ในทางคณิตศาสตร์กลุ่มพารามิเตอร์เดียวหรือกลุ่มย่อยพารามิเตอร์เดียวโดยทั่วไปหมายถึงโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มต่อเนื่อง

${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} \rightarrow G}$

จากเส้นจำนวนจริง (ในฐานะกลุ่มบวก ) ไปยัง กลุ่มโทโพโลยีอื่น ๆถ้าเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งแล้วภาพของ จะเป็นกลุ่มย่อยของที่สม isomorphic กับในฐานะกลุ่มบวก แม้จะมีชื่อว่า "กลุ่มพารามิเตอร์เดียว" แต่ที่จริงแล้วไม่ใช่กลุ่ม แต่เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมระหว่างกลุ่ม ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi (\mathbb {R} )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

กลุ่มพารามิเตอร์เดียวได้รับการแนะนำโดยSophus Lieในปี 1893 เพื่อกำหนดการแปลงแบบอนันต์ตามที่ Lie กล่าวการแปลงแบบอนันต์คือการแปลงที่เล็กมากอย่างไม่มีที่สิ้นสุดของกลุ่มพารามิเตอร์เดียวที่สร้างขึ้น^{[ 1 ]}การแปลงแบบอนันต์เหล่านี้สร้างพีชคณิต Lieซึ่งใช้ในการอธิบายกลุ่ม Lieที่มีมิติใดๆ

การกระทำของกลุ่มพารามิเตอร์เดียวบนเซตเรียกว่าโฟลว์ (flow ) สนามเวกเตอร์เรียบบนแมนิโฟลด์ ณ จุดหนึ่ง จะเหนี่ยวนำให้เกิดโฟลว์เฉพาะที่ (local flow ) ซึ่งเป็นกลุ่มพารามิเตอร์เดียวของการแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลเฉพาะที่ (local diffeomorphisms) ที่ส่งจุดต่างๆ ไปตามเส้นโค้งอินทิกรัลของสนามเวกเตอร์ โฟลว์เฉพาะที่ของสนามเวกเตอร์นี้ใช้ในการกำหนดอนุพันธ์ลี (Lie derivative)ของสนามเทนเซอร์ (tensor fields) ตามสนามเวกเตอร์นั้น

เส้นโค้งเรียกว่ากลุ่มย่อยพารามิเตอร์เดียวของถ้าตรงตามเงื่อนไข^{[ 2 ]}${\displaystyle \phi :\mathbb {R} \rightarrow G}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \phi (t)\phi (s)=\phi (s+t)}$.

ในทฤษฎีของลีกลุ่มพารามิเตอร์เดียวจะสอดคล้องกับปริภูมิย่อยหนึ่งมิติของพีชคณิตลี ที่เกี่ยวข้อง ความสัมพันธ์ระหว่าง กลุ่มลีและพีชคณิตลีเป็นพื้นฐานของศาสตร์ที่เริ่มต้นโดยโซฟัส ลีในช่วงทศวรรษ 1890

กรณีสำคัญอีกประการหนึ่งพบได้ในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันโดยที่เป็นกลุ่มของตัวดำเนินการเอกภาพบน ปริภูมิฮิลเบิร์ตดูทฤษฎีบทของสโตนเกี่ยวกับกลุ่มเอกภาพพารามิเตอร์เดียว${\displaystyle G}$

ในงานวิจัยเรื่องLie Groups ของเขา PM Cohnได้เสนอทฤษฎีบทต่อไปนี้:

กลุ่ม Lie 1 มิติที่เชื่อมต่อกันใดๆ จะเป็นไอโซมอร์ฟิกเชิงวิเคราะห์กับกลุ่มบวกของจำนวนจริงหรือกับกลุ่มบวกของจำนวนจริงโดยเฉพาะอย่างยิ่ง กลุ่ม Lie 1 มิติทุกกลุ่มจะเป็นไอโซมอร์ฟิกเฉพาะที่กับ^{[ 3 ]}${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$${\displaystyle {\mathfrak {T}}}$${\displaystyle \mod 1}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

ในฟิสิกส์กลุ่มพารามิเตอร์เดียวอธิบายระบบไดนามิก [ ^{4 ] ยิ่ง}ไปกว่านั้น เมื่อใดก็ตามที่ระบบของกฎทางฟิสิกส์ยอมรับกลุ่มสมมาตรที่หาอนุพันธ์ได้ แบบพารามิเตอร์เดียว ก็จะมีปริมาณอนุรักษ์ตามทฤษฎีบทของ Noether

