ในพีชคณิตเชิงเส้นหลายตัวการแยกส่วนอันดับเทนเซอร์^{[ 1 ]}หรือการแยกส่วนอันดับRคือการแยกส่วนเทนเซอร์เป็นผลรวมของเทนเซอร์อันดับ 1 จำนวนR ตัว โดยที่ Rมีค่าน้อยที่สุด การคำนวณการแยกส่วนนี้ยังเป็นปัญหาที่ยังเปิดอยู่

การแยกส่วนแบบพหุนามเชิงแคนอน (CPD)เป็นรูปแบบหนึ่งของการแยกส่วนอันดับเทนเซอร์ ซึ่งเทนเซอร์จะถูกประมาณค่าเป็นผลรวมของเทนเซอร์อันดับ 1 จำนวนK ตัว สำหรับค่า K ที่ผู้ใช้กำหนด การแยกส่วน CP ได้ถูกนำไปประยุกต์ใช้ในด้านภาษาศาสตร์และเคมีเชิงสถิติโดยได้รับการแนะนำโดยแฟรงค์ ลอเรน ฮิตช์ค็อกในปี 1927 ^{[ 2 ]}และต่อมาได้ถูกค้นพบใหม่หลายครั้ง โดยเฉพาะในด้านจิตวิทยาเชิงสถิติ^{[ 3 ] [ 4 ]} การแยกส่วน CP เรียกว่า CANDECOMP ^{[ 3 ]} PARAFAC ^{[ 4 ]}หรือ CANDECOMP/PARAFAC (CP) โปรดทราบว่าการแยกส่วนอันดับ PARAFAC2 เป็นรูปแบบหนึ่งของการแยกส่วน CP ^{[ 5 ]}

อีกหนึ่งการขยายความทั่วไปที่เป็นที่นิยมของการแยกค่าเอกลักษณ์ของเมทริกซ์ (SVD) ซึ่งรู้จักกันในชื่อ การแยกค่าเอกลักษณ์ ลำดับสูง (higher-order singular value decomposition) จะคำนวณเมทริกซ์โหมดตั้งฉาก และมีการประยุกต์ใช้ในเศรษฐศาสตร์เชิงปริมาณการประมวลผลสัญญาณคอมพิวเตอร์วิชั่นคอมพิวเตอร์กราฟิกและจิตวิทยา การวัดผล

ตัวแปรสเกลาร์จะใช้ตัวอักษรตัวเล็กตัวเอียงแทน และตัวแปรสเกลา ร์ ที่เป็นขอบเขตบนจะใช้ตัวอักษรตัวใหญ่ตัวเอียงแทน${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$

ดัชนีจะถูกระบุด้วยตัวอักษรพิมพ์เล็กและพิมพ์ใหญ่ตัวเอียงผสมกันดัชนีหลายตัวที่อาจพบเมื่ออ้างถึงโหมดหลายโหมดของเทนเซอร์จะถูกระบุโดยสะดวกด้วยโดย ที่ ${\displaystyle 1\leq i\leq I}$${\displaystyle 1\leq i_{m}\leq I_{m}}$${\displaystyle 1\leq m\leq M}$

เวกเตอร์จะใช้ตัวอักษรโรมันตัวเล็กตัวหนา และเมทริก ซ์ จะใช้ตัวอักษรพิมพ์ใหญ่ตัวหนา${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$

เทนเซอร์ลำดับสูงกว่าจะใช้สัญลักษณ์ตัวอักษรวิจิตร แทนองค์ประกอบของเทนเซอร์ลำดับจะใช้สัญลักษณ์หรือแทน ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {A}}\in \mathbb {C} ^{I_{1}\times I_{2}\times \dots I_{m}\times \dots I_{M}}}$${\displaystyle a_{i_{1},i_{2},\dots ,i_{m},\dots i_{M}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{i_{1},i_{2},\dots ,i_{m},\dots i_{M}}}$

เทนเซอร์ข้อมูล คือชุดของการสังเกตแบบหลายตัวแปรที่จัดเรียงเป็น อาร์เรย์ Mทาง โดยที่M = C + 1 เทนเซอร์ทุกตัวสามารถแสดงได้ด้วยค่าขนาดใหญ่ที่เหมาะสมในรูปของการรวมเชิงเส้นของเทนเซอร์อันดับ 1: ${\displaystyle {\mathcal {A}}\in {\mathbb {F} }^{I_{0}\times I_{1}\times \ldots \times I_{C}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\sum _{r=1}^{R}\lambda _{r}\mathbf {a} _{0,r}\otimes \mathbf {a} _{1,r}\otimes \mathbf {a} _{2,r}\dots \otimes \mathbf {a} _{c,r}\otimes \cdots \otimes \mathbf {a} _{C,r},}$

โดยที่และโดยที่เมื่อจำนวนพจน์ในนิพจน์ข้างต้นมีค่าน้อยที่สุดจะเรียกว่าอันดับของเทนเซอร์ และการแยกส่วนมักเรียกว่าการแยกส่วนอันดับ (เทนเซอร์) การแยกส่วน CP ขั้นต่ำหรือการแยกส่วนโพลีแอดิกแบบแคนอนิก (CPD)หากจำนวนพจน์ไม่ใช่ค่าน้อยที่สุด การแยกส่วนข้างต้นมักเรียกว่าCANDECOMP/PARAFACการแยกส่วนโพลีแอดิก ${\displaystyle \lambda _{r}\in {\mathbb {F} }}$${\displaystyle \mathbf {a} _{m,r}\in {\mathbb {F} }^{I_{m}}}$${\displaystyle 1\leq m\leq M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

