ในกลศาสตร์ควอนตัมฟังก์ชันคลื่น ( หรือwavefunction ) คือคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของสถานะควอนตัมของระบบควอนตัม ที่แยกตัวออกมา สัญลักษณ์ที่ใช้กันทั่วไปสำหรับฟังก์ชันคลื่นคืออักษรกรีกψและΨ (ตัวพิมพ์เล็กและตัวพิมพ์ใหญ่psiตามลำดับ)

ตามหลักการซ้อนทับของกลศาสตร์ควอนตัม ฟังก์ชันคลื่นสามารถบวกกันและคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อนเพื่อสร้างฟังก์ชันคลื่นใหม่และสร้างปริภูมิฮิลเบิร์ตได้ผลคูณภายในของฟังก์ชันคลื่นสองฟังก์ชันเป็นตัววัดการทับซ้อนระหว่างสถานะทางกายภาพที่สอดคล้องกัน และใช้ในการตีความเชิงความน่าจะเป็นพื้นฐานของกลศาสตร์ควอนตัม นั่นคือกฎของบอร์นซึ่งเชื่อมโยงความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนสถานะกับผลคูณภายในสมการชโรดิงเกอร์กำหนดว่าฟังก์ชันคลื่นเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรเมื่อเวลาผ่านไป และฟังก์ชันคลื่นมีพฤติกรรมเชิงคุณภาพคล้ายกับคลื่น อื่นๆ เช่นคลื่นน้ำ หรือคลื่นบนเส้นเชือก เนื่องจากสมการชโรดิงเกอร์เป็น สมการคลื่นประเภทหนึ่งทางคณิตศาสตร์นี่จึงอธิบายชื่อ "ฟังก์ชันคลื่น" และก่อให้เกิดทฤษฎีทวิภาวะของคลื่นและอนุภาคอย่างไรก็ตาม ไม่ว่าฟังก์ชันคลื่นในกลศาสตร์ควอนตัมจะอธิบายปรากฏการณ์ทางกายภาพชนิดหนึ่งหรือไม่นั้น ยังคงเปิดกว้างสำหรับการตีความที่ แตกต่างกัน ซึ่งทำให้มันแตกต่างจากคลื่นกลแบบคลาสสิก อย่างพื้นฐาน ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

ฟังก์ชันคลื่นมีค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อนตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันคลื่นอาจกำหนดจำนวนเชิงซ้อนให้กับแต่ละจุดในบริเวณของพื้นที่กฎของบอร์น^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}ให้วิธีการเปลี่ยนแอมพลิจูดความน่าจะ เป็นเชิงซ้อนเหล่านี้ ให้เป็นความน่าจะเป็นจริง ในรูปแบบทั่วไปรูปแบบหนึ่ง กล่าวว่าค่ากำลังสองของโมดูลัสของฟังก์ชันคลื่นที่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งคือความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของการวัดอนุภาคว่าอยู่ที่ตำแหน่งที่กำหนด การอินทิเกรตค่ากำลังสองของโมดูลัสของฟังก์ชันคลื่นเหนือระดับความเป็นอิสระทั้งหมดของระบบต้องเท่ากับ 1 ซึ่งเป็นเงื่อนไขที่เรียกว่าการทำให้เป็นมาตรฐานเนื่องจากฟังก์ชันคลื่นมีค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน จึงสามารถวัดได้เฉพาะเฟสสัมพัทธ์และขนาดสัมพัทธ์เท่านั้น ค่าของมันเพียงอย่างเดียวไม่สามารถบอกอะไรเกี่ยวกับขนาดหรือทิศทางของปริมาณที่วัดได้ ต้องใช้ตัวดำเนินการควอนตัมซึ่งค่าลักษณะเฉพาะสอดคล้องกับชุดของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการวัด กับฟังก์ชันคลื่นψและคำนวณการกระจายทางสถิติสำหรับปริมาณที่วัดได้

ฟังก์ชันคลื่นสามารถเป็นฟังก์ชันของตัวแปรอื่นที่ไม่ใช่ตำแหน่ง เช่นโมเมนตัมข้อมูลที่แสดงโดยฟังก์ชันคลื่นซึ่งขึ้นอยู่กับตำแหน่ง สามารถแปลงเป็นฟังก์ชันคลื่นที่ขึ้นอยู่กับโมเมนตัม และในทางกลับกัน ได้โดยใช้การแปลงฟูริเยร์อนุภาคบางชนิด เช่นอิเล็กตรอนและโฟตอนมีสปิน ที่ไม่เป็นศูนย์ และฟังก์ชันคลื่นสำหรับอนุภาคดังกล่าวจะรวมสปินเป็นระดับความเป็นอิสระแบบไม่ต่อเนื่องภายใน นอกจากนี้ยังสามารถรวมตัวแปรแบบไม่ต่อเนื่องอื่นๆ ได้ เช่นไอโซสปินเมื่อระบบมีระดับความเป็นอิสระภายใน ฟังก์ชันคลื่น ณ แต่ละจุดในระดับความเป็นอิสระแบบต่อเนื่อง (เช่น จุดในอวกาศ) จะกำหนดจำนวนเชิงซ้อนสำหรับแต่ละค่าที่เป็นไปได้ของระดับความเป็นอิสระแบบไม่ต่อเนื่อง (เช่น ส่วนประกอบ z ของสปิน) ค่าเหล่านี้มักจะแสดงในเมทริกซ์คอลัมน์ (เช่น เวกเตอร์คอลัมน์ 2 × 1สำหรับอิเล็กตรอนที่ไม่สัมพันธ์กับสัมพัทธภาพที่มีสปิ น1/2 )

ในปี ค.ศ. 1900 แม็กซ์ พลังค์ได้ตั้งสมมติฐานถึงความสัมพันธ์แบบสัดส่วนระหว่างความถี่ของโฟตอนกับพลังงานของมัน, , ^{[ 11 ] [ 12 ]} และในปี ค.ศ. 1916 ความสัมพันธ์ที่สอดคล้องกันระหว่างโมเมนตัมและความยาวคลื่น ของโฟตอน , , ^{[ 13 ]} โดยที่คือค่าคงที่ของพลังค์ในปี ค.ศ. 1923 เดอ บรอยล์ เป็นคนแรกที่เสนอว่าความสัมพันธ์ ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าความสัมพันธ์ของเดอ บรอยล์ นั้นใช้ได้กับ อนุภาค ที่มีมวลเบาะแสสำคัญคือความไม่แปรผันของลอเรนซ์ , ^{[ 14 ]}และสิ่งนี้สามารถมองได้ว่าเป็นจุดเริ่มต้นของการพัฒนากลศาสตร์ควอนตัมสมัยใหม่ สมการเหล่านี้แสดงถึงความเป็นคู่ของคลื่นและอนุภาคสำหรับทั้งอนุภาคไร้มวลและมีมวล ${\displaystyle f}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E=hf}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}}$

ในช่วงทศวรรษ 1920 และ 1930 กลศาสตร์ควอนตัมได้รับการพัฒนาโดยใช้แคลคูลัสและพีชคณิตเชิงเส้นผู้ที่ใช้วิธีการของแคลคูลัส ได้แก่หลุยส์ เดอ บรอย ล์ เออ ร์วิน ชโรดิงเกอร์และคนอื่นๆ ซึ่งพัฒนากลศาสตร์คลื่นส่วนผู้ที่ใช้วิธีการของพีชคณิตเชิงเส้น ได้แก่เวอร์เนอร์ ไฮเซนเบิร์กแม็กซ์ บอร์นและคนอื่นๆ ซึ่งพัฒนากลศาสตร์เมทริกซ์ต่อมาชโรดิงเกอร์ได้แสดงให้เห็นว่าทั้งสองแนวทางนั้นเทียบเท่ากัน^{[ 15 ]}

ในปี พ.ศ. 2469 ชโรดิงเกอร์ได้ตีพิมพ์สมการคลื่นอันโด่งดังซึ่งปัจจุบันตั้งชื่อตามเขาว่าสมการชโรดิงเกอร์ สมการนี้อิงตาม หลักการ อนุรักษ์พลังงานแบบคลาสสิก โดยใช้ตัวดำเนินการควอนตัมและความสัมพันธ์ของเดอ บรอยล์ และคำตอบของสมการคือฟังก์ชันคลื่นสำหรับระบบควอนตัม^{[ 16 ]}อย่างไรก็ตาม ไม่มีใครเข้าใจอย่างชัดเจนว่าจะตีความอย่างไร^{[ 17 ]}ในตอนแรก ชโรดิงเกอร์และคนอื่นๆ คิดว่าฟังก์ชันคลื่นแสดงถึงอนุภาคที่กระจายออกไป โดยส่วนใหญ่ของอนุภาคจะอยู่ในบริเวณที่ฟังก์ชันคลื่นมีค่ามาก^{[ 18 ]}ซึ่งแสดงให้เห็นว่าไม่สอดคล้องกับการกระเจิงแบบยืดหยุ่นของกลุ่มคลื่น (ซึ่งแสดงถึงอนุภาค) จากเป้าหมาย มันจะกระจายออกไปในทุกทิศทาง^{[ 8 ]} แม้ว่าอนุภาคที่กระเจิงอาจกระเจิงไปในทิศทางใดก็ได้ แต่มันจะไม่แตกตัวและกระจายออกไปในทุกทิศทาง ในปี พ.ศ. 2469 บอร์นได้เสนอแนวคิดเรื่องแอมพลิจูดความน่าจะเป็น^{[ 8 ] [ 9 ] [ 19 ]}สิ่งนี้เชื่อมโยงการคำนวณกลศาสตร์ควอนตัมโดยตรงกับการสังเกตการณ์เชิงทดลองแบบความน่าจะเป็น ได้รับการยอมรับว่าเป็นส่วนหนึ่งของการตีความโคเปนเฮเกน ของกลศาสตร์ควอนตัม มี การตีความกลศาสตร์ควอนตัมอื่นๆ อีกมากมายในปี พ.ศ. 2460 ฮาร์ทรีและฟ็อคได้ก้าวแรกในการพยายามแก้ปัญหา ฟังก์ชันคลื่น N -bodyและพัฒนาวงจรความสอดคล้องในตัวเอง : อัลกอริทึมแบบวนซ้ำเพื่อประมาณคำตอบ ปัจจุบันเป็นที่รู้จักกันในชื่อวิธีฮาร์ทรี-ฟ็อค [ ^{20 ] ดี}เท อร์มิแนนต์ และเพอร์มาเนนต์ของสเลเตอร์ (ของเมทริกซ์ ) เป็นส่วนหนึ่งของวิธีการนี้ ซึ่งจัดทำโดยจอห์น ซี. สเลเตอร์

ก่อนที่ Schrödinger จะตีพิมพ์สมการคลื่นที่ไม่เกี่ยวข้องกับสัมพัทธภาพ เขาได้พบสมการคลื่นที่สอดคล้องกับการอนุรักษ์พลังงานเชิง สัมพัทธภาพ แต่เขาได้ละทิ้งสมการนั้นไปเพราะมันทำนาย ความน่า จะเป็น และพลังงาน ที่เป็นลบ ในปี 1927 Klein , Gordonและ Fock ก็พบสมการนี้เช่นกัน แต่ได้รวมปฏิสัมพันธ์ทางแม่เหล็กไฟฟ้า เข้าไปด้วย และพิสูจน์ว่ามันเป็นค่าคงที่ของ Lorentz De Broglie ก็ได้สมการเดียวกันนี้ในปี 1928 ปัจจุบันสมการคลื่นเชิงสัมพัทธภาพนี้เป็นที่รู้จักกันทั่วไปในชื่อ^สมการ Klein–Gordon ^{[ 21} ]

ในปี พ.ศ. 2460 Pauliได้ค้นพบสมการที่ไม่เกี่ยวข้องกับสัมพัทธภาพโดยใช้ปรากฏการณ์วิทยา เพื่ออธิบายอนุภาคสปิน 1/2 ในสนามแม่เหล็กไฟฟ้า ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าสมการ Pauli ^{[ 22 ]} Pauli พบว่าฟังก์ชันคลื่นไม่ ได้ถูกอธิบายด้วยฟังก์ชันเชิงซ้อนเพียงฟังก์ชันเดียวของพื้นที่และเวลา แต่ต้องการจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวน ซึ่งสอดคล้องกับสถานะสปิน +1/2 และ −1/2 ของเฟอร์มิออนตามลำดับ ไม่นานหลังจากนั้นในปี พ.ศ. 2461 Diracได้ค้นพบสมการจากการรวมทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษและกลศาสตร์ควอนตัมเข้าด้วยกันเป็นครั้งแรก ซึ่งนำไปใช้กับอิเล็กตรอนปัจจุบันเรียกว่าสมการ Diracในสมการนี้ ฟังก์ชันคลื่นเป็นสปินเนอร์ที่แสดงด้วยส่วนประกอบค่าเชิงซ้อนสี่ส่วน: ^{[ 20 ]}สองส่วนสำหรับอิเล็กตรอนและสองส่วนสำหรับอนุภาคปฏิปักษ์ ของอิเล็กตรอน คือโพซิตรอน ในขีดจำกัดที่ไม่เกี่ยวข้องกับสัมพัทธภาพ ฟังก์ชันคลื่น Dirac มีลักษณะคล้ายกับฟังก์ชันคลื่น Pauli สำหรับอิเล็กตรอน ต่อมาได้ มีการค้นพบ สมการคลื่นเชิงสัมพัทธภาพอื่นๆ

สมการคลื่นเหล่านี้ล้วนมีความสำคัญอย่างยั่งยืน สมการชโรดิงเกอร์และสมการเปาลีเป็นค่าประมาณที่ดีเยี่ยมของสมการคลื่นในเชิงสัมพัทธภาพในหลายกรณี และยังง่ายต่อการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติมากกว่าสมการคลื่นในเชิงสัมพัทธภาพอีกด้วย

สมการไคลน์-กอร์ดอนและสมการดิแรกแม้จะเป็นสมการเชิงสัมพัทธภาพ แต่ก็ไม่ได้แสดงถึงการประนีประนอมอย่างสมบูรณ์ระหว่างกลศาสตร์ควอนตัมและทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ สาขาของกลศาสตร์ควอนตัมที่ศึกษาสมการเหล่านี้ในลักษณะเดียวกับสมการชโรดิงเกอร์ ซึ่งมักเรียกว่ากลศาสตร์ควอนตัมเชิงสัมพัทธภาพแม้จะประสบความสำเร็จอย่างมาก แต่ก็มีข้อจำกัด (เช่นการเลื่อนของแลมบ์ ) และปัญหาเชิงแนวคิด (เช่นทะเลดิแรก )

