ผลคูณเทนเซอร์เชิงโปรเจคทีฟ

ใน คณิตศาสตร์ วิเคราะห์เชิงฟังก์ชันซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ ผล คูณเทนเซอร์เชิงโปร เจกทีฟ ของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบนูนเฉพาะที่ สองปริภูมิ เป็นโครงสร้างปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีตามธรรมชาติบนผลคูณเทนเซอร์ ของปริภูมิเหล่านั้น กล่าวคือ เมื่อ กำหนดปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบนูนเฉพาะที่ และ ทอ พอโลยีเชิงโปรเจกทีฟหรือπ- ทอพอโลยีบนคือ ทอพอโลยี ที่แข็งแกร่งที่สุดที่ทำให้ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบนูนเฉพาะที่ มีลักษณะที่แผนที่แคนอนิก(จาก ไปยัง) มีความต่อเนื่อง เมื่อมีทอพอโลยีนี้จะถูกแทนด้วยและเรียกว่าผลคูณเทนเซอร์เชิงโปรเจกทีฟของและมันเป็นตัวอย่างเฉพาะของผลคูณเทนเซอร์เชิงทอพอโลยี $X$ $Y$ $X\otimes Y$ $X\otimes Y$ $(x,y)\mapsto x\otimes y$ $X\times Y$ $X\otimes Y$ $X\otimes Y$ $X\otimes _{\pi }Y$ $X$ $Y$

คำจำกัดความ

ให้และเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบนูนเฉพาะที่ ผลคูณเทนเซอร์เชิงโปรเจกทีฟของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบนูนเฉพาะที่ที่ไม่ซ้ำกัน โดยมีปริภูมิเวกเตอร์พื้นฐานที่ มี คุณสมบัติสากลดังต่อไปนี้: ^[¹^] $X$ $Y$ $X\otimes _{\pi }Y$ $X\otimes Y$

สำหรับปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบนูนเฉพาะที่ใดๆถ้าเป็นแผนที่มาตรฐานจากปริภูมิเวกเตอร์ของแผนที่ทวิเชิงเส้นไปยังปริภูมิเวกเตอร์ของแผนที่เชิงเส้นแล้วภาพของการจำกัดของไปยัง แผนที่ทวิเชิงเส้น ต่อเนื่องคือปริภูมิของแผนที่เชิงเส้นต่อเนื่อง

Z

\Phi _{Z}

X\times Y\to Z

X\otimes Y\to Z

\Phi _{Z}

X\otimes _{\pi }Y\ถึง Z

เมื่อโทโพโลยีของและถูกสร้างขึ้นโดยเซมินอร์มโทโพโลยีของถูกสร้างขึ้นโดยเซมินอร์มที่สร้าง ขึ้นจากเซมินอร์มบน และดังต่อไปนี้ ถ้าเป็นเซมินอร์มบนและเป็นเซมินอร์มบนให้กำหนดผลคูณเทนเซอร์ ของพวกมัน เป็นเซมินอร์มบนที่กำหนดโดย สำหรับทุกใน โดยที่คือส่วน นูน สมดุลของเซต โทโพโลยีเชิงโปรเจกทีฟบน ถูกสร้างขึ้นโดยการรวบรวมผลคูณเทนเซอร์ดังกล่าวของเซมินอร์มบนและ[ ²^]^[¹^]^{เมื่อ} และเป็นปริภูมิบรรทัดฐานนิยามนี้ที่ใช้กับบรรทัดฐานบนและจะให้บรรทัดฐานที่เรียกว่าบรรทัดฐานเชิงโปรเจกทีฟบนซึ่งสร้างโทโพโลยีเชิงโปรเจกทีฟ^[³^] $X$ $Y$ $X\otimes _{\pi }Y$ $X$ $Y$ $p$ $X$ $q$ $Y$ $p\otimes q$ $X\otimes Y$ $(p\otimes q)(b)=\inf _{r>0,\,b\in rW}r$ $b$ $X\otimes Y$ $W$ $\left\{x\otimes y:p(x)\leq 1,q(y)\leq 1\right\}$ $X\otimes Y$ $X$ $Y$ $X$ $Y$ $X$ $Y$ $X\otimes Y$