ตรงกันข้ามกับกรณีของเมทริกซ์ การคำนวณอันดับของเทนเซอร์เป็นปัญหาNP-hard [ ^{6 ] กรณี}เดียวที่เข้าใจได้ดีคือเทนเซอร์ในซึ่งสามารถหาอันดับได้จาก รูปแบบปกติของ Kronecker – Weierstrassของเมทริกซ์เชิงเส้นที่เทนเซอร์เป็นตัวแทน^{[ 7 ]}มีอัลกอริทึมแบบพหุนามเวลาง่ายๆ สำหรับรับรองว่าเทนเซอร์มีอันดับ 1 นั่นคือ การแยกส่วนค่า เอกพจน์ ลำดับสูง${\displaystyle F^{I_{m}}\otimes F^{I_{n}}\otimes F^{2}}$

ตามธรรมเนียมแล้ว อันดับของเทนเซอร์ศูนย์คือศูนย์ อันดับของเทนเซอร์จะเป็นหนึ่งก็ต่อเมื่อ... ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}\otimes \cdots \otimes \mathbf {a} _{M}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{m}\in F^{I_{m}}\setminus \{0\}}$

อันดับของเทนเซอร์ขึ้นอยู่กับฟิลด์ที่เทนเซอร์ถูกแยกส่วน เป็นที่ทราบกันว่าเทนเซอร์จริงบางตัวอาจยอมรับการแยกส่วนเชิงซ้อนซึ่งมีอันดับน้อยกว่าอันดับของการแยกส่วนจริงของเทนเซอร์เดียวกันอย่างเคร่งครัด ตัวอย่างเช่น^{[ 8 ]}พิจารณาเทนเซอร์จริงต่อไปนี้

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbf {x} _{1}\otimes \mathbf {x} _{2}\otimes \mathbf {x} _{3}+\mathbf {x} _{1}\otimes \mathbf {y} _{2}\otimes \mathbf {y} _{3}-\mathbf {y} _{1}\otimes \mathbf {x} _{2}\otimes \mathbf {y} _{3}+\mathbf {y} _{1}\otimes \mathbf {y} _{2}\otimes \mathbf {x} _{3},}$

โดยที่. ทราบกันว่าอันดับของเทนเซอร์นี้เหนือจำนวนจริงคือ 3 ในขณะที่อันดับเชิงซ้อนของมันมีเพียง 2 เนื่องจากเป็นผลรวมของเทนเซอร์อันดับเชิงซ้อน 1 กับคอนจูเกตเชิงซ้อน ของมัน นั่นคือ ${\displaystyle \mathbf {x} _{i},\mathbf {y} _{j}\in \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}={\frac {1}{2}}({\bar {\mathbf {z} }}_{1}\otimes \mathbf {z} _{2}\otimes {\bar {\mathbf {z} }}_{3}+\mathbf {z} _{1}\otimes {\bar {\mathbf {z} }}_{2}\otimes \mathbf {z} _{3}),}$

ที่ไหน. ${\displaystyle \mathbf {z} _{k}=\mathbf {x} _{k}+i\mathbf {y} _{k}}$

ในทางตรงกันข้าม อันดับของเมทริกซ์จริงจะไม่ลดลงภายใต้การขยายฟิลด์ไปยัง: อันดับของเมทริกซ์จริงและอันดับของเมทริกซ์เชิงซ้อนจะตรงกันสำหรับเมทริกซ์จริง ${\displaystyle \mathbb {C} }$

อันดับทั่วไป ถูกกำหนดให้เป็นอันดับต่ำสุดที่ทำให้การปิดในโทโพโลยี Zariskiของเซตของเทนเซอร์ที่มีอันดับไม่เกินเป็นปริภูมิทั้งหมดในกรณีของเทนเซอร์เชิงซ้อน เทนเซอร์ที่มีอันดับไม่เกินจะก่อตัวเป็นเซตหนาแน่น : เทนเซอร์ทุกตัวในปริภูมิดังกล่าวจะมีอันดับน้อยกว่าอันดับทั่วไป หรือเป็นลิมิตในโทโพโลยีแบบยุคลิดของลำดับของเทนเซอร์จากในกรณีของเทนเซอร์จริง เซตของเทนเซอร์ที่มีอันดับไม่เกินจะก่อตัวเป็นเซตเปิดที่มีขนาดเป็นบวกในโทโพโลยีแบบยุคลิดเท่านั้น อาจมีเซตเปิดแบบยุคลิดของเทนเซอร์ที่มีอันดับสูงกว่าอันดับทั่วไปอย่างชัดเจน อันดับทั้งหมดที่ปรากฏบนเซตเปิดในโทโพโลยีแบบยุคลิดเรียกว่าอันดับทั่วไปอันดับทั่วไปที่เล็กที่สุดเรียกว่าอันดับทั่วไป คำจำกัดความนี้ใช้ได้กับทั้งเทนเซอร์เชิงซ้อนและเทนเซอร์จริง อันดับทั่วไปของปริภูมิเทนเซอร์ได้รับการศึกษาครั้งแรกในปี 1983 โดยVolker Strassen ^{[ 9 ]}${\displaystyle r(I_{1},\ldots ,I_{M})}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle F^{I_{1}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}$${\displaystyle r(I_{1},\ldots ,I_{M})}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle r(I_{1},\ldots ,I_{M})}$

