ในกลศาสตร์ควอนตัมการดำเนินการควอนตัม (หรือที่รู้จักกันในชื่อแผนที่พลวัตควอนตัมหรือกระบวนการควอนตัม ) เป็นรูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่ใช้เพื่ออธิบายการแปลงประเภทกว้างๆ ที่ระบบกลศาสตร์ควอนตัมสามารถเกิดขึ้นได้George Sudarshan ได้กล่าวถึงเรื่องนี้เป็นครั้งแรกในฐานะการแปลงแบบสุ่มทั่วไป สำหรับเมทริกซ์ความหนาแน่นในปี 1961 ^{[ 1 ]}รูปแบบการดำเนินการควอนตัมไม่เพียงแต่อธิบายวิวัฒนาการเวลาเอกภาพหรือการแปลงสมมาตรของระบบที่แยกตัวเท่านั้น แต่ยังรวมถึงผลกระทบของการวัดและการปฏิสัมพันธ์ชั่วคราวกับสิ่งแวดล้อมด้วย ในบริบทของการคำนวณควอนตัมการดำเนินการควอนตัมเรียกว่าช่องสัญญาณควอนตัม

โปรดทราบว่าผู้เขียนบางคนใช้คำว่า "การดำเนินการควอนตัม" เพื่ออ้างถึง แผนที่ บวกสมบูรณ์ (CP) และไม่เพิ่มร่องรอยบนพื้นที่ของเมทริกซ์ความหนาแน่นโดยเฉพาะ และใช้คำว่า " ช่องควอนตัม " เพื่ออ้างถึงเซตย่อยของช่องที่รักษาร่องรอยอย่างเคร่งครัด^{[ 2 ]}

การดำเนินการควอนตัมได้รับการกำหนดขึ้นโดยใช้คำอธิบายตัวดำเนินการความหนาแน่นของระบบกลศาสตร์ควอนตัม อย่างเคร่งครัด การดำเนินการควอนตัมคือ การแมป เชิงเส้นบวกอย่างสมบูรณ์ จากเซตของตัวดำเนินการความหนาแน่นไปยังตัวมันเอง ในบริบทของข้อมูลควอนตัม มักจะมีการกำหนดข้อจำกัดเพิ่มเติมว่าการดำเนิน ^การควอนตัมจะต้องเป็นทางกายภาพ [ ^{3 ]}นั่นคือ เป็นไปตามเงื่อนไขสำหรับสถานะใดๆ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle 0\leq \ตัวดำเนินการ {Tr} [{\mathcal {E}}(\rho )]\leq 1}$${\displaystyle \rho }$

กระบวนการควอนตัมบางอย่างไม่สามารถจับภาพได้ภายในรูปแบบการดำเนินการควอนตัม^{[ 4 ]}โดยหลักการแล้ว เมทริกซ์ความหนาแน่นของระบบควอนตัมสามารถวิวัฒนาการตามเวลาได้อย่างอิสระ การดำเนินการควอนตัมได้รับการขยายความโดยเครื่องมือควอนตัมซึ่งจับภาพข้อมูลคลาสสิกที่ได้รับระหว่างการวัด นอกเหนือจากข้อมูลควอนตัม

ภาพของชโรดิงเกอร์ให้คำอธิบายที่น่าพอใจเกี่ยวกับ การเปลี่ยนแปลง สถานะของระบบกลศาสตร์ควอนตัม ตามเวลา ภายใต้สมมติฐานบางประการ สมมติฐานเหล่านี้ได้แก่

• ระบบนี้ไม่เป็นไปตามทฤษฎีสัมพัทธภาพ
• ระบบนี้ถูกแยกออกจากระบบอื่น

ภาพของชโรดิงเกอร์สำหรับการวิวัฒนาการตามเวลา มีสูตรทางคณิตศาสตร์ที่เทียบเท่ากันหลายสูตร สูตรหนึ่งแสดงอัตราการเปลี่ยนแปลงของสถานะตามเวลาผ่านสมการชโรดิงเกอร์สูตรที่เหมาะสมกว่าสำหรับการอธิบายในครั้งนี้แสดงได้ดังนี้:

