ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีตัวดำเนินการและทฤษฎีพีชคณิต C* แคลคูลัสเชิงฟังก์ชันต่อเนื่องเป็นแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันที่อนุญาตให้ประยุกต์ใช้ฟังก์ชันต่อเนื่องกับองค์ประกอบปกติของพีชคณิต C*

ในทฤษฎีขั้นสูง การประยุกต์ใช้แคลคูลัสเชิงฟังก์ชันนี้เป็นเรื่องธรรมชาติมากจนบางครั้งแทบไม่ต้องกล่าวถึงเลย กล่าวได้ว่าแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันต่อเนื่องเป็นสิ่งที่ทำให้เกิดความแตกต่างระหว่าง C*-algebras กับBanach algebras ทั่วไป ซึ่งมีเพียงแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันแบบโฮโลมอร์ฟิก เท่านั้น ที่มีอยู่

หากต้องการขยายแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันธรรมชาติสำหรับพหุนามบนสเปกตรัม ขององค์ประกอบของพีชคณิตบานาคไปสู่แคลคูลัสเชิงฟังก์ชันสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องบนสเปกตรัม ดูเหมือนว่าการประมาณฟังก์ชันต่อเนื่องด้วยพหุนามตามทฤษฎีบทสโตน-ไวเออร์สตรัสการแทรกองค์ประกอบลงในพหุนามเหล่านี้ และการแสดงให้เห็นว่าลำดับขององค์ประกอบ เหล่านี้ ลู่เข้าสู่ ฟังก์ชันต่อเนื่องบนจะถูกประมาณด้วยพหุนามในและกล่าวคือด้วยพหุนามในรูปแบบ โดยที่หมายถึง การสั งยุคเชิงซ้อนซึ่งเป็นการผกผันบนจำนวนเชิงซ้อน^{[ 1 ]} เพื่อให้สามารถแทรกแทนที่ในพหุนามประเภทนี้ได้จึง ต้องพิจารณา พีชคณิตบานาค * กล่าวคือ พีชคณิตบานาคที่มีการผกผัน * ด้วย และแทรกแทนที่เพื่อให้ได้โฮโมมอร์ฟิ ซึม จำเป็น ต้องจำกัดให้เฉพาะสมาชิกปกติ กล่าวคือ สมาชิกที่มีเนื่องจากวงแหวนพหุนามเป็นวงแหวนสลับที่ได้ถ้าเป็นลำดับของพหุนามที่ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอไปยังฟังก์ชันต่อเนื่อง จะต้องมั่นใจได้ ว่าลำดับนั้นลู่เข้าในไปยังสมาชิกการวิเคราะห์ปัญหาการลู่เข้าอย่างละเอียดแสดงให้เห็นว่าจำเป็นต้องใช้พีชคณิต C* ข้อพิจารณาเหล่านี้จึงนำไปสู่สิ่งที่เรียกว่าแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันต่อเนื่อง ${\displaystyle \sigma (a)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle C(\sigma (a))}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \sigma (a)\subset \mathbb {C} }$${\displaystyle z}$${\displaystyle {\โอเวอร์ไลน์ {z}}}$${\textstyle p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}\;\left(c_{k,l}\in \mathbb {C} \right)}$${\displaystyle {\โอเวอร์ไลน์ {z}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle z}$${\displaystyle a^{*}}$${\displaystyle {\โอเวอร์ไลน์ {z}}}$${\displaystyle {\mathbb {C} }[z,{\overline {z}}]\rightarrow {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a^{*}a=aa^{*}}$${\displaystyle \mathbb {C} [z,{\overline {z}}]}$${\displaystyle (p_{n}(z,{\overline {z}}))_{n}}$${\displaystyle \sigma (a)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (p_{n}(a,a^{*}))_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle f(a)}$

เนื่องจากคุณสมบัติ *-homomorphism กฎการคำนวณต่อไปนี้จึงใช้ได้กับฟังก์ชันและสเกลาร์ ทั้งหมด : ^{[ 4 ]}${\displaystyle f,g\in C(\sigma (a))}$${\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb {C} }$

