ในทางคณิตศาสตร์แคลคูลัสริชชี ประกอบด้วยกฎของสัญกรณ์ดัชนีและการจัดการสำหรับเทนเซอร์และฟิลด์เทนเซอร์บนแมนิโฟลด์ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ไม่ว่าจะมีเมตริกเทนเซอร์หรือการเชื่อมต่อหรือ ไม่ก็ตาม ^{[ a ] ​​[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}นอกจากนี้ยังเป็นชื่อสมัยใหม่ของสิ่งที่เคยเรียกว่าแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์สัมบูรณ์ (รากฐานของแคลคูลัสเทนเซอร์) แคลคูลัสเทนเซอร์หรือการวิเคราะห์เทนเซอร์ซึ่งพัฒนาโดยเกรกอริโอ ริชชี-เคอร์บาสโตรในปี 1887–1896 และต่อมาได้รับความนิยมในบทความที่เขียนร่วมกับทุลลิโอ เลวี-ซีวิทา ลูกศิษย์ของเขา ในปี 1900 ^{[ 4 ]}แยน อาร์โนลด์ัส สเคาเทนได้พัฒนาสัญกรณ์และรูปแบบสมัยใหม่สำหรับกรอบทางคณิตศาสตร์นี้ และมีส่วนร่วมในทฤษฎีระหว่างการประยุกต์ใช้กับทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปและเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 ^{[ 5 ]}พื้นฐานของการวิเคราะห์เทนเซอร์สมัยใหม่ได้รับการพัฒนาโดยBernhard Riemannในบทความเมื่อปี พ.ศ. 2404 ^{[ 6 ]}

ส่วนประกอบของเทนเซอร์คือจำนวนจริงที่ใช้เป็นสัมประสิทธิ์ขององค์ประกอบพื้นฐานสำหรับปริภูมิเทนเซอร์ เทนเซอร์คือผลรวมของส่วนประกอบคูณด้วยองค์ประกอบพื้นฐานที่สอดคล้องกัน เทนเซอร์และฟิลด์เทนเซอร์สามารถแสดงได้ในรูปของส่วนประกอบ และการดำเนินการกับเทนเซอร์และฟิลด์เทนเซอร์สามารถแสดงได้ในรูปของการดำเนินการกับส่วนประกอบ การอธิบายฟิลด์เทนเซอร์และการดำเนินการกับฟิลด์เหล่านั้นในรูปของส่วนประกอบเป็นจุดสำคัญของแคลคูลัสริชชี สัญกรณ์นี้ช่วยให้สามารถแสดงฟิลด์เทนเซอร์และการดำเนินการดังกล่าวได้อย่างมีประสิทธิภาพ แม้ว่าสัญกรณ์ส่วนใหญ่จะสามารถนำไปใช้กับเทนเซอร์ใดๆ ก็ได้ แต่การดำเนินการที่เกี่ยวข้องกับโครงสร้างเชิงอนุพันธ์นั้นใช้ได้เฉพาะกับฟิลด์เทนเซอร์เท่านั้น ในกรณีที่จำเป็น สัญกรณ์จะขยายไปยังส่วนประกอบของสิ่งที่ไม่ใช่เทนเซอร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งอาร์เรย์หลายมิติ

เทนเซอร์สามารถแสดงได้ในรูปผลรวมเชิงเส้นของผลคูณเทนเซอร์ของ องค์ประกอบฐาน เวกเตอร์และโคเวกเตอร์ส่วนประกอบเทนเซอร์ที่ได้จะถูกกำหนดด้วยดัชนีของฐาน แต่ละดัชนีจะมีค่าที่เป็นไปได้หนึ่งค่าต่อมิติของปริภูมิเวกเตอร์ พื้นฐาน จำนวนดัชนีเท่ากับดีกรี (หรืออันดับ) ของเทนเซอร์

เพื่อความกระชับและสะดวก แคลคูลัสริชชีจึงใช้สัญกรณ์ของไอน์สไตน์ซึ่งหมายถึงการหาผลรวมของดัชนีที่ซ้ำกันภายในพจน์ และการหาปริมาณแบบสากลของดัชนีอิสระ โดยทั่วไปแล้ว นิพจน์ในสัญกรณ์ของแคลคูลัสริชชีสามารถตีความได้ว่าเป็นชุดสมการเชิงเส้นพร้อมกันที่เชื่อมโยงส่วนประกอบต่างๆ ในฐานะฟังก์ชันบนแมนิโฟลด์ โดยปกติแล้วจะเฉพาะเจาะจงมากขึ้นในฐานะฟังก์ชันของพิกัดบนแมนิโฟลด์ วิธีนี้ช่วยให้สามารถจัดการกับนิพจน์ได้อย่างเป็นธรรมชาติโดยอาศัยเพียงชุดกฎที่จำกัดเท่านั้น

แคลคูลัสเทนเซอร์มีการประยุกต์ใช้มากมายในฟิสิกส์วิศวกรรมและวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์รวมถึงความยืดหยุ่นกลศาสตร์ต่อเนื่องแม่เหล็กไฟฟ้า (ดูคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของสนามแม่เหล็กไฟฟ้า ) ทฤษฎีสั มพัทธภาพทั่วไป (ดูคณิตศาสตร์ของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ) ทฤษฎีสนามควอนตัมและ การเรียน รู้ ของเครื่องจักร

Shiing-Shen Chernนักเรขาคณิตผู้ทรงอิทธิพล ซึ่งทำงานร่วมกับ Élie Cartan ผู้สนับสนุนหลักของแคลคูลัสภายนอก ได้สรุปบทบาทของแคลคูลัสเทนเซอร์ไว้ดังนี้: ^{[ 7 ]}

ในวิชาเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ที่เราพูดถึงกันนั้น หนึ่งในความยากลำบากคือ เรขาคณิตถูกอธิบายด้วยพิกัด แต่พิกัดเหล่านั้นไม่มีความหมาย พวกมันสามารถเปลี่ยนแปลงได้ และเพื่อจัดการกับสถานการณ์เช่นนี้ เครื่องมือที่สำคัญคือ การวิเคราะห์เทนเซอร์ หรือแคลคูลัสริชชี ซึ่งเป็นสิ่งใหม่สำหรับนักคณิตศาสตร์ ในทางคณิตศาสตร์ คุณมีฟังก์ชัน คุณเขียนฟังก์ชันลงไป คุณคำนวณ หรือคุณบวก หรือคุณคูณ หรือคุณสามารถหาอนุพันธ์ได้ คุณมีบางสิ่งที่เป็นรูปธรรมมาก ในเรขาคณิต สถานการณ์ทางเรขาคณิตถูกอธิบายด้วยตัวเลข แต่คุณสามารถเปลี่ยนตัวเลขเหล่านั้นได้ตามอำเภอใจ ดังนั้นเพื่อจัดการกับเรื่องนี้ คุณจึงต้องใช้แคลคูลัสริชชี

ในกรณีที่ต้องแยกความแตกต่างระหว่างองค์ประกอบพื้นฐานแบบอวกาศและองค์ประกอบแบบเวลาในปริภูมิเวลาสี่มิติของฟิสิกส์คลาสสิก โดยทั่วไปจะทำผ่านดัชนีดังต่อไปนี้: ^{[ 8 ]}

