ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบอินทิกรัลคือ ตัวดำเนินการเชิงเส้นTที่กำหนดโดยการอินทิเกรต กล่าวคือ

${\displaystyle (Tf)(x)=\int f(y)K(x,y)\,dy}$

โดยที่เรียกว่าเคอร์เนลการบูรณาการ ${\displaystyle K(x,y)}$

โดยทั่วไปแล้วรูปแบบทวิเชิงเส้นเชิงปริพันธ์คือฟังก์ชันทวิเชิงเส้นที่อยู่ในปริภูมิคู่ต่อเนื่องของ ซึ่ง เป็นผล คูณเทนเซอร์แบบฉีดของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอ พอโลยีแบบนูนเฉพาะที่ (TVSs) XและYตัวดำเนินการเชิงเส้นเชิงปริพันธ์คือ ตัวดำเนินการเชิงเส้นต่อเนื่องที่เกิดขึ้นในลักษณะมาตรฐานจากรูปแบบทวิเชิงเส้นเชิงปริพันธ์ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$

แผนที่เหล่านี้มีบทบาทสำคัญในทฤษฎีเกี่ยวกับปริภูมินิวเคลียร์และแผนที่นิวเคลียร์

ให้XและYเป็นเวกเตอร์สถานะคู่แบบนูนเฉพาะที่ (locally convex TVS) ให้แทน ผล คูณเทนเซอร์เชิงโปรเจกทีฟให้แทนส่วนเติมเต็มของผลคูณเทนเซอร์เชิงโปรเจก ทีฟ ให้ แทนผลคูณเทนเซอร์เชิงอินเจกทีฟ และ ให้ แทนส่วนเติมเต็มของผลคูณเทนเซอร์เชิงอินเจกทีฟ สมมติว่าแทนการฝังแบบ TVS ของลงในส่วนเติมเต็มของผลคูณเทนเซอร์เชิงอินเจกทีฟ และให้ เป็น ทรานสโพสของซึ่งเป็นการแปลงเวกเตอร์สถานะคู่ สิ่งนี้ระบุว่าปริภูมิคู่ต่อเนื่องของเหมือนกับปริภูมิคู่ต่อเนื่องของ ทุกประการ ${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}$${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}$${\displaystyle X\otimes _{\epsilon }Y}$${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$${\displaystyle \operatorname {In} :X\otimes _{\epsilon }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$${\displaystyle X\otimes _{\epsilon }Y}$${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :\left(X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y\right)_{b}^{\prime }\to \left(X\otimes _{\epsilon }Y\right)_{b}^{\prime }}$${\displaystyle X\otimes _{\epsilon }Y}$${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$

ให้แทนแผนที่เอกลักษณ์ และแทนทรานสโพส ของมัน ซึ่งเป็นการฉีดแบบต่อเนื่อง จำได้ว่าสามารถระบุได้อย่างชัดเจนกับ ซึ่งเป็น ปริภูมิของแผนที่ทวิเชิงเส้นแบบต่อเนื่องบนด้วยวิธีนี้ ปริภูมิคู่แบบต่อเนื่องของสามารถระบุได้อย่างชัดเจนว่าเป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ของ ซึ่งแทนด้วยองค์ประกอบของเรียกว่ารูปแบบปริพันธ์ (ทวิเชิงเส้น)บนทฤษฎีบทต่อไปนี้พิสูจน์ความหมายของคำว่า ปริพันธ์${\displaystyle \operatorname {Id} :X\otimes _{\pi }Y\to X\otimes _{\epsilon }Y}$${\displaystyle {}^{t}\operatorname {Id} :\left(X\otimes _{\epsilon }Y\right)_{b}^{\prime }\to \left(X\otimes _{\pi }Y\right)_{b}^{\prime }}$${\displaystyle \left(X\otimes _{\pi }Y\right)^{\prime }}$${\displaystyle B(X,Y)}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle X\otimes _{\epsilon }Y}$${\displaystyle B(X,Y)}$${\displaystyle J(X,Y)}$${\displaystyle J(X,Y)}$${\displaystyle X\times Y}$

นอกจากนี้ยังมีสูตรที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด^{[ 3 ]}ของทฤษฎีบทข้างต้นที่สามารถใช้เพื่ออธิบายคำศัพท์ รูปแบบทวิเชิงเส้น แบบอินทิกรัลได้ เช่นกัน : รูปแบบทวิเชิงเส้นต่อเนื่องบนผลคูณของปริภูมิเว้าเฉพาะที่ถือเป็นอินทิกรัลก็ต่อเมื่อมีปริภูมิโทโพโลยีขนาดกะทัดรัดที่มีมาตรวัดเรดอนบวก (ซึ่งจำเป็นต้องมีขอบเขต) และแผนที่เชิงเส้นต่อเนื่องจากและไปยังปริภูมิบานาคเช่นนั้น ${\displaystyle u}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle L^{\infty }(\โอเมก้า ,\mu )}$

${\displaystyle u(x,y)=\langle \alpha (x),\beta (y)\rangle =\int _{\Omega }\alpha (x)\beta (y)\;d\mu }$,

กล่าวคือ รูปแบบดังกล่าวสามารถเกิดขึ้นได้จากการอินทิเกรตฟังก์ชัน (ซึ่งมีขอบเขตจำกัด) บนปริภูมิกระชับ ${\displaystyle u}$

แผนที่เชิงเส้นต่อเนื่องเรียกว่าอินทิกรัลหากรูปแบบทวิเชิงเส้นที่เกี่ยวข้องเป็นรูปแบบทวิเชิงเส้นอินทิกรัล โดยที่รูปแบบนี้กำหนดโดย[ ^{4 ​​] ดังนั้น}จึงสรุปได้ว่าแผนที่อินทิกรัลมีรูปแบบดังนี้: ^{[ 4 ]}${\displaystyle \kappa :X\to Y'}$${\displaystyle (x,y)\in X\times Y\mapsto (\kappa x)(y)}$${\displaystyle \kappa :X\to Y'}$

${\displaystyle x\in X\mapsto \kappa (x)=\int _{S\times T}\left\langle x',x\right\rangle y'\mathrm {d} \mu \!\left(x',y'\right)}$

สำหรับเซตย่อย SและTที่ปิดอย่างอ่อนและต่อเนื่องสม่ำเสมอที่เหมาะสมของและตามลำดับ และมาตรวัดเรดอนบวกบางค่าที่มีมวลรวม ≤ 1 อินทิกรัลข้างต้นเป็นอินทิกรัลแบบอ่อนดังนั้นความเท่าเทียมกันจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ สำหรับทุก, . ${\displaystyle X'}$${\displaystyle Y'}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle y\in Y}$${\textstyle \left\langle \kappa (x),y\right\rangle =\int _{S\times T}\left\langle x',x\right\rangle \left\langle y',y\right\rangle \mathrm {d} \mu \!\left(x',y'\right)}$

เมื่อกำหนดแผนที่เชิงเส้นเราสามารถกำหนดรูปแบบทวิเชิงเส้นแบบแคนอนิกซึ่งเรียกว่ารูปแบบทวิเชิงเส้นที่เกี่ยวข้องบนโดยแผนที่ต่อเนื่องเรียกว่า แผนที่ อินทิกรัลถ้ารูปแบบทวิเชิงเส้นที่เกี่ยวข้องเป็นรูปแบบทวิเชิงเส้นอินทิกรัล^{[ 5 ]}แผนที่อินทิกรัลมีรูปแบบ สำหรับทุกและ: ${\displaystyle \Lambda :X\to Y}$${\displaystyle B_{\Lambda }\in Bi\left(X,Y'\right)}$${\displaystyle X\times Y'}$${\displaystyle B_{\Lambda }\left(x,y'\right):=\left(y'\circ \Lambda \right)\left(x\right)}$${\displaystyle \Lambda :X\to Y}$${\displaystyle \Lambda :X\to Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle y'\in Y'}$

${\displaystyle \left\langle y',\Lambda (x)\right\rangle =\int _{A'\times B''}\left\langle x',x\right\rangle \left\langle y'',y'\right\rangle \mathrm {d} \mu \!\left(x',y''\right)}$

สำหรับเซตย่อยที่ปิดอย่างอ่อนและต่อเนื่องสม่ำเสมอที่เหมาะสมและของและตามลำดับ และค่าการวัดมวลรวมของ Radon ที่ เป็นบวกบางค่า${\displaystyle A'}$${\displaystyle B''}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle Y''}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \leq 1}$

ผลลัพธ์ต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่าแผนที่อินทิกรัล "แยกตัวประกอบผ่าน" ปริภูมิฮิลเบิร์ต

ข้อเสนอ: ^{[ 6 ]} สมมติว่าเป็นการแมปอินทิกรัลระหว่าง TVS นูนเฉพาะที่ที่มีY Hausdorff และสมบูรณ์ มีปริภูมิฮิลเบิร์ตHและการแมปเชิงเส้นต่อเนื่องสองรายการและเช่นนั้น ${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle \alpha :X\to H}$${\displaystyle \beta :H\to Y}$${\displaystyle u=\beta \circ \alpha }$

