ในฟิสิกส์โดยเฉพาะกลศาสตร์เชิงสถิติกลุ่ม(หรือกลุ่มสถิติ ) คือการจำลองแบบที่ประกอบด้วยสำเนาเสมือนจำนวนมาก (บางครั้งอาจมีจำนวนอนันต์) ของระบบซึ่งพิจารณาพร้อมกันทั้งหมด โดยแต่ละสำเนาแสดงถึงสถานะที่เป็นไปได้ที่ระบบจริงอาจอยู่ในนั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง กลุ่มสถิติคือชุดของระบบอนุภาคที่ใช้ในกลศาสตร์เชิงสถิติเพื่ออธิบายระบบเดียว^{[ 1 ]}แนวคิดของกลุ่มได้รับการแนะนำโดยJ. Willard Gibbsในปี 1902 ^{[ 2 ]}

กลุ่มเทอร์โมไดนามิกเป็นกลุ่มสถิติชนิดหนึ่งโดยเฉพาะ ซึ่งมีคุณสมบัติอื่นๆ อีกหลายประการ รวมถึงอยู่ในสมดุลทางสถิติ (นิยามไว้ด้านล่าง) และใช้ในการอนุมานคุณสมบัติของระบบเทอร์โมไดนามิกจากกฎของกลศาสตร์คลาสสิกหรือกลศาสตร์ควอนตัม^{[ 3 ] [ 4 ]}

กลุ่มตัวอย่างนี้ทำให้แนวคิดที่ว่า นักทดลองที่ทำการทดลองซ้ำแล้วซ้ำเล่าภายใต้เงื่อนไขระดับมหภาคเดียวกัน แต่ไม่สามารถควบคุมรายละเอียดระดับจุลภาคได้ อาจคาดหวังว่าจะสังเกตเห็นผลลัพธ์ที่แตกต่างกันออกไปนั้นเป็นรูปธรรม

ขนาดเชิงสมมติของกลุ่มตัวอย่างในอุณหพลศาสตร์ กลศาสตร์เชิงสถิติ และกลศาสตร์เชิงสถิติควอนตัมอาจมีขนาดใหญ่มาก โดยรวมถึงสถานะจุลภาค ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ที่ระบบอาจอยู่ในนั้น ซึ่งสอดคล้องกับ คุณสมบัติ มหภาค ที่สังเกตได้ สำหรับกรณีทางฟิสิกส์ที่สำคัญหลายกรณี สามารถคำนวณค่าเฉลี่ยโดยตรงเหนือกลุ่มตัวอย่างทางอุณหพลศาสตร์ทั้งหมด เพื่อให้ได้สูตรที่ชัดเจนสำหรับปริมาณทางอุณหพลศาสตร์ที่น่าสนใจหลายอย่าง ซึ่งมักอยู่ในรูปของฟังก์ชันการแบ่งส่วน ที่ เหมาะสม

แนวคิดของกลุ่มสมดุลหรือกลุ่มคงที่มีความสำคัญต่อการประยุกต์ใช้กลุ่มสถิติหลายประการ แม้ว่าระบบกลไกจะมีการเปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลา แต่กลุ่มสถิติไม่จำเป็นต้องเปลี่ยนแปลงตามไปด้วย อันที่จริง กลุ่มสถิติจะไม่เปลี่ยนแปลงหากประกอบด้วยเฟสในอดีตและอนาคตทั้งหมดของระบบ กลุ่มสถิติดังกล่าวซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลาเรียกว่ากลุ่มคงที่และอาจกล่าวได้ว่าอยู่ในภาวะสมดุลทางสถิติ^{[ 2 ]}

• คำว่า "ensemble" ยังใช้สำหรับกลุ่มของความเป็นไปได้ที่เล็กกว่าซึ่งสุ่มมาจากชุดสถานะที่เป็นไปได้ทั้งหมด ตัวอย่างเช่น กลุ่มของตัวเดินใน กระบวนการวน ซ้ำแบบมอนเตคาร์โลของห่วงโซ่มาร์คอฟจะถูกเรียกว่า ensemble ในเอกสารบางฉบับ
• คำว่า "ensemble" มักใช้ในวิชาฟิสิกส์และวรรณกรรมที่ได้รับอิทธิพลจากฟิสิกส์ ส่วนในทฤษฎีความน่าจะเป็นคำว่า " probability space" นั้น ใช้กันอย่างแพร่หลายมากกว่า

การศึกษาด้านอุณหพลศาสตร์เกี่ยวข้องกับระบบที่มนุษย์รับรู้ได้ว่า "คงที่" (แม้ว่าส่วนประกอบภายในจะเคลื่อนไหวก็ตาม) และสามารถอธิบายได้ง่ายๆ ด้วยชุดตัวแปรที่สังเกตได้ในระดับมหภาค ระบบเหล่านี้สามารถอธิบายได้ด้วยกลุ่มทางสถิติที่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ที่สังเกตได้เพียงไม่กี่ตัว และอยู่ในสมดุลทางสถิติ กิบบส์ตั้งข้อสังเกตว่าข้อจำกัดระดับมหภาคที่แตกต่างกันนำไปสู่กลุ่มประเภทต่างๆ ที่มีลักษณะทางสถิติเฉพาะ