ในการศึกษาปริภูมิเวลาการใช้ไฮเปอร์โบลาหน่วยเพื่อสอบเทียบการวัดเชิงพื้นที่และเวลาได้กลายเป็นเรื่องปกติมาตั้งแต่เฮอร์มันน์ มินคอฟสกีได้กล่าวถึงเรื่องนี้ในปี 1908 หลักการสัมพัทธภาพถูกลดทอนลงเหลือเพียงความไม่แน่นอนของเส้นผ่านศูนย์กลางของไฮเปอร์โบลาหน่วยที่ใช้ในการกำหนดเส้นทางโลกโดยใช้การกำหนดพารามิเตอร์ของไฮเปอร์โบลาด้วยมุมไฮเปอร์โบลิกทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษได้ให้แคลคูลัสของการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ด้วยกลุ่มพารามิเตอร์เดียวที่จัดทำดัชนีโดยความเร็ว เชิงสัมพัทธ์ ความเร็วเชิง สัมพัทธ์ เข้ามาแทนที่ความเร็วในจลนศาสตร์และพลศาสตร์ของทฤษฎีสัมพัทธภาพ เนื่องจากความเร็วเชิงสัมพัทธ์ไม่มีขอบเขต กลุ่มพารามิเตอร์เดียวที่รองรับจึงไม่กระชับ แนวคิดเรื่องความเร็วเชิงสัมพัทธ์ถูกนำเสนอโดยอีที วิทเทเกอร์ในปี 1910 และตั้งชื่อโดยอัลเฟรด ร็อบบ์ในปีถัดมา พารามิเตอร์ความเร็วเชิงสัมพัทธ์มีค่าเท่ากับความยาวของเวกเตอร์ไฮเปอร์โบลิกซึ่งเป็นแนวคิดของศตวรรษที่สิบเก้า นักฟิสิกส์คณิตศาสตร์เจมส์ ค็อกเคิลวิลเลียม คิงดอน คลิฟฟอร์ดและอเล็กซานเดอร์ แมคฟาร์เลนต่างก็ใช้การแมปที่เทียบเท่ากันของระนาบพิกัดคาร์ทีเซียนโดยตัวดำเนินการ ในงานเขียนของพวกเขาโดยที่คือมุมไฮเปอร์โบลิกและ ${\displaystyle (\cosh {a}+r\sinh {a})}$${\displaystyle a}$${\displaystyle r^{2}=+1}$

ตัวอย่างสำคัญในทฤษฎีกลุ่ม Lie เกิดขึ้นเมื่อกำหนดให้เป็นกลุ่มของเมทริกซ์ผกผันที่มีรายการเชิงซ้อน ในกรณีนั้น ผลลัพธ์พื้นฐานคือดังต่อไปนี้: ^{[ 5 ]}${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$${\displaystyle n\times n}$

ทฤษฎีบท : สมมติว่าเป็นกลุ่มพารามิเตอร์เดียว แล้วจะมีเมทริกซ์ เพียงหนึ่งเดียว เท่านั้นที่ทำให้ ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} \rightarrow \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \varphi (t)=e^{tX}}$

สำหรับทุกคน${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

จากผลลัพธ์นี้ สรุปได้ว่าสามารถหาอนุพันธ์ได้ แม้ว่านี่จะไม่ใช่ข้อสมมติของทฤษฎีบทก็ตาม จากนั้นสามารถกู้คืนเมทริกซ์ได้จากเป็น ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \left.{\frac {d\varphi (t)}{dt}}\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}e^{tX}=\left.(Xe^{tX})\right|_{t=0}=Xe^{0}=X}$.

ผลลัพธ์นี้สามารถนำไปใช้ได้ เช่น เพื่อแสดงให้เห็นว่าโฮโมมอร์ฟิซึมต่อเนื่องใดๆ ระหว่างกลุ่ม Lie ของเมทริกซ์นั้นเรียบ^{[ 6 ]}

ความซับซ้อนทางเทคนิคอย่างหนึ่งคือซับสเปซของอาจมีโทโพโลยีที่หยาบกว่าโทโพโลยีบนซึ่งอาจเกิดขึ้นได้ในกรณีที่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ลองนึกถึงกรณีที่เป็นทอรัสและถูกสร้างขึ้นโดยการลากเส้นตรงรอบ ๆด้วยความชันที่ไม่เป็นจำนวนตรรกยะ ${\displaystyle \varphi (\mathbb {R} )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle G}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle T}$

ในกรณีนั้น โครงสร้างทางโทโพโลยีที่เกิดขึ้นอาจไม่ใช่โครงสร้างมาตรฐานของเส้นจำนวนจริง

• แผนที่เลขชี้กำลัง (ทฤษฎีของลี)
• เส้นโค้งอินทิกรัล
• เซมิกรุปพารามิเตอร์เดียว
• ทฤษฎีบทของโนเธอร์