เพื่อเป็นการยกตัวอย่างแนวคิดข้างต้น เป็นที่ทราบกันดีว่าทั้ง 2 และ 3 เป็นอันดับทั่วไปของในขณะที่อันดับทั่วไปของคือ 2 ในทางปฏิบัติ หมายความว่าเทนเซอร์จริงที่สุ่มเลือกมา (จากการวัดความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องบนปริภูมิของเทนเซอร์) ที่มีขนาดจะเป็นเทนเซอร์อันดับ 1 ด้วยความน่าจะเป็นศูนย์ เทนเซอร์อันดับ 2 ด้วยความน่าจะเป็นบวก และเทนเซอร์อันดับ 3 ด้วยความน่าจะเป็นบวก ในทางกลับกัน เทนเซอร์เชิงซ้อนที่สุ่มเลือกมาที่มีขนาดเดียวกัน จะเป็นเทนเซอร์อันดับ 1 ด้วยความน่าจะเป็นศูนย์ เทนเซอร์อันดับ 2 ด้วยความน่าจะเป็นหนึ่ง และเทนเซอร์อันดับ 3 ด้วยความน่าจะเป็นศูนย์ เป็นที่ทราบกันดีว่าเทนเซอร์จริงอันดับ 3 ทั่วไปในจะมีอันดับเชิงซ้อนเท่ากับ 2 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\otimes \mathbb {R} ^{2}\otimes \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle 2\times 2\times 2}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\otimes \mathbb {R} ^{2}\otimes \mathbb {R} ^{2}}$

อันดับทั่วไปของปริภูมิเทนเซอร์ขึ้นอยู่กับความแตกต่างระหว่างปริภูมิเทนเซอร์สมดุลและไม่สมดุล ปริภูมิเทนเซอร์โดยที่เรียกว่าไม่สมดุลเมื่อใดก็ตามที่ ${\displaystyle F^{I_{1}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}$${\displaystyle I_{1}\geq I_{2}\geq \cdots \geq I_{M}}$

${\displaystyle I_{1}>1+\prod _{m=2}^{M}I_{m}-\sum _{m=2}^{M}(I_{m}-1),}$

และ ถ้าไม่เช่นนั้น ก็จะเรียกว่าสมดุล

เมื่อตัวประกอบตัวแรกมีขนาดใหญ่มากเมื่อเทียบกับตัวประกอบอื่นๆ ในผลคูณเทนเซอร์ พื้นที่เทนเซอร์จะทำงานคล้ายกับพื้นที่เมทริกซ์ โดยทั่วไปแล้ว อันดับของเทนเซอร์ที่อยู่ในพื้นที่เทนเซอร์ที่ไม่สมดุลจะมีค่าเท่ากับ

${\displaystyle r(I_{1},\ldots ,I_{M})=\min \left\{I_{1},\prod _{m=2}^{M}I_{m}\right\}}$

เกือบทุกที่กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น อันดับของเทนเซอร์ทุกตัวในปริภูมิเทนเซอร์ที่ไม่สมดุลโดยที่เป็นเซตปิดที่ไม่แน่นอนในโทโพโลยี Zariski เท่ากับค่าข้างต้น^{[ 10 ]}${\displaystyle F^{I_{1}\times \cdots \times I_{M}}\setminus Z}$${\displaystyle Z}$

อันดับ ทั่วไป ที่คาดหวังของเทนเซอร์ที่อยู่ในปริภูมิเทนเซอร์สมดุลนั้นเท่ากับ

${\displaystyle r_{E}(I_{1},\ldots ,I_{M})=\left\lceil {\frac {\Pi }{\Sigma +1}}\right\rceil }$

เกือบทุกที่สำหรับเทนเซอร์เชิงซ้อน และบนเซตแบบยุคลิดเปิดสำหรับเทนเซอร์จริง โดยที่

${\displaystyle \Pi =\prod _{m=1}^{M}I_{m}\quad {\text{and}}\quad \Sigma =\sum _{m=1}^{M}(I_{m}-1).}$

กล่าวโดยละเอียด อันดับของเทนเซอร์ทุกตัวในโดยที่เป็นเซตปิดที่ไม่แน่นอนในโทโพโลยี Zariskiคาดว่าจะเท่ากับค่าข้างต้น^{[ 11 ]}สำหรับเทนเซอร์จริงคืออันดับต่ำสุดที่คาดว่าจะเกิดขึ้นบนเซตของการวัดแบบยุคลิดบวก ค่านี้มักถูกเรียกว่าอันดับทั่วไปที่คาดหวังของปริภูมิเทนเซอร์เนื่องจากเป็นเพียงการคาดเดาที่ถูกต้องเท่านั้น เป็นที่ทราบกันว่าอันดับทั่วไปที่แท้จริงจะสอดคล้องกับเสมอ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{I_{1}\times \cdots \times I_{M}}\setminus Z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle r_{E}(I_{1},\ldots ,I_{M})}$${\displaystyle r_{E}(I_{1},\ldots ,I_{M})}$${\displaystyle F^{I_{1}\times \cdots \times I_{M}}}$

${\displaystyle r(I_{1},\ldots ,I_{M})\geq r_{E}(I_{1},\ldots ,I_{M}).}$

ข้อสันนิษฐาน ของAbo–Ottaviani–Peterson ^{[ 11 ]}ระบุว่าคาดว่าจะมีความเท่าเทียมกัน กล่าวคือโดยมีกรณีพิเศษดังต่อไปนี้: ${\displaystyle r(I_{1},\ldots ,I_{M})=r_{E}(I_{1},\ldots ,I_{M})}$

• ${\displaystyle F^{(2m+1)\times (2m+1)\times 3}{\text{ with }}m=1,2,\ldots }$
• ${\displaystyle F^{(m+1)\times (m+1)\times 2\times 2}{\text{ with }}m=2,3,\ldots }$