"เราอาจจินตนาการถึงระบบจำนวนมากที่มีลักษณะเดียวกัน แต่แตกต่างกันในการกำหนดค่าและความเร็วที่พวกมันมีในช่วงเวลาที่กำหนด และแตกต่างกันไม่เพียงแค่เล็กน้อยเท่านั้น แต่ยังอาจครอบคลุมการผสมผสานของการกำหนดค่าและความเร็วที่เป็นไปได้ทั้งหมด..." JW Gibbs (1903) ^{[ 5 ]}

Gibbs ได้กำหนดกลุ่มเทอร์โมไดนามิกที่สำคัญสามกลุ่มไว้ดังนี้: ^{[ 2 ]}

• กลุ่มไมโครแคนอนิก (หรือกลุ่ม NVE ) — กลุ่มสถิติที่พลังงานรวมของระบบและจำนวนอนุภาคในระบบถูกกำหนดให้มีค่าเฉพาะเจาะจง โดยสมาชิกแต่ละตัวของกลุ่มจะต้องมีพลังงานรวมและจำนวนอนุภาคเท่ากัน ระบบจะต้องแยกตัวออกจากสิ่งแวดล้อมโดยสิ้นเชิง (ไม่สามารถแลกเปลี่ยนพลังงานหรืออนุภาคกับสิ่งแวดล้อมได้) เพื่อให้อยู่ในสภาวะสมดุลทางสถิติ ^{[ 2 ]}
• กลุ่มแคนอนิกัล (หรือกลุ่ม NVT ) — กลุ่มทางสถิติที่พลังงานไม่เป็นที่ทราบแน่ชัด แต่จำนวนอนุภาคคงที่ แทนที่จะระบุพลังงาน จะระบุ อุณหภูมิ แทน กลุ่มแคนอนิกัลเหมาะสมสำหรับการอธิบายระบบปิดที่อยู่ในหรือเคยอยู่ในสภาวะสัมผัสทางความร้อน อ่อนๆ กับอ่างความร้อน เพื่อให้อยู่ในสมดุลทางสถิติ ระบบจะต้องยังคงปิดสนิท (ไม่สามารถแลกเปลี่ยนอนุภาคกับสิ่งแวดล้อมได้) และอาจเข้าสู่สภาวะสัมผัสทางความร้อนอ่อนๆ กับระบบอื่นๆ ที่อธิบายโดยกลุ่มที่มีอุณหภูมิเดียวกัน ^{[ 2 ]}
• กลุ่มแกรนด์แคนอนิก (หรือกลุ่ม μVT ) — กลุ่มสถิติที่พลังงานและจำนวนอนุภาคไม่คงที่ แต่จะระบุอุณหภูมิและศักยภาพทางเคมีแทน กลุ่มแกรนด์แคนอนิกเหมาะสมสำหรับการอธิบายระบบเปิด คือ ระบบที่อยู่ในหรือเคยอยู่ในสภาวะสัมผัสอ่อนๆ กับแหล่งกักเก็บ (สัมผัสทางความร้อน สัมผัสทางเคมี สัมผัสทางรังสี สัมผัสทางไฟฟ้า ฯลฯ) กลุ่มนี้จะยังคงอยู่ในสมดุลทางสถิติหากระบบนี้เข้าสู่สภาวะสัมผัสอ่อนๆ กับระบบอื่นๆ ที่อธิบายโดยกลุ่มที่มีอุณหภูมิและศักยภาพทางเคมีเดียวกัน ^{[ 2 ]}

การคำนวณที่สามารถทำได้โดยใช้กลุ่มเหล่านี้แต่ละกลุ่มจะได้รับการสำรวจเพิ่มเติมในบทความที่เกี่ยวข้อง นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดกลุ่มเทอร์โมไดนามิกอื่นๆ ได้อีกด้วย ซึ่งสอดคล้องกับข้อกำหนดทางกายภาพที่แตกต่างกัน โดยมักจะสามารถอนุมานสูตรที่คล้ายคลึงกันได้ ตัวอย่างเช่น ในกลุ่มปฏิกิริยา การผันผวนของจำนวนอนุภาคจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อเป็นไปตามสัดส่วนของปฏิกิริยาเคมีที่มีอยู่ในระบบเท่านั้น^{[ 6 ]}

ในขีดจำกัดทางเทอร์โมไดนามิกส์ กลุ่มทั้งหมดควรสร้างค่าสังเกตที่เหมือนกันเนื่องจากการแปลงเลอจองเดอร์การเบี่ยงเบนจากกฎนี้เกิดขึ้นภายใต้เงื่อนไขที่ตัวแปรสถานะไม่เป็นนูน เช่น การวัดโมเลกุลขนาดเล็ก^{[ 7 ]}

รูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่แม่นยำสำหรับกลุ่มสถิติจะมีรูปแบบที่แตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับประเภทของกลศาสตร์ที่กำลังพิจารณา (ควอนตัมหรือคลาสสิก) ในกรณีคลาสสิก กลุ่มสถิติจะเป็นการกระจายความน่าจะเป็นเหนือสถานะจุลภาค ในกลศาสตร์ควอนตัม แนวคิดนี้ซึ่งมาจากฟอน นอยมันน์เป็นวิธีหนึ่งในการกำหนดการกระจายความน่าจะเป็นเหนือผลลัพธ์ของแต่ละชุดของตัวแปรที่สังเกตได้ซึ่งสลับกันได้อย่างสมบูรณ์ในกลศาสตร์คลาสสิก กลุ่มสถิติจะถูกเขียนแทนด้วยการกระจายความน่าจะเป็นในปริภูมิเฟส สถานะจุลภาคเป็นผลมาจากการแบ่งปริภูมิเฟสออกเป็นหน่วยที่มีขนาดเท่ากัน แม้ว่าขนาดของหน่วยเหล่านี้สามารถเลือกได้อย่างค่อนข้างตามอำเภอใจ

หากเราละเว้นคำถามเกี่ยวกับการสร้างกลุ่มตัวอย่างทางสถิติ ในเชิงปฏิบัติไว้ก่อนเราควรจะสามารถดำเนินการสองอย่างต่อไปนี้กับกลุ่มตัวอย่างAและBของระบบเดียวกันได้:

• ทดสอบว่าAและBมีความเท่าเทียมกันทางสถิติ หรือไม่
• ถ้าpเป็นจำนวนจริงที่0 < p < 1แล้วให้สร้างกลุ่มตัวอย่างใหม่โดยการสุ่มตัวอย่างแบบความน่าจะเป็นจากA ด้วยความน่าจะเป็นpและจากBด้วยความน่าจะเป็น1 − p

ดังนั้น ภายใต้เงื่อนไขบางประการชั้นสมมูลของกลุ่มสถิติจะมีโครงสร้างเป็นเซตแบบนูน

กลุ่มสถิติในกลศาสตร์ควอนตัม (หรือที่เรียกว่าสถานะผสม) มักแสดงด้วยเมทริกซ์ความหนาแน่นซึ่งเขียนแทนด้วยเมทริกซ์ความหนาแน่นเป็นเครื่องมือทั่วไปที่สามารถรวมทั้งความไม่แน่นอนควอนตัม (ซึ่งมีอยู่แม้ว่าสถานะของระบบจะทราบอย่างสมบูรณ์) และความไม่แน่นอนแบบคลาสสิก (เนื่องจากขาดความรู้) ในลักษณะที่เป็นหนึ่งเดียว ตัวแปรทางกายภาพใดๆXในกลศาสตร์ควอนตัมสามารถเขียนได้ในรูปตัวดำเนินการค่าคาดหวังของตัวดำเนินการนี้บนกลุ่มสถิติจะกำหนดโดยร่องรอย ต่อไปนี้ : สิ่งนี้สามารถใช้เพื่อประเมินค่าเฉลี่ย (ตัวดำเนินการ), ความแปรปรวน (โดยใช้ตัวดำเนินการ), ความแปรปรวนร่วม (โดยใช้ตัวดำเนินการ) เป็นต้น เมทริกซ์ความหนาแน่นต้องมีร่องรอยเท่ากับ 1 เสมอ: (โดยพื้นฐานแล้วนี่คือเงื่อนไขที่ว่าผลรวมของความน่าจะเป็นต้องเท่ากับหนึ่ง) ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$${\displaystyle {\hat {X}}}$${\displaystyle \rho }$$${\displaystyle \langle X\rangle =\ชื่อผู้ดำเนินการ {Tr} ({\hat {X}}\rho )}$$${\displaystyle {\hat {X}}}$${\displaystyle {\hat {X}}^{2}}$${\displaystyle {\hat {X}}{\hat {Y}}}$${\displaystyle \operatorname {Tr} {\hat {\rho }}=1}$

