กลศาสตร์เมทริกซ์เป็นรูปแบบหนึ่งของกลศาสตร์ควอนตัมที่สร้างขึ้นโดยเวอร์เนอร์ ไฮเซนเบิร์กแม็กซ์ บอร์นและปาสกาล จอร์แดนในปี 1925 นับเป็นรูปแบบแรกของกลศาสตร์ควอนตัมที่มีความเป็นอิสระทางแนวคิดและสอดคล้องกับตรรกะ คำอธิบายเกี่ยวกับการกระโดดควอนตัม ของกลศาสตร์เมทริกซ์ ได้เข้ามาแทนที่ วงโคจร ของอิเล็กตรอน ใน แบบจำลองของบอร์โดยการตีความคุณสมบัติทางกายภาพของอนุภาคว่าเป็นเมทริกซ์ที่เปลี่ยนแปลงไปตามเวลา มันเทียบเท่ากับรูปแบบคลื่นของชโรดิงเกอร์ในกลศาสตร์ควอนตัม ดังที่ปรากฏในสัญกรณ์บรา-เกตของ ดิแรก

ในทางตรงกันข้ามกับการกำหนดสูตรคลื่น มันสร้างสเปกตรัมของตัวดำเนินการ (ส่วนใหญ่เป็นพลังงาน) โดยใช้วิธีตัวดำเนินการบันได พีชคณิตล้วนๆ ^{[ 1 ]}โดยอาศัยวิธีการเหล่านี้Wolfgang Pauliได้หาค่าสเปกตรัมของอะตอมไฮโดรเจนในปี พ.ศ. 2469 ^{[ 2 ]}ก่อนการพัฒนากลศาสตร์คลื่น

ในปี ค.ศ. 1925 เวอร์เนอร์ ไฮเซนเบิร์กแม็กซ์ บอร์นและปาสกัวล จอร์แดนได้กำหนดรูปแบบกลศาสตร์เมทริกซ์ซึ่งเป็นการนำเสนอกลศาสตร์ควอนตัม

ในปี พ.ศ. 2468 เวอร์เนอร์ ไฮเซนเบิร์ก ทำงานอยู่ที่เมืองเกิตทิงเงนเกี่ยวกับปัญหาการคำนวณเส้นสเปกตรัมของไฮโดรเจนภายในเดือนพฤษภาคม พ.ศ. 2468 เขาเริ่มพยายามอธิบายระบบอะตอมโดยใช้ค่าที่สังเกตได้เท่านั้น ในวันที่ 7 มิถุนายน หลังจากพยายามบรรเทาอาการไข้ละออง ฟาง ด้วยแอสไพรินและโคเคน มาหลายสัปดาห์แต่ไม่สำเร็จ ^{[ 3 ]} ไฮเซนเบิร์กจึงเดินทางไปยัง เกาะเฮลิโกแลนด์ในทะเลเหนือ ซึ่ง ปราศจากละอองเกสรขณะอยู่ที่นั่น ระหว่างปีนเขาและท่องจำบทกวีจากWest-östlicher Diwanของเกอเธ่เขายังคงครุ่นคิดถึงปัญหาสเปกตรัมและในที่สุดก็ตระหนักว่าการใช้ค่า ที่สังเกตได้ซึ่ง ไม่สามารถสลับลำดับได้อาจช่วยแก้ปัญหานี้ได้ ต่อมาเขาเขียนว่า:

เวลาประมาณตีสาม ผลการคำนวณขั้นสุดท้ายก็ปรากฏต่อหน้าฉัน ตอนแรกฉันรู้สึกตกใจมาก ตื่นเต้นจนนอนไม่หลับ ฉันจึงออกจากบ้านและไปรอชมพระอาทิตย์ขึ้นบนยอดหิน^{[ 4 ] : 275}

หลังจากไฮเซนเบิร์กกลับไปยังเกิตติงเงน เขาได้แสดง ผลการคำนวณของเขาให้ โวล์ฟกัง พอลีดูพร้อมทั้งแสดงความคิดเห็นในตอนหนึ่งว่า:

ทุกอย่างยังคงคลุมเครือและไม่ชัดเจนสำหรับฉัน แต่ดูเหมือนว่าอิเล็กตรอนจะไม่เคลื่อนที่บนวงโคจรอีกต่อไป^{[ 5 ]}

เมื่อวันที่ 9 กรกฎาคม ไฮเซนเบิร์กได้มอบเอกสารการคำนวณฉบับเดียวกันให้กับแม็กซ์ บอร์น โดยกล่าวว่า "เขาเขียนเอกสารที่บ้ามากและไม่กล้าส่งไปตีพิมพ์ และบอร์นควรอ่านและให้คำแนะนำเขา" ก่อนที่จะตีพิมพ์ จากนั้นไฮเซนเบิร์กก็จากไปสักพัก ปล่อยให้บอร์นวิเคราะห์เอกสาร^{[ 6 ]}

ในบทความดังกล่าว ไฮเซนเบิร์กได้วางกรอบทฤษฎีควอนตัมโดยไม่ต้องกำหนดวงโคจรของอิเล็กตรอนอย่างชัดเจน โดยสนับสนุนการตีความทฤษฎีควอนตัมใหม่ที่มุ่งเน้นเฉพาะสิ่งที่สังเกตได้จากการทดลอง เช่น ความถี่และความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนสถานะ

ก่อนที่ไฮเซนเบิร์กจะตีพิมพ์บทความนั้นเฮนดริก คราเมอร์สได้คำนวณความเข้มสัมพัทธ์ของเส้นสเปกตรัมในแบบจำลองซอมเมอร์เฟลด์โดยตีความสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ของวงโคจรว่าเป็นความเข้ม แต่คำตอบของเขา เช่นเดียวกับการคำนวณอื่นๆ ทั้งหมดในทฤษฎีควอนตัมแบบเก่านั้นถูกต้องเฉพาะกับวงโคจรขนาดใหญ่เท่านั้น

หลังจากร่วมมือกับคราเมอร์ส^{[ 7 ]} ไฮเซนเบิร์ก เริ่มเชื่อว่าความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนผ่านที่อธิบายการเปลี่ยนผ่านควอนตัมจะต้องได้รับการตีความใหม่ที่แตกต่างจากกลศาสตร์คลาสสิก เนื่องจากไฮเซนเบิร์กเชื่อว่าความถี่ที่ควรปรากฏในอนุกรมที่อธิบายตำแหน่งของอิเล็กตรอนควรเป็น ความถี่ที่สังเกตได้จากการทดลองในการเปลี่ยนผ่านควอนตัม (เช่น ผ่านเส้นสเปกตรัม) ไม่ใช่ชุดความถี่เชิงพื้นที่ทั้งหมดที่ได้จากการสร้าง อนุกรมฟูริเยร์แบบดั้งเดิมของวงโคจรคลาสสิก

ปริมาณในสูตรดั้งเดิมของไฮเซนเบิร์กเกี่ยวข้องกับอนุกรมที่อธิบายตำแหน่งเป็นอนุกรมของ "ออสซิลเลเตอร์เสมือน" ที่มีดัชนีสองตัว โดยดัชนีทั้งสองแสดงถึงสถานะเริ่มต้นและสถานะสุดท้ายของการเปลี่ยนผ่านควอนตัม^{[ 8 ]}แทนที่จะปฏิบัติตามกฎการคูณตามที่คาดหวังจากการคูณอนุกรมฟูริเยร์ ไฮเซนเบิร์กได้สร้างกฎการคูณแบบไม่สลับที่เพื่อให้แน่ใจว่าการคูณสถานะตำแหน่งจะรักษาความถี่ที่พบได้เฉพาะในการเปลี่ยนผ่านควอนตัมเท่านั้น

เมื่อบอร์นอ่านบทความ เขาจำสูตรได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งกฎการคูณแบบไม่สลับที่ ซึ่งสามารถถอดความและขยายไปสู่ภาษาเมทริกซ์ที่ เป็นระบบได้ ^{[ 9 ]}ซึ่งเขาได้เรียนรู้จากการศึกษาภายใต้จาคอบ โรซาเนส^{[ 10 ]}ที่มหาวิทยาลัยเบรสเลา บอร์นด้วยความช่วยเหลือจากผู้ช่วยและอดีตนักศึกษาของเขา ปาสกัวล จอร์แดน เริ่มทำการถอดความและขยายทันที และพวกเขาส่งผลลัพธ์เพื่อตีพิมพ์ บทความได้รับการตีพิมพ์เพียง 60 วันหลังจากบทความของไฮเซนเบิร์ก^{[ 11 ]}

บทความติดตามผลได้รับการส่งเพื่อตีพิมพ์ก่อนสิ้นปีโดยผู้เขียนทั้งสามคน^{[ 12 ]} (บทวิจารณ์โดยย่อเกี่ยวกับบทบาทของบอร์นในการพัฒนาสูตรกลศาสตร์เมทริกซ์ของกลศาสตร์ควอนตัม พร้อมกับการอภิปรายเกี่ยวกับสูตรสำคัญที่เกี่ยวข้องกับการไม่สลับที่ของแอมพลิจูดความน่าจะเป็น สามารถพบได้ในบทความของเจเรมี เบิร์นส ไต น์^{[ 13 ]}รายละเอียดทางประวัติศาสตร์และทางเทคนิคสามารถพบได้ในหนังสือของเมห์ราและเรเชนเบิร์กเรื่อง การพัฒนาทางประวัติศาสตร์ของทฤษฎีควอนตัม เล่มที่ 3 การกำหนดสูตรกลศาสตร์เมทริกซ์และการปรับเปลี่ยน 1925–1926 ^{[ 14 ]} )

จนถึงปัจจุบันนี้ เมทริกซ์แทบจะไม่ถูกใช้โดยนักฟิสิกส์เลย พวกมันถูกมองว่าเป็นของขอบเขตของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีบทความของบอร์นและจอร์แดนเพื่อแนะนำพีชคณิตเมทริกซ์ให้กับนักฟิสิกส์ที่ไม่คุ้นเคยกับการใช้งานกุสตาฟ มีได้ใช้เมทริกซ์ในบทความเกี่ยวกับอิเล็กโทรไดนามิกส์ในปี 1912 และบอร์นได้ใช้เมทริกซ์ในงานของเขาเกี่ยวกับทฤษฎีแลตติสของผลึกในปี 1921 แม้ว่าเมทริกซ์จะถูกใช้ในกรณีเหล่านี้ แต่พีชคณิตของเมทริกซ์กับการคูณเมทริกซ์นั้นไม่ได้ถูกนำมาพิจารณาเหมือนกับในสูตรเมทริกซ์ของกลศาสตร์ควอนตัม^{[ 15 ]}

อย่างไรก็ตาม บอร์นได้เรียนรู้พีชคณิตเมทริกซ์จากโรซาเนส ดังที่ได้กล่าวไว้แล้ว แต่บอร์นยังได้เรียนรู้ทฤษฎีสมการอินทิกรัลและรูปแบบกำลังสองของฮิลเบิร์ตสำหรับตัวแปรจำนวนอนันต์ ดังที่เห็นได้ชัดจากการอ้างอิงงานของฮิลเบิร์ตเรื่องGrundzüge einer allgemeinen Theorie der Linearen Integralgleichungenที่ตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2455 โดย บอร์น ^{[ 16 ] [ 17 ]}

จอร์แดนเองก็มีความพร้อมสำหรับงานนี้เช่นกัน เป็นเวลาหลายปีที่เขาเป็นผู้ช่วยของริชาร์ด คูแรนต์ที่เกิตทิงเงนในการเตรียมหนังสือMethoden der mathematischen Physik I ของคูแรนต์และ เดวิด ฮิลเบิร์ตซึ่งตีพิมพ์ในปี 1924 ^{[ 18 ]}หนังสือเล่มนี้บังเอิญมีเครื่องมือทางคณิตศาสตร์จำนวนมากที่จำเป็นสำหรับการพัฒนากลศาสตร์ควอนตัมต่อไป

ในปี พ.ศ. 2469 จอห์น ฟอน นอยมันน์ได้เป็นผู้ช่วยของเดวิด ฮิลเบิร์ต และเขาได้บัญญัติศัพท์คำว่า " ปริภูมิฮิลเบิร์ต"เพื่ออธิบายพีชคณิตและการวิเคราะห์ที่ใช้ในการพัฒนากลศาสตร์ควอนตัม^{[ 19 ] [ 20 ]}

การมีส่วนร่วมที่สำคัญในการกำหนดสูตรนี้เกิดขึ้นจากบทความการตีความ/สังเคราะห์ใหม่ของ Dirac ในปี พ.ศ. 2468 ^{[ 21 ]}ซึ่งคิดค้นภาษาและกรอบการทำงานที่มักใช้ในปัจจุบัน โดยแสดงให้เห็นโครงสร้างที่ไม่สลับที่กันของโครงสร้างทั้งหมดอย่างเต็มที่

ก่อนที่จะมีกลศาสตร์เมทริกซ์ ทฤษฎีควอนตัมแบบเก่าอธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคด้วยวงโคจรแบบคลาสสิก โดยมีตำแหน่งและโมเมนตัมX ( t ) , P ( t ) ที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน พร้อมข้อจำกัดที่ว่าปริพันธ์เวลาในช่วงหนึ่งคาบ T ของโมเมนตัมคูณด้วยความเร็วจะต้องเป็นจำนวนเต็มบวกที่เป็นผลคูณของค่าคงที่ของพลังค์( h )ตามที่อธิบายไว้ในเงื่อนไขการควอนตัมของซอมเมอร์เฟลด์-วิลสัน แม้ว่า ข้อจำกัดนี้จะเลือกวงโคจรที่มีค่าพลังงาน En ที่ถูกต้อง แต่_รูปแบบควอนตัมแบบเก่าไม่ได้อธิบายกระบวนการที่ขึ้นอยู่กับเวลา เช่น การปล่อยหรือการดูดกลืนรังสี $${\displaystyle \ \int _{0}^{T}P\;{\frac {\ \mathrm {d} X\ }{\mathrm {d} t}}\;\mathrm {d} t\ =\ \int _{0}^{T}P\;\mathrm {d} X=n\ h~.}$$

เมื่ออนุภาคคลาสสิกมีการเชื่อมต่อกับสนามรังสีอย่างอ่อน จนสามารถละเลยการลดทอนการแผ่รังสีได้ อนุภาคนั้นจะปล่อยรังสีออกมาในรูปแบบที่ซ้ำกันทุกรอบการโคจรความถี่ที่ประกอบขึ้นเป็นคลื่นที่ปล่อยออกมาจะเป็นจำนวนเต็มเท่าของความถี่การโคจร และนี่เป็นการสะท้อนให้เห็นว่าX ( t ) เป็นคาบ ดังนั้นการแสดงฟูริเยร์ ของมันจึง มีความถี่⁠ 2 π n /ทีเฉพาะเท่านั้น สัมประสิทธิ์ X _nเป็นจำนวนเชิงซ้อนตัวที่มีความถี่เป็นลบจะต้องเป็นจำนวนเชิงซ้อนสังยุคของตัวที่มีความถี่เป็นบวก ดังนั้น X ( t ) จะเป็นจำนวนจริงเสมอ $${\displaystyle X(t)\ =\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i\ 2\pi nt/T}X_{n}~.}$$$${\displaystyle X_{n}=X_{-n}^{*}~.}$$

ในทางกลับกัน อนุภาคในกลศาสตร์ควอนตัมไม่สามารถแผ่รังสีได้อย่างต่อเนื่อง มันสามารถแผ่รังสีได้เฉพาะโฟตอนเท่านั้น ภายใต้แบบจำลองของบอร์สำหรับอนุภาคควอนตัมที่เริ่มต้นที่เลขควอนตัม n แล้วแผ่รังสีโฟตอนโดยการเปลี่ยนไปสู่เลขวงโคจรmพลังงานของโฟตอนคือ E n ₋ E _m ซึ่งทำให้ได้โฟตอนที่มีความถี่⁠ เอ็น− _เอ็ม/ชม.⁠ .

สำหรับค่า n และ m ที่มาก แต่ n − m มีค่าค่อนข้างน้อยหลักการสอดคล้องกันของโบร์คาดหวังว่าความถี่แบบคลาสสิกจะเหมือนกัน ในสูตรข้างต้น T คือคาบแบบคลาสสิกของวงโคจร n หรือวงโคจรmเนื่องจากความแตกต่างระหว่างทั้งสองมีลำดับสูงกว่าในhแต่สำหรับค่า n และ m ที่น้อย หรือ ถ้า n − mมีค่ามาก ความถี่จะไม่ใช่ผลคูณจำนวนเต็มของความถี่ใดความถี่หนึ่ง $${\displaystyle E_{n}-E_{m}\approx {\frac {\ h\ (nm)\ }{T}}~.}$$

เนื่องจากในกลศาสตร์คลาสสิก ความถี่ที่อนุภาคปล่อยออกมาจะเท่ากับความถี่ในคำอธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคตามทฤษฎีฟูริเยร์ ไฮเซนเบิร์กจึงสรุปว่า ในคำอธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคแบบขึ้นอยู่กับเวลา น่าจะมีบางสิ่งที่สั่นด้วยความถี่⁠ เอ็น− _เอ็ม/ชม.ไฮเซนเบิร์กเรียกปริมาณนี้ว่า X _nm และเรียกร้องให้มันลดรูปเป็นสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ในขีดจำกัดแบบคลาสสิก สำหรับค่าnและ m แต่ n − m ค่อนข้างน้อย X _nmคือสัมประสิทธิ์ ฟูริเยร์ลำดับที่ ( n − m )ของการเคลื่อนที่แบบคลาสสิกที่วงโคจร nเนื่องจาก X _nmมีความถี่ตรงข้ามกับ X _mnเงื่อนไขที่ว่า X เป็น จำนวนจริงจึงกลาย เป็น$${\displaystyle X_{nm}=X_{mn}^{*}~.}$$

ตามนิยามแล้ว X _nmจะมีเพียงความถี่เท่านั้น เอ็น− _เอ็ม/ชม.ดังนั้นวิวัฒนาการตามเวลาของมันจึงอาจอธิบายได้ดังนี้: นี่ คือรูปแบบดั้งเดิมของสมการการเคลื่อนที่ของไฮเซนเบิร์ก $${\displaystyle \ X_{nm}(t)\ =\ e^{i\ 2\pi \left(E_{n}-E_{m}\right)t/h}\ X_{nm}(0)\ =\ e^{i\ \left(E_{n}-E_{m}\right)t/\hbar }\ X_{nm}(0)~.}$$

กำหนดให้มีอาร์เรย์สองชุด X _nmและ P _nmซึ่งอธิบายปริมาณทางกายภาพสองปริมาณ เมื่อจำลองแต่ละชุดเป็นอนุกรมฟูริเยร์แบบคลาสสิก คาดว่าการคูณ X _nk P _kmของทั้งสองชุดจะส่งผลให้เกิดความถี่ใหม่ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของอนุกรมฟูริเยร์ใหม่เช่นกัน ในขณะที่สัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ของผลคูณของปริมาณสองปริมาณคือการสังเคราะห์ของสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ของแต่ละปริมาณแยกกัน ไฮเซนเบิร์กได้เปลี่ยนกฎการคูณเพื่อให้แน่ใจว่าเมื่อคูณแต่ละองค์ประกอบ ความถี่ใหม่จะสอดคล้องกับความถี่ที่มีอยู่แล้วในวงโคจรควอนตัมเท่านั้น: $${\displaystyle \ \left(X\ P\right)_{mn}\ =\ \sum _{k=0}^{\infty }\ X_{mk}\ P_{kn}~.}$$

บอร์นสังเกตเห็นว่านี่คือกฎของการคูณเมทริกซ์ดังนั้นตำแหน่ง โมเมนตัม พลังงาน และปริมาณที่สังเกตได้ทั้งหมดในทฤษฎี จึงถูกตีความว่าเป็นเมทริกซ์ ภายใต้กฎการคูณนี้ ผลคูณจะขึ้นอยู่กับลำดับ: X Pจะแตกต่างจากP X

เมท ริกซ์ X เป็นคำอธิบายที่สมบูรณ์ของการเคลื่อนที่ของอนุภาคกลศาสตร์ควอนตัม เนื่องจากความถี่ในการเคลื่อนที่ควอนตัมไม่ใช่ผลคูณของความถี่ทั่วไป เมทริกซ์จึงไม่สามารถตีความได้ว่าเป็นสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ของวิถีคลาสสิกที่คมชัดอย่างไรก็ตาม ในฐานะเมทริกซ์X ( t ) และP ( t ) สอดคล้องกับสมการการเคลื่อนที่แบบคลาสสิก โปรดดูทฤษฎีบทของ Ehrenfest ด้านล่างด้วย

เมื่อทฤษฎีกลศาสตร์เมทริกซ์ถูกนำเสนอโดยเวอร์เนอร์ ไฮเซนเบิร์ก แม็กซ์ บอร์น และปาสกัวล จอร์แดน ในปี ค.ศ. 1925 ทฤษฎีนี้ไม่ได้รับการยอมรับในทันทีและเป็นแหล่งที่มาของข้อโต้แย้งในตอนแรก ต่อมาทฤษฎีกลศาสตร์คลื่น ที่ชโรดิงเกอร์นำเสนอกลับ ได้รับความนิยมอย่างมาก

ส่วนหนึ่งเป็นเพราะสูตรของไฮเซนเบิร์กใช้ภาษาคณิตศาสตร์ที่แปลกประหลาดสำหรับยุคนั้น ในขณะที่สูตรของชโรดิงเกอร์นั้นอิงอยู่กับสมการคลื่นที่คุ้นเคย แต่ยังมีเหตุผลทางสังคมวิทยาที่ลึกซึ้งกว่านั้นด้วย กลศาสตร์ควอนตัมได้พัฒนาไปในสองเส้นทาง เส้นทางหนึ่งนำโดยไอน์สไตน์ ซึ่งเน้นย้ำถึงความเป็นคู่ของคลื่นและอนุภาคที่เขาเสนอสำหรับโฟตอน และอีกเส้นทางหนึ่งนำโดยบอร์ ซึ่งเน้นย้ำถึงสถานะพลังงานที่ไม่ต่อเนื่องและการกระโดดควอนตัมที่บอร์ค้นพบ เดอ บรอยล์ได้จำลองสถานะพลังงานที่ไม่ต่อเนื่องภายในกรอบของไอน์สไตน์ – เงื่อนไขควอนตัมคือเงื่อนไขคลื่นนิ่ง และสิ่งนี้ทำให้ผู้ที่อยู่ในสำนักของไอน์สไตน์มีความหวังว่าแง่มุมที่ไม่ต่อเนื่องทั้งหมดของกลศาสตร์ควอนตัมจะถูกรวมเข้ากับกลศาสตร์คลื่นต่อเนื่อง

ในทางกลับกัน กลศาสตร์เมทริกซ์มาจากสำนักของบอร์ ซึ่งให้ความสำคัญกับสถานะพลังงานแบบไม่ต่อเนื่องและการกระโดดควอนตัม ผู้ติดตามของบอร์ไม่ชื่นชอบแบบจำลองทางฟิสิกส์ที่มองอิเล็กตรอนเป็นคลื่น หรือเป็นอะไรก็ตาม พวกเขาเลือกที่จะมุ่งเน้นไปที่ปริมาณที่เชื่อมโยงโดยตรงกับการทดลอง

ในฟิสิกส์อะตอมสเปกโทรสโกปีให้ข้อมูลเชิงสังเกตเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงของอะตอมที่เกิดขึ้นจากปฏิสัมพันธ์ของอะตอมกับควอนตัม แสง สำนักคิดของบอร์กำหนดว่าเฉพาะปริมาณที่สามารถวัดได้ด้วยสเปกโทรสโกปีเท่านั้นที่จะปรากฏในทฤษฎี ปริมาณเหล่านี้รวมถึงระดับพลังงานและความเข้มของพลังงาน แต่ไม่รวมถึงตำแหน่งที่แน่นอนของอนุภาคในวงโคจรของบอร์ เป็นการยากที่จะจินตนาการถึงการทดลองที่สามารถระบุได้ว่าอิเล็กตรอนในสถานะพื้นฐานของอะตอมไฮโดรเจนอยู่ทางด้านขวาหรือด้านซ้ายของนิวเคลียส มีความเชื่อมั่นอย่างแรงกล้าว่าคำถามเช่นนี้ไม่มีคำตอบ

