แบบจำลองแบบแบ่งกลุ่ม (Compartmental models)เป็นกรอบทางคณิตศาสตร์ที่ใช้จำลองการเคลื่อนย้ายของประชากรระหว่างสถานะหรือ "กลุ่ม" ต่างๆ แม้ว่าจะมีการนำไปใช้อย่างกว้างขวางในหลากหลายสาขา แต่แบบจำลองเหล่านี้มีความสำคัญอย่างยิ่งต่อการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของโรคติดเชื้อในแบบจำลองเหล่านี้ ประชากรจะถูกแบ่งออกเป็นกลุ่มต่างๆ โดยใช้สัญลักษณ์ย่อ – ที่ใช้กันทั่วไปคือS , IและRซึ่งแทนS คือ บุคคลที่อ่อนแอต่อโรค (Susceptible), I คือ ผู้ติดเชื้อ ( Iinfectious ) และR คือ บุคคลที่หายจากโรค (Recovered) ลำดับของตัวอักษรโดยทั่วไปจะบ่งบอกถึงรูปแบบการไหลเวียนระหว่างกลุ่มต่างๆ ตัวอย่างเช่น แบบจำลอง SEIS แสดงถึงการเปลี่ยนแปลงจากบุคคลที่อ่อนแอต่อโรค ไปสู่การสัมผัสเชื้อ ไปสู่การติดเชื้อ และกลับมาอ่อนแอต่อโรคอีกครั้ง

แบบจำลองเหล่านี้มีต้นกำเนิดในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 ผ่านงานระบาดวิทยาบุกเบิกโดยนักคณิตศาสตร์หลายคน การพัฒนาที่สำคัญ ได้แก่ งานของ Hamer ในปี 1906 ^{[ 1 ]} ผลงานของRoss ในปี 1916 ^{[ 2 ]}งานร่วมกันของ Ross และHudsonในปี 1917 ^{[ 3 ] [ 4 ]} แบบจำลอง Kermack และ McKendrickที่สำคัญในปี 1927 ^{[ 5 ]}และงานของKendall ในปี 1956 ^{[ 6 ]}แบบจำลอง Reed–Frostที่มีความสำคัญทางประวัติศาสตร์แม้ว่าจะถูกมองข้ามไปบ่อยครั้ง ก็มีอิทธิพลอย่างมากต่อแนวทางการสร้างแบบจำลองทางระบาดวิทยาสมัยใหม่^{[ 7 ]}

การนำแบบจำลองแบบแบ่งส่วนมาใช้ส่วนใหญ่จะใช้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (ODE) ซึ่งให้ผลลัพธ์ที่แน่นอนและสามารถจัดการ ทางคณิตศาสตร์ได้ง่าย อย่างไรก็ตาม แบบจำลองเหล่านี้ยังสามารถกำหนดขึ้นภายในกรอบงานเชิงสุ่มที่รวมเอาความสุ่มเข้ามาด้วย ซึ่งให้การแสดงภาพพลวัตของประชากรที่สมจริงยิ่งขึ้น แต่ต้องแลกมาด้วยความซับซ้อนในการวิเคราะห์ที่มากขึ้น

นักระบาดวิทยาและเจ้าหน้าที่สาธารณสุขใช้แบบจำลองเหล่านี้เพื่อวัตถุประสงค์ที่สำคัญหลายประการ ได้แก่ การวิเคราะห์พลวัตการแพร่กระจายของโรค การคาดการณ์จำนวนผู้ติดเชื้อและผู้หายป่วยทั้งหมดเมื่อเวลาผ่านไป การประมาณค่าพารามิเตอร์ทางระบาดวิทยาที่สำคัญ เช่นจำนวนการแพร่พันธุ์พื้นฐาน (R ₀ ) หรือจำนวนการแพร่พันธุ์ที่มีประสิทธิภาพ (R _{t ) การประเมินผลกระทบที่อาจเกิดขึ้นจาก} การแทรกแซงด้านสาธารณสุขต่างๆก่อนการดำเนินการ และการให้ข้อมูลประกอบ การตัดสินใจ เชิงนโยบายตามหลักฐานเชิงประจักษ์ในระหว่างการระบาดของโรค นอกเหนือจากการสร้างแบบจำลองโรคติดเชื้อแล้ว แนวทางนี้ยังได้รับการปรับให้เหมาะสมสำหรับการใช้งานในด้านนิเวศวิทยาประชากรเภสัชจลนศาสตร์จลนศาสตร์เคมีและสาขาอื่นๆ ที่ต้องการศึกษาการเปลี่ยนแปลงระหว่างสถานะที่กำหนดไว้ สำหรับการวิจัยดังกล่าวและการให้คำปรึกษาแก่ผู้มีอำนาจตัดสินใจ มักจะใช้แบบจำลองที่ซับซ้อนกว่า^{[ 8 ] [ 9 ]}

แบบจำลอง SIR ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}เป็นหนึ่งในแบบจำลองช่องแบ่งที่ง่ายที่สุด และแบบจำลองจำนวนมากเป็นอนุพันธ์ของรูปแบบพื้นฐานนี้ แบบจำลองประกอบด้วยช่องแบ่งสามช่อง:

S : จำนวน บุคคลที่อ่อนแอต่อการ ติดเชื้อ เมื่อบุคคลที่อ่อนแอต่อการติดเชื้อและผู้ติดเชื้อมีการสัมผัสกัน บุคคลที่อ่อนแอต่อการติดเชื้อจะติดโรคและเปลี่ยนสถานะเป็นผู้ติดเชื้อ

I : จำนวน ผู้ ติดเชื้อ คือ บุคคลที่ติดเชื้อแล้วและสามารถแพร่เชื้อไปยังบุคคลที่ยังไม่ติดเชื้อได้

Rคือจำนวน บุคคลที่หายจาก โรค (และมีภูมิคุ้มกัน) หรือเสียชีวิต บุคคลเหล่านี้คือผู้ที่เคยติดเชื้อและหายจากโรคแล้วเข้าสู่กลุ่มผู้ที่หายจากโรค หรือเสียชีวิตไปแล้ว โดยถือว่าจำนวนผู้เสียชีวิตนั้นน้อยมากเมื่อเทียบกับประชากรทั้งหมด กลุ่มนี้อาจเรียกว่า " ผู้หายจากโรค" หรือ " ผู้มีภูมิคุ้มกัน" ก็ได้

แบบจำลองนี้สามารถทำนายได้อย่างสมเหตุสมผล^{[ 14 ]}สำหรับโรคติดเชื้อที่แพร่กระจายจากคนสู่คน และการฟื้นตัวจะทำให้เกิดความต้านทานที่ยั่งยืน เช่นโรคหัดโรคคางทูมและโรค หัดเยอรมัน

ตัวแปรเหล่านี้ ( S , IและR ) แทนจำนวนคนในแต่ละกลุ่ม ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง เพื่อแสดงว่าจำนวนผู้ที่อ่อนแอ ผู้ติดเชื้อ และผู้ที่หายจากโรคแล้ว อาจเปลี่ยนแปลงไปตามเวลา (แม้ว่าขนาดประชากรทั้งหมดจะคงที่) เราจึงกำหนดตัวเลขที่แน่นอนให้เป็นฟังก์ชันของt (เวลา): S ( t ), I ( t ) และR ( t ) สำหรับโรคเฉพาะในประชากรเฉพาะ ฟังก์ชันเหล่านี้สามารถคำนวณได้เพื่อทำนายการระบาดที่อาจเกิดขึ้นและควบคุมการระบาด^{[ 14 ]}โปรดทราบว่าในแบบจำลอง SIR และเป็นปริมาณที่แตกต่างกัน โดยปริมาณแรกอธิบายจำนวนผู้ที่หายจากโรค ณ เวลาt = 0 ในขณะที่ปริมาณหลังอธิบายอัตราส่วนระหว่างความถี่ของการสัมผัสต่อความถี่ของการหายจากโรค ${\displaystyle R(0)}$${\displaystyle R_{0}}$

ดังที่แสดงให้เห็นจากฟังก์ชันตัวแปรของtโมเดลนี้เป็นแบบไดนามิก กล่าวคือ จำนวนในแต่ละส่วนอาจผันผวนไปตามเวลา ความสำคัญของลักษณะไดนามิกนี้เห็นได้ชัดเจนที่สุดใน โรค ประจำถิ่นที่มีระยะเวลาการติดเชื้อสั้น เช่น โรคหัดในสหราชอาณาจักรก่อนการนำวัคซีน มา ใช้ในปี 1968 โรคดังกล่าวมีแนวโน้มที่จะเกิดขึ้นเป็นวงจรของการระบาดเนื่องจากการเปลี่ยนแปลงของจำนวนผู้ที่อ่อนแอต่อการติดเชื้อ (S( t )) ไปตามเวลา ในระหว่างการระบาดจำนวนผู้ที่อ่อนแอต่อการติดเชื้อจะลดลงอย่างรวดเร็วเนื่องจากมีผู้ติดเชื้อมากขึ้นและเข้าสู่ส่วนที่ติดเชื้อและส่วนที่หายแล้ว โรคจะไม่สามารถระบาดได้อีกจนกว่าจำนวนผู้ที่อ่อนแอต่อการติดเชื้อจะเพิ่มขึ้นกลับมา เช่น เป็นผลมาจากการมีบุตรเกิดใหม่ในกลุ่มผู้ที่อ่อนแอต่อการติดเชื้อ

โดยทั่วไปแล้ว สมาชิกแต่ละคนในประชากรจะค่อยๆ เปลี่ยนแปลงจากผู้ที่อ่อนแอต่อการติดเชื้อไปสู่ผู้ติดเชื้อ และในที่สุดก็หายดี ซึ่งสามารถแสดงได้ด้วยแผนภาพแสดงลำดับขั้น โดยที่กล่องแทนส่วนต่างๆ และลูกศรแทนการเปลี่ยนผ่านระหว่างส่วนต่างๆ (ดูแผนภาพ)

สำหรับการกำหนดรายละเอียดของแบบจำลองอย่างครบถ้วน ลูกศรควรติดป้ายกำกับด้วยอัตราการเปลี่ยนผ่านระหว่างช่องต่างๆ ระหว่างSและIอัตราการเปลี่ยนผ่านจะถือว่าเท่ากับโดยที่คือจำนวนประชากรทั้งหมดคือจำนวนการติดต่อโดยเฉลี่ยต่อคนต่อครั้ง คูณด้วยความน่าจะเป็นของการแพร่กระจายของโรคในการติดต่อระหว่างผู้ที่อ่อนแอต่อโรคและผู้ติดเชื้อ และคือสัดส่วนของการติดต่อที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับผู้ติดเชื้อและผู้ที่อ่อนแอต่อโรค (ในทางคณิตศาสตร์แล้วคล้ายกับกฎของมวลสารในวิชาเคมี ซึ่งการชนกันแบบสุ่มระหว่างโมเลกุลส่งผลให้เกิดปฏิกิริยาเคมี และอัตราส่วนเศษส่วนเป็นสัดส่วนกับความเข้มข้นของสารตั้งต้นทั้งสอง^{[ 15 ]} ) ${\displaystyle d(S/N)/dt=-\beta SI/N^{2}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle SI/N^{2}}$

ระหว่างIและRอัตราการเปลี่ยนผ่านถือว่าแปรผันตรงกับจำนวนผู้ติดเชื้อ ซึ่งก็คือถ้าบุคคลหนึ่งติดเชื้อเป็นระยะเวลาเฉลี่ยแล้วนี่เทียบเท่ากับการสมมติว่าระยะเวลาที่บุคคลหนึ่งอยู่ในสถานะติดเชื้อเป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียลแบบจำลอง SIR แบบ "คลาสสิก" อาจได้รับการปรับเปลี่ยนโดยใช้การแจกแจงที่ซับซ้อนและสมจริงมากขึ้นสำหรับอัตราการเปลี่ยนผ่าน IR (เช่น การแจกแจง Erlang ) ^{[ 16 ]}${\displaystyle \gamma I}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \gamma =1/D}$

สำหรับกรณีพิเศษที่ไม่มีการกำจัดออกจากกลุ่มผู้ติดเชื้อ ( ) แบบจำลอง SIR จะลดลงเหลือแบบจำลอง SI ที่ง่ายมาก ซึ่งมี คำตอบ แบบโลจิสติกโดยที่ทุกคนจะติดเชื้อในที่สุด ${\displaystyle \gamma =0}$

พลวัตของการระบาดของโรค เช่นไข้หวัดใหญ่มักจะเร็วกว่าพลวัตของการเกิดและการตายมาก ดังนั้น การเกิดและการตายจึงมักถูกละเว้นในแบบจำลองแบบแบ่งส่วนอย่างง่าย ระบบ SIR ที่ไม่มีพลวัตที่สำคัญ (การเกิดและการตาย ซึ่งบางครั้งเรียกว่าประชากรศาสตร์) ที่อธิบายไว้ข้างต้น สามารถแสดงได้ด้วยระบบสมการเชิงอนุพันธ์ สามัญดังต่อไปนี้ : ^{[ 11 ] [ 17 ]}

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&{\frac {dS}{dt}}=-{\frac {\beta }{N}}IS,\\[6pt]&{\frac {dI}{dt}}={\frac {\beta }{N}}IS-\gamma I,\\[6pt]&{\frac {dR}{dt}}=\gamma I,\end{aligned}}\right.}$

โดยที่คือจำนวนประชากรที่อ่อนแอต่อการติดเชื้อในหน่วยจำนวนคนคือจำนวนผู้ติดเชื้อในหน่วยจำนวนคนคือจำนวนประชากรที่หายจากโรคแล้ว (ไม่ว่าจะโดยการเสียชีวิตหรือการหายป่วย) ในหน่วยจำนวนคน และคือผลรวมของทั้งสามค่านี้ในหน่วยจำนวนคนคือค่าคงที่อัตราการติดเชื้อในหน่วยจำนวนผู้ติดเชื้อต่อวันต่อผู้ติดเชื้อหนึ่งคน และคือค่าคงที่อัตราการหายป่วยในหน่วยเศษส่วนของผู้ที่หายป่วยต่อวันต่อผู้ติดเชื้อหนึ่งคน เมื่อเวลาอยู่ในหน่วยวัน ${\displaystyle S}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \gamma }$

แบบจำลองนี้ได้รับการเสนอเป็นครั้งแรกโดยWilliam Ogilvy KermackและAnderson Gray McKendrickในฐานะกรณีพิเศษของสิ่งที่เราเรียกว่าทฤษฎี Kermack–McKendrick ในปัจจุบัน และต่อยอดจากงานที่ McKendrick ได้ทำร่วมกับRonald Ross

ระบบนี้ไม่เชิงเส้นอย่างไรก็ตามสามารถหาคำตอบเชิงวิเคราะห์ในรูปแบบโดยปริยายได้^{[ 10 ]}ก่อนอื่นให้สังเกตว่าจาก:

${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}+{\frac {dI}{dt}}+{\frac {dR}{dt}}=0,}$

ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า:

${\displaystyle S(t)+I(t)+R(t)={\text{ค่าคงที่}}=N,}$

เป็นการแสดงความคงที่ของประชากรในเชิงคณิตศาสตร์โปรดสังเกตว่าความสัมพันธ์ข้างต้นบ่งชี้ว่าเราจำเป็นต้องศึกษาสมการสำหรับตัวแปรเพียงสองตัวจากสามตัวเท่านั้น ${\displaystyle N}$

ประการที่สอง เราสังเกตว่าพลวัตของกลุ่มผู้ติดเชื้อขึ้นอยู่กับอัตราส่วนดังต่อไปนี้:

${\displaystyle R_{0}={\frac {\beta }{\gamma }},}$

สิ่งที่เรียกว่าจำนวนการแพร่พันธุ์พื้นฐาน (หรือเรียกว่าอัตราส่วนการแพร่พันธุ์พื้นฐาน) อัตราส่วนนี้ได้มาจากจำนวนการติดเชื้อใหม่ที่คาดหวัง (การติดเชื้อใหม่เหล่านี้บางครั้งเรียกว่าการติดเชื้อทุติยภูมิ) จากการติดเชื้อเพียงครั้งเดียวในประชากรที่ทุกคนมีความเสี่ยงต่อการติดเชื้อ^{[ 18 ] [ 19 ]}แนวคิดนี้อาจเข้าใจได้ง่ายขึ้นหากเรากล่าวว่าเวลาโดยทั่วไประหว่างการสัมผัสคือและเวลาโดยทั่วไปจนกว่าจะถูกกำจัดคือจากตรงนี้จึงสรุปได้ว่าโดยเฉลี่ยแล้ว จำนวนการสัมผัสของผู้ติดเชื้อกับผู้อื่นก่อนที่ผู้ติดเชื้อจะถูกกำจัดคือ:${\displaystyle T_{c}=\beta ^{-1}}$${\displaystyle T_{r}=\gamma ^{-1}}$${\displaystyle T_{r}/T_{c}.}$

โดยการหารสมการเชิงอนุพันธ์แรกด้วยสมการเชิงอนุพันธ์ที่สามแยกตัวแปรและทำการอินทิเกรต เราจะได้

${\displaystyle S(t)=S(0)e^{-R_{0}(R(t)-R(0))/N},}$

โดยที่และคือจำนวนเริ่มต้นของผู้ที่อ่อนแอต่อโรคและผู้ที่หายจากโรคแล้ว ตามลำดับ เมื่อเขียนแทนสัดส่วนเริ่มต้นของผู้ที่อ่อนแอต่อโรค และ และ แทนสัดส่วนของผู้ที่อ่อนแอต่อโรคและผู้ที่หายจากโรคแล้ว ตามลำดับ ในลิมิตจะได้ ${\displaystyle S(0)}$${\displaystyle R(0)}$${\displaystyle s_{0}=S(0)/N}$${\displaystyle s_{\infty }=S(\infty )/N}$${\displaystyle r_{\infty }=R(\infty )/N}$${\displaystyle t\to \infty ,}$

${\displaystyle s_{\infty }=1-r_{\infty }=s_{0}e^{-R_{0}(r_{\infty }-r_{0})}}$

(โปรดทราบว่าช่องติดเชื้อจะว่างเปล่าในขีดจำกัดนี้) สมการอดิศัย นี้ มีคำตอบในรูปของ^{ฟังก์ชัน} Lambert W [ 20 ^{]กล่าว}คือ

${\displaystyle s_{\infty }=1-r_{\infty }=-R_{0}^{-1}\,W(-s_{0}R_{0}e^{-R_{0}(1-r_{0})}).}$

นี่แสดงให้เห็นว่าเมื่อการระบาดสิ้นสุดลงตามสมมติฐานง่ายๆ ของแบบจำลอง SIR เว้นแต่ว่า... บุคคลทั้งหมดในประชากรจะไม่ถูกกำจัดออกไป ดังนั้นจึงต้องมีบางคนที่ยังคงมีความเสี่ยงต่อการติดเชื้อ แรงผลักดันที่นำไปสู่การสิ้นสุดของการระบาดคือการลดลงของจำนวนผู้ติดเชื้อ การระบาดมักจะไม่สิ้นสุดลงเนื่องจากไม่มีบุคคลที่มีความเสี่ยงต่อการติดเชื้อเหลืออยู่เลย ${\displaystyle s_{0}=0}$

บทบาทของทั้งจำนวนการแพร่พันธุ์พื้นฐานและความอ่อนแอเริ่มต้นมีความสำคัญอย่างยิ่ง อันที่จริง หากเขียนสมการสำหรับผู้ติดเชื้อใหม่ดังนี้:

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=\left(R_{0}{\frac {S}{N}}-1\right)\gamma I,}$

ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ว่า ถ้า:

${\displaystyle R_{0}\cdot S(0)>N,}$

แล้ว:

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}(0)>0,}$

กล่าวคือ จะเกิดการระบาดของโรคอย่างแท้จริง โดยมีจำนวนผู้ติดเชื้อเพิ่มขึ้น (ซึ่งอาจสูงถึงสัดส่วนที่สำคัญของประชากร) ในทางตรงกันข้าม หาก

${\displaystyle R_{0}\cdot S(0)<N,}$

แล้ว

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}(0)<0,}$

กล่าวคือ ไม่ว่าขนาดเริ่มต้นของประชากรที่อ่อนแอต่อโรคจะเป็นเท่าใด โรคนี้ก็ไม่สามารถก่อให้เกิดการระบาดอย่างแท้จริงได้ ดังนั้น จึงเห็นได้ชัดว่าทั้งจำนวนการแพร่พันธุ์พื้นฐานและความอ่อนแอต่อโรคในระยะเริ่มต้นนั้นมีความสำคัญอย่างยิ่ง

โปรดสังเกตว่าในแบบจำลองข้างต้น ฟังก์ชันมีดังนี้:

${\displaystyle F=\beta I,}$

แบบจำลองนี้แสดงอัตราการเปลี่ยนผ่านจากกลุ่มบุคคลที่อ่อนแอต่อการติดเชื้อไปยังกลุ่มบุคคลที่ติดเชื้อ ซึ่งเรียกว่าแรงของการติดเชื้ออย่างไรก็ตาม สำหรับโรคติดต่อหลายชนิด การพิจารณาแรงของการติดเชื้อที่ไม่ขึ้นอยู่กับจำนวนผู้ติดเชื้อโดยรวม แต่ขึ้นอยู่กับสัดส่วนของผู้ติดเชื้อ (เมื่อเทียบกับประชากรทั้งหมดที่คงที่) จะมีความสมจริงมากกว่า${\displaystyle N}$

${\displaystyle F=\beta {\frac {I}{N}}.}$

Capasso ^{[ 21 ]}และต่อมาผู้เขียนคนอื่นๆ ได้เสนอแรงการติดเชื้อแบบไม่เชิงเส้นเพื่อสร้างแบบจำลองกระบวนการแพร่เชื้อที่สมจริงยิ่งขึ้น

ในปี 2014 Harko และผู้เขียนร่วมได้พัฒนาวิธีแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์ที่แม่นยำ (ซึ่งเกี่ยวข้องกับอินทิกรัลที่สามารถคำนวณได้เฉพาะในเชิงตัวเลขเท่านั้น) สำหรับแบบจำลอง SIR ^{[ 10 ]}ในกรณีที่ไม่มีการตั้งค่าไดนามิกที่สำคัญ สำหรับฯลฯ จะสอดคล้องกับการกำหนดพารามิเตอร์เวลาต่อไปนี้ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(u)=S(t)}$

${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {S}}(u)=S(0)u}$

${\displaystyle {\mathcal {I}}(u)=N-{\mathcal {R}}(u)-{\mathcal {S}}(u)}$

${\displaystyle {\mathcal {R}}(u)=R(0)-\rho \ln(u)}$

สำหรับ

${\displaystyle t={\frac {N}{\beta }}\int _{u}^{1}{\frac {du^{*}}{u^{*}{\mathcal {I}}(u^{*})}},\quad \rho ={\frac {\gamma N}{\beta }},}$

โดยมีเงื่อนไขเริ่มต้น

${\displaystyle ({\mathcal {S}}(1),{\mathcal {I}}(1),{\mathcal {R}}(1))=(S(0),NR(0)-S(0),R(0)),\quad u_{T}<u<1,}$

โดย ที่สอดคล้องกับ. จากสมการเชิงอดิศัยข้างต้น จะได้ว่าถ้าและ. ${\displaystyle u_{T}}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {I}}(u_{T})=0}$${\displaystyle R_{\infty }}$${\displaystyle u_{T}=e^{-(R_{\infty }-R(0))/\rho }(=S_{\infty }/S(0)}$${\displaystyle S(0)\neq 0)}$${\displaystyle I_{\infty }=0}$

วิธีแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์ที่เทียบเท่ากัน (ซึ่งเกี่ยวข้องกับอินทิกรัลที่สามารถคำนวณได้เฉพาะในเชิงตัวเลขเท่านั้น) ที่ค้นพบโดย Miller ^{[ 22 ] [ 23 ]}ให้ผลลัพธ์ ดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}S(t)&=S(0)e^{-\xi (t)}\\[8pt]I(t)&=NS(t)-R(t)\\[8pt]R(t)&=R(0)+\rho \xi (t)\\[8pt]\xi (t)&={\frac {\beta }{N}}\int _{0}^{t}I(t^{*})\,dt^{*}\end{aligned}}}$

ในที่นี้สามารถตีความได้ว่าเป็นจำนวนการส่งสัญญาณโดยเฉลี่ยที่แต่ละบุคคลได้รับเมื่อเวลาผ่านไปโซลูชันทั้งสองมีความสัมพันธ์กันโดย ${\displaystyle \xi (t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle e^{-\xi (t)}=u}$

ผลลัพธ์ที่เหมือนกันโดยพื้นฐานสามารถพบได้ในงานต้นฉบับของ Kermack และ McKendrick ^{[ 5 ]}

วิธีแก้ปัญหาเหล่านี้สามารถเข้าใจได้ง่ายโดยสังเกตว่าพจน์ทั้งหมดทางด้านขวามือของสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิมเป็นสัดส่วนกับดังนั้นจึงสามารถหารสมการด้วยและปรับขนาดเวลาใหม่เพื่อให้ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ทางด้านซ้ายมือกลายเป็น โดยที่ นั่น คือสมการเชิงอนุพันธ์ทั้งหมดเป็นเชิงเส้นแล้ว และสมการที่สามในรูปแบบคงที่แสดงให้เห็นว่าและ(และข้างต้น) มีความสัมพันธ์เชิงเส้นอย่างง่าย ${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle d/d\tau }$${\displaystyle d\tau =Idt}$${\displaystyle \tau =\int Idt}$${\displaystyle dR/d\tau =}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle R}$${\displaystyle \xi }$

Krögerและ Schlickeiser ^{[ 12 ]}ได้จัดเตรียมค่าประมาณเชิงวิเคราะห์ที่มีความแม่นยำสูงของแบบจำลอง SIR รวมถึงนิพจน์เชิงวิเคราะห์ที่แม่นยำสำหรับค่าสุดท้าย, , และ ไว้ ด้วย ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องทำการบูรณาการเชิงตัวเลขเพื่อแก้แบบจำลอง SIR (ตัวอย่างการปฏิบัติที่ง่ายขึ้นเกี่ยวกับการจำลองเชิงตัวเลขของ COVID-19 โดยใช้ Microsoft Excelสามารถพบได้ที่นี่^{[ 24 ]} ) เพื่อให้ได้พารามิเตอร์จากข้อมูลที่มีอยู่ หรือเพื่อทำนายพลวัตในอนาคตของการระบาดที่จำลองโดยแบบจำลอง SIR ค่าประมาณนี้เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันLambert W ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของซอฟต์แวร์การแสดงภาพข้อมูล พื้นฐาน ทั้งหมด เช่น Microsoft Excel, MATLABและMathematica${\displaystyle S_{\infty }}$${\displaystyle I_{\infty }}$${\displaystyle R_{\infty }}$

ในขณะที่Kendall ^{[ 6 ]}พิจารณาโมเดล SIR ที่เรียกว่าตลอดเวลา โดยที่เงื่อนไขเริ่มต้น, , และถูกเชื่อมโยงกันผ่านความสัมพันธ์ข้างต้น Kermack และ McKendrick ^{[ 5 ]}เสนอให้ศึกษากรณีกึ่งเวลาทั่วไปมากขึ้น ซึ่งและเป็นค่าใดๆ ก็ได้ เวอร์ชันหลังนี้เรียกว่าโมเดล SIR กึ่งเวลา^{[ 12 ]}ทำนายเฉพาะเวลาในอนาคตเท่านั้นนอกจากนี้ยังมีค่าประมาณเชิงวิเคราะห์และนิพจน์ที่แน่นอนสำหรับค่าสุดท้ายสำหรับโมเดล SIR กึ่งเวลาด้วย^{[ 13 ]}${\displaystyle S(0)}$${\displaystyle I(0)}$${\displaystyle R(0)}$${\displaystyle S(0)}$${\displaystyle I(0)}$${\displaystyle t>0}$

วิธีแก้ปัญหาเชิงตัวเลขสำหรับแบบจำลอง SIR สามารถพบได้ในเอกสาร ตัวอย่างเช่น การใช้แบบจำลองเพื่อวิเคราะห์ข้อมูลการแพร่กระจายของCOVID-19 ^{[ 24 ] [ 25 ]}สามารถดึงตัวเลขการแพร่พันธุ์สามตัวออกมาจากข้อมูลที่วิเคราะห์ด้วยการประมาณเชิงตัวเลขได้

ค่าดัชนีการแพร่ระบาดพื้นฐาน :

${\displaystyle R_{0}={\frac {\beta _{0}}{\gamma _{0}}}}$

อัตราการแพร่กระจายแบบเรียลไทม์:

${\displaystyle R_{t}={\frac {\beta _{t}}{\gamma _{t}}}}$

และค่าตัวเลขการแพร่พันธุ์ที่มีประสิทธิภาพแบบเรียลไทม์:

${\displaystyle R_{e}={\frac {\beta _{t}S}{\gamma _{t}N}}}$

${\displaystyle R_{0}}$แสดงถึงความเร็วของอัตราการแพร่พันธุ์ในช่วงเริ่มต้นของการแพร่ระบาด เมื่อสมมติว่าประชากรทั้งหมดมีความเสี่ยงต่อการติดเชื้อ เช่น ถ้า1 คนติดเชื้อโดยเฉลี่ยจะแพร่เชื้อไปยังผู้ที่มีความเสี่ยง 0.4 คนต่อวัน และหายป่วยใน 1/0.2 = 5 วัน ดังนั้นเมื่อคนคนนี้หายป่วยแล้ว จะยังมีคนติดเชื้ออีก 2 คนที่ได้รับเชื้อโดยตรงจากคนคนนี้นั่นคือจำนวนผู้ติดเชื้อเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าในหนึ่งรอบ 5 วัน ข้อมูลที่จำลองโดยแบบจำลองหรือข้อมูลจริงที่เหมาะสมจะทำให้จำนวนผู้ติดเชื้อเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าเร็วกว่า 5 วัน เพราะผู้ติดเชื้อ 2 คนนั้นกำลังแพร่เชื้อไปยังคนอื่น จากแบบจำลอง SIR เราสามารถบอกได้ว่าถูกกำหนดโดยลักษณะของโรค และยังเป็นฟังก์ชันของความถี่ในการปฏิสัมพันธ์ระหว่างผู้ติดเชื้อกับผู้ที่มีความเสี่ยงรวมถึงความเข้มข้น/ระยะเวลาของการปฏิสัมพันธ์ เช่น ความใกล้ชิดและการปฏิสัมพันธ์นานแค่ไหน และทั้งคู่สวมหน้ากากหรือไม่ ดังนั้นมันจึงเปลี่ยนแปลงไปตามเวลาเมื่อพฤติกรรมเฉลี่ยของผู้ติดเชื้อและผู้ที่มีความเสี่ยงเปลี่ยนแปลงไป แบบจำลองนี้ใช้เพื่อแสดงปัจจัยเหล่านี้ แต่แท้จริงแล้วมันอ้างอิงถึงขั้นตอนเริ่มต้นที่ยังไม่มีการดำเนินการใด ๆ เพื่อป้องกันการแพร่กระจาย และประชากรทั้งหมดมีความเสี่ยง ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดจึงถูกดูดซับโดยการเปลี่ยนแปลงของ ${\displaystyle \beta _{0}=0.4day^{-1}}$${\displaystyle \gamma _{0}=0.2day^{-1}}$${\displaystyle R_{0}=2}$${\displaystyle R_{0}=2}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle I}$${\displaystyle S}$${\displaystyle SI}$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \gamma }$โดยปกติแล้วอัตราการแพร่ระบาดจะค่อนข้างคงที่เมื่อเวลาผ่านไป โดยสมมติว่าเมื่อผู้ติดเชื้อแสดงอาการแล้ว เขา/เธอจะไปพบแพทย์หรือกักตัวเอง ดังนั้นหากเราพบการเปลี่ยนแปลงใดๆ พฤติกรรมของผู้คนในชุมชนอาจเปลี่ยนแปลงไปจากรูปแบบปกติก่อนการระบาด หรือโรคอาจกลายพันธุ์เป็นรูปแบบใหม่ การตรวจหาและแยกผู้สัมผัสใกล้ชิดที่มีความเสี่ยงสูงอย่างเข้มข้นและรวดเร็วมีผลต่อการลดจำนวนผู้ติดเชื้อแต่ประสิทธิภาพของมาตรการเหล่านี้ยังเป็นที่ถกเถียงกันอยู่ การถกเถียงนี้ส่วนใหญ่เกี่ยวกับความไม่แน่นอนของจำนวนวันที่ลดลงจากหลังจากที่สามารถแพร่เชื้อได้หรือตรวจพบได้ (แล้วแต่ว่าอย่างใดอย่างหนึ่งเกิดขึ้นก่อน) ไปจนถึงก่อนที่อาการจะปรากฏขึ้นสำหรับผู้ติดเชื้อที่มีความเสี่ยงสูง หากบุคคลนั้นสามารถแพร่เชื้อได้หลังจากมีอาการแล้ว หรือการตรวจหาเชื้อใช้ได้ผลเฉพาะกับผู้ที่มีอาการเท่านั้น วิธีการป้องกันเหล่านี้ก็ไม่จำเป็น และการกักตัวเองและ/หรือการไปพบแพทย์เป็นวิธีที่ดีที่สุดในการลด จำนวนผู้ติดเชื้อ ระยะเวลาการแพร่เชื้อ ของ COVID-19โดยทั่วไปจะอยู่ในช่วง 1 วันหลังจากมีอาการ ทำให้การตรวจหาเชื้อจำนวนมากด้วยความถี่ปกติภายในไม่กี่วันนั้นไร้ประโยชน์ ${\displaystyle R_{t}}$${\displaystyle 1/\gamma }$${\displaystyle 1/\gamma }$

${\displaystyle R_{t}}$ไม่ได้บอกเราว่าการแพร่กระจายจะเร็วขึ้นหรือช้าลงในระยะหลังเมื่อสัดส่วนของผู้ที่อ่อนแอต่อการติดเชื้อในชุมชนลดลงอย่างมีนัยสำคัญหลังจากหายป่วยหรือได้รับการฉีดวัคซีนแล้ว วิธีนี้จะแก้ไขผลกระทบจากการเจือจางโดยการคูณสัดส่วนของประชากรที่อ่อนแอต่อการติดเชื้อด้วยประชากรทั้งหมด มันแก้ไขปฏิสัมพันธ์ที่มีประสิทธิภาพ/การถ่ายทอดระหว่างผู้ติดเชื้อกับส่วนที่เหลือของชุมชนเมื่อผู้คนส่วนใหญ่มีภูมิคุ้มกันในระยะกลางถึงระยะหลังของการแพร่ระบาดของโรค ดังนั้น เมื่อเราจะเห็นการระบาดแบบทวีคูณ เมื่อจะถึงสภาวะคงที่และจำนวนผู้ติดเชื้อจะไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา และเมื่อโรคจะค่อยๆ ลดลงและจางหายไปตามเวลา ${\displaystyle R_{e}}$${\displaystyle R_{e}>1}$${\displaystyle R_{e}=1}$${\displaystyle R_{e}<1}$

การใช้สมการเชิงอนุพันธ์ของแบบจำลอง SIR และการแปลงเป็นรูปแบบตัวเลขแบบไม่ต่อเนื่อง ทำให้สามารถตั้งสมการเวียนเกิดและคำนวณประชากร S, I และ R ได้โดยใช้เงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด แต่จะสะสมข้อผิดพลาดในช่วงเวลาการคำนวณที่ยาวนานจากจุดอ้างอิง บางครั้ง จำเป็นต้องมี การทดสอบการลู่เข้าเพื่อประเมินข้อผิดพลาด เมื่อกำหนดชุดเงื่อนไขเริ่มต้นและข้อมูลการแพร่กระจายของโรคแล้ว ยังสามารถปรับข้อมูลให้เข้ากับแบบจำลอง SIR และดึงตัวเลขการแพร่พันธุ์ทั้งสามออกมาได้ โดยปกติแล้วข้อผิดพลาดจะน้อยมากเนื่องจากช่วงเวลาสั้นๆ จากจุดอ้างอิง^{[ 24 ] [ 25 ]}สามารถใช้จุดเวลาใดก็ได้เป็นเงื่อนไขเริ่มต้นเพื่อทำนายอนาคตหลังจากนั้นโดยใช้แบบจำลองเชิงตัวเลขนี้ โดยสมมติว่าพารามิเตอร์มีการเปลี่ยนแปลงตามเวลา เช่น ประชากรและอย่างไรก็ตาม เมื่อห่างจากจุดอ้างอิงนี้ ข้อผิดพลาดจะสะสมมากขึ้นเมื่อเวลาผ่านไป ดังนั้นจึง จำเป็นต้องมี การทดสอบการลู่เข้าเพื่อหาช่วงเวลาที่เหมาะสมที่สุดเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่แม่นยำยิ่งขึ้น ${\displaystyle R_{t}}$${\displaystyle \gamma }$

ในบรรดาตัวเลขการแพร่กระจายทั้งสามนี้ค่า มีประโยชน์มากในการประเมินแรงกดดันในการควบคุม เช่น ค่าสูงหมายความว่าโรคจะแพร่กระจายอย่างรวดเร็วและควบคุมได้ยากมาก ค่ามีประโยชน์มากที่สุดในการคาดการณ์แนวโน้มในอนาคต ตัวอย่างเช่น หากเรารู้ว่าการปฏิสัมพันธ์ทางสังคมลดลง 50% จากก่อนการระบาด และความเข้มข้นของการปฏิสัมพันธ์ระหว่างผู้คนยังคงเท่าเดิม เราสามารถกำหนดค่า ได้หากการเว้นระยะห่างทางสังคมและการสวมหน้ากากอนามัยช่วยเพิ่มประสิทธิภาพการติดเชื้อลงอีก 50% เราสามารถกำหนดค่า ได้ ค่าจะมีความสัมพันธ์อย่างสมบูรณ์กับคลื่นของการแพร่กระจาย และเมื่อใดก็ตามที่การแพร่กระจายจะเร่งตัวขึ้น และเมื่อ การแพร่กระจายจะชะลอตัวลง ดังนั้นจึงมีประโยชน์ในการกำหนดการคาดการณ์แนวโน้มระยะสั้น นอกจาก นี้ ยังสามารถใช้ในการคำนวณจำนวนประชากรขั้นต่ำของการฉีดวัคซีน/ภูมิคุ้มกันสำหรับ ขั้นตอน ภูมิคุ้มกันหมู่ โดยตรงได้ โดยการกำหนดค่าและเช่น${\displaystyle R_{0}}$${\displaystyle R_{t}}$${\displaystyle R_{t}=0.5R_{0}}$${\displaystyle R_{t}=0.25R_{0}}$${\displaystyle R_{e}}$${\displaystyle R_{e}>1}$${\displaystyle R_{e}<1}$${\displaystyle R_{t}=R_{0}}$${\displaystyle R_{E}=1}$${\displaystyle S=N/R_{0}}$

พิจารณาประชากรที่มีอัตราการตายและอัตราการเกิดและมีโรคติดต่อแพร่ระบาด^{[ 11 ]}แบบจำลองที่มีการแพร่กระจายแบบปฏิกิริยามวลคือ: ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\Lambda -\mu S-{\frac {\beta IS}{N}}\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&={\frac {\beta IS}{N}}-\gamma I-\mu I\\[8pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I-\mu R\end{aligned}}}$

ซึ่งจุดสมดุลที่ปราศจากโรค (DFE) คือ:

${\displaystyle \left(S(t),I(t),R(t)\right)=\left({\frac {\Lambda }{\mu }},0,0\right).}$

ในกรณีนี้ เราสามารถหาค่าดัชนีการแพร่ระบาดพื้นฐาน ได้ ดังนี้:

${\displaystyle R_{0}={\frac {\beta }{\mu +\gamma }},}$

ซึ่งมีคุณสมบัติแบบเกณฑ์ ในความเป็นจริง โดยไม่ขึ้นอยู่กับค่าเริ่มต้นที่มีความหมายทางชีววิทยา เราสามารถแสดงให้เห็นได้ว่า:

${\displaystyle R_{0}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to \infty }(S(t),I(t),R(t))={\textrm {DFE}}=\left({\frac {\Lambda }{\mu }},0,0\right)}$

${\displaystyle R_{0}>1,I(0)>0\Rightarrow \lim _{t\to \infty }(S(t),I(t),R(t))={\textrm {EE}}=\left({\frac {\gamma +\mu }{\beta }},{\frac {\mu }{\beta }}\left(R_{0}-1\right),{\frac {\gamma }{\beta }}\left(R_{0}-1\right)\right).}$

จุด EE เรียกว่าสมดุลประจำถิ่น (โรคไม่ได้ถูกกำจัดไปอย่างสิ้นเชิงและยังคงอยู่ในประชากร) โดยใช้เหตุผลเชิงอนุมาน เราอาจแสดงให้เห็นว่า ค่า EE สามารถตีความได้ว่าเป็นจำนวนเฉลี่ยของการติดเชื้อที่เกิดจากผู้ติดเชื้อเพียงรายเดียวในประชากรที่อ่อนแอต่อการติดเชื้อทั้งหมด ความสัมพันธ์ข้างต้นในทางชีววิทยาหมายความว่า หากจำนวนนี้มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับหนึ่ง โรคจะสูญพันธุ์ ในขณะที่หากจำนวนนี้มีค่ามากกว่าหนึ่ง โรคจะยังคงเป็นโรคประจำถิ่นในประชากรอย่างถาวร ${\displaystyle R_{0}}$

ในปี พ.ศ. 2460 WO Kermack และ AG McKendrick ได้สร้างแบบจำลองที่พิจารณาประชากรคงที่ที่มีเพียงสามส่วน ได้แก่ ผู้ที่อ่อนแอผู้ติดเชื้อและผู้ที่หายดีส่วนต่างๆ ที่ใช้ในแบบจำลองนี้ประกอบด้วยสามคลาส: ^{[ 5 ]}${\displaystyle S(t)}$${\displaystyle I(t)}$${\displaystyle R(t)}$

• ${\displaystyle S(t)}$ใช้เพื่อแสดงถึงบุคคลที่ยังไม่ติดเชื้อ ณ เวลา t หรือบุคคลที่มีความเสี่ยงต่อการติดเชื้อในประชากร
• ${\displaystyle I(t)}$หมายถึงบุคคลในประชากรที่ติดเชื้อโรคและสามารถแพร่เชื้อไปยังบุคคลที่อยู่ในกลุ่มเสี่ยงได้
• ${\displaystyle R(t)}$เป็นกลุ่มที่ใช้สำหรับบุคคลในประชากรที่เคยติดเชื้อและหายจากโรคแล้ว ไม่ว่าจะด้วยการฉีดวัคซีนหรือเสียชีวิต บุคคลในกลุ่มนี้จะไม่สามารถติดเชื้อซ้ำหรือแพร่เชื้อไปยังผู้อื่นได้

สามารถพิจารณาขั้นตอนการทำงานของแบบจำลองนี้ได้ดังต่อไปนี้:

${\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {S}}\rightarrow {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {R}}}}}$

การใช้ประชากรคงที่ในฟังก์ชันทั้งสามจะระบุว่าค่าควรคงที่ภายในการจำลอง หากใช้การจำลองเพื่อแก้ปัญหาโมเดล SIR หรืออีกทางหนึ่ง สามารถใช้ค่าประมาณเชิงวิเคราะห์^{[ 12 ]}โดยไม่ต้องทำการจำลอง โมเดลเริ่มต้นด้วยค่าของ, และซึ่งเป็นจำนวนคนในกลุ่มที่อ่อนแอ ติดเชื้อ และหายแล้ว ณ เวลาเท่ากับศูนย์ หากสมมติว่าโมเดล SIR เป็นจริงตลอดเวลา เงื่อนไขเริ่มต้นเหล่านี้จะไม่เป็นอิสระต่อกัน^{[ 12 ]}ต่อมา โมเดลการไหลจะอัปเดตตัวแปรทั้งสามสำหรับทุกจุดเวลาด้วยค่าที่กำหนดไว้สำหรับและการจำลองจะอัปเดตผู้ติดเชื้อจากกลุ่มที่อ่อนแอก่อน จากนั้นกลุ่มที่หายแล้วจะได้รับการอัปเดตจากกลุ่มที่ติดเชื้อสำหรับจุดเวลาถัดไป (t=1) ซึ่งอธิบายถึงการไหลของคนระหว่างสามกลุ่ม ในระหว่างการระบาด กลุ่มที่อ่อนแอจะไม่เปลี่ยนแปลงด้วยโมเดลนี้เปลี่ยนแปลงไปตลอดการระบาด และ ก็เช่นกันตัวแปรเหล่านี้กำหนดระยะเวลาของการระบาดและจะต้องได้รับการอัปเดตในแต่ละรอบ ${\displaystyle N=S(t)+I(t)+R(t)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle S(t=0)}$${\displaystyle I(t=0)}$${\displaystyle R(t=0)}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}=-\beta SI}$

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=\beta SI-\gamma I}$

${\displaystyle {\frac {dR}{dt}}=\gamma I}$

ในการกำหนดสมการเหล่านี้ มีการตั้งสมมติฐานหลายประการ: ประการแรก บุคคลในประชากรจะต้องถือว่ามีโอกาสติดเชื้อเท่ากับบุคคลอื่น ๆ ทุกคน โดยมีอัตราการติดเชื้อเท่ากับและมีสัดส่วนการติดต่อกับผู้คนเท่ากันในแต่ละหน่วยเวลา จากนั้น ให้เป็นผลคูณของและนี่คือความน่าจะเป็นของการแพร่เชื้อคูณด้วยอัตราการติดต่อ นอกจากนี้ ผู้ติดเชื้อจะติดต่อกับบุคคลอื่น ๆ ในแต่ละหน่วยเวลา ในขณะที่มีเพียงเศษส่วนเท่านั้นที่อ่อนแอต่อการติดเชื้อ ดังนั้น ผู้ติดเชื้อทุกคนสามารถแพร่เชื้อไปยังบุคคลที่อ่อนแอต่อการติดเชื้อได้ และด้วยเหตุนี้ จำนวนรวมของบุคคลที่อ่อนแอต่อการติดเชื้อที่ติดเชื้อจากผู้ติดเชื้อในแต่ละหน่วยเวลาคือสำหรับสมการที่สองและสาม ให้พิจารณาประชากรที่ออกจากกลุ่มอ่อนแอต่อการติดเชื้อเท่ากับจำนวนที่เข้าสู่กลุ่มผู้ติดเชื้อ อย่างไรก็ตาม จำนวนที่เท่ากับเศษส่วน(ซึ่งแสดงถึงอัตราการฟื้นตัว/อัตราการเสียชีวิตเฉลี่ย หรือระยะเวลาการติดเชื้อเฉลี่ย) ของผู้ติดเชื้อจะออกจากกลุ่มนี้ในแต่ละหน่วยเวลาเพื่อเข้าสู่กลุ่มที่หายจากโรคแล้ว กระบวนการเหล่านี้ซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกันเรียกว่ากฎแห่งการกระทำมวล ซึ่งเป็นแนวคิดที่ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางว่าอัตราการติดต่อระหว่างสองกลุ่มในประชากรเป็นสัดส่วนกับขนาดของแต่ละกลุ่มที่เกี่ยวข้อง สุดท้ายนี้ ถือว่าอัตราการติดเชื้อและการฟื้นตัวเร็วกว่าช่วงเวลาของการเกิดและการตายมาก ดังนั้นปัจจัยเหล่านี้จึงถูกละเลยในแบบจำลองนี้^{[ 26 ]}${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle S/N}$${\displaystyle abS=\beta S}$${\displaystyle \beta SI}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle 1/\gamma }$

คำตอบสภาวะสมดุลเดียวของแบบจำลอง SIR แบบคลาสสิกตามที่กำหนดโดยสมการเชิงอนุพันธ์ข้างต้นคือ I=0 จากนั้น S และ R สามารถมีค่าใดก็ได้ แบบจำลองสามารถเปลี่ยนแปลงได้โดยยังคงรักษาส่วนประกอบทั้งสามไว้ เพื่อให้ได้คำตอบสภาวะสมดุลของการระบาด โดยการเพิ่มปัจจัยนำเข้าบางอย่างเข้าไปในส่วนประกอบ S

ตัวอย่างเช่น อาจตั้งสมมติฐานว่าระยะเวลาที่คาดว่าจะมีความอ่อนไหวจะเป็นโดยที่สะท้อนถึงเวลาที่มีชีวิตอยู่ (อายุขัย) และสะท้อนถึงเวลาที่อยู่ในสถานะอ่อนไหว ก่อนที่จะติดเชื้อ ซึ่งสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้^{[ 27 ]}เป็น: ${\displaystyle \operatorname {E} [\min(T_{L}\mid T_{S})]}$${\displaystyle T_{L}}$${\displaystyle T_{S}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [\min(T_{L}\mid T_{S})]=\int _{0}^{\infty }e^{-(\mu +\delta )x}\,dx={\frac {1}{\mu +\delta }},}$

โดยที่จำนวนผู้ที่เสี่ยงต่อการติดเชื้อคือจำนวนคนที่เข้าสู่กลุ่มเสี่ยงคูณด้วยระยะเวลาที่เสี่ยงต่อการติดเชื้อ: ${\displaystyle \mu N}$

${\displaystyle S={\frac {\mu N}{\mu +\lambda }}.}$

ในทำนองเดียวกัน จำนวนผู้ติดเชื้อในสภาวะคงที่ คือ จำนวนผู้ที่เปลี่ยนจากสภาวะที่อ่อนแอต่อการติดเชื้อเข้าสู่สภาวะติดเชื้อ (จำนวนผู้ที่อ่อนแอต่อการติดเชื้อ คูณด้วยอัตราการติดเชื้อ) คูณด้วยระยะเวลาที่สามารถแพร่เชื้อได้: ${\displaystyle \lambda ={\tfrac {\beta I}{N}},}$${\displaystyle {\tfrac {1}{\mu +v}}}$

${\displaystyle I={\frac {\mu N}{\mu +\lambda }}\lambda {\frac {1}{\mu +v}}.}$

มีการปรับเปลี่ยนโมเดล SIR หลายอย่าง รวมถึงโมเดลที่รวมการเกิดและการตาย ซึ่งเมื่อหายป่วยแล้วจะไม่มีภูมิคุ้มกัน (โมเดล SIS) ซึ่งภูมิคุ้มกันจะคงอยู่เพียงช่วงเวลาสั้นๆ (SIRS) ซึ่งมีระยะแฝงของโรคที่บุคคลนั้นไม่แพร่เชื้อ (SEIS และ SEIR) และซึ่งทารกสามารถเกิดมาพร้อมกับภูมิคุ้มกัน (MSIR) นอกจากนี้ยังสามารถเพิ่มส่วนประกอบสำหรับการฉีดวัคซีน การตรวจหา หรือพาหะนำโรคที่ติดเชื้อ เช่น หมัด เห็บ หรือยุงได้อีกด้วย โมเดลแบบแบ่งส่วนยังสามารถใช้เพื่อสร้างแบบจำลองกลุ่มเสี่ยงหลายกลุ่ม และแม้กระทั่งปฏิสัมพันธ์ของเชื้อโรคหลายชนิด^{[ 28 ] [ 8 ]}

การติดเชื้อบางชนิด เช่นไข้หวัดธรรมดาและไข้หวัดใหญ่ไม่ก่อให้เกิดภูมิคุ้มกันที่คงอยู่ยาวนาน การติดเชื้อเหล่านี้อาจทำให้เกิดความต้านทานชั่วคราว แต่ไม่ให้ภูมิคุ้มกันในระยะยาวหลังจากหายจากการติดเชื้อ และบุคคลนั้นก็จะกลับมาติดเชื้อได้อีกครั้ง

เรามีแบบจำลอง:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=-{\frac {\beta SI}{N}}+\gamma I\\[6pt]{\frac {dI}{dt}}&={\frac {\beta SI}{N}}-\gamma I\end{aligned}}}$

โปรดทราบว่า เมื่อกำหนดให้N เป็น จำนวนประชากรทั้งหมด จะได้ว่า:

${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}+{\frac {dI}{dt}}=0\Rightarrow S(t)+I(t)=N}$.

ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า:

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=(\beta -\gamma )I-{\frac {\beta }{N}}I^{2}}$,

กล่าวคือ พลวัตของการติดเชื้อถูกควบคุมโดยฟังก์ชันโลจิสติกดังนั้น: ${\displaystyle \forall I(0)>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\beta }{\gamma }}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }I(t)=0,\\[6pt]&{\frac {\beta }{\gamma }}>1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }I(t)=\left(1-{\frac {\gamma }{\beta }}\right)N.\end{aligned}}}$

เป็นไปได้ที่จะหาคำตอบเชิงวิเคราะห์สำหรับแบบจำลองนี้ (โดยการแปลงตัวแปร: และแทนที่สิ่งนี้ลงในสมการสนามเฉลี่ย) ^{[ 29 ]}โดยที่อัตราการสืบพันธุ์พื้นฐานมีค่ามากกว่าหนึ่ง คำตอบมีดังนี้ ${\displaystyle I=y^{-1}}$

${\displaystyle I(t)={\frac {I_{\infty }}{1+Ve^{-\chi t}}}}$.

โดยที่ประชากรที่ติดเชื้อประจำถิ่นคือและเนื่องจากระบบถือว่าเป็นระบบปิด ดังนั้นประชากรที่อ่อนแอต่อการติดเชื้อคือ ${\displaystyle I_{\infty }=(1-\gamma /\beta )N}$${\displaystyle \chi =\beta -\gamma }$${\displaystyle V=I_{\infty }/I_{0}-1}$${\displaystyle S(t)=N-I(t)}$

เมื่อใดก็ตามที่จำนวนตัวแทนมีลักษณะเป็นจำนวนเต็ม (ประชากรที่มีจำนวนน้อยกว่าหลายหมื่นคน) ความผันผวนโดยธรรมชาติในกระบวนการแพร่กระจายของโรคที่เกิดจากตัวแทนแบบแยกส่วนส่งผลให้เกิดความไม่แน่นอน^{[ 30 ]}ในสถานการณ์นี้ วิวัฒนาการของโรคที่ทำนายโดยสมการแบบแบ่งส่วนจะเบี่ยงเบนไปจากผลลัพธ์ที่สังเกตได้อย่างมีนัยสำคัญ ความไม่แน่นอนเหล่านี้อาจทำให้การระบาดสิ้นสุดลงเร็วกว่าที่ทำนายโดยสมการแบบแบ่งส่วน

ในกรณีพิเศษ จะได้ฟังก์ชันโลจิสติกส์ปกติโดยการสมมติสิ่งนี้สามารถพิจารณาได้ในแบบจำลอง SIR ด้วย นั่นคือจะไม่มีการกำจัดเกิดขึ้น นั่นคือ แบบ จำลองSI ^{[ 31 ]}ระบบสมการเชิงอนุพันธ์โดยใช้จึงลดลงเหลือ: ${\displaystyle \gamma =0}$${\displaystyle R=0}$${\displaystyle S=N-I}$

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}\propto I\cdot (N-I).}$

ในระยะยาว ตามแบบจำลอง SI ทุกคนจะติดเชื้อ

แบบจำลอง Susceptible-Infectious-Recovered-Deceasedแยกความแตกต่างระหว่างผู้ที่หายป่วย (หมายถึงบุคคลที่รอดชีวิตจากโรคและมีภูมิคุ้มกันแล้ว) และผู้เสียชีวิต [ ^{18 ] แบบ}จำลอง SIRD มีวิธีแก้ปัญหาแบบกึ่งวิเคราะห์โดยใช้วิธีสี่ส่วน^{[ 32 ]}แบบจำลองนี้ใช้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ดังต่อไปนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dS}{dt}}=-{\frac {\beta IS}{N}},\\[6pt]&{\frac {dI}{dt}}={\frac {\beta IS}{N}}-\gamma I-\mu I,\\[6pt]&{\frac {dR}{dt}}=\gamma I,\\[6pt]&{\frac {dD}{dt}}=\mu I,\end{aligned}}}$

อัตราการติดเชื้อ การฟื้นตัว และการเสียชีวิตอยู่ที่ใด ตามลำดับ ^{[ 33 ]}${\displaystyle \beta ,\gamma ,\mu }$

แบบจำลอง Susceptible-Infectious-Recovered-Vaccinatedเป็นแบบจำลอง SIR ที่ขยายเพิ่มเติมซึ่งคำนึงถึงการฉีดวัคซีนให้กับประชากรที่อ่อนแอ^{[ 34 ]}แบบจำลองนี้ใช้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ดังต่อไปนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dS}{dt}}=-{\frac {\beta (t)IS}{N}}-v(t)S,\\[6pt]&{\frac {dI}{dt}}={\frac {\beta (t)IS}{N}}-\gamma (t)I,\\[6pt]&{\frac {dR}{dt}}=\gamma (t)I,\\[6pt]&{\frac {dV}{dt}}=v(t)S,\end{aligned}}}$

โดยที่อัตราการติดเชื้อ การฟื้นตัว และการฉีดวัคซีน ตามลำดับ สำหรับเงื่อนไขเริ่มต้นแบบกึ่งเวลา, , และอัตราส่วนคงที่และแบบจำลองได้รับการแก้ไขโดยประมาณ^{[ 34 ]}การเกิดการระบาดใหญ่ต้องใช้และมีอัตราการฉีดวัคซีนที่ลดลงที่สำคัญซึ่งเกินกว่านั้น ขนาดของช่องที่อ่อนแอในสภาวะสมดุลจะยังคงใกล้เคียงกับเงื่อนไขเริ่มต้นใดๆ ที่สอดคล้องกับสามารถแมปไปยังกรณีพิเศษที่แก้ไขแล้วด้วย^{[ 34 ]}${\displaystyle \beta ,\gamma ,v}$${\displaystyle S(0)=(1-\eta )N}$${\displaystyle I(0)=\eta N}$${\displaystyle R(0)=V(0)=0}$${\displaystyle k=\gamma (t)/\beta (t)}$${\displaystyle b=v(t)/\beta (t)}$${\displaystyle k+b<1-2\eta }$${\displaystyle b_{c}}$${\displaystyle S_{\infty }}$${\displaystyle S(0)}$${\displaystyle S(0)+I(0)+R(0)+V(0)=N}$${\displaystyle R(0)=V(0)=0}$

การแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของแบบจำลองนี้เพื่อคำนวณจำนวนการแพร่กระจายแบบเรียลไทม์ของ COVID-19 สามารถนำไปปฏิบัติได้โดยอาศัยข้อมูลจากประชากรกลุ่มต่างๆ ในชุมชน^{[ 25 ]}การแก้ปัญหาเชิงตัวเลขเป็นวิธีการที่ใช้กันทั่วไปในการวิเคราะห์เครือข่ายจลนศาสตร์ที่ซับซ้อนเมื่อการแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์ทำได้ยากหรือมีข้อจำกัด เช่น เงื่อนไขขอบเขตหรือพารามิเตอร์พิเศษ วิธีนี้ใช้สมการเวียนเกิดในการคำนวณขั้นตอนถัดไปโดยการแปลงการบูรณาการเชิงตัวเลขเป็น ผล รวมรีมันน์ของขั้นตอนเวลาแบบไม่ต่อเนื่อง เช่น ใช้เงินต้นและอัตราดอกเบี้ยของเมื่อวานเพื่อคำนวณดอกเบี้ยของวันนี้ ซึ่งสมมติว่าอัตราดอกเบี้ยคงที่ตลอดทั้งวัน การคำนวณจะมีข้อผิดพลาดที่คาดการณ์ไว้หากไม่ได้รวมการแก้ไขเชิงวิเคราะห์เกี่ยวกับขนาดขั้นตอนเชิงตัวเลข เช่น เมื่ออัตราดอกเบี้ยของการเก็บรวบรวมรายปีถูกทำให้ง่ายขึ้นเป็น 12 เท่าของอัตรารายเดือน จะเกิดข้อผิดพลาดที่คาดการณ์ไว้ ดังนั้นผลลัพธ์ที่คำนวณได้จะมีข้อผิดพลาดสะสมเมื่อขั้นตอนเวลาอยู่ห่างจากจุดอ้างอิงมาก และ จำเป็นต้องมี การทดสอบการบรรจบกันเพื่อประเมินข้อผิดพลาด อย่างไรก็ตาม ข้อผิดพลาดนี้มักจะยอมรับได้สำหรับการปรับข้อมูล เมื่อทำการปรับข้อมูลด้วยช่วงเวลาที่ใกล้เคียงกัน ข้อผิดพลาดจะค่อนข้างน้อย เนื่องจากจุดอ้างอิงอยู่ใกล้เคียงเมื่อเทียบกับการทำนายในช่วงเวลาที่ยาวนานหลังจากจุดอ้างอิง เมื่อดึงข้อมูลแบบเรียลไทม์ออกมาแล้ว เราสามารถเปรียบเทียบกับจำนวนการแพร่ระบาดพื้นฐานได้ ก่อนการฉีดวัคซีนจะช่วยให้ผู้กำหนดนโยบายและประชาชนทั่วไปวัดประสิทธิภาพของกิจกรรมบรรเทาผลกระทบทางสังคม เช่น การเว้นระยะห่างทางสังคมและการสวมหน้ากากอนามัยได้ง่ายๆ โดยการหารภายใต้การฉีดวัคซีนจำนวนมาก เป้าหมายของการควบคุมโรคคือการลดจำนวนการแพร่ระบาดที่มีประสิทธิภาพโดยที่คือจำนวนประชากรที่อ่อนแอต่อการติดเชื้อในขณะนั้น และคือประชากรทั้งหมด เมื่อการแพร่กระจายจะลดลงและจำนวนผู้ติดเชื้อรายวันจะลดลง ${\displaystyle R_{t}}$${\displaystyle R_{t}}$${\displaystyle R_{0}}$${\displaystyle R_{t}}$${\displaystyle {\frac {R_{t}}{R_{0}}}}$${\displaystyle R_{e}={\frac {R_{t}S}{N}}<1}$${\displaystyle S}$${\displaystyle N}$${\displaystyle R_{e}<1}$

แบบ จำลองกลุ่ม ผู้ติดเชื้อ-ผู้หายป่วย-ผู้ได้รับวัคซีน-ผู้เสียชีวิต (SIRVD) ขยายแบบจำลอง SIR เพื่อรวมผลกระทบของแคมเปญการฉีดวัคซีนและอัตราการเสียชีวิตที่ขึ้นอยู่กับเวลาต่อการระบาดของโรค แบบจำลองนี้ครอบคลุมแบบจำลอง SIR, SIRV, SIRD และ SI เป็นกรณีพิเศษ โดยมีอัตราที่ขึ้นอยู่กับเวลาแต่ละอัตราควบคุมการเปลี่ยนแปลงระหว่างเศษส่วนต่างๆ^{[ 35 ]}แบบจำลองนี้ใช้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ต่อไปนี้สำหรับเศษส่วนของประชากร: ${\displaystyle S,I,R,V,D}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dS}{dt}}=-a(t)SI-v(t)S,\\[6pt]&{\frac {dI}{dt}}=a(t)SI-\mu (t)I-\psi (t)I,\\[6pt]&{\frac {dR}{dt}}=\mu (t)I,\\[6pt]&{\frac {dV}{dt}}=v(t)S,\\[6pt]&{\frac {dD}{dt}}=\psi (t)I\end{aligned}}}$

โดยที่อัตราการติดเชื้อ การฉีดวัคซีน การฟื้นตัว และอัตราการเสียชีวิต ตามลำดับ สำหรับเงื่อนไขเริ่มต้นแบบกึ่งเวลา, , และอัตราส่วนคงที่, , และแบบจำลองได้รับการแก้ไขโดยประมาณ และอย่างแม่นยำสำหรับบางกรณีพิเศษ โดยไม่คำนึงถึงรูปแบบฟังก์ชันของ[ ^{35 ] สิ่ง}นี้บรรลุได้โดยการเขียนสมการแบบจำลอง SIRVD ข้างต้นใหม่ในรูปแบบที่เทียบเท่ากัน แต่ลดรูป ${\displaystyle a(t),v(t),\mu (t),\psi (t)}$${\displaystyle S(0)=1-\eta }$${\displaystyle I(0)=\eta }$${\displaystyle R(0)=V(0)=D(0)=0}$${\displaystyle k=\mu (t)/a(t)}$${\displaystyle b=v(t)/a(t)}$${\displaystyle q=\psi (t)/a(t)}$${\displaystyle a(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dS}{d\tau }}=-SI-b(\tau )S,\\[6pt]&{\frac {dI}{d\tau }}=SI-[k(\tau )+q(\tau )]I,\\[6pt]&{\frac {dR}{d\tau }}=k(\tau )I,\\[6pt]&{\frac {dV}{d\tau }}=b(\tau )S,\\[6pt]&{\frac {dD}{d\tau }}=q(\tau )S\end{aligned}}}$

ที่ไหน

${\displaystyle \tau (t)=\int _{0}^{t}a(\xi )d\xi }$

เป็นเวลาที่ลดลงและไม่มีมิติ การพึ่งพาเวลาของสัดส่วนผู้ติดเชื้อและอัตราการติดเชื้อใหม่จะแตกต่างกันเมื่อพิจารณาผลกระทบของการฉีดวัคซีน และเมื่อการพึ่งพาแบบเรียลไทม์ของอัตราการเสียชีวิตและการฟื้นตัวแตกต่างกัน ความแตกต่างเหล่านี้ได้รับการเน้นย้ำสำหรับอัตราส่วนคงที่และอัตราการเสียชีวิตที่ลดลงอย่างค่อยเป็นค่อยไป^{[ 35 ]}กรณีของอัตราส่วนคงที่ทำให้สามารถสร้างวิธีการวินิจฉัยเพื่อดึงพารามิเตอร์โมเดล SIRVD ทั้งหมดจากข้อมูล COVID-19 ที่วัดได้ของคลื่นการระบาดที่เสร็จสมบูรณ์แล้วได้^{[ 35 ]}${\displaystyle I(\tau )}$${\displaystyle j(\tau )=S(\tau )I(\tau )}$

โมเดล SIRVB เพิ่มเส้นทางความก้าวหน้าในโมเดล SIRV ^{[ 36 ]}

สมการจลนศาสตร์จึงเป็นดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dS}{dt}}=-a(t)SI-v(t)S+b(t)[\mu (t)I+v(t)S],\\[6pt]&{\frac {dI}{dt}}=a(t)SI-\mu (t)I,\\[6pt]&{\frac {dR}{dt}}=[1-b(t)]\mu (t)I,\\[6pt]&{\frac {dV}{dt}}=[1-b(t)]v(t)S,\\[6pt]\end{aligned}}}$

โดยที่อัตราการติดเชื้อสามารถเขียนได้เป็น, อัตราการฟื้นตัวสามารถลดรูปให้เหลือค่าคงที่ได้, คืออัตราการฉีดวัคซีน และคืออัตราส่วนหรือสัดส่วนของผู้ที่มีภูมิคุ้มกันแต่ยังเสี่ยงต่อการติดเชื้อซ้ำ (<1) ${\displaystyle a(t)}$${\displaystyle \beta (t)/N}$${\displaystyle \mu (t)}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle v(t)}$${\displaystyle b(t)}$

สำหรับโรคติดเชื้อหลายชนิด รวมถึงโรคหัดทารกไม่ได้เกิดมาอยู่ในกลุ่มเสี่ยงต่อการติดเชื้อ แต่จะมีภูมิคุ้มกันต่อโรคในช่วงสองสามเดือนแรกของชีวิตเนื่องจากการป้องกันจากแอนติบอดีของมารดา (ที่ส่งผ่านทางรกและผ่านทางน้ำนมเหลือง ) นี่เรียกว่าภูมิคุ้มกันแบบพาสซีฟรายละเอียดเพิ่มเติมนี้สามารถแสดงได้โดยการเพิ่มคลาส M (สำหรับภูมิคุ้มกันที่ได้รับจากมารดา) ไว้ที่จุดเริ่มต้นของแบบจำลอง

เพื่อแสดงสิ่งนี้ในเชิงคณิตศาสตร์ จึงมีการเพิ่มช่องเพิ่มเติมM ( t ) ซึ่งส่งผลให้ได้สมการเชิงอนุพันธ์ดังต่อไปนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dM}{dt}}&=\Lambda -\delta M-\mu M\\[8pt]{\frac {dS}{dt}}&=\delta M-{\frac {\beta SI}{N}}-\mu S\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&={\frac {\beta SI}{N}}-\gamma I-\mu I\\[8pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I-\mu R\end{aligned}}}$

บางคนที่เคยเป็นโรคติดเชื้อ เช่นวัณโรคอาจไม่หายขาดและยังคงเป็นพาหะของเชื้ออยู่ แม้ว่าตนเองจะไม่ป่วยเป็นโรคก็ตาม พวกเขาอาจกลับเข้าสู่ภาวะแพร่เชื้อและมีอาการ (เช่นเดียวกับวัณโรค) หรืออาจแพร่เชื้อให้ผู้อื่นต่อไปในขณะที่เป็นพาหะ โดยไม่แสดงอาการใดๆ ตัวอย่างที่โด่งดังที่สุดน่าจะเป็นแมรี มัลลอน ที่แพร่ เชื้อไข้ไทฟอยด์ให้คน 22 คนภาวะพาหะนี้เรียกว่า C

สำหรับโรคติดเชื้อที่สำคัญหลายชนิด จะมีระยะฟักตัวที่ค่อนข้างนาน ซึ่งในช่วงเวลานี้ บุคคลจะติดเชื้อแล้วแต่ยังไม่สามารถแพร่เชื้อได้ ในช่วงเวลานี้ บุคคลนั้นจะอยู่ในกลุ่มE (สำหรับผู้ที่สัมผัสเชื้อ)

สมมติว่าระยะเวลาแฝงเป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลโดยมีพารามิเตอร์(กล่าวคือ ระยะเวลาแฝงเฉลี่ยคือ) และสมมติว่ามีพลวัตทางชีวภาพโดยอัตราการเกิดเท่ากับอัตราการตาย(ดังนั้นจำนวนรวมจึงคงที่) เราจะได้แบบจำลองดังนี้: ${\displaystyle a}$${\displaystyle a^{-1}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle N\mu }$${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\mu N-\mu S-{\frac {\beta IS}{N}}\\[8pt]{\frac {dE}{dt}}&={\frac {\beta IS}{N}}-(\mu +a)E\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&=aE-(\gamma +\mu )I\\[8pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I-\mu R.\end{aligned}}}$

เรามีค่า นี้อยู่ แต่ค่านี้คงที่เพราะสมมติฐานที่ทำให้ง่ายขึ้นว่าอัตราการเกิดและอัตราการตายเท่ากันเท่านั้น โดยทั่วไปแล้วค่านี้เป็นตัวแปร ${\displaystyle S+E+I+R=N,}$${\displaystyle N}$

สำหรับแบบจำลองนี้ ค่าดัชนีการแพร่พันธุ์พื้นฐานคือ:

${\displaystyle R_{0}={\frac {a}{\mu +a}}{\frac {\beta }{\mu +\gamma }}.}$

เช่นเดียวกับแบบจำลอง SIR ในกรณีนี้ เราก็มีจุดสมดุลปลอดโรค ( N , 0, 0, 0) และจุดสมดุลโรคระบาด (EE) เช่นกัน และสามารถแสดงได้ว่า โดยไม่ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้นที่มีความหมายทางชีววิทยา

${\displaystyle \left(S(0),E(0),I(0),R(0)\right)\in \left\{(S,E,I,R)\in [0,N]^{4}:S\geq 0,E\geq 0,I\geq 0,R\geq 0,S+E+I+R=N\right\}}$

กล่าวคือ:

${\displaystyle R_{0}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }\left(S(t),E(t),I(t),R(t)\right)=DFE=(N,0,0,0),}$

${\displaystyle R_{0}>1,I(0)>0\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }\left(S(t),E(t),I(t),R(t)\right)=EE.}$

ในกรณีที่อัตราการสัมผัสเปลี่ยนแปลงเป็นระยะ เงื่อนไขสำหรับความดึงดูดโดยรวมของ DFE คือระบบเชิงเส้นต่อไปนี้ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นคาบ: ${\displaystyle \beta (t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dE_{1}}{dt}}&=\beta (t)I_{1}-(\gamma +a)E_{1}\\[8pt]{\frac {dI_{1}}{dt}}&=aE_{1}-(\gamma +\mu )I_{1}\end{aligned}}}$

มีเสถียรภาพ (กล่าวคือ ค่าไอเกนของฟลอเกต์อยู่ภายในวงกลมหน่วยในระนาบเชิงซ้อน)

แบบจำลอง SEIS คล้ายกับแบบจำลอง SEIR (ด้านบน) ยกเว้นว่าไม่มีการสร้างภูมิคุ้มกันในตอนท้าย

${\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {S}}\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {I}}\to {\mathcal {S}}}}}$

ในแบบจำลองนี้ การติดเชื้อจะไม่ก่อให้เกิดภูมิคุ้มกัน ดังนั้นบุคคลที่หายป่วยแล้วจะกลับมามีความเสี่ยงต่อการติดเชื้ออีกครั้ง โดยจะกลับเข้าไปอยู่ใน กลุ่ม S ( t ) สมการเชิงอนุพันธ์ต่อไปนี้อธิบายแบบจำลองนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\Lambda -{\frac {\beta SI}{N}}-\mu S+\gamma I\\[6pt]{\frac {dE}{dt}}&={\frac {\beta SI}{N}}-(\epsilon +\mu )E\\[6pt]{\frac {dI}{dt}}&=\varepsilon E-(\gamma +\mu )I\end{aligned}}}$

สำหรับกรณีของโรคที่มีปัจจัยเรื่องภูมิคุ้มกันแบบพาสซีฟและระยะฟักตัวนั้น จะมีแบบจำลอง MSEIR เข้ามาเกี่ยวข้อง

${\displaystyle \color {blue}{{\mathcal {M}}\to {\mathcal {S}}\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {I}}\to {\mathcal {R}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dM}{dt}}&=\Lambda -\delta M-\mu M\\[6pt]{\frac {dS}{dt}}&=\delta M-{\frac {\beta SI}{N}}-\mu S\\[6pt]{\frac {dE}{dt}}&={\frac {\beta SI}{N}}-(\varepsilon +\mu )E\\[6pt]{\frac {dI}{dt}}&=\varepsilon E-(\gamma +\mu )I\\[6pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I-\mu R\end{aligned}}}$

แบบจำลอง MSEIRS คล้ายกับแบบจำลอง MSEIR แต่ภูมิคุ้มกันในกลุ่ม R จะเป็นเพียงชั่วคราว กล่าวคือ บุคคลจะกลับมามีความเสี่ยงต่อการติดเชื้ออีกครั้งเมื่อภูมิคุ้มกันชั่วคราวสิ้นสุดลง

${\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {M}}\to {\mathcal {S}}\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {I}}\to {\mathcal {R}}\to {\mathcal {S}}}}}$

ในการพัฒนารูปแบบจำลองที่มีรายละเอียดมากขึ้นสำหรับการวิเคราะห์เชิงลึก รูปแบบจำลองส่วนใหญ่จะถูกสร้างขึ้นสำหรับสถานการณ์การระบาดเฉพาะของโรคเฉพาะ รวมถึงส่วนประกอบสำหรับคำถามวิจัยที่กำหนดเป้าหมาย เช่น ส่วนประกอบการเข้ารักษาในโรงพยาบาลหรือพลวัตการตรวจจับ แม้ว่ารูปแบบจำลองเหล่านั้นมักจะถูกปรับแต่งให้เหมาะกับสถานการณ์เฉพาะ แต่ก็ยังมีรูปแบบจำลองที่ซับซ้อนซึ่งยังคงใช้งานได้กับโรคต่างๆ ที่หลากหลาย หนึ่งในความพยายามที่จะสร้างรูปแบบจำลองทั่วไปนั้นประกอบด้วยส่วนประกอบสิบสองส่วน โดยขยายรูปแบบจำลอง SEIR ที่รู้จักกันดีด้วยขั้นตอนการติดเชื้อระยะที่สอง ส่วนประกอบการตรวจจับ และวัคซีนสองโดส นอกจากนี้ยังมีการรวมการติดเชื้อจากเสมหะผ่านเชื้อก่อโรคภายนอกและรวมประชากรพาหะแบบง่ายๆ ไว้ด้วย ยิ่งไปกว่านั้น ยังสามารถรวมพลวัตของประชากร เช่น กระบวนการเกิด และการตายได้อีกด้วย รูปแบบจำลองที่ซับซ้อนดังกล่าวช่วยให้เข้าใจพลวัตของการติดเชื้อได้ลึกซึ้งยิ่งขึ้น และการนำการแทรกแซงทางเภสัชกรรมและไม่ใช่เภสัชกรรมต่างๆ มาใช้^{[ 8 ]}${\displaystyle P}$${\displaystyle S_{V}}$${\displaystyle I_{V}}$

เป็นที่ทราบกันดีว่าความน่าจะเป็นของการติดโรคไม่ได้คงที่ตลอดเวลา เมื่อการระบาดดำเนินไป ปฏิกิริยาต่อการระบาดอาจเปลี่ยนแปลงอัตราการสัมผัส ซึ่งในแบบจำลองที่ง่ายกว่านั้นถือว่าคงที่ มาตรการรับมือ เช่น การสวมหน้ากากอนามัย การเว้นระยะห่างทางสังคม และการล็อกดาวน์ จะเปลี่ยนแปลงอัตราการสัมผัสในลักษณะที่จะช่วยลดความเร็วของการระบาดได้

นอกจากนี้ โรคบางชนิดก็เป็นโรคตามฤดูกาล เช่น ไวรัส หวัดธรรมดาซึ่งแพร่ระบาดมากขึ้นในช่วงฤดูหนาว สำหรับโรคในวัยเด็ก เช่น โรคหัด คางทูม และหัดเยอรมัน มีความสัมพันธ์อย่างมากกับปฏิทินการศึกษา กล่าวคือ ในช่วงปิดเทอม โอกาสที่จะติดโรคเหล่านี้จะลดลงอย่างมาก ด้วยเหตุนี้ สำหรับโรคหลายประเภท เราควรพิจารณาถึงอัตราการติดเชื้อที่มีอัตราการสัมผัสเปลี่ยนแปลงเป็นระยะ (ตามฤดูกาล)

${\displaystyle F=\beta (t){\frac {I}{N}},\quad \beta (t+T)=\beta (t)}$

โดยมีระยะเวลา T เท่ากับหนึ่งปี

ดังนั้น แบบจำลองของเราจึงกลายเป็น

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\mu N-\mu S-\beta (t){\frac {I}{N}}S\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&=\beta (t){\frac {I}{N}}S-(\gamma +\mu )I\end{aligned}}}$

(พลวัตของการฟื้นตัวสามารถติดตามได้ง่ายจาก) กล่าวคือ ชุดสมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เชิงเส้นที่มีพารามิเตอร์เปลี่ยนแปลงเป็นระยะ เป็นที่ทราบกันดีว่าระบบพลวัตประเภทนี้อาจประสบกับปรากฏการณ์ที่น่าสนใจและซับซ้อนมากของการสั่นพ้องพารามิเตอร์แบบไม่เชิงเส้น เห็นได้ง่ายว่าถ้า: ${\displaystyle R=N-S-I}$

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{\frac {\beta (t)}{\mu +\gamma }}\,dt<1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }(S(t),I(t))=DFE=(N,0),}$

ในขณะที่หากค่าอินทิกรัลมากกว่าหนึ่ง โรคจะไม่หายไป และอาจเกิดการสั่นพ้องดังกล่าวได้ ตัวอย่างเช่น เมื่อพิจารณาอัตราการสัมผัสที่เปลี่ยนแปลงเป็นระยะเป็น 'อินพุต' ของระบบ จะได้ว่าเอาต์พุตเป็นฟังก์ชันเป็นคาบที่มีคาบเป็นผลคูณของคาบของอินพุต สิ่งนี้ช่วยอธิบายการระบาดของโรคติดเชื้อบางชนิดที่เกิดขึ้นหลายปี (โดยทั่วไปคือสองปีครั้ง) โดยอธิบายว่าเป็นการปฏิสัมพันธ์ระหว่างคาบของการแกว่งของอัตราการสัมผัสและคาบเสมือนของการแกว่งที่ลดลงใกล้จุดสมดุลของการระบาด ที่น่าสนใจคือ ในบางกรณี พฤติกรรมอาจเป็นแบบกึ่งคาบหรือแม้แต่แบบอลวนก็ได้

แบบจำลองแบ่งส่วนเชิงพื้นที่และเวลาไม่ได้อธิบายถึงจำนวนรวมทั้งหมด แต่เป็นการอธิบายถึงความหนาแน่นของบุคคลที่อ่อนแอต่อการติดเชื้อ/ติดเชื้อ/หายป่วยแล้ว ดังนั้น แบบจำลองเหล่านี้จึงช่วยให้สามารถจำลองการกระจายตัวของผู้ติดเชื้อในพื้นที่ได้ด้วย ในกรณีส่วนใหญ่ จะทำโดยการรวมแบบจำลอง SIR เข้ากับสมการการแพร่กระจาย

${\displaystyle {\begin{aligned}&\partial _{t}S=D_{S}\nabla ^{2}S-{\frac {\beta IS}{N}},\\[6pt]&\partial _{t}I=D_{I}\nabla ^{2}I+{\frac {\beta IS}{N}}-\gamma I,\\[6pt]&\partial _{t}R=D_{R}\nabla ^{2}R+\gamma I,\end{aligned}}}$^{[ 37 ]}

โดยที่, และเป็นค่าคงที่การแพร่กระจาย ด้วยวิธีนี้จะได้สมการปฏิกิริยา-การแพร่กระจาย (โปรดทราบว่าด้วยเหตุผลด้านมิติ พารามิเตอร์จะต้องเปลี่ยนแปลงเมื่อเทียบกับแบบจำลอง SIR แบบง่าย) แบบจำลองประเภทนี้ในยุคแรกๆ ถูกนำมาใช้เพื่อจำลองการแพร่กระจายของโรคระบาดร้ายแรงในยุโรป^{[ 38 ]}ส่วนขยายของแบบจำลองนี้ถูกนำมาใช้เพื่อรวมผลกระทบของการแทรกแซงที่ไม่ใช่ยา เช่น การเว้นระยะห่างทางสังคม^{[ 39 ]}${\displaystyle D_{S}}$${\displaystyle D_{I}}$${\displaystyle D_{R}}$${\displaystyle \beta }$

เนื่องจากการติดต่อทางสังคม ความรุนแรงของโรคและการเสียชีวิต รวมถึงประสิทธิภาพของมาตรการป้องกัน อาจแตกต่างกันอย่างมากระหว่างกลุ่มประชากรย่อยที่มีปฏิสัมพันธ์กัน เช่น ผู้สูงอายุกับคนหนุ่มสาว จึงอาจใช้แบบจำลอง SEIR แยกต่างหากสำหรับแต่ละกลุ่มย่อยที่เชื่อมต่อกันผ่านลิงก์ปฏิสัมพันธ์^{[ 37 ]}แบบจำลอง SEIR ของกลุ่มประชากรย่อยที่มีปฏิสัมพันธ์กันดังกล่าวถูกนำมาใช้ในการจำลองการระบาดใหญ่ของ COVID-19 ในระดับทวีป เพื่อพัฒนากลยุทธ์การฉีดวัคซีนแบบเฉพาะบุคคล เร่งด่วน และมุ่งเป้าไปที่กลุ่มประชากรย่อย^{[ 40 ]}ซึ่งสัญญาว่าจะทำให้การระบาดใหญ่สั้นลง และลดจำนวนผู้ป่วยและผู้เสียชีวิตในบริบทของการเข้าถึงวัคซีนที่จำกัดในช่วงการระบาดของไวรัสสายพันธุ์ที่น่าเป็นห่วง

แบบจำลอง SIR ได้รับการศึกษาบนเครือข่ายประเภทต่างๆ เพื่อจำลองรูปแบบการเชื่อมต่อที่สมจริงยิ่งกว่าเงื่อนไขการผสมแบบเอกพันธ์ซึ่งมักจำเป็น แบบจำลองง่ายๆ สำหรับการระบาดบนเครือข่ายที่บุคคลมีโอกาสติดเชื้อ p จากเพื่อนบ้านที่ติดเชื้อแต่ละคนในช่วงเวลาที่กำหนด นำไปสู่ผลลัพธ์ที่คล้ายกับการก่อตัวของส่วนประกอบยักษ์บนกราฟสุ่มErdos Renyi ^{[ 41 ]}แบบจำลองช่องสุ่มที่มีเส้นทางการส่งผ่านเวกเตอร์ได้รับการพัฒนาเมื่อเร็วๆ นี้ โดยใช้แนวทางการเดินสุ่มหลายตัวเพื่อตรวจสอบพลวัตการแพร่กระจายในกราฟสุ่มประเภท Watts-Strogatz และ Barabási-Albert เพื่อเลียนแบบรูปแบบการเคลื่อนที่ของมนุษย์ในสภาพแวดล้อมจริงที่ซับซ้อน เช่น เมือง ถนน และเครือข่ายการขนส่ง แบบจำลองนี้ครอบคลุมกลุ่มโรคติดเชื้อที่ส่งผ่านเวกเตอร์ เช่น ไข้เลือดออก มาลาเรีย (แพร่เชื้อโดยยุง) โรคระบาด (แพร่เชื้อโดยหมัด) และอื่นๆ

พลวัตของการระบาดขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงพฤติกรรมของผู้คนเมื่อเวลาผ่านไป ตัวอย่างเช่น ในช่วงเริ่มต้นของการระบาด ผู้คนมักไม่รู้และไม่ระมัดระวัง จากนั้นหลังจากเกิดการระบาดและเกิดความตื่นตระหนก พวกเขาก็เริ่มปฏิบัติตามข้อจำกัดต่างๆ และการแพร่ระบาดของโรคอาจลดลง เมื่อเวลาผ่านไป บางคนอาจรู้สึกเหนื่อยหน่าย/หงุดหงิดกับข้อจำกัดและหยุดปฏิบัติตาม (ความเหนื่อยล้า) โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากจำนวนผู้ป่วยรายใหม่ลดลง หลังจากพักผ่อนสักระยะ พวกเขาก็อาจปฏิบัติตามข้อจำกัดอีกครั้ง แต่ในช่วงที่หยุดพักนี้ การระบาดระลอกที่สองอาจเกิดขึ้นและรุนแรงกว่าระลอกแรกควรพิจารณาพลวัตทางสังคม ด้วย แบบจำลอง ฟิสิกส์ทางสังคมของความเครียดทางสังคมช่วยเสริมแบบจำลองการระบาดแบบคลาสสิก^{[ 42 ]}

แบบจำลอง ความเครียดทางสังคม SIR (SIR _SS ) ที่ง่ายที่สุดจัดเรียงดังนี้ บุคคลที่อ่อนแอ (S) สามารถแบ่งออกเป็นสามกลุ่มย่อยตามประเภทของพฤติกรรม ได้แก่ ไม่รู้หรือไม่ตระหนักถึงการระบาด (S _sign ) ต้านทานอย่างมีเหตุผล (S _res ) และอ่อนล้า (S _exh ) ที่ไม่ตอบสนองต่อสิ่งเร้าภายนอก (นี่คือช่วงเวลาที่ไม่ตอบสนอง) กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ S(t) = S _sign (t) + S _res (t) + S _exh (t) ในเชิงสัญลักษณ์ แบบจำลองความเครียดทางสังคมสามารถนำเสนอได้ด้วย "แผนผังปฏิกิริยา" (โดยที่ I แทนบุคคลที่ติดเชื้อ):