โดยทั่วไปแล้ว กลุ่มอนุภาคจะเปลี่ยนแปลงไปตามเวลาตามสมการของฟอน นอยมันน์

กลุ่มสมดุล (กลุ่มที่ไม่เปลี่ยนแปลงไปตามเวลา) สามารถเขียนได้โดยใช้เพียงฟังก์ชันของตัวแปรอนุรักษ์เท่านั้น ตัวอย่างเช่นกลุ่มไมโครแคนอนิกและกลุ่มแคนอนิกเป็นฟังก์ชันของพลังงานรวมเท่านั้น ซึ่งวัดได้จากตัวดำเนินการพลังงานรวม(แฮมิลโทเนียน) ส่วนกลุ่มแกรนด์แคนอนิกเป็นฟังก์ชันของจำนวนอนุภาคด้วย ซึ่งวัดได้จากตัวดำเนินการจำนวนอนุภาครวมกลุ่มสมดุลดังกล่าวเป็นเมทริกซ์แนวทแยงในฐานเชิงตั้งฉากของสถานะที่ทำให้ตัวแปรอนุรักษ์แต่ละตัวเป็นเมทริกซ์แนวทแยงพร้อมกัน ในสัญกรณ์ bra–ketเมทริกซ์ความหนาแน่นคือ โดยที่| ψ _i ⟩ซึ่งมีดัชนีเป็นiคือองค์ประกอบของฐานที่สมบูรณ์และตั้งฉาก (โปรดทราบว่าในฐานอื่นๆ เมทริกซ์ความหนาแน่นไม่จำเป็นต้องเป็นเมทริกซ์แนวทแยง) ${\displaystyle d{\hat {\rho }}/dt=0}$${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle {\hat {N}}}$$${\displaystyle {\hat {\rho }}=\sum _{i}P_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|,}$$

ในกลศาสตร์คลาสสิก กลุ่มหนึ่งจะถูกแทนด้วยฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นที่กำหนดไว้เหนือ ปริภูมิเฟสของระบบ^{[ 2 ]}ในขณะที่ระบบแต่ละระบบวิวัฒนาการตามสมการของแฮมิลตันฟังก์ชันความหนาแน่น (กลุ่ม) จะวิวัฒนาการไปตามเวลาตามสมการของลิอูวิล ล์

ในระบบเชิงกลที่มีจำนวนชิ้นส่วนที่กำหนดไว้ พื้นที่เฟสจะมีพิกัดทั่วไปn ตัว เรียกว่าq ₁ , ... q _nและโมเมนตัมเชิงแคนอนิกที่เกี่ยวข้องnตัว เรียกว่าp ₁ , ... p _nจากนั้นกลุ่มของระบบจะถูกแทนด้วยฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นร่วมρ ( p ₁ , ... p _n , q ₁ , ... q _n )

หากอนุญาตให้จำนวนส่วนประกอบในระบบแตกต่างกันไปในแต่ละระบบในกลุ่ม (เช่นในกลุ่มใหญ่ที่จำนวนอนุภาคเป็นปริมาณสุ่ม) แล้ว มันจะเป็นการกระจายความน่าจะเป็นบนปริภูมิเฟสที่ขยายออกไปซึ่งรวมถึงตัวแปรเพิ่มเติม เช่น จำนวนอนุภาคN ₁ (อนุภาคชนิดแรก), N ₂ (อนุภาคชนิดที่สอง) และต่อไปเรื่อยๆ จนถึงN _s (อนุภาคชนิดสุดท้าย; sคือจำนวนอนุภาคที่แตกต่างกันทั้งหมด) กลุ่มนั้นจะถูกแทนด้วยฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นร่วมρ ( N ₁ , ... N _s , p ₁ , ... p _n , q ₁ , ... q _n )จำนวนพิกัดnจะแปรผันตามจำนวนอนุภาค

ปริมาณเชิงกลใดๆXสามารถเขียนได้ในรูปฟังก์ชันของเฟสของระบบ ค่าคาดหวังของปริมาณดังกล่าวจะหาได้จากปริพันธ์เหนือปริภูมิเฟสทั้งหมดของปริมาณนี้ โดยถ่วงน้ำหนักด้วยρ : เงื่อนไขของการทำให้เป็นมาตรฐานของความน่าจะเป็นใช้ได้ โดยกำหนดให้ $${\displaystyle \langle X\rangle =\sum _{N_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{N_{s}=0}^{\infty }\int \cdots \int \rho X\,dp_{1}\cdots dq_{n}.}$$$${\displaystyle \sum _{N_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{N_{s}=0}^{\infty }\int \cdots \int \rho \,dp_{1}\cdots dq_{n}=1.}$$

ปริภูมิเฟสเป็นปริภูมิต่อเนื่องที่ประกอบด้วยสถานะทางกายภาพที่แตกต่างกันจำนวนอนันต์ภายในบริเวณเล็กๆ ใดๆ เพื่อเชื่อมโยงความหนาแน่น ของความน่าจะเป็น ในปริภูมิเฟสกับการกระจาย ความน่าจะ เป็นเหนือไมโครสเตต จำเป็นต้องแบ่งปริภูมิเฟสออกเป็นบล็อกที่กระจายตัวแทนสถานะต่างๆ ของระบบอย่างยุติธรรม ปรากฏว่าวิธีที่ถูกต้องในการทำเช่นนี้คือการสร้างบล็อกที่มีขนาดเท่ากันในปริภูมิเฟสแบบแคนอนิก ดังนั้นไมโครสเตตในกลศาสตร์คลาสสิกจึงเป็นบริเวณที่ขยายออกไปในปริภูมิเฟสของพิกัดแคนอนิกที่มีปริมาตรเฉพาะ^{[หมายเหตุ 1 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นในปริภูมิเฟสρเกี่ยวข้องกับการกระจายความน่าจะเป็นเหนือไมโครสเตตPโดยปัจจัย ที่ $${\displaystyle \rho ={\frac {1}{h^{n}C}}P,}$$

