ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันตัว ดำเนินการประเภทร่องรอย ( trace-class operator) คือตัวดำเนินการเชิงเส้นที่ สามารถกำหนด ร่องรอยได้ โดยที่ร่องรอยนั้นเป็นจำนวนจำกัดที่ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกฐานที่ใช้ในการคำนวณร่องรอย ร่องรอยของตัวดำเนินการประเภทร่องรอยนี้เป็นการขยายความหมายของร่องรอยของเมทริกซ์ที่ศึกษาในพีชคณิตเชิงเส้น ตัวดำเนินการประเภทร่องรอยทั้งหมดเป็นตัวดำเนินการกระชับ (compact operator )

ในกลศาสตร์ควอนตัมสถานะควอนตัมจะถูกอธิบายโดยเมทริกซ์ความหนาแน่นซึ่งเป็นตัวดำเนินการคลาสร่องรอยบางอย่าง^{[ 1 ]}

ตัวดำเนินการชั้นร่องรอย (Trace-class operators) โดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับตัวดำเนินการนิวเคลียร์ (nuclear operators ) แม้ว่าผู้เขียนหลายคนจะสงวนคำว่า "ตัวดำเนินการชั้นร่องรอย" ไว้สำหรับกรณีพิเศษของตัวดำเนินการนิวเคลียร์บน ปริภูมิฮิลเบิร์ต ( Hilbert spaces ) และใช้คำว่า "ตัวดำเนินการนิวเคลียร์" ในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี ทั่วไป (เช่น ปริภูมิ บานาค (Banach spaces ))

ให้เป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตที่แยกได้เป็นฐานออร์โทนอร์มอลและเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นบวกที่มีขอบเขตบน ร่องรอยของจะถูกแทนด้วยและกำหนดเป็น^{[ 2 ] [ 3 ]}${\displaystyle H}$${\displaystyle \left\{e_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }}$${\displaystyle A:H\to H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {Tr} (A)}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (A)=\sum _{k=1}^{\infty }\left\langle Ae_{k},e_{k}\right\rangle ,}$

โดยไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกฐานออร์โทนอร์มอล ตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขต (ไม่จำเป็นต้องเป็นบวก) เรียกว่าคลาสเทรซก็ต่อเมื่อ${\displaystyle T:H\rightarrow H}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (|T|)<\infty ,}$

โดยที่ หมายถึง ราก ที่สอง ของเฮอร์มิเชียน บวก กึ่งบวก^{[ 4 ]}${\displaystyle |T|:={\sqrt {T^{*}T}}}$

นอร์มร่องรอยของตัวดำเนินการคลาสร่องรอยTถูกกำหนดดังนี้ สามารถแสดงได้ว่านอร์มร่องรอยเป็นนอร์มบนปริภูมิของตัวดำเนินการคลาสร่องรอยทั้งหมดและเมื่อมีนอร์มร่องรอยแล้ว จะกลายเป็นปริภูมิบานาค $${\displaystyle \|T\|_{1}:=\operatorname {Tr} (|T|).}$$${\displaystyle B_{1}(H)}$${\displaystyle B_{1}(H)}$

เมื่อเป็นมิติจำกัด ตัวดำเนินการทุกตัว (บวก) จะเป็นคลาสร่องรอย เนื่องจากคำจำกัดความนี้ตรงกับร่องรอยของเมทริกซ์ถ้าเป็นจำนวนเชิงซ้อน จะ เป็น ตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองเสมอ(เช่น) แม้ว่าในทางกลับกันจะไม่จำเป็นต้องเป็นจริงเสมอไป^{[ 5 ]}${\displaystyle H}$${\displaystyle A}$${\displaystyle H}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A=A^{*}=|A|}$

เมื่อกำหนดตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขตแล้วข้อความต่อไปนี้แต่ละข้อเทียบเท่ากับการอยู่ในคลาสร่องรอย (trace class): ${\displaystyle T:H\to H}$${\displaystyle T}$

• ${\textstyle \operatorname {Tr} (|T|)=\sum _{k}\left\langle |T|\,e_{k},e_{k}\right\rangle }$มีค่าจำกัดสำหรับฐานออร์โทนอร์มอล ทุก ^ฐานของH ^{[ 2} ]${\displaystyle \left(e_{k}\right)_{k}}$
• Tเป็น ผู้ปฏิบัติ งานด้านนิวเคลียร์^{[ 6 ] [ 7 ]}

