ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีที่สมบูรณ์

Q: คำจำกัดความ

ส่วนนี้สรุปนิยามของปริภูมิ เวกเตอร์เชิงทอพอโลยี ที่สมบูรณ์ (TVS) ในแง่ของทั้ง เน็ต และ พรีฟิลเตอร์ ข้อมูลเกี่ยวกับการลู่เข้าของเน็ตและฟิลเตอร์ เช่น นิยามและคุณสมบัติ สามารถพบได้ในบทความเกี่ยวกับ ฟิลเตอร์ในทางทอพอโล ยี

Q: ตาข่ายคอชี

ทฤษฎีทั่วไปของ ปริภูมิเอกรูป มีนิยามของ "ตัวกรองล่วงหน้าของโคชี" และ "โครงข่ายโคชี" เป็นของตัวเอง สำหรับความเอกรูปตามหลักการ นิยามเหล่านี้จะลดลงเหลือตามที่ระบุไว้ด้านล่าง X , {\displaystyle X,}

ในคณิตศาสตร์เชิงฟังก์ชันและสาขาที่เกี่ยวข้องปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีที่สมบูรณ์คือปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (TVS) ที่มีคุณสมบัติว่า เมื่อใดก็ตามที่จุดต่างๆ เข้าใกล้กันมากขึ้นเรื่อยๆ ก็จะมีจุดหนึ่งที่จุดเหล่านั้นทั้งหมดเข้าใกล้กันมากขึ้น แนวคิดของ "จุดที่เข้าใกล้กันมากขึ้นเรื่อยๆ" ได้รับการทำให้เข้มงวดโดยโครงข่ายโคชีหรือตัวกรองโคชีซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปของลำดับโคชีในขณะที่ "จุดที่จุดเหล่านั้นทั้งหมดเข้าใกล้กันมากขึ้น" หมายความว่าโครงข่าย โคชี หรือตัวกรอง โคชีนี้ ลู่เข้าสู่จุดนั้น แนวคิดเรื่องความสมบูรณ์สำหรับ TVS ใช้ทฤษฎีของปริภูมิเอกรูปเป็นกรอบในการวางนัยทั่วไปของแนวคิดเรื่องความสมบูรณ์สำหรับปริภูมิเมตริกแต่แตกต่างจากความสมบูรณ์ของเมตริก ความสมบูรณ์ของ TVS ไม่ขึ้นอยู่กับเมตริกใดๆ และถูกกำหนดไว้สำหรับ TVS ทั้งหมดรวมถึง TVS ที่ไม่สามารถกำหนดเมตริกได้หรือเป็น Hausdorffด้วย $x$ $x$ $x.$

ความสมบูรณ์เป็นคุณสมบัติที่สำคัญอย่างยิ่งสำหรับปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี แนวคิดเรื่องความสมบูรณ์สำหรับปริภูมิที่มีบรรทัดฐานและปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบเมตริกซึ่งโดยทั่วไปกำหนดในแง่ของความสมบูรณ์ของบรรทัดฐานหรือเมตริกเฉพาะ สามารถลดทอนลงเหลือแนวคิดเรื่องความสมบูรณ์ของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีได้ ซึ่งเป็นแนวคิดที่ไม่ขึ้นอยู่กับบรรทัดฐานหรือเมตริกใดๆ ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอ โล ยีแบบเมตริกที่มีเมตริกที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อน^[^{หมายเหตุ 1}^]จะสมบูรณ์ในฐานะปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีก็ต่อเมื่อเป็นปริภูมิเมตริกที่สมบูรณ์ซึ่งตามคำนิยามหมายความว่าลำดับโคชี ทุก ตัวลู่เข้าสู่จุดใดจุดหนึ่งใน ตัวอย่างที่โดดเด่นของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีที่สมบูรณ์และเป็นแบบเมตริก ได้แก่ ปริภูมิ Fทั้งหมด และด้วยเหตุนี้จึงรวม ถึงปริภูมิ Fréchet ปริภูมิ Banachและปริภูมิ Hilbertทั้งหมดด้วย ตัวอย่างที่โดดเด่นของ TVS ที่สมบูรณ์ซึ่ง (โดยทั่วไป) ไม่สามารถกำหนดเมตริกได้ ได้แก่ปริภูมิ LF ที่เข้มงวด เช่นปริภูมิของฟังก์ชันทดสอบที่มีโทโพโลยี LF แบบแคนอนิกปริภูมิคู่ที่แข็งแกร่ง ของ ปริภูมิ Fréchetที่ไม่สามารถกำหนดบรรทัดฐานได้ ตลอดจนโทโพโลยีเชิงขั้ว อื่นๆ อีกมากมาย บนปริภูมิคู่ต่อเนื่องหรือโทโพโลยีอื่นๆบนปริภูมิของแผนที่เชิงเส้น $X$ $d$ $(X,d)$ $d$ $X.$ $C_{c}^{\infty }(U)$

กล่าว โดย ชัดแจ้ง ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (TVS) จะสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อเน็ต ทุกตัว หรือเทียบเท่ากับฟิลเตอร์ ทุกตัว ที่เป็นโคชี โดยสัมพันธ์กับ ความสม่ำเสมอเชิงแคนอนิกของปริภูมิจะต้องลู่เข้าสู่จุดใดจุดหนึ่ง กล่าวอีกนัยหนึ่ง TVS จะสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อความสม่ำเสมอเชิงแคนอนิกของมันเป็นความสม่ำเสมอที่สมบูรณ์ความสม่ำเสมอเชิงแคนอนิกบนTVS คือความสม่ำเสมอที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปล เพียงหนึ่งเดียว ^[^{หมายเหตุ 2}^]ที่เหนี่ยวนำบนทอพอโลยี แนวคิดเรื่อง "ความสมบูรณ์ของ TVS" นี้ขึ้นอยู่ กับการลบเวกเตอร์และทอพอโลยีของ TVS เท่านั้นดังนั้นจึงสามารถนำไปใช้กับ TVS ทั้งหมดได้ รวมถึง TVS ที่มีทอพอโลยีที่ไม่สามารถกำหนดได้ในแง่ของเมตริกหรือซูโดเมตริก TVS ที่นับได้เป็น อันดับแรกจะสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อลำดับโคชีทุกตัว (หรือเทียบเท่ากับ ฟิลเตอร์โคชี พื้นฐาน ทุกตัว ) ลู่เข้าสู่จุดใดจุดหนึ่ง $(X,\tau )$ $X$ $\tau .$

ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโล ยีทุกปริภูมิ แม้ว่าจะไม่สามารถกำหนดเมตริกได้หรือไม่ได้ เป็นแบบเฮาส์ดอร์ฟ ก็ มีส่วนเติมเต็ม ซึ่งตามคำนิยามแล้วคือ ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีที่สมบูรณ์ ซึ่งสามารถฝังตัว เป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ หนาแน่นในปริภูมิเวกเตอร์เชิง ทอพอโลยีได้ ยิ่งไปกว่านั้น ปริภูมิเวก เตอร์เชิงทอพอ โลยีแบบเฮาส์ดอร์ฟทุกปริภูมิมีส่วนเติมเต็มแบบเฮาส์ดอร์ฟ ซึ่งจำเป็นต้องมีเพียงหนึ่งเดียวจนถึง ไอโซมอร์ฟิซึมของปริภูมิเวกเตอร์เชิง ทอพอโลยีอย่างไรก็ตาม ดังที่กล่าวไว้ด้านล่าง ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีทั้งหมดมีส่วนเติมเต็มที่ไม่ใช่แบบเฮาส์ดอร์ฟจำนวนอนันต์ ซึ่งไม่ เป็น ไอโซมอร์ฟิซึมของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีซึ่งกันและกัน $X,$ $C$ $X$

คำจำกัดความ

ส่วนนี้สรุปนิยามของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี ที่สมบูรณ์ (TVS) ในแง่ของทั้งเน็ตและพรีฟิลเตอร์ข้อมูลเกี่ยวกับการลู่เข้าของเน็ตและฟิลเตอร์ เช่น นิยามและคุณสมบัติ สามารถพบได้ในบทความเกี่ยวกับฟิลเตอร์ในทางทอพอโลยี

ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (TVS) ทุกปริภูมิเป็นกลุ่มเชิงทอพอโลยี แบบสลับที่ได้ ซึ่งมีเอกลักษณ์ภายใต้การบวก และความสม่ำเสมอแบบแคนอนิกของ TVS นั้นถูกกำหนดขึ้นโดยสมบูรณ์ในแง่ของการลบ (และดังนั้นจึงเป็นการบวก) ไม่มี การคูณด้วยสเกลาร์ และไม่จำเป็นต้องมีโครงสร้างเพิ่มเติมใดๆ

ความสม่ำเสมอตามหลักการ

เส้นทแยงมุมของคือเซต^[¹^] และสำหรับใดๆ $X$ $\Delta _{X}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(x,x):x\in X\}$ $N\subseteq X,$ กลุ่มผู้ติดตามตามแบบฉบับ /บริเวณโดยรอบ $N$ คือเซต ที่ถ้าแล้วจะมีเส้นทแยงมุมอยู่ภายใน ${\begin{alignedat}{4}\Delta _{X}(N)~&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(x,y)\in X\times X~:~x-y\in N\}\\&=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times \{y\}]\\&=\Delta _{X}+(N\times \{0\})\end{alignedat}}$ $0\in N$ $\Delta _{X}(N)$ $\Delta _{X}(\{0\})=\Delta _{X}.$

ถ้าเป็นเซตสมมาตร (นั่นคือ ถ้า) แล้ว ก็เป็นเซตสมมาตรซึ่งตามนิยามหมายความว่าเป็นจริง โดยที่และนอกจากนี้การประกอบกัน ของเซตสมมาตรนี้ กับตัวมันเองคือ: $N$ $-N=N$ $\Delta _{X}(N)$ $\Delta _{X}(N)=\left(\Delta _{X}(N)\right)^{\operatorname {op} }$ $\left(\Delta _{X}(N)\right)^{\operatorname {op} }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{(y,x):(x,y)\in \Delta _{X}(N)\right\},$ ${\begin{alignedat}{4}\Delta _{X}(N)\circ \Delta _{X}(N)~&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{(x,z)\in X\times X~:~{\text{ there exists }}y\in X{\text{ such that }}x,z\in y+N\right\}\\&=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times (y+N)]\\&=\Delta _{X}+(N\times N).\end{alignedat}}$

ถ้าฐานเพื่อนบ้านใดๆ ที่จุดกำเนิดในนั้นตระกูลของเซตย่อยของ จะเป็นตัวกรองล่วงหน้าบน ถ้าเป็นตัวกรองเพื่อนบ้านที่จุดกำเนิดในนั้นจะสร้างฐานของกลุ่มรอบข้างสำหรับโครงสร้างสม่ำเสมอบนที่ถือว่าเป็นแบบมาตรฐาน^[²^] โดยชัดเจน ตามคำจำกัดความ ${\mathcal {L}}$ $(X,\tau )$ $X\times X:$ ${\mathcal {B}}_{\mathcal {L}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{\Delta _{X}(N):N\in {\mathcal {L}}\right\}$ $X\times X.$ ${\mathcal {N}}_{\tau }(0)$ $(X,\tau )$ ${\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}$ $X$ ความสม่ำเสมอเชิงแคนอนิกที่เกิดจาก $X$ ^[²^]คือตัวกรองที่สร้างโดยพรีฟิลเตอร์ข้างต้น: โดยที่แสดงถึงการปิดขึ้นของใน ความสม่ำเสมอเชิงแคนอนิกเดียวกันจะเกิดขึ้นจากการใช้ฐานใกล้เคียงของจุดกำเนิดแทนที่จะใช้ตัวกรองของใกล้เคียงทั้งหมดของจุดกำเนิด ถ้าเป็นฐานใกล้เคียงใดๆ ที่จุดกำเนิดในแล้วตัวกรองที่สร้างโดยพรีฟิลเตอร์จะเท่ากับความสม่ำเสมอเชิงแคนอนิกที่เกิดจาก $(X,\tau )$ ${\mathcal {U}}_{\tau }$ $X\times X$ ${\mathcal {U}}_{\tau }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}^{\uparrow }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{S\subseteq X\times X~:~{\text{there exists }}N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(0){\text{ such that }}\Delta _{X}(N)\subseteq S\right\}$ ${\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}^{\uparrow }$ ${\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}$ $X\times X.$ ${\mathcal {L}}$ $(X,\tau )$ $X\times X$ ${\mathcal {B}}_{\mathcal {L}}$ ${\mathcal {U}}_{\tau }$ $(X,\tau ).$

ตาข่ายคอชี

ทฤษฎีทั่วไปของปริภูมิเอกรูปมีนิยามของ "ตัวกรองล่วงหน้าของโคชี" และ "โครงข่ายโคชี" เป็นของตัวเอง สำหรับความเอกรูปตามหลักการ นิยามเหล่านี้จะลดลงเหลือตามที่ระบุไว้ด้านล่าง $X,$

สมมติว่าเป็นเน็ตในและเป็นเน็ตใน ผลคูณจะกลายเป็นเซตทิศทางโดยการประกาศว่า ก็ต่อเมื่อและ จากนั้น จะแทน ( คาร์ทีเซียน ) $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ $X$ $y_{\bullet }=\left(y_{j}\right)_{j\in J}$ $Y.$ $I\times J$ $(i,j)\leq \left(i_{2},j_{2}\right)$ $i\leq i_{2}$ $j\leq j_{2}.$ $x_{\bullet }\times y_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i},y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}$ เน็ตผลิตภัณฑ์โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าเช่นนั้น ภาพของเน็ตนี้ภายใต้แผนที่การบวกเวกเตอร์จะแสดงถึง ${\textstyle x_{\bullet }\times x_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i},x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}.}$ $X=Y$ $X\times X\to X$ ผลรวมของเครือข่ายทั้งสองนี้:^{[ 3 ]} และในทำนองเดียวกัน $x_{\bullet }+y_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i}+y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}$ ความแตกต่างถูกนิยามให้เป็นภาพของเน็ตผลคูณภายใต้แผนที่การลบเวกเตอร์โดย เฉพาะอย่างยิ่ง สัญลักษณ์นี้หมายถึงเน็ตที่มีดัชนีและไม่ใช่เน็ตที่มีดัชนีเนื่องจากหากใช้แบบหลังเป็นนิยาม สัญลักษณ์นี้ก็จะไร้ประโยชน์ $(x,y)\mapsto x-y$ $x_{\bullet }-y_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i}-y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}.$ $x_{\bullet }-x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}-\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ $I^{2}$ $\left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}$ $I$ $\left(x_{i}-x_{i}\right)_{i\in I}=(0)_{i\in I}$

เน็ตใน TVS เรียกว่าเน็ตโคชี^[⁴^]ถ้า อย่างชัดเจน หมายความว่าสำหรับทุกย่านใกล้เคียงของในจะมีดัชนีบางตัวที่สำหรับดัชนีทั้งหมดที่ตรงตามเงื่อนไขและ เพียงพอที่จะตรวจสอบเงื่อนไขที่กำหนดเหล่านี้สำหรับฐานใกล้เคียงที่ กำหนด ของในลำดับโคชี คือลำดับที่เป็นเน็ตโคชีด้วย $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ $X$ $x_{\bullet }-x_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}\to 0\quad {\text{ in }}X.$ $N$ $0$ $X,$ $i_{0}\in I$ $x_{i}-x_{j}\in N$ $i,j\in I$ $i\geq i_{0}$ $j\geq i_{0}.$ $0$ $X.$

ถ้าเช่นนั้นความต่อเนื่องของแผนที่การลบเวกเตอร์ซึ่งกำหนดโดยรับประกันว่าในที่ซึ่งและ สิ่งนี้พิสูจน์ว่าเน็ตที่ลู่เข้าทุกตัวเป็นเน็ตโคชี ตามคำนิยาม พื้นที่เรียกว่าสมบูรณ์ถ้าข้อความกลับเป็นจริงเสมอ นั่นคือสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริง: $x_{\bullet }\to x$ $x_{\bullet }\times x_{\bullet }\to (x,x)$ $X\times X$ $S:X\times X\to X,$ $S(x,y)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~x-y,$ $S\left(x_{\bullet }\times x_{\bullet }\right)\to S(x,x)$ $X,$ $S\left(x_{\bullet }\times x_{\bullet }\right)=\left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}=x_{\bullet }-x_{\bullet }$ $S(x,x)=x-x=0.$ $X$

เมื่อใดก็ตามที่เน็ตในจะลู่เข้า (ไปยังจุดใดจุดหนึ่ง) ในก็ต่อเมื่อใน

x_{\bullet }

X,

x_{\bullet }

X

x_{\bullet }-x_{\bullet }\to 0

X.