ทฤษฎีสัมพัทธภาพทำให้จำนวนอนุภาคในระบบไม่คงที่อย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ สำหรับการประนีประนอมอย่างสมบูรณ์จำเป็นต้องใช้ทฤษฎีสนามควอนตัม^{[ 23 ]} ในทฤษฎีนี้ สมการคลื่นและฟังก์ชันคลื่นมีบทบาท แต่ในรูปแบบที่แตกต่างออกไป วัตถุหลักที่น่าสนใจไม่ใช่ฟังก์ชันคลื่น แต่เป็นตัวดำเนินการ ซึ่งเรียกว่าตัวดำเนินการสนาม (หรือเพียงแค่สนาม โดยที่ "ตัวดำเนินการ" เป็นที่เข้าใจกัน) บนปริภูมิฮิลเบิร์ตของสถานะ (จะอธิบายในส่วนถัดไป) ปรากฏว่าสมการคลื่นสัมพัทธภาพดั้งเดิมและคำตอบของสมการเหล่านั้นยังคงจำเป็นสำหรับการสร้างปริภูมิฮิลเบิร์ต ยิ่งไปกว่านั้นตัวดำเนินการสนามอิสระ กล่าวคือ เมื่อถือว่าไม่มีปฏิสัมพันธ์ ปรากฏว่า (อย่างเป็นทางการ) สอดคล้องกับสมการเดียวกันกับสนาม (ฟังก์ชันคลื่น) ในหลายกรณี

ดังนั้นสมการ Klein–Gordon (สปิน0 )และสมการ Dirac (สปิน1/2 ) ในรูปแบบนี้ จึงยังคงอยู่ในทฤษฎี อนาล็อกสปินที่สูงกว่า ได้แก่สมการ Proca (สปิน1 ) สมการ Rarita–Schwinger (สปิน3/2 )และโดยทั่วไป คือ สมการ Bargmann–Wignerสำหรับ สนามอิสระ ที่ไม่มีมวล ตัวอย่างสอง ประการ คือ สมการ Maxwellสนามอิสระ(สปิน1 ) และสมการ Einstein สนามอิสระ (สปิน2 ) สำหรับตัวดำเนินการสนาม^{[ 24 ]} ทั้งหมดนี้เป็นผลโดยตรงจากข้อกำหนดของความไม่แปรเปลี่ยนของ Lorentz คำตอบของ สมการเหล่านี้จะต้องแปลงภายใต้การแปลง Lorentzในลักษณะที่กำหนดไว้ กล่าวคือ ภายใต้การแสดงแทนเฉพาะของกลุ่ม Lorentzและนั่นรวมกับข้อกำหนดที่สมเหตุสมผลอื่นๆ อีกเล็กน้อย เช่นคุณสมบัติการแยกคลัสเตอร์^{[ 25 ]} ซึ่งมีผลต่อความเป็นเหตุเป็นผลก็เพียงพอที่จะกำหนดสมการ ได้

สิ่งนี้ใช้ได้กับสมการสนามอิสระเท่านั้น ไม่รวมปฏิสัมพันธ์ หากมีความหนาแน่นแบบลากรางจ์ (รวมถึงปฏิสัมพันธ์) อยู่แล้ว รูปแบบลากรางจ์จะให้สมการการเคลื่อนที่ในระดับคลาสสิก สมการนี้อาจซับซ้อนมากและไม่สามารถหาคำตอบได้ คำตอบใด ๆ จะอ้างอิงถึง จำนวนอนุภาค คงที่และจะไม่คำนึงถึงคำว่า "ปฏิสัมพันธ์" ตามที่กล่าวถึงในทฤษฎีเหล่านี้ ซึ่งเกี่ยวข้องกับการสร้างและการทำลายอนุภาค ไม่ใช่ศักยภาพภายนอกดังเช่นในทฤษฎีควอนตัม "ควอนตัมขั้นแรก" ทั่วไป

ในทฤษฎีสตริงสถานการณ์ยังคงคล้ายคลึงกัน ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันคลื่นในปริภูมิโมเมนตัมมีบทบาทเป็นสัมประสิทธิ์การขยายฟูริเยร์ในสถานะทั่วไปของอนุภาค (สตริง) ที่มีโมเมนตัมที่ไม่ชัดเจน^{[ 26 ]}

แหล่งที่มา: ^{[ 27 ]}

อนุภาคคลาสสิก เช่น กระสุน จรวด และดาวเคราะห์ มีตำแหน่งอยู่ในพื้นที่จำกัด คลื่นคลาสสิก เช่น เสียงและคลื่นในมหาสมุทร แผ่ขยายออกไปในพื้นที่กว้างใหญ่ความเป็นคู่ของคลื่นและอนุภาค ควอนตัม เป็นลักษณะเฉพาะของอนุภาคควอนตัม ตัวอย่างเช่น อะตอมที่มีตำแหน่งอยู่ในพื้นที่จำกัดมีความเสถียรเนื่องจากการมีอยู่ของคลื่นที่เกี่ยวข้องกับอิเล็กตรอนในอะตอม ยังไม่มีข้อสรุปเกี่ยวกับธรรมชาติของคลื่นที่เกี่ยวข้องกับอนุภาคควอนตัม อย่างไรก็ตาม มีข้อสรุปเกี่ยวกับวิธีการคำนวณนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่สอดคล้องกับคลื่นเหล่านี้^{[ 27 ]}

ในกลศาสตร์ควอนตัมที่ไม่สัมพัทธภาพ มีคลื่นที่เกี่ยวข้องกับอนุภาคควอนตัมสปิน 0 สมการคลื่นชโรดิงเกอร์จะต้องได้รับการแก้ไขเพื่อให้ได้นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่สอดคล้องกับคลื่น "ชโรดิงเกอร์" นี้ อย่างไรก็ตาม ในกลศาสตร์ควอนตัมสัมพัทธภาพ สมการคลื่นสัมพัทธภาพจะต้องได้รับการแก้ไข หรืออีกทางหนึ่ง สามารถแก้สม การคลื่นสัมพัทธภาพแต่คล้ายชโรดิงเกอร์สองสมการเพื่อให้ได้นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ของคลื่นคล้ายชโรดิงเกอร์สองคลื่นที่เกี่ยวข้องกับอนุภาคควอนตัมสัมพัทธภาพสปิน 0 ได้^{[ 27 ]}

ไม่มีคลื่นใดที่เกี่ยวข้องกับอนุภาคคลาสสิก แต่มีคลื่นชโรดิงเกอร์หนึ่งคลื่นที่เกี่ยวข้องกับอนุภาคควอนตัมแบบไม่สัมพัทธภาพที่มีสปินเป็น 0 ยิ่งไปกว่านั้น มีคลื่นชโรดิงเกอร์สองคลื่นที่เกี่ยวข้องกับอนุภาคควอนตัมแบบสัมพัทธภาพที่มีสปินเป็น 0 อนุภาคคลาสสิกและควอนตัมแบบไม่สัมพัทธภาพอิสระมีพลังงานจลน์เป็นบวก อย่างไรก็ตาม อนุภาคควอนตัมแบบสัมพัทธภาพอาจเกี่ยวข้องกับคลื่นแบบชโรดิงเกอร์ "ธรรมดา" ซึ่งอนุภาคมีพลังงานจลน์เป็นบวก แต่ก็อาจเกี่ยวข้องกับคลื่นชโรดิงเกอร์ "พิเศษ" ซึ่งอนุภาคมีพลังงานจลน์เป็นลบได้เช่นกัน^{[ 27 ]}

การมีอยู่ของคลื่นชโรดิงเกอร์ที่เกี่ยวข้องกับอนุภาคจะกำหนดลักษณะควอนตัมของอนุภาคควอนตัม หากด้วยเหตุผลใดก็ตามที่คลื่นชโรดิงเกอร์หายไป อนุภาคจะสูญเสียธรรมชาติควอนตัมและเปลี่ยนไปเป็นอนุภาคคลาสสิก มีการเสนอตัวอย่างเหนือธรรมชาติหลายกรณีของการเปลี่ยนผ่านจากควอนตัมไปเป็นคลาสสิกเพื่ออธิบายว่าทำไมวัตถุขนาดใหญ่รอบตัวเราจึงดูเหมือนเป็นคลาสสิกและประกอบด้วยสสารเท่านั้น ตัวอย่างของขอบเขตควอนตัม-คลาสสิกมีดังต่อไปนี้: ^{[ 27 ]}

• แรงดึงดูดทางไฟฟ้าสถิตระหว่างนิวเคลียสและอิเล็กตรอนในอะตอมหนักสามารถทำให้คลื่นชโรดิงเกอร์แบบปกติที่เกี่ยวข้องกับอิเล็กตรอนที่มีความเร็วสัมพัทธ์ยุบตัวลงได้ นี่คือเหตุผลที่ไม่มีอะตอมที่เป็นกลางที่มีเลขอะตอม Z > 137
• แรงโน้มถ่วงสามารถทำให้คลื่นชโรดิงเกอร์ธรรมดาซึ่งสัมพันธ์กับอนุภาคควอนตัมเชิงสัมพัทธภาพที่มีมวลนั้นยุบตัวลงได้ นี่คือเหตุผลที่วัตถุขนาดมหาสารมีลักษณะเป็นแบบคลาสสิก
• แรงผลักทางไฟฟ้าสถิตอาจทำให้คลื่นชโรดิงเกอร์อันน่าทึ่งที่เกี่ยวข้องกับอนุภาคปฏิสสารยุบตัวลงได้ แต่จะไม่เกิดขึ้นกับอนุภาคควอนตัมเชิงสัมพัทธภาพ นี่จึงอธิบายได้ว่าทำไมจึงไม่มีตารางธาตุสำหรับอะตอมปฏิสสาร และสิ่งมีชีวิตที่ประกอบด้วยปฏิสสารจึงไม่มีอยู่จริง

คลื่นนิ่งสำหรับอนุภาคในกล่องตัวอย่างของสถานะคงที่

คลื่นเคลื่อนที่ของอนุภาคอิสระ

ส่วนจริงของฟังก์ชันคลื่นตำแหน่งΨ( x )และฟังก์ชันคลื่นโมเมนตัมΦ( p )และความหนาแน่นความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน|Ψ( x )| ^²และ|Φ( p )| ^²สำหรับอนุภาคสปิน 0 หนึ่งตัวในมิติ x หรือ p หนึ่งมิติความทึบของสีของอนุภาคสอดคล้องกับความหนาแน่นความน่าจะเป็น ( ไม่ใช่ฟังก์ชันคลื่น) ของการพบอนุภาคที่ตำแหน่งxหรือโมเมนตัมp

ในตอนนี้ ให้พิจารณากรณีง่ายๆ ของอนุภาคเดี่ยวที่ไม่เป็นไปตามทฤษฎีสัมพัทธภาพ โดยไม่มีสปินในมิติเชิงพื้นที่เดียว กรณีที่ซับซ้อนกว่านี้จะกล่าวถึงในภายหลัง

ตามสมมติฐานของกลศาสตร์ควอนตัมสถานะของระบบทางกายภาพ ณ เวลาคงที่จะถูกกำหนดโดยฟังก์ชันคลื่นที่อยู่ในปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงซ้อนที่แยกได้^{[ 28 ] [ 29 ]}ด้วยเหตุนี้ผลคูณภายในของฟังก์ชันคลื่นสองฟังก์ชันΨ ₁และΨ ₂จึงสามารถกำหนดได้เป็นจำนวนเชิงซ้อน (ณ เวลาt ) ^{[ nb 1 ]}${\displaystyle t}$

${\displaystyle (\Psi _{1},\Psi _{2})=\int _{-\infty }^{\infty }\,\Psi _{1}^{*}(x,t)\Psi _{2}(x,t)\,dx<\infty }$.

รายละเอียดเพิ่มเติมอยู่ด้านล่างอย่างไรก็ตาม ผลคูณภายในของฟังก์ชันคลื่นΨกับตัวมันเอง

${\displaystyle (\Psi ,\Psi )=\|\Psi \|^{2}}$,

เป็น จำนวนจริงบวก เสมอจำนวน‖ Ψ ‖ (ไม่ใช่‖ Ψ ‖ ² ) เรียกว่าค่ามาตรฐานของฟังก์ชันคลื่นΨ ปริภูมิ ฮิลเบิร์ตที่แยกได้ซึ่งกำลังพิจารณาอยู่นั้นมีมิติ อนันต์ [ ^{nb 2 ]}ซึ่งหมายความว่าไม่มีเซตจำกัดของฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้^ซึ่ง สามารถนำมารวมกันในรูปแบบต่างๆ เพื่อสร้าง ฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ทุกฟังก์ชันที่เป็นไปได้

สถานะของอนุภาคดังกล่าวสามารถอธิบายได้อย่างสมบูรณ์ด้วยฟังก์ชันคลื่นโดยที่xคือตำแหน่งและtคือเวลา ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนของตัวแปรจริงสองตัวคือ xและt$${\displaystyle \Psi (x,t)\,,}$$

สำหรับอนุภาคไร้สปินหนึ่งอนุภาคในหนึ่งมิติ หากตีความฟังก์ชันคลื่นเป็นแอมพลิจูดความน่าจะ เป็น ค่ากำลัง สอง ของ โมดู ลัส ของฟังก์ชันคลื่น ซึ่งเป็นจำนวนจริงบวก จะถูกตีความว่าเป็นความหนาแน่นความน่าจะเป็นสำหรับการวัดตำแหน่งของอนุภาค ณ เวลาt ที่กำหนด เครื่องหมายดอกจันแสดงถึง ค่า สังยุคเชิงซ้อน หากมี การวัดตำแหน่งของอนุภาคตำแหน่งของอนุภาคจะไม่สามารถระบุได้จากฟังก์ชันคลื่น แต่จะถูกอธิบายโดยการกระจายความน่าจะเป็น $${\displaystyle \left|\Psi (x,t)\right|^{2}=\Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)=\rho (x),}$$

ความน่าจะเป็นที่ตำแหน่งx ของอนุภาค จะอยู่ในช่วงa ≤ x ≤ bคือปริพันธ์ของความหนาแน่นในช่วงนี้ โดยที่tคือเวลาที่วัดอนุภาค ซึ่งนำไปสู่เงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐาน : เพราะถ้าวัดอนุภาคแล้ว ความน่าจะเป็นที่อนุภาคจะอยู่ที่ใดที่หนึ่งคือ 100%$${\displaystyle P_{a\leq x\leq b}(t)=\int _{a}^{b}\,|\Psi (x,t)|^{2}dx}$$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\,|\Psi (x,t)|^{2}dx=1\,,}$$

