ในกลศาสตร์ควอนตัมภาพปฏิสัมพันธ์ (หรือที่รู้จักกันในชื่อการแสดงปฏิสัมพันธ์หรือภาพ Diracตามชื่อของPaul Diracผู้แนะนำ) ^{[ 1 ] [ 2 ]}เป็นการแสดง แบบกลาง ระหว่างภาพ Schrödingerและภาพ Heisenbergในขณะที่ในภาพอีกสองภาพนั้นเวกเตอร์สถานะหรือตัวดำเนินการต่างก็ขึ้นอยู่กับเวลา แต่ในภาพปฏิสัมพันธ์นั้น ทั้งสองอย่างต่างก็ขึ้นอยู่กับเวลาของตัวแปรที่สังเกตได้ [ ^{3 ] ภาพ}ปฏิสัมพันธ์มีประโยชน์ในการจัดการกับการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันคลื่นและตัวแปรที่สังเกตได้เนื่องจากปฏิสัมพันธ์ การคำนวณทางทฤษฎีสนามส่วนใหญ่^{[ 4 ]}ใช้การแสดงปฏิสัมพันธ์เพราะสร้างคำตอบของสมการ Schrödinger หลายอนุภาค เป็นคำตอบของอนุภาคอิสระในขณะที่มีส่วนปฏิสัมพันธ์ที่ไม่ทราบค่าอยู่ด้วย

สมการที่รวมตัวดำเนินการที่กระทำในช่วงเวลาต่างกัน ซึ่งใช้ได้ในภาพปฏิสัมพันธ์ อาจใช้ไม่ได้ในภาพชโรดิงเกอร์หรือภาพไฮเซนเบิร์กเสมอไป เนื่องจากการแปลงเอกภาพแบบขึ้นอยู่กับเวลาจะเชื่อมโยงตัวดำเนินการในภาพหนึ่งกับตัวดำเนินการที่คล้ายคลึงกันในภาพอื่นๆ

ภาพปฏิสัมพันธ์เป็นกรณีพิเศษของการแปลงเอกภาพที่ใช้กับแฮมิลโทเนียนและเวกเตอร์สถานะ

ทฤษฎีบทของ Haagกล่าวว่า ภาพปฏิสัมพันธ์ไม่มีอยู่จริงในกรณีของสนามควอนตัม ที่มีปฏิสัมพันธ์ กัน

ตัวดำเนินการและเวกเตอร์สถานะในภาพปฏิสัมพันธ์มีความสัมพันธ์กันโดยการเปลี่ยนฐาน ( การแปลงเอกภาพ ) กับตัวดำเนินการและเวกเตอร์สถานะเดียวกันนั้นในภาพชโรดิงเกอร์

เพื่อเปลี่ยนไปใช้ภาพปฏิสัมพันธ์ เราจะแบ่งแฮมิลโทเนียน ของภาพชโรดิงเกอร์ ออกเป็นสองส่วน:

การเลือกส่วนประกอบใดๆ ก็ตามจะให้ภาพปฏิสัมพันธ์ที่ถูกต้อง แต่เพื่อให้ภาพปฏิสัมพันธ์นั้นมีประโยชน์ในการทำให้การวิเคราะห์ปัญหาง่ายขึ้น โดยทั่วไปแล้วส่วนประกอบต่างๆ จะถูกเลือกเพื่อให้H _0,Sเป็นที่เข้าใจได้ดีและหาคำตอบได้อย่างแม่นยำ ในขณะที่H _1,Sมีการรบกวนที่วิเคราะห์ได้ยากกว่าในระบบนี้

หากแฮมิลโทเนียนมีการขึ้นอยู่กับเวลาอย่างชัดเจน (ตัวอย่างเช่น หากระบบควอนตัมมีปฏิสัมพันธ์กับสนามไฟฟ้าภายนอกที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา) โดยทั่วไปแล้วจะเป็นประโยชน์ที่จะรวมเทอมที่ขึ้นอยู่กับเวลาอย่างชัดเจนด้วยH _1,Sโดยปล่อยให้H _0,Sไม่ขึ้นอยู่กับเวลา:

เราดำเนินการโดยสมมติว่านี่คือกรณีดังกล่าว หากมีบริบท ใดที่การที่ H _0,Sขึ้นอยู่กับเวลาเป็นสิ่งที่สมเหตุสมผล ก็สามารถดำเนินการต่อไปได้โดยการแทนที่ ด้วยตัวดำเนินการวิวัฒนาการตามเวลา ที่สอดคล้องกัน ในคำจำกัดความด้านล่าง ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\pm \mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }}$