ดังนั้นจึงสามารถจินตนาการได้ว่าเมื่อนำองค์ประกอบปกติไปใส่ในฟังก์ชันต่อเนื่องแล้ว การดำเนินการทางพีชคณิตที่ชัดเจนก็จะทำงานได้ตามที่คาดไว้

ข้อกำหนดสำหรับองค์ประกอบหน่วยไม่ใช่ข้อจำกัดที่สำคัญ หากจำเป็นสามารถเพิ่มองค์ประกอบหน่วยเข้าไปได้ ซึ่งจะทำให้ได้ พีชคณิต C* ที่ขยายใหญ่ขึ้นจากนั้นถ้าและด้วยแสดงว่าและ^{[ 5 ]}${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle f\in C(\sigma (a))}$${\displaystyle f(0)=0}$${\displaystyle 0\in \sigma (a)}$${\displaystyle f(a)\in {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {A}}_{1}}$

การมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันต่อเนื่องได้รับการพิสูจน์แยกกัน:

• การดำรงอยู่:เนื่องจากสเปกตรัมของใน C*- subalgebraที่สร้างโดยและเหมือนกับที่มีอยู่ใน จึงเพียงพอที่จะแสดงข้อความสำหรับ[ ^{6 ] การ}สร้างจริงนั้นเกือบจะเกิดขึ้นทันทีจากการแสดงแทนของ Gelfand : เพียงพอที่จะสมมติว่าเป็น C*-algebra ของฟังก์ชันต่อเนื่องบนปริภูมิกระชับบางส่วนและกำหนด^{[ 7 ]}${\displaystyle a}$${\displaystyle C^{*}(a,e)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle e}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}=C^{*}(a,e)}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Phi _{a}(f)=f\circ x}$

• ความเป็นเอกลักษณ์:เนื่องจากและถูกกำหนดไว้แล้วจึงถูกกำหนดไว้อย่างเป็นเอกลักษณ์สำหรับพหุนามทั้งหมดเนื่องจากเป็น *-โฮโมมอร์ฟิซึม สิ่งเหล่านี้ก่อให้เกิด พีชคณิตย่อย ที่หนาแน่นของโดยทฤษฎีบทสโตน-ไวเออร์สตรัส ดังนั้น จึงเป็นเอกลักษณ์^{[ 7 ]}${\displaystyle \Phi _{a}({\boldสัญลักษณ์ {1}})}$${\displaystyle \Phi _{a}(\operatorname {Id} _{\sigma (a)})}$${\displaystyle \Phi _{a}}$${\textstyle p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}\;\left(c_{k,l}\in \mathbb {C} \right)}$${\displaystyle \Phi _{a}}$${\displaystyle C(\sigma (a))}$${\displaystyle \Phi _{a}}$

ในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน แคลคูลัสเชิงฟังก์ชันต่อเนื่องสำหรับตัวดำเนินการปกติมักเป็นที่น่าสนใจ กล่าวคือ กรณีที่เป็นพีชคณิต C* ของตัวดำเนินการที่มีขอบเขตบน ปริภูมิฮิลเบิ ร์ตในวรรณกรรม แคลคูลัสเชิงฟังก์ชันต่อเนื่องมักจะได้รับการพิสูจน์เฉพาะสำหรับตัวดำเนินการสมมาตรในบริบทนี้ ในกรณีนี้ การพิสูจน์ไม่จำเป็นต้องใช้การแสดงแทน ของ Gelfand ^{[ 8 ]}${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$${\displaystyle H}$

แคลคูลัสฟังก์ชันต่อเนื่องเป็นไอโซมอร์ฟิซึม แบบไอโซ เมตริกในซับอัลเจบรา C* ที่สร้างขึ้นโดยและนั่นคือ: ^{[ 7 ]}${\displaystyle \Phi _{a}}$${\displaystyle C^{*}(a,e)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle e}$