นี่หมายความว่า หากระบบอยู่ในสถานะที่สอดคล้องกับv ∈ Hณ เวลาsสถานะหลังจาก เวลา tหน่วยจะเป็นU _t vสำหรับ ระบบ เชิงสัมพัทธภาพนั้น ไม่มี พารามิเตอร์ เวลาสากลแต่เรายังคงสามารถกำหนดผลกระทบของการแปลงผันกลับได้บางอย่างต่อระบบกลศาสตร์ควอนตัมได้ ตัวอย่างเช่น การแปลงสถานะที่เชื่อมโยงผู้สังเกตการณ์ในกรอบอ้างอิงที่แตกต่างกันนั้นกำหนดโดยการแปลงเอกภาพ ไม่ว่าในกรณีใด การแปลงสถานะเหล่านี้จะนำสถานะบริสุทธิ์ไปสู่สถานะบริสุทธิ์ ซึ่งมักจะกล่าวได้ว่าในกรอบอุดมคตินี้ ไม่มี การเสื่อมสภาพของความ สอดคล้อง (decoherence )

สำหรับระบบที่มีปฏิสัมพันธ์ (หรือระบบเปิด) เช่น ระบบที่กำลังถูกวัด สถานการณ์จะแตกต่างออกไปอย่างสิ้นเชิง ประการแรก การเปลี่ยนแปลงสถานะที่เกิดขึ้นในระบบดังกล่าวไม่สามารถอธิบายได้ด้วยการแปลงเฉพาะบนเซตของสถานะบริสุทธิ์ (นั่นคือ สถานะที่เกี่ยวข้องกับเวกเตอร์ที่มีขนาด 1 ในH ) เท่านั้น หลังจากการมีปฏิสัมพันธ์ดังกล่าว ระบบที่อยู่ในสถานะบริสุทธิ์ φ อาจไม่ได้อยู่ในสถานะบริสุทธิ์ φ อีกต่อไป โดยทั่วไปแล้ว ระบบจะอยู่ในสถานะผสมทางสถิติของลำดับสถานะบริสุทธิ์ φ ₁ , ..., φ _kด้วยความน่าจะเป็น λ ₁ , ..., λ _k ตามลำดับ การเปลี่ยนจากสถานะบริสุทธิ์ไปสู่สถานะผสมเรียกว่า การสูญเสียความสอดคล้อง (decoherence)

มีการสร้างรูปแบบทางคณิตศาสตร์มากมายเพื่อจัดการกับกรณีของระบบที่มีปฏิสัมพันธ์กัน รูปแบบการดำเนินการควอนตัมเกิดขึ้นราวปี 1983 จากผลงานของKarl Krausซึ่งอาศัยผลงานทางคณิตศาสตร์ก่อนหน้านี้ของMan-Duen Choiข้อดีของรูปแบบนี้คือสามารถแสดงการดำเนินการต่างๆ เช่น การวัด ในรูปของการแมปจากสถานะความหนาแน่นหนึ่งไปยังอีกสถานะความหนาแน่นหนึ่ง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ผลของการดำเนินการควอนตัมจะอยู่ภายในเซตของสถานะความหนาแน่นนั้น

โปรดจำไว้ว่าตัวดำเนินการความหนาแน่นคือ ตัวดำเนินการที่ไม่เป็นลบในปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีร่องรอยเท่ากับหนึ่ง

ในทางคณิตศาสตร์ การดำเนินการควอนตัมคือแผนที่เชิงเส้น Φ ระหว่างปริภูมิของตัว ดำเนินการ ชั้นร่องรอยบนปริภูมิฮิลเบิร์ตHและGโดยที่

• ถ้าSเป็นตัวดำเนินการความหนาแน่น Tr(Φ( S )) ≤ 1
• ถ้า Φ เป็นจำนวนบวกสมบูรณ์นั่นคือ สำหรับจำนวนธรรมชาติn ใดๆ และเมทริกซ์จัตุรัสขนาดn ใดๆ ที่มีสมาชิกเป็นตัวดำเนินการคลาสร่องรอยและมีค่าไม่เป็นลบ แล้วΦ ก็จะมีค่าไม่เป็นลบด้วย กล่าวอีกนัยหนึ่ง Φ เป็นจำนวนบวกสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อ Φ เป็นจำนวนบวกสำหรับทุกnโดยที่ Φ แทนแผนที่เอกลักษณ์บนพีชคณิต C*ของเมทริกซ์$${\displaystyle {\begin{bmatrix}S_{11}&\cdots &S_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\S_{n1}&\cdots &S_{nn}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Phi (S_{11})&\cdots &\Phi (S_{1n})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\Phi (S_{n1})&\cdots &\Phi (S_{nn})\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle \Phi \otimes I_{n}}$${\displaystyle I_{n}}$${\displaystyle n\times n}$

