ในทางคณิตศาสตร์ปริภูมิเวกเตอร์แบบแบ่งระดับ (graded vector space ) คือปริภูมิเวกเตอร์ที่มีโครงสร้างเพิ่มเติมของการแบ่งระดับหรือการไล่ระดับซึ่งเป็นการแยกปริภูมิเวกเตอร์ออกเป็นผลรวมโดยตรงของปริภูมิย่อยเวกเตอร์ โดยทั่วไปจะกำหนด ดัชนี ด้วยจำนวนเต็ม

สำหรับปริภูมิเวกเตอร์ "บริสุทธิ์" แนวคิดนี้ได้รับการแนะนำในพีชคณิตเชิงโฮโมโลยีและมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในพีชคณิตเชิงลำดับซึ่งเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงลำดับที่มีโครงสร้างเพิ่มเติม

ให้ V เป็นเซตของจำนวนเต็มที่ ไม่เป็นลบ ปริภูมิเวกเตอร์แบบมีระดับ (หรือเรียกง่ายๆ ว่าปริภูมิเวกเตอร์แบบมีระดับโดยไม่มีคำนำหน้า) คือปริภูมิเวกเตอร์Vพร้อมกับการแยกส่วนออกเป็นผลรวมโดยตรงในรูปแบบ ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\textstyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$

${\displaystyle V=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }V_{n}}$

โดยที่แต่ละเป็นปริภูมิเวกเตอร์ สำหรับค่าn ที่กำหนด ให้ สมาชิกของจะเรียกว่าสมาชิกเอกพันธุ์ดีกรีn${\displaystyle V_{n}}$${\displaystyle V_{n}}$

ปริภูมิเวกเตอร์แบบมีระดับนั้นพบได้ทั่วไป ตัวอย่างเช่น เซตของพหุนาม ทั้งหมด ในตัวแปรเดียวหรือหลายตัวแปรนั้นก่อให้เกิดปริภูมิเวกเตอร์แบบมีระดับ โดยที่องค์ประกอบเอกพันธุ์ที่มีดีกรีn นั้นเป็นผลรวมเชิงเส้นของ เอก นามที่มีดีกรี nนั่นเอง

ปริภูมิย่อยของปริภูมิเวกเตอร์แบบแบ่งระดับไม่จำเป็นต้องมีดัชนีเป็นเซตของจำนวนธรรมชาติ และอาจใช้ดัชนีเป็นองค์ประกอบของเซตใดๆ ก็ได้Iปริภูมิเวกเตอร์แบบแบ่งระดับI Vคือปริภูมิเวกเตอร์พร้อมกับการแยกส่วนออกเป็นผลรวมโดยตรงของปริภูมิย่อยที่มีดัชนีเป็นองค์ประกอบiของเซตI :

${\displaystyle V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}.}$

ดังนั้นปริภูมิเวกเตอร์แบบ -graded ตามที่นิยามไว้ข้างต้น จึงเป็นเพียง ปริภูมิเวกเตอร์แบบ I -graded โดยที่เซตIคือ(เซตของจำนวนธรรมชาติ ) ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$

กรณีที่Iคือวงแหวน (องค์ประกอบ 0 และ 1) มีความสำคัญเป็นพิเศษในวิชาฟิสิกส์ ปริภูมิเวกเตอร์แบบแบ่งระดับ A ยังรู้จักกันในชื่อปริภูมิซูเปอร์ เวก เตอร์ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

สำหรับเซตดัชนีทั่วไปIการแมปเชิงเส้นระหว่างปริภูมิเวกเตอร์ แบบ I -graded สองปริภูมิ f  : V → Wเรียกว่าการแมปเชิงเส้นแบบ gradedถ้ามันรักษาระดับ graded ขององค์ประกอบเอกพันธุ์ การแมปเชิงเส้นแบบ graded ยังเรียกว่าhomomorphism (หรือmorphism ) ของปริภูมิเวกเตอร์แบบ graded หรือการแมปเชิงเส้นเอกพันธุ์ :

${\displaystyle f(V_{i})\subseteq W_{i}}$ สำหรับi ทุก ตัวในI

สำหรับฟิลด์ คงที่ และเซตดัชนี คงที่ ปริภูมิเวกเตอร์แบบไล่ระดับจะก่อให้เกิดหมวดหมู่ที่มีมอร์ฟิซึมเป็นแผนที่เชิงเส้นแบบไล่ระดับ