คุณสมบัติ

ตลอดทั้งเอกสารนี้ ถือว่าทุกพื้นที่เป็นพื้นที่นูนเฉพาะที่ สัญลักษณ์หมายถึงการเติมเต็มผลคูณเทนเซอร์เชิงโปรเจกทีฟของ และ $X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y$ $X$ $Y$

ถ้าและเป็นHausdorff ทั้งคู่ แล้ว ก็เป็น Hausdorff เช่นกัน[ 3 ^]^ถ้า^และเป็นปริภูมิFréchet แล้วก็เป็นbarelled ^[⁴^] $X$ $Y$ $X\otimes _{\pi }Y$ $X$ $Y$ $X\otimes _{\pi }Y$
สำหรับตัวดำเนินการเชิงเส้นต่อเนื่องสองตัวใดๆและผลคูณเทนเซอร์ของพวกมัน (ในฐานะแผนที่เชิงเส้น) จะต่อเนื่อง^[⁵^] $u_{1}:X_{1}\to Y_{1}$ $u_{2}:X_{2}\to Y_{2}$ $u_{1}\otimes u_{2}:X_{1}\otimes _{\pi }X_{2}\to Y_{1}\otimes _{\pi }Y_{2}$
โดยทั่วไป ผลคูณเทนเซอร์เชิงโปรเจกทีฟจะไม่เคารพซับสเปซ (เช่น ถ้าเป็นซับสเปซเวกเตอร์ของTVS โดยทั่วไปจะมี โทโพโลยี ที่หยาบกว่าโทโพโลยีซับสเปซที่สืบทอดมาจาก) ^[⁶^] $Z$ $X$ $Z\otimes _{\pi }Y$ $X\otimes _{\pi }Y$
ถ้าและเป็นปริภูมิย่อยที่เติมเต็มของและตามลำดับ แล้วจะเป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ที่เติมเต็มของและบรรทัดฐานเชิงโปรเจกทีฟบนจะเทียบเท่ากับบรรทัดฐานเชิงโปรเจกทีฟบนที่จำกัดอยู่ในปริภูมิย่อยยิ่งไปกว่านั้น ถ้าและเติมเต็มด้วยการฉายภาพที่มีบรรทัดฐาน 1 แล้วจะถูกเติมเต็มด้วยการฉายภาพที่มีบรรทัดฐาน 1 ^[⁶^] $E$ $F$ $X$ $Y,$ $E\otimes F$ $X\otimes _{\pi }Y$ $E\otimes _{\pi }F$ $X\otimes _{\pi }Y$ $E\otimes F$ $X$ $F$ $E\otimes F$
ให้และเป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ของปริภูมิบานาคและตามลำดับ แล้วจะเป็นปริภูมิย่อย TVS ของก็ต่อเมื่อรูปแบบทวิเชิงเส้นที่มีขอบเขตทุกรูปแบบบนขยายไปเป็นรูปแบบทวิเชิงเส้นต่อเนื่องบน ที่มีบรรทัดฐานเดียวกัน^[⁷^] $E$ $F$ $X$ $Y$ $E{\widehat {\otimes }}F$ $X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y$ $E\times F$ $X\times Y$

เสร็จสมบูรณ์

โดยทั่วไป พื้นที่จะไม่สมบูรณ์ แม้ว่าทั้งและจะสมบูรณ์ (อันที่จริง ถ้าและเป็นปริภูมิ Banach มิติอนันต์ทั้งคู่แล้วจะไม่สมบูรณ์ อย่างแน่นอน ^[⁸^] ) อย่างไรก็ตามสามารถฝังเชิงเส้นได้เสมอใน ฐานะปริภูมิย่อยเวกเตอร์ หนาแน่นของ TVS นูนเฉพาะที่สมบูรณ์ ซึ่งโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์แทน $X\otimes _{\pi }Y$ $X$ $Y$ $X$ $Y$ $X\otimes _{\pi }Y$ $X\otimes _{\pi }Y$ $X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y$

พื้นที่คู่ต่อเนื่องของเหมือนกับของ กล่าวคือ พื้นที่ของรูปแบบทวิเชิงเส้นต่อเนื่อง^[⁹^] $X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y$ $X\otimes _{\pi }Y$ $B(X,Y)$