โปรดทราบว่า ตามเงื่อนไขแรก การดำเนินการควอนตัมอาจไม่รักษาคุณสมบัติการทำให้เป็นมาตรฐานของกลุ่มสถิติ ในแง่ของความน่าจะเป็น การดำเนินการควอนตัมอาจเป็นแบบซับ-มาร์โคเวียนเพื่อให้การดำเนินการควอนตัมรักษาเซตของเมทริกซ์ความหนาแน่น เราจำเป็นต้องมีข้อสมมติเพิ่มเติมว่ามันรักษาค่าร่องรอย (trace-preserving)

ในบริบทของข้อมูลควอนตัมการดำเนินการควอนตัมที่กำหนดไว้ในที่นี้ กล่าวคือ แผนที่บวกสมบูรณ์ที่ไม่เพิ่มค่าร่องรอย (trace) จะถูกเรียกว่าช่องสัญญาณควอนตัมหรือแผนที่สุ่ม (stochastic maps)สูตรที่กำหนดไว้ในที่นี้จำกัดอยู่เฉพาะช่องสัญญาณระหว่างสถานะควอนตัมเท่านั้น อย่างไรก็ตาม สามารถขยายให้ครอบคลุมสถานะคลาสสิกได้เช่นกัน จึงทำให้สามารถจัดการข้อมูลควอนตัมและคลาสสิกได้พร้อมกัน

ทฤษฎีบทของเคราส์ (ตั้งชื่อตามคาร์ล เคราส์ ) อธิบายลักษณะของแผนที่บวกสมบูรณ์ซึ่งจำลองการดำเนินการควอนตัมระหว่างสถานะควอนตัม โดยคร่าวๆ แล้ว ทฤษฎีบทนี้รับประกันว่าการกระทำของการดำเนินการควอนตัมดังกล่าวต่อสถานะ ใดๆ สามารถเขียนได้เสมอในรูปสำหรับเซตของตัวดำเนินการบางชุด ที่ สอดคล้องกับ โดยที่คือตัวดำเนินการเอกลักษณ์ ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \rho }$${\textstyle \พี (\rho )=\sum _{k}B_{k}\rho B_{k}^{*}}$${\displaystyle \{B_{k}\}_{k}}$${\textstyle \sum _{k}B_{k}^{*}B_{k}\leq \mathbf {1} }$${\displaystyle \mathbf {1} }$

ทฤษฎีบท^{[ 5 ]} ให้และ เป็น ปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีมิติและตามลำดับ และเป็นการดำเนินการควอนตัมระหว่างและแล้วจะมีเมท ริกซ์ที่แมป ไปยังเช่นนั้น สำหรับสถานะใดๆใน ทางกลับกัน แผนที่ใดๆในรูปแบบนี้จะเป็นการดำเนินการควอนตัม ก็ต่อ เมื่อ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {G}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {G}}}$$${\displaystyle \{B_{i}\}_{1\leq i\leq nm}}$$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {G}}}$${\displaystyle \rho }$$${\displaystyle \Phi (\rho )=\sum _{i}B_{i}\rho B_{i}^{*}.}$$${\displaystyle \Phi }$${\textstyle \sum _{k}B_{k}^{*}B_{k}\leq \mathbf {1} }$

เมทริกซ์เหล่านี้เรียกว่าตัวดำเนินการ Kraus (บางครั้งเรียกว่าตัวดำเนินการเสียงรบกวนหรือตัวดำเนินการข้อผิดพลาดโดยเฉพาะอย่างยิ่งในบริบทของการประมวลผลข้อมูลควอนตัมซึ่งการดำเนินการควอนตัมแสดงถึงผลกระทบที่ก่อให้เกิดเสียงรบกวนและข้อผิดพลาดของสภาพแวดล้อม) ทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบของ Stinespringขยายผลลัพธ์ข้างต้นไปยังปริภูมิฮิลเบิร์ตที่แยกได้HและGใดๆ โดยที่Sถูกแทนที่ด้วยตัวดำเนินการชั้นร่องรอย และ ถูกแทนที่ด้วยลำดับของตัวดำเนินการที่มีขอบเขต ${\displaystyle \{B_{i}\}}$${\displaystyle \{B_{i}\}}$