ในแต่ละกรณีพิเศษเหล่านี้ ลำดับทั่วไปเป็นที่ทราบกันดีว่าคือโปรดสังเกตว่า ในขณะที่เซตของเทนเซอร์ที่มีลำดับ 3 ใน นั้นมีข้อบกพร่อง (13 ไม่ใช่ 14 ตามที่คาดไว้) แต่ลำดับทั่วไปในปริภูมินั้นยังคงเป็นค่าที่คาดไว้คือ 4 ในทำนองเดียวกัน เซตของเทนเซอร์ที่มีลำดับ 5 ใน นั้นมีข้อบกพร่อง (44 ไม่ใช่ 45 ตามที่คาดไว้) แต่ลำดับทั่วไปในปริภูมินั้นยังคงเป็นค่าที่คาดไว้คือ 6 ${\displaystyle r(I_{1},\ldots ,I_{m},\ldots ,I_{M})=r_{E}(I_{1},\ldots ,I_{M})+1}$${\displaystyle F^{2\times 2\times 2\times 2}}$${\displaystyle F^{4\times 4\times 3}}$

ข้อสันนิษฐาน AOP ได้รับการพิสูจน์อย่างสมบูรณ์ในกรณีพิเศษหลายกรณี Lickteig ได้แสดงให้เห็นแล้วในปี 1985 ว่าโดยมีเงื่อนไขว่า[ ^{12 ] ใน}ปี 2011 Catalisano, Geramita และ Gimigliano ได้สร้างความก้าวหน้าครั้งสำคัญ โดยพิสูจน์ว่ามิติที่คาดหวังของเซตของเทนเซอร์อันดับในรูปแบบคือมิติที่คาดหวัง ยกเว้นเทนเซอร์อันดับ 3 ในกรณีปัจจัย 4 แต่ถึงกระนั้นอันดับที่คาดหวังในกรณีนั้นก็ยังคงเป็น 4 ผลที่ตามมาคือ สำหรับเทนเซอร์ไบนารีทั้งหมด^{[ 13 ]}${\displaystyle r(n,n,n)=r_{E}(n,n,n)}$${\displaystyle n\neq 3}$${\displaystyle s}$${\displaystyle 2\times 2\times \cdots \times 2}$${\displaystyle r(2,2,\ldots ,2)=r_{E}(2,2,\ldots ,2)}$

โดยทั่วไปแล้วยังไม่ทราบ อันดับสูงสุดที่เทนเซอร์ใดๆ ในปริภูมิเทนเซอร์สามารถรับได้ แม้แต่ข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับอันดับสูงสุดนี้ก็ยังไม่มี ในปัจจุบัน ขอบเขตบนทั่วไปที่ดีที่สุดระบุว่า อันดับสูงสุดของโดยที่เป็นไปตามเงื่อนไข ${\displaystyle r_{\mbox{max}}(I_{1},\ldots ,I_{M})}$${\displaystyle F^{I_{1}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}$${\displaystyle I_{1}\geq I_{2}\geq \cdots \geq I_{M}}$

${\displaystyle r_{\mbox{max}}(I_{1},\ldots ,I_{M})\leq \min \left\{\prod _{m=2}^{M}I_{m},2\cdot r(I_{1},\ldots ,I_{M})\right\},}$

อันดับทั่วไป (น้อยที่สุด) ของ คือ[ 14 ] ^{เป็นที่ทราบ} กันดีว่าความไม่เท่าเทียมกันข้างต้นอาจเป็นแบบเข้มงวด ตัวอย่างเช่น อันดับทั่วไปของเทนเซอร์ในคือสอง ดังนั้นขอบเขตข้างต้นจึงให้ผลลัพธ์ในขณะที่เป็นที่ทราบกันว่าอันดับสูงสุดเท่ากับ 3 ^{[ 8 ]}${\displaystyle r(I_{1},\ldots ,I_{M})}$${\displaystyle F^{I_{1}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2\times 2\times 2}}$${\displaystyle r_{\mbox{max}}(2,2,2)\leq 4}$

เทนเซอร์อันดับเรียกว่าเทนเซอร์ขอบเขตถ้ามีลำดับของเทนเซอร์ที่มีอันดับไม่เกินซึ่งมีลิมิตเป็นถ้าเป็นค่าต่ำสุดที่ลำดับลู่เข้าดังกล่าวมีอยู่ ก็จะเรียกว่าอันดับขอบเขตของสำหรับเทนเซอร์อันดับ 2 เช่น เมทริกซ์ อันดับและอันดับขอบเขต จะตรงกัน เสมออย่างไรก็ตาม สำหรับเทนเซอร์อันดับอาจแตกต่างกัน เทนเซอร์ขอบเขตได้รับการศึกษาครั้งแรกในบริบทของอัลกอริทึมการคูณเมทริกซ์โดยประมาณ อย่างรวดเร็ว โดย Bini, Lotti และ Romani ในปี 1980 ^{[ 15 ]}${\displaystyle s}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle r<s}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \geq 3}$

ตัวอย่างคลาสสิกของเทนเซอร์ขอบเขตคือเทนเซอร์อันดับ 3

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} \otimes \mathbf {u} +\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} ,\quad {\text{with }}\|\mathbf {u} \|=\|\mathbf {v} \|=1{\text{ and }}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \neq 1.}$

สามารถประมาณค่าได้อย่างแม่นยำด้วยลำดับของเทนเซอร์อันดับ 2 ต่อไปนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}_{m}&=m\left(\mathbf {u} +{\frac {1}{m}}\mathbf {v} \right)\otimes \left(\mathbf {u} +{\frac {1}{m}}\mathbf {v} \right)\otimes \left(\mathbf {u} +{\frac {1}{m}}\mathbf {v} \right)-m\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} \\&=\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} \otimes \mathbf {u} +\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +{\frac {1}{m}}(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {v} \otimes \mathbf {v} \otimes \mathbf {u} )+{\frac {1}{m^{2}}}\mathbf {v} \otimes \mathbf {v} \otimes \mathbf {v} \end{aligned}}}$