• hเป็นค่าคงที่ที่กำหนดขึ้นโดยพลการแต่มีหน่วยเป็นพลังงาน×เวลาซึ่งกำหนดขอบเขตของสถานะจุลภาคและให้มิติที่ถูกต้องแก่ ρ [^{หมายเหตุ2 ]}
• Cคือปัจจัยแก้ไขการนับเกิน (ดูด้านล่าง) ซึ่งโดยทั่วไปขึ้นอยู่กับจำนวนอนุภาคและข้อกังวลที่คล้ายคลึงกัน

เนื่องจาก สามารถเลือก ค่า hได้อย่างอิสระ ขนาดสมมติของสถานะจุลภาคจึงสามารถกำหนดได้อย่างอิสระเช่นกัน อย่างไรก็ตาม ค่าของhมีผลต่อค่าชดเชยของปริมาณต่างๆ เช่น เอนโทรปีและศักยภาพทางเคมี ดังนั้นจึงเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องมีค่าh ที่สอดคล้องกัน เมื่อเปรียบเทียบระบบต่างๆ

โดยทั่วไปแล้ว ปริภูมิเฟสจะประกอบด้วยสถานะทางกายภาพเดียวกันซ้ำกันในหลายตำแหน่งที่แตกต่างกัน นี่เป็นผลมาจากการที่สถานะทางกายภาพถูกเข้ารหัสลงในพิกัดทางคณิตศาสตร์ การเลือกใช้ระบบพิกัดที่ง่ายที่สุดมักจะทำให้สามารถเข้ารหัสสถานะได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่น ก๊าซของอนุภาคที่เหมือนกันซึ่งสถานะถูกเขียนในแง่ของตำแหน่งและโมเมนตัมของอนุภาคแต่ละตัว เมื่ออนุภาคสองตัวถูกสลับกัน จุดที่ได้ในปริภูมิเฟสจะแตกต่างกัน แต่ก็ยังสอดคล้องกับสถานะทางกายภาพเดียวกันของระบบ ในกลศาสตร์เชิงสถิติ (ทฤษฎีเกี่ยวกับสถานะทางกายภาพ) สิ่งสำคัญคือต้องตระหนักว่าปริภูมิเฟสเป็นเพียงโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ และไม่ควรนับสถานะทางกายภาพจริงมากเกินไปเมื่อทำการอินทิเกรตในปริภูมิเฟส การนับมากเกินไปอาจทำให้เกิดปัญหาที่ร้ายแรงได้

• ปริมาณอนุพันธ์ (เช่น เอนโทรปีและศักยภาพทางเคมี) ขึ้นอยู่กับการเลือกใช้ระบบพิกัด เนื่องจากระบบพิกัดหนึ่งอาจแสดงการนับซ้ำมากหรือน้อยกว่าอีกระบบหนึ่ง^{[หมายเหตุ 3 ]}
• ข้อสรุปที่ผิดพลาดซึ่งไม่สอดคล้องกับประสบการณ์ทางกายภาพ เช่นความขัดแย้งของการ^ผสม [ ^{2 ]}
• ประเด็นพื้นฐานในการกำหนดศักยภาพทางเคมีและกลุ่มแกรนด์แคนอนิกัล^{[ 2 ]}

โดยทั่วไปแล้ว การหาพิกัดระบบที่เข้ารหัสสถานะทางกายภาพแต่ละสถานะได้อย่างเฉพาะเจาะจงนั้นเป็นเรื่องยาก ดังนั้น จึงมักจำเป็นต้องใช้พิกัดระบบที่มีสำเนาหลายชุดของแต่ละสถานะ แล้วจึงตรวจสอบและกำจัดสำเนาที่ซ้ำกันออกไป

วิธีแก้ปัญหาการนับซ้ำแบบหยาบๆ คือ การกำหนดขอบเขตย่อยของปริภูมิเฟสด้วยตนเอง ซึ่งแต่ละขอบเขตจะรวมสถานะทางกายภาพแต่ละสถานะไว้เพียงครั้งเดียว แล้วจึงตัดส่วนอื่นๆ ของปริภูมิเฟสออกไป ตัวอย่างเช่น ในกรณีของก๊าซ เราอาจรวมเฉพาะเฟสที่ พิกัด x ของอนุภาค เรียงลำดับจากน้อยไปมากเท่านั้น แม้ว่าวิธีนี้จะแก้ปัญหาได้ แต่การคำนวณอินทิกรัลในปริภูมิเฟสที่ได้จะยุ่งยากเนื่องจากรูปร่างขอบเขตที่ไม่ปกติ (ในกรณีนี้ ค่าตัวประกอบCที่กล่าวถึงข้างต้นจะถูกตั้งค่าเป็นC = 1และการคำนวณอินทิกรัลจะจำกัดอยู่เฉพาะขอบเขตย่อยของปริภูมิเฟสที่เลือกไว้)