  มีลำดับเชิงตั้งฉาก สองลำดับ และในและจำนวนจริง บวก ในเช่นนั้นและ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \left(\lambda _{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle \ell ^{1}}$${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}<\infty }$

  ${\displaystyle x\mapsto T(x)=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}\left\langle x,x_{i}\right\rangle y_{i},\quad \forall x\in H,}$

  โดยที่ค่าเอกลักษณ์ของT (หรือเทียบเท่ากับค่าลักษณะเฉพาะของ) จะถูกทำซ้ำโดยแต่ละค่าเท่ากับจำนวนครั้งที่ปรากฏ^{[ 8 ]}${\displaystyle \left(\lambda _{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle |T|}$

• Tเป็นตัวดำเนินการขนาดกะทัดรัดที่มี${\displaystyle \operatorname {Tr} (|T|)<\infty .}$

  ถ้าTเป็นคลาสการติดตามแล้ว^{[ 9 ]}

  ${\displaystyle \|T\|_{1}=\sup \left\{|\operatorname {Tr} (CT)|:\|C\|\leq 1{\text{ and }}C:H\to H{\text{ is a compact operator }}\right\}.}$

• Tเป็นตัวดำเนินการอินทิกรัล^{[ 10 ]}
• Tเท่ากับการประกอบกันของ ตัวดำเนินการฮิล เบิร์ต-ชมิดท์ สองตัว ^{[ 11 ]}
• ${\textstyle {\sqrt {|T|}}}$เป็นตัวดำเนินการฮิลเบิร์ต-ชมิดต์^{[ 11 ]}

ให้เป็นตัวดำเนินการสมมาตรในขอบเขตบนปริภูมิฮิลเบิร์ต จากนั้นจะเป็นคลาสร่องรอยก็ต่อเมื่อมีสเปกตรัมจุดบริสุทธิ์ที่มีค่าลักษณะเฉพาะที่^{[ 12 ]}${\displaystyle T}$${\displaystyle T^{2}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \left\{\lambda _{i}(T)\right\}_{i=1}^{\infty }}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (T^{2})=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}(T^{2})<\infty .}$

ทฤษฎีบทของเมอร์เซอร์ให้ตัวอย่างอีกประการหนึ่งของตัวดำเนินการคลาสร่องรอย กล่าวคือ สมมติว่าเป็นเคอร์เนลสมมาตรบวกแน่นอน ต่อเนื่อง บนซึ่งกำหนดโดย ${\displaystyle K}$${\displaystyle L^{2}([a,b])}$

${\displaystyle K(s,t)=\sum _{j=1}^{\infty }\lambda _{j}\,e_{j}(s)\,e_{j}(t)}$

ดังนั้นตัวดำเนินการอินทิกรัลฮิลเบิร์ต-ชมิดต์ ที่เกี่ยวข้อง จึงอยู่ในกลุ่มร่องรอย (trace class) กล่าวคือ ${\displaystyle T_{K}}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (T_{K})=\int _{a}^{b}K(t,t)\,dt=\sum _{i}\lambda _{i}.}$

ตัวดำเนินการอันดับจำกัดทุกตัวเป็นตัวดำเนินการคลาสร่องรอย ยิ่งไปกว่านั้น พื้นที่ของตัวดำเนินการอันดับจำกัดทั้งหมดเป็นพื้นที่ย่อยหนาแน่นของ(เมื่อกำหนดบรรทัดฐานร่องรอย) ^{[ 9 ]}${\displaystyle B_{1}(H)}$

กำหนด ตัวดำเนินการใดๆ โดยกำหนดตัวดำเนินการ จาก นั้นจะเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นต่อเนื่องที่มีอันดับ 1 และดังนั้นจึงเป็นคลาสร่องรอย ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขตใดๆAบนH (และเข้าไปในH ) ^{[ 9 ]}${\displaystyle x,y\in H,}$${\displaystyle x\otimes y:H\to H}$${\displaystyle (x\otimes y)(z):=\langle z,y\rangle x.}$${\displaystyle x\otimes y}$${\displaystyle \operatorname {Tr} (A(x\otimes y))=\langle Ax,y\rangle .}$