สำหรับระบบที่กำหนด เซตของฟังก์ชันคลื่นที่สามารถทำให้เป็นมาตรฐานได้ทั้งหมด (ในเวลาใด ๆ ก็ตาม) จะก่อให้เกิดปริภูมิเวกเตอร์เชิง นามธรรมทางคณิตศาสตร์ ซึ่งหมายความว่าสามารถนำฟังก์ชันคลื่นที่แตกต่างกันมาบวกกัน และคูณฟังก์ชันคลื่นด้วยจำนวนเชิงซ้อนได้ ในทางเทคนิคแล้ว ฟังก์ชันคลื่นจะก่อตัวเป็นรังสีในปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงโปรเจกทีฟแทนที่จะเป็นปริภูมิเวกเตอร์ธรรมดา

ณ ช่วงเวลาหนึ่ง ค่าทั้งหมดของฟังก์ชันคลื่นΨ( x , t )เป็นส่วนประกอบของเวกเตอร์ ซึ่งมีจำนวนอนันต์นับไม่ถ้วน และใช้การอินทิเกรตแทนการบวก ในสัญกรณ์ของ Bra–ketเวกเตอร์นี้จะถูกเขียน และเรียกว่า "เวกเตอร์สถานะควอนตัม" หรือเรียกสั้น ๆ ว่า "สถานะควอนตัม" การเข้าใจฟังก์ชันคลื่นในฐานะที่เป็นตัวแทนขององค์ประกอบของปริภูมิเวกเตอร์นามธรรมนั้นมีข้อดีหลายประการ: $${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\int \Psi (x,t)|x\rangle dx}$$

• เครื่องมืออันทรงพลังทั้งหมดของพีชคณิตเชิงเส้นสามารถนำมาใช้ในการจัดการและทำความเข้าใจฟังก์ชันคลื่นได้ ตัวอย่างเช่น:
  • พีชคณิตเชิงเส้นอธิบายว่าปริภูมิเวกเตอร์สามารถมีฐานได้ อย่างไร จากนั้นเวกเตอร์ใดๆ ในปริภูมิเวกเตอร์ก็สามารถแสดงในฐานนี้ได้ นี่เป็นการอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันคลื่นในปริภูมิตำแหน่งและฟังก์ชันคลื่นในปริภูมิโมเมนตัม และชี้ให้เห็นว่ายังมีความเป็นไปได้อื่นๆ อีกด้วย
  • สามารถใช้สัญกรณ์ Bra–ket ในการจัดการฟังก์ชันคลื่นได้
• แนวคิดที่ว่าสถานะควอนตัมเป็นเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์นามธรรมนั้นเป็นความจริงโดยทั่วไปในทุกแง่มุมของกลศาสตร์ควอนตัมและทฤษฎีสนามควอนตัมในขณะที่แนวคิดที่ว่าสถานะควอนตัมเป็นฟังก์ชัน "คลื่น" ที่มีค่าเชิงซ้อนของปริภูมินั้นเป็นความจริงเฉพาะในบางสถานการณ์เท่านั้น

พารามิเตอร์เวลามักจะถูกละเว้น และจะถูกละเว้นในส่วนต่อไปนี้ พิกัด xเป็นดัชนีต่อเนื่อง| x ⟩เรียกว่าเวกเตอร์ที่ไม่เหมาะสมซึ่งแตกต่างจากเวกเตอร์ที่เหมาะสมที่สามารถทำให้เป็นมาตรฐานได้เท่ากับหนึ่ง โดยสามารถทำให้เป็นมาตรฐานได้เฉพาะกับฟังก์ชันเดลต้าของ Dirac เท่านั้น^{[ nb 3 ] [ nb 4 ] [ 30 ]} ดังนั้น และ ซึ่งทำให้เห็นตัวดำเนินการเอกลักษณ์ซึ่งคล้ายคลึงกับความสัมพันธ์ความสมบูรณ์ของฐานออร์โทนอร์มอลในปริภูมิฮิลเบิร์ต N มิติ $${\displaystyle \langle x'|x\rangle =\delta (x'-x)}$$$${\displaystyle \langle x'|\Psi \rangle =\int \Psi (x)\langle x'|x\rangle dx=\Psi (x')}$$$${\displaystyle |\Psi \rangle =\int |x\rangle \langle x|\Psi \rangle dx=\left(\int |x\rangle \langle x|dx\right)|\Psi \rangle }$$$${\displaystyle I=\int |x\rangle \langle x|dx\,.}$$

การค้นหาตัวดำเนินการเอกลักษณ์ในฐานช่วยให้สามารถแสดงสถานะนามธรรมได้อย่างชัดเจนในฐาน และอื่นๆ อีกมากมาย (ผลคูณภายในระหว่างเวกเตอร์สถานะสองตัว และตัวดำเนินการอื่นๆ สำหรับตัวแปรที่สังเกตได้ สามารถแสดงในฐานได้)

อนุภาคยังมีฟังก์ชันคลื่นในปริภูมิโมเมนตัมด้วย โดยที่pคือโมเมนตัมในมิติเดียว ซึ่งสามารถมีค่าใดก็ได้ตั้งแต่−∞ถึง+∞และtคือเวลา $${\displaystyle \Phi (p,t)}$$

ในทำนองเดียวกันกับกรณีตำแหน่ง ผลคูณภายในของฟังก์ชันคลื่นสองฟังก์ชันΦ ₁ ( p , t )และΦ ₂ ( p , t )สามารถกำหนดได้ดังนี้: $${\displaystyle (\Phi _{1},\Phi _{2})=\int _{-\infty }^{\infty }\,\Phi _{1}^{*}(p,t)\Phi _{2}(p,t)dp\,.}$$

หนึ่งในวิธีแก้ปัญหาเฉพาะของสมการชโรดิงเกอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลาคือ คลื่นระนาบซึ่งสามารถใช้ในการอธิบายอนุภาคที่มีโมเมนตัมเท่ากับp ได้ เนื่องจากเป็นฟังก์ชันเฉพาะของตัวดำเนินการโมเมนตัมฟังก์ชันเหล่านี้ไม่สามารถทำให้เป็นมาตรฐานเท่ากับหนึ่งได้ (ไม่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้) ดังนั้นจึงไม่ใช่ส่วนประกอบของปริภูมิฮิลเบิร์ตทางกายภาพอย่างแท้จริง เซตนี้ ประกอบขึ้นเป็นสิ่งที่เรียกว่าฐานโมเมนตัม "ฐาน" นี้ไม่ใช่ฐานในความหมายทางคณิตศาสตร์ทั่วไป ประการหนึ่ง เนื่องจากฟังก์ชันเหล่านี้ไม่สามารถทำให้เป็นมาตรฐานได้ จึงถูกทำให้เป็นมาตรฐานด้วยฟังก์ชันเดลต้าแทน [ ^{หมายเหตุ 4 ]}$${\displaystyle \Psi _{p}(x)=e^{ipx/\hbar },}$$$${\displaystyle \{\Psi _{p}(x,t),-\infty \leq p\leq \infty \}}$$$${\displaystyle (\Psi _{p},\Psi _{p'})=\delta (pp').}$$

นอกจากนี้ แม้ว่าพวกมันจะเป็นอิสระเชิงเส้น แต่ก็มีจำนวนมากเกินไป (พวกมันก่อตัวเป็นเซตที่นับไม่ได้) ที่จะใช้เป็นฐานสำหรับปริภูมิฮิลเบิร์ตทางกายภาพ พวกมันยังคงสามารถใช้เพื่อแสดงฟังก์ชันทั้งหมดในปริภูมินั้นได้โดยใช้การแปลงฟูริเยร์ ดังที่จะอธิบายต่อไป

การแสดงผล แบบxและpคือ $${\displaystyle {\begin{aligned}|\Psi \rangle =I|\Psi \rangle &=\int |x\rangle \langle x|\Psi \rangle dx=\int \Psi (x)|x\rangle dx,\\|\Psi \rangle =I|\Psi \rangle &=\int |p\rangle \langle p|\Psi \rangle dp=\int \Phi (p)|p\rangle dp.\end{aligned}}}$$

ทีนี้ ให้ทำการฉายภาพของสถานะΨไปยังฟังก์ชันเฉพาะของโมเมนตัมโดยใช้สูตรสุดท้ายในสองสมการ $${\displaystyle \int \Psi (x)\langle p|x\rangle dx=\int \Phi (p')\langle p|p'\rangle dp'=\int \Phi (p')\delta (pp')dp'=\Phi (p)}$$

จากนั้น เมื่อใช้สูตรที่ทราบสำหรับสถานะเฉพาะของโมเมนตัมที่ได้รับการปรับให้เป็นมาตรฐานอย่างเหมาะสมในคำตอบการแสดงตำแหน่งของสมการชโรดิงเกอร์อิสระ จะได้ $${\displaystyle \langle x|p\rangle =p(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}e^{{\frac {i}{\hbar }}px}\Rightarrow \langle p|x\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}e^{-{\frac {i}{\hbar }}px},}$$$${\displaystyle \Phi (p)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \Psi (x)e^{-{\frac {i}{\hbar }}px}dx\,.}$$

ในทำนองเดียวกัน การใช้ฟังก์ชันเฉพาะของตำแหน่ง $${\displaystyle \Psi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \Phi (p)e^{{\frac {i}{\hbar }}px}dp\,.}$$

ฟังก์ชันคลื่นในปริภูมิตำแหน่งและปริภูมิโมเมนตัมจึงพบว่าเป็นการแปลงฟูริเยร์ซึ่งกันและกัน^{[ 31 ]}พวกมันเป็นสองตัวแทนของสถานะเดียวกัน ซึ่งมีข้อมูลเดียวกัน และตัวใดตัวหนึ่งก็เพียงพอที่จะคำนวณคุณสมบัติใดๆ ของอนุภาคได้

ในทางปฏิบัติ ฟังก์ชันคลื่นในปริภูมิตำแหน่งถูกใช้บ่อยกว่าฟังก์ชันคลื่นในปริภูมิโมเมนตัมมาก ศักยภาพที่ปรากฏในสมการที่เกี่ยวข้อง (Schrödinger, Dirac เป็นต้น) จะกำหนดว่าการอธิบายในฐานใดง่ายที่สุด สำหรับตัวสั่นฮาร์มอนิก x และ p ปรากฏแบบสมมาตร ดังนั้นจึงไม่สำคัญว่าเราจะใช้การอธิบายแบบใด สมการเดียวกัน (โดยไม่รวมค่าคงที่) จะเกิดขึ้น จากนั้น เมื่อคิดทบทวนอีกเล็กน้อย จะได้ว่าคำตอบของสมการคลื่นของตัวสั่นฮาร์มอนิกคือฟังก์ชันเฉพาะของการแปลงฟูริเยร์ในL 2 ^{[ nb 5 ]}

ต่อไปนี้คือรูปแบบทั่วไปของฟังก์ชันคลื่นสำหรับระบบในมิติที่สูงกว่าและมีอนุภาคมากกว่า รวมถึงระบบที่มีระดับความเป็นอิสระอื่นๆ นอกเหนือจากพิกัดตำแหน่งหรือส่วนประกอบของโมเมนตัม

แม้ว่าปริภูมิฮิลเบิร์ต เดิมจะหมายถึง ปริภูมิผลคูณภายในที่สมบูรณ์แบบ ที่มีมิติอนันต์แต่โดยนิยามแล้ว ปริภูมิเหล่านี้ยัง รวมถึง ปริภูมิผลคูณภายในที่สมบูรณ์แบบ ที่มีมิติจำกัดด้วย ^{[ 32 ]} ในทางฟิสิกส์ มักจะเรียกปริภูมิเหล่านี้ว่า ปริภูมิฮิลเบิ ร์ตที่มีมิติจำกัด^{[ 33 ]}สำหรับปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีมิติจำกัดทุกปริภูมิ จะมี เกต ฐานตั้งฉากซึ่งครอบคลุมปริภูมิฮิลเบิร์ตทั้งหมด

ถ้า เซต Nมิติเป็นเซตตั้งฉากปกติ ตัวดำเนินการฉายภาพสำหรับปริภูมิที่เกิดจากสถานะเหล่านี้จะกำหนดโดย: ${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$

$${\displaystyle P=\sum _{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|=I}$$โดยการฉายภาพนั้นเทียบเท่ากับตัวดำเนินการเอกลักษณ์ เนื่องจากครอบคลุมปริภูมิฮิลเบิร์ตทั้งหมด จึงทำให้เวกเตอร์ใดๆ จากปริภูมิฮิลเบิร์ตไม่เปลี่ยนแปลง นี่เรียกอีกอย่างว่าความสัมพันธ์ความสมบูรณ์ของปริภูมิฮิลเบิร์ตมิติจำกัด ${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$

ฟังก์ชันคลื่นจะกำหนดโดย:

$${\displaystyle |\psi \rangle =I|\psi \rangle =\sum _{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|\psi \rangle }$$โดยที่เป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อนที่สามารถใช้สร้างฟังก์ชันคลื่นโดยใช้สูตรข้างต้นได้ ${\textstyle \{\langle \phi _{i}|\psi \rangle \}}$

ถ้าเซตเป็น eigenkets ของobservable ที่ไม่ เสื่อมสภาพซึ่งมีค่า eigenvalue ตามหลักการของกลศาสตร์ควอนตัมความน่าจะเป็นของการวัด observable ให้เป็น จะได้รับตามกฎของ Bornดังนี้: ^{[ 34 ]}${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$${\textstyle \lambda _{i}}$${\textstyle \lambda _{i}}$

$${\displaystyle P_{\psi }(\lambda _{i})=|\langle \phi _{i}|\psi \rangle |^{2}}$$

สำหรับค่าที่ไม่เสื่อมสภาพของตัวแปรที่สังเกตได้บางตัว หากค่าลักษณะเฉพาะมีเซตย่อยของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่ติดป้ายกำกับเป็นตามหลักการพื้นฐานของกลศาสตร์ควอนตัมความน่าจะเป็นของการวัดตัวแปรที่สังเกตได้ว่าเป็น จะกำหนดโดย: ${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$${\textstyle \lambda }$${\textstyle \{|\แลมบ์ดา ^{(j)}\rangle \}}$${\textstyle \lambda }$

$${\displaystyle P_{\psi }(\lambda )=\sum _{j}|\langle \lambda ^{(j)}|\psi \rangle |^{2}=|{\widehat {P}__{\lambda }|\psi \rangle |^{2}}$$โดยที่เป็นตัวดำเนินการฉายภาพของสถานะไปยังปริภูมิย่อยที่เกิดจากความเท่าเทียมกันนี้เกิดขึ้นเนื่องจากคุณสมบัติเชิงตั้งฉากของ ${\textstyle {\widehat {P}__{\lambda }=\sum _{j}|\lambda ^{(j)}\rangle \langle \lambda ^{(j)}|}$${\textstyle \{|\แลมบ์ดา ^{(j)}\rangle \}}$${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$