• อักษรละติน ตัวเล็กa , b , c , ...ใช้เพื่อระบุข้อจำกัดในปริภูมิยูคลิด 3 มิติ ซึ่งมีค่าเป็น 1, 2, 3 สำหรับส่วนประกอบเชิงพื้นที่ และส่วนประกอบเชิงเวลาซึ่งแสดงด้วยเลข 0 จะแสดงแยกต่างหาก
• อักษรกรีก ตัวเล็กα , β , γ , ...ใช้สำหรับปริภูมิเวลา 4 มิติ ซึ่งโดยทั่วไปจะมีค่าเป็น 0 สำหรับส่วนประกอบของเวลา และ 1, 2, 3 สำหรับส่วนประกอบของปริภูมิ

แหล่งข้อมูลบางแห่งใช้เลข 4 แทนเลข 0 เป็นค่าดัชนีที่สอดคล้องกับเวลา ในบทความนี้ใช้เลข 0 อย่างไรก็ตาม ในบริบททางคณิตศาสตร์ทั่วไป สามารถใช้สัญลักษณ์ใดก็ได้เป็นดัชนี โดยทั่วไปจะครอบคลุมทุกมิติของปริภูมิเวกเตอร์

โดยปกติแล้ว ผู้เขียนจะระบุให้ชัดเจนว่าตัวเลขห้อยนั้นมีไว้เพื่อเป็นดัชนีหรือเพื่อเป็นป้ายกำกับ

ตัวอย่างเช่น ในปริภูมิยูคลิด 3 มิติ และใช้พิกัดคาร์ทีเซียนเวกเตอร์พิกัด A = ( A ₁ , A ₂ , A ₃ ) = ( A _x , A _y , A _z )แสดงให้เห็นถึงความสอดคล้องโดยตรงระหว่างตัวห้อย 1, 2, 3 กับป้ายกำกับx , y , zในนิพจน์A _iนั้นiถูกตีความว่าเป็นดัชนีที่มีค่าตั้งแต่ 1, 2, 3 ในขณะที่ ตัวห้อย x , y , zเป็นเพียงป้ายกำกับ ไม่ใช่ตัวแปร ในบริบทของปริภูมิเวลา ค่าดัชนี 0 ตามธรรมเนียมจะสอดคล้องกับป้ายกำกับ t

ดัชนีอาจมีการระบุด้วย สัญลักษณ์คล้าย เครื่องหมายกำกับเช่นหมวก (ˆ), ขีด (¯), เครื่องหมายทิลเด (˜) หรือเครื่องหมายไพรม์ (′) ดังตัวอย่าง:

${\displaystyle X_{\hat {\phi }}\,,Y_{\bar {\lambda }}\,,Z_{\tilde {\eta }}\,,T_{\mu '}}$

เพื่อแสดงถึง ฐานที่อาจแตกต่างกันสำหรับดัชนีนั้น ตัวอย่างเช่น ในการแปลงลอเรนซ์จากกรอบอ้างอิง หนึ่ง ไปยังอีกกรอบอ้างอิงหนึ่ง ซึ่งกรอบอ้างอิงหนึ่งอาจไม่มีไพรม์และอีกกรอบอ้างอิงหนึ่งมีไพรม์ ดังเช่น:

${\displaystyle v^{\mu '}=v^{\nu }L_{\nu }{}^{\mu '}.}$

สิ่งนี้ไม่ควรสับสนกับสัญกรณ์ของแวน เดอร์ แวร์เดนสำหรับสปินเนอร์ซึ่งใช้หมวกและจุดเหนือตัวเลขดัชนีเพื่อสะท้อนถึงไครัลลิตีของสปินเนอร์

แคลคูลัสของริชชี และสัญกรณ์ดัชนีโดยทั่วไป แยกความแตกต่างระหว่างดัชนีล่าง (ตัวห้อย) และดัชนีบน (ตัวยก) โดยที่ตัวยกนั้นไม่ใช่เลขยกกำลัง แม้ว่าผู้อ่านที่คุ้นเคยกับคณิตศาสตร์สาขาอื่น ๆ อาจมองเช่นนั้นก็ตาม

ในกรณีพิเศษที่เมตริกเทนเซอร์เท่ากับเมทริกซ์เอกลักษณ์ทุกจุด เราอาจละเว้นความแตกต่างระหว่างดัชนีบนและล่างได้ และเขียนดัชนีทั้งหมดไว้ในตำแหน่งล่างได้ สูตรพิกัดในพีชคณิตเชิงเส้น เช่น สูตรสำหรับผลคูณของเมทริกซ์ อาจเป็นตัวอย่างของกรณีนี้ แต่โดยทั่วไปแล้ว ควรคงความแตกต่างระหว่างดัชนีบนและล่างไว้ ${\displaystyle a_{ij}b_{jk}}$

ดัชนีที่ต่ำกว่า (ตัวห้อย) แสดงถึงความแปรปรวนร่วมของส่วนประกอบต่างๆ โดยสัมพันธ์กับดัชนีนั้น:

${\displaystyle A_{\alpha \beta \gamma \cdots }}$

ดัชนีตัวบน (ตัวยก) แสดงถึงความแปรผกผันของส่วนประกอบต่างๆ เมื่อเทียบกับดัชนีนั้น:

${\displaystyle A^{\alpha \beta \gamma \cdots }}$

เทนเซอร์อาจมีทั้งดัชนีบนและดัชนีล่าง:

${\displaystyle A_{\alpha }{}^{\beta }{}_{\gamma }{}^{\delta \cdots }.}$

ลำดับของดัชนีมีความสำคัญ แม้ว่าจะมีค่าความแปรปรวนต่างกันก็ตาม อย่างไรก็ตาม เมื่อเข้าใจว่าดัชนีจะไม่ถูกปรับเพิ่มหรือลดลงในขณะที่ยังคงสัญลักษณ์พื้นฐานไว้ ดัชนีร่วมแปรจึงอาจถูกวางไว้ต่ำกว่าดัชนีผกผันแปรเพื่อความสะดวกในการเขียน (เช่นเดียวกับเดลต้าโครเนกเกอร์แบบทั่วไป )

จำนวนของดัชนีบนและดัชนีล่างของเทนเซอร์แต่ละตัวบ่งบอกถึงประเภท ของเทนเซอร์นั้น กล่าว คือ เทนเซอร์ที่มี ดัชนีบน pตัวและ ดัชนีล่าง qตัว เรียกว่าเทนเซอร์ประเภท( p , q )หรือเทนเซอร์ ประเภท ( p , q )

จำนวนดัชนีของเทนเซอร์ โดยไม่คำนึงถึงความแปรปรวน เรียกว่าดีกรีของเทนเซอร์ (หรืออาจเรียกว่าค่าสัมประสิทธิ์อันดับหรือลำดับแม้ว่าคำว่าลำดับจะกำกวมก็ตาม) ดังนั้น เทนเซอร์ประเภท( p , q )จึง มีดีกรีp + q

สัญลักษณ์เดียวกันที่ปรากฏสองครั้ง (ตัวพิมพ์ใหญ่หนึ่งตัวและตัวพิมพ์เล็กหนึ่งตัว) ภายในพจน์บ่งชี้ถึงคู่ของดัชนีที่จะนำมาบวกกัน:

${\displaystyle A_{\alpha }B^{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A_{\alpha }B^{\alpha }\quad {\text{or}}\quad A^{\alpha }B_{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A^{\alpha }B_{\alpha }\,.}$

การดำเนินการที่เกี่ยวข้องกับการบวกดังกล่าวเรียกว่าการหดตัวของเทนเซอร์ (Tensor Contraction ):