ลักษณะความสมบูรณ์ในลักษณะเดียวกันนี้ยังคงใช้ได้หากใช้ตัวกรองและตัวกรองเบื้องต้นแทนการใช้เน็ต

อนุกรมเรียกว่า $\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}$ อนุกรมโคชี (ตามลำดับ, a)อนุกรมลู่เข้า ) ถ้าลำดับของผลรวมย่อย เป็นลำดับโคชี(หรือลำดับลู่เข้า)^[⁵^]อนุกรมลู่เข้าทุกชุดจำเป็นต้องเป็นอนุกรมโคชี ใน TVS ที่สมบูรณ์ อนุกรมโคชีทุกชุดจำเป็นต้องเป็นอนุกรมลู่เข้า $\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)_{n=1}^{\infty }$

ตัวกรอง Cauchy และตัวกรองล่วงหน้า Cauchy

ตัวกรองเบื้องต้น บนปริภูมิเวกเตอร์เชิงโทโพโลยีเรียกว่าตัวกรองเบื้องต้นของ Cauchy ^[⁶^]หากเป็นไปตามเงื่อนไขที่เทียบเท่ากันต่อไปนี้: ${\mathcal {B}}$ $X$

${\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}\to 0$ ${\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}\to 0$ ใน $X.$ $X.$
- ครอบครัวนี้เป็นเสมือนตัวกรองเบื้องต้น ${\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{B-C:B,C\in {\mathcal {B}}\}$
- กล่าวอย่างชัดเจนหมายความว่าสำหรับทุกย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิดในนั้น จะมีอยู่เช่นนั้น ${\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}\to 0$ $N$ $X,$ $B,C\in {\mathcal {B}}$ $B-C\subseteq N.$
$\{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}\to 0$ $\{BB:B\in {\mathcal {B}}\}\to 0$ ใน $X.$ $X.$
- กลุ่มนี้เป็นพรีฟิลเตอร์ที่เทียบเท่ากับ( ความเทียบเท่าหมายความว่าพรีฟิลเตอร์เหล่านี้สร้างฟิลเตอร์เดียวกันบน) $\{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}$ ${\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}$ $X$
- กล่าวโดยชัดแจ้งหมายความว่าสำหรับทุกย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิดในนั้น จะมีบางค่าที่ทำให้ $\{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}\to 0$ $N$ $X,$ $B\in {\mathcal {B}}$ $B-B\subseteq N.$
สำหรับทุกย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิดจะมีเซตเล็ก ๆ บางเซต (นั่นคือ มีอยู่บางเซตที่) ^[⁶^] $N$ $N$ $X,$ $X,$ ${\mathcal {B}}$ ${\mathcal {B}}$ $N$ $N$ $B\in {\mathcal {B}}$ $B\in {\mathcal {B}}$ $B-B\subseteq N$ $BB\subseteq N$
- เซตย่อยเรียกว่า เซตย่อย ขนาดเล็กหรือเซต ย่อยขนาดเล็ก $B\subseteq X$ $N$ ลำดับเล็ก ๆ $N$ ^{[ 6 ]}ถ้า $B-B\subseteq N.$
สำหรับทุกย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิดจะมีบางส่วนและบางส่วนที่^[⁶^] $N$ $N$ $X,$ $X,$ $x\in X$ $x\in X$ $B\in {\mathcal {B}}$ $B\in {\mathcal {B}}$ $B\subseteq x+N.$ $B\subseteq x+N.$
- ข้อความนี้ยังคงเป็นจริงหาก " " ถูกแทนที่ด้วย " " $B\subseteq x+N$ $x+B\subseteq N.$
ทุกย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิดจะมีเซตย่อยบางส่วนที่มีรูปแบบที่และ $X$ $x+B$ $x\in X$ $B\in {\mathcal {B}}.$

การตรวจสอบเงื่อนไขใดๆ ข้างต้นก็เพียงพอแล้วสำหรับพื้นที่ใกล้เคียง ใดๆ ก็ตามตัวกรอง Cauchy เป็นตัวกรองเบื้องต้น Cauchy ซึ่งเป็นตัวกรอง อีกตัว หนึ่ง ด้วย $0$ $X.$ $X.$

ถ้าเป็นตัวกรองล่วงหน้าบนปริภูมิเวกเตอร์เชิงโทโพโลยีและถ้าแล้วในก็ต่อเมื่อและเป็นโคชี^[³^] ${\mathcal {B}}$ $X$ $x\in X,$ ${\mathcal {B}}\to x$ $X$ $x\in \operatorname {cl} {\mathcal {B}}$ ${\mathcal {B}}$

ชุดย่อยที่สมบูรณ์

สำหรับตัวกรองเบื้องต้น ใดๆ บนจะต้องเป็นเซตย่อยของเสมอ นั่นคือ $S\subseteq X,$ ${\mathcal {C}}$ $S$ $\wp (S)$ ${\mathcal {C}}\subseteq \wp (S).$

เซตย่อยของ TVS เรียกว่า $S$ $(X,\tau )$ เซตย่อยที่สมบูรณ์หากตรงตามเงื่อนไขเทียบเท่าใดๆ ต่อไปนี้:

ตัวกรองล่วงหน้าของ Cauchy ทุกตัวจะลู่เข้าสู่จุดอย่างน้อยหนึ่งจุด ${\mathcal {C}}\subseteq \wp (S)$ ${\mathcal {C}}\subseteq \wp (S)$ $S$ $S$ $S.$ $S.$
- ถ้าเป็นแบบเฮาส์ดอร์ฟ ตัวกรองล่วงหน้าทุกตัวบนจะลู่เข้าสู่จุดเดียวใน อย่างมากที่สุดแต่ถ้าไม่ใช่แบบเฮาส์ดอร์ฟ ตัวกรองล่วงหน้าอาจลู่เข้าสู่หลายจุดใน และหลักการเดียวกันนี้ก็ใช้ได้กับเน็ตด้วย $X$ $S$ $X.$ $X$ $X.$
โครงข่ายโคชีทุกโครงข่ายจะลู่เข้าสู่จุดอย่างน้อยหนึ่งจุดของ $S$ $S.$
$S$ เป็นปริภูมิเอกรูปสมบูรณ์ (ภายใต้นิยามโทโพโลยีเซตจุดของ " ปริภูมิเอกรูปสมบูรณ์ ") เมื่อได้รับการเสริมด้วยความเอกรูปที่เหนี่ยวนำโดยความเอกรูปเชิงแคนอนของ $S$ $X.$

เซตย่อยนั้นเรียกว่า a $S$ เซตย่อยที่สมบูรณ์ตามลำดับหากลำดับโคชีทุกตัวใน(หรือเทียบเท่ากับตัวกรองโคชีพื้นฐาน/ตัวกรองเบื้องต้นทุกตัวบน) ลู่เข้าสู่จุดอย่างน้อยหนึ่งจุดของ $S$ $S$ $S.$

ที่สำคัญการลู่เข้าสู่จุดภายนอกเซตไม่ได้ทำให้เซตไม่สมบูรณ์ $S$ : ถ้าเซตไม่ใช่เซตเฮาส์ดอร์ฟ และถ้าตัวกรองโคชีทุกตัวบนเซตลู่เข้าสู่จุดใดจุดหนึ่งของเซตแล้ว เซตจะสมบูรณ์แม้ว่าตัวกรองโคชีบางส่วนหรือทั้งหมดบนเซตจะลู่เข้าสู่จุดในเซตด้วย ก็ตาม กล่าวโดยสรุป ไม่มีข้อกำหนดว่าตัวกรองโคชีเหล่านี้บนเซตจะต้องลู่เข้าสู่จุดในเซตเท่านั้นเช่นเดียวกันนี้สามารถกล่าวได้เกี่ยวกับการลู่เข้าของโครงข่ายโคชีในเซต $X$ $S$ $S,$ $S$ $S$ $X\setminus S.$ $S$ $S.$ $S.$

ด้วยเหตุนี้ หาก TVS ไม่ใช่Hausdorffแล้ว เซตย่อยทุกเซตของการปิดของในจะเป็นเซตสมบูรณ์ เพราะเป็นเซตกระชับ และเซตกระชับทุกเซตจำเป็นต้องเป็นเซตสมบูรณ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเป็นเซตย่อยแท้ เช่นตัวอย่างเช่น แล้วจะเป็นเซตสมบูรณ์ แม้ว่าเน็ตโคชีทุกตัว ใน (และพรีฟิลเตอร์โคชีทุกตัวบน) จะลู่เข้าสู่ทุกจุดในรวมถึงจุดในที่ไม่ได้อยู่ใน ตัวอย่างนี้ยังแสดงให้เห็นว่าเซตย่อยสมบูรณ์ (และแม้แต่เซตย่อยกระชับ) ของ TVS ที่ไม่ใช่ Hausdorff อาจไม่เป็นเซตปิด ตัวอย่างเช่น ถ้าแล้วก็ต่อเมื่อ ปิดใน $X$ $\{0\}$ $X$ $\varnothing \neq S\subseteq \operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $S=\{0\}$ $S$ $S$ $S$ $\operatorname {cl} _{X}\{0\},$ $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $S.$ $\varnothing \neq S\subseteq \operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $S=\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $S$ $X.$

ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีที่สมบูรณ์

ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี เรียกว่า a $X$ ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีสมบูรณ์หากเงื่อนไขเทียบเท่าต่อไปนี้ข้อใดข้อหนึ่งเป็นไปตามที่กำหนด:

$X$ $X$ จะเป็นพื้นที่เอกภาพสมบูรณ์เมื่อได้รับการ赋予ความเอกภาพตามแบบแผน
- ในทฤษฎีทั่วไปของปริภูมิเอกรูปปริภูมิเอกรูปเรียกว่าปริภูมิเอกรูปสมบูรณ์ถ้าตัวกรองโคชี แต่ละตัว บน ปริภูมิเอกรูปลู่เข้าสู่จุดใดจุดหนึ่ง ของปริภูมิเอกรูปในโทโพโลยีที่เกิดจากคุณสมบัติเอกรูป เมื่อ ปริภูมิเอกรูปเป็นปริภูมิเอกรูปเชิงทฤษฎี โทโพโลยีที่เกิดจากคุณสมบัติเอกรูปเชิงมาตรฐานจะเท่ากับโทโพโลยีที่กำหนดของปริภูมิเอกรูป (ดังนั้นการลู่เข้าในโทโพโลยีที่เหนี่ยวนำนี้จึงเป็นการลู่เข้าตามปกติในปริภูมิเอกรูป) $X$ $X$ $X$ $X$ $X$
$X$ เป็นเซตย่อยที่สมบูรณ์ของตัวมันเอง
มีบริเวณใกล้เคียงของจุดกำเนิดซึ่งเป็นเซตย่อยที่สมบูรณ์ของ^[⁶^] $X$ $X$ $X.$ $X.$
- นี่หมายความว่า TVS ที่มีขนาดกะทัดรัดในระดับท้องถิ่น ทุกตัวนั้น สมบูรณ์ (แม้ว่า TVS นั้นจะไม่ใช่แบบเฮาส์ดอร์ฟก็ตาม)
ตัวกรอง ล่วงหน้าของ Cauchy ทุกตัวจะลู่เข้าสู่จุดอย่างน้อยหนึ่งจุด ${\mathcal {C}}\subseteq \wp (X)$ ${\mathcal {C}}\subseteq \wp (X)$ $X$ $X$ $X$ $X$ $X.$ $X.$
- ถ้าเป็นแบบเฮาส์ดอร์ฟ ตัวกรองล่วงหน้าทุกตัวบนจะลู่เข้าสู่จุดเดียวใน อย่างมากที่สุดแต่ถ้าไม่ใช่แบบเฮาส์ดอร์ฟ ตัวกรองล่วงหน้าอาจลู่เข้าสู่หลายจุดใน และหลักการเดียวกันนี้ก็ใช้ได้กับเน็ตด้วย $X$ $X$ $X.$ $X$ $X.$
ตัวกรองโคชีทุกตัวจะลู่เข้าสู่จุดอย่างน้อยหนึ่งจุดบน $X$ $X$ $X.$
โครงข่ายโคชีทุกตัวจะลู่เข้าสู่จุดอย่างน้อยหนึ่งจุดของ $X$ $X$ $X.$

โดยหากสามารถแปลงเป็นเมตริกเทียมหรือเมตริกได้ (เช่นปริภูมิบรรทัดฐาน ) รายการนี้สามารถขยายเพิ่มเติมเพื่อรวมถึง: $X$

$X$ เสร็จสมบูรณ์ตามลำดับ

ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีคือ $X$ ดำเนินการให้เสร็จสมบูรณ์ตามลำดับหากตรงตามเงื่อนไขที่เทียบเท่ากันข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:

$X$ เป็นเซตย่อยที่สมบูรณ์ตามลำดับของตัวมันเอง
ลำดับโคชีทุกลำดับในจะลู่เข้าสู่จุดอย่างน้อยหนึ่งจุดของ $X$ $X$ $X.$
ตัวกรองเบื้องต้นของโคชีทุกตัวจะลู่เข้าสู่จุดอย่างน้อยหนึ่งจุด $X$ $X$ $X.$
ตัวกรองโคชีพื้นฐานทุกตัวจะลู่เข้าสู่จุดอย่างน้อยหนึ่งจุดบน $X$ $X$ $X.$

ความเป็นเอกลักษณ์ของความสม่ำเสมอตามหลักการ

การมีอยู่ของความสม่ำเสมอแบบแคนอนิกได้รับการแสดงให้เห็นแล้วข้างต้นโดยการกำหนดนิยาม ทฤษฎีบทด้านล่างนี้แสดงให้เห็นว่าความสม่ำเสมอแบบแคนอนิกของ TVS ใดๆเป็นความสม่ำเสมอเพียงอย่างเดียวบนซึ่ง (1) ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปล และ (2) สร้างบนโทโพโลยี $(X,\tau )$ $X$ $X$ $\tau .$

ทฤษฎีบท^{[ 7 ]} (การมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของความเป็นเอกภาพแบบแคนอน) —โทโพโลยีของ TVS ใดๆ สามารถอนุมานได้จากความเป็นเอกภาพที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามการแปลที่ไม่ซ้ำกัน หากเป็นฐานใกล้เคียง ใดๆ ของจุดกำเนิด ตระกูลจะเป็นฐานสำหรับความเป็นเอกภาพนี้ ${\mathcal {N}}(0)$ $\left\{\Delta (N):N\in {\mathcal {N}}(0)\right\}$

ส่วนนี้มีไว้เพื่ออธิบายความหมายที่แท้จริงของคำศัพท์ต่างๆ ที่เกี่ยวข้องในข้อความแสดงความเป็นเอกลักษณ์นี้

พื้นที่สม่ำเสมอและความสม่ำเสมอที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อน

สำหรับเซตย่อยใดๆให้^[¹^] และให้ ตระกูลที่ไม่ว่างเปล่าเรียกว่า $\Phi ,\Psi \subseteq X\times X,$ $\Phi ^{\operatorname {op} }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(y,x)~:~(x,y)\in \Phi \}$ ${\begin{alignedat}{4}\Phi \circ \Psi ~&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{(x,z):{\text{ there exists }}y\in X{\text{ such that }}(x,y)\in \Psi {\text{ and }}(y,z)\in \Phi \right\}\\&=~\bigcup _{y\in X}\{(x,z)~:~(x,y)\in \Psi {\text{ and }}(y,z)\in \Phi \}\end{alignedat}}$ ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X\times X)$ ฐานของขบวนผู้ติดตามหรือระบบพื้นฐานของกลุ่มบุคคลที่เกี่ยวข้องหากเป็นตัวกรองเบื้องต้นที่ตรงตามเงื่อนไขทั้งหมดต่อไปนี้: ${\mathcal {B}}$ $X\times X$

ทุกเซตในประกอบด้วยเส้นทแยงมุมของเป็นเซตย่อย กล่าวคือสำหรับทุก ๆกล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวกรองเบื้องต้นจะถูกกำหนดไว้ที่ ${\mathcal {B}}$ $X$ $\Delta _{X}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(x,x):x\in X\}\subseteq \Phi$ $\Phi \in {\mathcal {B}}.$ ${\mathcal {B}}$ $\Delta _{X}.$
สำหรับทุกๆจะมีบางสิ่งเช่นนั้น อยู่ $\Omega \in {\mathcal {B}}$ $\Phi \in {\mathcal {B}}$ $\Phi \circ \Phi \subseteq \Omega .$
สำหรับทุกๆจะมีบางสิ่งเช่นนั้น อยู่ $\Omega \in {\mathcal {B}}$ $\Phi \in {\mathcal {B}}$ $\Phi \subseteq \Omega ^{\operatorname {op} }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(y,x):(x,y)\in \Omega \}.$

เอความสม่ำเสมอหรือโครงสร้างที่เป็นตัวกรองที่สร้างขึ้นโดยฐานของกลุ่มสิ่งรอบข้างบางอย่างในกรณีนี้เรากล่าวว่าเป็นฐานของกลุ่มสิ่งรอบข้างสำหรับ $X$ ${\mathcal {U}}$ $X\times X$ ${\mathcal {B}},$ ${\mathcal {B}}$ ${\mathcal {U}}.$

สำหรับกลุ่มบวกแบบสลับที่ได้ $X,$ ระบบพื้นฐานของกลุ่มสิ่งมีชีวิตที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามการแปล^{[ 7 ]}เป็นระบบพื้นฐานของกลุ่มสิ่งมีชีวิตเช่นนั้นสำหรับทุกๆก็ต่อเมื่อสำหรับทุกๆความสม่ำเสมอเรียกว่า a ${\mathcal {B}}$ $\Phi \in {\mathcal {B}},$ $(x,y)\in \Phi$ $(x+z,y+z)\in \Phi$ $x,y,z\in X.$ ${\mathcal {B}}$ ความสม่ำเสมอที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามการแปล^{[ 7 ]}หากมีฐานของกลุ่มที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามการแปล ความสม่ำเสมอแบบแคนอนิกบน TVS ใดๆ ก็ไม่เปลี่ยนแปลงตามการแปล^{[ 7 ]}

ตัวดำเนินการไบนารีมีคุณสมบัติตรงตามข้อกำหนดทั้งหมดต่อไปนี้: $\;\circ \;$

$(\Phi \circ \Psi )^{\operatorname {op} }=\Psi ^{\operatorname {op} }\circ \Phi ^{\operatorname {op} }.$
ถ้าเช่นนั้น $\Phi \subseteq \Phi _{2}$ $\Psi \subseteq \Psi _{2}$ $\Phi \circ \Psi \subseteq \Phi _{2}\circ \Psi _{2}.$
ความสัมพันธ์เชิงสัมพันธ์: $\Phi \circ (\Psi \circ \Omega )=(\Phi \circ \Psi )\circ \Omega .$
ตัวตน: $\Phi \circ \Delta _{X}=\Phi =\Delta _{X}\circ \Phi .$
ศูนย์: $\Phi \circ \varnothing =\varnothing =\varnothing \circ \Phi$

กลุ่มผู้ติดตามที่สมมาตร

เรียกเซตย่อยว่าสมมาตรก็ต่อเมื่อซึ่งเทียบเท่ากับ ความเทียบเท่านี้เป็นผลมาจากเอกลักษณ์และข้อเท็จจริงที่ว่า ถ้าแล้วก็ต่อเมื่อ ตัวอย่างเช่น เซตจะเป็นสมมาตรเสมอสำหรับทุก และเนื่องจากถ้าและเป็นสมมาตรแล้ว ดังนั้น ก็เป็นสมมาตรเช่นกัน $\Phi \subseteq X\times X$ $\Phi =\Phi ^{\operatorname {op} },$ $\Phi ^{\operatorname {op} }\subseteq \Phi .$ $\left(\Phi ^{\operatorname {op} }\right)^{\operatorname {op} }=\Phi$ $\Psi \subseteq X\times X,$ $\Phi \subseteq \Psi$ $\Phi ^{\operatorname {op} }\subseteq \Psi ^{\operatorname {op} }.$ $\Phi ^{\operatorname {op} }\cap \Phi$ $\Phi \subseteq X\times X.$ $(\Phi \cap \Psi )^{\operatorname {op} }=\Phi ^{\operatorname {op} }\cap \Psi ^{\operatorname {op} },$ $\Phi$ $\Psi$ $\Phi \cap \Psi .$

โทโพโลยีที่สร้างขึ้นโดยความสม่ำเสมอ

ญาติ

ให้เป็นค่าใดๆ และให้เป็นการฉายภาพเชิงแคนอนิกบนพิกัดแรกและพิกัดที่สอง ตามลำดับ $\Phi \subseteq X\times X$ $\operatorname {Pr} _{1},\operatorname {Pr} _{2}:X\times X\to X$