วิธีที่ง่ายกว่าในการแก้ไขการนับเกินคือการอินทิเกรตทั่วทั้งปริภูมิเฟส แต่ลดน้ำหนักของแต่ละเฟสลงเพื่อชดเชยการนับเกินอย่างแม่นยำ วิธีนี้ทำได้โดยใช้ตัวประกอบCที่กล่าวถึงข้างต้น ซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่แสดงถึงจำนวนวิธีที่สถานะทางกายภาพสามารถแสดงได้ในปริภูมิเฟส ค่าของมันไม่เปลี่ยนแปลงตามพิกัดแคนอนิกแบบต่อเนื่อง^{[หมายเหตุ 4 ]}ดังนั้นการนับเกินจึงสามารถแก้ไขได้ง่ายๆ โดยการอินทิเกรตตลอดช่วงของพิกัดแคนอนิกทั้งหมด แล้วหารผลลัพธ์ด้วยตัวประกอบการนับเกิน อย่างไรก็ตามCจะเปลี่ยนแปลงอย่างมากตามตัวแปรแบบไม่ต่อเนื่อง เช่น จำนวนอนุภาค ดังนั้นจึงต้องนำไปใช้ก่อนที่จะรวมผลลัพธ์ตามจำนวนอนุภาค

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น ตัวอย่างคลาสสิกของการนับเกินนี้คือระบบของไหลที่มีอนุภาคหลายชนิด โดยที่อนุภาคสองอนุภาคใดๆ ที่เป็นชนิดเดียวกันนั้นไม่สามารถแยกแยะได้และสามารถแลกเปลี่ยนกันได้ เมื่อสถานะถูกเขียนในแง่ของตำแหน่งและโมเมนตัมของอนุภาคแต่ละตัว การนับเกินที่เกี่ยวข้องกับการแลกเปลี่ยนอนุภาคที่เหมือนกันจะได้รับการแก้ไขโดยใช้^{[ 2 ]} ซึ่งเรียกว่า "การนับโบลต์ซมันน์ที่ถูกต้อง" $${\displaystyle C=N_{1}!N_{2}!\cdots N_{s}!.}$$

การกำหนดกลุ่มสถิติที่ใช้ในฟิสิกส์ได้รับการนำไปใช้อย่างกว้างขวางในสาขาอื่นๆ แล้ว ส่วนหนึ่งเป็นเพราะเป็นที่ยอมรับกันว่ากลุ่มสถิติแบบแคนอนิกหรือมาตรวัดของกิบส์นั้นช่วยเพิ่มเอนโทรปีของระบบให้สูงสุด ภายใต้ข้อจำกัดบางประการ นี่คือหลักการของเอนโทรปีสูงสุดหลักการนี้ได้รับการประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวางในปัญหาต่างๆ ในด้านภาษาศาสตร์หุ่นยนต์และอื่นๆ

นอกจากนี้ กลุ่มสถิติในฟิสิกส์มักสร้างขึ้นบนหลักการของความเป็นท้องถิ่นกล่าวคือ ปฏิสัมพันธ์ทั้งหมดเกิดขึ้นระหว่างอะตอมหรือโมเลกุลที่อยู่ใกล้เคียงกันเท่านั้น ตัวอย่างเช่นแบบจำลองแลตติสเช่นแบบจำลองไอซิงจำลองวัสดุเฟอร์โรแมกเนติกโดยอาศัยปฏิสัมพันธ์ระหว่างสปินที่อยู่ใกล้เคียงกัน การกำหนดสูตรทางสถิติของหลักการของความเป็นท้องถิ่นในปัจจุบันถือเป็นรูปแบบหนึ่งของคุณสมบัติของมาร์คอฟในความหมายกว้าง เพื่อนบ้านที่อยู่ใกล้เคียงกันจึงกลายเป็นผ้าห่มมาร์คอฟดังนั้น แนวคิดทั่วไปของกลุ่มสถิติที่มีปฏิสัมพันธ์ระหว่างเพื่อนบ้านที่อยู่ใกล้เคียงกันจึงนำไปสู่สนามสุ่มมาร์คอฟซึ่งพบการประยุกต์ใช้ได้อย่างกว้างขวาง ตัวอย่างเช่น ในเครือข่ายฮอปฟิลด์

ในกลศาสตร์เชิงสถิติค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่าง (ensemble average)ถูกนิยามว่าเป็นค่าเฉลี่ยของปริมาณที่เป็นฟังก์ชันของสถานะจุลภาคของระบบ โดยขึ้นอยู่กับการกระจายตัวของระบบบนสถานะจุลภาคต่างๆ ในกลุ่มตัวอย่างนี้