${\displaystyle A_{\alpha }B^{\beta }\rightarrow A_{\alpha }B^{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A_{\alpha }B^{\alpha }\,.}$

ผลรวมนี้อาจเกิดขึ้นมากกว่าหนึ่งครั้งภายในพจน์ที่มีสัญลักษณ์แตกต่างกันสำหรับแต่ละคู่ดัชนี ตัวอย่างเช่น:

${\displaystyle A_{\alpha }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }\equiv \sum _{\alpha }\sum _{\gamma }A_{\alpha }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }\,.}$

การใช้ดัชนีซ้ำกันในรูปแบบอื่นภายในคำเดียวกัน ถือว่าเป็นรูปแบบที่ไม่ถูกต้อง เช่น

${\displaystyle A_{\alpha \alpha }{}^{\gamma }\qquad }$	(การใช้คำว่าare lower ทั้งสองครั้ง ถือว่าถูกต้องแล้ว) ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle A_{\alpha }{}^{\alpha \gamma }}$
${\displaystyle A_{\alpha \gamma }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }}$	( ปรากฏสองครั้งในฐานะดัชนีล่างหรือก็คงไม่เป็นไร) ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle A_{\alpha \gamma }{}^{\gamma }B^{\alpha }}$${\displaystyle A_{\alpha \delta }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }}$

เหตุผลที่ไม่รวมสูตรดังกล่าวก็คือ แม้ว่าปริมาณเหล่านี้จะสามารถคำนวณได้ในรูปของอาร์เรย์ของตัวเลข แต่โดยทั่วไปแล้วจะไม่สามารถแปลงเป็นเทนเซอร์ได้เมื่อมีการเปลี่ยนฐาน

หากเทนเซอร์มีรายการดัชนีบนหรือล่างทั้งหมด วิธีย่ออย่างหนึ่งคือการใช้อักษรตัวพิมพ์ใหญ่สำหรับรายการ: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle A_{i_{1}\cdots i_{n}}B^{i_{1}\cdots i_{n}j_{1}\cdots j_{m}}C_{j_{1}\cdots j_{m}}\equiv A_{I}B^{IJ}C_{J},}$

โดยที่I = i ₁ i ₂ ⋅⋅⋅ i _nและJ = j ₁ j ₂ ⋅⋅⋅ j _m .

แถบแนวตั้งคู่หนึ่ง| ⋅ |รอบชุดดัชนีที่เป็นตัวพิมพ์ใหญ่ทั้งหมดหรือดัชนีที่เป็นตัวพิมพ์เล็กทั้งหมด (แต่ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง) ซึ่งเกี่ยวข้องกับการหดตัวกับชุดดัชนีอื่นเมื่อนิพจน์มีความสมมาตรอย่างสมบูรณ์ในแต่ละชุดดัชนีทั้งสองชุด: ^{[ 10 ]}

${\displaystyle A_{|\alpha \beta \gamma |\cdots }B^{\alpha \beta \gamma \cdots }=A_{\alpha \beta \gamma \cdots }B^{|\alpha \beta \gamma |\cdots }=\sum _{\alpha <\beta <\gamma }A_{\alpha \beta \gamma \cdots }B^{\alpha \beta \gamma \cdots }}$

หมายถึงผลรวมที่จำกัดของค่าดัชนี โดยที่ดัชนีแต่ละตัวจะต้องมีค่าน้อยกว่าดัชนีถัดไปอย่างเคร่งครัด สามารถรวมกลุ่มได้มากกว่าหนึ่งกลุ่มด้วยวิธีนี้ ตัวอย่างเช่น:

${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{|\alpha \beta \gamma |}{}^{|\delta \epsilon \cdots \lambda |}B^{\alpha \beta \gamma }{}_{\delta \epsilon \cdots \lambda |\mu \nu \cdots \zeta |}C^{\mu \nu \cdots \zeta }\\[3pt]={}&\sum _{\alpha <\beta <\gamma }~\sum _{\delta <\epsilon <\cdots <\lambda }~\sum _{\mu <\nu <\cdots <\zeta }A_{\alpha \beta \gamma }{}^{\delta \epsilon \cdots \lambda }B^{\alpha \beta \gamma }{}_{\delta \epsilon \cdots \lambda \mu \nu \cdots \zeta }C^{\mu \nu \cdots \zeta }\end{aligned}}}$

เมื่อใช้สัญกรณ์ดัชนีหลายตัว จะมีการวางลูกศรชี้ลงไว้ใต้บล็อกดัชนี: ^{[ 11 ]}

${\displaystyle A_{\underset {\rightharpoondown }{P}}{}^{\underset {\rightharpoondown }{Q}}B^{P}{}_{Q{\underset {\rightharpoondown }{R}}}C^{R}=\sum _{\underset {\rightharpoondown }{P}}\sum _{\underset {\rightharpoondown }{Q}}\sum _{\underset {\rightharpoondown }{R}}A_{P}{}^{Q}B^{P}{}_{QR}C^{R}}$

ที่ไหน

${\displaystyle {\underset {\rightharpoondown }{P}}=|\alpha \beta \gamma |\,,\quad {\underset {\rightharpoondown }{Q}}=|\delta \epsilon \cdots \lambda |\,,\quad {\underset {\rightharpoondown }{R}}=|\mu \nu \cdots \zeta |}$

โดยการหดตัวของดัชนีกับเทนเซอร์เมตริก ที่ไม่เอกฐาน ประเภท ของเทนเซอร์สามารถเปลี่ยนแปลงได้ โดยแปลงดัชนีล่างเป็นดัชนีบน หรือในทางกลับกัน:

${\displaystyle B^{\gamma }{}_{\beta \cdots }=g^{\gamma \alpha }A_{\alpha \beta \cdots }\quad {\text{and}}\quad A_{\alpha \beta \cdots }=g_{\alpha \gamma }B^{\gamma }{}_{\beta \cdots }}$

ในหลายกรณี สัญลักษณ์พื้นฐานจะยังคงอยู่ (เช่น ใช้AแทนB ) และเมื่อไม่มีความกำกวม การจัดตำแหน่งดัชนีใหม่สามารถตีความได้ว่าเป็นการดำเนินการดังกล่าว

ตารางนี้สรุปว่าการจัดการดัชนีโคแวเรียนต์และคอนทราแวเรียนต์สอดคล้องกับความไม่แปรผันภายใต้การแปลงแบบพาสซีฟระหว่างฐานอย่างไร โดยส่วนประกอบของแต่ละชุดฐานในแง่ของอีกชุดหนึ่งจะสะท้อนอยู่ในคอลัมน์แรก ดัชนีที่มีขีดหมายถึงระบบพิกัดสุดท้ายหลังจากการแปลง^{[ 12 ]}

