ในทางคณิตศาสตร์ ไอโซเมตรี (หรือความสอดคล้องหรือการแปลงที่สอดคล้องกัน ) คือการแปลงที่รักษาระยะทางระหว่างปริภูมิเมตริกซึ่งโดยทั่วไปถือว่าเป็น ฟังก์ชันหนึ่งต่อ หนึ่งทั่วถึง^{[ a ]}คำว่าไอโซเมตรีมาจากภาษากรีกโบราณ : ἴσος isosหมายถึง "เท่ากัน" และ μέτρον metron หมายถึง "การวัด" หากการแปลงเป็นการแปลงจากปริภูมิเมตริกไปยังตัวมันเอง มันจะเป็นการ แปลงทางเรขาคณิตชนิดหนึ่งที่เรียกว่าการ เคลื่อนที่

เมื่อกำหนดปริภูมิเมตริก (โดยคร่าวๆ คือเซตและแบบแผนสำหรับการกำหนดระยะห่างระหว่างองค์ประกอบของเซต) ไอโซเมตรีคือการแปลงที่แมปองค์ประกอบไปยังปริภูมิเมตริกเดียวกันหรือปริภูมิเมตริกอื่น โดยที่ระยะห่างระหว่างองค์ประกอบภาพในปริภูมิเมตริกใหม่จะเท่ากับระยะห่างระหว่างองค์ประกอบในปริภูมิเมตริกเดิม ในปริภูมิยูคลิด สองมิติหรือสามมิติ รูปทรงเรขาคณิตสองรูปจะสมมาตรกันหากมีความสัมพันธ์กันโดยไอโซเมตรี^{[ b ]} ไอโซเมตรีที่เชื่อมโยงรูปทั้งสองนั้นเป็นการเคลื่อนที่แบบแข็งเกร็ง (การเลื่อนหรือการหมุน) หรือการประกอบกันของการเคลื่อนที่แบบแข็งเกร็งและการ สะท้อน

ไอโซเมตรีมักใช้ในการสร้างที่ซึ่งปริภูมิหนึ่งถูกฝังอยู่ในปริภูมิอื่น ตัวอย่างเช่น การทำให้ปริภูมิเมตริก สมบูรณ์ เกี่ยวข้องกับไอโซเมตรีจาก ปริภูมิหนึ่ง ไปยังเซตผลหารของปริภูมิของลำดับโคชีบน ปริภูมิ A ดังนั้นปริภูมิเดิมจึงสมมูล กันทางไอโซเมตรี กับปริภูมิย่อยของปริภูมิเมตริกสมบูรณ์และโดยปกติจะถูกระบุว่าเป็นปริภูมิย่อยนี้ การสร้างการฝังแบบอื่นแสดงให้เห็นว่าทุกปริภูมิเมตริกสมมูลกันทางไอโซเมตรีกับเซตปิดของปริภูมิเวกเตอร์แบบมีบรรทัดฐาน และทุกปริภูมิเมตริกสมบูรณ์สมมูลกันทางไอโซเมตรีกับเซตปิดของ ปริภูมิบานาคบาง ปริภูมิ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M',}$${\displaystyle M.}$${\displaystyle M}$

ตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบไอโซเมตริกทั่วถึงบนปริภูมิฮิลเบิร์ตเรียกว่า ตัวดำเนิน การ เอกภาพ

ให้ และเป็นปริภูมิเมตริกที่มีเมตริก (เช่น ระยะทาง) และแผนที่เรียกว่าแผนที่ไอโซเมตรีหรือแผนที่รักษาระยะทางถ้าสำหรับทุกๆ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\textstyle d_{X}}$${\textstyle d_{Y}.}$${\textstyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle a,b\in X}$