1. ถ้า เป็น ตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองที่ไม่เป็นลบแล้ว จะเป็นตัวดำเนินการระดับร่องรอย (trace-class) ก็ต่อเมื่อดังนั้น ตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองจะเป็นตัวดำเนินการระดับร่องรอยก็ต่อเมื่อส่วนบวกและส่วนลบ ของตัวดำเนินการนั้น เป็นตัวดำเนินการระดับร่องรอยทั้งคู่ (ส่วนบวกและส่วนลบของตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองได้มาจากการคำนวณเชิงฟังก์ชันต่อเนื่อง )${\displaystyle A:H\to H}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {Tr} A<\infty .}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{+}}$${\displaystyle A^{-}}$
2. ร่องรอย (Trace) คือฟังก์ชันเชิงเส้นบนปริภูมิของตัวดำเนินการชั้นร่องรอย กล่าวคือ แผนที่ทวิเชิงเส้น (Bilinear map) คือผลคูณภายในบนชั้นร่องรอย บรรทัดฐานที่สอดคล้องกันเรียกว่า บรรทัดฐาน ฮิลเบิร์ต-ชมิดต์ (Hilbert–Schmidt norm ) การเติมเต็มของตัวดำเนินการชั้นร่องรอยในบรรทัดฐานฮิลเบิร์ต-ชมิดต์เรียกว่าตัวดำเนินการฮิลเบิร์ต-ชมิดต์ (Hilbert–Schmidt operators)$${\displaystyle \operatorname {Tr} (aA+bB)=a\operatorname {Tr} (A)+b\operatorname {Tr} (B).}$$$${\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {Tr} (A^{*}B)}$$
3. ${\displaystyle \operatorname {Tr} :B_{1}(H)\to \mathbb {C} }$เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นบวกที่ถ้าเป็นตัวดำเนินการคลาสร่องรอยที่สอดคล้องกับ^{[ 11 ]}${\displaystyle T}$${\displaystyle T\geq 0{\text{ and }}\operatorname {Tr} T=0,}$${\displaystyle T=0.}$
4. ถ้าเป็น trace-class แล้วและ^{[ 11 ]}${\displaystyle T:H\to H}$${\displaystyle T^{*}}$${\displaystyle \|T\|_{1}=\left\|T^{*}\right\|_{1}.}$
5. ถ้าถูกจำกัด และอยู่ในคลาสร่องรอย แล้วและก็อยู่ในคลาสร่องรอยเช่นกัน (กล่าวคือ พื้นที่ของตัวดำเนินการคลาสร่องรอยบนH เป็น อุดมคติสองด้านในพีชคณิตของตัวดำเนินการเชิงเส้นที่ถูกจำกัดบนH ) และ^{[ 11 ] [ 13 ]} ยิ่งไปกว่านั้น ภายใต้สมมติฐานเดียวกัน^{[ 11 ]}และ ข้อความสุดท้ายยังคงใช้ได้ภายใต้สมมติฐานที่อ่อนกว่าที่ว่าAและTเป็น Hilbert–Schmidt${\displaystyle A:H\to H}$${\displaystyle T:H\to H}$${\displaystyle AT}$${\displaystyle TA}$$${\displaystyle \|AT\|_{1}=\operatorname {Tr} (|AT|)\leq \|A\|\|T\|_{1},\quad \|TA\|_{1}=\operatorname {Tr} (|TA|)\leq \|A\|\|T\|_{1}.}$$$${\displaystyle \operatorname {Tr} (AT)=\operatorname {Tr} (TA)}$$${\displaystyle |\operatorname {Tr} (AT)|\leq \|A\|\|T\|.}$
6. ถ้าและเป็นฐานออร์โทนอร์มอลสองฐานของHและถ้าTเป็นคลาสร่องรอยแล้ว^{[ 9 ]}${\displaystyle \left(e_{k}\right)_{k}}$${\displaystyle \left(f_{k}\right)_{k}}$${\textstyle \sum _{k}\left|\left\langle Te_{k},f_{k}\right\rangle \right|\leq \|T\|_{1}.}$
7. ถ้าAเป็นคลาสเทรซแล้ว เราสามารถกำหนดดีเทอร์มิแนนต์เฟรดโฮล์มของได้ดังนี้: โดยที่คือสเปกตรัมของเงื่อนไขคลาสเทรซบนรับประกันว่าผลคูณอนันต์เป็นค่าจำกัด: อันที่จริงแล้ว มันยังหมายความว่าก็ต่อเมื่อสามารถผกผันได้${\displaystyle I+A}$$${\displaystyle \det(I+A):=\prod _{n\geq 1}[1+\lambda _{n}(A)],}$$${\displaystyle \{\lambda _{n}(A)\}_{n}}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle \det(I+A)\leq e^{\|A\|_{1}}.}$$${\displaystyle \det(I+A)\neq 0}$${\displaystyle (I+A)}$
8. ถ้าเป็นคลาสร่องรอยแล้วสำหรับฐานออร์โทนอร์มอล ใดๆ ผลรวม ของเทอมบวกจะมีค่าจำกัด^{[ 11 ]}${\displaystyle A:H\to H}$${\displaystyle \left(e_{k}\right)_{k}}$${\displaystyle H,}$${\textstyle \sum _{k}\left|\left\langle A\,e_{k},e_{k}\right\rangle \right|}$
9. ถ้าสำหรับตัวดำเนินการ Hilbert-Schmidt บางตัว และสำหรับเวกเตอร์ปกติใดๆ เป็นจริง^{[ 11 ]}${\displaystyle A=B^{*}C}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle e\in H,}$${\textstyle |\langle Ae,e\rangle |\leq {\frac {1}{2}}\left(\|Be\|^{2}+\|Ce\|^{2}\right)}$