มีการใช้เดลต้าโครเนกเกอร์ดูรายละเอียดเพิ่มเติมด้านล่าง

	การแปลงฐาน	การแปลงส่วนประกอบ	ความไม่เปลี่ยนแปลง
โคเวกเตอร์, เวกเตอร์โคแวเรียนต์, 1-ฟอร์ม	${\displaystyle \omega ^{\bar {\alpha }}=L_{\beta }{}^{\bar {\alpha }}\omega ^{\beta }}$	${\displaystyle a_{\bar {\alpha }}=a_{\gamma }L^{\gamma }{}_{\bar {\alpha }}}$	${\displaystyle a_{\bar {\alpha }}\omega ^{\bar {\alpha }}=a_{\gamma }L^{\gamma }{}_{\bar {\alpha }}L_{\beta }{}^{\bar {\alpha }}\omega ^{\beta }=a_{\gamma }\delta ^{\gamma }{}_{\beta }\omega ^{\beta }=a_{\beta }\omega ^{\beta }}$
เวกเตอร์ เวกเตอร์คอนทราเวเรียนท์	${\displaystyle e_{\bar {\alpha }}=e_{\gamma }L_{\bar {\alpha }}{}^{\gamma }}$	${\displaystyle u^{\bar {\alpha }}=L^{\bar {\alpha }}{}_{\beta }u^{\beta }}$	${\displaystyle e_{\bar {\alpha }}u^{\bar {\alpha }}=e_{\gamma }L_{\bar {\alpha }}{}^{\gamma }L^{\bar {\alpha }}{}_{\beta }u^{\beta }=e_{\gamma }\delta ^{\gamma }{}_{\beta }u^{\beta }=e_{\gamma }u^{\gamma }}$

เทนเซอร์จะเท่ากันก็ต่อเมื่อส่วนประกอบที่สอดคล้องกันทุกตัวเท่ากัน ตัวอย่างเช่น เทนเซอร์Aเท่ากับเทนเซอร์Bก็ต่อเมื่อ

${\displaystyle A^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=B^{\alpha }{}_{\beta \gamma }}$

สำหรับทุกค่าα , β , γดังนั้น สัญลักษณ์ดังกล่าวจึงมีแง่มุมที่เป็นประโยชน์ในการตรวจสอบว่าสมการนั้นสมเหตุสมผลหรือไม่ (ซึ่งเป็นกระบวนการที่คล้ายคลึงกับการวิเคราะห์มิติ )

ดัชนีที่ไม่เกี่ยวข้องกับการย่อคำเรียกว่าดัชนีอิสระ ส่วนดัชนีที่ใช้ในการย่อคำเรียกว่าดัชนีเสมือนหรือดัชนีผลรวม

ส่วนประกอบของเทนเซอร์ (เช่นA ^α , B _β ^γเป็นต้น) เป็นเพียงจำนวนจริง เนื่องจากดัชนีใช้ค่าจำนวนเต็มต่างๆ เพื่อเลือกส่วนประกอบเฉพาะของเทนเซอร์ สมการเทนเซอร์เดียวจึงแทนสมการธรรมดาได้หลายสมการ ถ้าความเท่าเทียมกันของเทนเซอร์มี ดัชนีอิสระ nตัว และถ้ามิติของปริภูมิเวกเตอร์พื้นฐานคือmความเท่าเทียมกันนั้นจะแทนสมการm ⁿสมการ: แต่ละดัชนีใช้ค่าได้ทุกค่าจากชุดค่าเฉพาะ

ตัวอย่างเช่น ถ้า

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }=T^{\alpha }{}_{\beta }{}_{\delta }}$

เนื่องจาก อยู่ในสี่มิติ (กล่าวคือ ดัชนีแต่ละตัวมีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 3 หรือตั้งแต่ 1 ถึง 4) ดังนั้นเนื่องจากมีดัชนีอิสระสามตัว ( α , β , δ ) จึงมี สมการ ^4³ = 64 สมการ สามในนั้นได้แก่:

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{0}B_{1}{}^{0}C_{00}+A^{0}B_{1}{}^{1}C_{10}+A^{0}B_{1}{}^{2}C_{20}+A^{0}B_{1}{}^{3}C_{30}+D^{0}{}_{1}{}E_{0}&=T^{0}{}_{1}{}_{0}\\A^{1}B_{0}{}^{0}C_{00}+A^{1}B_{0}{}^{1}C_{10}+A^{1}B_{0}{}^{2}C_{20}+A^{1}B_{0}{}^{3}C_{30}+D^{1}{}_{0}{}E_{0}&=T^{1}{}_{0}{}_{0}\\A^{1}B_{2}{}^{0}C_{02}+A^{1}B_{2}{}^{1}C_{12}+A^{1}B_{2}{}^{2}C_{22}+A^{1}B_{2}{}^{3}C_{32}+D^{1}{}_{2}{}E_{2}&=T^{1}{}_{2}{}_{2}.\end{aligned}}}$

นี่แสดงให้เห็นถึงความกะทัดรัดและประสิทธิภาพของการใช้สัญกรณ์ดัชนี: สมการจำนวนมากที่มีโครงสร้างคล้ายกันสามารถรวบรวมไว้ในสมการเทนเซอร์ที่เรียบง่ายเพียงสมการเดียวได้

การแทนที่สัญลักษณ์ดัชนีใดๆ ด้วยสัญลักษณ์อื่นจะไม่ทำให้สมการเทนเซอร์เปลี่ยนแปลง (โดยที่ไม่มีข้อขัดแย้งกับสัญลักษณ์อื่นๆ ที่ใช้ไปแล้ว) วิธีนี้มีประโยชน์เมื่อต้องจัดการกับดัชนี เช่น การใช้สัญกรณ์ดัชนีเพื่อตรวจสอบเอกลักษณ์ของแคลคูลัสเวกเตอร์หรือเอกลักษณ์ของเดลต้าโครเนกเกอร์และสัญลักษณ์เลวี-ซีวิทา (ดูเพิ่มเติมด้านล่าง) ตัวอย่างของการเปลี่ยนแปลงที่ถูกต้องคือ:

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\rightarrow A^{\lambda }B_{\beta }{}^{\mu }C_{\mu \delta }+D^{\lambda }{}_{\beta }{}E_{\delta }\,,}$

ในขณะที่การเปลี่ยนแปลงที่ผิดพลาดคือ:

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\nrightarrow A^{\lambda }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\mu \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\,.}$

ในการแทนที่ครั้งแรกλแทนที่αและμแทนที่γทุกที่ดังนั้นนิพจน์จึงยังคงมีความหมายเหมือนเดิม ในการแทนที่ครั้งที่สองλไม่ได้แทนที่α อย่างสมบูรณ์ และμก็ไม่ได้แทนที่γ อย่างสมบูรณ์ (อนึ่ง การหดตัวบน ดัชนี γ กลาย เป็นผลคูณเทนเซอร์) ซึ่งไม่สอดคล้องกันอย่างสิ้นเชิงด้วยเหตุผลที่จะแสดงต่อไป

ดัชนีอิสระในนิพจน์เทนเซอร์จะปรากฏในตำแหน่งเดียวกัน (บนหรือล่าง) ตลอดทุกพจน์ และในสมการเทนเซอร์ ดัชนีอิสระจะเหมือนกันทั้งสองข้าง ดัชนีเสมือน (ซึ่งหมายถึงการรวมผลลัพธ์เหนือดัชนีนั้น) ไม่จำเป็นต้องเหมือนกัน ตัวอย่างเช่น:

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\delta }E_{\beta }=T^{\alpha }{}_{\beta }{}_{\delta }}$

ส่วนสำนวนที่ผิดพลาดนั้น:

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D_{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma }E^{\delta }.}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ดัชนีที่ไม่ซ้ำกันจะต้องเป็นประเภทเดียวกันในทุกพจน์ของสมการ ในเอกลักษณ์ข้างต้นα , β , δสอดคล้องกันตลอด และγปรากฏสองครั้งในพจน์หนึ่งเนื่องจากการหดตัว (ครั้งหนึ่งเป็นดัชนีบนและอีกครั้งเป็นดัชนีล่าง) ดังนั้นจึงเป็นนิพจน์ที่ถูกต้อง ในนิพจน์ที่ไม่ถูกต้อง แม้ว่าβจะสอดคล้องกัน แต่ αและδไม่สอดคล้องกัน และγปรากฏสองครั้งในพจน์หนึ่ง (การหดตัว) และหนึ่งครั้งในอีกพจน์หนึ่ง ซึ่งไม่สอดคล้องกัน

เมื่อนำกฎไปใช้กับดัชนีหลายตัว (เช่น การหาอนุพันธ์ การหาความสมมาตร เป็นต้น ซึ่งจะแสดงต่อไป) เครื่องหมายวงเล็บหรือเครื่องหมายวรรคตอนที่แสดงถึงกฎนั้น จะปรากฏเฉพาะในกลุ่มดัชนีกลุ่มใดกลุ่มหนึ่งที่เกี่ยวข้องเท่านั้น

หากวงเล็บครอบคลุมดัชนีโคแวเรียนต์ – กฎนี้จะใช้ได้เฉพาะกับดัชนีโคแวเรียนต์ทั้งหมดที่อยู่ภายในวงเล็บเท่านั้น ไม่ใช่ดัชนีคอนทราแวเรียนต์ใดๆ ที่บังเอิญอยู่ระหว่างวงเล็บ

ในทำนองเดียวกัน หากวงเล็บครอบคลุมดัชนีแบบคอนทราแวเรียนต์ – กฎนี้จะใช้ได้เฉพาะกับดัชนีแบบคอนทราแวเรียนต์ที่อยู่ภายในวงเล็บ เท่านั้น ไม่ใช่ดัชนีแบบโคแวเรียนต์ที่อยู่ตรงกลาง

วงเล็บ ( )รอบดัชนีหลายตัวแสดงถึงส่วนสมมาตรของเทนเซอร์ เมื่อทำการสมมาตรดัชนีp ตัวโดยใช้ σครอบคลุมการเรียงสับเปลี่ยนของตัวเลข 1 ถึงpจะทำการหาผลรวมของการเรียงสับเปลี่ยนของดัชนีเหล่านั้นα _{σ ( i )}สำหรับi = 1, 2, 3, ..., pแล้วหารด้วยจำนวนการเรียงสับเปลี่ยน:

${\displaystyle A_{(\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p})\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}={\dfrac {1}{p!}}\sum _{\sigma }A_{\alpha _{\sigma (1)}\cdots \alpha _{\sigma (p)}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\,.}$

ตัวอย่างเช่น ดัชนีสมมาตรสองตัวหมายความว่ามีดัชนีสองตัวที่จะสลับตำแหน่งและหาผลรวม:

${\displaystyle A_{(\alpha \beta )\gamma \cdots }={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \cdots }+A_{\beta \alpha \gamma \cdots }\right)}$

ในขณะที่สำหรับดัชนีสมมาตรสามตัว จะมีดัชนีสามตัวที่ต้องนำมาบวกและสลับตำแหน่ง:

${\displaystyle A_{(\alpha \beta \gamma )\delta \cdots }={\dfrac {1}{3!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \delta \cdots }+A_{\gamma \alpha \beta \delta \cdots }+A_{\beta \gamma \alpha \delta \cdots }+A_{\alpha \gamma \beta \delta \cdots }+A_{\gamma \beta \alpha \delta \cdots }+A_{\beta \alpha \gamma \delta \cdots }\right)}$

การทำให้สมมาตรเป็นการกระจายตัวเหนือการบวก

${\displaystyle A_{(\alpha }\left(B_{\beta )\gamma \cdots }+C_{\beta )\gamma \cdots }\right)=A_{(\alpha }B_{\beta )\gamma \cdots }+A_{(\alpha }C_{\beta )\gamma \cdots }}$

ดัชนีจะไม่เป็นส่วนหนึ่งของการทำให้สมมาตรเมื่อเป็นดังนี้:

• ตัวอย่างเช่น ไม่ได้อยู่ในระดับเดียวกัน

  ${\displaystyle A_{(\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma )}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma }+A_{\gamma }B^{\beta }{}_{\alpha }\right)}$

• ภายในวงเล็บและระหว่างเส้นแนวตั้ง (เช่น |⋅⋅⋅|) ซึ่งเป็นการปรับเปลี่ยนตัวอย่างก่อนหน้านี้

  ${\displaystyle A_{(\alpha }B_{|\beta |}{}_{\gamma )}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B_{\beta \gamma }+A_{\gamma }B_{\beta \alpha }\right)}$

ในที่นี้ ดัชนี αและγมีความสมมาตร แต่βไม่มีความสมมาตร

วงเล็บเหลี่ยม [ ]รอบดัชนีหลายตัว หมายถึง ส่วน ที่ไม่สมมาตรของเทนเซอร์ สำหรับ ดัชนีที่ไม่สมมาตร pตัว – ผลรวมของการเรียงสับเปลี่ยนของดัชนีเหล่านั้นα _{σ ( i )}คูณด้วยเครื่องหมายของการเรียงสับเปลี่ยนsgn( σ )จะถูกนำมาใช้ จากนั้นหารด้วยจำนวนการเรียงสับเปลี่ยน:

${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}]\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\[3pt]={}&{\dfrac {1}{p!}}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn}(\sigma )A_{\alpha _{\sigma (1)}\cdots \alpha _{\sigma (p)}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\={}&\delta _{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}^{\beta _{1}\dots \beta _{p}}A_{\beta _{1}\cdots \beta _{p}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\\end{aligned}}}$

โดยที่δβ 1 ⋅⋅⋅ β p α 1 ⋅⋅⋅ α pคือ เดลต้า โครเนกเกอร์ทั่วไประดับ2pโดยมีการปรับขนาดตามที่กำหนดไว้ด้านล่าง

ตัวอย่างเช่น ดัชนีที่ไม่สมมาตรสองตัวหมายความว่า:

${\displaystyle A_{[\alpha \beta ]\gamma \cdots }={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \cdots }-A_{\beta \alpha \gamma \cdots }\right)}$

ในขณะที่ดัชนีต่อต้านสมมาตรสามตัวบ่งชี้ว่า:

${\displaystyle A_{[\alpha \beta \gamma ]\delta \cdots }={\dfrac {1}{3!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \delta \cdots }+A_{\gamma \alpha \beta \delta \cdots }+A_{\beta \gamma \alpha \delta \cdots }-A_{\alpha \gamma \beta \delta \cdots }-A_{\gamma \beta \alpha \delta \cdots }-A_{\beta \alpha \gamma \delta \cdots }\right)}$

สำหรับตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้น ถ้าFแทนเทนเซอร์แม่เหล็กไฟฟ้าสมการจะเป็นดังนี้

${\displaystyle 0=F_{[\alpha \beta ,\gamma ]}={\dfrac {1}{3!}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\gamma \alpha ,\beta }+F_{\beta \gamma ,\alpha }-F_{\beta \alpha ,\gamma }-F_{\alpha \gamma ,\beta }-F_{\gamma \beta ,\alpha }\right)\,}$

แสดงถึงกฎของเกาส์สำหรับแม่เหล็กและกฎการเหนี่ยวนำของฟาราเดย์

เช่นเดียวกับที่กล่าวมาแล้ว การทำให้สมมาตรแบบผกผันนั้นเป็นการกระจายตัวเหนือการบวก

${\displaystyle A_{[\alpha }\left(B_{\beta ]\gamma \cdots }+C_{\beta ]\gamma \cdots }\right)=A_{[\alpha }B_{\beta ]\gamma \cdots }+A_{[\alpha }C_{\beta ]\gamma \cdots }}$

เช่นเดียวกับการทำให้สมมาตร ดัชนีจะไม่ถูกทำให้ไม่สมมาตรเมื่อเป็นไปตามเงื่อนไขดังต่อไปนี้:

• ตัวอย่างเช่น ไม่ได้อยู่ในระดับเดียวกัน

  ${\displaystyle A_{[\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma ]}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma }-A_{\gamma }B^{\beta }{}_{\alpha }\right)}$

• ภายในวงเล็บเหลี่ยมและระหว่างเส้นแนวตั้ง (เช่น |⋅⋅⋅|) โดยปรับเปลี่ยนตัวอย่างก่อนหน้านี้

  ${\displaystyle A_{[\alpha }B_{|\beta |}{}_{\gamma ]}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B_{\beta \gamma }-A_{\gamma }B_{\beta \alpha }\right)}$

ในที่นี้ ดัชนี αและγเป็นแบบสมมาตรผกผันส่วน βไม่ใช่

เทนเซอร์ใดๆ สามารถเขียนได้ในรูปผลรวมของส่วนสมมาตรและส่วนปฏิสมมาตรบนดัชนีสองตัว:

${\displaystyle A_{\alpha \beta \gamma \cdots }=A_{(\alpha \beta )\gamma \cdots }+A_{[\alpha \beta ]\gamma \cdots }}$

ดังที่เห็นได้จากการบวกนิพจน์ข้างต้นสำหรับA _{( αβ ) γ ⋅⋅⋅}และA _{[ αβ ] γ ⋅⋅⋅}ซึ่งใช้ไม่ได้กับดัชนีอื่นนอกจากสองตัว

เพื่อความกระชับ สามารถระบุอนุพันธ์ได้โดยการเพิ่มดัชนีหลังเครื่องหมายจุลภาคหรือเครื่องหมายอัฒภาค^{[ 13 ] [ 14 ]}

แม้ว่านิพจน์ส่วนใหญ่ของแคลคูลัสริชชีจะใช้ได้กับฐานใดๆ ก็ตาม แต่นิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์ย่อยของส่วนประกอบเทนเซอร์เทียบกับพิกัดจะใช้ได้เฉพาะกับฐานพิกัด เท่านั้น กล่าวคือ ฐานที่กำหนดโดยการหาอนุพันธ์เทียบกับพิกัด โดยทั่วไปพิกัดจะถูกแทนด้วยx ^μแต่โดยทั่วไปแล้วจะไม่ใช่ส่วนประกอบของเวกเตอร์ ในปริภูมิเวลาแบบราบที่มีการกำหนดพิกัดเชิงเส้น คู่ของผลต่างในพิกัดΔ x ^μสามารถถือได้ว่าเป็นเวกเตอร์แบบคอนทราเวเรียนต์ ด้วยข้อจำกัดเดียวกันในปริภูมิและการเลือกใช้ระบบพิกัด อนุพันธ์ย่อยเทียบกับพิกัดจะให้ผลลัพธ์ที่มีลักษณะเป็นแบบโคเวเรียนต์ นอกเหนือจากการใช้งานในกรณีพิเศษนี้แล้ว อนุพันธ์ย่อยของส่วนประกอบของเทนเซอร์โดยทั่วไปแล้วจะไม่แปลงแบบโคเวเรียนต์ แต่มีประโยชน์ในการสร้างนิพจน์ที่เป็นโคเวเรียนต์ แม้ว่าจะยังคงมีฐานพิกัดอยู่ก็ตาม หากมีการใช้อนุพันธ์ย่อยอย่างชัดเจน เช่นเดียวกับอนุพันธ์แบบโคเวเรียนต์ อนุพันธ์ภายนอก และอนุพันธ์ลีที่กล่าวถึงด้านล่าง

ในการระบุอนุพันธ์ย่อยของส่วนประกอบของสนามเทนเซอร์เทียบกับตัวแปรพิกัดx ^γ จะต้องใส่ เครื่องหมายจุลภาคไว้หน้าดัชนีล่างของตัวแปรพิกัดที่ต่อท้าย

${\displaystyle A_{\alpha \beta \cdots ,\gamma }={\dfrac {\partial }{\partial x^{\gamma }}}A_{\alpha \beta \cdots }}$

สามารถทำซ้ำได้ (โดยไม่ต้องใส่เครื่องหมายจุลภาคเพิ่มเติม):

${\displaystyle A_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p}\,,\,\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}={\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha _{q}}}}\cdots {\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha _{p+2}}}}{\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha _{p+1}}}}A_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p}}.}$

ส่วนประกอบเหล่านี้จะไม่แปลงแบบโคแวเรียนต์ เว้นแต่ว่านิพจน์ที่กำลังหาอนุพันธ์จะเป็นสเกลาร์ อนุพันธ์นี้มีลักษณะเฉพาะโดยกฎผลคูณและอนุพันธ์ของพิกัด

${\displaystyle x^{\alpha }{}_{,\gamma }=\delta _{\gamma }^{\alpha },}$

โดยที่δคือเดลต้าโครเนกเกอร์

อนุพันธ์โคแวเรียนต์จะถูกกำหนดก็ต่อเมื่อ มีการกำหนดการ เชื่อมต่อสำหรับฟิลด์เทนเซอร์ใดๆ เครื่องหมาย เซมิโคลอน (  ; ) ที่วางไว้หน้าดัชนีล่าง (โคแวเรียนต์) ที่ต่อท้ายจะบ่งชี้ถึงการหาอนุพันธ์โคแวเรียนต์ ทางเลือกอื่นๆ ที่พบได้น้อยกว่าสำหรับเครื่องหมายเซมิโคลอน ได้แก่เครื่องหมายทับ ( / ) ^{[ 15 ]}หรือในพื้นที่โค้งสามมิติ เครื่องหมายขีดแนวตั้งเดี่ยว (  |  ) ^{[ 16 ]}

อนุพันธ์โคแวเรียนต์ของฟังก์ชันสเกลาร์ เวกเตอร์คอนทราแวเรียนต์ และเวกเตอร์โคแวเรียนต์ คือ:

${\displaystyle f_{;\beta }=f_{,\beta }}$

${\displaystyle A^{\alpha }{}_{;\beta }=A^{\alpha }{}_{,\beta }+\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }A^{\gamma }}$

${\displaystyle A_{\alpha ;\beta }=A_{\alpha ,\beta }-\Gamma ^{\gamma }{}_{\alpha \beta }A_{\gamma }\,,}$

โดยที่Γ ^α _γβคือสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อ

สำหรับเทนเซอร์ใดๆ: ^{[ 17 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\gamma }&\\=T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s},\gamma }&+\,\Gamma ^{\alpha _{1}}{}_{\delta \gamma }T^{\delta \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}+\cdots +\Gamma ^{\alpha _{r}}{}_{\delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\delta }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&-\,\Gamma ^{\delta }{}_{\beta _{1}\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\delta \beta _{2}\cdots \beta _{s}}-\cdots -\Gamma ^{\delta }{}_{\beta _{s}\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\delta }\,.\end{aligned}}}$

สัญลักษณ์ทางเลือกสำหรับอนุพันธ์โคแวเรียนต์ของเทนเซอร์ใดๆ คือสัญลักษณ์นาบลาที่มีตัวห้อย∇ _βสำหรับกรณีของสนามเวกเตอร์A ^α : ^{[ 18 ]}

