ในเรขาคณิตและพีชคณิตเชิง เส้น แกนหลักคือเส้นตรงเส้นหนึ่งในปริภูมิยูคลิดที่สัมพันธ์กับทรงรีหรือไฮเปอร์โบโลอิดซึ่งเป็นการขยายความของแกนเอกและแกน รอง ของทรงรีหรือไฮเปอร์โบลา ทฤษฎีบท แกนหลักกล่าวว่าแกนหลักตั้งฉากกันและให้ขั้นตอนการสร้างเพื่อหาแกนหลักเหล่านั้น

ในทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีแกนหลักเป็นการขยายความของวิธีการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์จากพีชคณิตเบื้องต้นในพีชคณิตเชิงเส้นและการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันทฤษฎีแกนหลักเป็นทฤษฎีทางเรขาคณิตที่เทียบเคียงได้กับทฤษฎีสเปกตรัมนอกจากนี้ยังมีการประยุกต์ใช้ในสถิติของการวิเคราะห์ส่วนประกอบหลักและการแยกส่วนค่าเอกลักษณ์ในทางฟิสิกส์ทฤษฎีนี้เป็นพื้นฐานสำคัญในการศึกษาโมเมนตัมเชิงมุมและการ หักเหของแสง

สมการในระนาบพิกัดคาร์ทีเซียนกำหนด${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}:}$ รูปวงรีและไฮเปอร์โบลาตามลำดับ ในแต่ละกรณี แกนx และแกนyเป็นแกนหลัก ซึ่งเห็นได้ง่าย เนื่องจากไม่มีพจน์ไขว้ที่เกี่ยวข้องกับผลคูณxyในทั้งสองนิพจน์ อย่างไรก็ตาม สถานการณ์จะซับซ้อนกว่าสำหรับสมการเช่น $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x^{2}}{9}}+{\frac {y^{2}}{25}}&=1\\[3pt]{\frac {x^{2}}{9}}-{\frac {y^{2}}{25}}&=1\end{aligned}}}$$$${\displaystyle 5x^{2}+8xy+5y^{2}=1.}$$

ในกรณีนี้ จำเป็นต้องมีวิธีการบางอย่างเพื่อตรวจสอบว่านี่คือวงรีหรือไฮเปอร์โบลาข้อสังเกตพื้นฐานคือ ถ้าหาก สามารถ ทำให้สมการกำลังสองสมบูรณ์เป็นผลรวมของกำลังสองสองตัวได้ แสดงว่าสมการนั้นเป็นวงรี ในขณะที่ถ้าหากสามารถทำให้เป็นผลต่างของกำลังสองสองตัวได้ แสดงว่าสมการนั้นเป็นไฮเปอร์โบลา $${\displaystyle {\begin{aligned}u(x,y)^{2}+v(x,y)^{2}&=1\qquad {\text{(วงรี)}}\\u(x,y)^{2}-v(x,y)^{2}&=1\qquad {\text{(ไฮเปอร์โบลา)}}.\end{aligned}}}$$

ดังนั้น ในตัวอย่างนิพจน์ของเรา ปัญหาคือวิธีการดูดซับสัมประสิทธิ์ของพจน์ไขว้8xyเข้าไปในฟังก์ชันuและv ในเชิงรูปแบบ ปัญหานี้คล้ายกับปัญหาการ หา เมทริกซ์ทแยงมุมซึ่งเป็นการพยายามหาพิกัดระบบที่เหมาะสมซึ่งเมทริกซ์ของการแปลงเชิงเส้นเป็นเมทริกซ์ทแยงมุมขั้นตอนแรกคือการหาเมทริกซ์ที่สามารถใช้เทคนิคการหาเมทริกซ์ทแยงมุมได้