ให้เป็นเวกเตอร์สถานะที่ขึ้นอยู่กับเวลาในภาพชโรดิงเกอร์ เวกเตอร์สถานะในภาพปฏิสัมพันธ์ถูกกำหนดด้วยการแปลงเอกภาพที่ขึ้นอยู่กับเวลาเพิ่มเติม^{[ 5 ]}${\displaystyle |\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{\text{S}}t/\hbar }|\psi (0)\rangle }$${\displaystyle |\psi _{\text{I}}(t)\rangle }$

ตัวดำเนินการในภาพปฏิสัมพันธ์ถูกกำหนดดังนี้

โปรดทราบว่าA _S ( t ) โดยทั่วไปจะไม่ขึ้นอยู่กับtและสามารถเขียนใหม่ได้เป็นเพียงA _Sเท่านั้น มันจะขึ้นอยู่กับ tก็ต่อเมื่อตัวดำเนินการมี "การพึ่งพาเวลาอย่างชัดเจน" ตัวอย่างเช่น เนื่องจากการพึ่งพาของสนามไฟฟ้าภายนอกที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา อีกกรณีหนึ่งของการพึ่งพาเวลาอย่างชัดเจนอาจเกิดขึ้นเมื่อA _S ( t ) เป็นเมทริกซ์ความหนาแน่น (ดูด้านล่าง)

สำหรับตัวผู้ปฏิบัติงานเอง ภาพปฏิสัมพันธ์และภาพของชโรดิงเกอร์นั้นสอดคล้องกัน: ${\displaystyle H_{0}}$

${\displaystyle H_{0,{\text{I}}}(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }H_{0,{\text{S}}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }=H_{0,{\text{S}}}.}$

สิ่งนี้เห็นได้ชัดเจนจากข้อเท็จจริงที่ว่าตัวดำเนินการสามารถสลับที่กับฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ของตัวมันเองได้ ดังนั้นจึงสามารถเรียกใช้ตัวดำเนินการนี้ได้โดยไม่มีความกำกวม ${\displaystyle H_{0}}$

อย่างไรก็ตาม สำหรับแฮมิลโทเนียนการรบกวนนั้น${\displaystyle H_{1,{\text{I}}}}$

${\displaystyle H_{1,{\text{I}}}(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }H_{1,{\text{S}}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar },}$

โดยที่แฮมิลโทเนียนการรบกวนภาพปฏิสัมพันธ์จะกลายเป็นแฮมิลโทเนียนที่ขึ้นอยู่กับเวลา เว้นแต่ว่า [ H _1,S , H _0,S ] = 0

เป็นไปได้ที่จะได้ภาพปฏิสัมพันธ์สำหรับแฮมิลโทเนียนที่ขึ้นอยู่กับเวลาH _0,S ( t ) เช่นกัน แต่จำเป็นต้องแทนที่เลขชี้กำลังด้วยตัวแพร่เอกภาพสำหรับการวิวัฒนาการที่สร้างขึ้นโดยH _0,S ( t ) หรือกล่าวให้ชัดเจนยิ่งขึ้นคือด้วยปริพันธ์เลขชี้กำลังที่เรียงลำดับตามเวลา

เมทริกซ์ความหนาแน่นสามารถแสดงให้เห็นได้ว่าแปลงไปสู่ภาพปฏิสัมพันธ์ในลักษณะเดียวกับตัวดำเนินการอื่นๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ให้ρ _Iและρ _Sเป็นเมทริกซ์ความหนาแน่นในภาพปฏิสัมพันธ์และภาพชโรดิงเกอร์ตามลำดับ ถ้ามีความน่าจะเป็นp _nที่จะอยู่ในสถานะทางกายภาพ | ψ _n ⟩ แล้ว

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{\text{I}}(t)&=\sum _{n}p_{n}(t)\left|\psi _{n,{\text{I}}}(t)\right\rangle \left\langle \psi _{n,{\text{I}}}(t)\right|\\&=\sum _{n}p_{n}(t)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }\left|\psi _{n,{\text{S}}}(t)\right\rangle \left\langle \psi _{n,{\text{S}}}(t)\right|\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }\\&=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }\rho _{\text{S}}(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }.\end{aligned}}}$