• ${\displaystyle \left\|\Phi _{a}(f)\right\|=\left\|f\right\|_{\sigma (a)}}$สำหรับทุก ๆ; ดังนั้นจึงมีความต่อเนื่อง${\displaystyle f\in C(\sigma (a))}$${\displaystyle \Phi _{a}}$
• ${\displaystyle \Phi _{a}\left(C(\sigma (a))\right)=C^{*}(a,e)\subseteq {\mathcal {A}}}$

เนื่องจากเป็นองค์ประกอบปกติของพีชคณิตย่อย C* ที่สร้างโดยและเป็นแบบสลับที่ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นปกติ และองค์ประกอบทั้งหมดของแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันสลับที่ ได้ ^{[ 9 ]}${\displaystyle a}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle e}$${\displaystyle f(a)}$

แคลคูลัสเชิงฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกได้รับการขยายโดยแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันต่อเนื่องในลักษณะ ที่ไม่กำกวม ^{[ 10 ]}ดังนั้น สำหรับพหุนาม แคลคูลัสเชิงฟังก์ชันต่อเนื่องจึงสอดคล้องกับแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันธรรมชาติสำหรับพหุนาม: สำหรับทุก ๆที่มี^{[ 3 ]}${\displaystyle p(z,{\โอเวอร์ไลน์ {z}})}$${\textstyle \Phi _{a}(p(z,{\overline {z}}))=p(a,a^{*})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}a^{k}(a^{*})^{l}}$${\textstyle p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}}$${\displaystyle c_{k,l}\in \mathbb {C} }$

สำหรับลำดับของฟังก์ชันที่ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอไปยังฟังก์ชันจะลู่เข้าสู่[ ^{11 ] สำหรับ}อนุกรมกำลังซึ่งลู่เข้า อย่าง สม่ำเสมออย่าง สมบูรณ์ บนดังนั้น จึงเป็นจริง^{[ 12 ]}${\displaystyle f_{n}\in C(\sigma (a))}$${\displaystyle \sigma (a)}$${\displaystyle f\in C(\sigma (a))}$${\displaystyle f_{n}(a)}$${\displaystyle f(a)}$${\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}}$${\displaystyle \sigma (a)}$${\textstyle f(a)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}a^{n}}$

ถ้าและแล้ว จะ ^เป็นจริงสำหรับการประกอบกันของ พวกมัน ^{[ 5 ]}ถ้าเป็นองค์ประกอบปกติสองตัวที่มีและเป็นฟังก์ชันผกผันของบนทั้งและแล้วเนื่องจาก^[ 13 ^]${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))}$${\displaystyle g\in {\mathcal {C}}(\sigma (f(a)))}$${\displaystyle (g\circ f)(a)=g(f(a))}$${\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}_{N}}$${\displaystyle f(a)=f(b)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \sigma (a)}$${\displaystyle \sigma (b)}$${\displaystyle a=b}$${\displaystyle a=(f\circ g)(a)=f(g(a))=f(g(b))=(f\circ g)(b)=b}$

ทฤษฎีบทการแมปสเปกตรัมใช้ได้: สำหรับทุก. ^{[ 7 ]}${\displaystyle \sigma (f(a))=f(\sigma (a))}$${\displaystyle f\in C(\sigma (a))}$

ถ้า เงื่อนไข นี้เป็นจริงสำหรับก็จะเป็นจริงสำหรับ ทั้งหมดด้วย กล่าวคือ ถ้าสลับที่กับก็จะสลับที่กับองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแคลคูลัสฟังก์ชันต่อเนื่องด้วย^{[ 14 ]}${\displaystyle ab=ba}$${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle f(a)b=bf(a)}$${\displaystyle f\in C(\sigma (a))}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f(a)}$

ให้เป็นโฮโมมอร์ฟิซึม *-เอกลักษณ์ระหว่างพีชคณิต C* และ.จากนั้นสลับตำแหน่งกับแคลคูลัสฟังก์ชันต่อเนื่อง ข้อต่อไปนี้เป็นจริง: สำหรับทุก.โดยเฉพาะอย่างยิ่ง แคลคูลัสฟังก์ชันต่อเนื่องสลับตำแหน่งกับการแสดงแทน ของ Gelfand ^{[ 4 ]}${\displaystyle \Psi \colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle \Psi (f(a))=f(\Psi (a))}$${\displaystyle f\in C(\sigma (a))}$