ดังนั้นอันดับขอบเขตของมันจึงเป็น 2 ซึ่งน้อยกว่าอันดับของมันอย่างชัดเจน เมื่อเวกเตอร์ทั้งสองตั้งฉากกัน ตัวอย่างนี้จึงเรียกว่าสถานะ W${\displaystyle m\to \infty }$

จากนิยามของเทนเซอร์บริสุทธิ์ จะได้ว่า เทนเซอร์จะเป็น1 ก็ต่อเมื่อ มีอยู่จริงที่ทำให้และสำหรับทุกmด้วยเหตุนี้ พารามิเตอร์ของเทนเซอร์อันดับ 1 จึงเรียกว่าระบุได้ หรือมีเอกลักษณ์โดยพื้นฐานเทนเซอร์ อันดับ 1 เรียกว่าระบุได้ถ้าการแยกส่วนอันดับเทนเซอร์ทุกอันเป็นผลรวมของเซตของเทนเซอร์ที่แตกต่างกัน ชุดเดียวกัน โดยที่มีอันดับ 1 ดังนั้น เทนเซอร์อันดับ 1 ที่ระบุได้จึงมีการแยกส่วนที่ไม่ซ้ำกันโดยพื้นฐานเพียงหนึ่งเดียวและการแยกส่วนอันดับเทนเซอร์ทั้งหมดของสามารถหาได้โดยการสลับลำดับของผลบวก สังเกตว่าในการแยกส่วนอันดับเทนเซอร์ ทุกแตกต่างกัน มิฉะนั้น อันดับของจะมีค่าอย่างมากที่สุดเพียง ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbf {a} _{1}\otimes \mathbf {a} _{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {a} _{M}=\mathbf {b} _{1}\otimes \mathbf {b} _{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {b} _{M}}$${\displaystyle \lambda _{k}}$${\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{M}=1}$${\displaystyle \mathbf {a} _{m}=\lambda _{m}\mathbf {b} _{m}}$${\displaystyle \{\mathbf {a} _{m}\}_{m=1}^{M}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle {\mathcal {A}}\in F^{I_{1}}\otimes F^{I_{2}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \{{\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {A}}_{2},\ldots ,{\mathcal {A}}_{r}\}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{i}}$${\displaystyle r}$$${\displaystyle {\mathcal {A}}=\sum _{i=1}^{r}{\mathcal {A}}_{i},}$$${\displaystyle r!}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle r-1}$

เทนเซอร์ลำดับที่ 2 ในเช่น เมทริกซ์ ไม่สามารถระบุได้สำหรับโดยพื้นฐานแล้วเป็นผลมาจากการสังเกตว่าเป็นเมทริกซ์ ที่ผกผันได้ และสามารถแสดงได้^{[ 16 ]}ว่าสำหรับทุกโดยที่ เป็นเซตปิดในโทโพโลยี Zariski การแยกส่วนทางด้านขวามือเป็นผลรวมของชุดเท นเซอร์ลำดับที่ 1 ที่แตกต่างจากการแยกส่วนทางด้านซ้ายมือ ซึ่งหมายความว่าเทนเซอร์ลำดับที่ 2 ที่มีอันดับโดยทั่วไปแล้วไม่สามารถระบุได้ ${\displaystyle F^{I_{1}}\otimes F^{I_{2}}\simeq F^{I_{1}\times I_{2}}}$${\displaystyle r>1}$$${\displaystyle {\mathcal {A}}=\sum _{i=1}^{r}\mathbf {a} _{i}\otimes \mathbf {b} _{i}=\sum _{i=1}^{r}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}^{T}=AB^{T}=(AX^{-1})(BX^{T})^{T}=\sum _{i=1}^{r}\mathbf {c} _{i}\mathbf {d} _{i}^{T}=\sum _{i=1}^{r}\mathbf {c} _{i}\otimes \mathbf {d} _{i},}$$${\displaystyle X\in \mathrm {GL} _{r}(F)}$${\displaystyle r\times r}$${\displaystyle A=[\mathbf {a} _{i}]_{i=1}^{r}}$${\displaystyle B=[\mathbf {b} _{i}]_{i=1}^{r}}$${\displaystyle AX^{-1}=[\mathbf {c} _{i}]_{i=1}^{r}}$${\displaystyle BX^{T}=[\mathbf {d} _{i}]_{i=1}^{r}}$${\displaystyle X\in \mathrm {GL} _{n}(F)\setminus Z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle r>1}$

สถานการณ์จะเปลี่ยนไปอย่างสิ้นเชิงสำหรับเทนเซอร์ลำดับสูงกว่าในและทั้งหมดเพื่อความเรียบง่ายในการเขียนสัญลักษณ์ ให้สมมติโดยไม่เสียความเป็นทั่วไปว่าปัจจัยต่างๆ เรียงลำดับกัน โดยที่ ให้แทนเซตของเทนเซอร์ที่มีอันดับ ที่ถูกจำกัดโดยจากนั้น ข้อความต่อไปนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าถูกต้องโดยใช้การพิสูจน์ด้วยคอมพิวเตอร์ช่วยสำหรับปริภูมิทั้งหมดที่มีมิติ[ ^{17 ] และ}คาดการณ์ว่าถูกต้องโดยทั่วไป: ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}${\displaystyle F^{I_{1}}\otimes F^{I_{2}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}$${\displaystyle M>2}$${\displaystyle I_{m}\geq 2}$${\displaystyle I_{1}\geq I_{2}\geq \cdots \geq I_{M}\geq 2}$${\displaystyle S_{r}\subset F^{I_{1}}\otimes \cdots F^{I_{m}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \Pi <15000}$

