ในทางคณิตศาสตร์เทนเซอร์สมมาตรคือเทนเซอร์ที่ไม่ผสมกัน ซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การสลับตำแหน่งของเวกเตอร์อาร์กิวเมนต์:

${\displaystyle T(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{r})=T(v_{\sigma 1},v_{\sigma 2},\ldots ,v_{\sigma r})}$

สำหรับการเรียงสับเปลี่ยนσ ทุกแบบ ของสัญลักษณ์{1, 2, ..., r } หรืออีกทางหนึ่ง เทนเซอร์สมมาตรอันดับrที่แสดงในพิกัดเป็นปริมาณที่มีดัชนี r จะสอดคล้องกับ

${\displaystyle T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{r}}=T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\cdots i_{\sigma r}}.}$

ปริภูมิของเทนเซอร์สมมาตรอันดับr บน ปริภูมิเวกเตอร์ มิติจำกัดVนั้นสมสัณฐานโดยธรรมชาติกับปริภูมิคู่ของปริภูมิพหุนามเอกพันธุ์ดีกรีrบนVเหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์ ปริภูมิเวกเตอร์แบบแบ่งระดับของเทนเซอร์สมมาตรทั้งหมดสามารถระบุได้อย่างเป็นธรรมชาติกับพีชคณิตสมมาตรบนVแนวคิดที่เกี่ยวข้องคือเทนเซอร์ปฏิสมมาตรหรือรูปแบบสลับ เท น เซอร์สมมาตรพบได้ทั่วไปในวิศวกรรมฟิสิกส์และคณิตศาสตร์

ให้Vเป็นปริภูมิเวกเตอร์ และ

${\displaystyle T\in V^{\otimes k}}$

เทนเซอร์อันดับkแล้วTเป็นเทนเซอร์สมมาตรก็ต่อเมื่อ

${\displaystyle \tau _{\sigma }T=T\,}$

สำหรับแผนที่การถักเปียที่เกี่ยวข้องกับการเรียงสับเปลี่ยนσ ทุกแบบ บนสัญลักษณ์ {1,2,..., k } (หรือเทียบเท่ากับการสลับตำแหน่ง ทุกแบบ บนสัญลักษณ์เหล่านี้)

เมื่อกำหนดฐาน { e ⁱ } ของVแล้ว เทนเซอร์สมมาตรT ใดๆ ที่มีอันดับkสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle T=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{k}=1}^{N}T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}e^{i_{1}}\otimes e^{i_{2}}\otimes \cdots \otimes e^{i_{k}}}$

สำหรับรายการสัมประสิทธิ์เฉพาะบางรายการ( ส่วนประกอบของเทนเซอร์ในฐาน) ที่สมมาตรบนดัชนี กล่าวคือ ${\displaystyle T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}}$

${\displaystyle T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\cdots i_{\sigma k}}=T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}}$

สำหรับ การ เรียง สับเปลี่ยน ทุกแบบ σ

ปริภูมิของเทนเซอร์สมมาตรทั้งหมดอันดับkที่กำหนดบนVมักจะถูกแทนด้วยS ^k ( V ) หรือ Sym ^k ( V ) ซึ่งเป็นปริภูมิเวกเตอร์ และถ้าVมีมิติNแล้ว มิติของ Sym ^k ( V ) จะเท่ากับสัมประสิทธิ์ทวินาม

${\displaystyle \dim \operatorname {Sym} ^{k}(V)={N+k-1 \choose k}.}$

จากนั้นเราสร้าง Sym( V ) เป็นผลรวมโดยตรงของ Sym ^k ( V ) สำหรับk = 0,1,2,...

${\displaystyle \operatorname {Sym} (V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\operatorname {Sym} ^{k}(V).}$

มีตัวอย่างของเทนเซอร์สมมาตรอยู่มากมาย บางส่วนได้แก่เท นเซอร์เมตริก , เทนเซอร์ไอน์สไตน์และเทนเซอร์ริชชี ,${\displaystyle g_{\mu \nu }}$${\displaystyle G_{\mu \nu }}$${\displaystyle R_{\mu \nu }}$