ด้วยทฤษฎีบทการแมปสเปกตรัม ฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติบางอย่างสามารถเชื่อมโยงโดยตรงกับคุณสมบัติบางอย่างขององค์ประกอบของพีชคณิต C* ได้: ^{[ 15 ]}

• ${\displaystyle f(a)}$สามารถผกผันได้ก็ต่อเมื่อไม่มีศูนย์บน^{[ 16 ]}จากนั้นจึง^เป็นจริง[ ^{17 ]}${\displaystyle f}$${\displaystyle \sigma (a)}$${\textstyle f(a)^{-1}={\tfrac {1}{f}}(a)}$

• ${\displaystyle f(a)}$ตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองก็ต่อเมื่อมีค่าเป็นจำนวนจริงกล่าวคือ${\displaystyle f}$${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle f(a)}$มีค่าเป็นบวก ( ) ก็ต่อเมื่อ นั่นคือ.${\displaystyle f(a)\geq 0}$${\displaystyle f\geq 0}$${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq [0,\infty )}$
• ${\displaystyle f(a)}$จะเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ ก็ต่อ เมื่อค่าทั้งหมดของอยู่ในกลุ่มวงกลมนั่นคือ${\displaystyle f}$${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \mathbb {T} =\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \left\|\lambda \right\|=1\}}$
• ${\displaystyle f(a)}$เป็นการฉายภาพก็ต่อเมื่อรับค่าเฉพาะและ เท่านั้น กล่าวคือ${\displaystyle f}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \{0,1\}}$

ข้อมูลเหล่านี้อ้างอิงจากข้อความเกี่ยวกับสเปกตรัมของธาตุบางชนิด ซึ่งแสดงไว้ในส่วนการประยุกต์ใช้งาน

ในกรณีพิเศษที่เป็นพีชคณิต C* ของตัวดำเนินการที่มีขอบเขตสำหรับปริภูมิฮิลเบิร์ตเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะสำหรับค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการปกติจะเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะสำหรับค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการด้วยถ้าแล้วก็เป็นจริงสำหรับทุก^{[ 18 ]}${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle v\in H}$${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$${\displaystyle T\in {\mathcal {B}}(H)}$${\displaystyle f(\lambda )\in \sigma (f(T))}$${\displaystyle f(T)}$${\displaystyle Tv=\lambda v}$${\displaystyle f(T)v=f(\lambda )v}$${\displaystyle f\in \sigma (T)}$

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างทั่วไปและง่ายมากของการประยุกต์ใช้แคลคูลัสเชิงฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีอยู่มากมาย:

ให้C*-algebra เป็นองค์ประกอบปกติ จากนั้นสิ่งต่อไปนี้จะใช้ได้กับสเปกตรัม: ^{[ 15 ]}${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$${\displaystyle \sigma (a)}$

• ${\displaystyle a}$เป็นตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองก็ต่อเมื่อ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle a}$จะเป็นเอกภาพก็ต่อเมื่อ...${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {T} =\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \left\|\lambda \right\|=1\}}$
• ${\displaystyle a}$เป็นการฉายภาพก็ต่อเมื่อ...${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{0,1\}}$