ในโทโพโลยีของซาริสกี มีเซตปิดอยู่เซตหนึ่งซึ่งเทนเซอร์ทุกตัวสามารถระบุได้ ( ในกรณีนี้ เรียกว่าสามารถระบุได้โดยทั่วไป ) เว้นแต่จะมีกรณีพิเศษอย่างใดอย่างหนึ่งต่อไปนี้เกิดขึ้น: ${\displaystyle Z_{r}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}\in S_{r}\setminus Z_{r}}$${\displaystyle S_{r}}$

1. อันดับสูงเกินไป: ;${\displaystyle r>r_{E}(I_{1},I_{2},\ldots ,I_{M})}$
2. พื้นที่ดังกล่าวไม่สมดุลในการระบุตัวตน กล่าวคือและอันดับมีขนาดใหญ่เกินไป: ;${\textstyle I_{1}>\prod _{m=2}^{M}i_{m}-\sum _{m=2}^{M}(I_{m}-1)}$${\textstyle r\geq \prod _{m=2}^{M}I_{m}-\sum _{m=2}^{M}(I_{m}-1)}$
3. พื้นที่ดังกล่าวเป็นกรณีที่บกพร่องและลำดับคือ;${\displaystyle F^{4}\otimes F^{4}\otimes F^{3}}$${\displaystyle r=5}$
4. พื้นที่ดังกล่าวเป็นกรณีที่มีข้อบกพร่องโดยที่และอันดับคือ;${\displaystyle F^{n}\otimes F^{n}\otimes F^{2}\otimes F^{2}}$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle r=2n-1}$
5. พื้นที่คือและลำดับคือ;${\displaystyle F^{4}\otimes F^{4}\otimes F^{4}}$${\displaystyle r=6}$
6. พื้นที่คือและลำดับคือหรือ${\displaystyle F^{6}\otimes F^{6}\otimes F^{3}}$${\displaystyle r=8}$
7. พื้นที่คือและลำดับคือ${\displaystyle F^{2}\otimes F^{2}\otimes F^{2}\otimes F^{2}\otimes F^{2}}$${\displaystyle r=5}$
8. ปริภูมิสมบูรณ์แบบ กล่าวคือเป็นจำนวนเต็ม และอันดับคือ${\textstyle r_{E}(I_{1},I_{2},\ldots ,I_{M})={\frac {\Pi }{\Sigma +1}}}$${\textstyle r=r_{E}(I_{1},I_{2},\ldots ,I_{M})}$

ในกรณีพิเศษเหล่านี้ จำนวน การแยกส่วน ที่ซับซ้อน โดยทั่วไป (และขั้นต่ำ) คือ

• พิสูจน์แล้วว่าเป็นเช่นนั้นใน 4 กรณีแรก${\displaystyle \infty }$
• พิสูจน์แล้วว่าเป็นสองในกรณีที่ 5; ^{[ 20 ]}
• คาดว่า^{[ 21 ]}จะเป็นหกในกรณีที่ 6
• พิสูจน์แล้วว่าเป็นสองในกรณีที่ 7; ^{[ 22 ]}และ
• คาดว่า^{[ 21 ]}จะมีอย่างน้อยสองกรณีในกรณีที่ 8 ยกเว้นกรณีที่ระบุได้สองกรณีและ.${\displaystyle F^{5}\otimes F^{4}\otimes F^{3}}$${\displaystyle F^{3}\otimes F^{2}\otimes F^{2}\otimes F^{2}}$

โดยสรุปแล้ว เทนเซอร์ทั่วไปที่มีลำดับและอันดับซึ่งไม่เสียสมดุลในการระบุตัวตนนั้น คาดว่าจะสามารถระบุตัวตนได้ (ยกเว้นกรณีพิเศษในพื้นที่ขนาดเล็ก) ${\displaystyle M>2}$${\textstyle r<{\frac {\Pi }{\Sigma +1}}}$

ปัญหาการประมาณอันดับถามถึงการแยกอันดับที่ใกล้เคียงที่สุด (ในโทโพโลยีแบบยุคลิดทั่วไป) กับเทนเซอร์ อันดับบางตัว โดยที่นั่นคือ เราต้องการหาคำตอบของ ${\displaystyle r}$${\displaystyle s}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle r<s}$

${\displaystyle \min _{\mathbf {a} _{i}^{m}\in F^{I_{m}}}\left\|{\mathcal {A}}-\sum _{i=1}^{r}\mathbf {a} _{i}^{1}\otimes \mathbf {a} _{i}^{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {a} _{i}^{M}\right\|_{F},}$

บรรทัดฐาน ของ Frobeniusอยู่ที่ไหน${\displaystyle \|\cdot \|_{F}}$

มีการแสดงให้เห็นในบทความปี 2008 โดย de Silva และ Lim ^{[ 8 ]}ว่าปัญหาการประมาณค่ามาตรฐานข้างต้นอาจไม่เหมาะสมบางครั้งอาจไม่มีคำตอบสำหรับปัญหาดังกล่าว เนื่องจากเซตที่ใช้ในการหาค่าเหมาะสมที่สุดนั้นไม่ใช่เซตปิด ดังนั้น ค่าต่ำสุดอาจไม่มีอยู่จริง แม้ว่าจะมีค่าต่ำสุดก็ตาม โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เป็นที่ทราบกันดีว่าเทนเซอร์ขอบเขต บางตัว อาจถูกประมาณค่าได้ดีอย่างไม่จำกัดด้วยลำดับของเทนเซอร์ที่มีอันดับไม่เกินแม้ว่าลิมิตของลำดับจะลู่เข้าสู่เทนเซอร์ที่มีอันดับสูงกว่า อย่างชัดเจนก็ตามเทนเซอร์อันดับ 3 ${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} \otimes \mathbf {u} +\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} ,\quad {\text{with }}\|\mathbf {u} \|=\|\mathbf {v} \|=1{\text{ and }}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \neq 1}$