สำหรับการกำหนด ใดๆ โดยที่(ตามลำดับ) เรียกว่าเซตของความสัมพันธ์ทางซ้าย (ตามลำดับ ทางขวา ) ของ (จุดใน) ให้แทนกรณีพิเศษที่เป็นเซตที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียวสำหรับบางโดย: ถ้าแล้ว ยิ่งไปกว่านั้นการกระจายทางขวาครอบคลุมทั้งยูเนียนและอินเตอร์เซกชัน หมายความว่า ถ้าแล้วและ $S\subseteq X,$ $S\cdot \Phi ~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{y\in X:\Phi \cap (S\times \{x\})\neq \varnothing \}~=~\operatorname {Pr} _{2}(\Phi \cap (S\times X))$ $\Phi \cdot S~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{x\in X:\Phi \cap (\{x\}\times S)\neq \varnothing \}~=~\operatorname {Pr} _{1}(\Phi \cap (X\times S))=S\cdot \left(\Phi ^{\operatorname {op} }\right)$ $\Phi \cdot S$ $S\cdot \Phi$ $\Phi$ $S.$ $S=\{p\}$ $p\in X$ $p\cdot \Phi ~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{p\}\cdot \Phi ~=~\{y\in X:(p,y)\in \Phi \}$ $\Phi \cdot p~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\Phi \cdot \{p\}~=~\{x\in X:(x,p)\in \Phi \}~=~p\cdot \left(\Phi ^{\operatorname {op} }\right)$ $\Phi ,\Psi \subseteq X\times X$ ${\textstyle (\Phi \circ \Psi )\cdot S=\Phi \cdot (\Psi \cdot S).}$ $\,\cdot \,$ $R,S\subseteq X$ $(R\cup S)\cdot \Phi ~=~(R\cdot \Phi )\cup (S\cdot \Phi )$ $(R\cap S)\cdot \Phi ~\subseteq ~(R\cdot \Phi )\cap (S\cdot \Phi ).$

ย่านที่อยู่อาศัยและชุดเปิดโล่ง

จุดสองจุดและเรียกว่า-ใกล้กันถ้าและเซตย่อยเรียกว่า-เล็กถ้า $x$ $y$ $\Phi$ $(x,y)\in \Phi$ $S\subseteq X$ $\Phi$ $S\times S\subseteq \Phi .$

ให้เป็นฐานของคณะผู้ติดตามบนThe ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X\times X)$ $X.$ ตัวกรองเบื้องต้นของย่านใกล้เคียงณ จุดหนึ่งและตามลำดับ บนเซตย่อยคือตระกูลของเซต: และตัวกรองที่แต่ละเซตสร้างขึ้นเรียกว่า $p\in X$ $S\subseteq X$ ${\mathcal {B}}\cdot p~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\mathcal {B}}\cdot \{p\}=\{\Phi \cdot p:\Phi \in {\mathcal {B}}\}\qquad {\text{ and }}\qquad {\mathcal {B}}\cdot S~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{\Phi \cdot S:\Phi \in {\mathcal {B}}\}$ $X$ ตัวกรองย่านใกล้เคียงของ(หรือของ ตามลำดับ) กำหนดตัวกรองล่วงหน้าของย่านใกล้เคียง และใช้คำจำกัดความของย่านใกล้เคียงของ "เซตเปิด"เพื่อให้ได้โทโพโลยีบน ที่เรียกว่าโทโพโลยีที่เกิดจากหรือ $p$ $S$ $x\in X$ ${\mathcal {B}}\cdot x~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{\Phi \cdot x:\Phi \in {\mathcal {B}}\}$ $X$ ${\mathcal {B}}$ โทโพโลยีแบบเหนี่ยวนำ กล่าวคือ เซตย่อยเปิดในโทโพโลยีนี้ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุก ๆจะมีบางค่าที่ทำให้นั่นคือ เซตย่อยเปิดก็ต่อเมื่อ สำหรับทุก ๆจะมีบางค่าที่ทำให้ $U\subseteq X$ $u\in U$ $N\in {\mathcal {B}}\cdot u$ $N\subseteq U;$ $U$ $u\in U$ $\Phi \in {\mathcal {B}}$ $\Phi \cdot u~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{x\in X:(x,u)\in \Phi \}\subseteq U.$

การปิดของเซตย่อยในโทโพโลยีนี้คือ: $S\subseteq X$ $\operatorname {cl} _{X}S=\bigcap _{\Phi \in {\mathcal {B}}}(\Phi \cdot S)=\bigcap _{\Phi \in {\mathcal {B}}}(S\cdot \Phi ).$

ตัวกรองล่วงหน้าของ Cauchy และความสม่ำเสมอที่สมบูรณ์แบบ

ตัวกรองเบื้องต้นบนปริภูมิเอกรูปที่มีความสม่ำเสมอเรียกว่าตัวกรองเบื้องต้นแบบโคชีถ้าสำหรับทุกกลุ่มอนุภาคจะมีค่าคงที่บางค่าที่ทำให้ ${\mathcal {F}}\subseteq \wp (X)$ $X$ ${\mathcal {U}}$ $N\in {\mathcal {U}},$ $F\in {\mathcal {F}}$ $F\times F\subseteq N.$

พื้นที่สม่ำเสมอเรียกว่า $(X,{\mathcal {U}})$ พื้นที่เอกรูปสมบูรณ์ (ตามลำดับ)พื้นที่เอกรูปสมบูรณ์ตามลำดับ ) ถ้าตัวกรองล่วงหน้าของโคชีทุกตัว (หรือตัวกรองล่วงหน้าของโคชีพื้นฐานทุกตัว) บนลู่เข้าสู่จุดอย่างน้อยหนึ่งจุดของเมื่อถูกกำหนดด้วยโทโพโลยีที่เกิดจาก $X$ $X$ $X$ ${\mathcal {U}}.$

กรณีของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี

ถ้าเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแล้ว สำหรับและ ใดๆ และทอพอโลยีที่เหนี่ยวนำบนโดยความสม่ำเสมอแบบแคนอนิก จะเหมือนกับทอพอโลยีที่เริ่มต้นด้วย (นั่นคือ เป็น) $(X,\tau )$ $S\subseteq X$ $x\in X,$ $\Delta _{X}(N)\cdot S=S+N\qquad {\text{ and }}\qquad \Delta _{X}(N)\cdot x=x+N,$ $X$ $X$ $\tau$

ความต่อเนื่องที่สม่ำเสมอ

ให้และเป็น TVS และเป็นแผนที่ แล้วจะมีความต่อเนื่องสม่ำเสมอถ้าสำหรับทุกย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิดในจะมีย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิดใน อยู่เช่นนั้น สำหรับทุกถ้าแล้ว $X$ $Y$ $D\subseteq X,$ $f:D\to Y$ $f:D\to Y$ $U$ $X,$ $V$ $Y$ $x,y\in D,$ $y-x\in U$ $f(y)-f(x)\in V.$

สมมติว่าเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องสม่ำเสมอ ถ้าเป็นเครือข่ายโคชีในแล้วก็เป็นเครือข่ายโคชีใน ถ้าเป็นตัวกรองเบื้องต้นโคชีใน(หมายความว่าเป็นตระกูลของเซตย่อยของที่เป็นโคชีใน) แล้วก็เป็นตัวกรองเบื้องต้นโคชีในอย่างไรก็ตาม ถ้าเป็นตัวกรองโคชีบนแล้วถึงแม้ว่าจะเป็น ตัวกรอง เบื้องต้น โคชี แต่จะเป็นตัวกรองโคชีในก็ต่อเมื่อเป็นฟังก์ชัน ทั่วถึงเท่านั้น $f:D\to Y$ $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ $D$ $f\circ x_{\bullet }=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}$ $Y.$ ${\mathcal {B}}$ $D$ ${\mathcal {B}}$ $D$ $X$ $f\left({\mathcal {B}}\right)$ $Y.$ ${\mathcal {B}}$ $D$ $f\left({\mathcal {B}}\right)$ $Y$ $f:D\to Y$

ความสมบูรณ์ของ TVS เทียบกับความสมบูรณ์ของเมตริก (เทียม)

ขั้นตอนเบื้องต้น: สร้างพื้นที่เสมือนเมตริกที่สมบูรณ์

เราจะทบทวนแนวคิดพื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีทั่วไปของปริภูมิซูโดเมตริกสมบูรณ์ จำไว้ว่าเมตริก ทุกตัว เป็นซูโดเมตริกและซูโดเมตริกเป็นเมตริกก็ต่อเมื่อดังนั้นปริภูมิเมตริก ทุกตัว เป็นปริภูมิซูโดเมตริกและปริภูมิซูโดเมตริกเป็นปริภูมิเมตริกก็ต่อเมื่อเป็นเมตริก $p$ $p(x,y)=0$ $x=y.$ $(X,p)$ $p$

ถ้าเป็นเซตย่อยของปริภูมิเสมือนเมตริกแล้วเส้นผ่านศูนย์กลางของจะถูกกำหนดให้เป็น $S$ $(X,d)$ $S$ $\operatorname {diam} (S)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\sup _{}\{d(s,t):s,t\in S\}.$

ตัวกรองเบื้องต้นในปริภูมิซูโดเมตริกเรียกว่าตัวกรองเบื้องต้นแบบ -Cauchyหรือเรียกสั้น ๆ ว่าตัวกรองเบื้องต้นแบบ Cauchyถ้าสำหรับแต่ละจำนวนจริงจะมีค่าบางค่าที่ทำให้เส้นผ่านศูนย์กลางของค่านั้นน้อยกว่า ${\mathcal {B}}$ $(X,d)$ $d$ $r>0,$ $B\in {\mathcal {B}}$ $B$ $r.$

สมมติว่าเป็นปริภูมิซูโดเมตริกเน็ตในเรียกว่าเน็ต -โคชีหรือเรียกง่ายๆ ว่าเน็ตโคชีถ้าเป็นตัวกรองล่วงหน้าโคชี ซึ่งเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ $(X,d)$ $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ $X$ $d$ $\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)$

สำหรับทุกสิ่งจะมีบางสิ่งเช่นนั้น ถ้าด้วยและแล้ว

r>0

i\in I

j,k\in I

j\geq i

k\geq i

d\left(x_{j},x_{k}\right)<r

หรือเทียบเท่ากัน ก็ต่อเมื่อในนี่เป็นสิ่งที่คล้ายคลึงกับลักษณะเฉพาะของการลู่เข้าของไปยังจุดหนึ่งดังต่อไปนี้: ถ้าแล้วในก็ต่อเมื่อใน $\left(d\left(x_{j},x_{k}\right)\right)_{(i,j)\in I\times I}\to 0$ $\mathbb {R} .$ $x_{\bullet }$ $x\in X,$ $x_{\bullet }\to x$ $(X,d)$ $\left(x_{i},x\right)_{i\in I}\to 0$ $\mathbb {R} .$

ลำดับโคชี (Cauchy sequence)คือลำดับที่เป็นตาข่ายโคชี (Cauchy net) ด้วย^{[หมายเหตุ 3 ]}

ทุกค่า pseudometric บนเซตจะเหนี่ยวนำให้เกิดโทโพโลยีแบบแคนอนิกปกติซึ่งเราจะใช้สัญลักษณ์ แทนและยังเหนี่ยวนำให้ เกิด ความสม่ำเสมอ แบบแคนอนิก ซึ่งเราจะใช้สัญลักษณ์ แทนโทโพโลยีบน ที่เหนี่ยวนำโดยความสม่ำเสมอเท่ากับเน็ตในเป็นเน็ตโคชีเมื่อเทียบกับ ก็ต่อเมื่อเป็นเน็ตโคชีเมื่อเทียบกับความสม่ำเสมอ ปริภูมิ pseudometric เป็น ปริภูมิ pseudometric ที่สมบูรณ์ (หรือสมบูรณ์ตามลำดับ) ก็ต่อเมื่อเป็น ปริภูมิสม่ำเสมอที่ สมบูรณ์ (หรือสมบูรณ์ตามลำดับ) ยิ่งไปกว่านั้น ปริภูมิ pseudometric (หรือปริภูมิสม่ำเสมอ) จะสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อเป็นปริภูมิสมบูรณ์ตามลำดับ $p$ $X$ $X,$ $\tau _{p}$ $X,$ ${\mathcal {U}}_{p}.$ $X$ ${\mathcal {U}}_{p}$ $\tau _{p}.$ $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ $X$ $p$ ${\mathcal {U}}_{p}.$ $(X,p)$ $\left(X,{\mathcal {U}}_{p}\right)$ $(X,p)$ $\left(X,{\mathcal {U}}_{p}\right)$

ปริภูมิเสมือนเมตริก(ตัวอย่างเช่นปริภูมิเมตริก ) เรียกว่าสมบูรณ์และเรียกว่าปริภูมิเสมือนเมตริกสมบูรณ์ถ้าเงื่อนไขสมมูลใดๆ ต่อไปนี้เป็นจริง: $(X,d)$ $d$

ตัวกรองล่วงหน้าของ Cauchy ทุกตัวจะลู่เข้าสู่จุดอย่างน้อยหนึ่งจุด $X$ $X.$
ข้อความข้างต้น แต่เปลี่ยนคำว่า "prefilter" เป็น "filter"
โครงข่ายโคชีทุกโครงข่ายจะลู่เข้าสู่จุดอย่างน้อยหนึ่งจุดของ $X$ $X$ $X.$ $X.$
- ถ้าเป็นเมตริกบนแล้วจุดจำกัดใดๆ จะต้องมีเอกลักษณ์เฉพาะ และเช่นเดียวกันนี้ก็เป็นจริงสำหรับขีดจำกัดของตัวกรองล่วงหน้าของโคชีบน $d$ $X$ $X.$
ลำดับโคชีทุกลำดับในจะลู่เข้าสู่จุดอย่างน้อยหนึ่งจุดของ $X$ $X$ $X.$ $X.$
- ดังนั้น เพื่อพิสูจน์ว่าสมบูรณ์ จึงเพียงพอที่จะพิจารณาลำดับโคชีใน(และไม่จำเป็นต้องพิจารณาโครงข่ายโคชีทั่วไป) $(X,d)$ $X$
ความสม่ำเสมอเชิงแคนอนิกที่เกิดจากมาตรวัดเทียมคือความสม่ำเสมอที่สมบูรณ์แบบ $X$ $d$

และหากการบวกเป็นการวัดผล เราก็อาจเพิ่มรายการนี้ได้อีก: $d$

ลำดับที่ลดลงของลูกบอลปิดที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางลดลงจะมีจุดตัดที่ไม่ว่างเปล่า^[⁸^] $0$

การวัดค่าเทียมที่สมบูรณ์และ TVS ที่สมบูรณ์

ทุกF-spaceและด้วยเหตุนี้Fréchet space , Banach spaceและHilbert space ทุกอัน จึงเป็น TVS ที่สมบูรณ์ โปรดทราบว่าF -space ทุกอันเป็น Baire spaceแต่มี normed spaces ที่เป็น Baire space แต่ไม่ใช่ Banach space ^{[ 9 ]}

กล่าวกันว่าเมตริกเทียมบนปริภูมิเวกเตอร์ คือ $d$ $X$ การแปลงแบบเทียมที่ไม่เปลี่ยนแปลงถ้าสำหรับเวกเตอร์ทั้งหมด $d(x,y)=d(x+z,y+z)$ $x,y,z\in X.$

สมมติว่าเป็นTVS ที่สามารถกำหนดเมตริกเทียมได้ (เช่น TVS ที่สามารถกำหนดเมตริกได้) และว่าเป็น เมตริกเทียม ใดๆบนซึ่งโทโพโลยีบนที่เหนี่ยวนำโดยเท่ากับ ถ้าเป็นปริภูมิที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อน แล้ว จะ เป็น TVS ที่สมบูรณ์ ก็ต่อเมื่อเป็นปริภูมิเมตริกเทียมที่สมบูรณ์^[¹⁰^] ถ้าไม่ใช่ปริภูมิที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อน แล้ว อาจเป็นไปได้ที่จะเป็น TVS ที่สมบูรณ์ แต่ไม่ใช่ปริภูมิเมตริกเทียมที่สมบูรณ์[ ¹⁰^]⁽ดูเชิงอรรถนี้^[^{หมายเหตุ 4}^]สำหรับตัวอย่าง) ^[¹⁰^] $(X,\tau )$ $p$ $X$ $X$ $p$ $\tau .$ $p$ $(X,\tau )$ $(X,p)$ $p$ $(X,\tau )$ $(X,p)$

ทฤษฎีบท^{[ 11 ]}^{[ 12 ]} (Klee) —ให้เป็น เมตริก ใดๆ^[^{หมายเหตุ 5}^]บนปริภูมิเวกเตอร์โดยที่โทโพโลยีที่เหนี่ยวนำโดยบนทำให้เป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงโทโพโลยี ถ้าเป็นปริภูมิเมตริกที่สมบูรณ์ แล้วเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงโทโพโลยีที่สมบูรณ์ $d$ $X$ $\tau$ $d$ $X$ $(X,\tau )$ $(X,d)$ $(X,\tau )$

มาตรฐานที่สมบูรณ์และมาตรฐานที่เทียบเท่า

บรรทัดฐานสองบรรทัดบนปริภูมิเวกเตอร์เรียกว่าเทียบเท่ากันก็ต่อเมื่อพวกมันเหนี่ยวนำโทโพโลยีเดียวกัน^{[ 13 ]}ถ้าและเป็นบรรทัดฐานที่เทียบเท่ากันสองบรรทัดบนปริภูมิเวกเตอร์ปริภูมิที่มีบรรทัดฐานจะเป็นปริภูมิบานาค ก็ ต่อเมื่อเป็นปริภูมิบานาค ดูเชิงอรรถนี้สำหรับตัวอย่างของบรรทัดฐานต่อเนื่องบนปริภูมิบานาคที่ไม่เทียบเท่ากับบรรทัดฐานที่กำหนดของปริภูมิบานาคนั้น^[^{หมายเหตุ 6}^]^[¹³^] บรรทัดฐานทั้งหมดบนปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดเทียบเท่ากัน และปริภูมิที่มีบรรทัดฐานมิติจำกัดทุกปริภูมิเป็นปริภูมิบานาค^[¹⁴^]ทุกปริภูมิบานาคเป็น TVS ที่สมบูรณ์ ปริภูมิที่มีบรรทัดฐานเป็นปริภูมิบานาค (นั่นคือ เมตริกที่เหนี่ยวนำโดยบรรทัดฐานแคนอนิกของมันสมบูรณ์) ก็ต่อเมื่อมันสมบูรณ์ในฐานะปริภูมิเวกเตอร์เชิงโทโพโลยี $p$ $q$ $X$ $(X,p)$ $(X,q)$