เมทริกซ์ Kraus ไม่ได้ถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจงโดยการดำเนินการควอนตัมโดยทั่วไป ตัวอย่างเช่นการแยกตัวประกอบ Cholesky ที่แตกต่างกัน ของเมทริกซ์ Choi อาจให้ชุดตัวดำเนินการ Kraus ที่แตกต่างกัน ทฤษฎีบทต่อไปนี้กล่าวว่า ระบบเมทริกซ์ Kraus ทั้งหมดที่แสดงถึงการดำเนินการควอนตัมเดียวกันนั้นมีความสัมพันธ์กันโดยการแปลงแบบเอกภาพ: ${\displaystyle \Phi }$

ทฤษฎีบท . ให้เป็นการดำเนินการควอนตัม (ไม่จำเป็นต้องรักษาร่องรอย) บนปริภูมิฮิลเบิร์ตมิติจำกัดHที่มีลำดับเมทริกซ์ Kraus สองลำดับแทน คือและ. แล้วจะมีเมทริกซ์ตัวดำเนินการเอกภาพเช่นนั้น${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \{B_{i}\}_{i\leq N}}$${\displaystyle \{C_{i}\}_{i\leq N}}$${\displaystyle (u_{ij})_{ij}}$$${\displaystyle C_{i}=\sum _{j}u_{ij}B_{j}.}$$

ในกรณีมิติอนันต์ ความสัมพันธ์นี้จะขยายไปสู่ความสัมพันธ์ระหว่างการแสดงแทนสไตน์สปริงขั้นต่ำ สอง แบบ

ผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทของสไตน์สปริงระบุว่า การดำเนินการควอนตัมทั้งหมดสามารถนำไปใช้ได้โดยการวิวัฒนาการแบบเอกภาพ หลังจากเชื่อมต่อตัวช่วย ที่เหมาะสม เข้ากับระบบดั้งเดิม

ผลลัพธ์เหล่านี้ยังสามารถได้มาจากทฤษฎีบทของ Choi เกี่ยวกับแผนที่บวกสมบูรณ์ซึ่งกำหนดลักษณะของแผนที่บวกสมบูรณ์มิติจำกัดด้วยตัวดำเนินการความหนาแน่นเฮอร์มิเชียนบวกที่ไม่ซ้ำกัน ( เมทริกซ์ Choi ) เมื่อเทียบกับร่องรอย ในบรรดาการแสดงแทน Kraus ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของช่องสัญญาณ ที่กำหนด มีรูปแบบมาตรฐานที่โดดเด่นด้วยความสัมพันธ์เชิงตั้งฉากของตัวดำเนินการ Kraus ชุดมาตรฐานของตัวดำเนินการ Kraus เชิงตั้งฉากดังกล่าวสามารถหาได้โดยการทำให้เมทริกซ์ Choi ที่สอดคล้องกันเป็นเมทริกซ์ทแยงมุมและปรับรูปร่างเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะให้เป็นเมทริกซ์จัตุรัส ${\displaystyle \operatorname {Tr} A_{i}^{\dagger }A_{j}\sim \delta _{ij}}$

นอกจากนี้ยังมีทฤษฎีบทของ Choi ที่เป็นการขยายเชิงพีชคณิตในมิติอนันต์ ซึ่งรู้จักกันในชื่อทฤษฎีบท Radon–Nikodym ของ Belavkin สำหรับแผนที่บวกสมบูรณ์ ซึ่งกำหนดตัวดำเนินการความหนาแน่นเป็นอนุพันธ์ Radon–Nikodym ของช่องสัญญาณควอนตัมเทียบกับแผนที่บวกสมบูรณ์ที่ครอบงำ (ช่องสัญญาณอ้างอิง) ทฤษฎีบทนี้ใช้สำหรับกำหนดความแม่นยำสัมพัทธ์และข้อมูลร่วมกันสำหรับช่องสัญญาณควอนตัม