ดังนั้นค่าที่ระบุสถานะของระบบกลศาสตร์ควอนตัม จึงมีขนาดซึ่งกำลังสองของค่าดังกล่าวจะให้ความน่าจะเป็นในการวัดสถานะ นั้นๆ${\textstyle \{\langle \phi _{i}|\psi \rangle \}}$${\textstyle |\phi _{i}\rangle }$

ในขณะที่เฟสสัมพัทธ์มีผลที่สังเกตได้ในการทดลอง แต่เฟสโดยรวมของระบบนั้นไม่สามารถแยกแยะได้จากการทดลอง ตัวอย่างเช่น ในอนุภาคที่อยู่ในสถานะซ้อนทับกันสองสถานะ เฟสโดยรวมของอนุภาคไม่สามารถแยกแยะได้โดยการหาค่าเฉลี่ยของสิ่งที่สังเกตได้หรือความน่าจะเป็นของการสังเกตสถานะต่างๆ แต่เฟสสัมพัทธ์สามารถส่งผลต่อค่าเฉลี่ยของสิ่งที่สังเกตได้

แม้ว่าเฟสโดยรวมของระบบจะถือว่าไม่แน่นอน แต่เฟสสัมพัทธ์สำหรับแต่ละสถานะของสถานะที่เตรียมไว้ในสภาวะซ้อนทับนั้นสามารถกำหนดได้โดยอาศัยความหมายทางกายภาพของสถานะที่เตรียมไว้และความสมมาตรของมัน ตัวอย่างเช่น การสร้างสถานะสปินตามทิศทาง x เป็นการซ้อนทับของสถานะสปินตามทิศทาง z สามารถทำได้โดยการใช้การแปลงการหมุนที่เหมาะสมกับสถานะสปินตามทิศทาง z ซึ่งจะให้เฟสที่เหมาะสมของสถานะต่างๆ สัมพันธ์กัน ${\textstyle |\phi _{i}\rangle }$

ตัวอย่างของปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีมิติจำกัด สามารถสร้างขึ้นได้โดยใช้ไอเกนเกตสปินของอนุภาคสปิน n ซึ่งก่อให้เกิดปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีมิติ n อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันคลื่นทั่วไปของอนุภาคที่อธิบายสถานะของมันได้อย่างสมบูรณ์นั้น มาจากปริภูมิฮิลเบิร์ต ที่มีมิติอนันต์เสมอ เนื่องจากเกี่ยวข้องกับผลคูณเทนเซอร์กับปริภูมิฮิลเบิร์ตที่สัมพันธ์กับตำแหน่งหรือโมเมนตัมของอนุภาค ถึงกระนั้น เทคนิคที่พัฒนาขึ้นสำหรับปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีมิติจำกัดก็มีประโยชน์ เนื่องจากสามารถนำมาพิจารณาแยกกัน หรือพิจารณาร่วมกับความเป็นเชิงเส้นของผลคูณเทนเซอร์ได้ ${\textstyle s}$${\textstyle 2s+1}$

เนื่องจากตัวดำเนินการสปินสำหรับอนุภาคสปินที่กำหนดสามารถแสดงได้ในรูปเมทริกซ์ จำกัด ซึ่งกระทำกับส่วนประกอบเวกเตอร์สปินที่เป็นอิสระ จึงมักนิยมใช้สัญลักษณ์เมทริกซ์/คอลัมน์/แถวในการแสดงส่วนประกอบสปินตามความเหมาะสม ${\textstyle s}$${\textstyle (2s+1)^{2}}$${\textstyle 2s+1}$

ตัวอย่างเช่น แต่ละ| s _z ⟩มักถูกระบุว่าเป็นเวกเตอร์คอลัมน์:$${\displaystyle |s\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}\,,\quad |s-1\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}\,,\ldots \,,\quad |-(s-1)\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\1\\0\\\end{bmatrix}}\,,\quad |-s\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\\1\\\end{bmatrix}}}$$

แต่เป็นการใช้สัญลักษณ์ที่ผิดพลาดที่พบได้บ่อย เนื่องจากสัญลักษณ์| s _z ⟩ไม่ได้มีความหมายเหมือนกันหรือเท่ากับเวกเตอร์คอลัมน์ เวกเตอร์คอลัมน์เป็นเพียงวิธีที่สะดวกในการแสดงส่วนประกอบของสปินเท่านั้น

ตามสัญลักษณ์ดังกล่าว ตัวดำเนินการสปินองค์ประกอบ z สามารถเขียนได้ดังนี้:$${\displaystyle {\frac {1}{\hbar }}{\hat {S}}_{z}={\begin{bmatrix}s&0&\cdots &0&0\\0&s-1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &-(s-1)&0\\0&0&\cdots &0&-s\end{bmatrix}}}$$

เนื่องจากเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการสปินองค์ประกอบ z คือเวกเตอร์คอลัมน์ข้างต้น โดยที่ค่าลักษณะเฉพาะคือเลขควอนตัมสปินที่สอดคล้องกัน

ตามสัญลักษณ์ดังกล่าว เวกเตอร์จากปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีมิติจำกัดจึงถูกแสดงดังนี้:

$${\displaystyle |\phi \rangle ={\begin{bmatrix}\langle s|\phi \rangle \\\langle s-1|\phi \rangle \\\vdots \\\langle -(s-1)|\phi \rangle \\\langle -s|\phi \rangle \\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{s}\\\varepsilon _{s-1}\\\vdots \\\varepsilon _{-s+1}\\\varepsilon _{-s}\\\end{bmatrix}}}$$โดยที่คือจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกัน ${\textstyle \{\varepsilon _{i}\}}$

ในการอภิปรายต่อไปนี้เกี่ยวกับสปิน ฟังก์ชันคลื่นที่สมบูรณ์จะถูกพิจารณาว่าเป็นผลคูณเทนเซอร์ของสถานะสปินจากปริภูมิฮิลเบิร์ตมิติจำกัดและฟังก์ชันคลื่นที่พัฒนาขึ้นก่อนหน้านี้ ฐานสำหรับปริภูมิฮิลเบิร์ตนี้จึงถูกพิจารณาดังนี้: ${\displaystyle |\mathbf {r} ,s_{z}\rangle =|\mathbf {r} \rangle |s_{z}\rangle }$

ฟังก์ชันคลื่นในปริภูมิตำแหน่งของอนุภาคเดี่ยวที่ไม่มีสปินในสามมิติเชิงพื้นที่นั้นคล้ายคลึงกับกรณีในมิติเชิงพื้นที่เดียวข้างต้นโดยที่rคือเวกเตอร์ตำแหน่งในปริภูมิสามมิติ และtคือเวลา เช่นเคยΨ( r , t )เป็นฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนของตัวแปรจริง ในรูปเวกเตอร์เดียวในสัญกรณ์ของ Dirac$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$$$${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\int d^{3}\!\mathbf {r} \,\Psi (\mathbf {r} ,t)\,|\mathbf {r} \rangle }$$

ข้อสังเกตทั้งหมดที่กล่าวมาข้างต้นเกี่ยวกับผลคูณภายใน ฟังก์ชันคลื่นในปริภูมิโมเมนตัม การแปลงฟูริเยร์ และอื่นๆ นั้น สามารถขยายไปสู่มิติที่สูงกว่าได้

สำหรับอนุภาคที่มีสปินโดยไม่คำนึงถึงองศาอิสระของตำแหน่ง ฟังก์ชันคลื่นจะเป็นฟังก์ชันของสปินเท่านั้น (เวลาเป็นพารามิเตอร์) โดยที่s _zคือเลขควอนตัมการฉายสปินตาม แกน z ( แกน zเป็นแกนที่เลือกได้ตามอำเภอใจ สามารถใช้แกนอื่นแทนได้หากฟังก์ชันคลื่นถูกแปลงอย่างเหมาะสม ดูด้านล่าง) พารามิเตอร์ s _zต่างจากrและt ตรง ที่เป็นตัวแปรแบบไม่ต่อเนื่องตัวอย่างเช่น สำหรับอนุภาคสปิน 1/2 s _zสามารถเป็นได้เพียง+1/2หรือ−1/2 เท่านั้น และไม่ใช่ค่าอื่นใด (โดยทั่วไป สำหรับสปินs s _zสามารถเป็นs , s − 1, ..., − s + 1, − s ) การแทนค่าเลขควอนตัมแต่ละตัวจะให้ฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนของพื้นที่และเวลา ซึ่งมีทั้งหมด2 s + 1ตัว สามารถจัดเรียงเป็นเวกเตอร์คอลัมน์ ได้$${\displaystyle \xi (s_{z},t)}$$

$${\displaystyle \xi ={\begin{bmatrix}\xi (s,t)\\\xi (s-1,t)\\\vdots \\\xi (-(s-1),t)\\\xi (-s,t)\\\end{bmatrix}}=\xi (s,t){\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}+\xi (s-1,t){\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}+\cdots +\xi (-(s-1),t){\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\1\\0\\\end{bmatrix}}+\xi (-s,t){\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\\1\\\end{bmatrix}}}$$

ในสัญลักษณ์ bra–ketนั้น สามารถจัดเรียงเป็นส่วนประกอบของเวกเตอร์ได้อย่างง่ายดาย: $${\displaystyle |\xi (t)\rangle =\sum _{s_{z}=-s}^{s}\xi (s_{z},t)\,|s_{z}\rangle }$$

เวกเตอร์ξ ทั้งหมด เป็นคำตอบของสมการชโรดิงเกอร์ (โดยใช้แฮมิลโทเนียนที่เหมาะสม) ซึ่งคลี่ออกเป็นระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ แบบคู่กัน 2s + 1 สมการ โดยมีคำตอบคือ ξ ( s , t ), ξ ( s − 1, t ), ... , ξ (−s , t )บางผู้เขียนใช้คำว่า "ฟังก์ชันสปิน" แทนคำว่า "ฟังก์ชันคลื่น" ซึ่งแตกต่างจากคำตอบของฟังก์ชันคลื่นในปริภูมิตำแหน่ง เนื่องจากพิกัดตำแหน่งเป็นตัวแปรอิสระต่อเนื่อง ดังนั้นสมการชโรดิงเกอร์จึงอยู่ในรูปแบบของสมการคลื่น

โดยทั่วไปแล้ว สำหรับอนุภาคใน 3 มิติที่มีสปินใดๆ ฟังก์ชันคลื่นสามารถเขียนได้ใน "ปริภูมิตำแหน่ง-สปิน" ดังนี้: และสิ่งเหล่านี้ยังสามารถจัดเรียงเป็นเวกเตอร์คอลัมน์ได้ โดยที่การพึ่งพาสปินจะถูกวางไว้ในการกำหนดดัชนีของรายการ และฟังก์ชันคลื่นเป็นฟังก์ชันเวกเตอร์เชิงซ้อนที่มีค่าขึ้นอยู่กับปริภูมิและเวลาเท่านั้น $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)}$$$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{bmatrix}\Psi (\mathbf {r} ,s,t)\\\Psi (\mathbf {r} ,s-1,t)\\\vdots \\\Psi (\mathbf {r} ,-(s-1),t)\\\Psi (\mathbf {r} ,-s,t)\\\end{bmatrix}}}$$

ค่าทั้งหมดของฟังก์ชันคลื่น ไม่เพียงแต่สำหรับตัวแปรแบบไม่ต่อเนื่องเท่านั้น แต่ รวมถึง ตัวแปรแบบต่อเนื่องด้วยจะถูกรวบรวมไว้ในเวกเตอร์เดียว $${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{s_{z}}\int d^{3}\!\mathbf {r} \,\Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)\,|\mathbf {r} ,s_{z}\rangle }$$

สำหรับอนุภาคเดี่ยวผลคูณเทนเซอร์⊗ของเวกเตอร์สถานะตำแหน่ง| ψ ⟩และเวกเตอร์สถานะสปิน| ξ ⟩จะให้เวกเตอร์สถานะตำแหน่ง-สปินแบบผสม ที่มีการระบุตัวตนดังนี้ $${\displaystyle |\psi (t)\rangle \!\otimes \!|\xi (t)\rangle =\sum _{s_{z}}\int d^{3}\!\mathbf {r} \,\psi (\mathbf {r} ,t)\,\xi (s_{z},t)\,|\mathbf {r} \rangle \!\otimes \!|s_{z}\rangle }$$$${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =|\psi (t)\rangle \!\otimes \!|\xi (t)\rangle }$$$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)=\psi (\mathbf {r} ,t)\,\xi (s_{z},t)}$$$${\displaystyle |\mathbf {r} ,s_{z}\rangle =|\mathbf {r} \rangle \!\otimes \!|s_{z}\rangle }$$

การแยกตัวประกอบผลคูณเทนเซอร์ของสถานะพลังงานเป็นไปได้เสมอหากโมเมนตัมเชิงมุมวงโคจรและสปินของอนุภาคสามารถแยกออกจากกันได้ในตัวดำเนินการแฮมิลโทเนียนที่อยู่เบื้องหลังพลวัตของระบบ (กล่าวอีกนัยหนึ่ง แฮมิลโทเนียนสามารถแยกออกเป็นผลรวมของเทอมวงโคจรและสปินได้^{[ 35 ]} ) การพึ่งพาเวลาสามารถวางไว้ในปัจจัยใดปัจจัยหนึ่งได้ และวิวัฒนาการของเวลาของแต่ละปัจจัยสามารถศึกษาแยกกันได้ ภายใต้แฮมิลโทเนียนดังกล่าว สถานะผลคูณเทนเซอร์ใดๆ จะวิวัฒนาการไปเป็นสถานะผลคูณเทนเซอร์อื่น ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วหมายความว่าสถานะที่ไม่พันกันใดๆ จะยังคงไม่พันกันภายใต้วิวัฒนาการของเวลา กล่าวกันว่าสิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อไม่มีปฏิสัมพันธ์ทางกายภาพระหว่างสถานะของผลคูณเทนเซอร์ ในกรณีของแฮมิลโทเนียนที่ไม่สามารถแยกออกจากกันได้ สถานะพลังงานจะกล่าวได้ว่าเป็นผลรวมเชิงเส้นของสถานะดังกล่าว ซึ่งไม่จำเป็นต้องแยกตัวประกอบได้ ตัวอย่างเช่น อนุภาคในสนามแม่เหล็กและการ เชื่อมโยงสปิน-วงโคจร

