ในการศึกษาทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับตรรกศาสตร์และ การวิเคราะห์ ทางฟิสิกส์ของพื้นฐานควอนตัมตรรกศาสตร์ควอนตัมคือชุดของกฎสำหรับการจัดการประพจน์ที่ได้รับแรงบันดาลใจจากโครงสร้างของทฤษฎีควอนตัมระบบที่เป็นทางการนี้เริ่มต้นจากข้อสังเกตของGarrett BirkhoffและJohn von Neumannที่ว่า โครงสร้างของการทดสอบเชิงทดลองในกลศาสตร์คลาสสิกนั้นก่อให้เกิดพีชคณิตบูลีนแต่โครงสร้างของการทดสอบเชิงทดลองในกลศาสตร์ควอนตัมนั้นก่อให้เกิดโครงสร้างที่ซับซ้อนกว่ามาก

นอกจากนี้ ยังมีตรรกะอื่นๆ อีกหลายอย่างที่ถูกเสนอขึ้นมาเพื่อวิเคราะห์ปรากฏการณ์ทางกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งน่าเสียดายที่ก็ถูกเรียกในชื่อ "ตรรกะควอนตัม" เช่นกัน ตรรกะเหล่านั้นไม่ใช่หัวข้อของบทความนี้ สำหรับรายละเอียดเกี่ยวกับความเหมือนและความแตกต่างระหว่างตรรกะควอนตัมกับตรรกะอื่นๆ เหล่านั้น โปรดดูที่หัวข้อ§ ความสัมพันธ์กับตรรกะอื่นๆ

ตรรกศาสตร์ควอนตัมได้รับการเสนอว่าเป็นตรรกศาสตร์ที่ถูกต้องสำหรับการอนุมานเชิงประพจน์โดยทั่วไป โดยเฉพาะอย่างยิ่งโดยนักปรัชญาฮิลารี พัตนัมอย่างน้อยก็ในช่วงหนึ่งของอาชีพการงานของเขา วิทยานิพนธ์นี้เป็นส่วนประกอบสำคัญในบทความปี 1968 ของพัตนัมเรื่อง " ตรรกศาสตร์เป็นเชิงประจักษ์หรือไม่? " ซึ่งเขาได้วิเคราะห์ สถานะ ทางญาณวิทยาของกฎของตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ นักปรัชญาสมัยใหม่ปฏิเสธตรรกศาสตร์ควอนตัมในฐานะพื้นฐานของการให้เหตุผล เพราะมันขาดเงื่อนไขเชิงวัตถุทางเลือกทั่วไปคือระบบตรรกศาสตร์เชิงเส้นซึ่งตรรกศาสตร์ควอนตัมเป็นเพียงส่วนหนึ่งของระบบนั้น

ในทางคณิตศาสตร์ ตรรกะควอนตัมถูกกำหนดขึ้นโดยการลดทอนกฎการกระจายสำหรับพีชคณิตบูลีน ส่งผลให้เกิดแลตทิซแบบออร์โธคอมพลีเมนต์ ตัวแปรสังเกต ได้ และสถานะทางกลศาสตร์ควอน ตัม สามารถนิยามได้ในรูปของฟังก์ชันบนหรือไปยังแลตทิซ ซึ่งเป็นรูปแบบ ทางเลือก สำหรับการคำนวณควอนตัม

ความแตกต่างที่เห็นได้ชัดที่สุดระหว่างตรรกะควอนตัมและตรรกะคลาสสิกคือความล้มเหลวของกฎการกระจายเชิงประพจน์ : ^{[ 1 ]}

pและ ( qหรือr ) = ( pและq ) หรือ ( pและr )

โดยที่สัญลักษณ์p , qและrเป็นตัวแปรเชิงประพจน์

เพื่อแสดงให้เห็นว่าเหตุใดกฎการกระจายจึงล้มเหลว ให้พิจารณาอนุภาคที่เคลื่อนที่บนเส้นตรง และ (โดยใช้ระบบหน่วยบางระบบที่ค่าคงที่ของพลังค์ที่ลดลงมีค่าเท่ากับ 1) ให้^{[หมายเหตุ 1 ]}

p = "อนุภาคมีโมเมนตัมในช่วง[0, + 1 ⁄ 6 ] "

q = "อนุภาคอยู่ในช่วง[−1, 1] "

r = "อนุภาคอยู่ในช่วง[1, 3] "

เราอาจสังเกตได้ว่า:

pและ ( qหรือr ) = จริง

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ สถานะของอนุภาคเป็นผลรวม ถ่วงน้ำหนัก ของโมเมนตัมระหว่าง 0 ถึง +1/6 และตำแหน่งระหว่าง −1 ถึง +3