การเสร็จสิ้น

การทำให้สมบูรณ์^{[ 15 ]}ของ TVS คือ TVS ที่สมบูรณ์ซึ่งมีเวกเตอร์ซับสเปซหนาแน่นที่สมมาตรกับ TVS กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็น TVS ที่สมบูรณ์ซึ่งสามารถฝัง TVS เข้าไป เป็นเวกเตอร์ซับสเปซ หนาแน่นได้การฝัง TVS ทุกครั้งเป็นการฝังแบบสม่ำเสมอ $X$ $X.$ $C$ $X$

ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีทุกปริภูมิมีการเติมเต็ม นอกจากนี้ ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบเฮา ส์ด อร์ฟทุกปริภูมิมีการเติมเต็มแบบ เฮาส์ดอร์ฟซึ่งจำเป็นต้องมีเพียงหนึ่งเดียวจนถึง ไอโซมอร์ฟิซึมของปริภูมิเวกเตอร์ เชิงทอพอโลยี อย่างไรก็ตาม ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีทั้งหมด แม้แต่ปริภูมิที่เป็นเฮาส์ดอร์ฟ (สมบูรณ์แล้ว) และ/หรือสามารถกำหนดเมตริกได้ ก็มีการเติมเต็มที่ไม่ใช่เฮาส์ดอร์ฟจำนวนอนันต์ที่ไม่เป็นไอโซมอร์ฟิซึมของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีซึ่งกันและกัน

ตัวอย่างของความสำเร็จ

ตัวอย่างเช่น ปริภูมิเวกเตอร์ที่ประกอบด้วยฟังก์ชัน เชิงเดี่ยวที่มีค่าเป็นสเกลาร์ ซึ่ง(โดยที่เซมินอร์มนี้ถูกกำหนดในลักษณะปกติโดยใช้การอินทิเกรตแบบเลเบส ) จะกลาย เป็น ปริภูมิเซมินอร์มเมื่อได้รับเซมินอร์มนี้ ซึ่งในทางกลับกันจะทำให้มันกลายเป็นทั้งปริภูมิซูโดเมตริกและปริภูมิเวกเตอร์แบบไม่สมบูรณ์แบบเฮาส์ดอร์ฟ การเติมเต็มใดๆ ของปริภูมินี้คือปริภูมิเซมินอร์มแบบไม่สมบูรณ์แบบเฮาส์ดอร์ฟ ซึ่งเมื่อหารด้วยการปิดของจุดกำเนิด (เพื่อให้ได้ปริภูมิเวกเตอร์แบบเฮาส์ดอร์ฟ ) จะส่งผลให้ (ปริภูมิที่มีสมมาตรเชิง เส้น กับ) ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบสมบูรณ์แบบปกติ (ที่ได้รับ นอร์มแบบสมบูรณ์แบบปกติ) $f$ $|f|_{p}<\infty$ $L^{p}$ $\|\cdot \|_{p}$

ตัวอย่างอีกประการหนึ่งที่แสดงให้เห็นถึงประโยชน์ของการเติมเต็ม คือ การเติมเต็มผลคูณเทนเซอร์เชิงทอพอโลยีเช่นผลคูณเทนเซอร์เชิงโปรเจคทีฟหรือผลคูณเทนเซอร์เชิงอินเจกทีฟ ของปริภูมิบานาคด้วย TVS ที่สมบูรณ์และนูนเฉพาะที่แบบเฮาส์ดอร์ฟจะส่งผลให้ได้ TVS ที่สมบูรณ์ซึ่งมีสมมาตรแบบ TVS กับปริภูมิ -แบบ "ทั่วไป" ที่ประกอบด้วยฟังก์ชันค่า - บน(โดยที่ TVS "ทั่วไป" นี้ถูกกำหนดในลักษณะเดียวกันกับปริภูมิเดิมของฟังก์ชันค่าสเกลาร์บน) ในทำนองเดียวกัน การเติมเต็มผลคูณเทนเซอร์เชิง อินเจ ก ทีฟของ ปริภูมิของฟังก์ชันทดสอบ -ค่าสเกลาร์ด้วย TVS ดังกล่าวจะมีสมมาตรแบบ TVS กับ TVS ของฟังก์ชันทดสอบค่า - ที่กำหนดในลักษณะ เดียวกัน $\ell ^{1}(S)$ $Y$ $\ell ^{1}(S;Y)$ $Y$ $S$ $\ell ^{1}(S)$ $S$ $C^{k}$ $Y$ $Y$ $C^{k}$

ความไม่ซ้ำกันของผลลัพธ์ทั้งหมด

ดังตัวอย่างด้านล่างแสดงให้เห็น ไม่ว่าพื้นที่จะเป็น Hausdorff หรือสมบูรณ์แล้วหรือไม่ก็ตามพื้นที่เวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (TVS) ทุกพื้นที่มีการเติมเต็มที่ไม่เหมือนกันเป็นอนันต์^{[ 16 ]}

อย่างไรก็ตาม TVS ของ Hausdorff ทุกตัวมี การเติมเต็ม ของ Hausdorffที่ไม่ซ้ำกันจนถึงไอโซมอร์ฟิซึมของ TVS ^{[ 16 ]}แต่ถึงกระนั้น TVS ของ Hausdorff ทุกตัวก็ยังคงมีการเติมเต็มที่ไม่ใช่ Hausdorff ที่ไม่เหมือนกันอยู่เป็นจำนวนอนันต์

ตัวอย่าง ( ความไม่ซ้ำกันของการทำให้สมบูรณ์ ): ^{[ 15 ]} ให้แทน TVS ที่สมบูรณ์ใดๆ และให้แทน TVS ใดๆ ที่มีโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งจำได้ว่าทำให้เป็น TVS ที่สมบูรณ์ เนื่องจากทั้งและเป็น TVS ที่สมบูรณ์ ดังนั้น ผลคูณของพวกมันก็สมบูรณ์เช่นกัน ถ้าและเป็นเซตย่อยเปิดที่ไม่ว่างของและตามลำดับ แล้วและซึ่งแสดงให้เห็นว่าเป็นปริภูมิย่อยหนาแน่นของ ดังนั้น ตามคำจำกัดความของ "การทำให้สมบูรณ์" จึงเป็นการทำให้สมบูรณ์ของ(ไม่สำคัญว่าจะสมบูรณ์อยู่แล้ว) ดังนั้น โดยการระบุกับถ้าเป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์หนาแน่นของแล้วจะมีทั้งและเป็นการทำให้สมบูรณ์ $C$ $I$ $I$ $I$ $C$ $I\times C.$ $U$ $V$ $I$ $C,$ $U=I$ $(U\times V)\cap (\{0\}\times C)=\{0\}\times V\neq \varnothing ,$ $\{0\}\times C$ $I\times C.$ $I\times C$ $\{0\}\times C$ $\{0\}\times C$ $\{0\}\times C$ $C,$ $X\subseteq C$ $C,$ $X$ $C$ $I\times C$

การเสร็จสิ้นของเฮาส์ดอร์ฟ

TVS ของ Hausdorff ทุกตัวมี การเติมเต็ม ของ Hausdorffที่ไม่ซ้ำกันจนถึงไอโซมอร์ฟิซึมของ TVS ^{[ 16 ]}แต่ถึงกระนั้น ดังที่แสดงข้างต้น TVS ของ Hausdorff ทุกตัวก็ยังคงมีการเติมเต็มที่ไม่ใช่ Hausdorff ที่ไม่เหมือนกันอยู่เป็นจำนวนอนันต์

คุณสมบัติของ Hausdorff completions ^{[ 17 ]} —สมมติว่าและเป็น Hausdorff TVS ที่สมบูรณ์ สมมติว่าเป็นการฝัง TVS บนเวกเตอร์ซับสเปซหนาแน่นของจากนั้น $X$ $C$ $C$ $E:X\to C$ $C.$

คุณสมบัติสากล : สำหรับทุกแผนที่เชิงเส้นต่อเนื่องไปยังระบบเวกเตอร์เฮาส์ดอร์ฟที่สมบูรณ์จะมีแผนที่เชิงเส้นต่อเนื่องที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้นซึ่งทำให้

f:X\to Z

Z,

F:C\to Z

f=F\circ E.

ถ้าเป็นการฝัง TVS ลงบนซับสเปซเวกเตอร์หนาแน่นของ TVS Hausdorff ที่สมบูรณ์ซึ่งมีคุณสมบัติสากลข้างต้นแล้ว จะมีไอโซมอร์ฟิซึม TVS ที่ไม่ซ้ำกัน (แบบหนึ่งต่อหนึ่ง) อยู่หนึ่งเดียวเช่นนั้น $E_{2}:X\to C_{2}$ $C_{2}$ $I:C\to C_{2}$ $E_{2}=I\circ E.$

บทสรุป^{[ 17 ]} —สมมติว่าเป็น Hausdorff TVS ที่สมบูรณ์และเป็นเวกเตอร์ซับสเปซหนาแน่นของจากนั้นแผนที่เชิงเส้นต่อเนื่องทุกแผนที่ไปยัง Hausdorff TVS ที่สมบูรณ์จะมีส่วนขยายเชิงเส้นต่อเนื่องที่ไม่ซ้ำกันไปยังแผนที่ $C$ $X$ $C.$ $f:X\to Z$ $Z$ $C\to Z.$

การมีอยู่ของส่วนต่อเติมเฮาส์ดอร์ฟ

ตัวกรอง Cauchy บน TVS เรียกว่า... ${\mathcal {B}}$ $X$ ตัวกรอง Cauchy ขั้นต่ำ^{[ 17 ]}หากไม่มีตัวกรอง Cauchy บนที่หยาบกว่าอย่างเคร่งครัด(นั่นคือ "หยาบกว่าอย่างเคร่งครัด" หมายถึงบรรจุเป็นเซตย่อยที่เหมาะสมของ) $X$ ${\mathcal {B}}$ ${\mathcal {B}}$ ${\mathcal {B}}$

ถ้าเป็นตัวกรอง Cauchy บนตัวกรองที่สร้างโดยตัวกรองล่วงหน้าต่อไปนี้ คือตัวกรอง Cauchy ขั้นต่ำที่ไม่ซ้ำกันบนที่มีอยู่ในเซตย่อยของ^[¹⁷^] โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับตัวกรองบริเวณใกล้เคียงใดๆ ที่เป็นตัวกรอง Cauchy ขั้นต่ำ ${\mathcal {B}}$ $X$ $\left\{B+N~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}N{\text{ is a neighborhood of }}0{\text{ in }}X\right\}$ $X$ ${\mathcal {B}}.$ $x\in X,$ $x$

ให้เป็นเซตของตัวกรองโคชีขั้นต่ำทั้งหมดบนและให้เป็นแผนที่ที่กำหนดโดยการส่งไปยังตัวกรองใกล้เคียงของใน กำหนดโครงสร้างปริภูมิเวกเตอร์ดังต่อไปนี้: กำหนดให้และค่า สเกลาร์ ให้ (ตามลำดับ) แทนตัวกรองโคชีขั้นต่ำที่ไม่ซ้ำกันซึ่งบรรจุอยู่ในตัวกรองที่สร้างโดย(ตามลำดับ) $\mathbb {M}$ $X$ $E:X\rightarrow \mathbb {M}$ $x\in X$ $x$ $X.$ $\mathbb {M}$ ${\mathcal {B}},{\mathcal {C}}\in \mathbb {M}$ $s,$ ${\mathcal {B}}+{\mathcal {C}}$ $s{\mathcal {B}}$ $\left\{B+C:B\in {\mathcal {B}},C\in {\mathcal {C}}\right\}$ $\{sB:B\in {\mathcal {B}}\}$

สำหรับย่านที่สมดุล ทุกแห่ง ของแหล่งกำเนิดให้ $N$ $X,$ $\mathbb {U} (N)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{{\mathcal {B}}\in \mathbb {M} ~:~{\text{ there exist }}B\in {\mathcal {B}}{\text{ and a neighborhood }}V{\text{ of the origin in }}X{\text{ such that }}B+V\subseteq N\right\}$

ถ้าเป็น Hausdorff แล้วการรวบรวมเซตทั้งหมดเป็นช่วงเหนือย่านใกล้เคียงที่สมดุลทั้งหมดของจุดกำเนิดในการก่อตัวของโทโพโลยีเวกเตอร์บนการทำให้เป็น Hausdorff TVS ที่สมบูรณ์ ยิ่งไปกว่านั้น แผนที่เป็นการฝัง TVS บนพื้นที่ย่อยเวกเตอร์หนาแน่นของ^[¹⁷^] $X$ $\mathbb {U} (N),$ $N$ $X,$ $\mathbb {M}$ $\mathbb {M}$ $E:X\rightarrow \mathbb {M}$ $\mathbb {M} .$

ถ้าTVSเป็น เมตริกซ์ได้ การเติมเต็มแบบเฮาส์ดอร์ฟของสามารถสร้างได้โดยใช้ชั้นสมมูลของลำดับโคชีแทนที่จะใช้ตัวกรองโคชีขั้นต่ำ $X$ $X$

การเสร็จสิ้นที่ไม่ใช่แบบเฮาส์ดอร์ฟ

ส่วนย่อยนี้จะอธิบายรายละเอียดเกี่ยวกับวิธีการฝังตัวแบบเวกเตอร์เชิงซ้อน (TVS) ที่ไม่ใช่แบบเฮาส์ดอร์ฟ (non-Hausdorff) ทุกตัวลงบนปริภูมิเวกเตอร์หนาแน่นของปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนที่สมบูรณ์ (complete TVS) การพิสูจน์ว่า TVS แบบเฮาส์ดอร์ฟทุกตัวมีการเติมเต็มแบบเฮาส์ดอร์ฟนั้นหาได้ทั่วไป ดังนั้นข้อเท็จจริงนี้จะถูกนำมาใช้ (โดยไม่ต้องพิสูจน์) เพื่อแสดงว่า TVS ที่ไม่ใช่แบบเฮาส์ดอร์ฟทุกตัวก็มีการเติมเต็มเช่นกัน รายละเอียดเหล่านี้บางครั้งมีประโยชน์สำหรับการขยายผลลัพธ์จาก TVS แบบเฮาส์ดอร์ฟไปยัง TVS ที่ไม่ใช่แบบเฮาส์ดอร์ฟ $X$

ให้แทนการปิดของจุดกำเนิดในโดยที่มีโทโพโลยีของปริภูมิย่อยที่เหนี่ยวนำโดย(ดังนั้น จึงมีโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง ) เนื่องจากมีโทโพโลยีแบบไม่สำคัญ จึงแสดงได้ง่ายว่าปริภูมิย่อยเวกเตอร์ทุกตัวของที่เป็นส่วนเติมเต็มเชิงพีชคณิตของในจะต้อง เป็น ส่วนเติมเต็มเชิงโทโพโลยีของใน^[¹⁸^]^[¹⁹^] ให้แทนส่วนเติมเต็มเชิงโทโพโลยีใดๆ ของในซึ่ง จะต้องเป็น Hausdorff TVS (เนื่องจากเป็น TVS-isomorphic กับ TVS ผลหาร^[^{หมายเหตุ 7}^] ) เนื่องจากเป็นผลรวมโดยตรงเชิงโทโพโลยีของและ(ซึ่งหมายความว่าในหมวดหมู่ของ TVS) แผนที่แคนอนิกจึง เป็น TVS-isomorphism ^[¹⁹^] ให้ แทนส่วนกลับของแผนที่แคนอนิกนี้ (หมายเหตุเพิ่มเติม เป็นผลสืบเนื่องมาจาก เซตเปิดทุกเซต และเซตปิดทุกเซต เป็นไปตาม[ ^{พิสูจน์}¹^] ) $I=\operatorname {cl} \{0\}$ $X,$ $I$ $X$ $I$ $I$ $X$ $I$ $X$ $I$ $X.$ $H$ $I$ $X,$ $X/I$ $X$ $I$ $H$ $X=I\oplus H$ $I\times H\to I\oplus H=X\quad {\text{ given by }}\quad (x,y)\mapsto x+y$ $A~:~X=I\oplus H~\to ~I\times H$ $U$ $X$ $U=I+U.$

ระบบเวกเตอร์เชิงทอ พอโลยีของเฮาส์ดอร์ฟสามารถฝังตัวในระบบเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีได้ เช่น ผ่านการแมปไปยังส่วนย่อยเวกเตอร์หนาแน่นของการเติมเต็ม เนื่องจากและสมบูรณ์ ดังนั้นผลคูณของพวกมัน ก็สมบูรณ์เช่นกัน ให้ แทนการแมปเอกลักษณ์ และสังเกตว่าการแมปผลคูณเป็นการฝังตัวในระบบเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีซึ่งภาพของมันมีความหนาแน่นใน กำหนดแมป^[^{หมายเหตุ 8}^] ซึ่งเป็นการฝังตัวในระบบเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีของ ไปยังส่วนย่อยเวกเตอร์หนาแน่นของระบบเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีที่สมบูรณ์ ยิ่งไปกว่านั้น สังเกตว่าการปิดของจุดกำเนิดในเท่ากับและและเป็นส่วนเติมเต็มเชิงทอพอโลยีใน $H$ $\operatorname {In} _{H}:H\to C,$ $C.$ $I$ $C$ $I\times C.$ $\operatorname {Id} _{I}:I\to I$ $\operatorname {Id} _{I}\times \operatorname {In} _{H}:I\times H\to I\times C$ $I\times C.$ $B:X=I\oplus H\to I\times C\quad {\text{ by }}\quad B~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\operatorname {Id} _{I}\times \operatorname {In} _{H}\right)\circ A$ $X=I\oplus H$ $I\times C.$ $I\times C$ $I\times \{0\},$ $I\times \{0\}$ $\{0\}\times C$ $I\times C.$

โดยสรุป^{[ 19 ]}เมื่อกำหนดส่วนเติมเต็มพีชคณิต (และทางโทโพโลยี) ใดๆของในและเมื่อกำหนดความสมบูรณ์ของ TVS ของ Hausdorff ใดๆ เช่นนั้นการรวมตามธรรมชาติ^[²⁰^] คือการฝัง TVS ที่กำหนดไว้อย่างดีของบนพื้นที่ย่อยเวกเตอร์หนาแน่นของ TVS ที่สมบูรณ์โดยที่ยิ่งไปกว่านั้น $H$ $I~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\operatorname {cl} \{0\}$ $X$ $C$ $H$ $H\subseteq C,$ $\operatorname {In} _{H}:X=I\oplus H\to I\oplus C$ $X$ $I\oplus C$ $X=I\oplus H\subseteq I\oplus C\cong I\times C.$