${\displaystyle d_{X}(a,b)=d_{Y}\!\left(f(a),f(b)\right).}$^{[ 4 ] [ c ]}

ไอโซเมตรีเป็นฟังก์ชันหนึ่ง ต่อ ^{หนึ่ง} โดย อัตโนมัติ^{มิฉะนั้น}จุดสองจุดที่แตกต่างกันaและbสามารถแมปไปยังจุดเดียวกันได้ ซึ่งขัดแย้งกับสัจพจน์ความสอดคล้องของเมตริกdกล่าวคือถ้าและเฉพาะเมื่อการพิสูจน์นี้คล้ายกับการพิสูจน์ว่าการฝังลำดับระหว่างเซตที่มีลำดับบางส่วนเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เห็นได้ชัดว่าไอโซเมตรีทุกตัวระหว่างปริภูมิเมตริกเป็นการฝังเชิงโทโพโลยี ${\displaystyle d(a,b)=0}$${\displaystyle a=b}$

ไอโซเมตรีทั่วโลกไอโซมอร์ฟิซึมแบบไอโซเมตริกหรือการแมปความสอดคล้องคือ ไอโซเมตรี แบบหนึ่งต่อหนึ่ง ทั่วถึง เช่นเดียวกับการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงอื่นๆ ไอโซเมตรีทั่วโลกมีฟังก์ชันผกผันฟังก์ชันผกผันของไอโซเมตรีทั่วโลกก็เป็นไอโซเมตรีทั่วโลกเช่นกัน

ปริภูมิเมตริกสองปริภูมิXและYเรียกว่าไอโซเมตริกกันถ้ามีไอโซเมตรีแบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงจากXไปยังYเซต ของไอโซเมตรีแบบ หนึ่ง ต่อหนึ่ง ทั่วถึงจากปริภูมิเมตริกหนึ่งไปยังตัวมันเองนั้น ก่อให้เกิดกลุ่มโดยสัมพันธ์กับการประกอบฟังก์ชันเรียกว่ากลุ่มไอโซเมตรี

นอกจากนี้ยังมีแนวคิดที่อ่อนกว่าอย่างความสมมาตรตามเส้นทางหรือความสมมาตรตามส่วนโค้ง :

ไอโซเมตรีเส้นทางหรือไอโซเมตรีส่วนโค้งคือแผนที่ที่รักษาความยาวของเส้นโค้งแผนที่ดังกล่าวไม่จำเป็นต้องเป็นไอโซเมตรีในแง่ของการรักษาระยะทาง และไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือแม้กระทั่งฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง^{[ 5 ] [ 6 ]}คำนี้มักจะย่อเป็นไอโซเมตรีดังนั้นควรระมัดระวังในการพิจารณาจากบริบทว่าหมายถึงประเภทใด

ตัวอย่าง

• การสะท้อนการเลื่อนและการหมุนใดๆ ล้วนเป็นการแปลงไอโซเมตรีแบบทั่วโลกในปริภูมิยุคลิดดูเพิ่มเติมที่กลุ่มยุคลิดและปริภูมิยุคลิด § ไอโซเมตรี
• แผนที่ที่แสดงนี้เป็นการแปลงแบบไอโซเมตรีของเส้นทางแต่ไม่ใช่การแปลงแบบไอโซเมตรีทั่วไป โปรดสังเกตว่า ต่างจากการแปลงแบบไอโซเมตรีทั่วไป การแปลงแบบไอโซเมตรีของเส้นทางนี้ไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง${\displaystyle x\mapsto |x|}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

ทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นผลงานของมาซูร์และอูลาม

นิยาม : ^{[ 7 ]} จุดกึ่งกลางขององค์ประกอบสองตัวxและyในปริภูมิเวกเตอร์คือเวกเตอร์⁠1/2( x + y ) .​

กำหนดให้ ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐาน สอง ปริภูมิ และไอโซเมตรีเชิงเส้นคือแผนที่เชิงเส้นที่รักษาบรรทัดฐานไว้: ${\displaystyle V}$${\displaystyle W,}$${\displaystyle A:V\to W}$

${\displaystyle \|Av\|_{W}=\|v\|_{V}}$

สำหรับทั้งหมด^{[ 9 ]} ไอโซเมตรีเชิงเส้นเป็นแผนที่รักษาระยะทางในความหมายข้างต้น ไอโซเมตรีเหล่านี้เป็นไอโซเมตรีทั่วโลกก็ต่อเมื่อเป็นการส่งแบบทั่วถึงเท่านั้น ${\displaystyle v\in V.}$