การแปลงสมการชโรดิงเกอร์ให้อยู่ในรูปปฏิสัมพันธ์จะให้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}|\psi _{\text{I}}(t)\rangle =H_{1,{\text{I}}}(t)|\psi _{\text{I}}(t)\rangle ,}$

ซึ่งระบุว่าในภาพปฏิสัมพันธ์ สถานะควอนตัมจะวิวัฒนาการโดยส่วนปฏิสัมพันธ์ของแฮมิลโทเนียนตามที่แสดงในภาพปฏิสัมพันธ์^{[ 6 ]}มีการพิสูจน์ไว้ใน Fetter และ Walecka ^{[ 7 ]}

ถ้าตัวดำเนินการA _Sไม่ขึ้นกับเวลา (กล่าวคือ ไม่มี "การขึ้นกับเวลาอย่างชัดเจน" ดูด้านบน) แล้ววิวัฒนาการตามเวลาที่สอดคล้องกันสำหรับA _I ( t ) จะกำหนดโดย

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}A_{\text{I}}(t)=[A_{\text{I}}(t),H_{0,{\text{S}}}].}$

ในภาพปฏิสัมพันธ์ ตัวดำเนินการจะวิวัฒนาการไปตามเวลาเช่นเดียวกับตัวดำเนินการในภาพ ไฮเซนเบิร์กที่มีแฮมิลโทเนียนH ' = H ₀

วิวัฒนาการของเมทริกซ์ความหนาแน่นในภาพปฏิสัมพันธ์คือ

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\rho _{\text{I}}(t)=[H_{1,{\text{I}}}(t),\rho _{\text{I}}(t)],}$

สอดคล้องกับสมการชโรดิงเกอร์ในภาพปฏิสัมพันธ์

สำหรับตัวดำเนินการทั่วไปค่าคาดหวังในภาพปฏิสัมพันธ์จะกำหนดโดย ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \langle A_{\text{I}}(t)\rangle =\langle \psi _{\text{I}}(t)|A_{\text{I}}(t)|\psi _{\text{I}}(t)\rangle =\langle \psi _{\text{S}}(t)|e^{-iH_{0,{\text{S}}}t}e^{iH_{0,{\text{S}}}t}\,A_{\text{S}}\,e^{-iH_{0,{\text{S}}}t}e^{iH_{0,{\text{S}}}t}|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\langle A_{\text{S}}(t)\rangle .}$

เมื่อใช้สูตรเมทริกซ์ความหนาแน่นสำหรับค่าคาดหวัง เราจะได้

${\displaystyle \langle A_{\text{I}}(t)\rangle =\operatorname {Tr} {\big (}\rho _{\text{I}}(t)\,A_{\text{I}}(t){\big )}.}$

คำว่าการแสดงปฏิสัมพันธ์ถูกคิดค้นโดย Schwinger ^{[ 8 ] [ 9 ]} ในการแสดงแบบผสมใหม่นี้ เวกเตอร์สถานะจะไม่คงที่โดยทั่วไป แต่จะคงที่หากไม่มีการเชื่อมโยงระหว่างฟิลด์ การเปลี่ยนแปลงของการแสดงนำไปสู่สมการ Tomonaga–Schwinger โดยตรง: ^{[ 10 ] [ 9 ]}

${\displaystyle ihc{\frac {\partial \Psi [\sigma ]}{\partial \sigma (x)}}={\hat {H}}(x)\Psi (\sigma )}$

${\displaystyle {\hat {H}}(x)=-{\frac {1}{c}}j_{\mu }(x)A^{\mu }(x)}$

โดยที่แฮมิลโทเนียนในกรณีนี้คือแฮมิลโทเนียนปฏิสัมพันธ์ QED แต่ก็อาจเป็นปฏิสัมพันธ์ทั่วไปได้เช่นกัน และเป็นพื้นผิวเชิงพื้นที่ที่ผ่านจุด อนุพันธ์แสดงถึงการเปลี่ยนแปลงบนพื้นผิวนั้นโดยกำหนดให้คงที่ เป็นเรื่องยากที่จะให้การตีความทางคณิตศาสตร์ที่แม่นยำของสมการนี้^{[ 11 ]}${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

วิธีการนี้เรียกว่าวิธีการ 'เชิงอนุพันธ์' และ 'เชิงสนาม' โดย Schwinger ซึ่งแตกต่างจากวิธีการ 'เชิงปริพันธ์' และ 'เชิงอนุภาค' ของแผนภาพ Feynman ^{[ 12 ] [ 13 ]}