${\displaystyle \nabla _{\beta }A^{\alpha }=A^{\alpha }{}_{;\beta }\,.}$

การกำหนดสูตรโคแวเรียนต์ของอนุพันธ์ทิศทางของสนามเทนเซอร์ใดๆ ตามเวกเตอร์v ^γอาจแสดงได้โดยการหดตัวกับอนุพันธ์โคแวเรียนต์ เช่น:

${\displaystyle v^{\gamma }A_{\alpha ;\gamma }\,.}$

ส่วนประกอบของอนุพันธ์ของสนามเทนเซอร์นี้จะแปลงแบบโคแวเรียนต์ และด้วยเหตุนี้จึงก่อให้เกิดสนามเทนเซอร์อีกสนามหนึ่ง แม้ว่านิพจน์ย่อย (อนุพันธ์ย่อยและสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อ) แยกกันจะไม่แปลงแบบโคแวเรียนต์ก็ตาม

อนุพันธ์นี้มีลักษณะเฉพาะตามกฎการคูณ:

${\displaystyle (A^{\alpha }{}_{\beta \cdots }B^{\gamma }{}_{\delta \cdots })_{;\epsilon }=A^{\alpha }{}_{\beta \cdots ;\epsilon }B^{\gamma }{}_{\delta \cdots }+A^{\alpha }{}_{\beta \cdots }B^{\gamma }{}_{\delta \cdots ;\epsilon }\,.}$

การเชื่อมต่อ Koszulบนมัดสัมผัสของแมนิโฟลด์ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้เรียกว่าการเชื่อมต่อแบบแอฟฟิน

การเชื่อมต่อจะเป็นการเชื่อมต่อแบบเมตริกก็ต่อเมื่ออนุพันธ์ร่วมแปรของเทนเซอร์เมตริกมีค่าเป็นศูนย์:

${\displaystyle g_{\mu \nu ;\xi }=0\,.}$

การเชื่อมต่อเชิงเส้นตรง (affine connection ) ที่เป็นทั้งการเชื่อมต่อเชิงเมตริก (metric connection) เรียกว่าการเชื่อมต่อแบบรีมันน์ (Riemannian connection) การเชื่อมต่อแบบรีมันน์ที่ปราศจากแรงบิด (torsion-free) (กล่าวคือเทนเซอร์แรงบิดเป็นศูนย์: T ^α _βγ = 0 ) เรียกว่าการเชื่อมต่อแบบเลวี-ซิวิทา (Levi-Civita connection )

สัญลักษณ์Γ ^α _βγสำหรับการเชื่อมต่อ Levi-Civita ในฐานพิกัดเรียกว่าสัญลักษณ์ Christoffelชนิดที่สอง

อนุพันธ์ภายนอกของฟิลด์เทนเซอร์แบบแอนติสมมาตรโดยสมบูรณ์(0, s )ที่มีส่วนประกอบA _{α 1 ⋅⋅⋅ α s} (เรียกอีกอย่างว่ารูปแบบเชิงอนุพันธ์ ) คืออนุพันธ์ที่แปรผันร่วมภายใต้การแปลงฐาน มันไม่ขึ้นอยู่กับเทนเซอร์เมตริกหรือการเชื่อมต่อใดๆ มันต้องการเพียงโครงสร้างของแมนิโฟลด์ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ในฐานพิกัด มันสามารถแสดงได้ในรูปของแอนติสมมาตรของอนุพันธ์ย่อยของส่วนประกอบเทนเซอร์: ^{[ 3 ] : 232–233}

${\displaystyle (\mathrm {d} A)_{\gamma \alpha _{1}\cdots \alpha _{s}}={\frac {\partial }{\partial x^{[\gamma }}}A_{\alpha _{1}\cdots \alpha _{s}]}=A_{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{s},\gamma ]}.}$

อนุพันธ์นี้ไม่ได้ถูกนิยามไว้ในฟิลด์เทนเซอร์ใดๆ ที่มีดัชนีแบบคอนทราแวเรียนต์ หรือที่ไม่สมมาตรโดยสมบูรณ์ โดยมีลักษณะเฉพาะคือ กฎผลคูณแบบไล่ระดับ

อนุพันธ์ของ Lie เป็นอนุพันธ์อีกตัวหนึ่งที่แปรผันภายใต้การแปลงฐาน เช่นเดียวกับอนุพันธ์ภายนอก มันไม่ขึ้นอยู่กับเทนเซอร์เมตริกหรือการเชื่อมต่อ อนุพันธ์ของ Lie ของฟิลด์เทนเซอร์ ประเภท ( r , s ) Tตาม (การไหลของ) ฟิลด์เวกเตอร์คอนทราแวเรียนต์^Xρอาจแสดงโดยใช้ฐานพิกัดเป็น^{[ 19 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}&\\=X^{\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s},\gamma }&-\,X^{\alpha _{1}}{}_{,\gamma }T^{\gamma \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\cdots -X^{\alpha _{r}}{}_{,\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\gamma }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&+\,X^{\gamma }{}_{,\beta _{1}}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\gamma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}+\cdots +X^{\gamma }{}_{,\beta _{s}}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\gamma }\,.\end{aligned}}}$

อนุพันธ์นี้มีลักษณะเฉพาะโดยกฎผลคูณและข้อเท็จจริงที่ว่าอนุพันธ์ลีของสนามเวกเตอร์ผกผันตามแนวแกนของตัวเองมีค่าเป็นศูนย์:

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}X)^{\alpha }=X^{\gamma }X^{\alpha }{}_{,\gamma }-X^{\alpha }{}_{,\gamma }X^{\gamma }=0\,.}$

เดลต้าโครเนกเกอร์นั้นคล้ายกับเมทริกซ์เอกลักษณ์เมื่อคูณและหดตัว:

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{\beta }^{\alpha }\,A^{\beta }&=A^{\alpha }\\\delta _{\nu }^{\mu }\,B_{\mu }&=B_{\nu }.\end{aligned}}}$

ส่วนประกอบδ^α _βเหมือนกันในฐานใดๆ และก่อตัวเป็นเทนเซอร์ไม่แปรเปลี่ยนประเภท(1, 1)กล่าวคือเอกลักษณ์ของบันเดิลสัมผัสเหนือการแมปเอกลักษณ์ของแมนิโฟลด์ฐานและร่องรอยของมันจึงเป็นค่าคงที่^{[ 20 ]}ร่องรอย ของมันคือมิติของพื้นที่ ตัวอย่างเช่น ในปริภูมิ เวลา สี่มิติ

${\displaystyle \delta _{\rho }^{\rho }=\delta _{0}^{0}+\delta _{1}^{1}+\delta _{2}^{2}+\delta _{3}^{3}=4.}$

เดลต้าโครเนกเกอร์เป็นหนึ่งในตระกูลของเดลต้าโครเนกเกอร์แบบทั่วไป เดลต้าโครเนกเกอร์แบบทั่วไปที่มีดีกรี2pสามารถนิยามได้ในรูปของเดลต้าโครเนกเกอร์โดย (นิยามทั่วไปมักมีตัวคูณเพิ่มเติมp !ทางด้านขวา):

${\displaystyle \delta _{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}=\delta _{\beta _{1}}^{[\alpha _{1}}\cdots \delta _{\beta _{p}}^{\alpha _{p}]},}$