เมื่อIเป็นโมโนอิดสลับที่ (เช่น จำนวนธรรมชาติ) เราสามารถกำหนดแผนที่เชิงเส้นที่เป็นเอกพันธุ์ของดีกรีi ใดๆ ในI ได้ โดยทั่วไปด้วยคุณสมบัติ

${\displaystyle f(V_{j})\subseteq W_{i+j}}$ สำหรับทุกjในI ,

โดยที่ "+" แทนการดำเนินการของโมโนอิด นอกจากนี้ หากIมีคุณสมบัติการตัดทอนเพื่อให้สามารถฝังตัวลงในกลุ่มอาเบเลียนAที่มันสร้างขึ้นได้ (เช่น จำนวนเต็ม ถ้าIคือจำนวนธรรมชาติ) แล้วเราก็สามารถกำหนดแผนที่เชิงเส้นที่เป็นเอกพันธุ์ดีกรีiในA ได้ โดยใช้คุณสมบัติเดียวกัน (แต่ในที่นี้ "+" แทนการดำเนินการของกลุ่มในA ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับiในIแผนที่เชิงเส้นจะเป็นเอกพันธุ์ดีกรี−iถ้า

${\displaystyle f(V_{i+j})\subseteq W_{j}}$ สำหรับทุกjในIในขณะที่

${\displaystyle f(V_{j})=0\,}$ ถ้าj − iไม่อยู่ในI

เช่นเดียวกับที่เซตของแผนที่เชิงเส้นจากปริภูมิเวกเตอร์ไปยังตัวมันเองก่อให้เกิดพีชคณิตแบบสมาคม ( พีชคณิตของเอนโดมอร์ฟิซึมของปริภูมิเวกเตอร์) เซตของแผนที่เชิงเส้นเอกพันธุ์จากปริภูมิไปยังตัวมันเอง – ไม่ว่าจะจำกัดดีกรีไว้ที่Iหรืออนุญาตให้มีดีกรีใด ๆ ในกลุ่มA – ก็ก่อให้เกิดพีชคณิตแบบจัดลำดับ สมาคม เหนือเซตดัชนีเหล่านั้น

การดำเนินการบางอย่างบนปริภูมิเวกเตอร์สามารถกำหนดได้สำหรับปริภูมิเวกเตอร์แบบแบ่งระดับเช่นกัน

กำหนดให้ เวกเตอร์สเปซVและW ที่มีระดับ Iสอง ปริภูมิ ผล รวมโดยตรงของ ทั้งสองปริภูมิ จะมีเวกเตอร์สเปซพื้นฐานV  ⊕ Wที่มีระดับ

( V  ⊕ W ) _i = V _i  ⊕ W _i  .

ถ้าIเป็นเซมิกรุปผลคูณเทนเซอร์ของปริภูมิเวกเตอร์VและW ที่มีระดับ I สองปริภูมิ จะเป็น ปริภูมิเวกเตอร์ V ที่มีระดับI อีกปริภูมิ หนึ่งโดยมีระดับ ${\displaystyle V\otimes W}$

${\displaystyle (V\otimes W)_{i}=\bigoplus _{\left\{\left(j,k\right)\,:\;j+k=i\right\}}V_{j}\otimes W_{k}.}$

กำหนดให้ปริภูมิเวกเตอร์แบบ -graded ที่มีมิติจำกัด สำหรับทุกค่า ของปริภูมิเวกเตอร์ นั้นอนุกรมฮิลเบิร์ต-ปวงกาเรของ ปริภูมิเวกเตอร์นี้ คืออนุกรมกำลังเชิงรูปธรรม${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }\dim _{K}(V_{n})\,t^{n}.}$

จากสูตรข้างต้น อนุกรมฮิลเบิร์ต-ปวงกาเรของผลรวมโดยตรงและผลคูณเทนเซอร์ของปริภูมิเวกเตอร์แบบไล่ระดับ (มิติจำกัดในแต่ละระดับ) คือผลรวมและผลคูณของอนุกรมฮิลเบิร์ต-ปวงกาเรที่สอดคล้องกันตามลำดับ

• การจัดระดับ (คณิตศาสตร์)
• พีชคณิตแบบแบ่งระดับ
• โมดูล
• โมดูลที่ให้คะแนน
• กฎลิตเติลวูด-ริชาร์ดสัน