ในทางกลับกัน ข้อเสนอ " pและq " และ " pและr " แต่ละข้อระบุข้อจำกัดที่เข้มงวดกว่าสำหรับค่าพร้อมกันของตำแหน่งและโมเมนตัมมากกว่าที่หลักการความไม่แน่นอน อนุญาต (แต่ละข้อมีความไม่แน่นอน 1/3 ซึ่งน้อยกว่าค่าต่ำสุดที่อนุญาตคือ 1/2) ดังนั้นจึงไม่มีสถานะใดที่สามารถรองรับข้อเสนอทั้งสองได้ และ

( pและq ) หรือ ( pและr ) = เท็จ

ในตำราคลาสสิกปี 1932 ของเขาเรื่องMathematical Foundations of Quantum Mechanicsจอห์น ฟอน นอยมันน์ ตั้งข้อสังเกตว่าการฉายภาพบนปริภูมิฮิลเบิร์ตสามารถมองได้ว่าเป็นข้อเสนอเกี่ยวกับสิ่งที่สังเกตได้ทางกายภาพ กล่าวคือ เป็นคำถามใช่หรือไม่ใช่ที่ผู้สังเกตอาจถามเกี่ยวกับสถานะของระบบทางกายภาพ ซึ่งเป็นคำถามที่สามารถตัดสินได้ด้วยการวัดบางอย่าง^{[ 2 ]} หลักการสำหรับการจัดการข้อเสนอควอนตัมเหล่านี้ถูกเรียกว่าตรรกะควอนตัมโดยฟอน นอยมันน์และเบิร์คฮอฟฟ์ในบทความปี 1936 ^{[ 3 ]}

จอร์จ แม็กกีย์ในหนังสือปี 1963 ของเขา (ซึ่งมีชื่อว่าMathematical Foundations of Quantum Mechanics เช่นกัน ) พยายามที่จะกำหนดสัจพจน์ของตรรกะควอนตัมเป็นโครงสร้างของแลตทิซออร์ โธคอมพลีเมนต์ และตระหนักว่าสิ่งที่สังเกตได้ทางกายภาพสามารถกำหนดได้ในแง่ของข้อเสนอควอนตัม แม้ว่าการนำเสนอของแม็กกีย์ยังคงถือว่าแลตทิซออร์โธคอมพลีเมนต์เป็นแลตทิซของปริภูมิย่อยเชิงเส้นปิด ของปริภูมิฮิลเบิร์ตที่แยกได้^{[ 4 ]}คอนสแตนติน พีรอนกุนเธอร์ ลุดวิก และคนอื่นๆ ได้พัฒนาสัจพจน์ในภายหลังซึ่งไม่ได้สมมติปริภูมิฮิลเบิร์ตพื้นฐาน^{[ 5 ]}

ด้วยแรงบันดาลใจจาก การปกป้อง ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปของฮันส์ ไรเชนบัค เมื่อไม่นานมานี้ นักปรัชญาฮิลารี พัตนัมจึงเผยแพร่ผลงานของแม็กกีย์ในบทความสองฉบับในปี 1968 และ 1975 ^{[ 6 ]}ซึ่งเขาอ้างว่าแนวคิดที่ว่าความผิดปกติที่เกี่ยวข้องกับการวัดควอนตัมมีต้นกำเนิดมาจากความล้มเหลวของตรรกะเองนั้นมาจากเดวิด ฟิงเคลสไตน์ นักฟิสิกส์ผู้ร่วมเขียนของเขา ^{[ 7 ]} พัตนัมหวังที่จะพัฒนาทางเลือกที่เป็นไปได้สำหรับตัวแปรที่ซ่อนอยู่หรือการยุบตัวของฟังก์ชันคลื่นในปัญหาของการวัดควอนตัมแต่ทฤษฎีบทของเกลสันทำให้เกิดความยากลำบากอย่างมากสำหรับเป้าหมายนี้^{[ 6 ] [ 8 ]} ต่อมา พัตนัมได้ถอนความเห็นของเขา แม้ว่าจะไม่มีการประกาศอย่างเอิกเอิกมากนัก^{[ 6 ]}แต่ความเสียหายก็เกิดขึ้นแล้ว ในขณะที่งานดั้งเดิมของ Birkhoff และ von Neumann พยายามจัดระเบียบการคำนวณที่เกี่ยวข้องกับการตีความโคเปนเฮเกนของกลศาสตร์ควอนตัมเท่านั้น นักวิจัยกลุ่มหนึ่งก็ได้เกิดขึ้นมา โดยหวังว่าตรรกะควอนตัมจะให้ทฤษฎีตัวแปรซ่อนเร้นที่ใช้ได้ หรือทำให้ไม่จำเป็นต้องใช้ทฤษฎีดังกล่าว^{[ 9 ]} งานของพวกเขาพิสูจน์แล้วว่าไร้ผล และตอนนี้ก็มีชื่อเสียงที่ไม่ดี^{[ 10 ]}

นักปรัชญาส่วนใหญ่เห็นพ้องกันว่าตรรกะควอนตัมไม่ใช่คู่แข่งของตรรกะคลาสสิกมันไม่ชัดเจนนัก (แม้จะเป็นความจริงก็ตาม^{[ 11 ]} ) ว่าตรรกะควอนตัมเป็นตรรกะในแง่ของการอธิบายกระบวนการให้เหตุผล ตรงข้ามกับภาษาที่สะดวกเป็นพิเศษในการสรุปการวัดที่ดำเนินการโดยอุปกรณ์ควอนตัม^{[ 12 ] [ 13 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่งนักปรัชญาวิทยาศาสตร์ สมัยใหม่บางคน โต้แย้งว่าตรรกะควอนตัมพยายามที่จะแทนที่ความยากลำบากทางอภิปรัชญาด้วยปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขในฟิสิกส์ แทนที่จะแก้ปัญหาฟิสิกส์อย่างถูกต้อง^{[ 14 ]}ทิม มอดลินเขียนว่าตรรกะควอนตัม "แก้ปัญหา [การวัด]โดยทำให้ไม่สามารถระบุปัญหาได้" ^{[ 15 ]}

ตรรกะควอนตัมยังคงถูกใช้ในหมู่นักตรรกศาสตร์^{[ 16 ]}และความสนใจกำลังขยายตัวผ่านการพัฒนาล่าสุดของการคำนวณควอนตัมซึ่งก่อให้เกิดตรรกะใหม่มากมายสำหรับการวิเคราะห์อย่างเป็นทางการของโปรโตคอลและอัลกอริธึมควอนตัม (ดูเพิ่มเติมที่§ ความสัมพันธ์กับตรรกะอื่นๆ ) ^{[ 17 ]} ตรรกะนี้อาจพบการประยุกต์ใช้ในด้านภาษาศาสตร์ (เชิงคำนวณ) ได้เช่นกัน

ตรรกะควอนตัมสามารถกำหนดเป็นสัจพจน์ได้เป็นทฤษฎีของข้อเสนอตามเอกลักษณ์ต่อไปนี้: ^{[ 18 ]}

• a = ¬¬ a
• ∨ เป็นเครื่องหมายสลับที่และเครื่องหมายจัดกลุ่มได้
• มีองค์ประกอบสูงสุด ⊤ และ ⊤ = b ∨¬ bสำหรับb ใด ๆ
• a ∨¬(¬ a ∨ b ) = a .

("¬" เป็นสัญลักษณ์ดั้งเดิมสำหรับ " ไม่ใช่ " "∨" เป็นสัญลักษณ์สำหรับ " หรือ " และ "∧" เป็นสัญลักษณ์สำหรับ " และ ")

ผู้เขียนบางคนจำกัดเฉพาะแลตทิซออร์โธโมดูลาร์ซึ่งเป็นไปตามกฎออร์โธโมดูลาร์เพิ่มเติมด้วย: ^{[ 19 ]}

• ถ้า ⊤ = ¬(¬ a ∨¬ b ) ∨¬( a ∨ b ) แล้วa = b

("⊤" เป็นสัญลักษณ์ดั้งเดิมสำหรับความจริงและ "⊥" เป็นสัญลักษณ์ดั้งเดิมสำหรับความเท็จ )

การกำหนดสูตรทางเลือกอื่นๆ ได้แก่ ข้อเสนอต่างๆ ที่สามารถอนุมานได้ผ่านการหักล้างตามธรรมชาติ [ ^{16 ]}แคลคูลัสลำดับ^{[ 20 ] [ 21 ]}หรือระบบตาราง^{[ 22 ]} แม้ว่าทฤษฎีการพิสูจน์ จะพัฒนาไปมาก ^แล้ว แต่ตรรกะควอนตัมก็ยังไม่เป็นที่รู้จักว่าสามารถตัดสินได้^{[ 18 ]}

ส่วนที่เหลือของบทความนี้จะถือว่าผู้อ่านคุ้นเคยกับทฤษฎีสเปกตรัมของตัวดำเนินการสมมาตรในปริภูมิฮิลเบิร์ตแล้ว อย่างไรก็ตาม แนวคิดหลักสามารถเข้าใจได้ในกรณี มิติจำกัด

สูตรแฮมิลโทเนียนของกลศาสตร์คลาสสิกมีส่วนประกอบสามอย่าง ได้แก่สถานะ ปริมาณที่สังเกตได้และพลวัตในกรณีที่ง่ายที่สุดของอนุภาคเดี่ยวที่เคลื่อนที่ในR³ ^{ปริภูมิ}สถานะคือปริภูมิตำแหน่ง-โมเมนตัมR⁶ ปริมาณ ที่สังเกตได้คือฟังก์ชันค่าจริงfบนปริภูมิสถานะ ตัวอย่างของปริมาณที่สังเกตได้คือตำแหน่ง โมเมนตัม หรือพลังงานของอนุภาค สำหรับระบบคลาสสิก ค่า^f ( x )ซึ่งก็คือค่าของf สำหรับสถานะระบบ xใดๆจะได้มาจากการวัดค่า f

ข้อเสนอต่างๆที่เกี่ยวข้องกับระบบคลาสสิกนั้น เกิดขึ้นจากข้อความพื้นฐานในรูปแบบ

"การวัดค่าfจะได้ค่าในช่วง [ a , b ] สำหรับจำนวนจริงa , b บางค่า "

โดยผ่านการดำเนินการทางคณิตศาสตร์แบบดั้งเดิมและลิมิตแบบจุดต่อจุดจากลักษณะเฉพาะของประพจน์ในระบบคลาสสิกนี้ ทำให้สรุปได้ง่ายว่าตรรกะที่สอดคล้องกันนั้นเหมือนกับพีชคณิตบูลีนของเซตย่อยบอเรลของปริภูมิสถานะ ดังนั้นจึงเป็นไปตามกฎของตรรกะประพจน์คลาสสิก (เช่นกฎของเดอ มอร์แกน ) โดยการดำเนินการเซตของการรวมและการตัดกันสอดคล้องกับการเชื่อมโยงบูลีนและการรวมเซตย่อยสอดคล้องกับ การบ่งชี้ เชิง วัตถุ

อันที่จริง ข้ออ้างที่แข็งแกร่งกว่านั้นก็คือ พวกเขาต้องปฏิบัติตามตรรกะอนันต์L _{ω 1 ,} ω

เราสรุปข้อสังเกตเหล่านี้ได้ดังนี้: ระบบประพจน์ของระบบคลาสสิกเป็นแลตทิซที่มีการดำเนินการเติมเต็มเชิงตั้งฉาก ที่โดดเด่น: การดำเนินการของแลตทิซอย่าง "พบ " และ"รวม"คือการตัดกันของเซตและการรวมเซตตามลำดับ การดำเนินการเติมเต็มเชิงตั้งฉากคือส่วนเติมเต็มของเซต ยิ่งไปกว่านั้น แลตทิซนี้ยังสมบูรณ์ตามลำดับในแง่ที่ว่าลำดับใดๆ { E _i } _{i ∈ N}ขององค์ประกอบของแลตทิซมีขอบเขตบนที่น้อยที่สุดโดยเฉพาะอย่างยิ่งการรวมเชิงเซต:$${\displaystyle \operatorname {LUB} (\{E_{i}\})=\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}{\text{.}}}$$

ในการกำหนดกลศาสตร์ควอนตัมในปริภูมิฮิ ลเบิ ร์ต ตามที่ฟอน นอยมันน์นำเสนอ ปริมาณที่สังเกตได้ทางกายภาพจะถูกแทนด้วย ตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองที่ มีความหนาแน่นสูง (อาจ ไม่จำกัดขอบเขต ) Aบนปริภูมิฮิลเบิร์ตH A มีการแยกส่วนสเปกตรัมซึ่งเป็นการวัดค่าการฉายภาพ E ที่กำหนดบนเซตย่อยบอเรลของRโดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับฟังก์ชันบอเรล ที่มีขอบเขต f ใดๆ บนR การขยาย f ไปยังตัวดำเนินการต่อ ไปนี้สามารถทำได้:$${\displaystyle f(A)=\int _{\mathbb {R} }f(\lambda )\,d\operatorname {E} (\lambda ).}$$

ในกรณีที่fเป็นฟังก์ชันบ่งชี้ของช่วง [ a , b ] ตัวดำเนินการf ( A ) เป็นการฉายภาพแบบสมมาตรไปยังปริภูมิย่อยของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไปของAที่มีค่าลักษณะเฉพาะใน[ a , b ]ปริภูมิย่อยนั้นสามารถตีความได้ว่าเป็นอนาล็อกเชิงควอนตัมของข้อเสนอแบบคลาสสิก

• การวัดค่าAจะได้ค่าในช่วง [ a , b ]

สิ่งนี้ชี้ให้เห็นถึงการทดแทนทางกลศาสตร์ควอนตัมต่อไปนี้สำหรับโครงข่ายข้อเสนอเชิงตั้งฉากที่เติมเต็มในกลศาสตร์คลาสสิก ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วคือ สัจพจน์ที่ VIIของ Mackey :

• ข้อเสนอของระบบกลศาสตร์ควอนตัมสอดคล้องกับโครงข่ายของปริภูมิย่อยปิดของH ; การปฏิเสธของข้อเสนอVคือส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากV ^⊥

ปริภูมิQของข้อเสนอเชิงควอนตัมก็สมบูรณ์แบบตามลำดับเช่นกัน: ลำดับ { V _i } _i ใดๆ ที่ไม่ทับซ้อนกันเป็นคู่ๆ ขององค์ประกอบในQจะมีขอบเขตบนน้อยที่สุด ในที่นี้ การที่ไม่ทับซ้อนกันของW ₁และW ₂หมายความว่าW ₂เป็นปริภูมิย่อยของW ₁ ^⊥ขอบเขตบนน้อยที่สุดของ { V _i } _iคือผลรวมโดยตรง ภายในแบบ ปิด