การอภิปรายข้างต้นไม่ได้จำกัดเฉพาะการหมุนเป็นตัวแปรแบบไม่ต่อเนื่องเท่านั้นโมเมนตัมเชิงมุม รวม Jก็อาจถูกนำมาใช้ได้เช่นกัน^{[ 36 ]}ระดับอิสระแบบไม่ต่อเนื่องอื่นๆ เช่นไอโซสปินสามารถแสดงในลักษณะเดียวกันกับกรณีของการหมุนข้างต้นได้

โดยทั่วไปแล้ว หากมีอนุภาคจำนวนมาก จะมีเพียงฟังก์ชันคลื่นเดียว ไม่ใช่ฟังก์ชันคลื่นแยกต่างหากสำหรับแต่ละอนุภาค ข้อเท็จจริงที่ว่า ฟังก์ชันคลื่น เดียวสามารถอธิบาย อนุภาค จำนวนมากได้นั้นเองที่ทำให้การพัวพันควอนตัมและปรากฏการณ์ EPRเป็นไปได้ ฟังก์ชันคลื่นตำแหน่ง-ปริภูมิสำหรับ อนุภาค Nตัว เขียนได้ดังนี้: ^{[ 20 ]} โดยที่r _iคือตำแหน่งของ อนุภาคที่ iในปริภูมิสามมิติ และtคือเวลา โดยรวมแล้ว นี่คือฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนของตัวแปรจริง 3 N + 1 ตัว$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N},t)}$$

ในกลศาสตร์ควอนตัม มีความแตกต่างพื้นฐานระหว่างอนุภาคที่เหมือนกันและ อนุภาค ที่แยกแยะได้ตัวอย่างเช่น อิเล็กตรอนสองตัวใดๆ ก็เหมือนกันและไม่สามารถแยกแยะออกจากกันได้โดยพื้นฐาน กฎของฟิสิกส์ทำให้เป็นไปไม่ได้ที่จะ "ประทับหมายเลขประจำตัว" บนอิเล็กตรอนตัวใดตัวหนึ่งเพื่อติดตามมัน^{[ 31 ]}สิ่งนี้แปลเป็นข้อกำหนดเกี่ยวกับฟังก์ชันคลื่นสำหรับระบบของอนุภาคที่เหมือนกัน: โดยที่ เครื่องหมาย +ปรากฏขึ้นหากอนุภาคทั้งหมดเป็นโบซอนและ เครื่องหมาย −หากอนุภาคทั้งหมดเป็นเฟอร์มิออน กล่าว อีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันคลื่นจะสมมาตรโดยสมบูรณ์ในตำแหน่งของโบซอน หรือไม่สมมาตรโดยสมบูรณ์ในตำแหน่งของเฟอร์มิออน^{[ 37 ]}การสลับอนุภาคทางกายภาพสอดคล้องกับการสลับอาร์กิวเมนต์ทางคณิตศาสตร์ในฟังก์ชันคลื่น คุณลักษณะความไม่สมมาตรของฟังก์ชันคลื่นเฟอร์มิออนนำไปสู่หลักการของเปาลีโดยทั่วไป ข้อกำหนดสมมาตรของโบซอนและเฟอร์มิออนเป็นการแสดงออกของสถิติอนุภาคและมีอยู่ในรูปแบบสถานะควอนตัมอื่นๆ $${\displaystyle \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{a},\ldots ,\mathbf {r} _{b},\ldots \right)=\pm \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{b},\ldots ,\mathbf {r} _{a},\ldots \right)}$$

สำหรับ อนุภาค ที่แยกแยะได้N อนุภาค (ไม่มีสองอนุภาคใดที่เหมือนกัน กล่าวคือ ไม่มีสองอนุภาคใดที่มีชุดเลขควอนตัมเดียวกัน) ไม่มีข้อกำหนดว่าฟังก์ชันคลื่นจะต้องสมมาตรหรือปฏิสมมาตร

สำหรับกลุ่มอนุภาค ซึ่งบางอนุภาคเหมือนกันโดยมีพิกัดr ₁ , r ₂ , ...และบางอนุภาคแตกต่างกันโดยมี พิกัด x ₁ , x ₂ , ... (ไม่เหมือนกัน และไม่เหมือนกับอนุภาคที่เหมือนกันที่กล่าวมาข้างต้น) ฟังก์ชันคลื่นจะเป็นสมมาตรหรือปฏิสมมาตรเฉพาะในพิกัดของอนุภาคที่เหมือนกันr _iเท่านั้น: $${\displaystyle \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{a},\ldots ,\mathbf {r} _{b},\ldots ,\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots \right)=\pm \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{b},\ldots ,\mathbf {r} _{a},\ldots ,\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots \right)}$$

เช่นเดียวกัน ไม่มีข้อกำหนดเรื่องความสมมาตรสำหรับพิกัดอนุภาคที่แยกแยะได้ x _i

ฟังก์ชันคลื่นสำหรับ อนุภาค Nตัว ซึ่งแต่ละตัวมีสปิน คือฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1},s_{z\,2}\cdots s_{z\,N},t)}$$

เมื่อนำส่วนประกอบทั้งหมดเหล่านี้มารวมกันเป็นเวกเตอร์เดียว

$${\displaystyle |\Psi \rangle =\overbrace {\sum _{s_{z\,1},\ldots ,s_{z\,N}}} ^{\text{discrete labels}}\overbrace {\int _{R_{N}}d^{3}\mathbf {r} _{N}\cdots \int _{R_{1}}d^{3}\mathbf {r} _{1}} ^{\text{continuous labels}}\;\underbrace {{\Psi }(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N},s_{z\,1},\ldots ,s_{z\,N})} _{\begin{array}{c}{\text{wave function (component of }}\\{\text{ state vector along basis state)}}\end{array}}\;\underbrace {|\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N},s_{z\,1},\ldots ,s_{z\,N}\rangle } _{\text{basis state (basis ket)}}\,.}$$

สำหรับอนุภาคที่เหมือนกัน ข้อกำหนดด้านสมมาตรจะใช้ได้กับทั้งตำแหน่งและการหมุนของฟังก์ชันคลื่น ดังนั้นจึงมีสมมาตรที่ถูกต้องโดยรวม

สูตรสำหรับผลคูณภายในคือปริพันธ์เหนือพิกัดหรือโมเมนตัมทั้งหมด และผลรวมเหนือเลขควอนตัมสปินทั้งหมด สำหรับกรณีทั่วไปของ อนุภาค N _ตัวที่มีสปินใน 3 มิติ นี่คือปริพันธ์ปริมาตรสามมิติ ทั้งหมด N ตัว และผลรวมเหนือสปิน N ตัว องค์ประกอบปริมาตรเชิงอนุพันธ์d³rᵢ ยังเขียนได้อีกแบบว่า^" dVᵢ _"หรือ_{" dxᵢ} dyᵢ _dzᵢ "$${\displaystyle (\Psi _{1},\Psi _{2})=\sum _{s_{z\,N}}\cdots \sum _{s_{z\,2}}\sum _{s_{z\,1}}\int \limits _{\mathrm {all\,space} }d^{3}\mathbf {r} _{1}\int \limits _{\mathrm {all\,space} }d^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int \limits _{\mathrm {all\,space} }d^{3}\mathbf {r} _{N}\Psi _{1}^{*}\left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)\Psi _{2}\left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)}$$

การแปลงฟูริเยร์แบบหลายมิติของฟังก์ชันคลื่นในปริภูมิตำแหน่งหรือปริภูมิตำแหน่ง-สปิน จะได้ฟังก์ชันคลื่นในปริภูมิโมเมนตัมหรือปริภูมิโมเมนตัม-สปิน

สำหรับกรณีทั่วไปของ อนุภาค Nที่มีสปินใน 3 มิติ หากตีความ Ψ ว่าเป็นแอมพลิจูดความน่าจะเป็น ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นจะเป็นดังนี้$${\displaystyle \rho \left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)=\left|\Psi \left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)\right|^{2}}$$

และความน่าจะเป็นที่อนุภาคที่ 1 อยู่ในบริเวณR ₁ที่มีสปินs _{z 1} = m ₁และอนุภาคที่ 2 อยู่ในบริเวณR ₂ที่มีสปินs _{z 2} = m ₂เป็นต้น ณ เวลาtคือปริพันธ์ของความหนาแน่นความน่าจะเป็นเหนือบริเวณเหล่านี้และประเมินค่าที่หมายเลขสปินเหล่านี้:

${\displaystyle P_{\mathbf {r} _{1}\in R_{1},s_{z\,1}=m_{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N}\in R_{N},s_{z\,N}=m_{N}}(t)=\int _{R_{1}}d^{3}\mathbf {r} _{1}\int _{R_{2}}d^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int _{R_{N}}d^{3}\mathbf {r} _{N}\left|\Psi \left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},m_{1}\cdots m_{N},t\right)\right|^{2}}$

ในกลศาสตร์ควอนตัมที่ไม่เกี่ยวข้องกับสัมพัทธภาพ สามารถแสดงได้โดยใช้สมการคลื่นที่ขึ้นอยู่กับเวลาของชโรดิงเกอร์ว่าสมการ:

$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0}$$เป็นไปตามเงื่อนไข โดยที่คือความหนาแน่นของความน่าจะเป็น และคือฟลักซ์ความน่าจะเป็นตามรูปแบบสมการความต่อเนื่องของสมการข้างต้น ${\textstyle \rho (\mathbf {x} ,t)=|\psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}}$${\textstyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\hbar }{2im}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})={\frac {\hbar }{m}}{\text{Im}}(\psi ^{*}\nabla \psi )}$

โดยใช้สูตรต่อไปนี้สำหรับฟังก์ชันคลื่น: โดยที่คือความหนาแน่นของความน่าจะเป็น และคือเฟสของฟังก์ชันคลื่น จะสามารถแสดงได้ว่า: $${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)={\sqrt {\rho (\mathbf {x} ,t)}}\exp {\frac {iS(\mathbf {x} ,t)}{\hbar }}}$$${\textstyle \rho (\mathbf {x} ,t)=|\psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}}$${\textstyle S(\mathbf {x} ,t)}$

$${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\rho \nabla S}{m}}}$$

ดังนั้น การเปลี่ยนแปลงเชิงพื้นที่ของเฟสจึงเป็นลักษณะเฉพาะของฟลักซ์ความน่าจะเป็น

ในเชิงเปรียบเทียบแบบคลาสสิก สำหรับปริมาณนี้เทียบได้กับความเร็ว โปรดทราบว่านี่ไม่ได้หมายความถึงการตีความตามตัวอักษรของว่าเป็นความเร็ว เนื่องจากความเร็วและตำแหน่งไม่สามารถกำหนดได้พร้อมกันตามหลักการความไม่แน่นอนเมื่อแทนรูปแบบของฟังก์ชันคลื่นลงในสมการคลื่นแบบขึ้นอยู่กับเวลาของชโรดิงเกอร์ และพิจารณาขีดจำกัดแบบคลาสสิก จะได้ว่า: ${\textstyle \mathbf {J} =\rho \mathbf {v} }$${\textstyle {\frac {\nabla S}{m}}}$${\textstyle {\frac {\nabla S}{m}}}$${\textstyle \hbar |\nabla ^{2}S|\ll |\nabla S|^{2}}$

$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}|\nabla S(\mathbf {x} ,t)|^{2}+V(\mathbf {x} )+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}$$

ซึ่งคล้ายคลึงกับสมการ Hamilton-Jacobi จาก กลศาสตร์คลาสสิก การตีความนี้สอดคล้องกับทฤษฎี Hamilton–Jacobiซึ่งSคือฟังก์ชันหลักของ Hamilton ^{[ 38 ]}${\textstyle \mathbf {P} _{\text{class.}}=\nabla S}$

สำหรับระบบที่มีศักยภาพไม่ขึ้นกับเวลา ฟังก์ชันคลื่นสามารถเขียนได้เสมอในรูปฟังก์ชันของจำนวนองศาอิสระคูณด้วยตัวประกอบเฟสที่ขึ้นกับเวลา ซึ่งมีรูปแบบที่กำหนดโดยสมการชโรดิงเกอร์ สำหรับ อนุภาค Nตัว โดยพิจารณาเฉพาะตำแหน่งของอนุภาคและตัดองศาอิสระอื่นๆ ออกไป โดยที่Eคือค่าพลังงานเฉพาะของระบบที่สอดคล้องกับสถานะเฉพาะΨฟังก์ชันคลื่นในรูปแบบนี้เรียกว่าสถานะคงที่ $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)=e^{-iEt/\hbar }\,\psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N})\,,}$$

การพึ่งพาเวลาของสถานะควอนตัมและตัวดำเนินการสามารถวางได้ตามการแปลงเอกภาพบนตัวดำเนินการและสถานะ สำหรับสถานะควอนตัมใดๆ|Ψ⟩และตัวดำเนินการOในภาพชโรดิงเกอร์|Ψ( t )⟩เปลี่ยนแปลงตามเวลาตามสมการชโรดิงเกอร์ ในขณะที่Oคงที่ ในภาพไฮเซนเบิร์กจะเป็นไปในทางตรงกันข้าม|Ψ⟩คงที่ ในขณะที่O ( t )เปลี่ยนแปลงตามเวลาตามสมการการเคลื่อนที่ของไฮเซนเบิร์ก ภาพดิแรก (หรือปฏิสัมพันธ์) เป็นแบบกลาง การพึ่งพาเวลาจะอยู่ในทั้งตัวดำเนินการและสถานะซึ่งเปลี่ยนแปลงไปตามสมการการเคลื่อนที่ มีประโยชน์หลักในการคำนวณองค์ประกอบเมทริกซ์ S ^{[ 39 ]}

ต่อไปนี้คือคำตอบของสมการชโรดิงเกอร์สำหรับอนุภาคไร้สปินที่ไม่เป็นไปตามทฤษฎีสัมพัทธภาพหนึ่งอนุภาค