โทโพโลยีของการทำให้สมบูรณ์

ทฤษฎีบท^{[ 7 ]}^{[ 21 ]} (โทโพโลยีของการเติมเต็ม) —ให้เป็น TVS ที่สมบูรณ์ และให้เป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์หนาแน่นของ ถ้าเป็นฐานย่านใกล้เคียง ใดๆ ของจุดกำเนิดในแล้วเซต เป็นย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิดในการเติมเต็มของ $C$ $X$ $X.$ ${\mathcal {N}}_{X}(0)$ $X$ ${\mathcal {N}}_{X}(0)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{\operatorname {cl} _{C}N~:~N\in {\mathcal {N}}_{X}(0)\right\}$ $C$ $X.$

ถ้าเป็นเซตเว้าเฉพาะที่ และเป็นตระกูลของเซมินอร์มต่อเนื่องบนที่สร้างโทโพโลยีของแล้ว ตระกูลของส่วนขยายต่อเนื่องทั้งหมดไปยังของสมาชิกทั้งหมดของเป็นตระกูลเซมินอร์มที่สร้าง สำหรับ $X$ ${\mathcal {P}}$ $X$ $X,$ $C$ ${\mathcal {P}}$ $C.$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าเป็นการเติมเต็ม TVS ด้วยและถ้าเป็นฐานใกล้เคียงของจุดกำเนิดในแล้วตระกูลของเซต จะเป็นฐานใกล้เคียงที่จุดกำเนิดใน^[³^] $C$ $X$ $X\subseteq C$ ${\mathcal {N}}$ $X,$ $\left\{\operatorname {cl} _{C}N~:~N\in {\mathcal {N}}\right\}$ $C.$

ทฤษฎีบท^{[ 22 ]} (การเติมเต็มของผลหาร) —ให้เป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีที่สามารถวัดได้และให้เป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ปิดของสมมติว่าเป็นการเติมเต็มของแล้วการเติมเต็มของจะเป็นไอโซมอร์ฟิกแบบ TVS กับถ้านอกจากนี้เป็นปริภูมิบรรทัดฐาน ไอโซมอร์ฟิซึมแบบ TVS นี้ก็เป็นไอโซเมตรีด้วย $M$ $N$ $M.$ $C$ $M.$ $M/N$ $C/\operatorname {cl} _{C}N.$ $M$

ทฤษฎีความสมบูรณ์ของโกรเทนดีค

ให้แทน ${\mathcal {E}}$ คอมแพ็กโทโลยีแบบต่อเนื่องสม่ำเสมอในปริภูมิคู่ต่อเนื่องซึ่งตามคำนิยามประกอบด้วยเซตย่อย นูนสัมบูรณ์แบบปิดอ่อน*จำกัดอ่อน*ต่อเนื่องสม่ำเสมอของ^[²³^] (ซึ่งจำเป็นต้องเป็นเซตย่อยกระชับอ่อน* ของ) สมมติว่าทุก ๆถูกกำหนดด้วยโทโพโลยีอ่อน*ตัวกรองบนเรียกว่า $X^{\prime },$ $X^{\prime }$ $X^{\prime }$ $E^{\prime }\in {\mathcal {E}}$ ${\mathcal {B}}$ $X^{\prime }$ ลู่เข้าอย่างต่อเนื่องไปยังถ้ามีอยู่บางอย่างที่มี(นั่นคือ) ซึ่งร่องรอยของบนซึ่งเป็นตระกูลลู่เข้าสู่ใน(นั่นคือ ถ้าในโทโพโลยี weak-* ที่กำหนด)^[²⁴^] ตัวกรองลู่เข้าอย่างต่อเนื่องไปยังก็ต่อเมื่อลู่เข้าอย่างต่อเนื่องไปยังจุดกำเนิด ซึ่งเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกตัวกรองในฟิลด์สเกลาร์ (ซึ่งคือหรือ) โดยที่แทนฐานใกล้เคียงใดๆ ที่จุดกำเนิดในแทนการจับคู่แบบคู่และแทนตัวกรองที่สร้างโดย^[²⁴^] แผนที่ไปยังปริภูมิโทโพโลยี (เช่น หรือ)กล่าวได้ว่าเป็น $x^{\prime }\in X^{\prime }$ $E^{\prime }\in {\mathcal {E}}\cap {\mathcal {B}}$ $x^{\prime }$ $x^{\prime }\in E^{\prime }$ ${\mathcal {B}}$ $E^{\prime },$ ${\mathcal {B}}{\big \vert }_{E^{\prime }}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{B\cap E^{\prime }:B\in {\mathcal {B}}\right\},$ $x^{\prime }$ $E^{\prime }$ ${\mathcal {B}}{\big \vert }_{E^{\prime }}\to x^{\prime }$ ${\mathcal {B}}$ $x^{\prime }$ ${\mathcal {B}}-x^{\prime }$ $x\in X,$ $\langle {\mathcal {B}},x+{\mathcal {N}}\rangle \to \langle x^{\prime },x\rangle$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ ${\mathcal {N}}$ $X,$ $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ $\langle {\mathcal {B}},x+{\mathcal {N}}\rangle$ $\{\langle B,x+N\rangle ~:~B\in {\mathcal {B}},N\in {\mathcal {N}}\}.$ $f:X^{\prime }\to T$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\gamma$ -ต่อเนื่องหากเมื่อใดก็ตามที่ตัวกรองบนลู่เข้าอย่างต่อเนื่องไปยัง^[²⁴^] ${\mathcal {B}}$ $X^{\prime }$ $x^{\prime }\in X^{\prime },$ $f({\mathcal {B}})\to f\left(x^{\prime }\right).$

ทฤษฎีบทความสมบูรณ์ของ Grothendieck ^{[ 24 ]} —ถ้าเป็นปริภูมิเวกเตอร์โทโพโลยี Hausdorff แล้วความสมบูรณ์ของปริภูมิเวกเตอร์โทโพโลยี Hausdorff นั้นจะสมมาตรเชิงเส้นกับเซตของต่อเนื่องบน $X$ $\gamma$ $X^{\prime }.$

คุณสมบัติที่ได้รับการอนุรักษ์ไว้โดยการก่อสร้างแล้วเสร็จ

หาก TVS มีคุณสมบัติใดคุณสมบัติหนึ่งต่อไปนี้ การประกอบชิ้นส่วนของ TVS ก็จะมีคุณสมบัติดังกล่าวด้วยเช่นกัน: $X$

เฮาส์ดอร์ฟ
นูนเฉพาะที่
ซูโดเมตริกซ์^{[ 16 ]}
วัดได้^{[ 16 ]}
กึ่งมาตรฐาน
นอร์มเบิล
- นอกจากนี้ หากเป็นปริภูมิบรรทัดฐานแล้ว การเติมเต็มสามารถเลือกให้เป็นปริภูมิบานาคได้โดยที่การฝังแบบ TVS ของลงในเป็นไอโซเมตรี $(X,p)$ $(B,q)$ $(X,p)$ $(B,q)$
Hausdorff ก่อน Hilbertนั่นคือ TVS ที่เกิดจาก ผล คูณภายใน^{[ 25 ]}
นิวเคลียร์^{[ 26 ]}
บาร์เรล^{[ 27 ]}
แม็กกี้^{[ 28 ]}
พื้นที่ DF ^{[ 29 ]}

การเติมเต็มของปริภูมิฮิลเบิร์ต

พื้นที่ผลคูณภายในทุกพื้นที่มีการเติมเต็มที่เป็นพื้นที่ฮิลเบิร์ต โดยที่ผลคูณภายในเป็นส่วนขยายต่อเนื่องที่ไม่ซ้ำกันของผลคูณภายในดั้งเดิมบรรทัดฐานที่เกิดจากก็เป็นส่วนขยายต่อเนื่องที่ไม่ซ้ำกันของบรรทัดฐานที่เกิดจากเช่นกัน^[²⁵^]^[²¹^] $\left(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)$ $\left({\overline {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\overline {H}}\right)$ $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\overline {H}}$ ${\overline {H}}$ $\langle \cdot ,\cdot \rangle .$ $\left({\overline {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\overline {H}}\right)$ ${\overline {H}}$ $\langle \cdot ,\cdot \rangle .$

คุณสมบัติอื่นๆ ที่ได้รับการอนุรักษ์ไว้

ถ้าเป็นHausdorff TVS แล้ว พื้นที่คู่ต่อเนื่องของจะเหมือนกับพื้นที่คู่ต่อเนื่องของ ที่ทำให้สมบูรณ์ของ^[³⁰^]การทำให้สมบูรณ์ของพื้นที่ bornological ที่เป็นนูนเฉพาะที่ คือพื้นที่ทรงกระบอก [ ²⁷^]^ถ้าและเป็นDF -spaceแล้วผลคูณเทนเซอร์เชิงโปรเจกทีฟรวมถึงการเติมเต็มของพื้นที่เหล่านี้ จะเป็น DF-space ^[³¹^] $X$ $X$ $X.$ $X$ $Y$

การเติมเต็มผลคูณเทนเซอร์เชิงโปรเจกทีฟของปริภูมินิวเคลียร์สองปริภูมิคือปริภูมินิวเคลียร์^{[ 26 ]}การเติมเต็มปริภูมินิวเคลียร์คือ TVS-isomorphic กับขีดจำกัดเชิงโปรเจกทีฟของปริภูมิฮิลเบิร์ต^{[ 26 ]}

ถ้า(หมายความว่าแผนที่การบวกเป็นไอโซมอร์ฟิซึม TVS) มีการเติมเต็มแบบเฮาส์ดอร์ฟแล้ว ถ้าในการบวกเป็นปริภูมิผลคูณภายในและและเป็นส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากซึ่งกันและกันใน(นั่นคือ) แล้วและเป็นส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากในปริภูมิฮิลเบิร์ต $X=Y\oplus Z$ $Y\times Z\to X$ $C$ $\left(\operatorname {cl} _{C}Y\right)+\left(\operatorname {cl} _{C}Z\right)=C.$ $X$ $Y$ $Z$ $X$ $\langle Y,Z\rangle =\{0\}$ $\operatorname {cl} _{C}Y$ $\operatorname {cl} _{C}Z$ $C.$

คุณสมบัติของแผนที่ที่ได้รับการรักษาไว้โดยการขยายให้สมบูรณ์

ถ้าเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นนิวเคลียร์ระหว่างปริภูมิเว้าเฉพาะที่สอง และถ้าเป็นการเติมเต็มของแล้วจะมีส่วนขยายเชิงเส้นต่อเนื่องที่ไม่ซ้ำกันสำหรับตัวดำเนินการเชิงเส้นนิวเคลียร์^[²⁶^] $f:X\to Y$ $C$ $X$ $f$ $F:C\to Y.$

ให้และเป็น TVS ของ Hausdorff สองตัวที่มีความสมบูรณ์ ให้เป็นการเติมเต็มของให้แทนปริมาณเวกเตอร์ของตัวดำเนินการเชิงเส้นต่อเนื่อง และให้แทนแผนที่ที่ส่งทุก ไปยังส่วนขยายเชิงเส้นต่อเนื่องที่ไม่ซ้ำกันบนดังนั้นเป็นไอโซมอร์ฟิซึมของปริมาณเวกเตอร์ (แบบทั่วถึง) ยิ่งไปกว่านั้นแผนที่ จะส่งตระกูลของ เซตย่อย ที่มีความต่อเนื่องเท่ากันไปยังกันและกัน สมมติว่ามีโทโพโลยี -และแทนการปิดในของเซตในดังนั้น แผนที่ก็เป็นไอโซมอร์ฟิซึมของ TVS เช่นกัน^[²⁶^] $X$ $Y$ $Y$ $C$ $X.$ $L(X;Y)$ $I:L(X;Y)\to L(C;Y)$ $f\in L(X;Y)$ $C.$ $I:L(X;Y)\to L(C;Y)$ $I:L(X;Y)\to L(C;Y)$ $L(X;Y)$ ${\mathcal {G}}$ ${\mathcal {H}}$ $C$ ${\mathcal {G}}.$ $I:L_{\mathcal {G}}(X;Y)\to L_{\mathcal {H}}(C;Y)$

ตัวอย่างและเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับ TVS ที่สมบูรณ์

ทฤษฎีบท— ^{[ 11 ]} ให้เป็น เมตริก ใดๆ (ไม่ถือว่าคงที่ภายใต้การแปล) บนปริภูมิเวกเตอร์โดยที่โทโพโลยีที่เหนี่ยวนำโดยบนทำให้เป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงโทโพโลยี ถ้าเป็นปริภูมิเมตริกที่สมบูรณ์ แล้วเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงโทโพโลยีที่สมบูรณ์ $d$ $X$ $\tau$ $d$ $X$ $(X,\tau )$ $(X,d)$ $(X,\tau )$

ระบบ พิกัดสามมิติ ( TVS) ใดๆ ที่มี โทโพโลยีแบบไม่สำคัญ นั้นสมบูรณ์ และเซตย่อยทุกเซตของระบบพิกัดสามมิตินั้นก็สมบูรณ์เช่นกัน ยิ่งไปกว่านั้น ระบบพิกัดสามมิติทุกระบบที่มีโทโพโลยีแบบไม่สำคัญนั้นกระชับ และด้วยเหตุนี้จึงกระชับในระดับท้องถิ่น ดังนั้น ระบบพิกัด สามมิติที่ สมบูรณ์ กึ่งนอร์มได้ นูนในระดับท้องถิ่น และกระชับในระดับท้องถิ่น จึงไม่จำเป็นต้องมีมิติจำกัด หากไม่ใช่ระบบพิกัดแบบเฮาส์ดอร์ฟ
ผลคูณใดๆ ของ TVS ที่สมบูรณ์ (หรือสมบูรณ์ตามลำดับ กึ่งสมบูรณ์) มีคุณสมบัติเดียวกันนั้น หากปริภูมิทั้งหมดเป็น Hausdorff แล้วข้อความกลับก็เป็นจริงเช่นกัน^{[ 32 ]}ผลคูณของความสมบูรณ์แบบ Hausdorff ของตระกูล TVS (Hausdorff) คือความสมบูรณ์แบบ Hausdorff ของ TVS ผลคูณของพวกมัน^{[ 32 ]}โดยทั่วไปแล้ว ผลคูณใดๆ ของเซตย่อยที่สมบูรณ์ของตระกูล TVS คือเซตย่อยที่สมบูรณ์ของ TVS ผลคูณ^{[ 33 ]}
ขีดจำกัดเชิงโปรเจกทีฟของระบบเชิงโปรเจกทีฟของ TVS ที่สมบูรณ์แบบ Hausdorff (หรือสมบูรณ์ตามลำดับ สมบูรณ์แบบกึ่งสมบูรณ์) มีคุณสมบัติเดียวกัน^{[ 32 ]}ขีดจำกัดเชิงโปรเจกทีฟของการเติมเต็มแบบ Hausdorff ของระบบผกผันของ TVS (Hausdorff) คือการเติมเต็มแบบ Hausdorff ของขีดจำกัดเชิงโปรเจกทีฟ^{[ 32 ]}
ถ้าเป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ปิดของTVS ที่สมบูรณ์แบบที่สามารถระบุเมตริกเทียมได้ปริภูมิผลหารก็จะสมบูรณ์^[³^] $M$ $X,$ $X/M$
สมมติว่าเป็น ปริภูมิย่อยเวกเตอร์ ที่สมบูรณ์ของTVS ที่สามารถวัดได้ถ้าปริภูมิผลหารสมบูรณ์แล้ว ก็จะสมบูรณ์เช่นกัน[ ³^]^[³⁴^]^{อย่างไรก็ตาม}มี TVS ที่สมบูรณ์ซึ่งมีปริภูมิย่อยเวกเตอร์ปิดอยู่ซึ่ง TVS ผลหารไม่สมบูรณ์^[¹⁷^] $M$ $X.$ $X/M$ $X.$ $X$ $M$ $X/M$
ปริภูมิ F , ปริภูมิ Fréchet , ปริภูมิ Banachและปริภูมิ Hilbertทุกอันล้วนเป็นปริภูมิเชิงค่าสมบูรณ์ (VTS)
พื้นที่ LFที่เข้มงวดและพื้นที่ LB ที่เข้มงวด นั้นสมบูรณ์^{[ 35 ]}
สมมติว่าเป็นเซตย่อยหนาแน่นของ TVS ถ้าตัวกรอง Cauchy ทุกตัวบนลู่เข้าสู่จุดใดจุดหนึ่งในแล้วจะสมบูรณ์^[³⁴^] $D$ $X.$ $D$ $X$ $X$
ปริภูมิชวาร์ตซ์ของฟังก์ชันเรียบนั้นสมบูรณ์แล้ว
พื้นที่ของการแจกแจงและฟังก์ชันทดสอบนั้นสมบูรณ์แล้ว
สมมติว่าและเป็น TVS ที่มีความนูนเฉพาะที่และปริภูมิของแผนที่เชิงเส้นต่อเนื่องนั้นมีโทโพโลยีของการลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอบนเซตย่อยที่มีขอบเขตของถ้าเป็น ปริภูมิ บอร์นโอโลจิคัลและถ้าเป็นปริภูมิที่สมบูรณ์ แล้ว ก็เป็น TVS ที่สมบูรณ์^[³⁵^]โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ปริภูมิคู่ที่แข็งแกร่งของปริภูมิบอร์นโอโลจิคัลเป็นปริภูมิที่สมบูรณ์^[³⁵^]อย่างไรก็ตาม ไม่จำเป็นต้องเป็นปริภูมิบอร์นโอโลจิคัล $X$ $Y$ $L_{b}(X;Y)$ $X.$ $X$ $Y$ $L_{b}(X;Y)$
พื้นที่ DF กึ่งสมบูรณ์ ทุกแห่งจะสมบูรณ์^[²⁹^]
ให้และเป็นโทโพโลยี TVS ของ Hausdorff บนปริภูมิเวกเตอร์โดยที่ถ้ามีพรีฟิลเตอร์อยู่โดยที่เป็นฐานใกล้เคียงที่จุดกำเนิดสำหรับและ โดยที่ทุกเป็นเซตย่อยที่สมบูรณ์ของแล้วจะเป็น TVS ที่สมบูรณ์^[⁶^] $\omega$ $\tau$ $X$ $\omega \subseteq \tau .$ ${\mathcal {B}}$ ${\mathcal {B}}$ $(X,\tau )$ $B\in {\mathcal {B}}$ $(X,\omega ),$ $(X,\tau )$

