ในฟิสิกส์โดยเฉพาะทฤษฎีสนามและฟิสิกส์อนุภาคแอ ค ชั่นของโปรกาอธิบายสนามสปิน-1 มวลm ในปริภูมิเวลามิงโกว สกี สมการที่สอดคล้องกันคือสมการคลื่นสัมพัทธภาพที่เรียกว่า สมการ โปรกา^{[ 1 ]}แอคชั่นและสมการของโปรกาตั้งชื่อตามนักฟิสิกส์ชาวโรมาเนียอเล็กซานดรู โปรกา

สมการ Proca เกี่ยวข้องกับแบบจำลองมาตรฐาน (Standard Model)และอธิบายถึงอนุภาคเวกเตอร์โบซอนที่ มีมวล 3 ตัว ได้แก่ โบซอน Z และโบซอน W

บทความนี้ใช้ สัญลักษณ์เมตริก (+−−−) และสัญกรณ์ดัชนีเทนเซอร์ในภาษาของเวกเตอร์ 4มิติ

สนามที่เกี่ยวข้องเป็นศักย์4 มิติเชิงซ้อนโดยที่ เป็น ศักย์ไฟฟ้าทั่วไปชนิดหนึ่งและ เป็น ศักย์แม่เหล็กทั่วไปสนามนี้แปลงรูปเหมือนเวกเตอร์ 4 มิติเชิงซ้อน ${\displaystyle B^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {A} \right)}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle B^{\mu }}$

ความหนาแน่น ของลากรางจ์กำหนดโดย: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }B_{\nu }^{*}-\partial _{\nu }B_{\mu }^{*})(\partial ^{\mu }B^{\nu }-\partial ^{\nu }B^{\mu })+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}B_{\nu }^{*}B^{\nu },}$

โดยที่คือความเร็วแสงในสุญญากาศคือค่าคงที่ของพลังค์แบบลดทอนและคือเกรเดียนต์ 4มิติ ${\displaystyle c}$${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle \partial _{\mu }}$

สมการการเคลื่อนที่ของ ออยเลอร์-ลากรองจ์สำหรับกรณีนี้ หรือที่เรียกว่าสมการโปรกาคือ:

${\displaystyle \partial _{\mu }{\Bigl (}\partial ^{\mu }B^{\nu }-\partial ^{\nu }B^{\mu }{\Bigr )}+\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}B^{\nu }=0,}$

ซึ่งเทียบเท่ากับคู่ควบ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \left[\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\right]B^{\nu }=0}$

และสำหรับ m ≠ 0 หมายความว่า

${\displaystyle \partial _{\nu }B^{\nu }=0,}$

เทียบเท่ากับเงื่อนไขเกจลอเรนซ์ แบบทั่วไป อย่างไรก็ตาม สำหรับกรณีที่มีมวลมาก นี่เป็นข้อจำกัดทางกายภาพมากกว่าเงื่อนไขเกจที่เลือกได้ สำหรับแหล่งกำเนิดที่ไม่เป็นศูนย์ โดยรวมค่าคงที่พื้นฐานทั้งหมดไว้ด้วย สมการสนามจะเป็นดังนี้:

${\displaystyle c\mu _{0}j^{\nu }=\left[g^{\mu \nu }\left(\partial _{\sigma }\partial ^{\sigma }+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)-\partial ^{\nu }\partial ^{\mu }\right]B_{\mu }}$

เมื่อ⁠ ⁠${\displaystyle m=0}$สมการที่ปราศจากแหล่งกำเนิดจะลดรูปเป็นสมการของแม็กซ์เวลล์โดยไม่มีประจุหรือกระแส และสมการข้างต้นจะลดรูปเป็นสมการประจุของแม็กซ์เวลล์ สมการสนามของโปรกา (Proca field equation) นี้มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับสมการไคลน์-กอร์ดอน (Klein–Gordon equation ) เนื่องจากเป็นอันดับสองในมิติของพื้นที่และเวลา

ใน สัญลักษณ์ แคลคูลัสเวกเตอร์สมการที่ไม่ขึ้นกับแหล่งกำเนิดมีดังนี้:

${\displaystyle \Box \phi -{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\phi }$

${\displaystyle \Box \mathbf {A} +\nabla \left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\mathbf {A} }$

และเป็นผู้ดำเนินการ D' Alembert ${\displaystyle \Box }$

แอคชั่นของโปรกา (Proca action) คือ เวอร์ชัน คงที่ของแอคชั่นของสตูเคลเบิร์ก (Stueckelberg action)ผ่านกลไกฮิกส์ (Higgs mechanism ) การหาค่าควอนตัมของแอคชั่นของโปรกาจำเป็นต้องใช้ข้อจำกัดระดับที่สอง (second class constraints )

ถ้าพวกมัน${\displaystyle m\neq 0}$จะไม่คงที่ภายใต้การแปลงเกจของแม่เหล็กไฟฟ้า

${\displaystyle B^{\mu }\mapsto B^{\mu }-\partial ^{\mu }f}$

โดยที่เป็นฟังก์ชันใดๆ ก็ได้ ${\displaystyle f}$

• สนามแม่เหล็กไฟฟ้า
• โฟตอน
• ควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์
• แรงโน้มถ่วงควอนตัม
• เวกเตอร์โบซอน
• สมการคลื่นสัมพัทธภาพ
• สมการไคลน์-กอร์ดอน (สปิน 0)
• สมการดิแรก (สปิน 1/2)

• พี. ลาเบลล์ (2010), การไขความลับของซูเปอร์สมมาตร , แมคกรอว์ฮิลล์ (สหรัฐอเมริกา), ISBN 978-0-07-163641-4
• D. McMahon (2008), ทฤษฎีสนามควอนตัม , McGraw Hill (สหรัฐอเมริกา), ISBN 978-0-07-154382-8
• D. McMahon (2006), Quantum Mechanics Demystified , McGraw Hill (USA), ISBN 0-07-145546 9