เนื่องจากค่าเฉลี่ยของกลุ่มขึ้นอยู่กับกลุ่มที่เลือก การแสดงออกทางคณิตศาสตร์จึงแตกต่างกันไปตามแต่ละกลุ่ม อย่างไรก็ตามค่าเฉลี่ยที่ได้สำหรับปริมาณทางกายภาพที่กำหนดจะไม่ขึ้นอยู่กับกลุ่มที่เลือกในขีดจำกัดทางเทอร์โมไดนามิกกลุ่มแกรนด์แคนอนิกัลเป็นตัวอย่างของระบบเปิด^{[ 8 ]}

สำหรับระบบคลาสสิกที่อยู่ในสมดุลทางความร้อนกับสิ่งแวดล้อมค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างจะมีรูปแบบเป็นปริพันธ์เหนือปริภูมิเฟสของระบบ โดยที่ $${\displaystyle {\bar {A}}={\frac {\displaystyle \int {A\exp \left[-\beta H(q_{1},q_{2},\dots ,q_{M},p_{1},p_{2},\dots ,p_{N})\right]\,d\tau }}{\displaystyle \int {\exp \left[-\beta H(q_{1},q_{2},\dots ,q_{M},p_{1},p_{2},\dots ,p_{N})\right]\,d\tau }}},}$$

• ${\displaystyle {\bar {A}}}$คือค่าเฉลี่ยของกลุ่มคุณสมบัติของระบบA
• ${\displaystyle \beta }$คือค่าที่รู้จักกันในชื่อค่าเบต้าทางเทอร์โมไดนามิก${\displaystyle {\frac {1}{kT}}}$
• Hคือแฮมิลโทเนียนของระบบคลาสสิกในรูปของชุดพิกัดและโมเมนตัมทั่วไปคู่ควบของพิกัดเหล่านั้น${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle p_{i}}$
• ${\displaystyle d\tau }$คือองค์ประกอบปริมาตรของปริภูมิเฟสแบบคลาสสิกที่น่าสนใจ

ตัวส่วนในนิพจน์นี้เรียกว่าฟังก์ชันการแบ่งส่วนและใช้สัญลักษณ์ตัวอักษรZแทน

ในกลศาสตร์สถิติควอนตัมเมื่อระบบอยู่ในสมดุลทางความร้อน ค่าเฉลี่ยทางความร้อนจะถูกคำนวณจากสถานะ พลังงานเฉพาะของระบบ เนื่องจากแฮมิลโทเนียนควอนตัมมีสเปกตรัมแบบควอนตัมแทนที่จะเป็นปริภูมิเฟสแบบต่อเนื่อง^{[ 9 ] [ 10 ]}$${\displaystyle {\bar {A}}={\frac {\sum _{i}A_{i}e^{-\beta E_{i}}}{\sum _{i}e^{-\beta E_{i}}}}.}$$

ฟังก์ชันการแบ่งส่วนในรูปแบบทั่วไปเป็นกรอบการทำงานที่สมบูรณ์สำหรับการทำงานกับค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างในอุณหพลศาสตร์ ทฤษฎีสารสนเทศกลศาสตร์เชิงสถิติและกลศาสตร์ควอนตัม

กลุ่มไมโครแคนอนิก (microcanonical ensemble)แสดงถึงระบบที่แยกตัวออกมา ซึ่งพลังงาน ( E ) ปริมาตร ( V ) และจำนวนอนุภาค ( N ) มีค่าคงที่ทั้งหมดกลุ่มแคนอนิก (canonical ensemble)แสดงถึงระบบปิดที่สามารถแลกเปลี่ยนพลังงาน ( E ) กับสิ่งแวดล้อม (โดยปกติคืออ่างความร้อน) ได้ แต่ปริมาตร ( V ) และจำนวนอนุภาค ( N ) มีค่าคงที่ทั้งหมด กลุ่มแก รนด์แคนอนิก (grand canonical ensemble)แสดงถึงระบบเปิดที่สามารถแลกเปลี่ยนพลังงาน ( E ) และอนุภาค ( N ) กับสิ่งแวดล้อมได้ แต่ปริมาตร ( V ) มีค่าคงที่

ในการอภิปรายที่กล่าวมาข้างต้น แม้ว่าจะมีความเข้มงวด แต่เราได้ถือว่าแนวคิดเรื่องกลุ่มตัวอย่าง (ensemble) นั้นถูกต้องโดยปริยาย ดังที่มักทำกันในบริบททางฟิสิกส์ สิ่งที่ยังไม่ได้แสดงให้เห็นคือ กลุ่มตัวอย่างนั้นเอง (ไม่ใช่ผลลัพธ์ที่ตามมา) เป็นวัตถุที่ถูกกำหนดไว้อย่างแม่นยำทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น

