ในคณิตศาสตร์เชิงฟังก์ชันผลคูณเทนเซอร์แบบหนึ่งต่อหนึ่ง (injective tensor product) เป็น ผลคูณเทนเซอร์เชิงโทโพ โลยี ชนิดหนึ่งโดยเฉพาะซึ่ง เป็น ปริภูมิเวกเตอร์เชิงโทโพโลยี (TVS) ที่เกิดจากการจับคู่ผลคูณเทนเซอร์ของปริภูมิเวกเตอร์พื้นฐานของ TVS สองปริภูมิด้วยโทโพโลยี ที่เข้ากันได้ อเล็กซานเดอร์ โกรเทนดีคเป็นผู้ริเริ่มและใช้ในการกำหนดปริภูมิเชิงนิวเคลียร์ผลคูณเทนเซอร์แบบหนึ่งต่อหนึ่งมีการประยุกต์ใช้ในปริภูมิอื่นๆ นอกเหนือจากปริภูมิเชิงนิวเคลียร์ ดังที่อธิบายไว้ด้านล่าง การสร้าง TVS หลายอย่าง โดยเฉพาะอย่างยิ่งปริภูมิบานาค (Banach space)ในฐานะปริภูมิของฟังก์ชันหรือลำดับนั้น เทียบเท่ากับผลคูณเทนเซอร์แบบหนึ่งต่อหนึ่งของปริภูมิที่เรียบง่ายกว่า

ให้และเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบนูนเฉพาะที่เหนือโดยมีปริภูมิคู่ต่อเนื่องและA ตัวห้อยเช่น ในแสดงถึงทอพอโลยีแบบอ่อน-*แม้ว่าจะเขียนในรูปของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีเชิงซ้อน ผลลัพธ์ที่อธิบายไว้โดยทั่วไปก็ใช้ได้กับกรณีจริงด้วย ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle Y^{\prime }.}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$

ปริภูมิเวกเตอร์ของฟังก์ชันเชิงเส้น คู่ต่อเนื่อง นั้นสมมูลกับผลคูณเทนเซอร์ (ปริภูมิเวกเตอร์) ดังต่อไปนี้ สำหรับเทนเซอร์เชิงเดี่ยวแต่ละตัวในจะมีแผนที่เชิงเส้นคู่ซึ่งกำหนดโดยสามารถแสดงได้ว่าแผนที่ซึ่งขยายเชิงเส้นไปยังเป็นไอโซมอร์ฟิซึม ${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }\times Y_{\sigma }^{\prime }\to \mathbb {C} }$${\displaystyle X\otimes Y}$${\displaystyle x\otimes y}$${\displaystyle X\otimes Y}$${\displaystyle f\in B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$${\displaystyle f(\varphi ,\psi )=\varphi (x)\psi (y)}$${\displaystyle x\otimes y\mapsto f}$${\displaystyle X\otimes Y}$

ให้แทนปริภูมิคู่ที่มีโทโพโลยีของการลู่เข้าแบบจำกัดถ้าเป็นปริภูมิเวกเตอร์โทโพโลยีแบบนูนเฉพาะที่ แล้วโทโพโลยีของผลคูณเทนเซอร์แบบฉีดคือโทโพโลยีที่เหนี่ยวนำจากโทโพโลยีบางอย่างบนซึ่งเซตเปิดพื้นฐานถูกสร้างขึ้นดังต่อไปนี้ สำหรับเซตย่อยที่มีความต่อเนื่องเท่า กัน และและย่านใกล้เคียงใดๆในกำหนด โดยที่ทุกเซตมีขอบเขตในซึ่งจำเป็นและเพียงพอสำหรับการรวบรวมทั้งหมดเพื่อสร้างโทโพโลยี TVS แบบนูนเฉพาะที่บน^{[ 1 ]} โทโพโลยีนี้เรียกว่าโทโพโลยี -หรือโทโพโลยีแบบฉีดในกรณีพิเศษที่เป็นฟิลด์สเกลาร์พื้นฐานคือผลคูณเทนเซอร์ดังข้างต้น และปริภูมิเวกเตอร์โทโพโลยีที่ประกอบด้วย กับโทโพโลยี - จะถูกแทนด้วยและไม่จำเป็นต้องสมบูรณ์ความสมบูรณ์ของมันคือผลคูณเทนเซอร์แบบฉีดของและ และ ถูก แทนด้วย${\displaystyle X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime }}$${\displaystyle Z}$${\textstyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime };Z\right)~\subseteq ~B\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right)}$${\displaystyle B\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right)}$${\displaystyle G\subseteq X^{\prime }}$${\displaystyle H\subseteq Y^{\prime }}$${\displaystyle N}$${\displaystyle Z}$$${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,H,N)=\left\{b\in B\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right)~:~b(G\times H)\subseteq N\right\}}$$${\displaystyle b(G\times H)}$${\displaystyle Z,}$${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,H,N)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right).}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle Z=\mathbb {C} }$${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$${\displaystyle X\otimes Y}$${\displaystyle X\otimes Y}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$

ถ้าและเป็นปริภูมิบรรทัดฐานแล้วจะเป็นปริภูมิบรรทัดฐานได้ ถ้าและเป็นปริภูมิบานาคแล้วก็เป็นปริภูมิบรรทัดฐานได้เช่นกัน บรรทัดฐานของมันสามารถแสดงได้ในรูปของปริภูมิคู่ (ต่อเนื่อง) ของและโดยที่และแทนลูกบอลหน่วยของปริภูมิคู่และบรรทัดฐานแบบฉีดขององค์ประกอบจะถูกกำหนดเป็น โดย ที่ค่าสูงสุดจะหาจากนิพจน์ทั้งหมดจากนั้นการเติมเต็มของภายใต้บรรทัดฐานแบบฉีดจะเป็นไอโซมอร์ฟิกในฐานะปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอ พอโลยี กับ^{[ 2 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle Y^{*}}$${\displaystyle B_{X^{*}}}$${\displaystyle B_{Y^{*}}}$${\displaystyle \|u\|_{\varepsilon }}$${\displaystyle u\in X\otimes Y}$$${\displaystyle \|u\|_{\varepsilon }=\sup {\big \{}{\big |}\sum _{i}\varphi (x_{i})\psi (y_{i}){\big |}:\varphi \in B_{X^{*}},\psi \in B_{Y^{*}}{\big \}}}$$${\displaystyle u=\sum _{i}x_{i}\otimes y_{i}}$${\displaystyle X\otimes Y}$${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$

แผนที่นี้ต่อเนื่องกัน^{[ 3 ]}${\displaystyle (x,y)\mapsto x\otimes y:X\times Y\to X\otimes _{\varepsilon }Y}$

สมมติว่าและเป็นแผนที่เชิงเส้นสองแผนที่ระหว่างปริภูมิเว้าเฉพาะที่ ถ้าทั้งและเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ผลคูณเทนเซอร์ของทั้งสองฟังก์ชันก็จะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องเช่นกันยิ่งไปกว่านั้น: ${\displaystyle u:X_{1}\to Y_{1}}$${\displaystyle v:X_{2}\to Y_{2}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u\otimes v:X_{1}\otimes _{\varepsilon }X_{2}\to Y_{1}\otimes _{\varepsilon }Y_{2}}$

• ถ้าและต่างก็เป็นTVS-embeddingแล้ว ก็จะเป็น TVS-embedding เช่นกัน${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }v:X_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X_{2}\to Y_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{2}.}$
• ถ้า(หรือ) เป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้นของ(หรือ) แล้วจะมีสมบัติสมมาตรเชิงแคนอนิกกับปริภูมิย่อยเชิงเส้นของและจะมีสมบัติสมมาตรเชิงแคนอนิกกับปริภูมิย่อยเชิงเส้นของ${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle Y_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle Y_{2}}$${\displaystyle X_{1}\otimes _{\varepsilon }Y_{1}}$${\displaystyle X_{2}\otimes _{\varepsilon }Y_{2}}$${\displaystyle X_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{1}}$${\displaystyle X_{2}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{2}.}$
• มีตัวอย่างของและที่ทั้งและเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมแบบทั่วถึง แต่ไม่ใช่โฮโมมอร์ฟิซึม${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }v:X_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X_{2}\to Y_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{2}}$
• ถ้าทั้งสี่พื้นที่เป็นมาตรฐานแล้ว^{[ 4 ]}${\displaystyle \|u\otimes v\|_{\varepsilon }=\|u\|\|v\|.}$

โทโพโลยีเชิงโปรเจกที ฟ หรือโทโพโลยีคือโทโพโลยีแบบนูนเฉพาะที่ละเอียดที่สุด บน ที่ทำให้แผนที่แคนอนิกที่กำหนดโดยการส่งไปยังรูปแบบทวิเชิงเส้น มีความต่อเนื่อง เมื่อมีโทโพโลยีนี้แล้ว จะถูกแทนด้วยและเรียกว่าผลคูณเทนเซอร์เชิงโปรเจก ทีฟ ของและ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)=X\otimes Y}$${\displaystyle X\times Y\to X\otimes Y}$${\displaystyle (x,y)\in X\times Y}$${\displaystyle x\otimes y.}$${\displaystyle X\otimes Y}$${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$

โทโพโลยีแบบฉีดนั้นหยาบกว่าโทโพโลยีแบบโปรเจคทีฟเสมอ ซึ่งในทางกลับกันก็หยาบกว่าโทโพโลยีแบบอุปนัย (ซึ่งเป็นโทโพโลยี TVS แบบนูนเฉพาะที่ที่ละเอียดที่สุดที่ทำให้มีความต่อเนื่องแยกกัน) ${\displaystyle X\times Y\to X\otimes Y}$

พื้นที่นั้นเป็นHausdorff ก็ต่อเมื่อทั้งและเป็น Hausdorff ถ้าและเป็นบรรทัดฐานแล้วสำหรับทุก โดยที่เป็นบรรทัดฐานเชิงโปรเจกทีฟ^{[ ​​5 ]}${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \|\theta \|_{\varepsilon }\leq \|\theta \|_{\pi }}$${\displaystyle \theta \in X\otimes Y}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\pi }}$

โทโพโลยีแบบฉีดและแบบฉายภาพต่างก็มีบทบาทในคำจำกัดความของปริภูมินิวเคลียร์ของ Grothendieck ^{[ 6 ]}

ปริภูมิคู่ต่อเนื่องของคือปริภูมิย่อยเวกเตอร์ของซึ่งเขียนแทนด้วยองค์ประกอบของเรียกว่ารูปแบบปริพันธ์บน ซึ่งเป็นคำที่สมเหตุสมผลจากข้อเท็จจริงต่อไปนี้ ${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y}$${\displaystyle B(X,Y)}$${\displaystyle J(X,Y).}$${\displaystyle J(X,Y)}$${\displaystyle X\times Y}$

คู่ตรงข้ามของประกอบด้วยรูปแบบทวิเชิงเส้นต่อเนื่องบนซึ่ง สำหรับเซตย่อยปิดและต่อเนื่องสม่ำเสมอและของและตามลำดับ และการวัดเรดอน บางอย่าง บนเซตกระชับที่มีมวลรวม^{[ 7 ]}ในกรณีที่เป็นปริภูมิบานาคและสามารถเลือกให้เป็นลูกบอลหน่วยและได้^{[ 8 ]}${\displaystyle J(X,Y)}$${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$${\displaystyle v}$${\displaystyle X\times Y}$$${\displaystyle v(x,y)=\int _{S\times T}\varphi (x)\psi (y)\,d\mu (\varphi ,\psi )}$$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$${\displaystyle Y_{\sigma }^{\prime },}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle S\times T}$${\displaystyle \leq 1}$${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle B_{X^{*}}}$${\displaystyle B_{Y^{*}}}$

นอกจากนี้ หากเป็นเซตย่อยที่มีความต่อเนื่องเท่ากันของแล้วองค์ประกอบต่างๆสามารถแสดงได้ด้วยค่าคงที่และวิ่งผ่านเซตย่อยที่มีขอบเขตตามบรรทัดฐานของพื้นที่ของการวัด Radonบน^{[ 9 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle J(X,Y)}$${\displaystyle v\in A}$${\displaystyle S\times T}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle S\times T.}$