ให้เป็นตัวดำเนินการชั้นร่องรอยในปริภูมิฮิลเบิร์ตที่แยกได้และให้เป็นค่าลักษณะเฉพาะของสมมติว่ามีการแจงนับโดยคำนึงถึงความซ้ำซ้อนเชิงพีชคณิต (นั่นคือ ถ้าความซ้ำซ้อนเชิงพีชคณิตของคือแล้วจะซ้ำกันครั้งในรายการ) ทฤษฎีบทของลิดสกี้ (ตั้งชื่อตามวิกเตอร์ โบรีโซวิช ลิดสกี้ ) กล่าวว่า ${\displaystyle A}$${\displaystyle H,}$${\displaystyle \{\lambda _{n}(A)\}_{n=1}^{N\leq \infty }}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle \lambda _{n}(A)}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle k,}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle k}$${\displaystyle \lambda _{1}(A),\lambda _{2}(A),\dots }$$${\displaystyle \operatorname {Tr} (A)=\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}(A)}$$

โปรดทราบว่าอนุกรมทางด้านขวาจะลู่เข้าอย่างสมบูรณ์เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันของ Weyl ระหว่างค่าลักษณะเฉพาะและค่าเอกลักษณ์ของตัวดำเนินการกระชับ^{[ 14 ]}ดูทฤษฎีบทร่องรอยของ Grothendieckด้วย $${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\left|\lambda _{n}(A)\right|\leq \sum _{m=1}^{M}s_{m}(A)}$$${\displaystyle \{\lambda _{n}(A)\}_{n=1}^{N}}$${\displaystyle \{s_{m}(A)\}_{m=1}^{M}}$${\displaystyle A.}$

เราสามารถมองตัวดำเนินการแบบจำกัดบางประเภทว่าเป็นอนาล็อกแบบไม่สลับที่ของปริภูมิของลำดับ แบบคลาสสิก โดยมีตัวดำเนินการแบบร่องรอยเป็นอนาล็อกแบบไม่สลับที่ของปริภูมิของลำดับ${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {N} ).}$

อันที่จริง เป็นไปได้ที่จะใช้ทฤษฎีบทสเปกตรัมเพื่อแสดงว่าตัวดำเนินการชั้นร่องรอยปกติทุกตัวบนปริภูมิฮิลเบิร์ตที่แยกได้ สามารถสร้างขึ้นได้ในบางวิธีในรูปของลำดับโดยสัมพันธ์กับการเลือกฐานฮิลเบิร์ตคู่หนึ่ง ในทำนองเดียวกัน ตัวดำเนินการที่มีขอบเขตเป็นเวอร์ชันที่ไม่สลับที่ของตัวดำเนินการกระชับซึ่งก็คือ(ลำดับที่ลู่เข้าสู่ 0) ตัวดำเนินการฮิลเบิร์ต-ชมิดท์สอดคล้องกับและตัวดำเนินการอันดับจำกัดสอดคล้องกับ(ลำดับที่มีพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์เพียงจำนวนจำกัด) ในระดับหนึ่ง ความสัมพันธ์ระหว่างกลุ่มของตัวดำเนินการเหล่านี้คล้ายคลึงกับความสัมพันธ์ระหว่างคู่ของตัวดำเนินการที่สลับที่กันได้ ${\displaystyle \ell ^{1}}$${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {N} ),}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} ),}$${\displaystyle c_{00}}$