คุณสมบัติ

ทีวีเอสครบวงจร

TVS ทุกตัวมีการเติมเต็มและ TVS แบบ Hausdorff ทุกตัวมีการเติมเต็มแบบ Hausdorff ^{[ 36 ]} TVS ที่สมบูรณ์ทุกตัวเป็นปริภูมิกึ่งสมบูรณ์และสมบูรณ์ตามลำดับ [ ^{37 ] อย่างไรก็ตาม} บทกลับของข้อสรุปข้างต้นโดยทั่วไปเป็นเท็จ^{[ 37 ]} มี TVS นูนเฉพาะที่ ที่สมบูรณ์ตามลำดับซึ่งไม่ใช่กึ่งสมบูรณ์^{[ 29 ]}

ถ้า TVS มีบริเวณใกล้เคียงที่สมบูรณ์ของจุดกำเนิดแล้ว TVS นั้นก็จะสมบูรณ์^{[ 38 ]} TVS ที่ สมบูรณ์แบบทุกตัว ที่สามารถวัดเมตริกได้ นั้นเป็นปริภูมิแบบบาร์เรลและปริภูมิแบร์ (และดังนั้นจึงไม่ใช่ปริภูมิที่เล็กจิ๋ว) ^{[ 39 ]} มิติของ TVS ที่สมบูรณ์แบบที่สามารถวัดเมตริกได้นั้นเป็นได้ทั้งแบบจำกัดหรือนับไม่ได้^{[ 19 ]}

ตาข่ายคอชีและตัวกรองเบื้องต้น

ฐานพื้นที่ใดๆของจุดใดๆ ใน TVS ถือเป็นตัวกรองเบื้องต้นของ Cauchy

เน็ตที่บรรจบกันทุกตัว (หรือพรีฟิลเตอร์) ใน TVS จำเป็นต้องเป็นเน็ตโคชี (หรือพรีฟิลเตอร์โคชี) ^{[ 6 ]} พรีฟิลเตอร์ใดๆ ที่อยู่ภายใต้ (นั่นคือ ละเอียดกว่า) พรีฟิลเตอร์โคชี จำเป็นต้องเป็นพรีฟิลเตอร์โคชีด้วย^{[ 6 ]}และพรีฟิลเตอร์ใดๆ ที่ละเอียดกว่าพรีฟิลเตอร์โคชีก็จะเป็นพรีฟิลเตอร์โคชีด้วย ฟิลเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับลำดับใน TVS จะเป็นโคชีก็ต่อเมื่อลำดับนั้นเป็นลำดับโคชี พรีฟิลเตอร์ที่บรรจบกันทุกตัวเป็นพรีฟิลเตอร์โคชี

ถ้าเป็น TVS และถ้าเป็นจุดคลัสเตอร์ของเครือข่าย Cauchy (หรือตัวกรอง Cauchy ก่อนหน้า) เครือข่าย Cauchy นั้น (หรือตัวกรอง Cauchy ก่อนหน้า) จะลู่เข้าสู่ใน^[³^] ถ้าตัวกรอง Cauchy ใน TVS มีจุดสะสมมันจะลู่เข้าสู่ $X$ $x\in X$ $x$ $X.$ $x$ $x.$

แผนที่ต่อเนื่องสม่ำเสมอส่งเครือข่ายโคชีไปยังเครือข่ายโคชี^{[ 3 ]} ลำดับโคชีใน Hausdorff TVS เมื่อพิจารณาเป็นเซต ไม่จำเป็นต้องมีความกะทัดรัดสัมพัทธ์ (นั่นคือ การปิดในไม่จำเป็นต้องมีความกะทัดรัด^[^{หมายเหตุ 9}^] ) แม้ว่าจะมีความกะทัดรัดก่อน (นั่นคือ การปิดในการเติมเต็มของมีความกะทัดรัด) $X,$ $X$ $X$

ลำดับโคชีทุกลำดับเป็นเซตย่อยที่มีขอบเขตแต่สิ่งนี้ไม่จำเป็นต้องเป็นจริงสำหรับเน็ตโคชีเสมอไป ตัวอย่างเช่น ให้มีลำดับปกติ ให้ แทน ลำดับก่อนหน้าใดๆบนTVS ที่ไม่ แยกส่วน (นั่นคือไม่มีโทโพโลยีที่ไม่สำคัญและยังถือว่า) และขยายลำดับก่อนหน้าทั้งสองนี้ไปยังการรวมกันโดยประกาศว่าเป็นจริงสำหรับทุกและ ให้กำหนด โดยถ้าและมิฉะนั้น (นั่นคือ ถ้า) ซึ่งเป็นเน็ตในเนื่องจากเซตที่มีลำดับก่อนหน้าเป็นแบบมีทิศทาง (ลำดับก่อนหน้าบน นี้ยังเป็นลำดับบางส่วน (หรือลำดับทั้งหมด ) ถ้าสิ่งนี้เป็นจริงสำหรับ) เน็ตนี้เป็นเน็ตโคชีในเพราะมันลู่เข้าสู่จุดกำเนิด แต่เซตไม่ใช่เซตย่อยที่มีขอบเขตของ(เพราะไม่มีโทโพโลยีที่ไม่สำคัญ) $\mathbb {N}$ $\,\leq \,$ $X$ $X$ $X\cap \mathbb {N} =\varnothing$ $I~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~X\cup \mathbb {N}$ $x\leq n$ $x\in X$ $n\in \mathbb {N} .$ $f:I\to X$ $f(i)=i$ $i\in X$ $f(i)=0$ $i\in \mathbb {N}$ $X$ $(I,\leq )$ $I$ $(X,\leq )$ $f$ $X$ $\{f(i):i\in I\}=X$ $X$ $X$

สมมติว่าเป็นตระกูลของ TVS และแทนผลคูณของ TVS เหล่านี้ สมมติว่าสำหรับทุกดัชนีเป็นตัวกรองล่วงหน้าบนจากนั้นผลคูณของตระกูลตัวกรองล่วงหน้านี้จะเป็นตัวกรอง Cauchy บนก็ต่อเมื่อแต่ละเป็นตัวกรอง Cauchy บน^[¹⁷^] $X_{\bullet }=\left(X_{i}\right)_{i\in I}$ $X$ $i,$ ${\mathcal {B}}_{i}$ $X_{i}.$ $X$ ${\mathcal {B}}_{i}$ $X_{i}.$

แผนที่

ถ้าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมเชิงทอพอโลยีแบบฉีดจาก TVS ที่สมบูรณ์ไปยัง TVS ของ Hausdorff แล้วภาพของ(นั่นคือ) เป็นปริภูมิย่อยปิดของ^[³⁴^] ถ้าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมเชิงทอ พอโลยี จาก TVS ที่สามารถระบุเมตริกได้ ที่สมบูรณ์ ไปยัง TVS ของ Hausdorff แล้วช่วงของเป็นปริภูมิย่อยปิดของ^[³⁴^] ถ้าเป็น แผนที่ ต่อเนื่องสม่ำเสมอระหว่าง TVS ของ Hausdorff สองตัวแล้วภาพภายใต้ของเซตย่อยที่มีขอบเขตทั้งหมดของเป็นเซตย่อยที่มีขอบเขตทั้งหมดของ^[⁴⁰^] $f:X\to Y$ $f$ $f(X)$ $Y.$ $f:X\to Y$ $f$ $Y.$ $f:X\to Y$ $f$ $X$ $Y.$

ส่วนขยายต่อเนื่องสม่ำเสมอ

สมมติว่าเป็นการแมปแบบต่อเนื่องสม่ำเสมอจากเซตย่อยหนาแน่นของ TVS ไปยัง TVS Hausdorff ที่สมบูรณ์จากนั้นจะมีส่วนขยายแบบต่อเนื่องสม่ำเสมอที่ไม่ซ้ำกันไปยังทั้งหมดของ^[³^] ถ้านอกจากนี้เป็นโฮโมมอร์ฟิซึม ส่วนขยายแบบต่อเนื่องสม่ำเสมอที่ไม่ซ้ำกันของมันก็เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมเช่นกัน^[³^] สิ่งนี้ยังคงเป็นจริงหาก "TVS" ถูกแทนที่ด้วย "กลุ่มโทโพโลยีแบบสลับที่ได้" ^[³^] การแมปไม่จำเป็นต้องเป็นการแมปเชิงเส้น และไม่จำเป็นต้องเป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ของ $f:D\to Y$ $D$ $X$ $Y.$ $f$ $X.$ $f$ $f$ $D$ $X.$

ส่วนขยายเชิงเส้นต่อเนื่องสม่ำเสมอ

สมมติว่าเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นต่อเนื่องระหว่าง TVS ของ Hausdorff สองตัว ถ้าเป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์หนาแน่นของและถ้าการจำกัดไป ยัง เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมเชิงโท โพโลยี แล้วก็เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมเชิงโทโพโลยีเช่น กัน ^[⁴¹^]ดังนั้น ถ้าและเป็นการเติมเต็ม Hausdorff ของและตามลำดับ และถ้าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมเชิงโทโพโลยีการขยายเชิงเส้นต่อเนื่องที่ไม่ซ้ำกันของ ก็เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมเชิงโทโพโลยี (โปรดทราบว่าเป็นไปได้ที่ จะเป็นการส่งทั่วถึง แต่ สำหรับอาจจะไม่เป็นการส่งหนึ่งต่อหนึ่ง) ^[⁴¹^] $f:X\to Y$ $M$ $X$ $f{\big \vert }_{M}:M\to Y$ $M$ $f:X\to Y$ $C$ $D$ $X$ $Y,$ $f:X\to Y$ $f$ $F:C\to D$ $f:X\to Y$ $F:C\to D$

สมมติว่าและเป็น Hausdorff TVS, เป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์หนาแน่นของและเป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์หนาแน่นของถ้าและเป็นกลุ่มย่อยบวกที่สมมาตรเชิงโทโพโลยีผ่านโฮโมมอร์ฟิซึมเชิงโทโพโลยีแล้ว สิ่งเดียวกันนี้ก็เป็นจริงสำหรับและผ่านส่วนขยายต่อเนื่องสม่ำเสมอที่ไม่ซ้ำกันของ(ซึ่งเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมเช่นกัน) ^[⁴²^] $X$ $Y$ $M$ $X,$ $N$ $Y.$ $M$ $N$ $f$ $X$ $Y$ $f$

เซตย่อย

ชุดย่อยที่สมบูรณ์

เซตย่อยที่สมบูรณ์ทุกเซตของ TVS สมบูรณ์ตามลำดับเซตย่อยที่สมบูรณ์ของ Hausdorff TVS คือเซตย่อยปิดของ^[³^]^[³⁸^] $X$ $X.$

เซตย่อยกระชับทุกเซตของ TVS นั้นสมบูรณ์ (แม้ว่า TVS จะไม่ใช่ Hausdorff หรือไม่สมบูรณ์ก็ตาม) ^{[ 3 ]}^{[ 38 ]} เซตย่อยปิดของ TVS ที่สมบูรณ์นั้นสมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม หาก TVS ไม่สมบูรณ์เซตย่อยปิดของนั้นก็จะไม่สมบูรณ์เช่นกัน เซตว่างเป็นเซตย่อยที่สมบูรณ์ของ TVS ทุกเซต ถ้าเป็นเซตย่อยที่สมบูรณ์ของ TVS (TVS ไม่จำเป็นต้องเป็น Hausdorff หรือสมบูรณ์) แล้วเซตย่อยใดๆ ของที่ปิดอยู่ในก็เป็นเซตย่อยที่สมบูรณ์เช่นกัน^[³⁸^] $X$ $X$ $X$ $C$ $C$ $C$

ส่วนเติมเต็มเชิงทอพอโลยี

ถ้า เป็น ปริภูมิ Fréchetที่ไม่มีบรรทัดฐานซึ่งมีบรรทัดฐานต่อเนื่องอยู่ จะมีปริภูมิย่อยเวกเตอร์ปิดที่ไม่มีส่วนเติมเต็มเชิงโทโพโลยี [ ²⁹^]^ถ้า เป็นTVS ที่สมบูรณ์และเป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ปิดของซึ่งไม่สมบูรณ์ จะไม่มีส่วนเติมเต็มเชิงโทโพโลยีใน^[²⁹^] $X$ $X$ $X$ $M$ $X$ $X/M$ $H$ $X.$

ส่วนย่อยของความสำเร็จ

ให้เป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบเมตริกซ์ ที่ แยกได้และนูนเฉพาะที่และให้เป็นส่วนเติมเต็มของมัน ถ้าเป็นเซตย่อยที่มีขอบเขตของแล้วจะมีเซตย่อยที่มีขอบเขตของเช่นนั้น^[²⁹^] $M$ $C$ $S$ $C$ $R$ $X$ $S\subseteq \operatorname {cl} _{C}R.$

ความสัมพันธ์กับเซตย่อยกระชับ

เซตย่อยของ TVS ( ไม่ถือว่าเป็น Hausdorff หรือสมบูรณ์) จะกระชับก็ต่อเมื่อสมบูรณ์และมีขอบเขตโดยสมบูรณ์ [ ^{43 ] [}^{พิสูจน์ 2 ]} ดังนั้นเซตย่อยที่ปิดและมีขอบเขตโดยสมบูรณ์ของ TVS ที่สมบูรณ์จึงกระชับ^{[ 44 ]}^{[ 3 ]}

ใน TVS ที่เป็นนูนเฉพาะที่ของ Hausdorff นั้น เปลือกนูนของ เซต พรีคอมแพ็กต์จะเป็นพรีคอมแพ็กต์อีกครั้ง^{[ 45 ]}ดังนั้น ใน TVS ที่เป็นนูนเฉพาะที่ของ Hausdorff ที่สมบูรณ์ เปลือกนูนปิดของเซตย่อยคอมแพ็กต์จะเป็นคอมแพ็กต์อีกครั้ง^{[ 46 ]}

ส่วนนูนของเซตย่อยกระชับของปริภูมิฮิลเบิร์ตไม่จำเป็นต้องปิด และดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องกระชับ ตัวอย่างเช่น ให้ เป็นปริภูมิฮิ ลเบิร์ตที่แยกได้ของลำดับที่มีผลรวมกำลังสองด้วยบรรทัดฐานปกติและให้เป็นฐานเชิงตั้งฉาก มาตรฐาน (นั่นคือที่พิกัด -) เซตปิดเป็นเซตกระชับ แต่ส่วนนูนของมันไม่ใช่เซตปิด เพราะเป็นส่วนหนึ่งของการปิดของในแต่(เนื่องจากทุกลำดับเป็นการรวมนูน จำกัด ขององค์ประกอบของและดังนั้นจึงจำเป็นต้องอยู่ในพิกัดทั้งหมด ยกเว้นพิกัดจำนวนจำกัด ซึ่งไม่เป็นจริงสำหรับ) ^[⁴⁷^]อย่างไรก็ตาม เช่นเดียวกับในปริภูมิ Hausdorff นูนเฉพาะที่สมบูรณ์ทั้งหมดส่วนนูนปิดของเซตย่อยกระชับนี้เป็นเซตกระชับ^[⁴⁶^]ปริภูมิย่อยเวกเตอร์เป็นปริภูมิพรีฮิลเบิร์ตเมื่อมีโครงสร้างย่อยที่ปริภูมิฮิลเบิร์ตเหนี่ยวนำบนมัน แต่ไม่สมบูรณ์และ(เนื่องจาก) ส่วนนูนปิดของใน(ในที่นี้ "ปิด" หมายถึงปิดเมื่อเทียบกับและไม่ใช่เมื่อเทียบกับเหมือนก่อนหน้านี้) เท่ากับซึ่งไม่ใช่เซตกระชับ (เพราะมันไม่ใช่เซตย่อยที่สมบูรณ์) สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าในปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบนูนเฉพาะที่ที่ไม่สมบูรณ์ ส่วนนูนปิดของเซตย่อยกระชับอาจไม่กระชับ (ถึงแม้ว่ามันจะกระชับก่อน/มีขอบเขตโดยสมบูรณ์ก็ตาม ) $H$ $\ell ^{2}(\mathbb {N} )$ $\|\cdot \|_{2}$ $e_{n}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots )$ $1$ $n^{\text{th}}$ $S=\{0\}\cup \left\{{\tfrac {1}{n}}e_{n}\right\}$ $\operatorname {co} S$ $h:=\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2^{n}}}{\tfrac {1}{n}}e_{n}$ $\operatorname {co} S$ $H$ $h\not \in \operatorname {co} S$ $z\in \operatorname {co} S$ $S$ $0$ $h$ $K:={\overline {\operatorname {co} }}S$ $X:=\operatorname {span} S$ $H$ $X$ $h\not \in K\cap X$ $h\not \in X$ $S$ $X$ $X,$ $H$ $K\cap X,$

เซตที่มีขอบเขตสมบูรณ์ทุกเซตจะมีความกะทัดรัดสัมพัทธ์^{[ 3 ]} ถ้าเป็น TVS ใดๆ แผนที่ผลหารจะเป็นแผนที่ปิด^[⁴⁸^]และดังนั้นเซตย่อยของ TVS จะมีขอบเขตสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อภาพของมันภายใต้แผนที่ผลหารแบบแคนอนิกมีขอบเขตสมบูรณ์^[¹⁹^]ดังนั้นจะมีขอบเขตสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อมีขอบเขตสมบูรณ์ ใน TVS ใดๆ การปิดของเซตย่อยที่มีขอบเขตสมบูรณ์จะมีขอบเขตสมบูรณ์อีกครั้ง^[³^] ในปริภูมิที่นูนเฉพาะที่ เปลือกนูนและเปลือกดิสก์ของเซตที่มีขอบเขตสมบูรณ์จะมีขอบเขตสมบูรณ์^[³⁶^]ถ้าเป็นเซตย่อยของ TVS ที่ลำดับทุกลำดับในมีจุดคลัสเตอร์ในแล้วจะมีขอบเขตสมบูรณ์^[¹⁹^]เซตย่อยของ Hausdorff TVS นั้นมีขอบเขตโดยสมบูรณ์ก็ต่อเมื่ออัลตราฟิลเตอร์ทุกตัวบนนั้นเป็นโคชี ซึ่งเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อมันเป็นพรีคอมแพ็กต์ (นั่นคือ การปิดของมันในการเติมเต็มของนั้นเป็นคอมแพ็กต์) ^[⁴⁰^] $X$ $q:X\to X/\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}\subseteq \operatorname {cl} _{X}S$ $S$ $X$ $q:X\to X/\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $S$ $S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $S$ $X$ $S$ $S$ $S$ $S$ $X$ $S$ $X$