สำหรับระบบกลศาสตร์ควอนตัมที่ไม่เกี่ยวข้องกับสัมพัทธภาพ วิวัฒนาการตามเวลา ของระบบนั้น อธิบายได้ด้วยกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมแบบพารามิเตอร์เดียว {α _t } _tของQซึ่งสามารถจำกัดให้แคบลงเป็นการแปลงแบบเอกภาพได้: ภายใต้เงื่อนไขทางเทคนิคที่ไม่เข้มงวดบางประการ (ดูบทความเกี่ยวกับตรรกะควอนตัมและเอกสารอ้างอิงของ Varadarajan) จะมีกลุ่มแบบพารามิเตอร์เดียวที่ต่อเนื่องอย่างเข้มงวด { U _t } _tของการแปลงแบบเอกภาพของปริภูมิฮิลเบิร์ตพื้นฐาน ซึ่งทำให้องค์ประกอบEของQวิวัฒนาการไปตามสูตร

${\displaystyle \alpha _{t}(E)=U_{t}^{*}EU_{t}.}$

วิวัฒนาการ ของระบบตามเวลาสามารถมองได้ในอีกแง่หนึ่งว่าเป็นวิวัฒนาการของปริภูมิสถานะทางสถิติ วิวัฒนาการของสถานะทางสถิติถูกกำหนดโดยตระกูลของตัวดำเนินการ {β _t } _t เช่นนั้น $${\displaystyle \operatorname {Tr} (\beta _{t}(S)E)=\operatorname {Tr} (S\alpha _{-t}(E))=\operatorname {Tr} (SU_{t}EU_{t}^{*})=\operatorname {Tr} (U_{t}^{*}SU_{t}E).}$$

เห็นได้ชัดว่า สำหรับแต่ละค่าของtนั้นS → U * _t S U _tเป็นการดำเนินการเชิงควอนตัม ยิ่งไปกว่านั้น การดำเนินการนี้สามารถย้อนกลับได้

สิ่งนี้สามารถสรุปได้ง่ายๆ ดังนี้: ถ้าGเป็น กลุ่ม สมมาตรLie ที่เชื่อมต่อกันของ Q ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขความต่อเนื่องแบบอ่อนเดียวกันการกระทำของสมาชิกg ใดๆ ของGจะถูกกำหนดโดยตัวดำเนินการเอกภาพU : การแมป g → U _g นี้เรียกว่าการแสดงแทนเชิงโปรเจ คทีฟ ของGการแมปS → U * _g S U _gเป็นการดำเนินการควอนตัมแบบย้อนกลับได้ $${\displaystyle g\cdot E=U_{g}EU_{g}^{*}.}$$

การดำเนินการควอนตัมสามารถใช้เพื่ออธิบายกระบวนการวัดควอนตัมได้การนำเสนอต่อไปนี้อธิบายการวัดในแง่ของการฉายภาพแบบสมมาตรในตัวเองบนปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงซ้อนที่แยกได้Hนั่นคือ ในแง่ของ PVM ( การวัดค่าด้วยการฉายภาพ ) ในกรณีทั่วไป การวัดสามารถทำได้โดยใช้ตัวดำเนินการที่ไม่ตั้งฉากกัน ผ่านแนวคิดของPOVMกรณีที่ไม่ตั้งฉากกันนั้นน่าสนใจ เนื่องจากสามารถปรับปรุงประสิทธิภาพโดยรวมของเครื่องมือควอนตัมได้

ระบบควอนตัมสามารถวัดได้โดยการใช้ชุดคำถามใช่-ไม่ใช่ชุดคำถามเหล่านี้สามารถเข้าใจได้ว่าถูกเลือกมาจาก แลตทิซ Q ที่เติมเต็มเชิงตั้ง ฉากในตรรกะควอนตัม แล ตทิซนี้เทียบเท่ากับปริภูมิของการ ฉาย ภาพแบบสมมาตรในปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงซ้อนที่แยกได้H