หนึ่งในคุณสมบัติที่โดดเด่นที่สุดของกลศาสตร์คลื่นคือความเป็นไปได้ที่อนุภาคจะไปถึงตำแหน่งที่มีศักยภาพแรง ที่สูงมาก (ในกลศาสตร์คลาสสิก) แบบจำลองที่ใช้กันทั่วไปคือ " กำแพงศักยภาพ " กรณีหนึ่งมิติมีศักยภาพ และคำตอบสภาวะคงที่ของสมการคลื่นจะมีรูปแบบ (สำหรับค่าคงที่k , κ บางค่า ) $${\displaystyle V(x)={\begin{cases}V_{0}&|x|<a\\0&|x|\geq a\end{cases}}}$$$${\displaystyle \Psi (x)={\begin{cases}A_{\mathrm {r} }e^{ikx}+A_{\mathrm {l} }e^{-ikx}&x<-a,\\B_{\mathrm {r} }e^{\kappa x}+B_{\mathrm {l} }e^{-\kappa x}&|x|\leq a,\\C_{\mathrm {r} }e^{ikx}+C_{\mathrm {l} }e^{-ikx}&x>a.\end{cases}}}$$

โปรดทราบว่าฟังก์ชันคลื่นเหล่านี้ยังไม่ได้ถูกทำให้เป็นค่ามาตรฐาน โปรดดูทฤษฎีการกระเจิงเพื่อดูรายละเอียดเพิ่มเติม

การตีความมาตรฐานของสิ่งนี้คือ การยิงอนุภาคเป็นลำจากทางซ้าย (ทิศทางของค่าx ลบ ) ที่ขั้นบันได: การกำหนดA _r = 1สอดคล้องกับการยิงอนุภาคทีละตัว; เทอมที่มีA _rและC _rหมายถึงการเคลื่อนที่ไปทางขวา ในขณะที่A _lและC _lหมายถึงการเคลื่อนที่ไปทางซ้าย ภายใต้การตีความแบบลำแสงนี้ ให้กำหนดC _l = 0เนื่องจากไม่มีอนุภาคมาจากทางขวา ด้วยการใช้ความต่อเนื่องของฟังก์ชันคลื่นและอนุพันธ์ของฟังก์ชันคลื่นที่ขอบเขต จึงสามารถกำหนดค่าคงที่ข้างต้นได้

ในผลึก เซมิคอนดักเตอร์ ที่มีรัศมีเล็กกว่าขนาดของรัศมีโบร์ ของ เอ็กซิตอน เอ็ก ซิตอนจะถูกบีบอัด ทำให้เกิดการกักกันทางควอนตัมระดับพลังงานสามารถจำลองได้โดยใช้ แบบจำลอง อนุภาคในกล่องซึ่งพลังงานของสถานะต่างๆ ขึ้นอยู่กับความยาวของกล่อง

ฟังก์ชันคลื่นสำหรับควอนตัมฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์สามารถแสดงได้ในรูปของพหุนามเฮอร์ไมต์H _nโดย ที่n = 0, 1, 2, ... $${\displaystyle \Psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\cdot H_{n}{\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)}}$$

ฟังก์ชันคลื่นของอิเล็กตรอนในอะตอมไฮโดรเจนแสดงได้ในรูปของฮาร์มอนิกทรงกลมและพหุนามลากูร์แบบทั่วไป (ซึ่งแต่ละผู้เขียนให้คำจำกัดความแตกต่างกัน โปรดดูบทความหลักเกี่ยวกับพหุนามเหล่านี้และอะตอมไฮโดรเจน)

การใช้พิกัดทรงกลมสะดวกกว่า และฟังก์ชันคลื่นสามารถแยกออกเป็นฟังก์ชันของแต่ละพิกัดได้^{[ 40 ]} โดยที่Rเป็นฟังก์ชันรัศมีและY$${\displaystyle \Psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )=R(r)\,\,Y_{\ell }^{m}\!(\theta ,\phi )}$$^ม_.ℓ( θ , φ )คือฮาร์มอนิกทรงกลมระดับℓและอันดับmนี่เป็นอะตอมเดียวที่สมการชโรดิงเกอร์ได้รับการแก้ไขอย่างแม่นยำ อะตอมที่มีอิเล็กตรอนหลายตัวต้องใช้วิธีการประมาณ กลุ่มของคำตอบคือ: ^{[ 41 ]} โดยที่a ₀ = 4 πε ₀ ħ ² / m _e e ²คือรัศมีของโบร์ L$${\displaystyle \Psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )={\sqrt {{\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)}^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]}}}}e^{-r/na_{0}}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)\cdot Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )}$$^{2 ℓ + 1} _{n − ℓ − 1}คือพหุนามลากูร์ทั่วไปดีกรีn − ℓ − 1โดย ที่ n = 1, 2, ...คือเลขควอนตัมหลัก , ℓ = 0, 1, ..., n − 1คือเลขควอนตัมเชิงมุม , m = − ℓ , − ℓ + 1, ..., ℓ − 1, ℓคือเลขควอนตัมแม่เหล็ก อะตอม ที่คล้ายไฮโดรเจนมีคำตอบที่คล้ายคลึงกันมาก

วิธีแก้ปัญหานี้ไม่ได้คำนึงถึงการหมุนของอิเล็กตรอน

ในภาพแสดงวงโคจรของไฮโดรเจน ภาพย่อยทั้ง 19 ภาพเป็นภาพของฟังก์ชันคลื่นในปริภูมิตำแหน่ง (ค่ากำลังสองของนอร์ม) ฟังก์ชันคลื่นเหล่านี้แสดงถึงสถานะนามธรรมที่มีลักษณะเฉพาะด้วยเลขควอนตัมสามตัว( n , ℓ , m )ซึ่งอยู่ทางด้านขวาล่างของแต่ละภาพ เลขควอนตัมเหล่านี้ได้แก่ เลขควอนตัมหลัก เลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุมของวงโคจร และเลขควอนตัมแม่เหล็ก เมื่อรวมกับเลขควอนตัมการฉายภาพสปินของอิเล็กตรอนอีกหนึ่งตัว ก็จะได้ชุดของปริมาณที่สังเกตได้ครบถ้วน

รูปนี้สามารถใช้เพื่อแสดงให้เห็นถึงคุณสมบัติเพิ่มเติมบางประการของปริภูมิฟังก์ชันของฟังก์ชันคลื่นได้

• ในกรณีนี้ ฟังก์ชันคลื่นสามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ ในขั้นต้น เราสามารถพิจารณาปริภูมิฟังก์ชันเป็นปริภูมิของฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ ซึ่งโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์L ²
• ฟังก์ชันที่แสดงอยู่นี้เป็นคำตอบของสมการชโรดิงเจอร์ เห็นได้ชัดว่าไม่ใช่ทุกฟังก์ชันใน^L² จะ สอดคล้อง ^กับ สมการช โรดิงเจอร์สำหรับอะตอมไฮโดรเจน ดังนั้นปริภูมิฟังก์ชันจึงเป็นปริภูมิย่อยของL²
• ฟังก์ชันที่แสดงอยู่นี้เป็นส่วนหนึ่งของฐานสำหรับปริภูมิฟังก์ชัน สำหรับแต่ละสามตัวเลข( n , ℓ , m )จะมีฟังก์ชันคลื่นฐานที่สอดคล้องกัน หากพิจารณาถึงสปิน จะมีฟังก์ชันฐานสองฟังก์ชันสำหรับแต่ละสามตัวเลข ดังนั้นปริภูมิฟังก์ชันจึงมีฐานที่นับได้
• ฟังก์ชันพื้นฐานทั้งสองเป็นฟังก์ชันตั้งฉาก ซึ่งกันและกัน

แนวคิดเรื่องปริภูมิฟังก์ชันเข้ามามีบทบาทโดยธรรมชาติในการอภิปรายเกี่ยวกับฟังก์ชันคลื่น ปริภูมิฟังก์ชันคือเซตของฟังก์ชัน โดยปกติจะมีข้อกำหนดบางประการเกี่ยวกับฟังก์ชัน (ในกรณีนี้คือฟังก์ชันสามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ ) บางครั้งอาจมีโครงสร้างทางพีชคณิตบนเซต (ในกรณีนี้คือโครงสร้างปริภูมิเวกเตอร์ ที่มี ผลคูณภายใน ) พร้อมกับโทโพโลยีบนเซต ส่วนหลังนี้จะถูกใช้น้อยมากในที่นี้ จำเป็นเฉพาะเพื่อให้ได้คำจำกัดความที่แม่นยำว่าเซตย่อยของปริภูมิฟังก์ชันที่เป็นเซตปิดหมายความว่าอย่างไรต่อไปนี้จะสรุปได้ว่าปริภูมิฟังก์ชันของฟังก์ชันคลื่นคือปริภูมิฮิลเบิร์ตข้อสังเกตนี้เป็นพื้นฐานของการกำหนดสูตรทางคณิตศาสตร์ที่โดดเด่นของกลศาสตร์ควอนตัม

ฟังก์ชันคลื่นเป็นองค์ประกอบหนึ่งของปริภูมิฟังก์ชัน ซึ่งมีลักษณะเฉพาะบางส่วนโดยคำอธิบายที่เป็นรูปธรรมและนามธรรมดังต่อไปนี้

• สมการชโรดิงเกอร์เป็นสมการเชิงเส้น ซึ่งหมายความว่าคำตอบของสมการนี้ ซึ่งก็คือฟังก์ชันคลื่น สามารถนำมาบวกและคูณด้วยค่าคงที่เพื่อสร้างคำตอบใหม่ได้ เซตของคำตอบของสมการชโรดิงเกอร์จึงเป็นปริภูมิเวกเตอร์
• หลักการซ้อนทับของกลศาสตร์ควอนตัม ถ้าΨและΦเป็นสถานะสองสถานะในปริภูมินามธรรมของสถานะของระบบกลศาสตร์ควอนตัม และaและbเป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ สองจำนวน แล้วa Ψ + b Φก็เป็นสถานะที่ถูกต้องเช่นกัน (การที่เวกเตอร์ศูนย์นับเป็นสถานะที่ถูกต้องหรือไม่ ("ไม่มีระบบอยู่") นั้นขึ้นอยู่กับนิยาม เวกเตอร์ศูนย์ไม่ได้ อธิบาย สถานะสุญญากาศ ในทฤษฎีสนามควอนตัม แต่อย่างใด) เซตของสถานะที่อนุญาตได้คือปริภูมิเวกเตอร์

ความคล้ายคลึงนี้ไม่ใช่เรื่องบังเอิญอย่างแน่นอน ยังมีข้อแตกต่างระหว่างพื้นที่ทั้งสองที่ควรคำนึงถึงด้วย

สถานะพื้นฐานมีลักษณะเฉพาะด้วยชุดของเลขควอนตัม ซึ่งเป็นชุดของค่าลักษณะเฉพาะของชุดสูงสุดของปริมาณที่สังเกตได้ซึ่งสลับกันได้ ปริมาณที่สังเกตได้ทางฟิสิกส์ถูกแทนด้วยตัวดำเนินการเชิงเส้น หรือเรียกว่าปริมาณที่สังเกตได้ บนปริภูมิเวกเตอร์ ความเป็นสูงสุดหมายความว่าไม่สามารถเพิ่มปริมาณที่สังเกตได้อื่น ๆ ที่เป็นอิสระทางพีชคณิตและสลับกันได้กับปริมาณที่มีอยู่แล้วลงในชุดนั้นได้อีก การเลือกชุดดังกล่าวอาจเรียกว่าการเลือกการ แทน

• กลศาสตร์ควอนตัมตั้งสมมติฐานว่าปริมาณที่สังเกตได้ทางกายภาพของระบบ เช่น ตำแหน่ง โมเมนตัม หรือสปิน จะถูกแทนด้วยตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียน เชิงเส้น บนปริภูมิสถานะ ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการวัดปริมาณนั้นคือค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการ^{[ 18 ]}ในระดับที่ลึกกว่านั้น ปริมาณที่สังเกตได้ส่วนใหญ่ หรืออาจจะทั้งหมด เกิดขึ้นจากตัวสร้างสมมาตร[ ^{18 ] [ 42 ] [ nb 6 ]}
• การตีความทางกายภาพคือ ชุดดังกล่าวแสดงถึงสิ่งที่สามารถวัดได้พร้อมกันด้วยความแม่นยำตามอำเภอใจ ในทางทฤษฎีความสัมพันธ์ความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์กห้ามการวัดที่แม่นยำพร้อมกันของตัวแปรสังเกตได้สองตัวที่ไม่สามารถสลับลำดับกันได้
• เซตนี้ไม่มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว ตัวอย่างเช่น สำหรับระบบอนุภาคเดี่ยว อาจเป็นตำแหน่งและการฉายภาพ สปิน z ( x , Sz )หรืออาจเป็นโมเมนตัมและการฉายภาพ_ส ปิน y ( p , Sy )ในกรณีนี้ ตัวดำเนินการที่สอดคล้องกับตำแหน่ง (ตัวดำเนินการคูณในรูปแบบการแสดงตำแหน่ง) และตัวดำเนินการที่สอดคล้องกับโมเมนตัม ( ตัวดำเนินการอนุพันธ์ในรูปแบบการแสดงตำแหน่ง) ไม่สามารถสลับที่กัน_ได้
• เมื่อเลือกการแสดงแทนแล้ว ยังคงมีความไม่แน่นอนอยู่ จึงต้องเลือกพิกัดระบบ ตัวอย่างเช่น อาจสอดคล้องกับการเลือก แกน x , yและzหรือการเลือกพิกัดโค้งดังเช่นพิกัดทรงกลมที่ใช้สำหรับฟังก์ชันคลื่นอะตอมของไฮโดรเจน การเลือกขั้นสุดท้ายนี้ยังกำหนดฐานในปริภูมิฮิลเบิร์ตแบบนามธรรมด้วย สถานะพื้นฐานจะถูกกำหนดโดยเลขควอนตัมที่สอดคล้องกับชุดสูงสุดของตัวแปรที่สลับกันได้และระบบพิกัดที่เหมาะสม^{[ nb 7 ]}

สถานะเชิงนามธรรมนั้นเป็น "นามธรรม" ก็ต่อเมื่อไม่มีตัวเลือกใดๆ ที่จำเป็นสำหรับ การอธิบาย อย่างชัดเจน เฉพาะ เจาะจง นี่ก็เหมือนกับการบอกว่าไม่มีตัวเลือกของเซตสูงสุดของตัวแปรที่สลับกันได้ ซึ่งคล้ายคลึงกับปริภูมิเวกเตอร์ที่ไม่มีฐานที่กำหนดไว้ ดังนั้นฟังก์ชันคลื่นที่สอดคล้องกับสถานะจึงไม่เป็นเอกลักษณ์ ความไม่เป็นเอกลักษณ์นี้สะท้อนถึงความไม่เป็นเอกลักษณ์ในตัวเลือกของเซตสูงสุดของตัวแปรที่สลับกันได้ สำหรับอนุภาคสปินหนึ่งตัวในหนึ่งมิติ สถานะเฉพาะหนึ่งๆ จะมีฟังก์ชันคลื่นสองฟังก์ชันที่สอดคล้อง คือΨ( x , S _z )และΨ( p , S _y )ซึ่งทั้งสองฟังก์ชันอธิบายสถานะ เดียวกัน