และทำหน้าที่เป็นตัวปรับสมมาตรแบบผกผันสำหรับดัชนี p :

${\displaystyle \delta _{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}\,A^{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}=A^{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}]}.}$

การเชื่อมต่อแบบญาติมีเทนเซอร์แรงบิดT ^α _βγ :

${\displaystyle T^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }-\gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma },}$

โดยที่γ ^α _βγกำหนดโดยส่วนประกอบของวงเล็บ Lie ของฐานเฉพาะที่ ซึ่งจะหายไปเมื่อเป็นฐานพิกัด

สำหรับการเชื่อมต่อแบบ Levi-Civita เทนเซอร์นี้ถูกกำหนดให้เป็นศูนย์ ซึ่งสำหรับฐานพิกัดจะให้สมการดังนี้

${\displaystyle \Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }.}$

ถ้าเทนเซอร์นี้ถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma ,\mu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma ,\nu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }\,,}$

จากนั้นจะเป็นตัวสลับของอนุพันธ์โคแวเรียนต์กับตัวมันเอง: ^{[ 21 ] [ 22 ]}

${\displaystyle A_{\nu ;\rho \sigma }-A_{\nu ;\sigma \rho }=A_{\beta }R^{\beta }{}_{\nu \rho \sigma }\,,}$

เนื่องจากการเชื่อมต่อนี้ไม่มีแรงบิด ซึ่งหมายความว่าเทนเซอร์แรงบิดมีค่าเป็นศูนย์

สามารถขยายความนี้เพื่อหาคอมมิวเทเตอร์สำหรับอนุพันธ์โคแวเรียนต์สองตัวของเทนเซอร์ใดๆ ได้ดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\gamma \delta }&-T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\delta \gamma }\\&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!=-R^{\alpha _{1}}{}_{\rho \gamma \delta }T^{\rho \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\cdots -R^{\alpha _{r}}{}_{\rho \gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\rho }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&+R^{\sigma }{}_{\beta _{1}\gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\sigma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}+\cdots +R^{\sigma }{}_{\beta _{s}\gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\sigma }\,\end{aligned}}}$

ซึ่งมักถูกเรียกว่าเอกลักษณ์ของริชชี^{[ 23 ]}

เมตริกเทนเซอร์g _αβใช้สำหรับการลดดัชนีและให้ความยาวของเส้นโค้ง คล้ายอวกาศ ใดๆ

${\displaystyle {\text{length}}=\int _{y_{1}}^{y_{2}}{\sqrt {g_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{d\gamma }}{\frac {dx^{\beta }}{d\gamma }}}}\,d\gamma \,,}$

โดยที่γคือพารามิเตอร์แบบเรียบและเป็นแบบโมโนโทนอย่างเคร่งครัด ของเส้นทาง นอกจากนี้ยังให้ระยะเวลาของเส้นโค้ง แบบไทม์ไลค์ ใดๆ ด้วย

${\displaystyle {\text{duration}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {{\frac {-1}{c^{2}}}g_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{d\gamma }}{\frac {dx^{\beta }}{d\gamma }}}}\,d\gamma \,,}$

โดยที่γคือพารามิเตอร์แบบเรียบและเป็นแบบโมโนโทนอย่างเคร่งครัดของวิถีการเคลื่อนที่ ดูเพิ่มเติมที่องค์ประกอบ เส้น

เมทริกซ์ผกผันg ^αβของเทนเซอร์เมตริกเป็นเทนเซอร์สำคัญอีกตัวหนึ่งที่ใช้สำหรับการยกกำลังดัชนี:

${\displaystyle g^{\alpha \beta }g_{\beta \gamma }=\delta _{\gamma }^{\alpha }\,.}$

• Bishop, RL ; Goldberg, SI (1968), การวิเคราะห์เทนเซอร์บนแมนิโฟลด์ (ฉบับพิมพ์ครั้งแรกของ Dover ปี 1980), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
• Danielson, Donald A. (2003). เวกเตอร์และเทนเซอร์ในวิศวกรรมและฟิสิกส์ (ฉบับที่ 2). Westview (Perseus). ISBN 978-0-8133-4080-7.
• ดิมิทรีเอนโก, ยูริ (2002). การวิเคราะห์เทนเซอร์และฟังก์ชันเทนเซอร์ไม่เชิงเส้น . สำนักพิมพ์ Kluwer Academic Publishers (Springer). ISBN 1-4020-1015-X.
• Lovelock, David; Hanno Rund (1989) [1975]. เทนเซอร์ รูปแบบเชิงอนุพันธ์ และหลักการแปรผัน Dover. ISBN 978-0-486-65840-7.
• C. Møller (1952), ทฤษฎีสัมพัทธภาพ (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 3), สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด
• Synge JL; Schild A. (1949). แคลคูลัสเทนเซอร์ . ฉบับพิมพ์ครั้งแรกโดย Dover Publications ปี 1978. ISBN 978-0-486-63612-2.{{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
• เจ.อาร์. ไทล์เดสลีย์ (1975), บทนำสู่การวิเคราะห์เทนเซอร์: สำหรับวิศวกรและนักวิทยาศาสตร์ประยุกต์ , ลองแมน, ISBN 0-582-44355-5
• DC Kay (1988), Tensor Calculus , Schaum's Outlines, McGraw Hill (สหรัฐอเมริกา), ISBN 0-07-033484-6
• ที. แฟรงเคิล (2012), เรขาคณิตของฟิสิกส์ (ฉบับที่ 3), สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, ISBN 978-1107-602601

• ดิมิทรีเอนโก, ยูริ (2002). การวิเคราะห์เทนเซอร์และฟังก์ชันเทนเซอร์ไม่เชิงเส้น . สปริงเกอร์. ISBN 1-4020-1015-X.
• Sokolnikoff, Ivan S (1951). การวิเคราะห์เทนเซอร์: ทฤษฎีและการประยุกต์ใช้กับเรขาคณิตและกลศาสตร์ของสิ่งต่อเนื่อง Wiley. ISBN 0471810525.{{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
• Borisenko, AI; Tarapov, IE (1979). การวิเคราะห์เวกเตอร์และเทนเซอร์พร้อมการประยุกต์ใช้ (ฉบับที่ 2). Dover. ISBN 0486638332.
• Itskov, Mikhail (2015). พีชคณิตเทนเซอร์และการวิเคราะห์เทนเซอร์สำหรับวิศวกร: พร้อมการประยุกต์ใช้กับกลศาสตร์ต่อเนื่อง (ฉบับที่ 2). Springer. ISBN 9783319163420.
• ไทล์เดสลีย์, เจ.อาร์. (1973). บทนำสู่การวิเคราะห์เทนเซอร์: สำหรับวิศวกรและนักวิทยาศาสตร์ประยุกต์ . ลองแมน. ISBN 0-582-44355-5.
• เคย์ ดี.ซี. (1988) เท นเซอร์แคลคูลัสโครงร่างของ Schaum แมคกรอว์ ฮิลล์. ไอเอสบีเอ็น 0-07-033484-6.
• Grinfeld, P. (2014). บทนำสู่การวิเคราะห์เทนเซอร์และแคลคูลัสของพื้นผิวเคลื่อนที่ . Springer. ISBN 978-1-4614-7866-9.

• ดัลเลมอนด์, คีส์; พีเตอร์ส, แคสเปอร์ (1991–2010) "ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับแคลคูลัสเทนเซอร์" (PDF ) สืบค้นเมื่อ17 พฤษภาคม 2561 .