ถ้าเซตกระชับแล้วเซตนี้ก็กระชับด้วย ดังนั้นการปิดของเซตกระชับจึงกระชับ^[^{หมายเหตุ 10}^] (นั่นคือ เซตกระชับทั้งหมดกระชับสัมพัทธ์ ) ^[⁴⁹^]ดังนั้นการปิดของเซตกระชับจึงกระชับ เซตย่อยกระชับสัมพัทธ์ทุกเซตของ Hausdorff TVS มีขอบเขตโดยสมบูรณ์^[⁴⁰^] $S\subseteq X$ $\operatorname {cl} _{X}S=S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}$

ในปริภูมิเว้าเฉพาะที่สมบูรณ์ เปลือกเว้าและเปลือกดิสก์ของเซตกระชับต่างก็กระชับ^{[ 36 ]}โดยทั่วไปแล้ว ถ้าเป็นเซตย่อยกระชับของปริภูมิเว้าเฉพาะที่ เปลือกเว้า(หรือเปลือกดิสก์) จะกระชับก็ต่อเมื่อสมบูรณ์^[³⁶^] ทุกเซตย่อยของกระชับและสมบูรณ์^[^{พิสูจน์ 3}^]โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าไม่ใช่ Hausdorff แล้วจะมีเซตกระชับสมบูรณ์ที่ไม่ปิดอยู่^[³^] $K$ $\operatorname {co} K$ $\operatorname {cobal} K$ $S$ $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $X$

ดูเพิ่มเติม

ปริภูมิเมตริกสมบูรณ์ – เรขาคณิตเมตริก
กรองตามเซต – กลุ่มของเซตย่อยที่แสดงถึงเซตขนาดใหญ่
ตัวกรองในทางโทโพโลยี – การใช้ตัวกรองเพื่ออธิบายและจำแนกลักษณะแนวคิดและผลลัพธ์พื้นฐานทางโทโพโลยีทั้งหมด
ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีที่กำหนดเมตริกได้ – ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีที่มีทอพอโลยีสามารถกำหนดได้ด้วยเมตริก
ปริภูมิเสมือนเมตริก – การขยายแนวคิดของปริภูมิเมตริกในทางคณิตศาสตร์
ปริภูมิกึ่งสมบูรณ์ – ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีซึ่งเซตย่อยปิดและมีขอบเขตทุกเซตเป็นเซตสมบูรณ์
เสร็จสมบูรณ์ตามลำดับ
กลุ่มเชิงทอพอโลยี – กลุ่มที่เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่มีการดำเนินการกลุ่มแบบต่อเนื่อง
ปริภูมิเอกรูป – ปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่มีแนวคิดเกี่ยวกับคุณสมบัติเอกรูป

หมายเหตุ

^เมตริกบนปริภูมิเวกเตอร์เรียกว่าไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการเลื่อนขนานถ้าสำหรับเวกเตอร์ทั้งหมดเมตริกที่เหนี่ยวนำโดยนอร์มจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการเลื่อนขนานเสมอ $D$ $X$ $D(x,y)=D(x+z,y+z)$ $x,y,z\in X.$
^ความสมบูรณ์ของปริภูมิบรรทัดฐานและปริภูมิเวกเตอร์เชิงเมตริกถูกกำหนดในแง่ของบรรทัดฐานและเมตริกโดยทั่วไป บรรทัดฐานและเมตริกที่แตกต่างกันมากมาย (เช่นบรรทัดฐานที่เทียบเท่ากัน ) อาจถูกนำมาใช้เพื่อกำหนดความสมบูรณ์ของปริภูมิดังกล่าว ซึ่งแตกต่างจากความเป็นเอกลักษณ์ของความสม่ำเสมอเชิงแคนอนิกที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลนี้
^ลำดับทุกชุดก็เป็นโครงข่ายเช่นกัน
^ปริภูมิบรรทัดฐานคือปริภูมิบานาคที่ค่าสัมบูรณ์เป็นบรรทัดฐานซึ่งเหนี่ยวนำให้เกิดโทโพโลยีแบบยุคลิดปกติบนกำหนดเมตริกบนโดยสำหรับทุก ๆซึ่งสามารถแสดงได้ว่าเหนี่ยวนำให้เกิดโทโพโลยีแบบยุคลิดปกติบนอย่างไรก็ตามไม่ใช่เมตริกที่สมบูรณ์เนื่องจากลำดับที่กำหนดโดยเป็นลำดับโคชี -ที่ไม่ลู่เข้าสู่จุดใด ๆ ของโปรดทราบด้วยว่าลำดับโคชี -นี้ไม่ใช่ลำดับโคชีใน(นั่นคือ ไม่ใช่ลำดับโคชีเมื่อเทียบกับบรรทัดฐาน) $(\mathbb {R} ,|\cdot |)$ $\mathbb {R} .$ $D$ $\mathbb {R}$ $D(x,y)=\left|\arctan(x)-\arctan(y)\right|$ $x,y\in \mathbb {R} ,$ $D$ $\mathbb {R} .$ $D$ $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ $x_{i}=i$ $D$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} .$ $D$ $(\mathbb {R} ,|\cdot |)$ $|\cdot |$
^ไม่ถือว่าไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการเลื่อนตำแหน่ง
ให้แทนปริมาณเวกเตอร์แบบบานาคของฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีนอร์มสูงสุด^{ให้ โดย}ที่กำหนดโทโพโลยีโดยและ แทนการจำกัดของนอร์มL1บน โดยจากนั้นอาจแสดงได้ว่าดังนั้นนอร์มจึงเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง อย่างไรก็ตามไม่เทียบเท่ากับนอร์มและโดยเฉพาะอย่างยิ่ง จึงไม่ใช่ปริมาณเตอร์แบบบานาค $\left(C([0,1]),\|\cdot \|_{\infty }\right)$ $X=C([0,1])$ $X$ $\|\cdot \|_{\infty },$ $C([0,1])$ $\|\cdot \|_{1}.$ $\|\cdot \|_{1}\leq \|\cdot \|_{\infty }$ $\|\cdot \|_{1}:X\to \mathbb {R}$ $\|\cdot \|_{1}$ $\|\cdot \|_{\infty }$ $\left(C([0,1]),\|\cdot \|_{1}\right)$
^แผนที่ผลหารเฉพาะนี้แท้จริงแล้วเป็นแผนที่ปิดด้วยเช่นกัน $q:X\to X/I$
^กล่าวโดยชัดเจน แผนที่นี้ถูกกำหนดดังนี้: สำหรับแต่ละให้และ เพื่อให้ จากนั้นจะเป็นจริงสำหรับทุกและ $x\in X,$ $(i,h)=A(x)$ $B(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(i,\operatorname {In} _{H}h\right).$ $B(i+h)=\left(i,\operatorname {In} _{H}h\right)$ $i\in I$ $h\in H.$
^ถ้าเป็น TVS ที่มีบรรทัดฐานซึ่งสำหรับทุกลำดับโคชีการปิดของในเป็นคอมแพ็กต์ (และด้วยเหตุนี้จึงเป็นคอมแพ็กต์เชิงลำดับ ) แล้วสิ่งนี้จะรับประกันได้ว่าจะมีบางค่าเสมอที่ทำให้ในดังนั้นปริภูมิที่มีบรรทัดฐานใดๆ ที่มีคุณสมบัตินี้จึงจำเป็นต้องเป็นปริภูมิที่สมบูรณ์เชิงลำดับ เนื่องจากปริภูมิที่มีบรรทัดฐานไม่ได้สมบูรณ์ทั้งหมด การปิดของลำดับโคชีจึงไม่จำเป็นต้องเป็นคอมแพ็กต์ $X$ $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty },$ $S~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{x_{1},x_{2},\ldots ,\}$ $X$ $x\in \operatorname {cl} _{X}S$ $x_{\bullet }\to x$ $X.$
^ในโทโพโลยีทั่วไป การปิดของเซตย่อยกระชับในปริภูมิที่ไม่ใช่เฮาส์ดอร์ฟอาจไม่กระชับ (ตัวอย่างเช่นโทโพโลยีจุดเฉพาะบนเซตอนันต์) ผลลัพธ์นี้แสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้ไม่เกิดขึ้นในปริภูมิเชิงทฤษฎีที่ไม่ใช่เฮาส์ดอร์ฟ การพิสูจน์ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่ากระชับ (แต่อาจไม่ปิด) และทั้งปิดและกระชับ ดังนั้นซึ่งเป็นภาพของเซตกระชับภายใต้แผนที่การบวกต่อเนื่องก็กระชับเช่นกัน โปรดจำไว้ว่าผลรวมของเซตกระชับ (นั่นคือ) และเซตปิดนั้นปิด ดังนั้น จึงปิดใน $S$ $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $S+\operatorname {cl} _{X}\{0\},$ $S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $\cdot +\cdot :X\times X\to X,$ $S$ $S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $X.$

หลักฐาน

ให้เป็นย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิดในเนื่องจากเป็นย่านใกล้เคียงของในจึงมีย่านใกล้เคียงแบบเปิด (หรือแบบปิด)ของในที่ทำให้เป็นย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิด เห็นได้ชัดว่าเป็นย่านใกล้เคียงแบบเปิด (หรือแบบปิด) ก็ต่อเมื่อเป็นย่านใกล้เคียงแบบเปิด (หรือแบบปิด) ให้ดังนั้น โดยย่านใกล้เคียงแบบเปิด (หรือแบบปิด) ก็ต่อเมื่อเป็นย่านใกล้เคียงแบบเปิด (หรือแบบปิด) $W$ $X.$ $A(W)$ $0$ $I\times H,$ $V$ $0$ $H$ $I\times V\subseteq A(W)$ $V$ $I\times V$ $U=I+V$ $A(U)=I\times V\subseteq A(W)$ $U$ $V$
^สมมติว่าเป็นเซตกระชับในและให้เป็นตัวกรองโคชีบนให้ดังนั้นเป็นตัวกรองโคชีของเซตปิด เนื่องจากมีคุณสมบัติการตัดกันแบบจำกัด จึงมีบางค่าที่ทำให้สำหรับทุกค่าดังนั้น {(นั่นคือเป็นจุดสะสมของ) เนื่องจากเป็นโคชีในดังนั้น จึงสมบูรณ์ การที่เป็นเซตที่มีขอบเขตโดยสมบูรณ์ก็เป็นผลโดยตรงจากความกระชับของ $S$ $X$ ${\mathcal {C}}$ $S.$ ${\mathcal {D}}=\left\{\operatorname {cl} _{S}C~:~C\in {\mathcal {C}}\right\}$ ${\mathcal {D}}$ ${\mathcal {D}}$ $s\in S$ $s\operatorname {cl} _{S}C$ $C\in {\mathcal {C}}$ $s\in \operatorname {cl} {\mathcal {C}}$ $s$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}\to x$ $S.$ $S$ $S$ $S.$
^กำหนดให้เซตเปิดใดๆ ของครอบคลุมจุดกำเนิด ให้เลือกเซตเปิดใดๆจากเซตเปิดนั้นที่ประกอบด้วยจุดกำเนิด เนื่องจากเป็นย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิด จึงประกอบด้วยและดังนั้น จึงประกอบด้วย $S,$ $U$ $U$ $U$ $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $S.$

การอ้างอิง

^ ^a ^b Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 1–11.
^ ^a ^b Edwards 1995 , หน้า 61.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^o ^p Narici & Beckenstein 2011 , pp. 47–66.
^ Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 48.
↑ Zălinescu 2002 , หน้า 1–23.
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h Narici และ Beckenstein 2011 , หน้า 48–51.
^ ^a ^b ^c ^d ^e Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 12–19.
^ Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 64–66.
^วิลานสกี 2013 , หน้า 29.
↑ ^a ^b ^cนาริซีและเบคเกนสไตน์ 2011 , หน้า 47–51.
^ ^a ^b Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 35.
^ Klee, VL (1952). "เมตริกส์ไม่แปรเปลี่ยนในกลุ่ม (วิธีแก้ปัญหาของ Banach)" (PDF) . Proc. Amer. Math. Soc . 3 (3): 484– 487. doi : 10.1090/s0002-9939-1952-0047250-4 .
^ ^a ^b Conrad, Keith. "ความเท่าเทียมกันของบรรทัดฐาน" (PDF) . kconrad.math.uconn.edu . สืบค้นเมื่อ7 กันยายน 2020 .
^ดูบทสรุป 1.4.18 หน้า 32 ใน Megginson (1998 )
↑ ^ข ^นาริซี และเบคเกนสไตน์ 2011 , หน้า 60–61.
↑ ^a ^b ^c ^d ^e Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 93–113.
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Horváth 1966 , หน้า 139–141.
^วิลานสกี 2013 , หน้า 63.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 12–35.
^ที่สำหรับทุกคนและ $i\in I$ $h\in H,$ $\operatorname {In} _{H}(i+h)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~i+h.$
^ ^a ^b Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 36–72.
^ Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 73−121.
^ Jarchow 1981 , หน้า 151, 157.
^ ^a ^b ^c ^d Jarchow 1981 , หน้า 175−178.
↑ ^ข ^เทรฟส์ 2006 , หน้า 112–125.
^ ^a ^b ^c ^d ^e Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 73–121.
^ ^a ^b Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 68–72.
^ Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 122–202.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 190–202.
^ Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 225–273.
^ Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 199–202.
^ ^a ^b ^c ^d Jarchow 1981 , หน้า 56–73.
^ Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 57.
↑ ^a ^b ^c ^d Horváth 1966 , หน้า 129–141.
↑ ^a ^b ^cนาริซีและเบคเกนสไตน์ 2011 , หน้า 441–457.
↑ ^a ^b ^c ^d Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 67–113.
อรรถ^ข ^นาริซี และเบคเกนสไตน์ 2011 , หน้า 155–176
↑ ^a ^b ^c ^d Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 115–154.
^ Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 371–423.
↑ ^a ^b ^c Horváth 1966 , หน้า 145–149.
^ ^a ^b Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 116.
^ Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 59.
^ Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 55–56.
^ Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 55–66.
^ Trèves 2006 , หน้า 67.
^ ^a ^b Trèves 2006 , หน้า 145.
↑ Aliprantis & Border 2006 , หน้า. 185.
^ Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 107–112.
^ Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 156.

บรรณานุกรม

Adasch, Norbert; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี: ทฤษฎีที่ไม่มีเงื่อนไขความนูน . บันทึกการบรรยายทางคณิตศาสตร์. เล่มที่ 639. เบอร์ลิน นิวยอร์ก: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003 .
Aliprantis, Charalambos D. ; Border, Kim C. (2006). การวิเคราะห์มิติอนันต์: คู่มือนักเดินทาง (ฉบับที่สาม). เบอร์ลิน: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-29587-7. OCLC 262692874 .
Arkhangel'skii, Alexander Vladimirovich ; Ponomarev , VI (1984). พื้นฐานของโทโพโลยีทั่วไป: ปัญหาและแบบฝึกหัดคณิตศาสตร์และการประยุกต์ใช้ เล่มที่ 13 ดอร์เดรชท์ บอสตัน: D. Reidel ISBN 978-90-277-1355-1. OCLC 9944489 .
เบอร์เบเรียน, สเตอร์ลิง เค. (1974). บรรยายเรื่องการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันและทฤษฎีตัวดำเนินการ . ตำราระดับบัณฑิตศึกษาทางคณิตศาสตร์. เล่มที่ 15. นิวยอร์ก: สปริงเกอร์. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC 878109401 .
Bogachev, Vladimir I; Smolyanov, Oleg G. (2017). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีและการประยุกต์ใช้ . Springer Monographs in Mathematics . Cham, Switzerland: Springer International Publishing. ISBN 978-3-319-57117-1. OCLC 987790956 .
บูร์บากิ, นิโคลัส (1989) [1966] โทโพโลยีทั่วไป: บทที่ 1–4 [ Topologie Générale ] องค์ประกอบทางคณิตศาสตร์ . เบอร์ลินนิวยอร์ก: Springer Science & Business Media ไอเอสบีเอ็น 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129 .
บูร์บากิ, นิโคลัส (1987) [1981]. ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี: บทที่ 1–5 องค์ประกอบทางคณิตศาสตร์ . แปลโดย Eggleston, HG; มาดาน เบอร์ลิน นิวยอร์ก: สปริงเกอร์-แวร์แลกไอเอสบีเอ็น 3-540-13627-4. OCLC 17499190 .
คอนเวย์, จอห์น บี. (1990). หลักสูตรการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน . ตำราเรียนคณิตศาสตร์ระดับบัณฑิตศึกษา . เล่มที่ 96 (ฉบับที่ 2). นิวยอร์ก: สปริงเกอร์-เวอร์แลก . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908 .
Dixmier, Jacques (1984). โทโพโลยีทั่วไป . ตำราเรียนคณิตศาสตร์ระดับปริญญาตรี. แปลโดย Berberian, SK นิวยอร์ก: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC 10277303 .
Dolecki, Szymon ; Mynard, Frédéric (2016). รากฐานการบรรจบกันของโทโพโลยี . นิวเจอร์ซีย์: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917 .
Dugundji, James (1966). Topology . Boston: Allyn and Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485 .
Dunford, Nelson ; Schwartz, Jacob T. (1988). ตัวดำเนินการเชิงเส้น . คณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์. เล่ม 1. นิวยอร์ก: Wiley-Interscience . ISBN 978-0-471-60848-6. OCLC 18412261 .
เอ็ดเวิร์ดส์, โรเบิร์ต อี. (1995). การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน: ทฤษฎีและการประยุกต์ใช้ . นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์โดเวอร์. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138 .
Grothendieck, Alexander (1973). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี แปลโดย Chaljub, Orlando. นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์ Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098 .
Horváth, John (1966). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีและการแจกแจง . ชุดหนังสือคณิตศาสตร์ Addison-Wesley เล่มที่ 1. Reading, MA: Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 978-0201029857.
Husain, Taqdir; Khaleelulla, SM (1978). Barrelledness in Topological and Ordered Vector Spaces . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 692. Berlin, New York, Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC 4493665 .
จาร์โชว, ฮันส์ (1981) ช่องว่างนูนเฉพาะที่ สตุ๊ตการ์ท : บีจี ทอยบเนอร์ไอเอสบีเอ็น 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 .
Joshi, KD (1983). บทนำสู่โทโพโลยีทั่วไป . นิวยอร์ก: John Wiley and Sons Ltd. ISBN 978-0-85226-444-7. OCLC 9218750 .
Khaleelulla, SM (1982). ตัวอย่างค้านในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี . บันทึกการบรรยายทางคณิตศาสตร์ . เล่มที่ 936. เบอร์ลิน, ไฮเดลเบิร์ก, นิวยอร์ก: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370 .
เคอเธ่ กอตต์ฟรีด (1983) [1969] ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี I. กรุนเดิลเริน เดอร์ มาเทมาติเชน วิสเซนชาฟเทิน ฉบับที่ 159. แปลโดย Garling, DJH New York: Springer Science & Business Media ไอเอสบีเอ็น 978-3-642-64988-2. MR 0248498 . OCLC 840293704 .
เคอเท, กอตต์ฟรีด (1979) ทอพอโลยีเวกเตอร์สเปซ II กรุนเดิลเริน เดอร์ มาเทมาติเชน วิสเซนชาฟเทิน ฉบับที่ 237. นิวยอร์ก: สื่อวิทยาศาสตร์และธุรกิจของสปริงเกอร์. ไอเอสบีเอ็น 978-0-387-90400-9. OCLC 180577972 .
Megginson, Robert E. (1998), บทนำสู่ทฤษฎีปริภูมิบานาค , ตำราเรียนคณิตศาสตร์ระดับบัณฑิตศึกษา, เล่มที่ 183, นิวยอร์ก: Springer-Verlag, หน้า xx+596, ISBN 0-387-98431-3
นาริซี, ลอว์เรนซ์; เบคเกนสไตน์, เอ็ดเวิร์ด (2011). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). โบคา ราตัน, ฟลอริดา: สำนักพิมพ์ CRC. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
Osborne, Mason Scott (2013). Locally Convex Spaces . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 269. Cham Heidelberg New York Dordrecht London: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-319-02045-7. OCLC 865578438 .
Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี . Cambridge Tracts in Mathematics . เล่มที่ 53. เคมบริดจ์ ประเทศอังกฤษ: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250 .
Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอ โล ยีGTMเล่ม 8 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์ Springer New York. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
Schechter, Eric (1996). คู่มือการวิเคราะห์และรากฐาน . ซานดิเอโก, แคลิฟอร์เนีย: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 .
ชูเบิร์ต, ฮอร์สต์ (1968). โทโพโลยี . ลอนดอน: แมคโดนัลด์ แอนด์ โค. ISBN 978-0-356-02077-8. OCLC 463753 .
Swartz, Charles (1992). บทนำสู่การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน . นิวยอร์ก: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067 .
เทรฟส์, ฟรองซัวส์ (2549) [2510] ปริภูมิเวกเตอร์ทอพอโลยี การแจกแจง และเคอร์เนล Mineola, NY: สิ่งพิมพ์โดเวอร์ไอเอสบีเอ็น 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
Voigt, Jürgen (2020). หลักสูตรเกี่ยวกับปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี . ตำราเรียนคณิตศาสตร์ขนาดกะทัดรัด. Cham: Birkhäuser Basel . ISBN 978-3-030-32945-7. OCLC 1145563701 .
วิลานสกี, อัลเบิร์ต (2013). วิธีการสมัยใหม่ในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี . ไมเนโอลา, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์โดเวอร์ อิงค์. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .
วิลลาร์ด, สตีเฟน (2004) [1970]. โทโพโลยีทั่วไป . ไมเนโอลา, นิวยอร์ก : สำนักพิมพ์โดเวอร์ . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240 .
Zălinescu, Constantin (30 กรกฎาคม 2545). การวิเคราะห์ความนูนในปริภูมิเวกเตอร์ทั่วไป . River Edge, NJ ลอนดอน: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. MR 1921556 . OCLC 285163112 – ผ่านทางInternet Archive .

