อ่าน 3 นาที
สัญกรณ์กราฟิกของเพนโรส
ใน คณิตศาสตร์ และ ฟิสิกส์ สัญกรณ์กราฟิกของเพนโรส หรือสั ญกรณ์แผนภาพเทนเซอร์ เป็นการแสดงภาพ (โดยปกติเขียนด้วยมือ) ของ ฟังก์ชันเชิงเส้นหลายตัว หรือ เทนเซอร์ ที่เสนอโดย โรเจอร์...
สัญกรณ์กราฟิกของเพนโรส
ในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์สัญกรณ์กราฟิกของเพนโรสหรือสัญกรณ์แผนภาพเทนเซอร์เป็นการแสดงภาพ (โดยปกติเขียนด้วยมือ) ของฟังก์ชันเชิงเส้นหลายตัวหรือเทนเซอร์ที่เสนอโดยโรเจอร์ เพนโรสในปี 1971 [ 1 ]แผนภาพในสัญกรณ์ประกอบด้วยรูปทรงหลายรูปที่เชื่อมโยงกันด้วยเส้น
สัญลักษณ์นี้ปรากฏให้เห็นอย่างแพร่หลายในทฤษฎีควอนตัม สมัยใหม่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในสถานะผลคูณเมทริกซ์และวงจรควอนตัมโดยเฉพาะอย่างยิ่งกลศาสตร์ควอนตัมเชิงหมวดหมู่ (ซึ่งรวมถึงแคลคูลัส ZX ) เป็นการปรับปรุงทฤษฎีควอนตัมอย่างสมบูรณ์แบบโดยใช้แผนภาพเพนโรส
สัญกรณ์นี้ได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางโดยPredrag Cvitanovićซึ่งใช้สัญกรณ์นี้ร่วมกับไดอะแกรมของ Feynmanและสัญกรณ์อื่นๆ ที่เกี่ยวข้องในการพัฒนา "birdtracks" ซึ่งเป็นไดอะแกรมเชิงทฤษฎีกลุ่มเพื่อจำแนกกลุ่ม Lie แบบคลาสสิก [ 2 ] สัญกรณ์ของ Penrose ยังได้รับการขยายความโดยใช้ทฤษฎีการแทนไปยังเครือข่ายสปินในฟิสิกส์ และด้วยการมีอยู่ของกลุ่มเมทริกซ์เพื่อติดตามไดอะแกรมใน พีชคณิต เชิง เส้น
การตีความ
พีชคณิตเชิงเส้นหลายตัว
ในภาษาของพีชคณิตเชิงเส้นหลายตัวแปรรูปทรงแต่ละรูปแทนฟังก์ชันเชิงเส้นหลายตัวแปรเส้นที่เชื่อมต่อกับรูปทรงแทนค่าป้อนเข้าหรือค่าป้อนออกของฟังก์ชัน และการเชื่อมต่อรูปทรงเข้าด้วยกันในบางวิธีนั้นก็คือการประกอบฟังก์ชันนั่นเอง
เทนเซอร์
ในภาษาของพีชคณิตเทนเซอร์เทนเซอร์เฉพาะจะเชื่อมโยงกับรูปร่างเฉพาะที่มีเส้นจำนวนมากที่ฉายขึ้นและลง ซึ่งสอดคล้องกับ ดัชนี บนและล่างนามธรรม ของเทนเซอร์ตามลำดับ เส้นเชื่อมระหว่างสองรูปร่างสอดคล้องกับการหดตัวของดัชนีข้อดีอย่างหนึ่งของสัญกรณ์ นี้ คือไม่จำเป็นต้องสร้างตัวอักษรใหม่สำหรับดัชนีใหม่ สัญกรณ์นี้ยังเป็นอิสระจากฐาน อย่างชัดเจนอีกด้วย [ 3 ]
เมทริกซ์
แต่ละรูปทรงแทนเมทริกซ์ โดยการคูณเทนเซอร์จะทำในแนวนอน และการคูณเมทริกซ์จะทำในแนวตั้ง
การแสดงแทนเทนเซอร์พิเศษ
เมตริกเทนเซอร์
เมตริกเทนเซอร์จะแสดงด้วยลูปรูปตัวยูหรือลูปรูปตัวยูคว่ำ ขึ้นอยู่กับประเภทของเทนเซอร์ที่ใช้
 |  |
Levi-Civita tensor