บทพิสูจน์^{[ 3 ]}แคลคูลัสฟังก์ชันต่อเนื่องสำหรับองค์ประกอบปกติคือ *-โฮโมมอร์ฟิซึมที่มีและดังนั้นจึงเป็นตัวผกผันตัวเอง/เอกภาพ/การฉายภาพ ถ้าก็เป็นตัวผกผันตัวเอง/เอกภาพ/การฉายภาพ เช่นกัน เป็นตัวผกผันตัวเองก็ต่อเมื่อเป็นจริงสำหรับทุก นั่นคือ ถ้า เป็นจำนวนจริง เป็นตัวเอกภาพก็ต่อเมื่อ เป็น จริงสำหรับทุกดังนั้นเป็นตัวฉายภาพก็ต่อเมื่อนั่นคือสำหรับทุกนั่นคือ${\displaystyle \Phi _{a}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \Phi _{a}(\operatorname {Id} )=a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \operatorname {Id} \in C(\sigma (a))}$${\displaystyle \operatorname {Id} }$${\displaystyle z={\text{Id}}(z)={\overline {\text{Id}}}(z)={\overline {z}}}$${\displaystyle z\in \sigma (a)}$${\displaystyle \sigma (a)}$${\displaystyle {\text{Id}}}$${\displaystyle 1={\text{Id}}(z){\overline {\operatorname {Id} }}(z)=z{\overline {z}}=|z|^{2}}$${\displaystyle z\in \sigma (a)}$${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{\lambda \in \mathbb {C} \ |\ \left\|\lambda \right\|=1\}}$${\displaystyle {\text{Id}}}$${\displaystyle (\operatorname {Id} (z))^{2}=\operatorname {Id} }(z)={\overline {\operatorname {Id} (z)}}$${\displaystyle z^{2}=z={\overline {z}}}$${\displaystyle z\in \sigma (a)}$${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{0,1\}}$

ให้เป็นองค์ประกอบบวกของพีชคณิต C* แล้วสำหรับทุกจะมีองค์ประกอบบวกที่กำหนดอย่างเป็นเอกลักษณ์ที่มี นั่นคือรากที่ ที่ไม่ซ้ำกัน ^{[ 19 ]}${\displaystyle a}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}_{+}}$${\displaystyle b^{n}=a}$${\displaystyle n}$

บทพิสูจน์สำหรับแต่ละฟังก์ชันรากเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนถ้าถูกกำหนดโดยใช้แคลคูลัสฟังก์ชันต่อเนื่อง แล้วจะได้มาจากคุณสมบัติของแคลคูลัส จากทฤษฎีบทการแมปสเปกตรัม จะได้ นั่นคือเป็นบวก^{[ 19 ]}ถ้าเป็นองค์ประกอบบวกอีกตัวหนึ่งที่มีแล้ว จะเป็นจริง เนื่องจากฟังก์ชันรากบนจำนวนจริงบวกเป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชัน^{[ 13 ]}${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle f_{n}\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R} _{0}^{+},x\mapsto {\sqrt[{n}]{x}}}$${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} _{0}^{+}}$${\displaystyle b\;\colon =f_{n}(a)}$${\displaystyle b^{n}=(f_{n}(a))^{n}=(f_{n}^{n})(a)=\operatorname {Id} _{\sigma (a)}(a)=a}$${\displaystyle \sigma (b)=\sigma (f_{n}(a))=f_{n}(\sigma (a))\subseteq [0,\infty )}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c\in {\mathcal {A}}_{+}}$${\displaystyle c^{n}=a=b^{n}}$${\displaystyle c=f_{n}(c^{n})=f_{n}(b^{n})=b}$${\displaystyle z\mapsto z^{n}}$

ถ้าเป็นองค์ประกอบสมมาตรตัวเอง อย่างน้อยที่สุดสำหรับจำนวนคี่ทุกตัวจะมีองค์ประกอบสมมาตรตัวเองที่กำหนดอย่างเป็นเอกลักษณ์ด้วย^{[ 20 ]}${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}_{sa}}$${\displaystyle b^{n}=a}$

ในทำนองเดียวกัน สำหรับองค์ประกอบบวกของพีชคณิต C* แต่ละองค์ประกอบจะกำหนดองค์ประกอบบวกที่กำหนดเฉพาะของโดยที่ เป็น จริง สำหรับทุกถ้าสามารถผกผันได้ สิ่งนี้ยังสามารถขยายไปยังค่าลบของ ได้อีกด้วย^{[ 19 ]}${\displaystyle a}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \alpha \geq 0}$${\displaystyle a^{\alpha }}$${\displaystyle C^{*}(a)}$${\displaystyle a^{\alpha }a^{\beta }=a^{\alpha +\beta }}$${\displaystyle \alpha ,\beta \geq 0}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \alpha }$