ความหมายมาตรฐานของตรรกะควอนตัมคือ ตรรกะควอนตัมเป็นตรรกะของตัวดำเนินการฉายภาพในปริภูมิฮิลเบิร์ตหรือปริภูมิพรีฮิลเบิร์ตที่แยกออกจากกันได้ โดยที่ตัวแปรสังเกตได้pเกี่ยวข้องกับเซตของสถานะควอนตัมซึ่งp (เมื่อวัดแล้ว) มีค่าไอเกนเท่ากับ 1 จากนั้น

• ¬pคือส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากของp (เนื่องจากสำหรับสถานะเหล่านั้น ความน่าจะเป็นของการสังเกตp , P( p ) = 0)
• p ∧ qคือจุดตัดระหว่างpและqและ
• p ∨ q = ¬(¬ p ∧¬ q ) หมายถึงสถานะที่ซ้อนทับกันระหว่างpและq

ความหมายนี้มีคุณสมบัติที่ดีคือ พื้นที่ก่อนฮิลเบิร์ตจะสมบูรณ์ (เช่น ฮิลเบิร์ต) ก็ต่อเมื่อข้อเสนอสอดคล้องกับกฎออร์โธโมดูลาร์ ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทโซเลอร์ [ ^{23 ] แม้ว่า}การพัฒนาตรรกะควอนตัมส่วนใหญ่จะได้รับแรงบันดาลใจจากความหมายมาตรฐาน แต่ก็ไม่ได้มีลักษณะเฉพาะด้วยความหมายมาตรฐานนั้น มีคุณสมบัติเพิ่มเติมที่แลตทิซนั้นเป็นไปตามซึ่งไม่จำเป็นต้องมีในตรรกะควอนตัม^{[ 16 ]}

โครงสร้างของQชี้ให้เห็นถึงความแตกต่างกับโครงสร้างลำดับบางส่วนของระบบประพจน์แบบคลาสสิกทันที ในกรณีคลาสสิก เมื่อกำหนดประพจน์pแล้ว สมการ

⊤ = p ∨ qและ

⊥ = p ∧ q

มีคำตอบเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น นั่นคือเซตส่วนเติมเต็มเชิงทฤษฎีของpในกรณีของแลตทิซของการฉายภาพ มีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วนสำหรับสมการข้างต้น (เซตส่วนเติมเต็มเชิงพีชคณิตแบบปิดใดๆ ของpก็สามารถแก้สมการนี้ได้ ไม่จำเป็นต้องเป็นเซตส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉาก)

โดยทั่วไปแล้วการประเมินค่าเชิงประพจน์มีคุณสมบัติที่ผิดปกติในตรรกะควอนตัม แลตทิซที่เติมเต็มเชิงตั้งฉากซึ่งยอมรับโฮโมมอร์ฟิซึมแลตทิซทั้งหมด ไปยัง {⊥,⊤} จะต้องเป็นบูลีน วิธีแก้ปัญหามาตรฐานคือการศึกษาโฮโมมอร์ฟิซึมบางส่วนสูงสุดqที่มีคุณสมบัติการกรอง:

ถ้าa ≤ bและq ( a ) = ⊤ แล้วq ( b ) = ⊤ ^{[ 10 ]}

ในตรรกศาสตร์ควอนตัม นิพจน์อธิบายปริมาณที่สังเกตได้โดยใช้ไวยากรณ์ที่คล้ายกับตรรกศาสตร์คลาสสิก อย่างไรก็ตาม ต่างจากตรรกศาสตร์คลาสสิก กฎการกระจายa ∧ ( b ∨ c ) = ( a ∧ b ) ∨ ( a ∧ c ) จะใช้ไม่ได้เมื่อต้องจัดการกับปริมาณที่สังเกตได้ที่ไม่สามารถสลับที่ได้เช่น ตำแหน่งและโมเมนตัม เนื่องจากการวัดมีผลต่อระบบ และการวัดว่าการแยกส่วน (disjunction) เป็นจริงหรือไม่นั้น ไม่ได้วัดว่าส่วนใดของการแยกส่วนนั้นเป็นจริง

ตัวอย่างเช่น พิจารณาอนุภาคหนึ่งมิติอย่างง่ายที่มีตำแหน่งแทนด้วยxและโมเมนตัมแทนด้วยpและกำหนดตัวแปรที่สังเกตได้ดังนี้:

• a — | p | ≤ 1 (ในบางหน่วย)
• b — x ≤ 0
• c — x ≥ 0

ตำแหน่งและโมเมนตัมเป็นการแปลงฟูริเยร์ซึ่งกันและกัน และการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันที่ไม่เป็นศูนย์ที่สามารถหา ปริพันธ์กำลังสอง ได้และมีขอบเขตจำกัดนั้นเป็นการแปลงฟูริเยร์แบบสมบูรณ์ ดังนั้นจึงไม่มีศูนย์ที่ไม่แยกเดี่ยว ดังนั้นจึงไม่มีฟังก์ชันคลื่นใดที่สามารถทำให้เป็นมาตรฐานได้ในปริภูมิโมเมนตัมและมีค่าเป็นศูนย์ที่x ≥ 0 อย่างแม่นยำ ดังนั้นa ∧ bและในทำนองเดียวกันa ∧ cจึงเป็นเท็จ ดังนั้น ( a ∧ b ) ∨ ( a ∧ c ) จึงเป็นเท็จ อย่างไรก็ตามa ∧ ( b ∨ c ) เท่ากับaซึ่งแน่นอนว่าไม่ใช่เท็จ (มีสถานะที่มันเป็นผลลัพธ์การวัด ที่ใช้ได้ ) ยิ่งไปกว่านั้น หากปริภูมิฮิลเบิร์ตที่เกี่ยวข้องกับพลศาสตร์ของอนุภาคยอมรับเฉพาะโมเมนตัมไม่เกิน 1 เท่านั้นaจะเป็นจริง

เพื่อให้เข้าใจมากขึ้น ให้p ₁และp ₂เป็นฟังก์ชันโมเมนตัม (การแปลงฟูริเยร์) สำหรับการฉายภาพของฟังก์ชันคลื่นอนุภาคไปยังx ≤ 0 และx ≥ 0 ตามลำดับ ให้ | p _i |↾ _≥1เป็นข้อจำกัดของp _iต่อโมเมนตัมที่มีค่าสัมบูรณ์ ≥1

( a ∧ b ) ∨ ( a ∧ c ) สอดคล้องกับสถานะที่มี | p ₁ |↾ _≥1 = | p ₂ |↾ _≥1 = 0 (ซึ่งเป็นจริงแม้ว่าเราจะกำหนดpแตกต่างออกไปเพื่อให้สถานะดังกล่าวเป็นไปได้ นอกจากนี้a ∧ bยังสอดคล้องกับ | p ₁ |↾ _≥1 =0 และp ₂ =0) ในขณะเดียวกันaสอดคล้องกับสถานะที่มี | p |↾ _≥1 = 0 ในฐานะตัวดำเนินการp = p ₁ + p ₂และ | p ₁ |↾ _≥1และ | p ₂ |↾ _≥1 ที่ไม่เป็นศูนย์ อาจแทรกแซงกันเพื่อให้ได้ | p |↾ _≥1 เป็น ศูนย์ การแทรกแซงดังกล่าวเป็นกุญแจสำคัญต่อความสมบูรณ์ของตรรกะควอนตัมและกลศาสตร์ควอนตัม

เมื่อกำหนดแลตทิซออร์โธคอมพลีเมนต์Q แล้ว ออบเดิร์เบิลของ Mackey φ คือโฮโมมอร์ฟิซึมแบบบวกนับได้จากแลตทิซออร์โธคอมพลีเมนต์ของเซตย่อย Borel ของRไปยังQในเชิงสัญลักษณ์ หมายความว่าสำหรับลำดับ { S _i } _i ใดๆ ของเซตย่อย Borel ของ Rที่ไม่ทับซ้อนกันเป็นคู่ๆ{φ( S _i )} _iคือประพจน์แบบตั้งฉากกันเป็นคู่ๆ (องค์ประกอบของQ ) และ

${\displaystyle \varphi \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }S_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\varphi (S_{i}).}$

ในทำนองเดียวกัน ตัวแปรสังเกตได้ของ Mackey คือ มาตรวัดที่มีค่า เป็นการ ฉายภาพบนR

ทฤษฎีบท ( ทฤษฎีบทสเปกตรัม ) ถ้าQคือแลตทิซของปริภูมิย่อยปิดของฮิลเบิร์ตH แล้วจะมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างตัวแปรสังเกตของ Mackey และตัว ดำเนิน การสมมาตรในตัวเองที่กำหนดอย่างหนาแน่นบนH

การวัดความน่าจะเป็นควอนตัมคือฟังก์ชัน P ที่กำหนดบนQโดยมีค่าอยู่ในช่วง [0,1] โดยที่ P("⊥)=0, P(⊤)=1 และถ้า { E _i } _iเป็นลำดับขององค์ประกอบตั้งฉากกันเป็นคู่ๆ ของQแล้ว

${\displaystyle \operatorname {P} \!\left(\bigvee _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {P} (E_{i}).}$

การวัดความน่าจะเป็นควอนตัมทุกแบบบนปริภูมิย่อยปิดของปริภูมิฮิลเบิร์ตนั้นเกิดจากเมทริกซ์ความหนาแน่น  ซึ่งเป็นตัวดำเนินการที่ไม่เป็นลบที่มีร่องรอยเท่ากับ 1 กล่าวอย่างเป็นทางการคือ

