อน (ข้อจำกัดเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยของปริมาณที่สังเกตได้บางอย่าง) ดังนั้นจึงให้กลุ่มแคนอนิกที่มีข้อจำกัดจำนวนมาก^{[ 2 ]}เงื่อนไขต่างๆถูกกำหนดให้กับกลุ่มโดยวิธีตัวคูณลากรางจ์ (ดูแบบจำลองกราฟสุ่มเอนโทรปีสูงสุด ) ${\displaystyle G}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=|V(G)|}$${\displaystyle \{v_{j}\__{j=1}^{n}=V(G)}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {G}__{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k_{j}}$${\displaystyle v_{j}}$${\displaystyle {\widehat {k}__{j}}$${\displaystyle v_{j}\in V(G)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \{{\widehat {k}}_{j}\}_{j=1}^{n}}$${\displaystyle \langle k_{j}\rangle ={\หมวกกว้าง {k}__{j}}$

ความน่าจะเป็นที่ SCM จะสร้างกราฟได้นั้นถูกกำหนดโดยการเพิ่มค่าเอนโทรปีของกิบส์ ให้สูงสุด ภายใต้ข้อจำกัดและการทำให้เป็นมาตรฐานซึ่งเทียบเท่ากับ การปรับ ฟังก์ชันลากรางจ์แบบหลายข้อจำกัด ด้านล่าง ให้เหมาะสม ที่สุด : ${\displaystyle \mathbb {P} _{\text{SCM}}(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S[G]}$${\displaystyle \langle k_{j}\rangle ={\หมวกกว้าง {k}__{j},\ j=1,\ldots ,n}$${\displaystyle \sum _{G\in {\mathcal {G}}_{n}}\mathbb {P} _{\text{SCM}}(G)=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {L}}\left(\alpha ,\{\psi _{j}\}_{j=1}^{n}\right)\\[6pt]={}&-\sum _{G\in {\mathcal {G}}_{n}}\mathbb {P} _{\text{SCM}}(G)\log \mathbb {P} _{\text{SCM}}(G)+\alpha \left(1-\sum _{G\in {\mathcal {G}}_{n}}\mathbb {P} _{\text{SCM}}(G)\right)+\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}\left({\widehat {k}}_{j}-\sum _{G\in {\mathcal {G}}_{n}}\mathbb {P} _{\text{SCM}}(G)k_{j}(G)\right),\end{aligned}}}$

โดยที่และเป็นตัวคูณที่จะต้องกำหนดโดยข้อจำกัด (การทำให้เป็นมาตรฐานและลำดับดีกรีที่คาดหวัง) การตั้งค่าอนุพันธ์ของสมการข้างต้นเทียบกับ ให้เป็นศูนย์ สำหรับ ค่า ใดๆ จะได้${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \{\psi _{j}\__{j=1}^{n}}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle \mathbb {P} _{\text{SCM}}(G)}$${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}_{n}}$

${\displaystyle 0={\frac {\partial {\mathcal {L}}\left(\alpha ,\{\psi _{j}\}_{j=1}^{n}\right)}{\partial \mathbb {P} _{\text{SCM}}(G)}}=-\log \mathbb {P} _{\text{SCM}}(G)-1-\alpha -\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}k_{j}(G)\ \Rightarrow \ \mathbb {P} _{\text{SCM}}(G)={\frac {1}{Z}}\exp \left[-\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}k_{j}(G)\right],}$

ค่าคงที่^{[ 3 ]}คือฟังก์ชันการแบ่งส่วนที่ทำให้การกระจายปกติ นิพจน์เลขชี้กำลังข้างต้นใช้ได้กับทั้งหมดและดังนั้น จึงเป็นการกระจายความน่าจะเป็น ดังนั้นเราจึงมีตระกูลเลขชี้กำลังที่กำหนดพารามิเตอร์โดยซึ่งมีความสัมพันธ์กับลำดับระดับที่คาดหวังโดยนิพจน์ที่เทียบเท่ากันดังต่อไปนี้: ${\displaystyle Z:=e^{\alpha +1}=\sum _{G\in {\mathcal {G}}_{n}}\exp \left[-\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}k_{j}(G)\right]=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(1+e^{-(\psi _{i}+\psi _{j})}\right)}$${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}_{n}}$${\displaystyle \{\psi _{j}\__{j=1}^{n}}$${\displaystyle \{{\widehat {k}}_{j}\}_{j=1}^{n}}$

${\displaystyle \langle k_{q}\rangle =\sum _{G\in {\mathcal {G}}_{n}}k_{q}(G)\mathbb {P} _{\text{SCM}}(G)=-{\frac {\partial \log Z}{\partial \psi _{q}}}=\sum _{j\neq q}{\frac {1}{e^{\psi _{q}+\psi _{j}}+1}}={\widehat {k}}_{q},\ q=1,\ldots ,n.}$