ถ้าเช่นนั้นองค์ประกอบจะเป็นบวก ดังนั้นค่าสัมบูรณ์จึงสามารถกำหนดได้โดยแคลคูลัสฟังก์ชันต่อเนื่อง เนื่องจากมีความต่อเนื่องบน จำนวนจริงบวก^{[ 21 ]}${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a^{*}a}$${\displaystyle |a|={\sqrt {a^{*}a}}}$

ให้เป็นองค์ประกอบสมมาตรของพีชคณิต C* แล้วจะมีองค์ประกอบบวก อยู่โดยที่ เป็น จริง องค์ประกอบและยังเรียกว่าส่วนบวกและส่วนลบอีกด้วย^{[ 22 ]}นอกจากนี้ ยังเป็นจริง อีกด้วย ^{[ 23 ]}${\displaystyle a}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a_{+},a_{-}\in {\mathcal {A}}_{+}}$${\displaystyle a=a_{+}-a_{-}}$${\displaystyle a_{+}a_{-}=a_{-}a_{+}=0}$${\displaystyle a_{+}}$${\displaystyle a_{-}}$${\displaystyle |a|=a_{+}+a_{-}}$

พิสูจน์ฟังก์ชันและเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนโดยที่และกำหนดให้และตามทฤษฎีบทการแมปสเปกตรัมและเป็นองค์ประกอบบวกที่และเป็นจริง^{[ 22 ]}ยิ่งไปกว่านั้น เช่นนั้นเป็นจริง^{[ 23 ]}${\displaystyle f_{+}(z)=\max(z,0)}$${\displaystyle f_{-}(z)=-\min(z,0)}$${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle \operatorname {Id} (z)=z=f_{+}(z)-f_{-}(z)}$${\displaystyle f_{+}(z)f_{-}(z)=f_{-}(z)f_{+}(z)=0}$${\displaystyle a_{+}=f_{+}(a)}$${\displaystyle a_{-}=f_{-}(a)}$${\displaystyle a_{+}}$${\displaystyle a_{-}}$${\displaystyle a=\operatorname {Id} (a)=(f_{+}-f_{-})(a)=f_{+}(a)-f_{-}(a)=a_{+}-a_{-}}$${\displaystyle a_{+}a_{-}=f_{+}(a)f_{-}(a)=(f_{+}f_{-})(a)=0=(f_{-}f_{+})(a)=f_{-}(a)f_{+}(a)=a_{-}a_{+}}$${\textstyle f_{+}(z)+f_{-}(z)=|z|={\sqrt {z^{*}z}}={\sqrt {z^{2}}}}$${\textstyle a_{+}+a_{-}=f_{+}(a)+f_{-}(a)=|a|={\sqrt {a^{*}a}}={\sqrt {a^{2}}}}$

ถ้าเป็นองค์ประกอบสมมาตรของพีชคณิต C* ที่มีองค์ประกอบเอกลักษณ์แล้วจะเป็นเอกภาพ โดยที่แทนหน่วยจินตนาการในทางกลับกัน ถ้าเป็นองค์ประกอบเอกภาพ โดยมีข้อจำกัดว่าสเปกตรัมเป็นเซตย่อยที่แท้จริงของวงกลมหน่วย กล่าวคือจะมีองค์ประกอบสมมาตรที่มี^{[ 24 ]}${\displaystyle a}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle u=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a}}$${\displaystyle \mathrm {i} }$${\displaystyle u\in {\mathcal {A}}_{U}}$${\displaystyle \sigma (u)\subsetneq \mathbb {T} }$${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$${\displaystyle u=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a}}$