การนำเสนอองค์ประกอบต่างๆ ในงานเสร็จสมบูรณ์ของ Grothendieck

ในปริภูมิ Hausdorff ที่มีความนูน เฉพาะที่ ลำดับ ในจะ ลู่ เข้าสัมบูรณ์ก็ต่อเมื่อสำหรับเซมินอร์มต่อเนื่องทุกตัวบน^[¹⁰^]เราเขียนว่าถ้าลำดับของผลรวมย่อยลู่เข้าสู่ใน^[¹⁰^] $X,$ $\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ $X$ $\sum _{i=1}^{\infty }p\left(x_{i}\right)<\infty$ $p$ $X.$ $x=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}$ $\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)_{n=1}^{\infty }$ $x$ $X.$

ผลลัพธ์พื้นฐานต่อไปนี้ในทฤษฎีผลคูณเทนเซอร์เชิงทอพอโลยีเป็นผลงานของAlexander Grothendieck ^{[ 11 ]}

ทฤษฎีบท—ให้และเป็นเซตเวกเตอร์นูนเฉพาะที่ที่สามารถกำหนดเมตริกได้ และให้แล้วคือผลรวมของอนุกรม ลู่เข้าสัมบูรณ์ โดยที่และและเป็นลำดับศูนย์ในและตามลำดับ $X$ $Y$ $z\in X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y.$ $z$ $z=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}x_{i}\otimes y_{i}$ $\sum _{i=1}^{\infty }|\lambda _{i}|<\infty ,$ $\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ $\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ $X$ $Y,$

ทฤษฎีบทต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่า เป็นไปได้ที่จะทำให้การแสดงแทนของเป็นอิสระจากลำดับและ $z$ $\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ $\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }.$

ทฤษฎีบท^{[ 12 ]} —ให้และเป็นปริภูมิ Fréchetและให้(ตามลำดับ) เป็นย่านเปิดสมดุลของจุดกำเนิดใน(ตามลำดับใน) ให้เป็นเซตย่อยกระชับของส่วนนูนสมดุลของมีเซตย่อยกระชับของลูกบอลหน่วยในและลำดับและบรรจุอยู่ในและตามลำดับ ซึ่งลู่เข้าสู่จุดกำเนิด โดยที่สำหรับทุกจะมีบางค่า ที่ $X$ $Y$ $U$ $V$ $X$ $Y$ $K_{0}$ $U\otimes V:=\{u\otimes v:u\in U,v\in V\}.$ $K_{1}$ $\ell ^{1}$ $\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ $\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ $U$ $V,$ $z\in K_{0}$ $\left(\lambda _{i}\right)_{i=1}^{\infty }\in K_{1}$ $z=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}x_{i}\otimes y_{i}.$

โทโพโลยีของการบรรจบกันแบบสองขอบเขต

ให้และแทนตระกูลของเซตย่อยที่มีขอบเขตทั้งหมดของและตามลำดับ เนื่องจากปริภูมิคู่ต่อเนื่องของคือปริภูมิของรูปแบบทวิเชิงเส้นต่อเนื่องเราจึงสามารถวาง บนโทโพโลยีของการลู่เข้าแบบเอกรูปบนเซต ในซึ่ง เรียกอีกอย่างว่าโทโพโลยีของการลู่เข้าแบบมีขอบเขตสองด้านโทโพโลยีนี้หยาบกว่าโทโพโลยีแบบเข้มแข็งบนและใน ( Grothendieck 1955 ) อเล็กซานเดอร์ โกรเทนดีค สนใจในกรณีที่โทโพโลยีทั้งสองนี้เหมือนกัน ซึ่งเทียบเท่ากับปัญหา: กำหนดเซตย่อยที่มีขอบเขต มีเซตย่อยที่มีขอบเขต และอยู่หรือไม่ โดยที่เป็นเซตย่อยของส่วนนูนปิดของ? ${\mathfrak {B}}_{X}$ ${\mathfrak {B}}_{Y}$ $X$ $Y,$ $X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y$ $B(X,Y),$ $B(X,Y)$ ${\mathfrak {B}}_{X}\times {\mathfrak {B}}_{Y},$ $B(X,Y)$ $B\subseteq X{\widehat {\otimes }}Y,$ $B_{1}\subseteq X$ $B_{2}\subseteq Y$ $B$ $B_{1}\otimes B_{2}:=\{b_{1}\otimes b_{2}:b_{1}\in B_{1},b_{2}\in B_{2}\}$