แนวคิดหลักคือ หากปฏิสัมพันธ์มีค่าคงที่การเชื่อมต่อขนาดเล็ก (เช่น ในกรณีของแม่เหล็กไฟฟ้าจะมีค่าอยู่ในระดับเดียวกับค่าคงที่โครงสร้างละเอียด) เทอมรบกวนที่ต่อเนื่องกันจะเป็นกำลังของค่าคงที่การเชื่อมต่อและดังนั้นจึงมีขนาดเล็กกว่า^{[ 14 ]}

จุดประสงค์ของภาพปฏิสัมพันธ์คือการถ่ายโอนการพึ่งพาเวลาทั้งหมดที่เกิดจากH ₀ไปยังตัวดำเนินการ ทำให้พวกมันสามารถวิวัฒนาการได้อย่างอิสระ และเหลือเพียงH _1,I เท่านั้น ที่จะควบคุมวิวัฒนาการตามเวลาของเวกเตอร์สถานะ

ภาพปฏิสัมพันธ์มีความสะดวกเมื่อพิจารณาผลของเทอมปฏิสัมพันธ์ขนาดเล็กH _1,Sที่ถูกเพิ่มเข้าไปในแฮมิลโทเนียนของระบบที่แก้ไขแล้วH _0,Sโดยการใช้ภาพปฏิสัมพันธ์ เราสามารถใช้ทฤษฎีการรบกวนแบบขึ้นอยู่กับเวลาเพื่อค้นหาผลของH _1,I [ ^{15 ] : 355ff} เช่น ในการหาอนุพันธ์ของกฎทองของเฟอร์มิ [ ^{15 ] : 359–363} หรืออนุกรมไดสัน^{[ 15 ] : 355–357} ในทฤษฎีสนามควอนตัม : ในปี 1947 ชินอิจิโร โทโมนาคะและจูเลียน ชวิงเกอร์ตระหนักว่าทฤษฎีการรบกวนแบบโคแวเรียนต์สามารถกำหนดได้อย่างสง่างามในภาพปฏิสัมพันธ์ เนื่องจากตัวดำเนินการสนามสามารถวิวัฒนาการตามเวลาได้เหมือนสนามอิสระ แม้จะมีปฏิสัมพันธ์อยู่ด้วย ซึ่งตอนนี้ได้รับการจัดการแบบรบกวนในอนุกรมไดสันดังกล่าว

สำหรับแฮมิลโทเนียน H _Sที่ไม่ขึ้นกับเวลาโดยที่H _0,Sคือแฮมิลโทเนียนอิสระ

วิวัฒนาการของ:	รูปภาพ ( วี ที อี )
	ชโรดิงเกอร์ (S)	ไฮเซนเบิร์ก (H)	ปฏิสัมพันธ์ (I)
สถานะเคท	${\displaystyle |\psi _{\rm {S}}(t)\rangle =e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }|\psi _{\rm {S}}(0)\rangle }$	คงที่	${\displaystyle |\psi _{\rm {I}}(t)\rangle =e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }|\psi _{\rm {S}}(t)\rangle }$
สังเกตได้	คงที่	${\displaystyle A_{\rm {H}}(t)=e^{iH_{\rm {S}}~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }}$	${\displaystyle A_{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }}$
เมทริกซ์ความหนาแน่น	${\displaystyle \rho _{\rm {S}}(t)=e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(0)e^{iH_{\rm {S}}~t/\hbar }}$	คงที่	${\displaystyle \rho _{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(t)e^{-iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }}$

• LD Landau ; EM Lifshitz (1977). กลศาสตร์ควอนตัม: ทฤษฎีที่ไม่เกี่ยวข้องกับสัมพัทธภาพ เล่ม 3 (ฉบับที่ 3). สำนักพิมพ์ Pergamon . ISBN 978-0-08-020940-1.
• ทาวน์เซนด์, จอห์น เอส. (2000). แนวทางสมัยใหม่สู่กลศาสตร์ควอนตัม (ฉบับที่ 2). ซอซาลิโต, แคลิฟอร์เนีย: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยวิทยาศาสตร์. ISBN 1-891389-13-0.

• สัญกรณ์บรา-เก็ต
• สมการชโรดิงเกอร์
• ทฤษฎีบทของฮาก