ทฤษฎีบท^{[ 24 ]}สมมติว่าQเป็นแลตทิซของซับสเปซปิดของปริภูมิฮิลเบิร์ตที่แยกได้ซึ่งมีมิติเชิงซ้อนอย่างน้อย 3 แล้วสำหรับมาตรวัดความน่าจะเป็นควอนตัมP ใดๆ บนQจะมีตัวดำเนินการคลาสร่องรอยS ที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งสำหรับโปรเจกชันสมมาตรในตัวเองE ใด ๆในQ$${\displaystyle \operatorname {P} (E)=\operatorname {Tr} (SE)}$$

ตรรกะควอนตัมฝังตัวอยู่ในตรรกะเชิงเส้น^{[ 25 ]}และตรรกะโมดอลB ^{[ 16} ] อันที่จริง ตรรกะสมัยใหม่สำหรับการวิเคราะห์การคำนวณควอนตัมมักเริ่มต้นด้วยตรรกะควอนตัม และพยายามที่จะเชื่อมโยงคุณสมบัติที่พึงประสงค์ของการขยายตรรกะคลาสสิกเข้ากับตรรกะควอนตัม ผลลัพธ์ที่ได้จึงฝังตัวตรรกะควอนตัมไว้^{ด้วย[ 26 ] [ 27 ]}

แลตทิซออร์โธคอมพลีเมนต์ของชุดข้อเสนอควอนตัมใดๆ สามารถฝังลงในพีชคณิตบูลีนได้ ซึ่งจากนั้นจึงสามารถนำไปใช้กับตรรกะคลาสสิกได้^{[ 28 ]}

แม้ว่าการรักษาตรรกะควอนตัมจำนวนมากจะถือว่าแลตทิซพื้นฐานต้องเป็นออร์โธโมดูลาร์ แต่ตรรกะดังกล่าวไม่สามารถจัดการกับระบบควอนตัมที่มีปฏิสัมพันธ์กันหลายระบบได้ ตัวอย่างเช่น จากผลงานของ Foulis และ Randall มีข้อเสนอออร์โธโมดูลาร์ที่มีแบบจำลองฮิลเบิร์ตมิติจำกัดซึ่งการจับคู่ไม่ยอมรับแบบจำลองออร์โธโมดูลาร์^{[ 8 ]} ในทำนองเดียวกัน ตรรกะควอนตัมที่มีกฎออร์โธโมดูลาร์ทำให้ทฤษฎีบทการหักล้าง เป็นเท็จ ^{[ 29 ]}

ตรรกะควอนตัมไม่ยอมรับเงื่อนไขเชิงวัตถุ ที่สมเหตุสมผลใดๆ การเชื่อมต่อใดๆที่เป็นเอกภาคในความหมายทางเทคนิคบางอย่างจะลดคลาสของประพจน์ลงเป็นพีชคณิตบูลีน [ ^{30 ] ด้วย} เหตุนี้ ตรรกะควอนตัมจึงประสบปัญหาในการแสดงการผ่านของเวลา^{[ 25 ]} วิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้วิธีหนึ่งคือทฤษฎีการกรองควอนตัมที่พัฒนาขึ้นในช่วงปลายทศวรรษ 1970 และ 1980 โดยBelavkin [ ^{31 ] [ 32 ] อย่างไรก็ตาม} เป็นที่ทราบกันว่า System BVซึ่งเป็นส่วนย่อยของ การ อนุมานเชิงลึก ของ ตรรกะเชิงเส้นที่ใกล้เคียงกับตรรกะควอนตัมมาก สามารถจัดการกับปริภูมิเวลาแบบไม่ ต่อเนื่องใด ๆ ได้ ^{[ 33 ]}

เรียงลำดับตามเวลา

• J. von Neumann, พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์ควอน ตั ม, แปลโดย Robert T. Beyer, เรียบเรียงโดย Nicholas A. Wheeler; สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน, 2018 (ฉบับดั้งเดิมปี 1932). หน้า 160-164. JSTOR j.ctt1wq8zhp  ฉบับปี 1955มีให้บริการที่Internet Archive
• G. BirkhoffและJ. von Neumann , " ตรรกะของกลศาสตร์ควอนตัม ," Annals of Mathematics , ชุดที่ II, เล่มที่ 37, ฉบับที่ 4, หน้า 823–843, 1936. JSTOR  1968621. DOI 10.2307/1968621 .
• G. Mackey , พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์ควอนตัม , W. A. ​​Benjamin, 1963. HathiTrust  2027/mdp.39015001329567
• H. Putnam , ตรรกศาสตร์เป็นเชิงประจักษ์หรือไม่? , Boston Studies in the Philosophy of Science V, บรรณาธิการโดย Robert S. Cohen และ Marx W. Wartofsky, 1969
• G. Kalmbach Orthomodular Logic , Z. Logik และ Grundl. คณิตศาสตร์. เล่ม. ฉบับที่ 20, 1974, หน้า 395-406.
• G. Kalmbach ตรรกศาสตร์เชิงออร์โธโมดูลาร์ในฐานะแคลคูลัสประเภทฮิลเบิร์ตใน Current Issues in Quantum Logic, Plenum Press, นิวยอร์ก, บรรณาธิการ E. Beltrametti และคณะ, 1981, หน้า 333-340
• G. Kalmbach, Orthomodular Lattices , Academic Press, London, 1983

• Guido Bacciagaluppi, " ตรรกะเป็นเชิงประจักษ์หรือไม่? ", ในHandbook of Quantum Logic and Quantum Structures: Quantum Logic , บรรณาธิการ K. Engesser, D. M. Gabbay และ D. Lehmann; Elsevier, 2009. หน้า 49-78.
• ทิม มอดลิน , "เรื่องราวของตรรกะควอนตัม" ในฮิลารี พัตนัม ; สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ชุด "ปรัชญาร่วมสมัยที่เน้นประเด็นสำคัญ", 2005. DOI:  10.1017/CBO9780511614187.006 ISBN 9780521012546.
• เดอ รอนด์, ซี.; โดเมเนค, จี.; เฟรย์เตส, เอช. "ตรรกศาสตร์ควอนตัมในมุมมองทางประวัติศาสตร์และปรัชญา"ใน ฟีเซอร์, เจมส์; ดาวเดน, แบรดลีย์ (บรรณาธิการ). สารานุกรมปรัชญาทางอินเทอร์เน็ต . ISSN  2161-0002 . OCLC  37741658 .
• วิลซ์, อเล็กซานเดอร์. "ตรรกศาสตร์ควอนตัมและทฤษฎีความน่าจะเป็น"ในซัลตา, เอ็ดเวิร์ด เอ็น. (บรรณาธิการ). สารานุกรมปรัชญาแห่งสแตนฟอร์ด . ISSN  1095-5054 . OCLC  429049174 .

• A. Baltag และ S. Smets, " LQP: ตรรกะเชิงพลวัตของข้อมูลควอนตัม ", โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ , เล่มที่ 16, ฉบับที่ 3, หน้า 491-525, 2006. DOI  10.1017/S0960129506005299 arXiv  2110.01361
• A. Baltag, J. Bergfeld, K. Kishida, J. Sack, S. Smets และ S. Zhong, " PLQP & Company: Decidable Logics for Quantum Algorithms ", International Journal of Theoretical Physics , เล่มที่ 53, ฉบับที่ 10, หน้า 3628-3647, 2014
• M. L. Dalla Chiaraและ R. Giuntini, " ตรรกศาสตร์ควอนตัม ", ในHandbook of Philosophical Logicเล่ม 6, D. Gabbay และ F. Guenthner (บรรณาธิการ), Kluwer, 2002. arXiv  quant-ph/0101028
• M. L. Dalla Chiara, R. Giuntini และ R. Leporini, " ตรรกศาสตร์เชิงคำนวณควอนตัม: บทสำรวจ ", ในTrends in Logic , เล่มที่ 21, V. F. Hendricks และ J. Malinowski (บรรณาธิการ), Springer, 2003. arXiv  quant-ph/0305029
• นอร์แมน เมกิลล์นักสำรวจตรรกะควอนตัมแห่งMetamathปี 2019
• N. Papanikolaou, " การให้เหตุผลอย่างเป็นทางการเกี่ยวกับระบบควอนตัม: ภาพรวม ", ACM SIGACT News , 36(3), 2005. หน้า 51–66. arXiv cs/0508005 .

• D. Cohen, An Introduction to Hilbert Space and Quantum Logic , Springer-Verlag, 1989. เนื้อหาพื้นฐานและมีภาพประกอบอย่างดี เหมาะสำหรับนักศึกษาระดับปริญญาตรีขั้นสูง
• Günther Ludwig, Der Grundlagen der Quantenmechanik (ในภาษาเยอรมัน), Springer, 1954 งานขั้นสุดท้าย เผยแพร่เป็นภาษาอังกฤษเป็น:
  • Günther Ludwig, Foundations of Quantum Mechanics , เล่ม 1, แปลโดย Carl A. Hein; Springer-Verlag, 1983.
  • Günther Ludwig, พื้นฐานเชิงสัจพจน์สำหรับกลศาสตร์ควอนตัมเล่ม 1: "การหาโครงสร้างของปริภูมิฮิลเบิร์ต" แปลโดย Leo F. Boron บรรณาธิการโดย Karl Just; Springer, 1985. DOI:  10.1007/978-3-642-70029-3 . ISBN 978-3-642-70029-3.
• ตรรกศาสตร์ควอนตัมที่n Lab
• C. Piron , พื้นฐานของฟิสิกส์ควอนตัม , W. A. ​​Benjamin, 1976.

ค้นหาคำว่า "ตรรกะควอนตัม"ในวิกิพีเดีย ซึ่งเป็นพจนานุกรมออนไลน์ฟรี