สามารถประมาณค่าได้อย่างแม่นยำด้วยลำดับของเทนเซอร์อันดับ 2 ต่อไปนี้

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}=n\left(\mathbf {u} +{\frac {1}{n}}\mathbf {v} \right)\otimes \left(\mathbf {u} +{\frac {1}{n}}\mathbf {v} \right)\otimes \left(\mathbf {u} +{\frac {1}{n}}\mathbf {v} \right)-n\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} }$

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นหลักการทั่วไปอย่างชัดเจนว่า ลำดับของเทนเซอร์อันดับ 1 ที่ลู่เข้าสู่เทนเซอร์ที่มีอันดับสูงกว่าอย่างเคร่งครัด จะต้องมีเทอมอันดับ 1 อย่างน้อยสองเทอมที่มีค่าบรรทัดฐานไม่จำกัด กล่าวอย่าง เป็นทางการคือ เมื่อใดก็ตามที่ลำดับ ${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}=\sum _{i=1}^{r}\mathbf {a} _{i,n}^{1}\otimes \mathbf {a} _{i,n}^{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {a} _{i,n}^{M}}$

มีคุณสมบัติที่ว่า(ในโทโพโลยีแบบยุคลิด) เมื่อ แล้วจะต้องมีอย่างน้อย อยู่เช่นนั้น ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}\to {\mathcal {A}}}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle 1\leq i\neq j\leq r}$

${\displaystyle \|\mathbf {a} _{i,n}^{1}\otimes \mathbf {a} _{i,n}^{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {a} _{i,n}^{M}\|_{F}\to \infty {\text{ and }}\|\mathbf {a} _{j,n}^{1}\otimes \mathbf {a} _{j,n}^{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {a} _{j,n}^{M}\|_{F}\to \infty }$

ปรากฏการณ์นี้มักพบเห็นได้บ่อยเมื่อพยายามประมาณค่าเทนเซอร์โดยใช้อัลกอริธึมการหาค่าเหมาะสมที่สุดเชิงตัวเลข บางครั้งเรียกว่าปัญหาของส่วนประกอบที่ล divergesนอกจากนี้ยังแสดงให้เห็นว่าเทนเซอร์อันดับต่ำแบบสุ่มบนจำนวนจริงอาจไม่สามารถประมาณค่าอันดับ 2 ได้ด้วยความน่าจะเป็นที่เป็นบวก ซึ่งนำไปสู่ความเข้าใจว่าปัญหาความไม่เสถียรเป็นสิ่งสำคัญที่ต้องพิจารณาเมื่อใช้การแยกส่วนอันดับเทนเซอร์ ${\displaystyle n\to \infty }$

วิธีแก้ปัญหาความไม่เสถียรของปัญหาที่พบได้ทั่วไปวิธีหนึ่งคือ การกำหนดข้อจำกัดความไม่เท่าเทียมกันเพิ่มเติมที่จำกัดค่ามาตรฐานของพจน์อันดับ 1 แต่ละตัวด้วยค่าคงที่บางค่า ข้อจำกัดอื่นๆ ที่ส่งผลให้ได้เซตปิด และทำให้ปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดมีเสถียรภาพ ได้แก่ การกำหนดให้พจน์อันดับ 1 ที่ปรากฏในการแยกส่วนต้องมีค่าเป็นบวก หรือผลคูณภายใน ต้องมี ขอบเขตและน้อยกว่าหนึ่งอย่างเคร่งครัด

อัลกอริทึมแบบสลับ:

• วิธีการกำลังสองน้อยที่สุดแบบสลับ (ALS)
• การแบ่งส่วนตามแนวทแยงสลับกัน (ASD)

อัลกอริทึมโดยตรง:

• อัลกอริทึมแบบใช้ดินสอ^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]}
• อัลกอริทึมตามโมเมนต์^{[ 30 ]}

อัลกอริทึมการปรับให้เหมาะสมทั่วไป:

• การหาค่าเฉพาะแนวทแยงพร้อมกัน (SD)
• การแยกส่วน Schur แบบทั่วไปพร้อมกัน (SGSD)
• เลเวนเบิร์ก-มาร์ควาร์ดต์ (LM)
• การไล่ระดับสีคอนจูเกตแบบไม่เชิงเส้น (NCG)
• BFGS หน่วยความจำจำกัด (L-BFGS)

อัลกอริทึมค่าลักษณะเฉพาะ:

• การวนซ้ำของพลังงาน^{[ 31 ]}

เครื่องมือแยกตัวประกอบ:

• เครื่องสนับสนุนเวกเตอร์ (SVM) และการแยกตัวประกอบ^{[ 32 ]}

การแยกตัวประกอบแบบเบย์เซียน/การสุ่มตัวอย่าง/วิธีการมาร์คอฟเชน มอนเตคาร์โล (MCMC):

• การแยกตัวประกอบเทนเซอร์ความน่าจะเป็นแบบเบย์เซียน (การสุ่มตัวอย่างแบบกิบบส์) ^{[ 33 ]}

การเรียนรู้เชิงลึก/โครงข่ายประสาทเทียม (การเรียนรู้แบบอิงตามความชัน):

• LFM ^{[ 34 ]}
• เครือข่ายพลังงานการจับคู่ความหมาย (SME) ^{[ 35 ]}
• เครือข่ายเทนเซอร์ประสาท^{[ 36 ]}
• เครือข่ายกราฟเทนเซอร์แบบวนซ้ำ^{[ 37 ]}

อัลกอริทึมการแก้ระบบสมการพหุนามทั่วไป:

• การต่อเนื่องโฮโมโทปี^{[ 38 ]}

อย่างไรก็ตาม P Wiriyathammabhum และ B Kijsirikul ^{[ 39 ]}พบว่าไม่มีอัลกอริทึมการแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุด (วิธีการเพิ่มประสิทธิภาพที่มีอยู่ทั้งหมดไม่สามารถให้คำตอบที่เหมาะสมที่สุดได้) เนื่องจากพวกเขาสร้างเทนเซอร์คะแนนและจัดอันดับคำตอบใหม่โดยใช้การเลือกแบบโลภทีละขั้นตอนซึ่งสามารถให้คำตอบที่ดีกว่าอย่างมีนัยสำคัญ อย่างน้อยใน nd-PCA, nd-FLD/LDA และอื่นๆ (ตัวแปร CPD และ Tucker) สมมติฐานคือการกำหนดค่าพารามิเตอร์ n-1 ตัวอื่นๆ ทั้งหมดให้คงที่ในขณะที่เพิ่มประสิทธิภาพพารามิเตอร์ที่ n ^นั้นมักจะ (พิสูจน์ได้) ไม่เหมาะสม MS Mahanta และ KN Plataniotis ^{[ 40 ]}เสนอวิธีการจัดกลุ่มสเปกตรัมอีกวิธีหนึ่งซึ่งให้คำตอบที่ดีกว่า

ในการเรียนรู้ของเครื่อง การแยกส่วน CP เป็นส่วนประกอบหลักในการเรียนรู้แบบจำลองตัวแปรแฝงเชิงความน่าจะเป็นผ่านเทคนิคการจับคู่โมเมนต์ ตัวอย่างเช่น พิจารณาแบบจำลองหลายมุมมอง^{[ 41 ]}ซึ่งเป็นแบบจำลองตัวแปรแฝงเชิงความน่าจะเป็น ในแบบจำลองนี้ การสร้างตัวอย่างถูกกำหนดไว้ดังนี้: มีตัวแปรสุ่มที่ซ่อนอยู่ซึ่งไม่สามารถสังเกตได้โดยตรง ซึ่งกำหนดให้มี ตัวแปรสุ่ม อิสระแบบมีเงื่อนไข หลายตัว ที่เรียกว่า "มุมมอง" ที่แตกต่างกันของตัวแปรที่ซ่อนอยู่ ตัวอย่างเช่น สมมติว่ามีสามมุมมองของตัวแปรที่ซ่อนอยู่เชิงหมวดหมู่สถานะ จากนั้นโมเมนต์ที่สามเชิงประจักษ์ของแบบจำลองตัวแปรแฝงนี้คือเทนเซอร์อันดับ 3 และสามารถแยกส่วนได้ดังนี้ : ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle h}$${\displaystyle E[x_{1}\otimes x_{2}\otimes x_{3}]}$${\displaystyle E[x_{1}\otimes x_{2}\otimes x_{3}]=\sum _{i=1}^{k}Pr(h=i)E[x_{1}|h=i]\otimes E[x_{2}|h=i]\otimes E[x_{3}|h=i]}$

ในการประยุกต์ใช้ เช่นการสร้างแบบจำลองหัวข้อ (topic modeling ) สามารถตีความได้ว่าเป็นการปรากฏร่วมกันของคำในเอกสาร จากนั้นสัมประสิทธิ์ในการแยกส่วนของเทนเซอร์โมเมนต์เชิงประจักษ์นี้สามารถตีความได้ว่าเป็นความน่าจะเป็นของการเลือกหัวข้อเฉพาะ และแต่ละคอลัมน์ของเมทริกซ์ปัจจัยจะสอดคล้องกับความน่าจะเป็นของคำในคำศัพท์ในหัวข้อที่เกี่ยวข้อง ${\displaystyle E[x|h=i]}$

• การวิเคราะห์กลุ่มแฝง
• การเรียนรู้ซับสเปซเชิงเส้นหลายตัว
• การแยกส่วนค่าเอกลักษณ์
• การสลายตัวของทักเกอร์
• การแยกส่วนค่าเอกลักษณ์ลำดับสูง
• การแยกส่วนเทนเซอร์

• Kolda, Tamara G. ; Bader, Brett W. (2009). "การแยกส่วนเทนเซอร์และการประยุกต์ใช้" SIAM Rev . 51 (3): 455– 500. Bibcode : 2009SIAMR..51..455K . CiteSeerX  10.1.1.153.2059 . doi : 10.1137/07070111X . S2CID  16074195 .
• แลนด์สเบิร์ก, โจเซฟ เอ็ม. (2012). เทนเซอร์: เรขาคณิตและการประยุกต์ใช้ . AMS.
• ครูเนนเบิร์ก, ปีเตอร์ เอ็ม. (2008) ประยุกต์การวิเคราะห์ข้อมูลหลายทางจอห์น ไวลีย์ แอนด์ ซันส์

• คู่มือการใช้งาน PARAFAC
• การวิเคราะห์ปัจจัยคู่ขนาน (PARAFAC)
• FactoMineR (ซอฟต์แวร์วิเคราะห์ข้อมูลหลายตัวแปรเชิงสำรวจฟรี ที่เชื่อมโยงกับR )