พิจารณาระบบในสถานะS ใดๆ โดยมีเป้าหมายเพื่อตรวจสอบว่าระบบนั้นมีคุณสมบัติEหรือไม่ โดยที่Eเป็นองค์ประกอบของโครงข่าย คำถาม ใช่-ไม่ใช่ เชิงควอนตัม การวัดในบริบทนี้หมายถึงการนำระบบไปผ่านกระบวนการบางอย่างเพื่อตรวจสอบว่าสถานะนั้นตรงตามคุณสมบัติหรือไม่ การอ้างอิงถึงสถานะของระบบในการอภิปรายนี้ สามารถให้ความหมายเชิงปฏิบัติได้โดยการพิจารณากลุ่มทางสถิติของระบบ การวัดแต่ละครั้งให้ค่าที่แน่นอน 0 หรือ 1 ยิ่งไปกว่านั้น การประยุกต์ใช้กระบวนการวัดกับกลุ่มจะส่งผลให้เกิดการเปลี่ยนแปลงสถานะทางสถิติที่คาดการณ์ได้ การเปลี่ยนแปลงสถานะทางสถิตินี้กำหนดโดยการดำเนินการเชิงควอนตัม โดยที่Eสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นตัวดำเนินการฉายภาพ $${\displaystyle S\mapsto ESE+(IE)S(IE)}$$

โดยทั่วไป การวัดจะทำกับตัวแปรที่สามารถสังเกตได้ซึ่งมีค่ามากกว่าสองค่า

เมื่อปริมาณที่สังเกตได้Aมีสเปกตรัมจุดบริสุทธิ์มันสามารถเขียนได้ในรูปของ ฐานเวกเตอร์ ลักษณะเฉพาะแบบตั้งฉาก นั่นคือAมีการแยกส่วนสเปกตรัม โดยที่ E _A (λ) คือตระกูลของการฉาย ภาพแบบตั้งฉาก เป็นคู่ๆ แต่ละการฉายภาพไปยังปริภูมิเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของAที่เกี่ยวข้องกับค่าการวัด λ $${\displaystyle A=\sum _{\lambda }\lambda \ชื่อผู้ดำเนินการ {E} _{A}(\lambda )}$$

การวัดค่าที่สังเกตได้Aจะได้ค่าไอเกนของAการวัดซ้ำๆ ที่ทำกับกลุ่มระบบทางสถิติSจะส่งผลให้เกิดการกระจายความน่าจะเป็นเหนือสเปกตรัมค่าไอเกนของAซึ่งเป็นการกระจายความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องและกำหนดโดย $${\displaystyle \operatorname {Pr} (\lambda )=\operatorname {Tr} (S\operatorname {E} _{A}(\lambda )).}$$

การวัดสถานะทางสถิติSทำได้โดยใช้แผนที่ นั่นคือ ทันทีหลังจากการวัด สถานะทางสถิติจะเป็นการแจกแจงแบบคลาสสิกเหนือปริภูมิไอเก น ที่เกี่ยวข้องกับค่าที่เป็นไปได้ λ ของตัวแปรที่สังเกตได้: Sเป็นสถานะผสม$${\displaystyle S\mapsto \sum _{\lambda }\operatorname {E} _{A}(\lambda )S\operatorname {E} _{A}(\lambda )\ .}$$

ในปี 2548 Anil Shaji และGeorge Sudarshanได้โต้แย้งว่า เมื่อพิจารณาอย่างละเอียดแล้ว ความเป็นบวกอย่างสมบูรณ์ไม่ใช่ข้อกำหนดสำหรับการแสดงวิวัฒนาการควอนตัมแบบเปิดที่ดี การคำนวณของพวกเขาแสดงให้เห็นว่า เมื่อเริ่มต้นด้วยความสัมพันธ์เริ่มต้นที่กำหนดไว้ระหว่างระบบที่สังเกตได้กับสิ่งแวดล้อม แผนที่ที่จำกัดเฉพาะระบบนั้นไม่จำเป็นต้องเป็นบวกเสมอไป อย่างไรก็ตาม มันจะไม่เป็นบวกเฉพาะสำหรับสถานะที่ไม่เป็นไปตามข้อสมมติเกี่ยวกับรูปแบบของความสัมพันธ์เริ่มต้นเท่านั้น ดังนั้น พวกเขาจึงแสดงให้เห็นว่า เพื่อให้เข้าใจวิวัฒนาการควอนตัมอย่างถ่องแท้ ควรพิจารณาแผนที่ที่ไม่เป็นบวกอย่างสมบูรณ์ด้วย^{[ 4 ​​] [ 6 ] [ 7 ]}

• เซมิกรุปไดนามิกควอนตัม
• ซูเปอร์โอเปอเรเตอร์