ใน ปริภูมิ ผลคูณภายใน นิยามข้างต้นจะลดลงเหลือเพียง

${\displaystyle \langle v,v\rangle _{V}=\langle Av,Av\rangle _{W}}$

สำหรับทุกสิ่งซึ่งเทียบเท่ากับการกล่าวว่าสิ่งนี้ยังหมายความว่าไอโซเมตรีรักษาผลคูณภายในไว้ด้วย ${\displaystyle v\in V,}$${\displaystyle A^{\dagger }A=\operatorname {Id} _{V}.}$

${\displaystyle \langle Au,Av\rangle _{W}=\langle u,A^{\dagger }Av\rangle _{V}=\langle u,v\rangle _{V}}$.

ไอโซเมตรีเชิงเส้นไม่ได้เป็นตัวดำเนินการเอกภาพ เสมอไป เพราะตัวดำเนินการเอกภาพนั้นต้องการเงื่อนไขเพิ่มเติมว่าและ(กล่าวคือโดเมนและโคโดเมนตรงกันและกำหนดโคไอโซเมตรี ) ${\displaystyle V=W}$${\displaystyle AA^{\dagger }=\operatorname {Id} _{V}}$${\displaystyle A}$

ตามทฤษฎีบทของมาซูร์-อูลามไอโซเมตรีใดๆ ของปริภูมิเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐานเหนือจะเป็นแอฟฟิน ${\displaystyle \mathbb {R} }$

การแปลงไอโซเมตรีเชิงเส้นจะรักษาค่ามุมไว้ด้วย ดังนั้นการแปลงไอโซเมตรีเชิงเส้นจึงเป็นการแปลงเชิงเส้นแบบคอนฟอร์มอล

ตัวอย่าง

• แผนที่เชิงเส้นจากไปยังตัวมันเองเป็นไอโซเมตรี (สำหรับผลคูณดอท ) ก็ต่อเมื่อเมทริกซ์ของมันเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

ไอโซเมตรีของแมนิโฟลด์คือการแมป (อย่างราบเรียบ) ใดๆ ของแมนิโฟลด์นั้นไปยังตัวมันเอง หรือไปยังแมนิโฟลด์อื่น ที่รักษาแนวคิดเรื่องระยะห่างระหว่างจุดไว้ นิยามของไอโซเมตรีต้องอาศัยแนวคิดเรื่องเมตริกบนแมนิโฟลด์ แมนิโฟลด์ที่มีเมตริก (บวกแน่นอน) เรียกว่าแมนิโฟ ลด์แบบรีมันน์ ส่วนแมนิโฟลด์ ที่มีเมตริกไม่แน่นอน เรียกว่าแมนิโฟลด์แบบซูโดรีมันน์ดังนั้น ไอโซเมตรีจึงถูกศึกษาในเรขาคณิตแบบรีมันน์

ไอโซเมตรีเฉพาะที่จากแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ ( เสมือน ) หนึ่งไปยังอีก แมนิโฟลด์หนึ่ง คือแผนที่ที่ดึงเทนเซอร์เมตริกบนแมนิโฟลด์ที่สองกลับไปยังเทนเซอร์เมตริกบนแมนิโฟลด์แรก เมื่อแผนที่ดังกล่าวเป็นดิฟเฟโอเมอร์ฟิซึมด้วย แผนที่นั้นจะเรียกว่าไอโซเมตรี (หรือไอโซเมอร์ฟิซึมแบบไอโซเมตริก ) และให้แนวคิดเรื่องไอโซมอร์ฟิซึม ("ความเหมือนกัน") ในหมวดหมู่Rmของแมนิโฟลด์แบบรีมันน์

ให้และเป็นแมนิโฟลด์แบบ (เสมือน) รีมันน์สองตัว และให้เป็นดิฟเฟโอเมอร์ฟิซึมแล้วเรียกว่าไอโซเมตรี (หรือไอโซเมอร์ฟิซึมแบบไอโซเมตริก ) ถ้า ${\displaystyle R=(M,g)}$${\displaystyle R'=(M',g')}$${\displaystyle f:R\to R'}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle g=f^{*}g',}$