โปรดจำไว้ว่าตัวดำเนินการกระชับทุกตัวบนปริภูมิฮิลเบิร์ตมีรูปแบบมาตรฐานดังต่อไปนี้: มีฐานเชิงตั้งฉากปกติและและลำดับของจำนวนที่ไม่เป็นลบ โดยที่ เมื่อ ทำให้คำอธิบายเชิงอนุมานข้างต้นมีความแม่นยำมากขึ้น เราจะได้ว่าเป็นตัวดำเนินการระดับร่องรอยก็ต่อเมื่ออนุกรมลู่เข้า เป็นตัวดำเนินการฮิลเบิร์ต-ชมิดต์ก็ต่อเมื่ออนุกรมลู่เข้า และเป็นตัวดำเนินการระดับจำกัดก็ต่อเมื่อลำดับมีพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น สิ่งนี้ทำให้สามารถเชื่อมโยงตัวดำเนินการเหล่านี้ได้ การรวมต่อไปนี้เป็นจริงและเหมาะสมทั้งหมดเมื่อเป็นมิติอนันต์:${\displaystyle T}$${\displaystyle (u_{i})_{i}}$${\displaystyle (v_{i})_{i}}$${\displaystyle \left(\alpha _{i}\right)_{i}}$${\displaystyle \alpha _{i}\to 0}$$${\displaystyle Tx=\sum _{i}\alpha _{i}\langle x,v_{i}\rangle u_{i}\quad {\text{ for all }}x\in H.}$$${\displaystyle T}$${\textstyle \sum _{i}\alpha _{i}}$${\displaystyle T}$${\textstyle \sum _{i}\alpha _{i}^{2}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \left(\alpha _{i}\right)_{i}}$${\displaystyle H}$$${\displaystyle \{{\text{ finite rank }}\}\subseteq \{{\text{ trace class }}\}\subseteq \{{\text{ Hilbert--Schmidt }}\}\subseteq \{{\text{ compact }}\}.}$$

ตัวดำเนินการในกลุ่มร่องรอยจะได้รับบรรทัดฐานร่องรอยบรรทัดฐานที่สอดคล้องกับผลคูณภายในของฮิลเบิร์ต-ชมิดท์คือ นอกจากนี้ บรรทัดฐานตัวดำเนินการ ปกติคือโดยอาศัยอสมการแบบคลาสสิกเกี่ยวกับลำดับ สำหรับค่าที่เหมาะสม${\textstyle \|T\|_{1}=\operatorname {Tr} \left[\left(T^{*}T\right)^{1/2}\right]=\sum _{i}\alpha _{i}.}$$${\displaystyle \|T\|_{2}=\left[\operatorname {Tr} \left(T^{*}T\right)\right]^{1/2}=\left(\sum _{i}\alpha _{i}^{2}\right)^{1/2}.}$$${\textstyle \|T\|=\sup _{i}\left(\alpha _{i}\right).}$$${\displaystyle \|T\|\leq \|T\|_{2}\leq \|T\|_{1}}$$${\displaystyle T.}$

นอกจากนี้ ยังเห็นได้ชัดว่าตัวดำเนินการที่มีอันดับจำกัดนั้นมีความหนาแน่นทั้งในคลาสร่องรอยและฮิลเบิร์ต-ชมิดต์ในบรรทัดฐานของแต่ละคลาส

ปริภูมิคู่ของคือในทำนองเดียวกัน เรามีว่าปริภูมิคู่ของตัวดำเนินการกระชับ ซึ่งแทนด้วยคือตัวดำเนินการชั้นร่องรอย ซึ่งแทนด้วยข้อโต้แย้งที่เราจะกล่าวถึงต่อไปนี้ ชวนให้นึกถึงข้อโต้แย้งสำหรับปริภูมิของลำดับที่สอดคล้องกัน ให้เราระบุกับตัวดำเนินการที่กำหนดโดย โดย ที่คือตัวดำเนินการอันดับหนึ่งที่กำหนดโดย ${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {N} ).}$${\displaystyle K(H)^{*},}$${\displaystyle B_{1}.}$${\displaystyle f\in K(H)^{*},}$${\displaystyle f}$${\displaystyle T_{f}}$$${\displaystyle \langle T_{f}x,y\rangle =f\left(S_{x,y}\right),}$$${\displaystyle S_{x,y}}$$${\displaystyle S_{x,y}(h)=\langle h,y\rangle x.}$$