Grothendieck พิสูจน์ว่าโทโพโลยีเหล่านี้เท่ากันเมื่อและเป็นปริภูมิ Banach ทั้งคู่ หรือเป็นปริภูมิ DF ทั้งคู่ (ซึ่งเป็นชั้นของปริภูมิที่ Grothendieck แนะนำ^[¹³^] ) นอกจากนี้ยังเท่ากันเมื่อปริภูมิทั้งสองเป็นปริภูมิ Fréchet โดยที่ปริภูมิหนึ่งเป็นปริภูมินิวเคลียร์^[⁹^] $X$ $Y$

แข็งแกร่งทั้งแบบคู่และแบบสองฝ่าย

ให้เป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบนูนเฉพาะที่ และให้เป็นปริภูมิคู่ต่อเนื่องของมัน อเล็กซานเดอร์ โกรเทนดิค ได้กำหนดลักษณะของปริภูมิคู่และปริภูมิคู่แบบเข้มแข็งสำหรับสถานการณ์บางอย่างไว้ดังนี้: $X$ $X^{\prime }$

ทฤษฎีบท^{[ 14 ]} (Grothendieck) —ให้และเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบนูนเฉพาะที่ที่มีนิวเคลียร์สมมติว่าทั้งและเป็นปริภูมิ Fréchet หรือมิเช่นนั้นก็เป็นปริภูมิ DF ทั้งคู่ แล้ว แทนปริภูมิคู่ที่แข็งแกร่งด้วยตัวห้อย: $N$ $Y$ $N$ $N$ $Y$ $b$

คู่ตรงข้ามที่แข็งแกร่งของสามารถระบุได้ด้วย; $N{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y$ $N_{b}^{\prime }{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y_{b}^{\prime }$
ไบดวลของสามารถระบุได้ด้วย; $N{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y$ $N{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y^{\prime \prime }$
ถ้าเป็นปริภูมิสะท้อนแล้ว(และด้วยเหตุนี้) ปริภูมิสะท้อนก็จะเป็นปริภูมิสะท้อนเช่นกัน $Y$ $N{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y$ $N_{b}^{\prime }{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y_{b}^{\prime }$
รูปแบบทวิเชิงเส้นต่อเนื่องแยกกันทุกรูปแบบบน นั้นมีความต่อเนื่อง $N_{b}^{\prime }\times Y_{b}^{\prime }$
ให้เป็นปริภูมิของแผนที่เชิงเส้นแบบมีขอบเขตจากไป แล้วปริภูมิคู่ที่แข็งแกร่งของมันสามารถระบุได้กับดังนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าเป็นปริภูมิสะท้อนกลับแล้ว ก็เป็นปริภูมิสะท้อนกลับเช่นกัน $L\left(X_{b}^{\prime },Y\right)$ $X_{b}^{\prime }$ $Y$ $N_{b}^{\prime }{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y_{b}^{\prime },$ $Y$ $L_{b}\left(X_{b}^{\prime },Y\right).$

ตัวอย่าง

สำหรับปริภูมิการวัด ให้ เป็น ปริภูมิเลเบสจริง ให้ เป็น ปริภูมิ บานาคจริง ให้ เป็นการเติมเต็มของปริภูมิของฟังก์ชันเชิงเดี่ยว มอดูลปริภูมิย่อยของฟังก์ชัน ที่ ^มีบรรทัดฐานแบบจุดต่อจุด ซึ่งถือว่าเป็นฟังก์ชันมีค่าอินทิกรัลเทียบกับแล้วจะเป็นไอโซมอร์ฟิกเชิงไอโซเมตริกกับ[ ¹⁵^] $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ $L^{1}$ $L^{1}(\mu )$ $E$ $L_{E}^{1}$ $X\to E$ $X\to E$ $X\to \mathbb {R}$ $0$ $\mu$ $L_{E}^{1}$ $L^{1}{\widehat {\otimes }}_{\pi }E$