เทคนิคคือการเขียนรูปแบบกำลังสองให้อยู่ในรูปโดย ที่พจน์ไขว้ถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน เมทริกซ์Aในการแยกส่วนข้างต้นเป็นเมทริกซ์สมมาตรโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตามทฤษฎีบทสเปกตรัม เมทริกซ์นี้มีค่าไอเกนเป็นจำนวนจริงและสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ด้วย เมทริกซ์เชิงตั้งฉาก ( orthogonal matrix ) $${\displaystyle 5x^{2}+8xy+5y^{2}={\begin{bmatrix}x&y\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5&4\\4&5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=\mathbf {x} ^{\textsf {T}}\คณิตศาสตร์ {ขวาน} }$$

ในการทำให้เมทริกซ์ Aเป็นเมทริกซ์ทแยงมุมเชิงตั้งฉากจำเป็นต้องหาค่าไอเกนของเมทริกซ์ก่อน จากนั้นจึงหาฐานไอเกนเชิงตั้งฉาก การคำนวณแสดงให้เห็นว่าค่าไอเกนของเมทริกซ์Aคือ $${\displaystyle \lambda _{1}=1,\quad \lambda _{2}=9}$$

พร้อมด้วยเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกัน $${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{2}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}.}$$

การหารค่าเหล่านี้ด้วยความยาวที่เกี่ยวข้องจะทำให้ได้ฐานค่าลักษณะเฉพาะเชิงตั้งฉาก: $${\displaystyle \mathbf {u} _{1}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {u} _{2}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}.}$$

ตอนนี้เมทริกซ์ S = [ u ₁ u ₂ ]เป็นเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก เนื่องจากมีคอลัมน์เชิงตั้งฉากปกติ และAถูกทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมโดย: $${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {SDS} ^{-1}=\mathbf {SDS} ^{\textsf {T}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&9\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}.}$$

หลักการนี้ใช้ได้กับปัญหาปัจจุบันของการ "ทำให้เป็นแนวทแยง" ของรูปแบบกำลังสอง โดยอาศัยข้อสังเกตที่ว่า $${\displaystyle {\begin{aligned}5x^{2}+8xy+5y^{2}&=\mathbf {x} ^{\textsf {T}}\mathbf {Ax} \\&=\mathbf {x} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {SDS} ^{\textsf {T}}\right)\mathbf {x} \\&=\left(\mathbf {S} ^{\textsf {T}}\mathbf {x} \right)^{\textsf {T}}\mathbf {D} \left(\mathbf {S} ^{\textsf {T}}\mathbf {x} \right)\\&=1\left({\frac {xy}{\sqrt {2}}}\right)^{2}+9\left({\frac {x+y}{\sqrt {2}}}\right)^{2}.\end{aligned}}}$$

ดังนั้น สมการจึงเป็นสมการของวงรี เนื่องจากด้านซ้ายสามารถเขียนได้เป็นผลรวมของกำลังสองสองตัว ${\displaystyle 5x^{2}+8xy+5y^{2}=1}$

อาจดูน่าสนใจที่จะทำให้สมการนี้ง่ายขึ้นโดยการดึงตัวประกอบของ 2 ออกมา อย่างไรก็ตาม สิ่งสำคัญคืออย่าทำเช่นนั้น ปริมาณเหล่านี้ มีความหมายทางเรขาคณิต พวกมันกำหนดระบบพิกัดตั้งฉากบน⁠ ⁠ กล่าวอีกนัยหนึ่ง พวกมันได้มาจากพิกัดเดิมโดยการประยุกต์ใช้การหมุน (และอาจมีการสะท้อน) ดังนั้น เราจึงสามารถใช้ พิกัด c ₁และc ₂เพื่อกล่าวถึงความยาวและมุม (โดยเฉพาะความยาว) ซึ่งจะยากกว่าหากเลือกใช้พิกัดอื่น (เช่น การปรับขนาด) ตัวอย่างเช่น ระยะทางสูงสุดจากจุดกำเนิดบนวงรี เกิดขึ้นเมื่อc ₂ = 0ดังนั้นที่จุดc ₁ = ±1 ในทำนอง เดียวกัน ระยะทางต่ำสุดคือที่ที่c ₂ = ±1/ 3 $${\displaystyle c_{1}={\frac {xy}{\sqrt {2}}},\quad c_{2}={\frac {x+y}{\sqrt {2}}}}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$$${\displaystyle c_{1}^{2}+9c_{2}^{2}=1}$$