เทนเซอร์แบบแอนติสมมาตร ของLevi-Civitaแสดงด้วยแถบแนวนอนหนาที่มีแท่งชี้ลงหรือชี้ขึ้น ขึ้นอยู่กับประเภทของเทนเซอร์ที่ใช้
 |  |  |
ค่าคงที่โครงสร้าง
ค่าคงที่โครงสร้าง ( ) ของพีชคณิตลีแสดงด้วยรูปสามเหลี่ยมเล็กๆ ที่มีเส้นหนึ่งชี้ขึ้นด้านบนและสองเส้นชี้ลงด้านล่าง
การดำเนินการเทนเซอร์
การหดตัวของดัชนี
การหดตัวของดัชนีแสดงโดยการเชื่อมเส้นดัชนีเข้าด้วยกัน
 |  |  |
การทำให้สมมาตร
การทำให้ดัชนี มีความสมมาตรจะแสดงด้วยเส้นหยักหนาหรือเส้นคลื่นที่ตัดผ่านเส้นดัชนีในแนวนอน
 |
![{\displaystyle {}_{Q^{ab}=Q^{[ab]}+Q^{(ab)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfe6141e87f3bb6bf46b13e6f0df759f36dcf68c)
แอนตี้สมมาตร
การทำให้ดัชนี สมมาตรแบบตรงข้ามแสดงด้วยเส้นตรงหนาที่ตัดผ่านเส้นดัชนีในแนวนอน
 |
![{\displaystyle E_{[ab\ldots n]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58adc5ba5ef08561356cd95bb5819fe124ee5f66)
![{\displaystyle {__{E_{ab}=E_{[ab]}+E_{(ab)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c80d0cf553b08549782f76dccacdb1d217343cb7)
ตัวกำหนด
ตัวกำหนดถูกสร้างขึ้นโดยการใช้การแปลงผกผันสมมาตรกับดัชนี
 |  |
อนุพันธ์โคแวเรียนต์
อนุพันธ์โคแวเรียนต์ ( ) จะแสดงด้วยวงกลมรอบเทนเซอร์ที่จะหาอนุพันธ์ และเส้นที่ลากจากวงกลมลงมาเพื่อแสดงดัชนีล่างของอนุพันธ์
 |
![{\displaystyle 12\nabla _{a}\left(\xi ^{f}\,\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19303966fb76867c7c27fdfa2e39de87ca0b4a48)
![{\displaystyle =12\left(\xi ^{f}(\nabla _{a}\lambda _{fb[c}^{(d})\,D_{gh]}^{e)b}+(\nabla _{a}\xi ^{f})\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}+\xi ^{f}\lambda _{fb[c}^{(d}\,(\nabla _{a}D_{gh]}^{e)b})\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a82bab6d232355cfdc3add53ebabeb01ccd571e6)
การจัดการเทนเซอร์
การใช้สัญลักษณ์แผนภาพมีประโยชน์ในการจัดการพีชคณิตเทนเซอร์ โดยปกติแล้วจะเกี่ยวข้องกับ " เอกลักษณ์ " ง่ายๆ ไม่กี่อย่างของการจัดการเทนเซอร์
ตัวอย่างเช่นโดยที่nคือจำนวนมิติ เป็น "เอกลักษณ์" ทั่วไป
เทนเซอร์ความโค้งรีมันน์
เอกลักษณ์ของริชชีและเบียนคีที่แสดงในรูปของเทนเซอร์ความโค้งของรีมันน์ แสดงให้เห็นถึงพลังของสัญลักษณ์ดังกล่าว
 |  |  |  |
![{\displaystyle \nabla _{[a}R_{bc]d}^{\ \ \ e}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3896d2dbc992145ed836177f508a50380f70d023)
ส่วนขยาย
สัญกรณ์ได้รับการขยายโดยรองรับสปินเนอร์และทวิสเตอร์[ 4 ] [ 5 ]
ดูเพิ่มเติม
- สัญกรณ์ดัชนีนามธรรม
- แผนภาพโมเมนตัมเชิงมุม (กลศาสตร์ควอนตัม)
- ประเภทโมโนอิดัลแบบถัก
- กลศาสตร์ควอนตัมเชิงหมวดหมู่ใช้สัญกรณ์แผนภาพเทนเซอร์
- สถานะผลคูณเมทริกซ์ใช้สัญกรณ์กราฟิกของเพนโรส
- แคลคูลัสริชชี
- เครือข่ายสปิน
- แผนภาพการติดตาม
หมายเหตุ
- ^ Roger Penrose , "การประยุกต์ใช้เทนเซอร์มิติลบ " ใน Combinatorial Mathematics and its Applications , Academic Press (1971). ดู Vladimir Turaev, Quantum invariants of knots and 3-manifolds (1994), De Gruyter, หน้า 71 สำหรับคำอธิบายโดยย่อ
- ^ Predrag Cvitanović (2008). ทฤษฎีกลุ่ม: Birdtracks, Lie's และกลุ่มพิเศษ . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน.
- ^โรเจอร์ เพนโรส ,เส้นทางสู่ความเป็นจริง: คู่มือฉบับสมบูรณ์เกี่ยวกับกฎแห่งจักรวาล , 2005, ISBN 0-09-944068-7บทที่ว่าด้วยแมนิโฟลด์ของมิติ n
- ^ Penrose, R.; Rindler, W. (1984). Spinors and Space-Time: Vol I, Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields . Cambridge University Press. หน้า 424–434 . ISBN 0-521-24527-3.
- ^ Penrose, R.; Rindler, W. (1986). Spinors and Space-Time: Vol. II, Spinor and Twistor Methods in Space-Time Geometry . Cambridge University Press. ISBN 0-521-25267-9.
สรุปเนื้อหา
ข้อมูลสำคัญจากบทความ
ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ สัญกรณ์กราฟิกของเพนโรส
ใน คณิตศาสตร์ และ ฟิสิกส์ สัญกรณ์กราฟิกของเพนโรส หรือสั ญกรณ์แผนภาพเทนเซอร์ เป็นการแสดงภาพ (โดยปกติเขียนด้วยมือ) ของ ฟังก์ชันเชิงเส้นหลายตัว หรือ เทนเซอร์ ที่เสนอโดย โรเจอร์...
พีชคณิตเชิงเส้นหลายตัว
ในภาษาของ พีชคณิตเชิงเส้นหลายตัวแปร รูปทรงแต่ละรูปแทน ฟังก์ชันเชิงเส้นหลายตัวแปร เส้นที่เชื่อมต่อกับรูปทรงแทนค่าป้อนเข้าหรือค่าป้อนออกของฟังก์ชัน และการเชื่อมต่อรูปทรงเข้าด้วยกันในบางวิธีนั้นก็คือ การประกอบฟังก์ชัน นั่นเอง
เทนเซอร์
ในภาษาของ พีชคณิตเทนเซอร์ เทนเซอร์เฉพาะจะเชื่อมโยงกับรูปร่างเฉพาะที่มีเส้นจำนวนมากที่ฉายขึ้นและลง ซึ่งสอดคล้องกับ ดัชนี บนและล่าง นามธรรม ของเทนเซอร์ตามลำดับ เส้นเชื่อมระหว่างสองรูปร่างสอดคล้องกับ การหดตัวของดัชนี ข้อดีอย่างหนึ่งของ สัญกรณ์ นี้...
เมทริกซ์
แต่ละรูปทรงแทนเมทริกซ์ โดย การคูณเทนเซอร์ จะทำในแนวนอน และ การคูณเมทริกซ์ จะทำในแนวตั้ง