ดูเพิ่มเติม

ผลคูณเทนเซอร์แบบอุปนัย
ผลคูณเทนเซอร์แบบฉีด
ผลคูณเทนเซอร์ของปริภูมิฮิลเบิร์ต – ปริภูมิผลคูณเทนเซอร์ที่มีผลคูณภายในพิเศษ

การอ้างอิง

^ ^a ^b Trèves 2006 , หน้า 438.
^ Trèves 2006 , หน้า 435.
^ ^a ^b Trèves 2006 , หน้า 437.
^ Trèves 2006 , หน้า 445.
^ Trèves 2006 , หน้า 439.
^ ^a ^b Ryan 2002 , หน้า 18.
^ไรอัน 2002 , หน้า 24.
^ไรอัน 2002 , หน้า 43.
^ ^a ^b Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 173.
^ ^a ^b Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 120.
^ Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 94.
↑เทรฟส์ 2006 , หน้า 459–460.
^ Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 154.
^ Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 175–176.
^ Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 95.

อ่านเพิ่มเติม

Diestel, Joe (2008). ทฤษฎีเมตริกของผลคูณเทนเซอร์: การทบทวนบทสรุปของ Grothendieck . พรอวิเดนซ์, โรดไอแลนด์: สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน. ISBN 978-0-8218-4440-3. OCLC 185095773 .
Grothendieck, Alexander (1955). "Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires" [ผลคูณเท นเซอร์เชิงทอพอโลยีและปริภูมิเชิงนิวเคลียร์]. ชุดบันทึกความทรงจำของสมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน (ภาษาฝรั่งเศส). 16.พรอวิเดนซ์: สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน. MR 0075539. OCLC 9308061 .
โกรเธนดิเอค, โกรเธนดิเอค (1966) ผลิตภัณฑ์ tensoriels topologiques et espaces nucléaires (ในภาษาฝรั่งเศส) พรอวิเดนซ์: สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน. ไอเอสบีเอ็น 0-8218-1216-5. OCLC 1315788 .
พีตช์, อัลเบรชท์ (1972) ช่องว่างนูนในพื้นที่นิวเคลียร์ เบอร์ลิน, นิวยอร์ก: Springer-Verlag ไอเอสบีเอ็น 0-387-05644-0. OCLC 539541 .
หว่อง (1979). ปริภูมิชวาร์ตซ์ ปริภูมินิวเคลียร์ และผลคูณเทนเซอร์เบอร์ลิน นิวยอร์ก: สปริงเกอร์-เวอร์แลกISBN 3-540-09513-6. OCLC 5126158 .

ลิงก์ภายนอก

พื้นที่นิวเคลียร์ที่ ncatlab

[FOOTNOTETrèves2006438-1] Trèves 2006 , หน้า 438.

[FOOTNOTETrèves2006435-2] Trèves 2006 , หน้า 435.

[FOOTNOTETrèves2006437-3] Trèves 2006 , หน้า 437.

[FOOTNOTETrèves2006445-4] Trèves 2006 , หน้า 445.

[FOOTNOTETrèves2006439-5] Trèves 2006 , หน้า 439.

[FOOTNOTERyan200218-6] Ryan 2002 , หน้า 18.

[FOOTNOTERyan200224-7] ไรอัน 2002 , หน้า 24.

[FOOTNOTERyan200243-8] ไรอัน 2002 , หน้า 43.

[FOOTNOTESchaeferWolff1999173-9] Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 173.

[FOOTNOTESchaeferWolff1999120-10] Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 120.

[FOOTNOTESchaeferWolff199994-11] Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 94.

[FOOTNOTETrèves2006459–460-12] เทรฟส์ 2006 , หน้า 459–460.

[FOOTNOTESchaeferWolff1999154-13] Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 154.

[FOOTNOTESchaeferWolff1999175–176-14] Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 175–176.

[FOOTNOTESchaeferWolff199995-15] Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 95.

[

2

[

[

[

[

[

[

[

[

[ 11 ]

[ 12 ]

[

[ 14 ]

มี