ตอนนี้เราสามารถอ่านค่าแกนเอกและแกนรองของวงรีนี้ได้แล้ว ซึ่งก็คือปริภูมิไอเกนของเมทริกซ์A นั่นเอง เนื่องจากเป็นบริเวณที่c ₂ = 0หรือc ₁ = 0ในเชิงสัญลักษณ์ แกนหลักคือ $${\displaystyle E_{1}=\operatorname {span} \left({\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}\right),\quad E_{2}=\operatorname {span} \left({\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}\right).}$$

สรุปได้ว่า:

• สมการนี้เป็นสมการของวงรี เนื่องจากค่าไอเกนทั้งสองเป็นบวก (มิฉะนั้น ถ้าค่าหนึ่งเป็นบวกและอีกค่าหนึ่งเป็นลบ สมการจะเป็นไฮเปอร์โบลา)
• แกนหลักคือเส้นที่เกิดจากเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ
• สามารถอ่านค่าระยะทางต่ำสุดและสูงสุดจากจุดกำเนิดได้จากสมการในรูปแบบแนวทแยง

ด้วยข้อมูลนี้ เราสามารถสร้างภาพทางเรขาคณิตที่ชัดเจนของวงรีได้ เช่น การวาดกราฟของวงรี

ทฤษฎีแกนหลักเกี่ยวข้องกับ รูปแบบกำลังสองใน⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ซึ่งเป็นพหุนามเอกพันธุ์ดีกรี 2 รูปแบบกำลังสองใดๆ สามารถแสดงได้ในรูป โดย ที่Aเป็นเมทริกซ์สมมาตร $${\displaystyle Q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{\textsf {T}}\mathbf {Ax} }$$

ส่วนแรกของทฤษฎีบทนั้นประกอบด้วยข้อความต่อไปนี้ซึ่งรับประกันโดยทฤษฎีบทสเปกตรัม:

• ค่าไอเกนของเมทริกซ์ Aเป็นจำนวนจริง
• เมทริกซ์ Aสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ และปริภูมิไอเกนของเมทริกซ์ Aตั้งฉากซึ่งกันและกัน

โดยเฉพาะอย่างยิ่งAสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมเชิงตั้งฉากได้เนื่องจากเราสามารถเลือกฐานของแต่ละปริภูมิไอเกนและใช้กระบวนการแกรม-ชมิดท์แยกกันภายในปริภูมิไอเกนเพื่อให้ได้ฐานไอเกนเชิงตั้งฉากปกติ

สำหรับส่วนที่สอง สมมติว่าค่าลักษณะเฉพาะของAคือλ ₁ , ..., λ _n (อาจซ้ำกันตามความซ้ำซ้อนทางพีชคณิต ) และฐานลักษณะเฉพาะเชิงตั้งฉากที่สอดคล้องกันคือu ₁ , ..., u _nแล้ว และ $${\displaystyle \mathbf {c} =[\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}]^{\textsf {T}}\mathbf {x} ,}$$$${\displaystyle Q(\mathbf {x} )=\lambda _{1}c_{1}^{2}+\lambda _{2}c_{2}^{2}+\dots +\lambda _{n}c_{n}^{2},}$$

โดยที่c _iคือ รายการ ที่ iของcยิ่งไปกว่านั้น

แกนหลักที่ i คือเส้นตรงที่กำหนดโดยการเทียบเท่าc j ₌ 0สำหรับทุกj = 1, ..., i − 1, i + 1, ..., nแกน หลักที่ iคือปริภูมิที่เกิดจากเวกเตอร์u _i

• กฎความเฉื่อยของซิลเวสเตอร์