[translation_invariant_metric-1] เมตริกบนปริภูมิเวกเตอร์เรียกว่าไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการเลื่อนขนานถ้าสำหรับเวกเตอร์ทั้งหมดเมตริกที่เหนี่ยวนำโดยนอร์มจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการเลื่อนขนานเสมอ $D$ $X$ $D(x,y)=D(x+z,y+z)$ $x,y,z\in X.$

[2] ความสมบูรณ์ของปริภูมิบรรทัดฐานและปริภูมิเวกเตอร์เชิงเมตริกถูกกำหนดในแง่ของบรรทัดฐานและเมตริกโดยทั่วไป บรรทัดฐานและเมตริกที่แตกต่างกันมากมาย (เช่นบรรทัดฐานที่เทียบเท่ากัน ) อาจถูกนำมาใช้เพื่อกำหนดความสมบูรณ์ของปริภูมิดังกล่าว ซึ่งแตกต่างจากความเป็นเอกลักษณ์ของความสม่ำเสมอเชิงแคนอนิกที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลนี้

[10] ลำดับทุกชุดก็เป็นโครงข่ายเช่นกัน

[14] ปริภูมิบรรทัดฐานคือปริภูมิบานาคที่ค่าสัมบูรณ์เป็นบรรทัดฐานซึ่งเหนี่ยวนำให้เกิดโทโพโลยีแบบยุคลิดปกติบนกำหนดเมตริกบนโดยสำหรับทุก ๆซึ่งสามารถแสดงได้ว่าเหนี่ยวนำให้เกิดโทโพโลยีแบบยุคลิดปกติบนอย่างไรก็ตามไม่ใช่เมตริกที่สมบูรณ์เนื่องจากลำดับที่กำหนดโดยเป็นลำดับโคชี -ที่ไม่ลู่เข้าสู่จุดใด ๆ ของโปรดทราบด้วยว่าลำดับโคชี -นี้ไม่ใช่ลำดับโคชีใน(นั่นคือ ไม่ใช่ลำดับโคชีเมื่อเทียบกับบรรทัดฐาน) $(\mathbb {R} ,|\cdot |)$ $\mathbb {R} .$ $D$ $\mathbb {R}$ $D(x,y)=\left|\arctan(x)-\arctan(y)\right|$ $x,y\in \mathbb {R} ,$ $D$ $\mathbb {R} .$ $D$ $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ $x_{i}=i$ $D$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} .$ $D$ $(\mathbb {R} ,|\cdot |)$ $|\cdot |$

[15] ไม่ถือว่าไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการเลื่อนตำแหน่ง

[19] ให้แทนปริมาณเวกเตอร์แบบบานาคของฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีนอร์มสูงสุด^{ให้ โดย}ที่กำหนดโทโพโลยีโดยและ แทนการจำกัดของนอร์มL1บน โดยจากนั้นอาจแสดงได้ว่าดังนั้นนอร์มจึงเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง อย่างไรก็ตามไม่เทียบเท่ากับนอร์มและโดยเฉพาะอย่างยิ่ง จึงไม่ใช่ปริมาณเตอร์แบบบานาค $\left(C([0,1]),\|\cdot \|_{\infty }\right)$ $X=C([0,1])$ $X$ $\|\cdot \|_{\infty },$ $C([0,1])$ $\|\cdot \|_{1}.$ $\|\cdot \|_{1}\leq \|\cdot \|_{\infty }$ $\|\cdot \|_{1}:X\to \mathbb {R}$ $\|\cdot \|_{1}$ $\|\cdot \|_{\infty }$ $\left(C([0,1]),\|\cdot \|_{1}\right)$

[26] แผนที่ผลหารเฉพาะนี้แท้จริงแล้วเป็นแผนที่ปิดด้วยเช่นกัน $q:X\to X/I$

[28] กล่าวโดยชัดเจน แผนที่นี้ถูกกำหนดดังนี้: สำหรับแต่ละให้และ เพื่อให้ จากนั้นจะเป็นจริงสำหรับทุกและ $x\in X,$ $(i,h)=A(x)$ $B(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(i,\operatorname {In} _{H}h\right).$ $B(i+h)=\left(i,\operatorname {In} _{H}h\right)$ $i\in I$ $h\in H.$

[49] ถ้าเป็น TVS ที่มีบรรทัดฐานซึ่งสำหรับทุกลำดับโคชีการปิดของในเป็นคอมแพ็กต์ (และด้วยเหตุนี้จึงเป็นคอมแพ็กต์เชิงลำดับ ) แล้วสิ่งนี้จะรับประกันได้ว่าจะมีบางค่าเสมอที่ทำให้ในดังนั้นปริภูมิที่มีบรรทัดฐานใดๆ ที่มีคุณสมบัตินี้จึงจำเป็นต้องเป็นปริภูมิที่สมบูรณ์เชิงลำดับ เนื่องจากปริภูมิที่มีบรรทัดฐานไม่ได้สมบูรณ์ทั้งหมด การปิดของลำดับโคชีจึงไม่จำเป็นต้องเป็นคอมแพ็กต์ $X$ $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty },$ $S~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{x_{1},x_{2},\ldots ,\}$ $X$ $x\in \operatorname {cl} _{X}S$ $x_{\bullet }\to x$ $X.$

[60] ในโทโพโลยีทั่วไป การปิดของเซตย่อยกระชับในปริภูมิที่ไม่ใช่เฮาส์ดอร์ฟอาจไม่กระชับ (ตัวอย่างเช่นโทโพโลยีจุดเฉพาะบนเซตอนันต์) ผลลัพธ์นี้แสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้ไม่เกิดขึ้นในปริภูมิเชิงทฤษฎีที่ไม่ใช่เฮาส์ดอร์ฟ การพิสูจน์ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่ากระชับ (แต่อาจไม่ปิด) และทั้งปิดและกระชับ ดังนั้นซึ่งเป็นภาพของเซตกระชับภายใต้แผนที่การบวกต่อเนื่องก็กระชับเช่นกัน โปรดจำไว้ว่าผลรวมของเซตกระชับ (นั่นคือ) และเซตปิดนั้นปิด ดังนั้น จึงปิดใน $S$ $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $S+\operatorname {cl} _{X}\{0\},$ $S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $\cdot +\cdot :X\times X\to X,$ $S$ $S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $X.$

[27] ให้เป็นย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิดในเนื่องจากเป็นย่านใกล้เคียงของในจึงมีย่านใกล้เคียงแบบเปิด (หรือแบบปิด)ของในที่ทำให้เป็นย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิด เห็นได้ชัดว่าเป็นย่านใกล้เคียงแบบเปิด (หรือแบบปิด) ก็ต่อเมื่อเป็นย่านใกล้เคียงแบบเปิด (หรือแบบปิด) ให้ดังนั้น โดยย่านใกล้เคียงแบบเปิด (หรือแบบปิด) ก็ต่อเมื่อเป็นย่านใกล้เคียงแบบเปิด (หรือแบบปิด) $W$ $X.$ $A(W)$ $0$ $I\times H,$ $V$ $0$ $H$ $I\times V\subseteq A(W)$ $V$ $I\times V$ $U=I+V$ $A(U)=I\times V\subseteq A(W)$ $U$ $V$

[54] สมมติว่าเป็นเซตกระชับในและให้เป็นตัวกรองโคชีบนให้ดังนั้นเป็นตัวกรองโคชีของเซตปิด เนื่องจากมีคุณสมบัติการตัดกันแบบจำกัด จึงมีบางค่าที่ทำให้สำหรับทุกค่าดังนั้น {(นั่นคือเป็นจุดสะสมของ) เนื่องจากเป็นโคชีในดังนั้น จึงสมบูรณ์ การที่เป็นเซตที่มีขอบเขตโดยสมบูรณ์ก็เป็นผลโดยตรงจากความกระชับของ $S$ $X$ ${\mathcal {C}}$ $S.$ ${\mathcal {D}}=\left\{\operatorname {cl} _{S}C~:~C\in {\mathcal {C}}\right\}$ ${\mathcal {D}}$ ${\mathcal {D}}$ $s\in S$ $s\operatorname {cl} _{S}C$ $C\in {\mathcal {C}}$ $s\in \operatorname {cl} {\mathcal {C}}$ $s$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}\to x$ $S.$ $S$ $S$ $S.$

[62] กำหนดให้เซตเปิดใดๆ ของครอบคลุมจุดกำเนิด ให้เลือกเซตเปิดใดๆจากเซตเปิดนั้นที่ประกอบด้วยจุดกำเนิด เนื่องจากเป็นย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิด จึงประกอบด้วยและดังนั้น จึงประกอบด้วย $S,$ $U$ $U$ $U$ $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $S.$

[FOOTNOTESchaeferWolff19991–11-3] Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 1–11.

[FOOTNOTEEdwards199561-4] Edwards 1995 , หน้า 61.

[FOOTNOTENariciBeckenstein201147–66-5] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^o ^p Narici & Beckenstein 2011 , pp. 47–66.

[FOOTNOTENariciBeckenstein201148-6] Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 48.

[FOOTNOTEZălinescu20021–23-7] Zălinescu 2002 , หน้า 1–23.

[FOOTNOTENariciBeckenstein201148–51-8] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h Narici และ Beckenstein 2011 , หน้า 48–51.

[FOOTNOTESchaeferWolff199912–19-9] Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 12–19.

[FOOTNOTENariciBeckenstein201164–66-11] Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 64–66.

[FOOTNOTEWilansky201329-12] วิลานสกี 2013 , หน้า 29.

[FOOTNOTENariciBeckenstein201147–51-13] นาริซีและเบคเกนสไตน์ 2011 , หน้า 47–51.

[FOOTNOTESchaeferWolff199935-16] Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 35.

[Klee_Inv_metrics-17] Klee, VL (1952). "เมตริกส์ไม่แปรเปลี่ยนในกลุ่ม (วิธีแก้ปัญหาของ Banach)" (PDF) . Proc. Amer. Math. Soc . 3 (3): 484– 487. doi : 10.1090/s0002-9939-1952-0047250-4 .

[Conrad_Equiv_norms-18] Conrad, Keith. "ความเท่าเทียมกันของบรรทัดฐาน" (PDF) . kconrad.math.uconn.edu . สืบค้นเมื่อ7 กันยายน 2020 .

[20] ดูบทสรุป 1.4.18 หน้า 32 ใน Megginson (1998 )

[FOOTNOTENariciBeckenstein201160–61-21] ข ^นาริซี และเบคเกนสไตน์ 2011 , หน้า 60–61.

[FOOTNOTENariciBeckenstein201193–113-22] Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 93–113.

[FOOTNOTEHorváth1966139–141-23] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Horváth 1966 , หน้า 139–141.

[FOOTNOTEWilansky201363-24] วิลานสกี 2013 , หน้า 63.

[FOOTNOTESchaeferWolff199912–35-25] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 12–35.

[note-29] ที่สำหรับทุกคนและ $i\in I$ $h\in H,$ $\operatorname {In} _{H}(i+h)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~i+h.$

[FOOTNOTESchaeferWolff199936–72-30] Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 36–72.

[FOOTNOTESchaeferWolff199973−121-31] Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 73−121.

[FOOTNOTEJarchow1981151,_157-32] Jarchow 1981 , หน้า 151, 157.

[FOOTNOTEJarchow1981175−178-33] Jarchow 1981 , หน้า 175−178.

[FOOTNOTETrèves2006112–125-34] ข ^เทรฟส์ 2006 , หน้า 112–125.

[FOOTNOTESchaeferWolff199973–121-35] Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 73–121.

[FOOTNOTESchaeferWolff199968–72-36] Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 68–72.

[FOOTNOTESchaeferWolff1999122–202-37] Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 122–202.

[FOOTNOTESchaeferWolff1999190–202-38] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 190–202.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011225–273-39] Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 225–273.

[FOOTNOTESchaeferWolff1999199–202-40] Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 199–202.

[FOOTNOTEJarchow198156–73-41] Jarchow 1981 , หน้า 56–73.

[FOOTNOTENariciBeckenstein201157-42] Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 57.

[FOOTNOTEHorváth1966129–141-43] Horváth 1966 , หน้า 129–141.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011441–457-44] นาริซีและเบคเกนสไตน์ 2011 , หน้า 441–457.

[FOOTNOTENariciBeckenstein201167–113-45] Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 67–113.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011155–176-46] อรรถ^ข ^นาริซี และเบคเกนสไตน์ 2011 , หน้า 155–176

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011115–154-47] Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 115–154.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011371–423-48] Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 371–423.

[FOOTNOTEHorváth1966145–149-50] Horváth 1966 , หน้า 145–149.

[FOOTNOTESchaeferWolff1999116-51] Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 116.

[FOOTNOTENariciBeckenstein201159-52] Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 59.

[FOOTNOTENariciBeckenstein201155–56-53] Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 55–56.

[FOOTNOTENariciBeckenstein201155–66-55] Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 55–66.

[FOOTNOTETrèves200667-56] Trèves 2006 , หน้า 67.

[FOOTNOTETrèves2006145-57] Trèves 2006 , หน้า 145.

[FOOTNOTEAliprantisBorder2006185-58] Aliprantis & Border 2006 , หน้า. 185.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011107–112-59] Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 107–112.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011156-61] Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 156.

[

[

[

[

[ 3 ]

[

[

[

[ 7 ]

[หมายเหตุ 3 ]

[

[ 9 ]

[

[

[ 11 ]

[ 12 ]

[

[ 13 ]

[

[

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[

[

[

พิสูจน์

[

[

[ 21 ]

[ 22 ]

[

[

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[

[

[ 32 ]

[ 33 ]

34

[ 35 ]

[ 36 ]

37 ] อย่างไรก็ตาม

[ 38 ]

[ 39 ]

[

[

[

ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีที่สมบูรณ์

คำจำกัดความ

ความสม่ำเสมอตามหลักการ

ตาข่ายคอชี

ตัวกรอง Cauchy และตัวกรองล่วงหน้า Cauchy

ชุดย่อยที่สมบูรณ์

ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีที่สมบูรณ์

ความเป็นเอกลักษณ์ของความสม่ำเสมอตามหลักการ

พื้นที่สม่ำเสมอและความสม่ำเสมอที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อน

โทโพโลยีที่สร้างขึ้นโดยความสม่ำเสมอ

ความต่อเนื่องที่สม่ำเสมอ

ความสมบูรณ์ของ TVS เทียบกับความสมบูรณ์ของเมตริก (เทียม)

ขั้นตอนเบื้องต้น: สร้างพื้นที่เสมือนเมตริกที่สมบูรณ์

การวัดค่าเทียมที่สมบูรณ์และ TVS ที่สมบูรณ์

มาตรฐานที่สมบูรณ์และมาตรฐานที่เทียบเท่า

การเสร็จสิ้น

ตัวอย่างของความสำเร็จ

ความไม่ซ้ำกันของผลลัพธ์ทั้งหมด

การเสร็จสิ้นของเฮาส์ดอร์ฟ

การเสร็จสิ้นที่ไม่ใช่แบบเฮาส์ดอร์ฟ

โทโพโลยีของการทำให้สมบูรณ์

คุณสมบัติที่ได้รับการอนุรักษ์ไว้โดยการก่อสร้างแล้วเสร็จ

คุณสมบัติของแผนที่ที่ได้รับการรักษาไว้โดยการขยายให้สมบูรณ์

ตัวอย่างและเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับ TVS ที่สมบูรณ์

คุณสมบัติ

ทีวีเอสครบวงจร

ตาข่ายคอชีและตัวกรองเบื้องต้น

แผนที่

เซตย่อย

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

การอ้างอิง

บรรณานุกรม

ข้อมูลสำคัญจากบทความ