คุณสมบัติและขอบเขต ของวัสดุ หลายอย่างที่ใช้ในฟิสิกส์และวิศวกรรมสามารถแสดงได้ในรูปของสนามเทนเซอร์สมมาตร ตัวอย่างเช่นความเค้นความเครียดและการนำไฟฟ้าแบบไม่เป็นไอโซ โทรปิก นอกจากนี้ ใน การถ่ายภาพด้วยคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าแบบแพร่กระจาย ( Diffusion MRI)มักใช้เทนเซอร์สมมาตรเพื่ออธิบายการแพร่กระจายในสมองหรือส่วนอื่นๆ ของร่างกาย

ทรงรีเป็นตัวอย่างของวาไรตี้เชิงพีชคณิตดังนั้น สำหรับอันดับทั่วไป เทนเซอร์สมมาตรในรูปของพหุนามเอกพันธุ์จึงถูกนำมาใช้เพื่อกำหนดวาไรตี้เชิงโปรเจคที ฟ และมักถูกศึกษาในลักษณะดังกล่าว

เมื่อกำหนดแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ ที่มีการเชื่อมต่อแบบเลวี-ซีวิทา เทน เซอร์ความโค้งโคแวเรียนต์จะเป็นเทนเซอร์สมมาตรอันดับ 2 เหนือปริภูมิเวกเตอร์ ของฟอร์ม 2 เชิงอนุพันธ์ ซึ่งสอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่า เมื่อพิจารณาเราจะมีความสมมาตรระหว่างคู่แรกและคู่ที่สองของอาร์กิวเมนต์ นอกเหนือจากความไม่สมมาตรภายในแต่ละคู่: ^{[ 1 ]}${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle \nabla }$${\textstyle V=\Omega ^{2}(M)=\bigwedge ^{2}T^{*}M}$${\displaystyle R_{ijk\ell }\in (T^{*}M)^{\otimes 4}}$${\displaystyle R_{ij\,k\ell }=R_{k\ell \,ij}}$${\displaystyle R_{jik\ell }=-R_{ijk\ell }=R_{ij\ell k}}$

สมมติให้V เป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะ 0 ถ้าT ∈ V ^{⊗ k}เป็นเทนเซอร์อันดับ n แล้วส่วนสมมาตรของ V คือเทนเซอร์สมมาตรที่กำหนดโดย ${\displaystyle V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle \operatorname {Sym} \,T={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}}\tau _{\sigma }T,}$

ผลรวมที่ขยายออกไปเหนือกลุ่มสมมาตรบน สัญลักษณ์ kในแง่ของฐาน และใช้แบบแผนการรวมของไอน์สไตน์ถ้า

${\displaystyle T=T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}e^{i_{1}}\otimes e^{i_{2}}\otimes \cdots \otimes e^{i_{k}},}$

แล้ว

${\displaystyle \operatorname {Sym} \,T={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}}T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\cdots i_{\sigma k}}e^{i_{1}}\otimes e^{i_{2}}\otimes \cdots \otimes e^{i_{k}}.}$

ส่วนประกอบของเทนเซอร์ที่ปรากฏทางด้านขวามักจะถูกแทนด้วย

${\displaystyle T_{(i_{1}i_{2}\cdots i_{k})}={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}}T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\cdots i_{\sigma k}}}$

โดยใช้วงเล็บ () ครอบดัชนีที่ต้องการสมมาตร และใช้วงเล็บเหลี่ยม [] เพื่อระบุการไม่สมมาตร

ถ้าTเป็นเทนเซอร์แบบง่าย ซึ่งกำหนดให้เป็นผลคูณเทนเซอร์บริสุทธิ์

${\displaystyle T=v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{r}}$

ดังนั้นส่วนสมมาตรของTคือผลคูณสมมาตรของตัวประกอบ:

${\displaystyle v_{1}\odot v_{2}\odot \cdots \odot v_{r}:={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}v_{\sigma 1}\otimes v_{\sigma 2}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma r}.}$

โดยทั่วไปเราสามารถเปลี่ยน Sym( V ) ให้เป็นพีชคณิตได้โดยการกำหนดผลคูณแบบสลับที่และแบบเชื่อมโยง ⊙ ^{[ 2 ]}เมื่อกำหนดเทนเซอร์สองตัวT ₁ ∈ Sym ^{k ₁} ( V )และT ₂ ∈ Sym ^{k ₂} ( V )เราจะใช้ตัวดำเนินการสมมาตรเพื่อกำหนด:

${\displaystyle T_{1}\odot T_{2}=\operatorname {Sym} (T_{1}\otimes T_{2})\quad \left(\in \operatorname {Sym} ^{k_{1}+k_{2}}(V)\right).}$

สามารถตรวจสอบได้ (ดังที่ Kostrikin และ Manin ^{[ 2 ]} ได้ทำไว้) ว่าผลคูณที่ได้นั้นมีคุณสมบัติการสลับที่และการเชื่อมโยงกัน ในบางกรณีจะ ละเว้น ตัวดำเนินการ: T ₁ T ₂ = T ₁ ⊙ T ₂

ในบางกรณีจะใช้สัญลักษณ์เลขยกกำลัง:

${\displaystyle v^{\odot k}=\underbrace {v\odot v\odot \cdots \odot v} _{k{\text{ times}}}=\underbrace {v\otimes v\otimes \cdots \otimes v} _{k{\text{ times}}}=v^{\otimes k}.}$

โดยที่vคือเวกเตอร์ ในบางกรณีอาจละเว้นเครื่องหมาย ⊙ ไว้ก็ได้:

${\displaystyle v^{k}=\underbrace {v\,v\,\cdots \,v} _{k{\text{ times}}}=\underbrace {v\odot v\odot \cdots \odot v} _{k{\text{ times}}}.}$

ในทำนองเดียวกันกับทฤษฎีเมทริกซ์สมมาตร เทนเซอร์สมมาตร (จริง) อันดับ 2 สามารถ "ทำให้เป็นแนวทแยง" ได้ กล่าวคือ สำหรับเทนเซอร์T  ∈ Sym ² ( V ) ใดๆ จะมีจำนวนเต็มrเวกเตอร์หน่วยที่ไม่เป็นศูนย์v ₁ ,..., v _r  ∈  Vและน้ำหนักλ ₁ ,..., λ _rเช่นนั้น

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{r}\lambda _{i}\,v_{i}\otimes v_{i}.}$

จำนวนขั้นต่ำrที่ทำให้การแยกส่วนดังกล่าวเป็นไปได้คืออันดับ (สมมาตร) ของTเวกเตอร์ที่ปรากฏในนิพจน์ขั้นต่ำนี้คือแกนหลักของเทนเซอร์ และโดยทั่วไปมีความหมายทางกายภาพที่สำคัญ ตัวอย่างเช่น แกนหลักของเทนเซอร์ความเฉื่อยกำหนดทรงรีของปวงโซต์ซึ่งแสดงถึงโมเมนต์ความเฉื่อย โปรดดูเพิ่มเติมที่กฎความเฉื่อยของซิลเวสเตอร์

สำหรับเทนเซอร์สมมาตรที่มีอันดับk ใดๆ การแยกส่วน

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{r}\lambda _{i}\,v_{i}^{\otimes k}}$

ก็เป็นไปได้เช่นกัน จำนวนขั้นต่ำrที่ทำให้การแยกส่วนดังกล่าวเป็นไปได้คืออันดับสมมาตร ของT ^{[ 3} ] การแยกส่วนขั้นต่ำนี้เรียกว่าการแยกส่วนแบบ Waring ซึ่งเป็นรูปแบบสมมาตรของการแยกส่วนอันดับเทนเซอร์ สำหรับเทนเซอร์อันดับสอง สิ่งนี้สอดคล้องกับอันดับของเมทริกซ์ที่ ^แสดงเทนเซอร์ในฐานใดๆ และเป็นที่ทราบกันดีว่าอันดับสูงสุดเท่ากับมิติของปริภูมิเวกเตอร์พื้นฐาน อย่างไรก็ตาม สำหรับอันดับที่สูงกว่านี้ไม่จำเป็นต้องเป็นเช่นนั้น อันดับอาจสูงกว่าจำนวนมิติในปริภูมิเวกเตอร์พื้นฐาน ยิ่งไปกว่านั้น อันดับและอันดับสมมาตรของเทนเซอร์สมมาตรอาจแตกต่างกัน^{[ 4 ]}

• เทนเซอร์แบบแอนติสมมาตร
• แคลคูลัสริชชี
• พหุนามชูร์
• พหุนามสมมาตร
• สลับตำแหน่ง
• สมมาตรหนุ่ม

• เซซาร์ โอ. อากีลาร์, มิติของเทนเซอร์ k สมมาตร