ในพีชคณิตเชิงเส้นและการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันร่องรอยบางส่วน (partial trace)เป็นการขยายความของร่องรอย (trace ) โดยที่ร่องรอยเป็น ฟังก์ชันค่า สเกลาร์บนตัวดำเนินการ ร่องรอยบางส่วนเป็น ฟังก์ชันค่า ตัวดำเนินการร่องรอยบางส่วนมีการประยุกต์ใช้ในข้อมูลควอนตัมและ การเสื่อมสภาพของควอนตัม (decoherence)ซึ่งมีความเกี่ยวข้องกับการวัดควอนตัมและด้วยเหตุนี้จึงเกี่ยวข้องกับแนวทางการตีความกลศาสตร์ควอนตัม แบบเสื่อมสภาพ รวมถึงประวัติที่สอดคล้องกัน (consistent histories)และการตีความสถานะสัมพัทธ์ (relative state interpretation )

สมมติว่าและ เป็น ปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดเหนือฟิลด์โดยมีมิติและตามลำดับ สำหรับปริภูมิใดๆให้แทนปริภูมิของตัวดำเนินการเชิงเส้นบน แล้ว ร่องรอยบางส่วนเหนือ จะเขียนได้เป็น โดยที่แทนผลคูณเทนเซอร์ ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle L(A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}:\operatorname {L} (V\otimes W)\to \operatorname {L} (V)}$${\displaystyle \otimes }$

มีการกำหนดดังนี้: สำหรับ⁠ ⁠${\displaystyle T\in \operatorname {L} (V\otimes W)}$ให้​​⁠ ⁠${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}}$และ⁠ ⁠${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$เป็นฐานสำหรับVและWตามลำดับ แล้วTจะมีการแสดงในรูปแบบเมทริกซ์

${\displaystyle \{a_{k\ell ,ij}\}\quad 1\leq k,i\leq m,\quad 1\leq \ell ,j\leq n}$

เมื่อเทียบกับฐาน ของ . ${\displaystyle e_{k}\otimes f_{\ell }}$${\displaystyle V\otimes W}$

ต่อไปนี้ สำหรับดัชนีk , iในช่วง 1, ..., mให้พิจารณาผลรวม

${\displaystyle b_{k,i}=\sum _{j=1}^{n}a_{kj,ij}}$

ซึ่งจะได้เมทริกซ์b _{k , i}ตัวดำเนินการเชิงเส้นที่เกี่ยวข้องบนVนั้นเป็นอิสระจากการเลือกฐาน และโดยนิยามแล้วคือร่องรอยบางส่วน (partial trace )

ในหมู่นักฟิสิกส์ มักเรียกกระบวนการนี้ว่า "การติดตามออก" หรือ "การติดตามทับ" Wเพื่อให้เหลือเพียงตัวดำเนินการบนVในบริบทที่WและVเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตที่เกี่ยวข้องกับระบบควอนตัม (ดูด้านล่าง)

ตัวดำเนินการร่องรอยบางส่วนสามารถนิยามได้อย่างไม่เปลี่ยนแปลง (กล่าวคือ โดยไม่ต้องอ้างอิงถึงฐาน) ดังนี้: มันคือแผนที่เชิงเส้นที่ไม่ซ้ำกัน

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}:\operatorname {L} (V\otimes W)\rightarrow \operatorname {L} (V)}$

โดยที่

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}(R\otimes S)=\operatorname {Tr} (S)\,R\quad \forall R\in \operatorname {L} (V)\quad \forall S\in \operatorname {L} (W).}$

เพื่อให้เห็นว่าเงื่อนไขข้างต้นกำหนดค่าร่องรอยบางส่วนได้อย่างเฉพาะเจาะจง ให้เป็นฐานสำหรับให้เป็นฐานสำหรับให้เป็นแผนที่ที่ส่งไปยัง(และองค์ประกอบฐานอื่นๆ ทั้งหมดไปยังศูนย์) และให้เป็นแผนที่ที่ส่งไปยังเนื่องจากเวกเตอร์เป็นฐานสำหรับแผนที่จึงเป็นฐานสำหรับ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle E_{ij}:V\to V}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle v_{j}}$${\displaystyle F_{kl}\colon W\to W}$${\displaystyle w_{k}}$${\displaystyle w_{l}}$${\displaystyle v_{i}\otimes w_{k}}$${\displaystyle V\otimes W}$${\displaystyle E_{ij}\otimes F_{kl}}$${\displaystyle \operatorname {L} (V\otimes W)}$

จากนิยามเชิงนามธรรมนี้ คุณสมบัติต่อไปนี้จึงตามมา:

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}(I_{V\otimes W})=\dim W\ I_{V}}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}(T(I_{V}\otimes S))=\operatorname {Tr} _{W}((I_{V}\otimes S)T)\quad \forall S\in \operatorname {L} (W)\quad \forall T\in \operatorname {L} (V\otimes W).}$

ร่องรอยบางส่วนของการแปลงเชิงเส้นเป็นหัวข้อของแนวคิดเรื่องหมวดหมู่โมโนอิดัลแบบมีร่องรอย (Traced monoidal category ) ของ Joyal, Street และ Verity หมวดหมู่โมโนอิดัลแบบมีร่องรอยคือหมวดหมู่โมโนอิดัลพร้อมกับฟังก์ชันของเซต Hom สำหรับวัตถุ X , Y , U ในหมวดหมู่นั้น${\displaystyle (C,\otimes ,I)}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{X,Y}^{U}:\operatorname {Hom} _{C}(X\otimes U,Y\otimes U)\to \operatorname {Hom} _{C}(X,Y)}$

โดยต้องเป็นไปตามสัจพจน์บางประการ

อีกกรณีหนึ่งของแนวคิดเชิงนามธรรมเรื่องร่องรอยบางส่วนนี้เกิดขึ้นในหมวดหมู่ของเซตจำกัดและการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตเหล่านั้น ซึ่งผลคูณโมโนอิดัลคือการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกัน เราสามารถแสดงได้ว่าสำหรับเซตจำกัดใดๆX , Y , Uและการจับคู่ แบบหนึ่งต่อหนึ่ง จะมีการจับคู่แบบ หนึ่งต่อหนึ่งที่ "มีร่องรอยบางส่วน" ที่สอดคล้องกันอยู่${\displaystyle X+U\cong Y+U}$${\displaystyle X\cong Y}$

ร่องรอยบางส่วนสามารถขยายไปสู่ตัวดำเนินการบนปริภูมิฮิลเบิร์ตมิติอนันต์ได้ สมมติว่าVและWเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ต และให้

${\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}$

เป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติสำหรับWตอนนี้มีไอโซมอร์ฟิซึมแบบไอโซเมตริกแล้ว

${\displaystyle \bigoplus _{\ell \in I}(V\otimes \mathbb {C} f_{\ell })\rightarrow V\otimes W}$

ภายใต้การแยกส่วนนี้ ตัวดำเนินการใดๆก็สามารถถือได้ว่าเป็นเมทริกซ์อนันต์ของตัวดำเนินการบนV${\displaystyle T\in \operatorname {L} (V\otimes W)}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}&\ldots &T_{1j}&\ldots \\T_{21}&T_{22}&\ldots &T_{2j}&\ldots \\\vdots &\vdots &&\vdots \\T_{k1}&T_{k2}&\ldots &T_{kj}&\ldots \\\vdots &\vdots &&\vdots \end{bmatrix}},}$

ที่ไหน. ${\displaystyle T_{k\ell }\in \operatorname {L} (V)}$

ขั้นแรก สมมติว่าTเป็นตัวดำเนินการที่ไม่เป็นลบ ในกรณีนี้ ค่าในแนวทแยงทั้งหมดของเมทริกซ์ข้างต้นจะเป็นตัวดำเนินการที่ไม่เป็นลบบนVถ้าผลรวม

${\displaystyle \sum _{\ell }T_{\ell \ell }}$

ลู่เข้าในโทโพโลยีตัวดำเนินการที่แข็งแกร่งของ L( V ) โดยไม่ขึ้นอยู่กับฐานที่เลือกของWร่องรอยบางส่วน TrW ₍ T )ถูกกำหนดให้เป็นตัวดำเนินการนี้ ร่องรอยบางส่วนของตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองจะถูกกำหนดก็ต่อเมื่อร่องรอยบางส่วนของส่วนบวกและส่วนลบถูกกำหนดไว้แล้ว

สมมติว่าWมีฐานเชิงตั้งฉากปกติ ซึ่งเราใช้ สัญลักษณ์เวกเตอร์ คีท แทน ด้วย⁠ ⁠${\displaystyle \{\vert \ell \rangle \}_{\ell }}$แล้ว

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}\left(\sum _{k,\ell }T^{(k\ell )}\,\otimes \,|k\rangle \langle \ell |\right)=\sum _{j}T^{(jj)}.}$

ตัวเลขยกกำลังในวงเล็บไม่ได้แสดงถึงส่วนประกอบของเมทริกซ์ แต่เป็นตัวระบุเมทริกซ์นั้นเอง

ในกรณีของปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีมิติจำกัด มีวิธีที่มีประโยชน์ในการพิจารณาร่องรอยบางส่วนโดยเกี่ยวข้องกับการอินทิเกรตเทียบกับมาตรวัดฮาร์ μ ที่ได้รับการทำให้เป็นมาตรฐานอย่างเหมาะสมเหนือกลุ่มเอกภาพ U( W ) ของWการทำให้เป็นมาตรฐานอย่างเหมาะสมหมายความว่าμถือเป็นมาตรวัดที่มีมวลรวม dim( W )

ทฤษฎีบทสมมติว่าVและWเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีมิติจำกัด แล้ว

${\displaystyle \int _{\operatorname {U} (W)}(I_{V}\otimes U^{*})T(I_{V}\otimes U)\ d\mu (U)}$

สลับตำแหน่งได้กับตัว ดำเนิน การทั้งหมดที่มีรูปแบบและด้วยเหตุนี้จึงมีรูปแบบที่ไม่ซ้ำกันตัวดำเนินการRคือร่องรอยบางส่วนของT${\displaystyle I_{V}\otimes S}$${\displaystyle R\otimes I_{W}}$

ร่องรอยบางส่วนสามารถมองได้ว่าเป็นการดำเนินการควอนตัมพิจารณาระบบกลศาสตร์ควอนตัมที่มีปริภูมิสถานะเป็นผลคูณเทนเซอร์ของปริภูมิฮิลเบิร์ต สถานะผสมอธิบายโดยเมทริกซ์ความหนาแน่นρซึ่งก็คือตัวดำเนินการคลาสร่องรอยที่ไม่เป็นลบของร่องรอย 1 บนผลคูณเทนเซอร์ ร่องรอยบางส่วนของρเทียบกับระบบBซึ่งแสดงด้วยเรียกว่าสถานะลดรูปของρบนระบบAในสัญลักษณ์^{[ 1 ]}${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}}$${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}.}$${\displaystyle \rho ^{A}}$$${\displaystyle \rho ^{A}=\operatorname {Tr} _{B}\rho .}$$

เพื่อแสดงให้เห็นว่านี่เป็นวิธีการที่สมเหตุสมผลในการกำหนดสถานะบน ระบบย่อย Aให้กับ ρ เราจึงเสนอเหตุผลดังต่อไปนี้ ให้Mเป็นตัวแปรที่สังเกตได้บนระบบย่อยAแล้วตัวแปรที่สังเกตได้ที่สอดคล้องกันบนระบบประกอบคือไม่ว่าเราจะเลือกกำหนดสถานะลดรูปอย่างไรสถิติการวัดควรมีความสอดคล้องกัน ค่าคาดหวังของMหลังจากที่ระบบย่อยAถูกเตรียมในและค่าคาดหวังของเมื่อระบบประกอบถูกเตรียมใน ρ ควรจะเท่ากัน กล่าวคือ ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้ควรเป็นจริง: ${\displaystyle M\otimes I}$${\displaystyle \rho ^{A}}$${\displaystyle \rho ^{A}}$${\displaystyle M\otimes I}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{A}(M\cdot \rho ^{A})=\operatorname {Tr} (M\otimes I\cdot \rho ).}$

เราพบว่าเงื่อนไขนี้เป็นไปตามที่กำหนดไว้ข้างต้นผ่านทางร่องรอยบางส่วน นอกจากนี้ การดำเนินการดังกล่าวมีลักษณะเฉพาะตัว ${\displaystyle \rho ^{A}}$

ให้T ( H ) เป็นปริมาณเวกเตอร์แบบ Banachของตัวดำเนินการ trace-class บนปริมาณเวกเตอร์แบบ Hilbert Hสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่า trace บางส่วน ซึ่งมองได้ว่าเป็นแผนที่

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}:T(H_{A}\otimes H_{B})\rightarrow T(H_{A})}$

มีประสิทธิภาพดีเยี่ยมและสามารถเก็บรักษาตัวอย่างได้อย่างครบถ้วน

เมทริกซ์ความหนาแน่น ρ เป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียน เมทริกซ์บวกกึ่งกำหนดและมีค่าร่องรอยเท่ากับ 1 และมีการแยกส่วนสเปกตรัม ดังนี้ :

${\displaystyle \rho =\sum _{m}p_{m}|\Psi _{m}\rangle \langle \Psi _{m}|;\ 0\leq p_{m}\leq 1,\ \sum _{m}p_{m}=1}$

เห็นได้ชัดว่าร่องรอยบางส่วนก็ตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น สำหรับสถานะบริสุทธิ์ใดๆในเราจะมี ${\displaystyle \rho ^{A}}$${\displaystyle |\psi _{A}\rangle }$${\displaystyle H_{A}}$

${\displaystyle \langle \psi _{A}|\rho ^{A}|\psi _{A}\rangle =\sum _{m}p_{m}\operatorname {Tr} _{B}[\langle \psi _{A}|\Psi _{m}\rangle \langle \Psi _{m}|\psi _{A}\rangle ]\geq 0}$

โปรดสังเกตว่าเทอมนี้แสดงถึงความน่าจะเป็นที่จะพบสถานะเมื่อระบบประกอบอยู่ในสถานะซึ่งเป็นการพิสูจน์ว่า เป็นเมทริกซ์กึ่งบวกแน่นอน ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}[\langle \psi _{A}|\Psi _{m}\rangle \langle \Psi _{m}|\psi _{A}\rangle ]}$${\displaystyle |\psi _{A}\rangle }$${\displaystyle |\Psi _{m}\rangle }$${\displaystyle \rho ^{A}}$

แผนที่ร่องรอยบางส่วนดังที่แสดงข้างต้นเหนี่ยวนำให้เกิดแผนที่คู่ขนานระหว่างพีชคณิต C*ของตัวดำเนินการที่มีขอบเขตบนและกำหนดโดย ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}^{*}}$${\displaystyle \;H_{A}}$${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}^{*}(A)=A\otimes I.}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}^{*}}$แมปค่าที่สังเกตได้ไปยังค่าที่สังเกตได้ และเป็นการ แสดง ภาพแบบไฮเซนเบิร์กของ⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}}$ .

สมมติว่าแทนที่จะเป็นระบบกลศาสตร์ควอนตัม ระบบAและBเป็นระบบคลาสสิก ปริภูมิของตัวแปรที่สังเกตได้สำหรับแต่ละระบบจะเป็นพีชคณิต C* แบบอาเบเลียน ซึ่งมีรูปแบบเป็นC ( X ) และC ( Y ) ตามลำดับ สำหรับปริภูมิกระชับXและYปริภูมิสถานะของระบบประกอบก็คือ

${\displaystyle C(X)\otimes C(Y)=C(X\times Y).}$

สถานะบนระบบประกอบคือองค์ประกอบบวกρของคู่ของ C( X × Y ) ซึ่งตามทฤษฎีบท Riesz–Markovสอดคล้องกับการวัด Borel ปกติ บนX × Yสถานะลดรูปที่สอดคล้องกันได้มาจากการฉายการวัดρไปยังXดังนั้นร่องรอยบางส่วนจึงเทียบเท่ากับการดำเนินการนี้ในกลศาสตร์ควอน ตัม