สูตรเมทริกซ์ถูกสร้างขึ้นบนสมมติฐานที่ว่าปริมาณที่สังเกตได้ทางกายภาพทั้งหมดถูกแทนด้วยเมทริกซ์ ซึ่งองค์ประกอบต่างๆ จะถูกจัดทำดัชนีโดยระดับพลังงานที่แตกต่างกันสองระดับ^{[ 22 ]} ในที่สุด ชุดค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ก็ถูกเข้าใจว่าเป็นชุดค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่ปริมาณที่สังเกตได้สามารถมีได้ เนื่องจากเมทริกซ์ของไฮเซนเบิร์กเป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียน ค่าลักษณะเฉพาะจึงเป็นจำนวนจริง

ถ้าเราวัดค่าที่สังเกตได้ค่าหนึ่งแล้วผลลัพธ์เป็นค่าไอเกนค่าหนึ่งเวกเตอร์ไอเกน ที่สอดคล้องกัน จะเป็นสถานะของระบบทันทีหลังจากการวัด การกระทำของการวัดในกลศาสตร์เมทริกซ์ทำให้สถานะของระบบยุบตัวลง ถ้าเราวัดค่าที่สังเกตได้สองค่าพร้อมกัน สถานะของระบบจะยุบตัวลงเหลือเพียงเวกเตอร์ไอเกนร่วมของค่าที่สังเกตได้ทั้งสอง เนื่องจากเมทริกซ์ส่วนใหญ่ไม่มีเวกเตอร์ไอเกนร่วมกัน ดังนั้นค่าที่สังเกตได้ส่วนใหญ่จึงไม่สามารถวัดได้อย่างแม่นยำพร้อมกัน นี่คือหลักการความไม่แน่นอน

ถ้าเมทริกซ์สองเมทริกซ์มีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะร่วมกัน เมทริกซ์ทั้งสองนั้นสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้พร้อมกัน ในฐานที่เมทริกซ์ทั้งสองเป็นเมทริกซ์ทแยงมุมนั้น เห็นได้ชัดว่าผลคูณของเมทริกซ์ทั้งสองไม่ขึ้นอยู่กับอันดับของเมทริกซ์ เพราะการคูณเมทริกซ์ทแยงมุมก็คือการคูณตัวเลขนั่นเอง ในทางตรงกันข้าม หลักการความไม่แน่นอนเป็นการแสดงให้เห็นถึงข้อเท็จจริงที่ว่าเมทริกซ์AและB มัก จะไม่สลับที่กันได้เสมอไป กล่าวคือAB − BAไม่จำเป็นต้องเท่ากับ 0 ความสัมพันธ์การสลับที่กันพื้นฐานของกลศาสตร์เมทริกซ์ จึงบ่งชี้ว่าไม่มีสถานะใดที่มีทั้งตำแหน่งและโมเมนตัมที่แน่นอนพร้อมกัน $${\displaystyle \sum _{k}\left(X_{nk}P_{km}-P_{nk}X_{km}\right)=i\hbar \,\delta _{nm}}$$

หลักการความไม่แน่นอนนี้ใช้ได้กับคู่ของปริมาณที่สังเกตได้อื่นๆ อีกมากมายเช่นกัน ตัวอย่างเช่น พลังงานไม่สัมพันธ์กับตำแหน่ง ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะกำหนดตำแหน่งและพลังงานของอิเล็กตรอนในอะตอมได้อย่างแม่นยำ

ในปี พ.ศ. 2461 อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ได้เสนอชื่อไฮเซนเบิร์ก บอร์น และจอร์แดน ให้ได้รับ รางวัลโนเบล สาขาฟิสิกส์^{[ 23 ]}การประกาศรางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์ประจำปี พ.ศ. 2475 ถูกเลื่อนออกไปจนถึงเดือนพฤศจิกายน พ.ศ. 2476 ^{[ 24 ]}ในเวลานั้นเองที่ได้มีการประกาศว่าไฮเซนเบิร์กได้รับรางวัลประจำปี พ.ศ. 2475 "สำหรับการสร้างกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งการประยุกต์ใช้ได้นำไปสู่การค้นพบรูปแบบอัลโลโทรปิกของไฮโดรเจน" ^{[ 25 ]}และเออร์วิน ชโรดิงเกอร์และพอล เอเดรียน มอริซ ดิแรก ได้รับรางวัลร่วมกัน ประจำปี พ.ศ. 2476 "สำหรับการค้นพบรูปแบบใหม่ที่มีประสิทธิภาพของทฤษฎีอะตอม" ^{[ 25 ]}

เมื่อวันที่ 25 พฤศจิกายน พ.ศ. 2476 บอร์นได้รับจดหมายจากไฮเซนเบิร์กซึ่งระบุว่าเขาเขียนจดหมายล่าช้าเนื่องจาก "ความรู้สึกผิด" ที่เขาได้รับรางวัลเพียงผู้เดียว "สำหรับงานที่ทำในเกิตติงเงนโดยความร่วมมือกับ - คุณ จอร์แดน และผม" ไฮเซนเบิร์กกล่าวต่อไปว่าการมีส่วนร่วมของบอร์นและจอร์แดนในกลศาสตร์ควอนตัมไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ด้วย "การตัดสินใจที่ผิดพลาดจากภายนอก" ^{[ 26 ]}ในปี พ.ศ. 2497 ไฮเซนเบิร์กเขียนบทความยกย่องแม็กซ์ พลังค์สำหรับวิสัยทัศน์ของเขาในปี พ.ศ. 2443 ในบทความนั้น ไฮเซนเบิร์กยกย่องบอร์นและจอร์แดนสำหรับการกำหนดสูตรทางคณิตศาสตร์ขั้นสุดท้ายของกลศาสตร์เมทริกซ์ และไฮเซนเบิร์กยังเน้นย้ำถึงการมีส่วนร่วมที่ยิ่งใหญ่ของพวกเขาในกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่ง "ไม่ได้รับการยอมรับอย่างเพียงพอในสายตาของสาธารณชน" ^{[ 27 ]}

เมื่อไฮเซนเบิร์กแนะนำเมทริกซ์สำหรับXและPแล้ว เขาก็สามารถหาค่าองค์ประกอบของเมทริกซ์ในกรณีพิเศษได้โดยการคาดเดา โดยอาศัยหลักการความสอดคล้อง เนื่องจากองค์ประกอบของเมทริกซ์เป็นอนาล็อกทางกลศาสตร์ควอนตัมของสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ของวงโคจรแบบคลาสสิก กรณีที่ง่ายที่สุดคือออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกซึ่งตำแหน่งและโมเมนตัมแบบคลาสสิกX ( t )และP ( t )เป็นรูปคลื่นไซน์

ในหน่วยที่มวลและความถี่ของตัวสั่นเท่ากับหนึ่ง (ดูการทำให้เป็นหน่วยไร้มิติ ) พลังงานของตัวสั่นคือ $${\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}\left(\ P^{2}+X^{2}\right)~.}$$

ระดับเซตของ H คือวงโคจรตามเข็มนาฬิกา และเป็นวงกลมซ้อนกันในปริภูมิเฟส วงโคจรแบบคลาสสิกที่มีพลังงาน E คือ

${\textstyle \ X(t)=+{\sqrt {2E\ }}\ \cos(t)\qquad }$และ${\textstyle \qquad P(t)=-{\sqrt {2E\ }}\ \sin(t)~.}$

เงื่อนไขควอนตัมแบบเก่าระบุว่า อินทิกรัลของP d Xเหนือวงโคจร ซึ่งก็คือพื้นที่ของวงกลมในปริภูมิเฟส จะต้องเป็นผลคูณจำนวนเต็มของค่าคง ที่ของ พลังค์พื้นที่ของวงกลมที่มีรัศมี√ 2 E คือ 2 π Eดังนั้นหรือ ในหน่วยธรรมชาติที่ħ ≡ 1พลังงานจะกลายเป็นจำนวนเต็ม บาง จำนวน $${\displaystyle E={\frac {\ n\ h\ }{2\pi }}=n\ \hbar \ ,}$$

ส่วนประกอบฟูริเยร์ของX ( t ) และP ( t ) นั้นเรียบง่าย และยิ่งเรียบง่ายมากขึ้นไปอีกเมื่อแสดงใหม่ในรูปผลรวมและผลต่างของตำแหน่ง X และโมเมนตัมP  :

${\textstyle \ A(t)=X(t)+i\ P(t)={\sqrt {2E\ }}\ e^{-i\ t}\qquad }$และ${\textstyle \qquad A^{\dagger }(t)=X(t)-i\ P(t)={\sqrt {2E\ }}\ e^{+i\ t}~.}$

ทั้ง A และA ^†มีความถี่เพียงความถี่เดียว และ X และ P สามารถกู้คืนได้จากผลรวมและผลต่างที่คล้ายกัน ของ A และA ^†

เนื่องจากA ( t ) มีอนุกรมฟูริเยร์แบบคลาสสิกที่มีเฉพาะความถี่ต่ำสุด และองค์ประกอบเมทริกซ์_Amn คือสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ลำดับที่ (m − n) ของวงโคจรแบบคลาสสิก เมทริกซ์สำหรับA จึงมีค่าไม่เป็นศูนย์เฉพาะบนเส้นที่อยู่เหนือเส้นทแยงมุมเท่านั้น ซึ่งมีค่าเท่ากับ √2Enเมทริกซ์สำหรับ A † ก็ เช่นกันมีค่า_ไม่เป็น^{ศูนย์}เฉพาะบนเส้นที่อยู่ใต้เส้นทแยงมุมเท่านั้น โดยมีองค์ประกอบเดียวกัน ดังนั้นจาก A และA ^†การสร้างใหม่จะได้ และ ซึ่งขึ้นอยู่กับการเลือกหน่วย จะเป็นเมทริกซ์ไฮเซนเบิร์กสำหรับออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิก เมทริกซ์ทั้งสองเป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนเนื่องจากสร้างขึ้นจากสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ของปริมาณจริง $${\displaystyle {\sqrt {2\ }}\ X(0)={\sqrt {\hbar \ }}\;{\begin{bmatrix}0&{\sqrt {1\ }}&0&0&0&\cdots \\{\sqrt {1\ }}&0&{\sqrt {2\ }}&0&0&\cdots \\0&{\sqrt {2\ }}&0&{\sqrt {3\ }}&0&\cdots \\0&0&{\sqrt {3\ }}&0&{\sqrt {4\ }}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{bmatrix}}\ ,}$$$${\displaystyle {\sqrt {2\ }}\ P(0)={\sqrt {\hbar \ }}\;{\begin{bmatrix}0&-i{\sqrt {1\ }}&0&0&0&\cdots \\i{\sqrt {1}}&0&-i{\sqrt {2\ }}&0&0&\cdots \\0&i{\sqrt {2\ }}&0&-i{\sqrt {3\ }}&0&\cdots \\0&0&i{\sqrt {3\ }}&0&-i{\sqrt {4\ }}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{bmatrix}}\ ,}$$

การหาค่าX ( t ) และP ( t ) นั้นทำได้โดยตรง เนื่องจากค่าเหล่านี้เป็นสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ควอนตัม ดังนั้นจึงเปลี่ยนแปลงไปตามเวลาอย่างง่ายๆ ดังนี้

${\textstyle \ X_{mn}(t)\ =\ X_{mn}(0)\ e^{i\ (E_{m}-E_{n})t}\qquad }$และ${\textstyle \qquad P_{mn}(t)\ =\ P_{mn}(0)\ e^{i\ (E_{m}-E_{n})t}~.}$

ผลคูณเมทริกซ์ของ X และ P ไม่ใช่เมทริกซ์เฮอร์มิเชียน แต่มีส่วนจริงและส่วนจินตนาการ ส่วนจริงเป็นครึ่งหนึ่งของนิพจน์สมมาตรXP + PX ในขณะที่ส่วนจินตนาการเป็นสัดส่วนกับตัวสลับซึ่งเขียนได้ดังนี้ ในกรณีพิเศษของตัวสั่นฮาร์มอนิก สามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่าXP − PXคือi ħ I โดย ที่ I คือ เมทริก ซ์ เอกลักษณ์$${\displaystyle \ {\bigl [}\ X\ ,\ P\ {\bigr ]}\ \equiv \ X\ P-P\ X~.}$$

นอกจากนี้ยังสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่าเมทริกซ์ดัง กล่าว เป็นเมทริกซ์แนวทแยงโดยมีค่าลักษณะเฉพาะE _i$${\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}\left(\ X^{2}+P^{2}\right)}$$

ตัวสั่นแบบฮาร์มอนิกเป็นกรณีที่สำคัญ การหาเมทริกซ์นั้นง่ายกว่าการกำหนดเงื่อนไขทั่วไปจากรูปแบบพิเศษเหล่านี้ ด้วยเหตุนี้ ไฮเซนเบิร์กจึงศึกษาตัวสั่นแบบแอนฮาร์มอนิกซึ่งมีแฮมิลโทเนียน$${\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}P^{2}+{\tfrac {1}{2}}X^{2}+\varepsilon X^{3}~.}$$

ในกรณีนี้ เมทริกซ์ XและPไม่ใช่เมทริกซ์นอกแนวทแยงมุมแบบง่ายอีกต่อไป เนื่องจากวงโคจรแบบคลาสสิกที่สอดคล้องกันนั้นถูกบีบและเลื่อนไปเล็กน้อย ทำให้มีสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ที่ความถี่แบบคลาสสิกทุกความถี่ เพื่อกำหนดองค์ประกอบของเมทริกซ์ ไฮเซนเบิร์กกำหนดให้สมการการเคลื่อนที่แบบคลาสสิกต้องเป็นไปตามสมการเมทริกซ์ $${\displaystyle {\frac {dX}{dt}}=P~,\qquad {\frac {dP}{dt}}=-X-3\varepsilon X^{2}~.}$$

เขาสังเกตเห็นว่าหากทำเช่นนี้ได้Hซึ่งถือว่าเป็นฟังก์ชันเมทริกซ์ของXและPจะมีอนุพันธ์เทียบกับเวลาเป็นศูนย์ โดยที่A ∗ Bคือแอนติคอมมิวเทเตอร์ $${\displaystyle {\frac {dH}{dt}}=P*{\frac {dP}{dt}}+\left(X+3\varepsilon X^{2}\right)*{\frac {dX}{dt}}=0~,}$$$${\displaystyle A*B={\tfrac {1}{2}}(AB+BA)~.}$$

เนื่องจากองค์ประกอบนอกแนวทแยงทั้งหมดมีความถี่ที่ไม่เป็นศูนย์ การที่Hเป็นค่าคงที่หมายความว่าHเป็นเมทริกซ์แนวทแยง ไฮเซนเบิร์กจึงเห็นได้ชัดว่าในระบบนี้ พลังงานสามารถอนุรักษ์ได้อย่างแม่นยำในระบบควอนตัมใดๆ ซึ่งเป็นสัญญาณที่น่ายินดีอย่างยิ่ง

กระบวนการปล่อยและดูดกลืนโฟตอนดูเหมือนจะเรียกร้องให้การอนุรักษ์พลังงานเป็นจริงได้ดีที่สุดโดยเฉลี่ย หากคลื่นที่มีโฟตอนเพียงหนึ่งเดียวผ่านอะตอมบางอะตอม และอะตอมหนึ่งดูดกลืนโฟตอนนั้น อะตอมนั้นจะต้องบอกอะตอมอื่น ๆ ว่าพวกมันไม่สามารถดูดกลืนโฟตอนได้อีกต่อไป แต่ถ้าอะตอมอยู่ห่างกันมาก สัญญาณใด ๆ ก็ไม่สามารถไปถึงอะตอมอื่น ๆ ได้ทันเวลา และพวกมันอาจดูดกลืนโฟตอนเดียวกันนั้นอยู่ดีและกระจายพลังงานไปสู่สิ่งแวดล้อม เมื่อสัญญาณไปถึงพวกมัน อะตอมอื่น ๆ จะต้องเรียกคืนพลังงานนั้นกลับมาด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง ปรากฏการณ์ขัดแย้งนี้ทำให้บอร์ คราเมอร์ส และสเลเตอร์ละทิ้งการอนุรักษ์พลังงานอย่างแม่นยำ รูปแบบของไฮเซนเบิร์ก เมื่อขยายไปรวมถึงสนามแม่เหล็กไฟฟ้า เห็นได้ชัดว่าจะหลีกเลี่ยงปัญหานี้ ซึ่งเป็นข้อบ่งชี้ว่าการตีความทฤษฎีจะเกี่ยวข้องกับการยุบตัวของฟังก์ชัน คลื่น

การเรียกร้องให้รักษาสมการการเคลื่อนที่แบบคลาสสิกไว้ไม่ใช่เงื่อนไขที่เข้มแข็งเพียงพอที่จะกำหนดองค์ประกอบของเมทริกซ์ ค่าคงที่ของพลังค์ไม่ได้ปรากฏในสมการแบบคลาสสิก ดังนั้นเมทริกซ์จึงสามารถสร้างขึ้นสำหรับค่าħ ที่แตกต่างกันได้มากมาย และยังคงสอดคล้องกับสมการการเคลื่อนที่ แต่จะมีระดับพลังงานที่แตกต่างกัน

ดังนั้น เพื่อที่จะนำโปรแกรมของเขาไปใช้ ไฮเซนเบิร์กจำเป็นต้องใช้เงื่อนไขควอนตัมแบบเก่าในการกำหนดระดับพลังงาน จากนั้นเติมเมทริกซ์ด้วยสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ของสมการคลาสสิก แล้วปรับเปลี่ยนสัมประสิทธิ์เมทริกซ์และระดับพลังงานเล็กน้อยเพื่อให้แน่ใจว่าสมการคลาสสิกนั้นเป็นไปตามเงื่อนไข ซึ่งเห็นได้ชัดว่าไม่น่าพอใจ เงื่อนไขควอนตัมแบบเก่าอ้างถึงพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยวงโคจรคลาสสิกที่คมชัด ซึ่งไม่มีอยู่ในรูปแบบใหม่

สิ่งที่สำคัญที่สุดที่ไฮเซนเบิร์กค้นพบคือวิธีการแปลงเงื่อนไขควอนตัมแบบเก่าให้เป็นข้อความที่เรียบง่ายในกลศาสตร์เมทริกซ์

เพื่อบรรลุเป้าหมายนี้ เขาจึงศึกษาปริพันธ์การกระทำในฐานะปริมาณเมทริกซ์ $${\displaystyle \int _{0}^{T}\sum _{k}P_{mk}(t){\frac {dX_{kn}}{dt}}dt\,\,{\stackrel {\scriptstyle ?}{\approx }}\,\,J_{mn}~.}$$

มีปัญหาหลายประการเกี่ยวกับปริพันธ์นี้ ซึ่งทั้งหมดเกิดจากความไม่เข้ากันของรูปแบบเมทริกซ์กับภาพเดิมของวงโคจรควรใช้ คาบ T ใด? ในทางกึ่งคลาสสิกควรจะเป็นmหรือnแต่ความแตกต่างอยู่ที่อันดับħ และ กำลังมองหาคำตอบที่อันดับħ เงื่อนไข ควอนตัมบอกเราว่าJ _mnคือ2 πnบนแนวทแยง ดังนั้นข้อเท็จจริงที่ว่าJมีค่าคงที่ในทางคลาสสิกบอกเราว่าองค์ประกอบนอกแนวทแยงเป็นศูนย์

แนวคิดสำคัญของเขาคือการหาอนุพันธ์ของเงื่อนไขควอนตัมเทียบกับnแนวคิดนี้จะสมเหตุสมผลอย่างสมบูรณ์ในขอบเขตคลาสสิกเท่านั้น ซึ่งnไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่เป็นตัวแปรการกระทำ ต่อเนื่อง Jแต่ไฮเซนเบิร์กได้ทำการจัดการที่คล้ายคลึงกันกับเมทริกซ์ โดยที่นิพจน์ระดับกลางบางครั้งเป็นผลต่างแบบไม่ต่อเนื่องและบางครั้งเป็นอนุพันธ์

ในการอธิบายต่อไปนี้ เพื่อความชัดเจน จะทำการหาอนุพันธ์บนตัวแปรแบบคลาสสิกก่อน และการเปลี่ยนไปใช้กลศาสตร์เมทริกซ์จะทำในภายหลัง โดยอาศัยหลักการความสอดคล้องเป็นแนวทาง

ในบริบทแบบคลาสสิก อนุพันธ์คืออนุพันธ์เทียบกับJของปริพันธ์ซึ่งกำหนดJดังนั้นจึงเท่ากับ 1 โดยปริยาย โดยที่อนุพันธ์⁠$${\displaystyle {\begin{aligned}{}{\frac {d}{dJ}}\int _{0}^{T}PdX&=1\\&=\int _{0}^{T}dt\left({\frac {dP}{dJ}}{\frac {dX}{dt}}+P{\frac {d}{dJ}}{\frac {dX}{dt}}\right)\\&=\int _{0}^{T}dt\left({\frac {dP}{dJ}}{\frac {dX}{dt}}-{\frac {dP}{dt}}{\frac {dX}{dJ}}\right)\end{aligned}}}$$ดีพี/ดีเจและ​​dX/ดีเจควรตีความว่าเป็นความแตกต่างเมื่อเทียบกับ Jในช่วงเวลาที่สอดคล้องกันบนวงโคจรใกล้เคียง ซึ่งเป็นสิ่งที่จะได้หากทำการหาอนุพันธ์ของสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ของการเคลื่อนที่ในวงโคจร (อนุพันธ์เหล่านี้ตั้งฉากกันในปริภูมิเฟสกับอนุพันธ์เทียบกับเวลา )ดีพี/ดีทีและ​​dX/ดีที)​

นิพจน์สุดท้ายจะชัดเจนขึ้นโดยการแนะนำตัวแปรที่สัมพันธ์กันตามหลักการของJซึ่งเรียกว่าตัวแปรเชิงมุมθ : อนุพันธ์เทียบกับเวลาคืออนุพันธ์เทียบกับθโดยมีปัจจัย2πTดังนั้น ปริพันธ์เงื่อนไขควอนตัม จึง เป็นค่าเฉลี่ยในช่วงหนึ่งรอบของวงเล็บ ปัวซงของXและP$${\displaystyle {\frac {2\pi }{T}}\int _{0}^{T}dt\left({\frac {dP}{dJ}}{\frac {dX}{d\theta }}-{\frac {dP}{d\theta }}{\frac {dX}{dJ}}\right)=1\,.}$$

การหาอนุพันธ์แบบเดียวกันของอนุกรมฟูริเยร์ของdXแสดงให้เห็นว่าองค์ประกอบนอกแนวทแยงของวงเล็บปัวซงมีค่าเป็นศูนย์ทั้งหมด วงเล็บปัวซงของตัวแปรสองตัวที่เป็นคู่กันตามหลักการ เช่นXและPมีค่าคงที่เท่ากับ 1 ดังนั้นปริพันธ์นี้จึงเป็นค่าเฉลี่ยของ 1 อย่างแท้จริง ดังนั้นจึงมีค่าเป็น 1 อย่างที่เราทราบมาตลอด เพราะมันคือ⁠ดีเจ/ดีเจอย่างไรก็ตามไฮเซนเบิร์ก บอร์น และจอร์แดน ต่างจากดิแรก ตรงที่พวกเขาไม่คุ้นเคยกับทฤษฎีวงเล็บปัวซง ดังนั้นสำหรับพวกเขา การหาอนุพันธ์จึงประเมินค่า { X, P }ในพิกัด J , θ ได้อย่างมีประสิทธิภาพ

วงเล็บปัวซง (Poisson Bracket) ต่างจากปริพันธ์การกระทำ (action integral) ตรงที่มีการแปลงอย่างง่ายไปสู่กลศาสตร์เมทริกซ์ โดยปกติแล้วจะสอดคล้องกับส่วนจินตนาการของผลคูณของตัวแปรสองตัว ซึ่งก็คือตัวสลับ (commutator )

เพื่อให้เห็นภาพนี้ ลองพิจารณาผลคูณ (แบบสมมาตรผกผัน) ของเมทริกซ์AและBในขีดจำกัดความสอดคล้องกัน โดยที่องค์ประกอบของเมทริกซ์เป็นฟังก์ชันที่เปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆ ของดัชนี โดยคำนึงว่าคำตอบจะเป็นศูนย์ในทางคลาสสิก

ในขอบเขตความสัมพันธ์ เมื่อดัชนีmและnมีค่ามากและอยู่ใกล้กัน ในขณะที่kและrมีค่าน้อย อัตราการเปลี่ยนแปลงขององค์ประกอบเมทริกซ์ในทิศทางแนวทแยงคือองค์ประกอบเมทริกซ์ของ อนุพันธ์ Jของปริมาณคลาสสิกที่สอดคล้องกัน ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะเลื่อนองค์ประกอบเมทริกซ์ใดๆ ในแนวทแยงผ่านความสัมพันธ์ โดยที่ด้านขวามือเป็นเพียง ส่วนประกอบฟูริเยร์ลำดับที่ ( m − n )ของ⁠$${\displaystyle A_{(m+r)(n+r)}-A_{mn}\approx r\;\left({\frac {dA}{dJ}}\right)_{mn}}$$dA/ดีเจที่วงโคจรใกล้ mในลำดับกึ่งคลาสสิกนี้ ไม่ใช่เมทริกซ์ที่กำหนดไว้อย่างสมบูรณ์

อนุพันธ์เวลาแบบกึ่งคลาสสิกขององค์ประกอบเมทริกซ์ได้มาจากการคูณด้วยระยะห่างจากแนวทแยงมุม โดย มีความคลาดเคลื่อนไม่เกิน i เนื่องจากสัมประสิทธิ์A _{m ( m + k )}เป็นสัมประสิทธิ์ ฟูริเยร์ลำดับที่ kของวงโคจรคลาสสิก ลำดับที่ mในแบบกึ่งคลาสสิก $${\displaystyle ikA_{m(m+k)}\approx \left({\frac {T}{2\pi }}{\frac {dA}{dt}}\right)_{m(m+k)}=\left({\frac {dA}{d\theta }}\right)_{m(m+k)}\,.}$$

ส่วนจินตภาพของผลคูณระหว่างAและBสามารถคำนวณได้โดยการสลับตำแหน่งขององค์ประกอบในเมทริกซ์เพื่อให้ได้คำตอบแบบคลาสสิก ซึ่งก็คือศูนย์

ค่าตกค้างที่ไม่เป็นศูนย์นำหน้าจะถูกกำหนดโดยการเลื่อนทั้งหมด เนื่องจากองค์ประกอบเมทริกซ์ทั้งหมดอยู่ที่ดัชนีที่มีระยะห่างเล็กน้อยจากตำแหน่งดัชนีขนาดใหญ่( m , m )จึงช่วยได้หากแนะนำสัญลักษณ์ชั่วคราวสองแบบ: A [ r , k ] = A _{( m + r )( m + k )}สำหรับเมทริกซ์และdA/ดีเจ[ r ]สำหรับ ส่วนประกอบฟู ริ เยร์ลำดับที่ rของปริมาณคลาสสิก $${\displaystyle {\begin{aligned}(AB-BA)[0,k]&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }{\bigl (}A[0,r]B[r,k]-A[r,k]B[0,r]{\bigr )}\\&=\sum _{r}\left(A[-r+k,k]+(r-k){\frac {dA}{dJ}}[r]\right)\left(B[0,k-r]+r{\frac {dB}{dJ}}[r-k]\right)-\sum _{r}A[r,k]B[0,r]\,.\end{aligned}}}$$

เมื่อเปลี่ยนตัวแปรผลรวมในผลรวมแรกจากrเป็นr ′ = k − rค่าของเมทริกซ์จะกลายเป็น และเห็นได้ชัดว่าส่วนหลัก (แบบคลาสสิก) จะหักล้างกันไป $${\displaystyle \sum _{r'}\left(A[r',k]-r'{\frac {dA}{dJ}}[k-r']\right)\left(B[0,r']+(k-r'){\frac {dB}{dJ}}[r']\right)-\sum _{r}A[r,k]B[0,r]}$$

ส่วนควอนตัมนำหน้า โดยไม่คำนึงถึงผลคูณอันดับสูงกว่าของอนุพันธ์ในนิพจน์ส่วนเหลือ จะเท่ากับ ดังนั้น ในที่สุด ซึ่งสามารถระบุได้ว่าเป็นiคูณ กับส่วนประกอบฟูริเยร์แบบคลาสสิกที่ kของวงเล็บปัวซง $${\displaystyle \sum _{r'}\left({\frac {dB}{dJ}}[r'](k-r')A[r',k]-{\frac {dA}{dJ}}[k-r']r'B[0,r']\right)}$$$${\displaystyle (AB-BA)[0,k]=\sum _{r'}\left({\frac {dB}{dJ}}[r']i{\frac {dA}{d\theta }}[k-r']-{\frac {dA}{dJ}}[k-r']i{\frac {dB}{d\theta }}[r']\right)}$$

เทคนิคการอนุพันธ์ดั้งเดิมของไฮเซนเบิร์กได้รับการขยายไปสู่การพิสูจน์แบบกึ่งคลาสสิกอย่างสมบูรณ์ของเงื่อนไขควอนตัมในที่สุด โดยความร่วมมือกับบอร์นและจอร์แดน เมื่อพวกเขาสามารถพิสูจน์ได้ว่า เงื่อนไขนี้แทนที่และขยายกฎการควอนตัมแบบเก่า ทำให้สามารถกำหนดองค์ประกอบเมทริกซ์ของPและXสำหรับระบบใด ๆ ได้อย่างง่ายดายจากรูปแบบของแฮมิลโทเนียน $${\displaystyle i\hbar \{X,P\}_{\mathrm {PB} }\qquad \longmapsto \qquad [X,P]\equiv XP-PX=i\hbar \,,}$$

กฎการหาปริมาณแบบใหม่ถูกสันนิษฐานว่าเป็นจริงในทุกกรณีแม้ว่าการอนุมานจากทฤษฎีควอนตัมแบบเก่าจะต้องใช้เหตุผลแบบกึ่งคลาสสิกก็ตาม (อย่างไรก็ตาม การวิเคราะห์ควอนตัมอย่างเต็มรูปแบบสำหรับข้อโต้แย้งที่ซับซ้อนมากขึ้นของวงเล็บ ได้รับการยอมรับในช่วงทศวรรษ 1940 ว่าเทียบเท่ากับการขยายวงเล็บปัวซงไปเป็นวงเล็บโมยาล )

เพื่อให้การเปลี่ยนผ่านไปสู่กลศาสตร์ควอนตัมมาตรฐานสมบูรณ์ การเพิ่มเติมที่สำคัญที่สุดคือเวกเตอร์สถานะควอนตัมซึ่งเขียนแทนด้วย| ψ ⟩ซึ่งเป็นเวกเตอร์ที่เมทริกซ์กระทำต่อ หากไม่มีเวกเตอร์สถานะ ก็ไม่ชัดเจนว่าเมทริกซ์ไฮเซนเบิร์กกำลังอธิบายการเคลื่อนที่แบบใดโดยเฉพาะ เนื่องจากเมทริกซ์เหล่านี้ครอบคลุมการเคลื่อนที่ทุกประเภทไว้ในที่ใดที่หนึ่ง

การตีความเวกเตอร์สถานะ ซึ่งมีส่วนประกอบเขียนว่าψ _m นั้น ได้รับการเสนอโดยบอร์น การตีความนี้เป็นเชิงสถิติ: ผลลัพธ์ของการวัดปริมาณทางกายภาพที่สอดคล้องกับเมทริกซ์Aนั้นเป็นแบบสุ่ม โดยมีค่าเฉลี่ยเท่ากับ หรืออีกนัยหนึ่ง และเทียบเท่ากัน เวกเตอร์สถานะจะให้ค่าความน่าจะเป็นψ _n สำหรับระบบควอนตัม ที่ จะอยู่ในสถานะพลังงานn$${\displaystyle \sum _{mn}\psi _{m}^{*}A_{mn}\psi _{n}\,.}$$

เมื่อมีการนำเวกเตอร์สถานะเข้ามาใช้แล้ว กลศาสตร์เมทริกซ์ก็สามารถหมุนไปยังฐานใดก็ได้โดยที่ เมทริกซ์ Hไม่จำเป็นต้องเป็นเมทริกซ์ทแยงมุมอีกต่อไป สมการการเคลื่อนที่ของไฮเซนเบิร์กในรูปแบบดั้งเดิมระบุว่าA _mnเปลี่ยนแปลงไปตามเวลาเหมือนกับส่วนประกอบฟูริเยร์ ซึ่งสามารถเขียนใหม่ในรูปแบบเชิงอนุพันธ์ และสามารถเขียนใหม่ให้เป็นจริงในฐานใดๆ ก็ได้ โดยสังเกตว่า เมทริกซ์ Hเป็นเมทริกซ์ทแยงมุมที่มีค่าทแยงมุมE _m นี่คือสมการเมทริกซ์ ดังนั้นจึงเป็นจริงในฐานใดๆ นี่คือรูปแบบสมัยใหม่ของสมการการเคลื่อนที่ของไฮเซน เบิร์ก $${\displaystyle A_{mn}(t)=e^{i(E_{m}-E_{n})t}A_{mn}(0)~,}$$$${\displaystyle {\frac {dA_{mn}}{dt}}=i(E_{m}-E_{n})A_{mn}~,}$$$${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=i(HA-AH)~.}$$

คำตอบอย่างเป็นทางการของมันคือ: $${\displaystyle A(t)=e^{iHt}A(0)e^{-iHt}~.}$$

รูปแบบทั้งหมดของสมการการเคลื่อนที่ข้างต้นกล่าวถึงสิ่งเดียวกัน นั่นคือA ( t )เทียบเท่ากับA (0)ผ่านการหมุนฐานด้วยเมทริกซ์เอกลักษณ์e ^iHtซึ่งเป็นภาพที่เป็นระบบที่ Dirac อธิบายไว้ในสัญกรณ์ bra–ket ของเขา

ในทางกลับกัน การหมุนฐานสำหรับเวกเตอร์สถานะในแต่ละช่วงเวลาด้วยe ^iHtจะทำให้การพึ่งพาเวลาในเมทริกซ์ถูกยกเลิก เมทริกซ์จะไม่ขึ้นอยู่กับเวลาแล้ว แต่เวกเตอร์สถานะจะหมุน นี่คือสมการชโรดิงเกอร์สำหรับเวกเตอร์สถานะ และการเปลี่ยนแปลงฐานที่ขึ้นอยู่กับเวลานี้เทียบเท่ากับการแปลงไปสู่ภาพ ชโรดิงเกอร์โดยมี⟨ x | ψ ⟩ = ψ ( x )$${\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iHt}|\psi (0)\rangle ,\qquad {\frac {d|\psi \rangle }{dt}}=-iH|\psi \rangle \,.}$$

ในกลศาสตร์ควอนตัมในภาพของไฮเซนเบิร์กเวกเตอร์สถานะ , | ψ ⟩ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา ในขณะที่ปริมาณที่สังเกตได้Aสอดคล้องกับสมการการเคลื่อนที่ของไฮเซนเบิร์ก

เงื่อนไขเพิ่มเติมนี้ใช้สำหรับตัวดำเนินการที่ มีการพึ่งพาเวลาอย่างชัดเจนนอกเหนือจากการพึ่งพาเวลาจากวิวัฒนาการแบบเอกภาพที่ได้กล่าวถึงไปแล้ว $${\displaystyle A=\left(X+t^{2}P\right)}$$

ภาพของไฮเซนเบิร์กไม่แยกความแตกต่างระหว่างเวลาและอวกาศ ดังนั้นจึงเหมาะสมกับ ทฤษฎี สัมพัทธภาพมากกว่าสมการชโรดิงเกอร์ ยิ่งไปกว่านั้น ความคล้ายคลึงกับฟิสิกส์คลาสสิกนั้นชัดเจนกว่า กล่าวคือ สมการการเคลื่อนที่ของแฮมิลตันสำหรับกลศาสตร์คลาสสิกสามารถกู้คืนได้โดยการแทนที่ตัวสลับข้างต้นด้วยวงเล็บปัวซง (ดูเพิ่มเติมด้านล่าง) ตามทฤษฎีบทสโตน-ฟอน นอยมันน์ภาพของไฮเซนเบิร์กและภาพของชโรดิงเกอร์จะต้องสมมูลกันในเชิงเอกภาพ ดังรายละเอียดด้านล่าง

กลศาสตร์เมทริกซ์พัฒนาอย่างรวดเร็วไปสู่กลศาสตร์ควอนตัมสมัยใหม่ และให้ผลลัพธ์ทางฟิสิกส์ที่น่าสนใจเกี่ยวกับสเปกตรัมของอะตอม

จอร์แดนตั้งข้อสังเกตว่า ความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งทำให้มั่นใจได้ว่าPทำหน้าที่เป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์

เอกลักษณ์ของตัวดำเนินการ ช่วยให้สามารถประเมินค่าคอมมิวเทเตอร์ของPกับกำลังใดๆ ของXได้ และนั่นหมายความว่า ซึ่งเมื่อรวมกับความเป็นเชิงเส้นแล้ว หมายความว่า คอมมิวเทเตอร์ของ Pสามารถหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเมทริกซ์เชิงวิเคราะห์ใดๆ ของX ได้อย่างมีประสิทธิภาพ$${\displaystyle [a,bc]=abc-bca=abc-bac+bac-bca=[a,b]c+b[a,c]}$$$${\displaystyle \left[P,X^{n}\right]=-in~X^{n-1}}$$

หากสมมติว่ามีการกำหนดขอบเขตอย่างสมเหตุสมผลแล้ว แนวคิดนี้สามารถขยายไปสู่ฟังก์ชันใดๆ ก็ได้ แต่ไม่จำเป็นต้องระบุการขยายนี้อย่างชัดเจนจนกว่าจะต้องการความแม่นยำทางคณิตศาสตร์ในระดับหนึ่ง

เนื่องจากXเป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียน จึงควรสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ และจะเห็นได้ชัดจากรูปแบบสุดท้ายของPว่าจำนวนจริงทุกจำนวนสามารถเป็นค่าลักษณะเฉพาะได้ ซึ่งทำให้คณิตศาสตร์บางส่วนมีความซับซ้อนมากขึ้น เนื่องจากมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะแยกต่างหากสำหรับทุกจุดในอวกาศ

ในฐานที่Xเป็นเมทริกซ์ทแยงมุม สถานะใดๆ สามารถเขียนได้ในรูปของการซ้อนทับของสถานะที่มีค่าลักษณะเฉพาะx โดย ที่ψ ( x ) = ⟨ x | ψ ⟩และตัวดำเนินการX จะคูณเวก เตอร์ ลักษณะเฉพาะแต่ละตัวด้วยx$${\displaystyle |\psi \rangle =\int _{x}\psi (x)|x\rangle \,,}$$$${\displaystyle X|\psi \rangle =\int _{x}x\psi (x)|x\rangle ~.}$$

กำหนดตัวดำเนินการเชิงเส้นDซึ่งหาอนุพันธ์ของψและ สังเกต ว่าตัวดำเนินการ− iDเป็นไปตามความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งเดียวกันกับPดังนั้น ผลต่างระหว่างPและ− iDจะต้องสลับตำแหน่งกับXได้ จึงสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมพร้อมกับX ได้พร้อมกัน โดย ค่าของมันที่กระทำต่อสถานะเฉพาะใดๆ ของX จะ เป็น ฟังก์ชันfของค่าเฉพาะx$${\displaystyle D\int _{x}\psi (x)|x\rangle =\int _{x}\psi '(x)|x\rangle \,,}$$$${\displaystyle (DX-XD)|\psi \rangle =\int _{x}\left[\left(x\psi (x)\right)'-x\psi '(x)\right]|x\rangle =\int _{x}\psi (x)|x\rangle =|\psi \rangle \,,}$$$${\displaystyle [P+iD,X]=0\,,}$$

ฟังก์ชันนี้จะต้องเป็นจำนวนจริง เพราะทั้งPและ− iDต่างก็เป็นเฮอร์มิเชียน ซึ่ง หมุนแต่ละสถานะ|x⟩ด้วยเฟสf ( x )นั่นคือ การกำหนดเฟสของฟังก์ชันคลื่นใหม่: ตัวดำเนินการiDถูกกำหนดใหม่ด้วยปริมาณ ซึ่ง หมายความ ว่า ในฐานที่หมุนแล้วPจะเท่ากับ− iD$${\displaystyle (P+iD)|x\rangle =f(x)|x\rangle \,,}$$$${\displaystyle \psi (x)\rightarrow e^{-if(x)}\psi (x)\,.}$$$${\displaystyle iD\rightarrow iD+f(X)\,,}$$

ดังนั้น จึงมีฐานสำหรับค่าไอเกนของX เสมอ โดยที่ ทราบ การกระทำของP บนฟังก์ชันคลื่นใดๆ และแฮมิลโทเนียนในฐานนี้คือตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นบนส่วนประกอบเวกเตอร์สถานะ $${\displaystyle P\int _{x}\psi (x)|x\rangle =\int _{x}-i\psi '(x)|x\rangle \,,}$$$${\displaystyle \left[{\frac {P^{2}}{2m}}+V(X)\right]\int _{x}\psi _{x}|x\rangle =\int _{x}\left[-{\frac {1}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V(x)\right]\psi _{x}|x\rangle }$$

ดังนั้น สมการการเคลื่อนที่สำหรับเวกเตอร์สถานะจึงเป็นเพียงสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีชื่อเสียงเท่านั้น

เนื่องจากDเป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ เพื่อให้สามารถนิยาม D ได้อย่างสมเหตุสมผล จะต้องมีค่าลักษณะเฉพาะของXที่อยู่ใกล้เคียงกับค่าที่กำหนดทุกค่า ซึ่งแสดงให้เห็นว่าความเป็นไปได้เพียงอย่างเดียวคือ ปริภูมิของค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของXคือจำนวนจริงทั้งหมด และPคือiD โดย พิจารณา จากการหมุนเฟส

เพื่อให้มีความเข้มงวดมากขึ้น จำเป็นต้องมีการอภิปรายอย่างมีเหตุผลเกี่ยวกับปริภูมิจำกัดของฟังก์ชัน และในปริภูมินี้ก็คือทฤษฎีบทสโตน-ฟอน นอยมันน์ : ตัวดำเนินการใดๆXและPที่สอดคล้องกับความสัมพันธ์การสลับตำแหน่ง สามารถทำให้กระทำบนปริภูมิของฟังก์ชันคลื่นได้ โดยที่Pเป็นตัวดำเนินการอนุพันธ์ ซึ่งหมายความว่าภาพของชโรดิงเกอร์นั้นมีอยู่เสมอ

กลศาสตร์เมทริกซ์สามารถขยายไปสู่ระดับความเป็นอิสระจำนวนมากได้อย่างง่ายดายและเป็นธรรมชาติ แต่ละระดับความเป็นอิสระจะมี ตัวดำเนินการ X ที่แยกจากกัน และตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ประสิทธิผลP ที่แยกจากกัน และฟังก์ชันคลื่นเป็นฟังก์ชันของค่าลักษณะเฉพาะที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปร X ที่สลับกันได้อย่างอิสระ$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[X_{i},X_{j}\right]&=0\\[1ex]\left[P_{i},P_{j}\right]&=0\\[1ex]\left[X_{i},P_{j}\right]&=i\delta _{ij}\,.\end{aligned}}}$$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง นี่หมายความว่าระบบของ อนุภาคปฏิสัมพันธ์ Nตัวใน 3 มิติ ถูกอธิบายโดยเวกเตอร์หนึ่งตัว ซึ่งส่วนประกอบของเวกเตอร์นั้นในฐานที่X ทั้งหมด เป็นแนวทแยงมุม เป็นฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ของ ปริภูมิ Nมิติ3 ปริภูมิ ที่อธิบายตำแหน่งที่เป็นไปได้ทั้งหมดของอนุภาคเหล่านั้น ซึ่งในทาง ปฏิบัติ แล้วเป็นชุดค่าที่ใหญ่กว่ามากเมื่อเทียบกับชุด ฟังก์ชันคลื่นสามมิติ Nตัวในปริภูมิทางกายภาพเดียว ชโรดิงเกอร์ได้ข้อสรุปเดียวกันนี้โดยอิสระ และในที่สุดก็พิสูจน์ความเท่าเทียมกันของรูปแบบของเขาเองกับของไฮเซนเบิร์ก

เนื่องจากฟังก์ชันคลื่นเป็นคุณสมบัติของระบบทั้งหมด ไม่ใช่ของส่วนใดส่วนหนึ่ง การอธิบายในกลศาสตร์ควอนตัมจึงไม่ใช่แบบเฉพาะที่โดยสมบูรณ์ การอธิบายอนุภาคควอนตัมหลายอนุภาคทำให้พวกมันมีความสัมพันธ์กัน หรือเกิดการพัวพันกัน การพัวพันนี้ทำให้เกิดความสัมพันธ์ที่แปลกประหลาดระหว่างอนุภาคที่อยู่ห่างไกลกัน ซึ่งขัดแย้งกับ อสมการของเบลล์ในกลศาสตร์คลาสสิก

แม้ว่าอนุภาคจะอยู่ในตำแหน่งได้เพียงสองตำแหน่งเท่านั้น ฟังก์ชันคลื่นสำหรับ อนุภาค Nตัวก็ต้องการจำนวนเชิงซ้อน2 ^{^N} ตัว ซึ่งแต่ละตัวแทนการจัดเรียงตำแหน่งทั้งหมดหนึ่งแบบ นี่คือจำนวนมหาศาลใน Nดังนั้นการจำลองกลศาสตร์ควอนตัมบนคอมพิวเตอร์จึงต้องการทรัพยากรจำนวนมหาศาลเช่นกัน ในทางกลับกัน นี่แสดงให้เห็นว่าอาจเป็นไปได้ที่จะค้นหาระบบควอนตัมขนาดNที่สามารถคำนวณคำตอบของปัญหาที่ในทางคลาสสิกต้องใช้2 ^{^N} บิตในการแก้ปัญหาได้ นี่คือเป้าหมายเบื้องหลังการคำนวณควอนตัม

สำหรับตัวดำเนินการที่ไม่ขึ้นกับเวลาXและP , ⁠∂ A/∂ t= 0ดังนั้นสมการไฮเซนเบิร์กข้างต้นจึงลดลงเหลือ: ^{[ 28 ]} โดยที่วงเล็บเหลี่ยม [ , ]หมายถึงคอมมิวเทเตอร์ สำหรับแฮมิลโทเนียนซึ่งคือ ⁠$${\displaystyle i\hbar {\frac {dA}{dt}}=[A,H]=AH-HA,}$$หน้า²/2 ม.+ V ( x )ตัว ดำเนินการ Xและ Pเป็นไปตามเงื่อนไขดังนี้: โดยที่ตัวแรกคือความเร็ว แบบคลาสสิก และตัวที่สองคือแรงหรือเกรเดียนต์ ศักย์แบบคลาสสิก สิ่งเหล่านี้สร้าง กฎการเคลื่อนที่ของนิวตันในรูปแบบของแฮมิลตันขึ้นมาใหม่ในภาพแบบไฮเซนเบิร์ก ตัวดำเนินการ Xและ Pเป็นไปตามสมการการเคลื่อนที่แบบคลาสสิก คุณสามารถหาค่าเฉลี่ยของทั้งสองข้างของสมการเพื่อดูว่า ในสถานะใดๆ | ψ ⟩ : $${\displaystyle {\frac {dX}{dt}}={\frac {P}{m}},\quad {\frac {dP}{dt}}=-\nabla V,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle X\rangle &={\frac {d}{dt}}\langle \psi |X|\psi \rangle ={\frac {1}{m}}\langle \psi |P|\psi \rangle ={\frac {1}{m}}\langle P\rangle \\[1.5ex]{\frac {d}{dt}}\langle P\rangle &={\frac {d}{dt}}\langle \psi |P|\psi \rangle =\langle \psi |(-\nabla V)|\psi \rangle =-\langle \nabla V\rangle \,.\end{aligned}}}$$

ดังนั้น กฎของนิวตันจึงสอดคล้องกับค่าที่คาดหวังของตัวดำเนินการในสถานะใดๆ อย่างแม่นยำ นี่คือทฤษฎีบทของเอห์เรนเฟสต์ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่ชัดเจนจากสมการการเคลื่อนที่ของไฮเซนเบิร์ก แต่มีความซับซ้อนกว่าในภาพของชโรดิงเกอร์ ซึ่งเป็นที่ที่เอห์เรนเฟสต์ค้นพบมัน

ในกลศาสตร์คลาสสิก การแปลงพิกัดปริภูมิเฟสแบบแคนอนิก คือการแปลงที่รักษาโครงสร้างของวงเล็บปัวซงไว้ ตัวแปรใหม่x ′ , p ′มีวงเล็บปัวซงเหมือนกันกับตัวแปรเดิมx , pวิวัฒนาการตามเวลาเป็นการแปลงแบบแคนอนิก เนื่องจากปริภูมิเฟส ณ เวลาใดๆ ก็เป็นตัวเลือกของตัวแปรที่ดีพอๆ กับปริภูมิเฟส ณ เวลาอื่นๆ

การไหลแบบแฮมิลโทเนียนคือการแปลงแบบแคนอนิก : $${\displaystyle {\begin{aligned}x&\rightarrow x+dx=x+{\frac {\partial H}{\partial p}}dt\\[1ex]p&\rightarrow p+dp=p-{\frac {\partial H}{\partial x}}dt~.\end{aligned}}}$$

เนื่องจากแฮมิลโทเนียนสามารถเป็นฟังก์ชันใดๆ ของxและp ได้ จึง มีการแปลงเชิงแคนอนิกแบบอนันต์ที่สอดคล้องกับปริมาณคลาสสิกG ทุกตัว โดยที่Gทำหน้าที่เป็นแฮมิลโทเนียนเพื่อสร้างการไหลของจุดในปริภูมิเฟสในช่วงเวลาs$${\displaystyle {\begin{aligned}dx&={\frac {\partial G}{\partial p}}ds=\left\{G,X\right\}ds\\[1ex]dp&=-{\frac {\partial G}{\partial x}}ds=\left\{G,P\right\}ds\,.\end{aligned}}}$$

สำหรับฟังก์ชันทั่วไปA ( x , p )บนปริภูมิเฟส การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในทุกขั้นตอนdsภายใต้แผนที่นี้คือ ปริมาณGเรียกว่าตัวสร้างเล็กน้อยของการแปลงแบบแคนอนิก $${\displaystyle dA={\frac {\partial A}{\partial x}}dx+{\frac {\partial A}{\partial p}}dp=\{A,G\}ds\,.}$$

ในกลศาสตร์ควอนตัม เมทริกซ์G ซึ่งเป็นอนาล็อกควอนตัม จะเป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียน และสมการการเคลื่อนที่กำหนดโดยตัวสลับ (commutator) $${\displaystyle dA=i[G,A]ds\,.}$$

การเคลื่อนที่เชิงแคนอนิกที่เล็กมากสามารถหาปริพันธ์ได้อย่างเป็นทางการ เช่นเดียวกับการหาปริพันธ์ของสมการการเคลื่อนที่ของไฮเซนเบิร์ก โดยที่U = e ^iGsและsเป็นพารามิเตอร์ใดๆ $${\displaystyle A'=U^{\dagger }AU}$$

นิยามของการแปลงเชิงควอนตัมแบบแคนอนิกจึงเป็นการเปลี่ยนฐานแบบเอกภาพโดยพลการบนปริภูมิของเวกเตอร์สถานะทั้งหมดUคือเมทริกซ์เอกภาพโดยพลการ ซึ่งเป็นการหมุนเชิงซ้อนในปริภูมิเฟส การแปลงเหล่านี้ทำให้ผลรวมของกำลังสองสัมบูรณ์ของส่วนประกอบฟังก์ชันคลื่นไม่เปลี่ยนแปลงในขณะที่แปลงสถานะที่เป็นผลคูณของกันและกัน (รวมถึงสถานะที่เป็นผลคูณเชิงจินตนาการของกันและกัน) ไปเป็นสถานะที่เป็น ผลคูณ เดียวกันของกันและกัน $${\displaystyle U^{\dagger }=U^{-1}\,.}$$

การตีความเมทริกซ์เหล่านี้คือ เมทริกซ์เหล่านี้ทำหน้าที่เป็นตัว สร้างการเคลื่อนที่บนปริภูมิของสถานะ

ตัวอย่างเช่น การเคลื่อนที่ที่เกิดจากPสามารถหาได้โดยการแก้สมการการเคลื่อนที่ของไฮเซนเบิร์กโดยใช้Pเป็นแฮมิลโทเนียน เหล่านี้คือการเลื่อนของเมทริกซ์Xด้วยผลคูณของเมทริกซ์เอกลักษณ์ นี่คือการตีความของตัวดำเนินการอนุพันธ์D : e ^iPs = e ^Dเลขชี้กำลังของตัวดำเนินการอนุพันธ์คือการเลื่อน (ดังนั้นจึงเป็น ตัวดำเนินการเลื่อนของลากรางจ์) $${\displaystyle {\begin{aligned}dX&=i[X,P]ds=ds\\[1ex]dP&=i[P,P]ds=0\,.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle X\rightarrow X+sI~.}$$

ตัว ดำเนินการ Xก็สร้างการแปลในP เช่นกัน แฮมิลโทเนียนสร้างการแปลในเวลาโมเมนตัมเชิงมุมสร้างการหมุนในปริภูมิทางกายภาพและตัวดำเนินการX ² + P ²สร้างการหมุนในปริภูมิเฟส

เมื่อการแปลง เช่น การหมุนในปริภูมิทางกายภาพ สอดคล้องกับแฮมิลโทเนียน การแปลงนั้นเรียกว่าสมมาตร (ภายใต้ภาวะเสื่อม) ของแฮมิลโทเนียน – แฮมิลโทเนียนที่แสดงในรูปพิกัดที่หมุนแล้วจะเหมือนกับแฮมิลโทเนียนดั้งเดิม ซึ่งหมายความว่าการเปลี่ยนแปลงในแฮมิลโทเนียนภายใต้ตัวสร้างสมมาตรขนาดเล็กLจะหายไป $${\displaystyle {\frac {dH}{ds}}=i[L,H]=0\,.}$$

ดังนั้น การเปลี่ยนแปลงในตัวสร้างภายใต้การเลื่อนเวลาจึงหายไปเช่นกัน ทำให้เมทริกซ์Lคงที่ตลอดเวลา กล่าวคือ เมทริกซ์ L ถูกอนุรักษ์ไว้ $${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}=i[H,L]=0}$$

เอ็มมี เนอเธอร์ ค้นพบความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างตัวสร้างสมมาตรขนาดเล็กและกฎการอนุรักษ์ในกลศาสตร์คลาสสิก โดยที่ตัวสลับคือวงเล็บปัวซงแต่เหตุผลในกลศาสตร์ควอนตัมก็เหมือนกัน ในกลศาสตร์ควอนตัม การแปลงสมมาตรเอกภาพใดๆ ก็ตามจะให้กฎการอนุรักษ์ เนื่องจากถ้าเมทริกซ์ U มีคุณสมบัติที่ว่า ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า และอนุพันธ์ของ U เทียบกับเวลาเป็นศูนย์ – ดังนั้นจึงมีการอนุรักษ์ $${\displaystyle U^{-1}HU=H}$$$${\displaystyle UH=HU}$$

ค่าไอเกนของเมทริกซ์เอกภาพคือเฟสบริสุทธิ์ ดังนั้นค่าของปริมาณอนุรักษ์เอกภาพจึงเป็นจำนวนเชิงซ้อนที่มีขนาดหนึ่ง ไม่ใช่จำนวนจริง อีกวิธีหนึ่งในการกล่าวคือ เมทริกซ์เอกภาพคือเลขชี้กำลังของiคูณกับเมทริกซ์เฮอร์มิเชียน ดังนั้นปริมาณอนุรักษ์จริงแบบบวก ซึ่งก็คือเฟส จะนิยามได้ดีเฉพาะเมื่อถึงจำนวนเต็มทวีคูณของ2π เท่านั้น เฉพาะเมื่อเมทริกซ์สมมาตรเอกภาพเป็นส่วนหนึ่งของตระกูลที่เข้าใกล้เมทริก ซ์เอกลักษณ์อย่างไม่จำกัดเท่านั้น ปริมาณอนุรักษ์จริงจึงจะมีค่าเดียว และในกรณีนั้น ข้อกำหนดที่ว่าปริมาณอนุรักษ์เหล่านั้นจะต้องถูกอนุรักษ์ก็จะกลายเป็นข้อจำกัดที่เข้มงวดมากขึ้น

สมมาตรที่สามารถเชื่อมโยงกับเอกลักษณ์ได้อย่างต่อเนื่องเรียกว่า สมมาตร ต่อเนื่องตัวอย่างเช่น การเลื่อน การหมุน และการเพิ่มความเร็ว สมมาตรที่ไม่สามารถเชื่อมโยงกับเอกลักษณ์ได้อย่างต่อเนื่องเรียกว่าสมมาตรไม่ต่อ เนื่อง ตัวอย่างเช่น การผกผันปริภูมิ หรือพาริตีและการผันประจุ

การตีความเมทริกซ์ในฐานะตัวสร้างการแปลงแบบแคนอนิกเป็นผลมาจาก Paul Dirac ^{[ 29 ]} Eugene Wignerแสดงให้เห็นว่าความสอดคล้องระหว่างสมมาตรและเมทริกซ์ นั้น สมบูรณ์ หาก รวมเมทริกซ์แอ นติยูนิแทรีซึ่งอธิบายสมมาตรที่รวมถึงการย้อนกลับเวลาเข้าไปด้วย

ไฮเซนเบิร์กเข้าใจได้อย่างชัดเจนในเชิงกายภาพว่า กำลังสองสัมบูรณ์ขององค์ประกอบเมทริกซ์ของXซึ่งก็คือสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ของการสั่น จะให้ค่าอัตราการปล่อยรังสีแม่เหล็กไฟฟ้า

ในขีดจำกัดแบบคลาสสิกของวงโคจรขนาดใหญ่ หากประจุที่มีตำแหน่งX ( t )และประจุqกำลังสั่นอยู่ข้างๆ ประจุที่มีขนาดเท่ากันและประจุตรงข้ามที่ตำแหน่ง 0 โมเมนต์ไดโพลทันทีคือqX ( t )และการเปลี่ยนแปลงของโมเมนต์นี้ตามเวลาจะแปลงโดยตรงเป็นการเปลี่ยนแปลงของศักย์เวกเตอร์ในปริภูมิเวลา ซึ่งก่อให้เกิดคลื่นทรงกลมที่แผ่ออกไปแบบซ้อนกัน

สำหรับอะตอม ความยาวคลื่นของแสงที่ปล่อยออกมาจะยาวประมาณ 10,000 เท่าของรัศมีอะตอม และโมเมนต์ไดโพลเป็นปัจจัยเดียวที่ส่งผลต่อสนามการแผ่รังสี ในขณะที่รายละเอียดอื่นๆ เกี่ยวกับการกระจายประจุของอะตอมนั้นสามารถละเลยได้

หากไม่คำนึงถึงปฏิกิริยาย้อนกลับ พลังงานที่แผ่กระจายในแต่ละโหมดขาออกจะเป็นผลรวมของส่วนประกอบที่แยกจากกันจากกำลังสองของแต่ละโหมดฟูริเยร์เวลาอิสระของ d$${\displaystyle P(\omega )={\tfrac {2}{3}}{\omega ^{4}}|d_{i}|^{2}~.}$$

ในแบบจำลองของไฮเซนเบิร์ก สัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ของโมเมนต์ไดโพลคือองค์ประกอบเมทริกซ์ของX ความสอดคล้องกันนี้ทำให้ไฮเซนเบิร์กสามารถกำหนดกฎสำหรับความเข้มของการเปลี่ยนสถานะ ซึ่งก็ คือ สัดส่วนของเวลาที่อะตอมเปลี่ยนจากสถานะเริ่มต้นi ไปเป็นสถานะสุดท้าย jโดยการปล่อยโฟตอนออกมา$${\displaystyle P_{ij}={\tfrac {2}{3}}\left(E_{i}-E_{j}\right)^{4}\left|X_{ij}\right|^{2}\,.}$$

จากนั้นจึงสามารถตีความขนาดขององค์ประกอบเมทริกซ์ในเชิงสถิติได้ กล่าวคือ องค์ประกอบเหล่านั้นแสดงถึงความเข้มของเส้นสเปกตรัม และความน่าจะเป็นของการกระโดดควอนตัมจากการปล่อยรังสีไดโพล

เนื่องจากอัตราการเปลี่ยนสถานะกำหนดโดยองค์ประกอบเมทริกซ์ของXดังนั้นที่ใดก็ตามที่X _ijเป็นศูนย์ การเปลี่ยนสถานะที่สอดคล้องกันควรจะไม่มีอยู่ สิ่งเหล่านี้เรียกว่ากฎการเลือกซึ่งเป็นปริศนาจนกระทั่งมีการคิดค้นกลศาสตร์เมทริกซ์ขึ้นมา

สถานะใดๆ ของอะตอมไฮโดรเจน โดยไม่คำนึงถึงสปิน จะถูกกำหนดด้วย| n ; l , m ⟩โดยที่ค่าของlคือการวัดโมเมนตัมเชิงมุมรวมของวงโคจร และmคือ ส่วนประกอบ z ของมัน ซึ่งกำหนดทิศทางของวงโคจร ส่วนประกอบของเวก เตอร์เสมือนโมเมนตัมเชิงมุมคือ โดยที่ผลคูณในนิพจน์นี้ไม่ขึ้นอยู่กับลำดับและเป็นจำนวนจริง เนื่องจากส่วนประกอบต่างๆ ของXและPสลับที่กันได้ $${\displaystyle L_{i}=\varepsilon _{ijk}X^{j}P^{k}}$$

ความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งของLกับเมทริกซ์พิกัดทั้งสามX , Y , Z (หรือกับเวกเตอร์ใดๆ) นั้นหาได้ง่าย ซึ่งยืนยันว่าตัวดำเนินการL สร้างการหมุนระหว่างส่วนประกอบทั้งสามของเวกเตอร์ของเมทริก ซ์ พิกัดX$${\displaystyle \left[L_{i},X_{j}\right]=i\varepsilon _{ijk}X_{k}\,,}$$

จากข้อมูลนี้เราสามารถอ่านค่า คอมมิวเทเตอร์ของ L _zและเมทริกซ์พิกัดX , Y , Z ได้$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[L_{z},X\right]&=iY\,,\\[1ex]\left[L_{z},Y\right]&=-iX\,.\end{aligned}}}$$

นั่นหมายความว่าปริมาณX + iYและX − iYมีกฎการสลับตำแหน่งที่เรียบง่าย $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[L_{z},X+iY\right]&=(X+iY)\,,\\[1ex]\left[L_{z},X-iY\right]&=-(X-iY)\,.\end{aligned}}}$$

เช่นเดียวกับองค์ประกอบเมทริกซ์ของX + iPและX − iPสำหรับแฮมิลโทเนียนของตัวสั่นฮาร์มอนิก กฎการสลับตำแหน่งนี้บ่งชี้ว่าตัวดำเนินการเหล่านี้มีองค์ประกอบเมทริกซ์นอกแนวทแยงบางส่วนเฉพาะในสถานะที่มีค่าm ที่แน่นอนเท่านั้น ซึ่ง หมายความว่าเมทริกซ์( X + iY )จะเปลี่ยนเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของL _zที่มีค่าลักษณะเฉพาะmไปเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่มีค่าลักษณะเฉพาะm + 1ในทำนองเดียวกัน( X − iY )จะลดค่าmลงหนึ่งหน่วย ในขณะที่Zไม่เปลี่ยนแปลงค่าของ m$${\displaystyle L_{z}{\bigl (}(X+iY)|m\rangle {\bigr )}=(X+iY)L_{z}|m\rangle +(X+iY)|m\rangle =(m+1)(X+iY)|m\rangle }$$

ดังนั้น ในฐานของ สถานะ | l , m ⟩ที่L ²และL _zมีค่าที่แน่นอน องค์ประกอบเมทริกซ์ของส่วนประกอบทั้งสามของตำแหน่งจะเป็นศูนย์ ยกเว้นเมื่อmมีค่าเท่าเดิมหรือเปลี่ยนแปลงไปหนึ่งหน่วย

สิ่งนี้ทำให้เกิดข้อจำกัดในการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมเชิงมุมรวม สถานะใดๆ ก็สามารถหมุนได้เพื่อให้โมเมนตัมเชิงมุมอยู่ใน ทิศทาง zมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ โดยที่m = lองค์ประกอบเมทริกซ์ของตำแหน่งที่กระทำต่อ| l , m ⟩สามารถสร้างค่าของmได้มากขึ้นเพียงหนึ่งหน่วยเท่านั้น ดังนั้นหากพิกัดถูกหมุนเพื่อให้สถานะสุดท้ายเป็น| l ′, l ′⟩ค่าของl ′จะมีค่ามากกว่าค่าสูงสุดของlที่เกิดขึ้นในสถานะเริ่มต้นได้มากที่สุดหนึ่งค่า ดังนั้นl ′จึงมีค่ามากที่สุดเพียงl + 1

ค่าเมทริกซ์จะหายไปเมื่อl ′ > l + 1และค่าเมทริกซ์ผกผันถูกกำหนดโดยคุณสมบัติเฮอร์มิเชียน ดังนั้นค่าเหล่านี้จะหายไปเช่นกันเมื่อl ′ < l − 1 : การเปลี่ยนผ่านไดโพลถูกห้ามเมื่อมีการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุมมากกว่าหนึ่งหน่วย

สมการการเคลื่อนที่ของไฮเซนเบิร์กกำหนดองค์ประกอบเมทริกซ์ของPในฐานไฮเซนเบิร์กจากองค์ประกอบเมทริกซ์ของX ซึ่ง เปลี่ยนส่วนแนวทแยงของความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งให้เป็นกฎผลรวมสำหรับขนาดขององค์ประกอบเมทริกซ์: $${\displaystyle P_{ij}=m{\frac {d}{dt}}X_{ij}=im\left(E_{i}-E_{j}\right)X_{ij}\,,}$$$${\displaystyle \sum _{j}P_{ij}x_{ji}-X_{ij}p_{ji}=i\sum _{j}2m\left(E_{i}-E_{j}\right)\left|X_{ij}\right|^{2}=i\,.}$$

วิธีนี้จะให้ความสัมพันธ์สำหรับผลรวมของความเข้มของสเปกโทรสโกปีที่เข้าและออกจากสถานะใดๆ ก็ตาม แม้ว่าเพื่อให้ถูกต้องอย่างแท้จริง จะต้องรวมส่วนประกอบจากความน่าจะเป็นของการจับรังสีสำหรับสถานะการกระเจิงที่ไม่ถูกผูกมัดไว้ในผลรวมด้วย: $${\displaystyle \sum _{j}2m\left(E_{i}-E_{j}\right)\left|X_{ij}\right|^{2}=1\,.}$$

• ภาพปฏิสัมพันธ์
• สัญกรณ์บรา-เก็ต
• บทนำสู่กลศาสตร์ควอนตัม
• ทางเข้าของไฮเซนเบิร์กสู่กลศาสตร์เมทริกซ์

• เบิร์นสไตน์, เจเรมี (2005). "แม็กซ์ บอร์นและทฤษฎีควอนตัม" . วารสารฟิสิกส์อเมริกัน . 73 (11). สมาคมครูฟิสิกส์อเมริกัน (AAPT): 999– 1008. รหัสบรรณานุกรม : 2005AmJPh..73..999B . doi : 10.1119/1.2060717 . ISSN  0002-9505 .
• แม็กซ์ บอร์นการตีความเชิงสถิติของกลศาสตร์ควอนตัม ปาฐกถาโนเบล – 11 ธันวาคม 1954
• แนนซี ธอร์นไดค์ กรีนสแปน, " จุดจบของโลกที่แน่นอน: ชีวิตและวิทยาศาสตร์ของแม็กซ์ บอร์น " (สำนักพิมพ์เบสิก บุ๊คส์, 2005) ISBN 0-7382-0693-8. ตีพิมพ์ในเยอรมนีด้วย: Max Born - Baumeister der Quantenwelt ชีวประวัติของไอเนอ ( Spektrum Akademischer Verlag , 2005), ISBN 3-8274-1640-X.
• แม็กซ์ แจมเมอร์การพัฒนาเชิงแนวคิดของกลศาสตร์ควอนตัม (แมคกรอว์-ฮิลล์, 1966)
• Jagdish Mehra และ Helmut Rechenberg การพัฒนาทางประวัติศาสตร์ของทฤษฎีควอนตัม เล่มที่ 3 การกำหนดรูปแบบกลศาสตร์เมทริกซ์และการปรับปรุงแก้ไข 1925–1926 (Springer, 2001) ISBN 0-387-95177-6
• BL van der Waerden บรรณาธิการแหล่งที่มาของกลศาสตร์ควอนตัม (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1
• Aitchison, Ian JR; MacManus, David A.; Snyder, Thomas M. (2004). "การทำความเข้าใจบทความ 'มหัศจรรย์' ของไฮเซนเบิร์กในเดือนกรกฎาคม พ.ศ. 2468: มุมมองใหม่เกี่ยวกับรายละเอียดการคำนวณ" American Journal of Physics . 72 (11). American Association of Physics Teachers (AAPT): 1370– 1379. arXiv : quant-ph/0404009 . doi : 10.1119/1.1775243 . ISSN  0002-9505 . S2CID  53118117 .
• Thomas F. Jordan, กลศาสตร์ควอนตัมในรูปแบบเมทริกซ์อย่างง่าย (สำนักพิมพ์ Dover, 2005) ISBN 978-0486445304
• Merzbacher, E (1968). "วิธีการเมทริกซ์ในกลศาสตร์ควอนตัม" Am. J. Phys . 36 (9): 814– 821. doi : 10.1119/1.1975154 .

• ภาพรวมของกลศาสตร์เมทริกซ์
• วิธีการเมทริกซ์ในกลศาสตร์ควอนตัม
• บทความเรื่อง "กลศาสตร์ควอนตัมของไฮเซนเบิร์ก" ถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 16 กุมภาพันธ์ 2010 ที่Wayback Machine (ที่มาของทฤษฎีและพัฒนาการทางประวัติศาสตร์ระหว่างปี 1925–27)
• เวอร์เนอร์ ไฮเซนเบิร์ก ให้สัมภาษณ์ทางวิทยุ CBC ในปี 1970
• เกี่ยวกับกลศาสตร์เมทริกซ์ที่ MathPages