สำหรับปริภูมิ Banach การสร้างบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีปริภูมิ Banach สามารถทำให้เป็นจริงได้ในรูปผลคูณเทนเซอร์แบบฉีด ให้ เป็น ปริภูมิของลำดับขององค์ประกอบที่ลู่เข้าสู่โดยมีนอร์มให้ เป็นปริภูมิ ของลำดับที่สามารถบวกได้โดยไม่มีเงื่อนไข ใน โดยมีนอร์ม จากนั้นและเป็นปริภูมิ Banach และสมมาตรและ(โดยที่เป็นปริภูมิของลำดับ แบบคลาสสิก ) ^{[ 10 ]}ข้อเท็จจริงเหล่านี้สามารถขยายไปสู่กรณีที่เป็น TVS นูนเฉพาะที่^{[ 11 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle c_{0}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \|(x_{i})\|=\sup _{i}\|x_{i}\|_{X}}$${\displaystyle \ell _{1}(X)}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle \|(x_{i})\|=\sup {\big \{}\sum _{i=1}^{\infty }|\varphi (x_{i})|:\varphi \in B_{X^{*}}{\big \}}.}$$${\displaystyle c_{0}(X)}$${\displaystyle \ell _{1}(X)}$${\displaystyle c_{0}(X)\cong c_{0}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$${\displaystyle \ell _{1}(X)\cong \ell _{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$${\displaystyle c_{0},\,\ell _{1}}$${\displaystyle X}$

ถ้าและเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับ แล้ว จะเป็นปริภูมิบานาค โดยที่แทนปริภูมิบานาคของฟังก์ชันต่อเนื่องบน^{[ 11 ]}${\displaystyle H}$${\displaystyle K}$${\displaystyle C(H\times K)\cong C(H){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }C(K)}$${\displaystyle C(X)}$${\displaystyle X}$

ให้เป็นเซตย่อยเปิดของ, ให้เป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีที่สมบูรณ์, เฮาส์ดอร์ฟ, และนูนเฉพาะที่ และให้เป็นปริภูมิของฟังก์ชันค่าที่สามารถหาอนุพันธ์ต่อเนื่องได้ ครั้งแล้ว. ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)\cong C^{k}(\Omega ){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$

พื้นที่ Schwartz สามารถขยายทั่วไปไปยัง TVS ได้ดังนี้: ให้เป็นพื้นที่ของทั้งหมดโดยที่สำหรับทุกคู่ของพหุนามและในตัวแปรเป็นเซตย่อยที่มีขอบเขตของ Topologize ด้วยโทโพโลยีของการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอเหนือของฟังก์ชันเมื่อและเปลี่ยนแปลงไปเหนือทุกคู่ของพหุนามที่เป็นไปได้ในตัวแปร จากนั้น^{[ 11 ]}${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right)}$${\displaystyle f\in C^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \left\{P(x)Q\left(\partial /\partial x\right)f(x):x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle P(x)Q\left(\partial /\partial x\right)f(x),}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right)\cong {\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.}$

• Diestel, Joe (2008). ทฤษฎีเมตริกของผลคูณเทนเซอร์: การทบทวนบทสรุปของ Grothendieck . พรอวิเดนซ์, โรดไอแลนด์: สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน. ISBN 978-0-8218-4440-3. OCLC  185095773 .
• Grothendieck, Alexander (1955). "Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires" [ผลคูณเท นเซอร์เชิงทอพอโลยีและปริภูมิเชิงนิวเคลียร์]. ชุดบันทึกความทรงจำของสมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน (ภาษาฝรั่งเศส). 16.พรอวิเดนซ์: สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน. MR  0075539. OCLC  9308061 .
• โกรเธนดิเอค, โกรเธนดิเอค (1966) ผลิตภัณฑ์ tensoriels topologiques และ espaces nucléaires (ในภาษาฝรั่งเศส) พรอวิเดนซ์: สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน. ไอเอสบีเอ็น 0-8218-1216-5. OCLC  1315788 .
• พีตช์, อัลเบรชท์ (1972) ช่องว่างนูนในพื้นที่นิวเคลียร์ เบอร์ลิน, นิวยอร์ก: Springer-Verlag ไอเอสบีเอ็น 0-387-05644-0. OCLC  539541 .
• หว่อง (1979). ปริภูมิชวาร์ตซ์ ปริภูมินิวเคลียร์ และผลคูณเทนเซอร์เบอร์ลิน นิวยอร์ก: สปริงเกอร์-เวอร์แลกISBN 3-540-09513-6. OCLC  5126158 .

• พื้นที่นิวเคลียร์ที่ ncatlab