โดยที่หมายถึงการดึงกลับของเทนเซอร์เมตริกอันดับ (0, 2) โดยหรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง ในแง่ของการผลักดันไปข้างหน้าเรามีว่าสำหรับฟิลด์เวกเตอร์สองฟิลด์ใดๆบน(เช่น ส่วนต่างๆ ของบันเดิลสัมผัส ) ${\displaystyle f^{*}g'}$${\displaystyle g'}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{*},}$${\displaystyle v,w}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathrm {T} M}$

${\displaystyle g(v,w)=g'\left(f_{*}v,f_{*}w\right).}$

ถ้าเป็นการแปลงเชิงอนุพันธ์เฉพาะที่ โดยที่แล้วเรียกว่า ไอโซเม ตรี เฉพาะที่${\displaystyle f}$${\displaystyle g=f^{*}g',}$${\displaystyle f}$

โดยทั่วไปแล้ว ชุดของไอโซเมตรีจะรวมกันเป็นกลุ่ม เรียกว่ากลุ่มไอโซเมตรีเมื่อกลุ่มนั้นเป็นกลุ่มต่อเนื่องตัวสร้างอนันต์เล็กของกลุ่มนั้นก็คือเวกเตอร์ฟิลด์คิลลิง

ทฤษฎีบท ไมเยอร์ส-สตีนรอดกล่าวว่า ไอโซเมตรีทุกรูปแบบระหว่างแมนิโฟลด์รีมันน์สองอันที่เชื่อมต่อกันนั้นเรียบ (สามารถหาอนุพันธ์ได้) ทฤษฎีบทในรูปแบบที่สองกล่าวว่า กลุ่มไอโซเมตรีของแมนิโฟลด์รีมันน์เป็นกลุ่ม ลี

ปริภูมิสมมาตรเป็นตัวอย่างสำคัญของแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ซึ่งมีการกำหนดไอโซเมตรีที่ทุกจุด

• กำหนดให้จำนวนจริงบวก ε ε-ไอโซเมตรีหรือเกือบไอโซเมตรี (เรียกอีกอย่างว่าการประมาณค่าแบบเฮาส์ด อร์ฟ ) คือแผนที่ระหว่างปริภูมิเมตริก โดยที่ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$
  1. เพราะคนหนึ่งมีและ${\displaystyle x,x'\in X}$${\displaystyle |d_{Y}(f(x),f(x'))-d_{X}(x,x')|<\varepsilon ,}$
  2. สำหรับจุดใดๆ ก็จะมีจุดที่มีอยู่เสมอ${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle d_{Y}(y,f(x))<\varepsilon }$

กล่าวคือไอโซเมตรี εจะรักษาระยะห่างไว้ภายในε และไม่มีองค์ประกอบใดในโคโดเมนที่ อยู่ห่างจากภาพขององค์ประกอบในโดเมนเกินε โปรดทราบว่า ไอโซเมตรี εไม่ได้ถูกสมมติว่าเป็นแบบต่อเนื่อง

• คุณสมบัติความสมมาตรแบบจำกัดเป็นลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ที่เกือบจะสมมาตรสำหรับเวกเตอร์แบบเบาบาง
• ความสมมาตร แบบกึ่ง (Quasi-isometry)เป็นอีกหนึ่งแนวคิดทั่วไปที่มีประโยชน์
• นอกจากนี้ ยังสามารถกำหนดองค์ประกอบในพีชคณิต C*-เอกลักษณ์นามธรรมให้เป็นไอโซเมตรีได้อีกด้วย:

  ${\displaystyle a\in {\mathfrak {A}}}$สมมาตรนั้นก็ต่อเมื่อ${\displaystyle a^{*}\cdot a=1.}$

โปรดทราบว่า ดังที่ได้กล่าวไว้ในบทนำแล้ว นี่ไม่ใช่ส่วนประกอบเอกภาพเสมอไป เพราะโดยทั่วไปแล้ว ตัวผกผันซ้ายไม่จำเป็นต้องเป็นตัวผกผันขวาเสมอไป

• ในปริภูมิเสมือนยุคลิดคำว่าไอโซเมตรีหมายถึง การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงเชิงเส้นที่รักษาขนาดไว้ ดูเพิ่มเติมที่ปริภูมิกำลังสอง