• สำหรับแต่ละตัวเลือกของเซตการสลับตำแหน่งสูงสุดของตัวแปรสังเกตได้สำหรับปริภูมิสถานะเชิงนามธรรม จะมีการแสดงแทนที่สอดคล้องกันซึ่งเชื่อมโยงกับปริภูมิฟังก์ชันของฟังก์ชันคลื่น
• ระหว่างปริภูมิฟังก์ชันต่างๆ เหล่านี้และปริภูมิสถานะเชิงนามธรรม จะมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง (ในที่นี้โดยไม่คำนึงถึงการทำให้เป็นมาตรฐานและปัจจัยเฟสที่ไม่สามารถสังเกตได้) โดยตัวส่วนร่วมในที่นี้คือสถานะเชิงนามธรรมเฉพาะอย่างหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันคลื่นในปริภูมิโมเมนตัมและปริภูมิตำแหน่ง ซึ่งอธิบายสถานะเดียวกันนั้น คือการแปลงฟูริเยร์

แต่ละทางเลือกในการแสดงผลควรถูกมองว่าเป็นการระบุปริภูมิฟังก์ชันเฉพาะที่ซึ่งฟังก์ชันคลื่นที่สอดคล้องกับทางเลือกในการแสดงผลนั้นดำรงอยู่ ควรคงความแตกต่างนี้ไว้ แม้ว่าเราอาจโต้แย้งได้ว่าปริภูมิฟังก์ชันสองปริภูมิมีความเท่าเทียมกันทางคณิตศาสตร์ เช่น เป็นเซตของฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ ในกรณีเช่นนั้น เราสามารถมองว่าปริภูมิฟังก์ชันเหล่านั้นเป็นสำเนาสองชุดที่แตกต่างกันของเซตนั้น

มีโครงสร้างพีชคณิตเพิ่มเติมในปริภูมิเวกเตอร์ของฟังก์ชันคลื่นและปริภูมิสถานะนามธรรม

• ในทางกายภาพ ฟังก์ชันคลื่นที่แตกต่างกันจะถูกตีความว่าทับซ้อนกันในระดับหนึ่ง ระบบที่อยู่ในสถานะΨที่ไม่ทับซ้อนกับสถานะΦจะไม่สามารถวัดได้ว่าอยู่ในสถานะΦแต่ถ้าΦ ₁ , Φ ₂ , …ทับซ้อนกับΨใน ระดับ หนึ่งก็มีโอกาสที่การวัดระบบที่อธิบายโดยΨจะพบว่าอยู่ในสถานะΦ ₁ , Φ ₂ , …นอกจากนี้ยัง มีการใช้ กฎการเลือกซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะกำหนดขึ้นโดยการรักษาค่าควอนตัมบางค่าไว้ นั่นหมายความว่ากระบวนการบางอย่างที่อนุญาตได้จากบางมุมมอง (เช่น การอนุรักษ์พลังงานและโมเมนตัม) จะไม่เกิดขึ้นเนื่องจาก ฟังก์ชันคลื่น รวม เริ่มต้นและสุดท้าย ไม่ทับซ้อนกัน
• ในทางคณิตศาสตร์ ปรากฏว่าคำตอบของสมการชโรดิงเกอร์สำหรับศักยภาพเฉพาะบางอย่าง นั้น ตั้งฉากกันในบางลักษณะ ซึ่งโดยทั่วไปจะอธิบายได้ด้วยปริพันธ์โดยที่mและnเป็นดัชนี (เลขควอนตัม) ที่ใช้ระบุคำตอบที่แตกต่างกัน ฟังก์ชันw ที่เป็นบวกอย่างเคร่งครัด เรียกว่าฟังก์ชันน้ำหนัก และδmnคือ เดลต้าโคร _เนกเกอร์ การอินทิเกรตจะกระทำเหนือปริภูมิที่เกี่ยวข้องทั้งหมด$${\displaystyle \int \Psi _{m}^{*}\Psi _{n}w\,dV=\delta _{nm},}$$

สิ่งนี้กระตุ้นให้เกิดการนำผลคูณภายในมาใช้ในปริภูมิเวกเตอร์ของสถานะควอนตัมเชิงนามธรรม ซึ่งสอดคล้องกับการสังเกตทางคณิตศาสตร์ข้างต้นเมื่อเปลี่ยนไปใช้การแสดงแทน โดยใช้สัญลักษณ์(Ψ, Φ)หรือในสัญกรณ์ Bra–ket ⟨Ψ|Φ⟩ซึ่งให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเชิงซ้อน ด้วยผลคูณภายในนี้ ปริภูมิฟังก์ชันจึงเป็นปริภูมิผลคูณภายในการปรากฏอย่างชัดเจนของผลคูณภายใน (โดยปกติจะเป็นปริพันธ์หรือผลรวมของปริพันธ์) ขึ้นอยู่กับการเลือกการแสดงแทน แต่จำนวนเชิงซ้อน(Ψ, Φ)ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือก การตีความทางฟิสิกส์ของกลศาสตร์ควอนตัมส่วนใหญ่มาจากกฎของบอร์นซึ่งระบุว่าความน่าจะเป็นpของการพบสถานะΦ เมื่อวัดได้ โดยที่ระบบอยู่ในสถานะΨคือ โดยที่ΦและΨถือว่าได้รับการทำให้เป็นมาตรฐานแล้ว ลองพิจารณาการทดลองการกระเจิงในทฤษฎีสนามควอนตัม ถ้าΦ _outอธิบายสถานะใน "อนาคตอันไกลโพ้น" ("สถานะออก") หลังจากปฏิสัมพันธ์ระหว่างอนุภาคที่กระเจิงหยุดลง และΨ _inอธิบาย "สถานะเข้า" ใน "อดีตอันไกลโพ้น" แล้ว ปริมาณ(Φ _out , Ψ _in )โดยที่Φ _outและΨ _inเปลี่ยนแปลงไปตามชุดสถานะเข้าและสถานะออกทั้งหมดตามลำดับ เรียกว่าเมทริกซ์ Sหรือเมทริกซ์การกระเจิงความรู้เกี่ยวกับเมทริกซ์นี้ เท่ากับได้แก้ปัญหาทฤษฎีที่เกี่ยวข้องแล้ว อย่างน้อยก็ในส่วนของการคาดการณ์ ปริมาณที่วัดได้ เช่นอัตราการสลายตัวและภาคตัดขวางการกระเจิงสามารถคำนวณได้จากเมทริกซ์ S ^{[ 43 ]}$${\displaystyle p=|(\Phi ,\Psi )|^{2},}$$

ข้อสังเกตข้างต้นสรุปสาระสำคัญของปริภูมิฟังก์ชันซึ่งฟังก์ชันคลื่นเป็นองค์ประกอบ อย่างไรก็ตาม คำอธิบายยังไม่สมบูรณ์ มีข้อกำหนดทางเทคนิคเพิ่มเติมเกี่ยวกับปริภูมิฟังก์ชัน นั่นคือความสมบูรณ์ซึ่งช่วยให้สามารถหาลิมิตของลำดับในปริภูมิฟังก์ชันได้ และมั่นใจได้ว่าหากลิมิตมีอยู่จริง มันจะเป็นองค์ประกอบของปริภูมิฟังก์ชัน ปริภูมิผลคูณภายในที่สมบูรณ์เรียกว่าปริภูมิฮิลเบิร์ตคุณสมบัติของความสมบูรณ์มีความสำคัญอย่างยิ่งในการวิเคราะห์และการประยุกต์ใช้กลศาสตร์ควอนตัมขั้นสูง ตัวอย่างเช่น การมีอยู่ของตัวดำเนินการฉายภาพหรือการฉายภาพเชิงตั้งฉากขึ้นอยู่กับความสมบูรณ์ของปริภูมิ^{[ 44 ]}ตัวดำเนินการฉายภาพเหล่านี้มีความสำคัญต่อการกล่าวอ้างและการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่มีประโยชน์มากมาย เช่นทฤษฎีบทสเปกตรัมมันไม่สำคัญมากนักในกลศาสตร์ควอนตัมเบื้องต้น และรายละเอียดทางเทคนิคและลิงก์อาจพบได้ในเชิงอรรถเช่นเดียวกับที่ตามมา^{[ nb 8 ]} ปริภูมิL ²เป็นปริภูมิฮิลเบิร์ต โดยมีผลคูณภายในที่จะกล่าวถึงในภายหลัง ปริภูมิฟังก์ชันของตัวอย่างในรูปเป็นปริภูมิย่อยของL ²ปริภูมิย่อยของปริภูมิฮิลเบิร์ตจะเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตได้ก็ต่อเมื่อเป็นปริภูมิปิด

โดยสรุปแล้ว เซตของฟังก์ชันคลื่นที่สามารถทำให้เป็นมาตรฐานได้ทั้งหมดสำหรับระบบที่มีการเลือกฐานเฉพาะเจาะจง พร้อมด้วยเวกเตอร์ศูนย์ จะประกอบกันเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ต

ไม่ใช่ว่าฟังก์ชันที่น่าสนใจทั้งหมดจะเป็นองค์ประกอบของปริภูมิฮิลเบิร์ต เช่นL²ตัวอย่างที่เห็นได้ชัดที่สุดคือเซตของฟังก์ชัน^{e²πi p ·} x ^{/ h ซึ่งเป็นผล}เฉลยคลื่นระนาบของสมการชโรดิงเกอร์สำหรับอนุภาคอิสระที่ไม่สามารถทำให้เป็นมาตรฐานได้ ดังนั้นจึงไม่อยู่ใน^L² แต่ ถึงกระนั้นก็มีความสำคัญอย่างยิ่งต่อ ^การอธิบาย เราสามารถใช้ฟังก์ชันเหล่านี้ในการแสดงฟังก์ชันที่ สามารถ ทำให้เป็นมาตรฐานได้โดยใช้แพ็กเก็ตคลื่นในแง่หนึ่ง ฟังก์ชันเหล่านี้เป็นฐาน (แต่ไม่ใช่ฐานของปริภูมิฮิลเบิร์ตหรือฐานของฮาเมล ) ซึ่งสามารถใช้ในการแสดงฟังก์ชันคลื่นที่น่าสนใจได้ นอกจากนี้ยังมีสิ่งที่เรียกว่า "การทำให้เป็นมาตรฐานโดยใช้ฟังก์ชันเดลต้า" ซึ่งมักใช้เพื่อความสะดวกในการเขียนสัญลักษณ์ ดูรายละเอียดเพิ่มเติมด้านล่าง ฟังก์ชันเดลต้าเองก็ไม่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้เช่นกัน

คำอธิบายข้างต้นเกี่ยวกับปริภูมิฟังก์ชันที่ประกอบด้วยฟังก์ชันคลื่นนั้นส่วนใหญ่มีแรงจูงใจทางคณิตศาสตร์ ปริภูมิฟังก์ชันนั้นมีขนาดใหญ่ มาก ในแง่หนึ่งเนื่องจากความสมบูรณ์ ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันจะเป็นคำอธิบายที่สมจริงของระบบทางกายภาพใดๆ ตัวอย่างเช่น ในปริภูมิฟังก์ชันL ²เราสามารถพบฟังก์ชันที่รับค่า0สำหรับจำนวนตรรกยะทั้งหมดและ-iสำหรับจำนวนอตรรกยะในช่วง[0, 1] ฟังก์ชันนี้สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้^{[ nb 9 ]} แต่แทบจะไม่สามารถแสดงสถานะทางกายภาพ ได้

แม้ว่าพื้นที่ของคำตอบโดยรวมจะเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ต แต่ก็ยังมีปริภูมิฮิลเบิร์ตอื่นๆ อีกมากมายที่มักพบเป็นส่วนประกอบ

• ฟังก์ชันเชิงซ้อนที่มีค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อนที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้บนช่วง[0, 2π ]เซต { eⁿ⁺ / 2π , n ∈ Z }เป็นฐานของปริภูมิฮิลเบิร์ต กล่าวคือเป็นเซตออร์โทนอร์มอล^{สูงสุด}
• การแปลงฟูริเยร์จะแปลงฟังก์ชันในปริภูมิข้างต้นเป็นองค์ประกอบของl ² ( Z )ซึ่งเป็นปริภูมิของฟังก์ชันที่บวกกำลังสองได้Z → Cปริภูมิหลังนี้เป็นปริภูมิฮิลเบิร์ต และการแปลงฟูริเยร์เป็นไอโซมอร์ฟิซึมของปริภูมิฮิลเบิร์ต^{[ nb 10 ]}ฐานของมันคือ{ e _i , i ∈ Z }โดยที่e i ₍ j ) = δ _ij , i , j ∈ Z
• ตัวอย่างพื้นฐานที่สุดของพหุนามแผ่ขยายคือในปริภูมิของฟังก์ชันที่หาปริพันธ์กำลังสองได้บนช่วง[–1, 1]ซึ่งพหุนามเลอจองเดอร์เป็นฐานของปริภูมิฮิลเบิร์ต (เซตออร์โทนอร์มอลที่สมบูรณ์)
• ฟังก์ชันกำลังสองที่สามารถหาปริพันธ์ได้บน^ทรงกลมหน่วยS²คือปริภูมิฮิลเบิร์ต ฟังก์ชันพื้นฐานในกรณีนี้คือฮาร์มอนิกทรงกลม พหุนามเลอจองเดอร์เป็นส่วนประกอบในฮาร์มอนิกทรงกลม ปัญหาส่วนใหญ่ที่มีสมมาตรแบบหมุนจะมีคำตอบ "เดียวกัน" (ที่ทราบแล้ว) เมื่อเทียบกับสมมาตรนั้น ดังนั้นปัญหาดั้งเดิมจึงลดลงเหลือปัญหาที่มีมิติต่ำกว่า
• พหุนามลากูร์ที่เกี่ยวข้องปรากฏในปัญหาฟังก์ชันคลื่นไฮโดรเจนิกหลังจากแยกตัวประกอบฮาร์มอนิกทรงกลมออกมา พหุนามเหล่านี้ครอบคลุมปริภูมิฮิลเบิร์ตของฟังก์ชันที่หาปริพันธ์กำลังสองได้ในช่วงกึ่งอนันต์[0, ∞ )