พิสูจน์^{[ 24 ]}เนื่องจากเป็นตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเอง จึงสรุปได้ว่านั่นคือ เป็นฟังก์ชันบนสเปกตรัมของเนื่องจากการใช้แคลคูลัสเชิงฟังก์ชันจึงสรุปได้ว่า นั่นคือ เป็นตัวดำเนินการเอกภาพ เนื่องจากสำหรับข้อความอื่นมีเช่นนั้นฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องค่าจริงบนสเปกตรัมสำหรับเช่นนั้นเป็นองค์ประกอบสมมาตรในตัวเองที่สอดคล้องกับ${\displaystyle u=f(a)}$${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} ,\ x\mapsto \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \sigma (a)\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f\cdot {\overline {f}}={\overline {f}}\cdot f=1}$${\displaystyle uu^{*}=u^{*}u=e}$${\displaystyle u}$${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {T} }$${\displaystyle \sigma (u)\subseteq \{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}\mid z_{0}\leq z\leq z_{0}+2\pi \}}$${\displaystyle f(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z})=z}$${\displaystyle \sigma (u)}$${\displaystyle z_{0}\leq z\leq z_{0}+2\pi }$${\displaystyle a=f(u)}$${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} a}=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} f(u)}=u}$

ให้เป็นพีชคณิต C*-เอกลักษณ์ และเป็นองค์ประกอบปกติ ให้สเปกตรัมประกอบด้วยเซตย่อยปิดที่ไม่ทับซ้อนกันเป็นคู่ๆสำหรับทุกนั่นคือแล้วจะมีโปรเจกชันที่มีคุณสมบัติต่อไปนี้สำหรับทุก: ^{[ 25 ]}${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \sigma _{k}\subset \mathbb {C} }$${\displaystyle 1\leq k\leq n}$${\displaystyle \sigma (a)=\sigma _{1}\sqcup \cdots \sqcup \sigma _{n}}$${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle 1\leq j,k\leq n}$

• สำหรับสเปกตรัมนั้นถือว่าใช้ได้${\displaystyle \sigma (p_{k})=\sigma _{k}}$
• การฉายภาพจะสลับที่ได้กับนั่นคือ${\displaystyle a}$${\displaystyle p_{k}a=ap_{k}}$
• ภาพฉายทั้งสองตั้งฉากกันกล่าวคือ${\displaystyle p_{j}p_{k}=\delta _{jk}p_{k}}$
• ผลรวมของการฉายภาพคือองค์ประกอบหน่วย นั่นคือ.${\textstyle \sum _{k=1}^{n}p_{k}=e}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีการแยกส่วนซึ่งใช้ได้กับทุกกรณี${\textstyle a=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$${\displaystyle \sigma (a_{k})=\sigma _{k}}$${\displaystyle 1\leq k\leq n}$

พิสูจน์^{[ 25 ]}เนื่องจากทั้งหมดปิดฟังก์ชันลักษณะเฉพาะจึงต่อเนื่องบนตอนนี้ให้กำหนดโดยใช้ฟังก์ชันต่อเนื่อง เนื่องจากแยกกันเป็นคู่ๆและเป็นจริง ดังนั้น จึงเป็นไปตามคุณสมบัติที่กล่าวอ้าง ดังที่เห็นได้จากคุณสมบัติของสมการฟังก์ชันต่อเนื่อง สำหรับข้อความสุดท้ายให้${\displaystyle \sigma _{k}}$${\displaystyle \chi _{\sigma _{k}}}$${\displaystyle \sigma (a)}$${\displaystyle p_{k}:=\chi _{\sigma _{k}}(a)}$${\displaystyle \sigma _{k}}$${\displaystyle \chi _{\sigma _{j}}\chi _{\sigma _{k}}=\delta _{jk}\chi _{\sigma _{k}}}$${\textstyle \sum _{k=1}^{n}\chi _{\sigma _{k}}=\chi _{\cup _{k=1}^{n}\sigma _{k}}=\chi _{\sigma (a)}={\textbf {1}}}$${\displaystyle p_{k}}$${\displaystyle a_{k}=ap_{k}=\operatorname {Id} (a)\cdot \chi _{\sigma _{k}}(a)=(\operatorname {Id} \cdot \chi _{\sigma _{k}})(a)}$

• แคลคูลัสเชิงฟังก์ชันต่อเนื่องบน PlanetMath