• ยังไม่ชัดเจนว่าระบบขนาดใหญ่ชุด นี้ มีอยู่จริงที่ใด (ตัวอย่างเช่น มันเป็นก๊าซของอนุภาคภายในภาชนะหรือไม่?)
• ยังไม่ชัดเจนว่าจะสร้างกลุ่มตัวอย่างทางกายภาพได้อย่างไร

ในส่วนนี้ เราจะพยายามตอบคำถามนี้เพียงบางส่วน

สมมติว่าเรามีขั้นตอนการเตรียมระบบในห้องปฏิบัติการฟิสิกส์ ตัวอย่างเช่น ขั้นตอนนี้อาจเกี่ยวข้องกับอุปกรณ์ทางกายภาพและระเบียบปฏิบัติบางอย่างสำหรับการจัดการอุปกรณ์นั้น ผลจากขั้นตอนการเตรียมการนี้ ระบบบางอย่างจะถูกสร้างขึ้นและคงอยู่ในสภาพแยกเดี่ยวเป็นระยะเวลาสั้นๆ โดยการทำซ้ำขั้นตอนการเตรียมการในห้องปฏิบัติการนี้ เราจะได้ลำดับของระบบX ₁ , X ₂ , ..., X _kซึ่งในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของเรา เราถือว่าเป็น ลำดับ อนันต์ของระบบ ระบบเหล่านี้มีความคล้ายคลึงกันตรงที่พวกมันถูกสร้างขึ้นด้วยวิธีเดียวกัน ลำดับอนันต์นี้เรียกว่ากลุ่มของระบบ (ensemble)

ในห้องปฏิบัติการ ระบบที่เตรียมไว้แต่ละระบบอาจถูกใช้เป็นข้อมูลป้อนเข้าสำหรับขั้นตอนการทดสอบถัดไปขั้น ตอน การทดสอบนั้นเกี่ยวข้องกับอุปกรณ์ทางกายภาพและระเบียบวิธีบางอย่าง และผลลัพธ์จากขั้นตอนการทดสอบคือ คำตอบว่า ใช่หรือไม่ใช่เมื่อกำหนดขั้นตอนการทดสอบEให้กับระบบที่เตรียมไว้แต่ละระบบ เราจะได้ลำดับของค่า Meas ( E , X ₁ ), Meas ( E , X ₂ ), ..., Meas ( E , X _k ) โดยแต่ละค่าจะเป็น 0 (หรือไม่ใช่) หรือ 1 (ใช่)

สมมติว่ามีค่าเฉลี่ยเวลาดังต่อไปนี้: สำหรับระบบกลศาสตร์ควอนตัม ข้อสมมติที่สำคัญอย่างหนึ่งที่ใช้ใน แนวทาง ตรรกะควอนตัมของกลศาสตร์ควอนตัมคือการระบุ คำถาม ใช่-ไม่ใช่กับโครงข่ายของปริภูมิย่อยปิดของปริภูมิฮิลเบิร์ต ด้วยข้อสมมติทางเทคนิคเพิ่มเติมบางประการ เราสามารถอนุมานได้ว่าสถานะต่างๆ ถูกกำหนดโดยตัวดำเนินการความหนาแน่นSดังนี้: $${\displaystyle \sigma (E)=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\operatorname {Meas} (E,X_{k})}$$$${\displaystyle \sigma (E)=\operatorname {Tr} (ES).}$$

เราจะเห็นว่าสิ่งนี้สะท้อนถึงนิยามของสถานะควอนตัมโดยทั่วไป: สถานะควอนตัมคือการแมปจากค่าที่สังเกตได้ไปยังค่าคาดหวังของค่าเหล่านั้น

• เมทริกซ์ความหนาแน่น  – เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ในฟิสิกส์ควอนตัม
• กลุ่มตัวอย่าง (กลศาสตร์ของไหล)  – กลุ่มตัวอย่างสมมติที่ประกอบด้วยการทดลองที่เหมือนกันทุกประการ
• การตีความแบบกลุ่ม  – แนวคิดในกลศาสตร์ควอนตัม
• ปริภูมิเฟส  – ปริภูมิของสถานะที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่ระบบสามารถมีได้
• ทฤษฎีบทของ Liouville (แฮมิลโทเนียน)  – ผลลัพธ์สำคัญในกลศาสตร์แฮมิลโทเนียนและกลศาสตร์เชิงสถิติ
• สถิติแม็กซ์เวลล์-โบลต์ซมันน์  – การแจกแจงทางสถิติที่ใช้ในกลศาสตร์ของอนุภาคหลายตัว
• การทำซ้ำ (ทางสถิติ)  – หลักการที่ว่า การประมาณค่าความแปรปรวนจะทำได้ดีขึ้นด้วยการทำซ้ำเงื่อนไขที่ไม่เปลี่ยนแปลง

• แอปพลิเคชัน Monte Carlo ที่ประยุกต์ใช้ในปัญหาทางฟิสิกส์เชิงสถิติ

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มตัวอย่างเชิงสถิติ (Statistical ensemble )