นอกจากนี้ ตัวดำเนินการอินทิกรัลทุกตัวระหว่างปริภูมิฮิลเบิร์ตสองปริภูมิจะเป็นนิวเคลียร์^{[ 6 ]}ดังนั้น ตัวดำเนินการเชิงเส้นต่อเนื่องระหว่างปริภูมิฮิลเบิร์ต สองปริภูมิ จะเป็นนิวเคลียร์ก็ต่อเมื่อเป็นตัวดำเนินการอินทิกรัล

แผนที่นิวเคลียร์ทุกอันเป็นแบบอินทิกรัล^{[ 5 ]} บทกลับบางส่วนที่สำคัญคือ ตัวดำเนินการอินทิกรัลทุกตัวระหว่างปริภูมิฮิลเบิร์ต สอง อันเป็นแบบนิวเคลียร์^{[ 6 ]}

สมมติว่าA , B , CและDเป็น TVS ที่มีความนูนเฉพาะที่แบบ Hausdorff และ, , และเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นต่อเนื่องทั้งหมด ถ้า เป็นตัวดำเนินการเชิงปริพันธ์แล้วการประกอบ ก็จะเป็นตัวดำเนินการ เชิงปริพันธ์เช่นกัน^{[ 6 ]}${\displaystyle \alpha :A\to B}$${\displaystyle \beta :B\to C}$${\displaystyle \gamma :C\to D}$${\displaystyle \beta :B\to C}$${\displaystyle \gamma \circ \beta \circ \alpha :A\to D}$

ถ้าเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นต่อเนื่องระหว่างปริภูมิบรรทัดฐานสองปริภูมิ จะ เป็นปริพันธ์ก็ต่อเมื่อเป็นปริพันธ์^{[ 7 ]}${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle {}^{t}u:Y'\to X'}$

สมมติว่าเป็นการแมปเชิงเส้นต่อเนื่องระหว่าง TVS ที่เป็นนูนเฉพาะที่ ถ้าเป็นจำนวนเต็มแล้วทรานสโพส ของมันก็เป็นจำนวนเต็มเช่น กัน^{[ 5 ]} ตอนนี้สมมติว่าทรานสโพส ของการแมปเชิงเส้นต่อเนื่องเป็นจำนวนเต็ม แล้วจะเป็นจำนวนเต็มถ้าการฉีดแบบแคนอนิก(กำหนดโดยค่าที่x ) และเป็นการฝัง TVS (ซึ่งเกิดขึ้นถ้าตัวอย่างเช่นและเป็นแบบบาร์เรลหรือเมตริกซ์ได้) ^{[ 5 ]}${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle {}^{t}u:Y_{b}^{\prime }\to X_{b}^{\prime }}$${\displaystyle {}^{t}u:Y_{b}^{\prime }\to X_{b}^{\prime }}$${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle \operatorname {In} _{X}:X\to X''}$${\displaystyle x\mapsto }$${\displaystyle \operatorname {In} _{Y}:Y\to Y''}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y_{b}^{\prime }}$

สมมติว่าA , B , CและD เป็น TVS ที่มีความนูนเฉพาะ ^ที่แบบ Hausdorff โดยที่BและD สมบูรณ์ถ้า, , และเป็นแผนที่เชิงเส้นแบบอินทิกรัลทั้งหมด การประกอบกันของพวกมันจะเป็นนิวเคลียร์ [ ^{6 ]} ดังนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าX เป็น ปริภูมิ Fréchetมิติอนันต์ การฉายภาพเชิงเส้นแบบต่อเนื่องไม่สามารถเป็นตัวดำเนินการอินทิกรัลได้ ${\displaystyle \alpha :A\to B}$${\displaystyle \beta :B\to C}$${\displaystyle \gamma :C\to D}$${\displaystyle \gamma \circ \beta \circ \alpha :A\to D}$${\displaystyle u:X\to X}$

• พื้นที่มาตรฐานเสริม
• โครงสร้างขั้นสุดท้าย
• ผลคูณเทนเซอร์แบบฉีด
• ผู้ประกอบการนิวเคลียร์
• พื้นที่นิวเคลียร์
• ผลคูณเทนเซอร์เชิงโปรเจคทีฟ
• ผลคูณเทนเซอร์เชิงทอพอโลยี