การระบุตัวตนนี้ใช้ได้ผลเพราะตัวดำเนินการอันดับจำกัดมีความหนาแน่นของบรรทัดฐานในกรณีที่เป็นตัวดำเนินการบวก สำหรับฐานเชิงตั้งฉากใดๆจะมี โดยที่เป็นตัวดำเนินการเอกลักษณ์: ${\displaystyle K(H).}$${\displaystyle T_{f}}$${\displaystyle u_{i},}$$${\displaystyle \sum _{i}\langle T_{f}u_{i},u_{i}\rangle =f(I)\leq \|f\|,}$$${\displaystyle I}$$${\displaystyle I=\sum _{i}\langle \cdot ,u_{i}\rangle u_{i}.}$$

แต่สิ่งนี้หมายความว่าเป็นคลาสร่องรอย การใช้การแยกส่วนเชิง ขั้ว ขยายสิ่งนี้ไปสู่กรณีทั่วไป ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นค่าบวก ${\displaystyle T_{f}}$${\displaystyle T_{f}}$

การใช้เหตุผลเชิงจำกัดโดยใช้ตัวดำเนินการอันดับจำกัดแสดงให้เห็นว่าดังนั้นจึงสมมาตรกับ${\displaystyle \|T_{f}\|_{1}=\|f\|.}$${\displaystyle K(H)^{*}}$${\displaystyle B_{1}.}$

โปรดจำไว้ว่าปริภูมิคู่ของคือในบริบทปัจจุบัน ปริภูมิคู่ของตัวดำเนินการระดับร่องรอยคือตัวดำเนินการที่มีขอบเขตกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น เซต คือ ไอเดียลสองด้านในดังนั้น เมื่อกำหนดตัวดำเนินการใดๆเราสามารถกำหนดฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่องบนโดยความสัมพันธ์ระหว่างตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขตและองค์ประกอบของปริภูมิคู่ของคือไอโซมอร์ฟิซึมแบบไอโซเมตริกดังนั้นคือปริภูมิคู่ของสิ่งนี้สามารถใช้เพื่อกำหนดโทโพโลยีแบบอ่อน*บน${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {N} ).}$${\displaystyle B_{1}}$${\displaystyle B(H).}$${\displaystyle B_{1}}$${\displaystyle B(H).}$${\displaystyle T\in B(H),}$${\displaystyle \varphi _{T}}$${\displaystyle B_{1}}$${\displaystyle \varphi _{T}(A)=\operatorname {Tr} (AT).}$${\displaystyle \varphi _{T}}$${\displaystyle B_{1}}$${\displaystyle B(H)}$${\displaystyle B_{1}.}$${\displaystyle B(H).}$

• ตัวดำเนินการนิวเคลียร์ระหว่างปริภูมิบานาค

• คอนเวย์, จอห์น บี. (2000). หลักสูตรทฤษฎีตัวดำเนินการ . พรอวิเดนซ์ (โรดไอส์แลนด์): สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน. ISBN 978-0-8218-2065-0.
• คอนเวย์, จอห์น บี. (1990). หลักสูตรการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน . นิวยอร์ก: สปริงเกอร์-เวอร์แลก. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908 .
• ดิกมีเออร์ เจ. (1969) Les Algebres d'Operateurs และ Espace Hilbertien โกติเยร์-วิลลาร์ส
• Mittelstaedt, Peter (2009). "สถานะผสม". สารานุกรมฟิสิกส์ควอนตัม . เบอร์ลิน, ไฮเดลเบิร์ก: Springer Berlin Heidelberg. หน้า  389–390 . doi : 10.1007/978-3-540-70626-7_120 . ISBN 978-3-540-70622-9.
• รีด, เอ็ม. ; ไซมอน, บี. (1980). วิธีการของฟิสิกส์คณิตศาสตร์สมัยใหม่: เล่ม 1: การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน . สำนักพิมพ์ Academic Press. ISBN 978-0-12-585050-6.
• Schaefer, Helmut H. (1999). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอ โล ยีGTMเล่ม 3 นิวยอร์ก, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• ไซมอน, แบร์รี (2010). ทฤษฎีบทของเซโกและทฤษฎีบทที่สืบทอดมา: ทฤษฎีสเปกตรัมสำหรับการรบกวน L² ของพหุนามเชิงตั้งฉากสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตันISBN 978-0-691-14704-8.
• เทรฟส์, ฟรองซัวส์ (2549) [2510] สเปซเวกเตอร์ทอพอโลยี การแจกแจง และเคอร์เนล Mineola, NY: สิ่งพิมพ์โดเวอร์ไอเอสบีเอ็น 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .