ในพีชคณิตเชิงเส้นหลายตัวแปรการหดตัวของเทนเซอร์คือการดำเนินการบนเทนเซอร์ที่เกิดจากการจับคู่แบบแคนอนิกของปริภูมิเวกเตอร์และปริภูมิคู่ ของ มัน

ตัวอย่างนี้ซึ่งใช้เมทริกซ์ขนาดเล็กสองตัว (เทนเซอร์) แสดงให้เห็นถึงวิธีการทำงาน $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\cdot 5+2\cdot 7&1\cdot 6+2\cdot 8\\3\cdot 5+4\cdot 7&3\cdot 6+4\cdot 8\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}19&22\\43&50\end{bmatrix}}}$$

เมื่อคำนวณด้วยเมทริกซ์หรือเทนเซอร์ มักจะเป็นประโยชน์ที่จะเลื่อนเทนเซอร์ตัวที่สองขึ้นไป และวางผลลัพธ์ไว้ด้านล่าง เพื่อจุดประสงค์ในการคำนวณเท่านั้น ด้วยวิธีนี้ แต่ละแถวของเมทริกซ์ตัวแรก (1234) และแต่ละคอลัมน์ของเมทริกซ์ตัวที่สอง (5678) จะชี้ไปยังเซลล์ของผลลัพธ์ที่ได้ แน่นอนว่าเมทริกซ์เหล่านี้อาจมีขนาดใหญ่กว่า 2x2 ได้ โดยทั่วไปมักใช้ 3x3 หรือ 4x4 แต่ขนาดใดก็ได้ก็สามารถใช้ได้

ในการเขียนแบบดัชนีอย่างง่าย จะเขียนได้ว่า i, j และ k มีค่าอยู่ในช่วง 1 ถึง 2 สังเกตว่าดัชนี j ที่อยู่ตรงกลางหายไป นี่คือแก่นแท้ของการหดตัวของเทนเซอร์ ${\textstyle \sum _{j=1}^{2}a_{ij}\times b_{jk}=c_{ik}}$

ในสัญกรณ์ของไอน์สไตน์จะเป็น. ตัวยกทำงานเหมือนตัวห้อย แต่มีความหมายต่างกัน เฉพาะดัชนีที่ซ้ำกัน ตัวยกสูง และตัวลดลงเท่านั้นที่จะถูกรวมเข้าด้วยกัน วัตถุหนึ่งๆ สามารถมีดัชนีมากกว่าสองตัวได้เช่นกัน ${\textstyle a_{i}{}^{j}\times b_{j}{}^{k}=c_{i}{}^{k}}$

การหดตัวของเทนเซอร์สามารถมองได้ว่าเป็นการขยายความของร่องรอย (trace )

ให้Vเป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์kแก่นของการดำเนินการหดตัว และกรณีที่ง่ายที่สุด คือการจับคู่แบบแคนอนิกของVกับปริภูมิเวกเตอร์คู่V ^∗การจับคู่นี้เป็นแผนที่เชิงเส้นจากผลคูณเทนเซอร์ของปริภูมิทั้งสองนี้ไปยังฟิลด์k :

$${\displaystyle C:V\otimes V^{*}\rightarrow k}$$

สอดคล้องกับรูปแบบทวิเชิงเส้น

$${\displaystyle \langle v,f\rangle =f(v)}$$

โดยที่fอยู่ในV ^∗และvอยู่ในVแผนที่Cกำหนดการดำเนินการหดตัวบนเทนเซอร์ประเภท(1, 1)ซึ่งเป็นองค์ประกอบของสังเกตว่าผลลัพธ์เป็นสเกลาร์ (องค์ประกอบของk ) ในมิติจำกัดการใช้ ไอโซมอ ร์ ฟิซึมตามธรรมชาติระหว่างและปริภูมิของแผนที่เชิงเส้นจากV ไปยังV ^{[ 1 ]} จะได้คำจำกัดความของ ร่องรอยที่ปราศจากฐาน${\displaystyle V\otimes V^{*}}$${\displaystyle V\otimes V^{*}}$

โดยทั่วไปเทนเซอร์ชนิด( m , n ) (โดยที่m ≥ 1และn ≥ 1 ) ถือเป็นองค์ประกอบของปริภูมิเวกเตอร์

$${\displaystyle V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}}$$

(โดยมีปัจจัยV จำนวนm ตัว และปัจจัยV ^{∗ จำนวน}n ตัว ) ^{[ 2 ] [ 3 ]}การใช้การจับคู่แบบแคนอนิกกับ ปัจจัย Vตัวที่kและ ปัจจัย V ^∗ตัวที่lและการใช้เอกลักษณ์กับปัจจัยอื่นๆ ทั้งหมด จะกำหนดการดำเนินการหดตัว ( k , l ) ซึ่งเป็นแผนที่เชิงเส้นที่ให้ผลลัพธ์เป็นเท นเซอร์ประเภท( m − 1, n − 1) ^{[ 2 ]}โดยเปรียบเทียบกับ กรณี (1, 1)การดำเนินการหดตัวทั่วไปบางครั้งเรียกว่าร่องรอย

ในการเขียนสัญลักษณ์ดัชนีเทนเซอร์การหดตัวพื้นฐานของเวกเตอร์และเวกเตอร์คู่จะถูกแทนด้วย

$${\displaystyle {\tilde {f}}({\vec {v}})=f_{\gamma }v^{\gamma },}$$

ซึ่งเป็นตัวย่อสำหรับผลรวมพิกัดที่ชัดเจน^{[ 4 ]}

$${\displaystyle f_{\gamma }v^{\gamma }=f_{1}v^{1}+f_{2}v^{2}+\cdots +f_{n}v^{n}}$$

(โดยที่v ⁱคือส่วนประกอบของvในฐานเฉพาะ และf _iคือส่วนประกอบของfในฐานคู่ที่สอดคล้องกัน)

เนื่องจาก เทนเซอร์แบบไดอะดิกผสมทั่วไปเป็นผลรวมเชิงเส้นของเทนเซอร์ที่สามารถแยกส่วนได้ในรูปแบบดังนั้นสูตรที่ชัดเจนสำหรับกรณีไดอะดิกจึงเป็นดังนี้: ให้ ${\displaystyle f\otimes v}$

$${\displaystyle \mathbf {T} =T_{j}^{i}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}}$$

เป็นเทนเซอร์แบบไดอะดิกผสม จากนั้นการหดตัวของมันคือ

$${\displaystyle T_{j}^{i}\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=T_{j}^{i}\delta _{i}{}^{j}=T_{j}^{j}=T_{1}^{1}+\cdots +T_{n}^{n}}$$.

การหดตัวทั่วไปจะแสดงโดยการกำหนดตัวอักษรเดียวกัน ให้กับดัชนี ร่วมแปรตัว หนึ่ง และ ดัชนี ผกผันแปร ตัวหนึ่ง โดยการ รวมผลลัพธ์เหนือดัชนีนั้นจะถูกกำหนดโดยหลักการรวมผลลัพธ์ เทนเซอร์ที่หดตัวแล้วจะได้รับดัชนีที่เหลือของเทนเซอร์เดิม ตัวอย่างเช่น การหดตัวของเทนเซอร์Tชนิด (2,2) บนดัชนีที่สองและสามเพื่อสร้างเทนเซอร์ใหม่Uชนิด (1,1) จะเขียนได้ดังนี้

$${\displaystyle T^{ab}{}_{bc}=\sum _{b}{T^{ab}{}_{bc}}=T^{a1}{}_{1c}+T^{a2}{}_{2c}+\cdots +T^{an}{}_{nc}=U^{a}{}_{c}.}$$

ในทางตรงกันข้าม ให้

$${\displaystyle \mathbf {T} =\mathbf {e} ^{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}}$$

เป็นเทนเซอร์ไดอะดิกที่ไม่ผสม เทนเซอร์นี้ไม่หดตัว หากเวกเตอร์ฐานของมันถูกดอท ผลลัพธ์ที่ได้คือเทนเซอร์เมตริก คอนทราแวเรียน ต์

$${\displaystyle g^{ij}=\mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} ^{j},}$$

ซึ่งมีอันดับที่ 2

เช่นเดียวกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ การหดตัวบนคู่ดัชนีที่ต่างก็เป็นคอนทราเวเรียนต์หรือโคเวเรียนต์นั้นโดยทั่วไปเป็นไปไม่ได้ อย่างไรก็ตาม ในกรณีที่มีผลคูณภายใน (หรือที่เรียกว่าเมตริก ) gการหดตัวดังกล่าวเป็นไปได้ เราใช้เมตริกเพื่อเพิ่มหรือลดดัชนีตัวใดตัวหนึ่งตามความจำเป็น จากนั้นจึงใช้การดำเนินการหดตัวตามปกติ การดำเนินการรวมกันนี้เรียกว่า การหดตัว แบบเมตริก^{[ 5 ]}

การหดตัวมักถูกนำไปใช้กับฟิลด์เทนเซอร์บนปริภูมิ (เช่นปริภูมิยุคลิดแมนิโฟลด์หรือสกีม ) เนื่องจากการหดตัวเป็นการดำเนินการทางพีชคณิตล้วนๆ จึงสามารถนำไปใช้กับฟิลด์เทนเซอร์แบบจุดต่อจุดได้ เช่น ถ้าTเป็นฟิลด์เทนเซอร์ (1,1) บนปริภูมิยุคลิดแล้ว ในพิกัดใดๆ การหดตัวของมัน (ฟิลด์สเกลาร์) Uที่จุดxจะกำหนดโดย

$${\displaystyle U(x)=\sum _{i}T_{i}^{i}(x)}$$

เนื่องจากบทบาทของxในที่นี้ไม่ซับซ้อน จึงมักถูกละเว้น และสัญลักษณ์สำหรับฟิลด์เทนเซอร์จึงเหมือนกับสัญลักษณ์สำหรับเทนเซอร์เชิงพีชคณิตล้วนๆ

บนแมนิโฟลด์แบบรีมันน์นั้นมีเมตริก (ฟิลด์ของผลคูณภายใน) ให้ใช้งานได้ และการหดตัวทั้งแบบเมตริกและไม่เมตริกมีความสำคัญต่อทฤษฎีนี้ ตัวอย่างเช่นเทนเซอร์ริชชีเป็นการหดตัวแบบไม่เมตริกของเทนเซอร์ความโค้งรีมันน์และความโค้งสเกลาร์เป็นการหดตัวแบบเมตริกเฉพาะของเทนเซอร์ริชชี

นอกจากนี้ยังสามารถพิจารณาการหดตัวของฟิลด์เทนเซอร์ในบริบทของโมดูลเหนือวงแหวนฟังก์ชันที่เหมาะสมบนแมนิโฟลด์^{[ 5 ]}หรือในบริบทของชีฟของโมดูลเหนือชีฟโครงสร้าง^{[ 6 ]}ดูการอภิปรายในตอนท้ายของบทความนี้

ในฐานะที่เป็นการประยุกต์ใช้การหดตัวของสนามเทนเซอร์ ให้Vเป็นสนามเวกเตอร์บนแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ (ตัวอย่างเช่นปริภูมิยูคลิด ) ให้เป็นอนุพันธ์โคแวเรียนต์ของV (ในพิกัดที่เลือกไว้บางพิกัด) ในกรณีของพิกัดคาร์ทีเซียนในปริภูมิยูคลิด เราสามารถเขียนได้ว่า ${\displaystyle V^{\อัลฟา }{__{\เบต้า }}$

$${\displaystyle V^{\alpha }{}_{\beta }={\partial V^{\alpha } \over \partial x^{\beta }}.}$$

จากนั้น การเปลี่ยนดัชนีβเป็นαจะทำให้ดัชนีทั้งสองผูกพันกัน ส่งผลให้อนุพันธ์หดตัวกับตัวเองและได้ผลรวมดังต่อไปนี้:

$${\displaystyle V^{\alpha }{__{\alpha }=V^{0}{__{0}+\cdots +V^{n}{__{n},}$$

ซึ่งก็คือค่าเบี่ยงเบน div Vจากนั้น

$${\displaystyle \operatorname {div} V=V^{\alpha }{__{\alpha }=0}$$

เป็นสมการความต่อเนื่อง สำหรับV

โดยทั่วไป เราสามารถกำหนดการดำเนินการไดเวอร์เจนซ์ต่างๆ บน ฟิลด์เทนเซอร์ที่มีอันดับสูงกว่าได้ดังนี้ หากTเป็นฟิลด์เทนเซอร์ที่มีดัชนีคอนทราแวเรียนต์อย่างน้อยหนึ่งตัว การหา^{อนุพันธ์}โคแวเรียนต์และการหดตัวของดัชนีคอนทราแวเรียนต์ที่เลือกกับดัชนีโคแวเรียนต์ใหม่ที่สอดคล้องกับอนุพันธ์จะส่งผลให้ได้เทนเซอร์ใหม่ที่มีอันดับต่ำกว่าT หนึ่งอันดับ ^{[ 5} ]

เราสามารถสรุปการดำเนินการหดตัวหลัก (เวกเตอร์กับเวกเตอร์คู่) ในรูปแบบที่แตกต่างออกไปเล็กน้อยได้ โดยพิจารณาคู่ของเทนเซอร์TและU ผลคูณของเทนเซอร์ คือเทนเซอร์ใหม่ ซึ่งหากมีดัชนีร่วมแปรอย่างน้อยหนึ่งตัวและดัชนีผกผันแปรอย่างน้อยหนึ่งตัว ก็สามารถหดตัวได้ กรณีที่Tเป็นเวกเตอร์และUเป็นเวกเตอร์คู่ คือการดำเนินการหลักที่กล่าวถึงเป็นครั้งแรกในบทความนี้ ${\displaystyle T\otimes U}$

ในการเขียนสัญลักษณ์ดัชนีเทนเซอร์ การจะยุบรวมเทนเซอร์สองตัวเข้าด้วยกันนั้น จะทำได้โดยการวางเทนเซอร์ทั้งสองไว้เคียงข้างกัน (วางติดกัน) ในฐานะตัวประกอบของเทอมเดียวกัน วิธีนี้จะทำให้ได้ผลคูณเทนเซอร์ ซึ่งจะได้เทนเซอร์ประกอบ การยุบรวมดัชนีสองตัวในเทนเซอร์ประกอบนี้จะทำให้เกิดการยุบรวมของเทนเซอร์ทั้งสองตามที่ต้องการ

ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์สามารถแสดงได้ในรูปของเทนเซอร์ประเภท (1,1) โดยที่ดัชนีแรกเป็นแบบคอนทราเวเรียนต์ และดัชนีที่สองเป็นแบบโคเวเรียนต์ ให้และ เป็นส่วนประกอบของเมทริกซ์หนึ่ง และให้และ เป็นส่วนประกอบของเมทริกซ์ที่สอง การคูณของเมทริกซ์ทั้งสองจะแสดงด้วยการหดตัวต่อไปนี้ ซึ่งเป็นตัวอย่างของการหดตัวของเทนเซอร์คู่หนึ่ง: ${\displaystyle \Lambda ^{\alpha }{}_{\beta }}$${\displaystyle \mathrm {M} ^{\beta }{__{\gamma }}$

$${\displaystyle \Lambda ^{\alpha }{__{\beta }\mathrm {M} ^{\beta }{__{\gamma }=\mathrm {N} ^{\alpha }{__{\gamma }.}$$

นอกจากนี้ผลคูณภายในของเวกเตอร์ที่มีรูปแบบเชิงอนุพันธ์ยังเป็นกรณีพิเศษของการหดตัวของเทนเซอร์สองตัวเข้าด้วยกัน

ให้Rเป็นวงแหวนสลับที่และให้M เป็น โมดูลอิสระจำกัดเหนือRการหดตัวจะกระทำกับพีชคณิตเทนเซอร์แบบเต็ม (แบบผสม) ของMในลักษณะเดียวกับที่เกิดขึ้นในกรณีของปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์ (ข้อเท็จจริงที่สำคัญคือ การจับคู่แบบแคนอนิกยังคงสมบูรณ์แบบในกรณีนี้)

โดยทั่วไปแล้ว ให้O _Xเป็นชีฟของวงแหวนสลับตำแหน่งเหนือปริภูมิเชิงทอพอโลยีXเช่นO _Xอาจเป็นชีฟโครงสร้างของ แมนิโฟล ด์เชิงซ้อนปริภูมิเชิงวิเคราะห์หรือสกีมให้Mเป็นชีฟอิสระเฉพาะที่ของโมดูลเหนือO _Xที่มีอันดับจำกัด จากนั้นคู่ของMก็ยังคงมีพฤติกรรมที่ดี^{[ 6 ]}และการดำเนินการหดตัวก็สมเหตุสมผลในบริบทนี้

• ผลคูณเทนเซอร์
• ร่องรอยบางส่วน
• ผลิตภัณฑ์ตกแต่งภายใน
• การปรับขึ้นและปรับลงดัชนี
• ไอโซมอร์ฟิซึมทางดนตรี
• แคลคูลัสริชชี