• ดีสเทล, โจ (2008). ทฤษฎีเมตริกของผลคูณเทนเซอร์: การทบทวนบทสรุปของโกรเทนดีค เล่มที่ 16 พรอวิเดน ซ์รัฐโรดไอแลนด์: สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน ISBN 9781470424831. OCLC  185095773 .
• ดูบินสกี้, เอ็ด (1979) โครงสร้างของอวกาศนิวเคลียร์เฟรเชต์หมายเหตุการบรรยายทางคณิตศาสตร์ ฉบับที่ 720. เบอร์ลิน นิวยอร์ก: สปริงเกอร์-แวร์แลก . ไอเอสบีเอ็น 978-3-540-09504-0. OCLC  5126156 .
• Grothendieck, Alexander (1955). "Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires" [ผลคูณเท นเซอร์เชิงทอพอโลยีและปริภูมิเชิงนิวเคลียร์]. ชุดบันทึกความทรงจำของสมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน (ภาษาฝรั่งเศส). 16.พรอวิเดนซ์: สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน. MR  0075539. OCLC  9308061 .
• Husain, Taqdir; Khaleelulla, SM (1978). Barrelledness in Topological and Ordered Vector Spaces . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 692. Berlin, New York, Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC  4493665 .
• Khaleelulla, SM (1982). ตัวอย่างค้านในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี . บันทึกการบรรยายทางคณิตศาสตร์ . เล่มที่ 936. เบอร์ลิน, ไฮเดลเบิร์ก, นิวยอร์ก: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370 .
• นาริซี, ลอว์เรนซ์; เบคเกนสไตน์, เอ็ดเวิร์ด (2011). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). โบคา ราตัน, ฟลอริดา: สำนักพิมพ์ CRC. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Hogbe-Nlend, Henri (1977). Bornologies and Functional Analysis: Introductory Course on the Theory of Duality Topology-Bornology and its use in Functional Analysis . North-Holland Mathematics Studies. Vol. 26. Amsterdam New York New York: North Holland. ISBN 978-0-08-087137-0. MR  0500064 . OCLC  316549583 .
• Hogbe-Nlend, Henri ; Moscatelli, VB (1981). ปริภูมิเชิงนิวเคลียร์และปริภูมิร่วมนิวเคลียร์: หลักสูตรเบื้องต้นเกี่ยวกับปริภูมิเชิงนิวเคลียร์และปริภูมิร่วมนิวเคลียร์ในมุมมองของทฤษฎีทวิภาวะ "โทโพโลยี-บอร์โนโลยี" North-Holland Mathematics Studies. เล่มที่ 52. อัมสเตอร์ดัม นิวยอร์ก นิวยอร์ก: North Holland. ISBN 978-0-08-087163-9. OCLC  316564345 .
• พีตช์, อัลเบรชท์ (1979) พื้นที่นูนในพื้นที่นิวเคลียร์ Ergebnisse der Mathematik และ Grenzgebiete ฉบับที่ 66 (ฉบับที่สอง). เบอร์ลิน, นิวยอร์ก: Springer-Verlag . ไอเอสบีเอ็น 978-0-387-05644-9. OCLC  539541 .
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี . Cambridge Tracts in Mathematics . เล่มที่ 53. เคมบริดจ์ ประเทศอังกฤษ: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250 .
• รูดิน, วอลเตอร์ (1991). การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน . ชุดนานาชาติในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ เล่มที่ 8 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: แมคกรอว์-ฮิลล์ วิทยาศาสตร์/วิศวกรรม/คณิตศาสตร์ . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Ryan, Raymond A. (2002). บทนำสู่ผลคูณเทนเซอร์ของปริภูมิบานาค . Springer Monographs in Mathematics . ลอนดอน นิวยอร์ก: Springer . ISBN 978-1-85233-437-6. OCLC  48092184 .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอ โล ยีGTMเล่ม 8 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์ Springer New York. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• เทรฟส์, ฟรองซัวส์ (2549) [2510] ปริภูมิเวกเตอร์ทอพอโลยี การแจกแจง และเคอร์เนล Mineola, NY: สิ่งพิมพ์โดเวอร์ไอเอสบีเอ็น 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• หว่อง, เยา-ชวน (1979). ปริภูมิชวาร์ตซ์ ปริภูมินิวเคลียร์ และผลคูณเทนเซอร์บันทึกการบรรยายทางคณิตศาสตร์เล่มที่ 726 เบอร์ลิน นิวยอร์ก: สปริงเกอร์-เวอร์แลกISBN 978-3-540-09513-2. OCLC  5126158 .

• พื้นที่นิวเคลียร์ที่ ncatlab