โดยทั่วไปแล้ว อาจพิจารณาการจัดการแบบรวมศูนย์ของคำตอบพหุนามอันดับสองทั้งหมดของสมการ Sturm–Liouvilleในบริบทของปริภูมิฮิลเบิร์ต ซึ่งรวมถึงพหุนาม Legendre และ Laguerre รวมถึงพหุนาม Chebyshev พหุนาม Jacobiและพหุนาม Hermite พหุนามเหล่านี้ปรากฏอยู่ในปัญหาทางฟิสิกส์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งพหุนาม Hermite ปรากฏในระบบสั่นฮาร์มอนิกและสิ่งที่เดิมทีเป็นเขาวงกตที่สับสนวุ่นวายของสมบัติของฟังก์ชันพิเศษ ต่างๆ ก็กลายเป็นชุดข้อเท็จจริงที่เป็นระบบ สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม โปรดดูByron & Fuller (1992 , บทที่ 5)

นอกจากนี้ยังมีปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีมิติจำกัด ปริภูมิC ⁿเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีมิติnผลคูณภายในเป็นผลคูณภายในมาตรฐานในปริภูมิเหล่านี้ ซึ่งส่วน "สปิน" ของฟังก์ชันคลื่นอนุภาคเดี่ยวจะอยู่ในนั้น

• ในการอธิบายอิเล็กตรอนแบบไม่สัมพัทธภาพ จะได้ว่าn = 2และฟังก์ชันคลื่นรวมเป็นผลเฉลยของสมการเปาลี
• ในการวิเคราะห์เชิงสัมพัทธภาพที่สอดคล้องกันn = 4และฟังก์ชันคลื่นจะแก้ สมการ ของDirac

เมื่อมีอนุภาคมากขึ้น สถานการณ์จะซับซ้อนมากขึ้น ต้องใช้ผลคูณเทนเซอร์และใช้ทฤษฎีการแสดงแทนของกลุ่มสมมาตรที่เกี่ยวข้อง ( กลุ่มการหมุนและกลุ่มลอเรนซ์ตามลำดับ) เพื่อแยกพื้นที่ที่ฟังก์ชันคลื่นสปิน (ทั้งหมด) อยู่จากผลคูณเทนเซอร์ (ปัญหาเพิ่มเติมเกิดขึ้นในกรณีสัมพัทธภาพเว้นแต่ว่าอนุภาคจะเป็นอิสระ^{[ 45 ]}ดูสมการ Bethe–Salpeter ) ข้อสังเกตที่สอดคล้องกันนี้ใช้กับแนวคิดของไอโซสปินซึ่งกลุ่มสมมาตรคือSU(2)แบบจำลองของแรงนิวเคลียร์ในช่วงทศวรรษที่ 1960 (ยังคงมีประโยชน์ในปัจจุบัน ดูแรงนิวเคลียร์ ) ใช้กลุ่มสมมาตรSU(3)ในกรณีนี้เช่นกัน ส่วนของฟังก์ชันคลื่นที่สอดคล้องกับสมมาตรภายในจะอยู่ในC ⁿหรือพื้นที่ย่อยของผลคูณเทนเซอร์ของพื้นที่ดังกล่าว

• ในทฤษฎีสนามควอนตัม ปริภูมิฮิลเบิร์ตพื้นฐานคือปริภูมิฟ็อคมันถูกสร้างขึ้นจากสถานะอนุภาคเดี่ยวอิสระ กล่าวคือ ฟังก์ชันคลื่นเมื่อเลือกการแสดงแทน และสามารถรองรับอนุภาคจำนวนจำกัดใดๆ ก็ได้ ซึ่งไม่จำเป็นต้องคงที่ตลอดเวลา พลวัตที่น่าสนใจ (หรืออาจจะเรียกว่าสามารถจัดการได้ ) ไม่ได้อยู่ที่ฟังก์ชันคลื่น แต่อยู่ที่ตัวดำเนินการสนามซึ่งเป็นตัวดำเนินการที่กระทำบนปริภูมิฟ็อค ดังนั้นภาพแบบไฮเซนเบิร์กจึงเป็นตัวเลือกที่นิยมใช้มากที่สุด (สถานะคงที่ ตัวดำเนินการแปรผันตามเวลา)

เนื่องจากระบบมีมิติอนันต์ เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่เหมาะสมจึงเป็นหัวข้อการศึกษาในการ วิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน

ตำราเรียนเบื้องต้นบางเล่มไม่ได้ใช้เส้นทางที่ยาวและแนะนำกลไกของปริภูมิฮิลเบิร์ตทั้งหมด แต่เน้นที่สมการชโรดิงเกอร์แบบไม่สัมพัทธภาพในรูปแบบการแสดงตำแหน่งสำหรับศักยภาพมาตรฐานบางอย่าง ข้อจำกัดต่อไปนี้เกี่ยวกับฟังก์ชันคลื่นบางครั้งถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจนเพื่อให้การคำนวณและการตีความทางกายภาพมีความหมาย: ^{[ 46 ] [ 47 ]}

• ฟังก์ชันคลื่นต้องสามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ ซึ่งเป็นผลมาจากแนวคิดการตีความแบบโคเปนเฮเกนที่มองว่าฟังก์ชันคลื่นเป็นแอมพลิจูดความน่าจะเป็น
• จะต้องมีความต่อเนื่อง ทุกที่ และสามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง ทุกที่ เหตุผลสนับสนุนข้อนี้มาจากการปรากฏของสมการชโรดิงเกอร์สำหรับศักยภาพที่สมเหตุสมผลทางกายภาพส่วนใหญ่

เป็นไปได้ที่จะผ่อนปรนเงื่อนไขเหล่านี้บ้างเพื่อวัตถุประสงค์พิเศษ^{[ nb 11 ]} หากไม่เป็นไปตามข้อกำหนดเหล่านี้ จะไม่สามารถตีความฟังก์ชันคลื่นเป็นแอมพลิจูดความน่าจะเป็นได้^{[ 48 ]}โปรดทราบว่าข้อยกเว้นอาจเกิดขึ้นกับกฎความต่อเนื่องของอนุพันธ์ ณ จุดที่มีความไม่ต่อเนื่องอนันต์ของสนามศักย์ ตัวอย่างเช่น ในอนุภาคในกล่องที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันคลื่นอาจไม่ต่อเนื่องที่ขอบของกล่องซึ่งทราบว่าศักย์มีความไม่ต่อเนื่องอนันต์

สิ่งนี้ไม่ได้เปลี่ยนแปลงโครงสร้างของปริภูมิฮิลเบิร์ตที่ฟังก์ชันคลื่นเฉพาะเหล่านี้อาศัยอยู่ แต่ปริภูมิย่อยของฟังก์ชันที่หาปริพันธ์กำลังสองได้L ²ซึ่งเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตที่ตรงตามข้อกำหนดที่สองนั้นไม่ปิดในL ²ดังนั้นจึงไม่ใช่ปริภูมิฮิลเบิร์ตในตัวมันเอง^{[ nb 12 ]} ฟังก์ชันที่ไม่ตรงตามข้อกำหนดยังคงมีความจำเป็นทั้งด้วยเหตุผลทางเทคนิคและทางปฏิบัติ^{[ nb 13 ] [ nb 14 ]}

ดังที่ได้แสดงให้เห็นแล้ว เซตของฟังก์ชันคลื่นที่เป็นไปได้ทั้งหมดในการแสดงแทนบางอย่างสำหรับระบบนั้นประกอบกันเป็น ปริภูมิฮิลเบิร์ต ที่มีมิติอนันต์ โดยทั่วไป เนื่องจากมีตัวเลือกฐานการแสดงแทนที่เป็นไปได้หลายแบบ ปริภูมิฮิลเบิร์ตเหล่านี้จึงไม่เป็นเอกลักษณ์ ดังนั้นจึงมีการพูดถึงปริภูมิฮิลเบิร์ตแบบนามธรรมปริภูมิสถานะซึ่งตัวเลือกการแสดงแทนและฐานไม่ได้ถูกกำหนดไว้โดยเฉพาะ สถานะแต่ละสถานะจะถูกแสดงเป็นเวกเตอร์นามธรรมในปริภูมิสถานะ^{[ 49 ]}สถานะควอนตัม|Ψ⟩ในการแสดงแทนใดๆ โดยทั่วไปจะแสดงเป็นเวกเตอร์ ที่ $${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{\boldsymbol {\alpha }}\int d^{m}\!{\boldsymbol {\omega }}\,\,\Psi _{t}({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\omega }})\,|{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\omega }}\rangle }$$

• | α , ω ⟩เวกเตอร์ฐานของการแสดงแทนที่เลือก
• d ^m ω = dω ₁ dω ₂ ... dω _mคือองค์ประกอบปริมาตรเชิงอนุพันธ์ในระดับความเป็นอิสระต่อเนื่อง
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\Psi }}_{t}({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\omega }})}$ส่วนประกอบหนึ่งของเวกเตอร์เรียกว่าฟังก์ชันคลื่นของระบบ${\displaystyle |\Psi \rangle }$
• α = ( α ₁ , α ₂ , ..., α _n )เลขควอนตัมแบบไม่ต่อเนื่องไร้มิติ
• ω = ( ω ₁ , ω ₂ , ..., ω _m )ตัวแปรต่อเนื่อง (ไม่จำเป็นต้องเป็นตัวแปรไร้มิติ)

เลขควอนตัมเหล่านี้เป็นดัชนีของส่วนประกอบของเวกเตอร์สถานะ ยิ่งไปกว่านั้นα ทั้งหมด อยู่ในเซตnมิติA = A ₁ × A ₂ × ... × A _n โดยที่ A _iแต่ละเซตคือเซตของค่าที่อนุญาตสำหรับα _i และ ωทั้งหมดอยู่ใน"ปริมาตร" m มิติ Ω ⊆ ℝ ^mโดยที่Ω = Ω ₁ × Ω ₂ × ... × Ω _mและΩ _i ⊆ R แต่ละเซต คือเซตของค่าที่อนุญาตสำหรับω _iซึ่งเป็นเซตย่อยของจำนวนจริงRเพื่อความทั่วไปnและmไม่จำเป็นต้องเท่ากัน

ตัวอย่าง:

ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของการพบระบบ ณ เวลา t ที่สถานะ| α , ω ⟩คือ ${\displaystyle t}$$${\displaystyle \rho _{\alpha ,\omega }(t)=|\Psi ({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\omega }},t)|^{2}}$$

ความน่าจะเป็นของการค้นหาระบบที่มีαในการกำหนดค่าตัวแปรแบบไม่ต่อเนื่องที่เป็นไปได้บางส่วนหรือทั้งหมดD ⊆ Aและωในการกำหนดค่าตัวแปรแบบต่อเนื่องที่เป็นไปได้บางส่วนหรือทั้งหมดC ⊆ Ωคือผลรวมและปริพันธ์เหนือความหนาแน่น^{[ nb 15 ]}$${\displaystyle P(t)=\sum _{{\boldsymbol {\alpha }}\in D}\int _{C}d^{m}\!{\boldsymbol {\omega }}\,\,\rho _{\alpha ,\omega }(t)}$$

เนื่องจากผลรวมของความน่าจะเป็นทั้งหมดต้องเท่ากับ 1 ดังนั้นเงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐาน จึงต้องเป็นจริงตลอดเวลาในระหว่างการเปลี่ยนแปลงของระบบ $${\displaystyle 1=\sum _{{\boldsymbol {\alpha }}\in A}\int _{\Omega }d^{m}\!{\boldsymbol {\omega }}\,\,\rho _{\alpha ,\omega }(t)}$$

เงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐานกำหนดให้ρ d ^m ωต้องไม่มีมิติ โดย การ วิเคราะห์ มิติΨต้องมีหน่วยเดียวกับ( ω ₁ ω ₂ ... ω _m ) ^−1/2

ไม่ว่าฟังก์ชันคลื่นจะมีอยู่จริงหรือไม่ และมันแสดงถึงอะไร เป็นคำถามสำคัญในการตีความกลศาสตร์ควอนตัมนักฟิสิกส์ชื่อดังหลายคนในยุคก่อนต่างก็ครุ่นคิดถึงปัญหานี้ เช่นเออร์วิน ชโรดิงเกอร์อัลเบิร์ต ไอน์ส ไตน์ และนีลส์ โบห์รบางคนสนับสนุนการกำหนดสูตรหรือรูปแบบต่างๆ ของการตีความโคเปนเฮเกน (เช่น โบห์รยูจีน วิกเนอร์และจอห์น ฟอน นอยมันน์ ) ในขณะที่คนอื่นๆ เช่นจอห์น อาร์ชิบัลด์ วีลเลอร์หรือเอ็ดวิน ทอมป์สัน เจย์นส์ใช้แนวทางแบบคลาสสิกมากกว่า^{[ 50 ]}และมองว่าฟังก์ชันคลื่นแสดงถึงข้อมูลในจิตใจของผู้สังเกตการณ์ กล่าวคือ เป็นการวัดความรู้เกี่ยวกับความเป็นจริงของเรา บางคน รวมถึงชโรดิงเกอร์เดวิด โบห์มและฮิวจ์ เอเวอเร็ตต์ที่ 3และคนอื่นๆ โต้แย้งว่าฟังก์ชันคลื่นต้องมีอยู่จริงในเชิงวัตถุและทางกายภาพ ไอน์สไตน์คิดว่าคำอธิบายที่สมบูรณ์ของความเป็นจริงทางกายภาพควรอ้างอิงถึงพื้นที่และเวลาทางกายภาพโดยตรง ซึ่งแตกต่างจากฟังก์ชันคลื่นที่อ้างอิงถึงพื้นที่ทางคณิตศาสตร์ที่เป็นนามธรรม^{[ 51 ]}

• กลศาสตร์ควอนตัมสำหรับวิศวกร
• ฟังก์ชันคลื่นสปิน NYU
• อนุภาคที่เหมือนกันอีกครั้ง โดย ไมเคิล ฟาวเลอร์
• ธรรมชาติของฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนหลายตัว
• กลศาสตร์ควอนตัมและการคำนวณควอนตัมที่ BerkeleyX เก็บถาวรเมื่อ 13 พฤษภาคม 2013 ที่Wayback Machine
• ไอน์สไตน์ทฤษฎีควอนตัมของการแผ่รังสี