• ${\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {S_{ign}}}+2{\mathcal {I}}\to {\mathcal {S_{res}}}+2{\mathcal {I}}}}}$– ปฏิกิริยาการเคลื่อนย้าย (รูปแบบเร่งปฏิกิริยาด้วยตนเองในที่นี้หมายความว่า อัตราการเปลี่ยนแปลงเป็นสัดส่วนกับกำลังสองของเศษส่วนที่ติดเชื้อ I)
• ${\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {S_{res}}}\to {\mathcal {S_{exh}}}}}}$- กระบวนการอ่อนเพลียเนื่องจากความเหนื่อยล้าจากมาตรการจำกัดต่างๆ เพื่อป้องกันการแพร่ระบาดของโรค
• ${\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {S_{exh}}}\to {\mathcal {S_{ign}}}}}}$– การผ่อนคลายอย่างช้าๆ กลับสู่สภาวะเริ่มต้น (สิ้นสุดช่วงเวลาที่ไม่ตอบสนอง)

ปฏิกิริยาการระบาด หลักของ SIR

• ${\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {S_{...}}}+{\mathcal {I}}\to {\mathcal {2I}}}}}$

มีค่าคงที่อัตราการเกิดปฏิกิริยาที่แตกต่างกันสำหรับ S _sign , S _resและ S _exhคาดว่าสำหรับ S _resจะมีค่าต่ำกว่าสำหรับ S _signและS _sign${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta }$

ความแตกต่างระหว่างประเทศต่างๆ มุ่งเน้นไปที่ค่าคงที่จลนพลศาสตร์สองค่า ได้แก่ อัตราการระดมพลและอัตราการหมดแรงที่คำนวณสำหรับการระบาดของ COVID-19 ใน 13 ประเทศ^{[ 42 ]}ค่าคงที่เหล่านี้สำหรับการระบาดในทุกประเทศสามารถดึงออกมาได้โดยการปรับแบบจำลอง SIR _SSให้เข้ากับข้อมูลที่เผยแพร่ต่อสาธารณะ ^{[ 43 ]}

จากแบบจำลอง SIR แบบคลาสสิก สมการ Korteweg-de Vries (KdV)–SIR และวิธีแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์ได้รับการเสนอเพื่อแสดงพลวัตพื้นฐานของคลื่นการระบาด การพึ่งพาของวิธีแก้ปัญหาต่อพารามิเตอร์ และการพึ่งพาของขอบเขตการคาดการณ์ต่อวิธีแก้ปัญหาประเภทต่างๆ^{[ 44 ]}สมการ KdV-SIR เขียนได้ดังนี้:

${\displaystyle {\frac {d^{2}I}{dt}}-\sigma _{o}^{2}I+{\frac {3}{2}}{\frac {\sigma _{o}^{2}}{I_{max}}}I^{2}=0}$.

ที่นี่,

${\displaystyle \sigma _{o}=\gamma (R_{o}-1)}$,

${\displaystyle R_{o}={\frac {\beta }{\gamma }}{\frac {S_{o}}{N}}}$,

และ

${\displaystyle I_{max}={\frac {S_{o}}{2}}{\frac {(R_{o}-1)^{2}}{R_{o}^{2}}}}$.

${\displaystyle S_{o}}$แสดงถึงค่าเริ่มต้นของตัวแปรสถานะพารามิเตอร์(σ-naught) และ(R-naught) คืออัตราการเติบโตสัมพัทธ์ที่ไม่ขึ้นกับเวลาและจำนวนการแพร่พันธุ์พื้นฐานตามลำดับ แสดงถึงค่าสูงสุดของตัวแปรสถานะ (สำหรับจำนวนผู้ติดเชื้อ) สมการ KdV-SIR มีรูปแบบเดียวกันกับสมการ Korteweg–De Vriesในพิกัดคลื่นเดินทาง คำตอบเชิงวิเคราะห์ของสมการ KdV-SIR เขียนได้ดังนี้: ${\displaystyle S}$${\displaystyle \sigma _{o}}$${\displaystyle R_{o}}$${\displaystyle I_{max}}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle I=I_{max}sech^{2}\left({\frac {\sigma _{o}}{2}}t\right)}$,

ซึ่งแสดงถึงคำตอบของคลื่นเดี่ยว

การจำลองประชากรทั้งหมดซึ่งอาจมีจำนวนหลายล้านคนโดยใช้ค่าคงที่สองค่าดูเหมือนจะเกินจริงไป เพราะแต่ละบุคคลมีลักษณะเฉพาะตัวที่ส่งผลต่อการแพร่กระจาย เช่น สถานะภูมิคุ้มกัน พฤติกรรมการติดต่อ และอื่นๆ ดังนั้นจึงน่าสนใจที่จะทราบว่าจะเกิดอะไรขึ้นหากตัวอย่างเช่นและไม่ใช่ค่าคงที่สองค่า แต่เป็นตัวแปรสุ่มบางตัว (คู่หนึ่งสำหรับแต่ละบุคคล) กระบวนการนี้มีชื่อเรียกหลายชื่อ เช่น "แบบจำลองที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน" "การจัดโครงสร้าง" (ดูเพิ่มเติมด้านล่างสำหรับแบบจำลองที่มีโครงสร้างตามอายุ) หรือมุมมองแบบ "เบย์เซียน" ^{[ 45 ] [ 46 ] [ 47 ]}ผลลัพธ์ที่น่าประหลาดใจเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น มีการพิสูจน์ใน^{[ 45 ]}ว่าจำนวนผู้ติดเชื้อในช่วงจุดสูงสุดของการระบาดที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันนั้นน้อยกว่าการระบาดแบบกำหนดที่มีค่าเฉลี่ยเดียวกันซึ่งเป็นเช่นเดียวกันสำหรับขนาดการระบาดทั้งหมดและแบบจำลองอื่นๆ เช่น SEIR ^{[ 45 ]}${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle S(0)-S(\infty )}$

แบบจำลอง SIR สามารถปรับเปลี่ยนเพื่อจำลองการฉีดวัคซีนได้^{[ 48 ]}โดยทั่วไปแล้ว แบบจำลองเหล่านี้จะเพิ่มช่องเพิ่มเติมให้กับแบบจำลอง SIR สำหรับบุคคลที่ได้รับการฉีดวัคซีน ตัวอย่างบางส่วนมีดังต่อไปนี้ ${\displaystyle V}$

ในกรณีที่มีโรคติดต่อระบาด ภารกิจหลักอย่างหนึ่งคือการกำจัดโรคเหล่านั้นด้วยมาตรการป้องกัน และหากเป็นไปได้ ควรจัดทำโครงการฉีดวัคซีนหมู่ ลองพิจารณาโรคที่ทารกแรกเกิดได้รับการฉีดวัคซีน (ด้วยวัคซีนที่ให้ภูมิคุ้มกันตลอดชีวิต) ในอัตราดังนี้: ${\displaystyle P\in (0,1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\nu N(1-P)-\mu S-\beta {\frac {I}{N}}S\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&=\beta {\frac {I}{N}}S-(\mu +\gamma )I\\[8pt]{\frac {dV}{dt}}&=\nu NP-\mu V\end{aligned}}}$

กลุ่มผู้ที่ได้รับการฉีดวัคซีน อยู่ที่ไหน สามารถแสดงให้เห็นได้ทันทีว่า:${\displaystyle V}$

${\displaystyle \lim _{t\to +\infty }V(t)=NP,}$

ดังนั้นเราจะพิจารณาพฤติกรรมระยะยาวของและซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขดังนี้: ${\displaystyle S}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle R_{0}(1-P)\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }\left(S(t),I(t)\right)=DFE=\left(N\left(1-P\right),0\right)}$

${\displaystyle R_{0}(1-P)>1,\quad I(0)>0\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }\left(S(t),I(t)\right)=EE=\left({\frac {N}{R_{0}(1-P)}},N\left(R_{0}(1-P)-1\right)\right).}$

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ถ้า

${\displaystyle P<P^{*}=1-{\frac {1}{R_{0}}}}$

โครงการฉีดวัคซีนไม่ประสบความสำเร็จในการกำจัดโรค ตรงกันข้าม โรคนี้จะยังคงแพร่ระบาดต่อไป แม้ว่าจะอยู่ในระดับที่ต่ำกว่ากรณีที่ไม่มีการฉีดวัคซีนก็ตาม นี่หมายความว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ชี้ให้เห็นว่า สำหรับโรคที่มีค่าดัชนีการแพร่พันธุ์พื้นฐานสูงถึง 18 ควรฉีดวัคซีนให้ทารกแรกเกิดอย่างน้อย 94.4% เพื่อกำจัดโรคให้หมดไป

สังคมสมัยใหม่กำลังเผชิญกับความท้าทายของการยกเว้นอย่าง "มีเหตุผล" กล่าวคือ การตัดสินใจของครอบครัวที่จะไม่ฉีดวัคซีนให้บุตรหลานอันเป็นผลมาจากการเปรียบเทียบอย่าง "มีเหตุผล" ระหว่างความเสี่ยงที่รับรู้ได้จากการติดเชื้อและความเสี่ยงจากอันตรายที่ได้รับจากวัคซีน เพื่อประเมินว่าพฤติกรรมนี้มีเหตุผลจริงหรือไม่ กล่าวคือ หากมันสามารถนำไปสู่การกำจัดโรคได้เช่นกัน เราอาจสมมติง่ายๆ ว่าอัตราการฉีดวัคซีนเป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นตามจำนวนผู้ติดเชื้อ:

${\displaystyle P=P(I),\quad P'(I)>0.}$

ในกรณีเช่นนี้ เงื่อนไขในการกำจัดโรคจะเป็นดังนี้:

${\displaystyle P(0)\geq P^{*},}$

กล่าวคือ อัตราการฉีดวัคซีนขั้นพื้นฐานควรสูงกว่าเกณฑ์ "การฉีดวัคซีนภาคบังคับ" ซึ่งในกรณีของการยกเว้นนั้น เกณฑ์ดังกล่าวจะไม่สามารถคงอยู่ได้ ดังนั้น การยกเว้นที่ "สมเหตุสมผล" อาจเป็นการมองการณ์สั้น เนื่องจากอิงจากอัตราการติดเชื้อต่ำในปัจจุบันอันเนื่องมาจากอัตราการฉีดวัคซีนสูงเท่านั้น โดยไม่ได้คำนึงถึงการระบาดซ้ำในอนาคตอันเนื่องมาจากอัตราการฉีดวัคซีนลดลง

ในกรณีที่มีการฉีดวัคซีนให้กับผู้ที่ไม่ใช่ทารกแรกเกิดในอัตรา ρ ด้วย สมการสำหรับผู้ที่มีความเสี่ยงและผู้ที่ได้รับวัคซีนจะต้องได้รับการแก้ไขดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\mu N(1-P)-\mu S-\rho S-\beta {\frac {I}{N}}S\\[8pt]{\frac {dV}{dt}}&=\mu NP+\rho S-\mu V\end{aligned}}}$

ซึ่งนำไปสู่สภาวะการกำจัดดังต่อไปนี้:

${\displaystyle P\geq 1-\left(1+{\frac {\rho }{\mu }}\right){\frac {1}{R_{0}}}}$

กลยุทธ์นี้เป็นการฉีดวัคซีนซ้ำๆ ให้กับกลุ่มอายุที่กำหนด (เช่น เด็กเล็กหรือผู้สูงอายุ) ในประชากรกลุ่มเสี่ยงเป็นระยะเวลานาน โดยใช้กลยุทธ์นี้ กลุ่มบุคคลที่เสี่ยงต่อการติดเชื้อจะถูกกำจัดออกไปทันที ทำให้สามารถกำจัดโรคติดต่อ (เช่น โรคหัด) ออกจากประชากรทั้งหมดได้ ทุกๆ T หน่วยเวลา จะมีการฉีดวัคซีนให้กับกลุ่มบุคคลที่เสี่ยงต่อการติดเชื้อในสัดส่วนคงที่ p ในช่วงเวลาที่ค่อนข้างสั้น (เมื่อเทียบกับพลวัตของโรค) ซึ่งนำไปสู่สมการเชิงอนุพันธ์แบบกระตุ้นต่อไปนี้สำหรับกลุ่มบุคคลที่เสี่ยงต่อการติดเชื้อและผู้ที่ได้รับการฉีดวัคซีน:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\mu N-\mu S-\beta {\frac {I}{N}}S,\quad S(nT^{+})=(1-p)S(nT^{-}),&&n=0,1,2,\ldots \\[8pt]{\frac {dV}{dt}}&=-\mu V,\quad V(nT^{+})=V(nT^{-})+pS(nT^{-}),&&n=0,1,2,\ldots \end{aligned}}}$

จะเห็นได้ง่ายว่า เมื่อกำหนดให้I = 0จะได้ว่าพลวัตของกลุ่มผู้ที่อ่อนไหวต่อการเปลี่ยนแปลงนั้นเป็นดังนี้:

${\displaystyle S^{*}(t)=1-{\frac {p}{1-(1-p)E^{-\mu T}}}E^{-\mu MOD(t,T)}}$

และเงื่อนไขการกำจัดคือ:

${\displaystyle R_{0}\int _{0}^{T}S^{*}(t)\,dt<1}$