ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี

Q: พื้นที่มาตรฐาน

ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐาน ทุก ปริภูมิ มี โครงสร้างทางโทโพโลยี ตามธรรมชาติ กล่าวคือ บรรทัดฐานก่อให้เกิด เมตริก และเมตริกก่อให้เกิดโทโพโลยี นี่คือปริภูมิเวกเตอร์เชิงโทโพโลยีเพราะ:

ในทางคณิตศาสตร์ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (เรียกอีกอย่างว่าปริภูมิเชิงทอพอโลยีเชิงเส้นและมักย่อว่าTVSหรือtvs ) เป็นหนึ่งในโครงสร้างพื้นฐานที่ศึกษาใน คณิตศาสตร์เชิง ฟังก์ชัน ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีคือปริภูมิเวกเตอร์ที่เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีด้วย โดยมีคุณสมบัติว่าการดำเนินการในปริภูมิเวกเตอร์ (การบวกเวกเตอร์และการคูณสเกลาร์) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องทอพอโลยีดังกล่าวเรียกว่าทอพอโลยีเวกเตอร์และปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีทุกปริภูมิมีโครงสร้างเชิงทอพอโลยีที่เป็นเอกรูปทำให้เกิดแนวคิดเรื่องการลู่เข้าที่เป็นเอกรูปและความสมบูรณ์ผู้เขียนบางคนยังกำหนดให้ปริภูมิเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟด้วย (แม้ว่าบทความนี้จะไม่ได้กำหนดไว้ก็ตาม) หนึ่งในประเภทของ TVS ที่ได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางที่สุดคือปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบนูนเฉพาะที่บทความนี้มุ่งเน้นไปที่ TVS ที่ไม่จำเป็นต้องเป็นแบบนูนเฉพาะที่ ตัวอย่างอื่นๆ ที่รู้จักกันดีของ TVS ได้แก่ปริภูมิบานาคปริภูมิฮิลเบิร์ตและปริภูมิโซโบเลฟ

ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีจำนวนมากเป็นปริภูมิของฟังก์ชันหรือตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กระทำบนปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี และทอพอโลยีมักถูกกำหนดขึ้นเพื่อให้สามารถจับภาพแนวคิดเฉพาะเกี่ยวกับการลู่เข้าของลำดับของฟังก์ชันได้

ในบทความนี้ จะถือว่าฟิลด์ส เกลาร์ของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีเป็นจำนวนเชิงซ้อน หรือจำนวนจริงเว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่นอย่างชัดเจน $\mathbb {C}$ $\mathbb {R} ,$

แรงจูงใจ

พื้นที่มาตรฐาน

ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐานทุก ปริภูมิ มีโครงสร้างทางโทโพโลยี ตามธรรมชาติ กล่าวคือ บรรทัดฐานก่อให้เกิดเมตริกและเมตริกก่อให้เกิดโทโพโลยี นี่คือปริภูมิเวกเตอร์เชิงโทโพโลยีเพราะ:

แผนที่การบวกเวกเตอร์ที่กำหนดโดยนั้นมีความต่อเนื่อง (ร่วมกัน) เมื่อเทียบกับโทโพโลยีนี้ ซึ่งเป็นผลโดยตรงจากอสมการสามเหลี่ยมที่บรรทัดฐานเป็นไปตาม นั้น $\cdot \,+\,\cdot \;:X\times X\to X$ $(x,y)\mapsto x+y$
แผนที่การคูณสเกลาร์ที่กำหนดโดย โดยที่คือฟิลด์สเกลาร์พื้นฐานของนั้นมีความต่อเนื่อง (ร่วมกัน) ซึ่งเป็นผลมาจากอสมการสามเหลี่ยมและความเป็นเอกรูปของนอร์ม $\cdot :\mathbb {K} \times X\to X$ $(s,x)\mapsto s\cdot x,$ $\mathbb {K}$ $X,$

ดังนั้น ปริภูมิบานาคและปริภูมิฮิลเบิร์ตทั้งหมดจึงเป็นตัวอย่างของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี

พื้นที่ที่ไม่เป็นไปตามบรรทัดฐาน

มีปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีซึ่งทอพอโลยีไม่ได้ถูกเหนี่ยวนำโดยบรรทัดฐาน แต่ก็ยังน่าสนใจในการวิเคราะห์ ตัวอย่างของปริภูมิเหล่านี้ได้แก่ ปริภูมิของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบนโดเมนเปิด ปริภูมิของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อนันต์ ปริภูมิชวาร์ตซ์และปริภูมิของฟังก์ชันทดสอบและปริภูมิของการกระจายบนฟังก์ชันเหล่านั้น^{[ 1 ]}สิ่งเหล่านี้ล้วนเป็นตัวอย่างของปริภูมิ Montelปริภูมิ Montel มิติอนันต์ไม่สามารถมีบรรทัดฐานได้ การมีอยู่ของบรรทัดฐานสำหรับปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีที่กำหนดนั้นมีลักษณะเฉพาะโดยเกณฑ์ความสามารถในการมีบรรทัดฐานของ Kolmogorov

ฟิลด์เชิงทอพอโลยีคือปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีเหนือฟิลด์ย่อยแต่ละฟิลด์ ของ มัน

คำนิยาม

ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี ( TVS ) คือปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์เชิงทอพอโลยี (ส่วนใหญ่มักเป็น จำนวน จริงหรือจำนวนเชิงซ้อนที่มีทอพอโลยีมาตรฐาน) ซึ่งมีทอพอโลยีที่ทำให้การบวกเวกเตอร์และการคูณสเกลาร์เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง (โดยที่โดเมนของฟังก์ชันเหล่านี้มีทอพอโลยีแบบผลคูณ ) ทอพอโลยีดังกล่าวเรียกว่า... $X$ $\mathbb {K}$ $\cdot \,+\,\cdot \;:X\times X\to X$ $\cdot :\mathbb {K} \times X\to X$ โทโพโลยีเวกเตอร์หรือโทโพโลยี TVSบน $X.$

ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีทุกปริภูมิเป็นกลุ่มเชิงทอพอโลยี แบบสลับที่ได้ ภายใต้การบวกด้วย เช่นกัน

สมมติฐานของเฮาส์ดอร์ฟ

นักเขียนหลายคน (เช่นวอลเตอร์ รูดิน ) แต่ไม่ใช่ในหน้านี้ กำหนดให้โทโพโลยีบนเป็นT ₁ซึ่งจะตามมาว่าปริภูมิเวกเตอร์นั้นเป็นแบบเฮาส์ดอร์ฟและแม้กระทั่งแบบไทโคนอฟฟ์ปริภูมิเวกเตอร์เชิงโทโพโลยีเรียกว่า เป็น $X$ แยกออกจากกันหากเป็นแบบเฮาส์ดอร์ฟ ที่สำคัญคือ "แยกออกจากกัน" ไม่ได้หมายความว่าสามารถแยกออกจากกันได้โครงสร้างทางทอพอโลยีและพีชคณิตเชิงเส้นสามารถเชื่อมโยงเข้าด้วยกันได้อย่างใกล้ชิดยิ่งขึ้นด้วยข้อสมมติเพิ่มเติม ซึ่งข้อสมมติที่พบได้บ่อยที่สุดมีระบุไว้ด้านล่าง

หมวดหมู่และมอร์ฟิซึม

โดยทั่วไปแล้ว หมวดหมู่ของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีเหนือฟิลด์เชิงทอพอโลยีที่กำหนดจะใช้สัญลักษณ์หรือโดยที่วัตถุคือปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีเหนือและมอร์ฟิซึมคือแผนที่เชิง เส้นต่อเนื่องจากวัตถุหนึ่งไปยังอีกวัตถุหนึ่ง $\mathbb {K}$ $\mathrm {TVS} _{\mathbb {K} }$ $\mathrm {TVect} _{\mathbb {K} }.$ $\mathbb {K}$ $\mathbb {K}$

เอโฮโมมอร์ฟิซึมของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (ย่อว่าโฮโมมอร์ฟิซึม TVS (TVS homomorphism ) เรียกอีกอย่างว่าโฮโมมอร์ฟิซึมเชิงทอพอโลยี^{[ 2}]^{[ 3}^{]คือแผนที่}เชิงเส้น ต่อเนื่อง ระหว่างปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (TVS) โดยที่แผนที่ที่เหนี่ยวนำเป็นแผนที่เปิดเมื่อซึ่งเป็นช่วงหรือภาพของที่กำหนดโดยทอพอโลยีของปริภูมิย่อยที่เหนี่ยวนำโดย $u:X\to Y$ $u:X\to \operatorname {Im} u$ $\operatorname {Im} u:=u(X),$ $u,$ $Y.$

เอการฝังเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (ย่อ)การฝัง TVS (TVS embedding ) หรือเรียกอีกอย่างว่าโมโนมอร์ฟิซึมเชิงทอพอโลยีคือแบบฉีดเข้าในทำนองเดียวกัน การฝัง TVS คือแผนที่เชิงเส้นซึ่งเป็นการฝังเชิงทอพอโลยีด้วย^{[ 2 ]}

เอไอโซมอร์ฟิซึมของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (ย่อว่า)ไอโซมอร์ฟิซึม TVS (หรือเรียกอีกอย่างว่า)ไอโซมอร์ฟิซึมเวกเตอร์เชิงโทโพโลยี^{[ 4 ]}หรือ anไอโซมอร์ฟิซึมในหมวดหมู่ของ TVSคือโฮมีโอมอร์ฟิซึม เชิงเส้นแบบ หรือเทียบเท่ากับการฝัง TVSทั่วถึง^[²^]

คุณสมบัติหลายประการของระบบพิกัดสามมิติ (TVS) ที่ได้รับการศึกษา เช่นความนูนเฉพาะที่ความสามารถในการกำหนดเมตริกความสมบูรณ์และความสามารถในการกำหนดบรรทัดฐานจะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ไอโซมอร์ฟิซึมของระบบพิกัดสามมิติ

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับโทโพโลยีเวกเตอร์

ชุดของเซตย่อยของปริภูมิเวกเตอร์เรียกว่าแบบบวก^[⁵^]ถ้าสำหรับทุก ๆจะมีบางค่าที่ทำให้ ${\mathcal {N}}$ $N\in {\mathcal {N}},$ $U\in {\mathcal {N}}$ $U+U\subseteq N.$

ลักษณะเฉพาะของความต่อเนื่องของการบวกที่^[⁵^] $0$ —ถ้าเป็นกลุ่ม (เช่นเดียวกับปริภูมิเวกเตอร์ทั้งหมด) เป็นโทโพโลยีบนและมีโทโพโลยีผล คูณ แผนที่การบวก(กำหนดโดย) จะต่อเนื่องที่จุดกำเนิดของ ก็ต่อเมื่อเซตของย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิดในเป็นแบบบวก ข้อความนี้ยังคงเป็นจริงหากคำว่า "ย่านใกล้เคียง" ถูกแทนที่ด้วย "ย่านใกล้เคียงแบบเปิด" $(X,+)$ $\tau$ $X,$ $X\times X$ $X\times X\to X$ $(x,y)\mapsto x+y$ $X\times X$ $(X,\tau )$

ดังนั้น เงื่อนไขทั้งหมดข้างต้นจึงเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับโทโพโลยีที่จะก่อให้เกิดโทโพโลยีเวกเตอร์

การกำหนดโทโพโลยีโดยใช้บริเวณใกล้เคียงของจุดกำเนิด

เนื่องจากโทโพโลยีเวกเตอร์ทุกตัวไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อถูกเลื่อน (ซึ่งหมายความว่าสำหรับทุก ๆการแมปที่กำหนดโดยเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึม ) ดังนั้นในการกำหนดโทโพโลยีเวกเตอร์ จึงเพียงพอที่จะกำหนดฐานใกล้เคียง (หรือฐานย่อย) สำหรับโทโพโลยีนั้นที่จุดกำเนิด $x_{0}\in X,$ $X\to X$ $x\mapsto x_{0}+x$

ทฤษฎีบท^{[ 6 ]} (ตัวกรองย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิด) —สมมติว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์จริงหรือเชิงซ้อน ถ้าเป็น ชุดย่อยแบบบวก ที่ไม่ว่างเปล่าของ เซต สมดุลและดูดซับของแล้วเป็นฐานย่านใกล้เคียงที่สำหรับโทโพโลยีเวกเตอร์บนนั่นคือ สมมติฐานคือเป็นฐานตัวกรองที่ตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้: $X$ ${\mathcal {B}}$ $X$ ${\mathcal {B}}$ $0$ $X.$ ${\mathcal {B}}$

ทุกอย่างมีความสมดุลและน่าดึงดูดใจ $B\in {\mathcal {B}}$
${\mathcal {B}}$ เป็นแบบบวก: สำหรับทุก ๆจะมีอยู่จริงที่ทำให้ $B\in {\mathcal {B}}$ $U\in {\mathcal {B}}$ $U+U\subseteq B,$

หากตรงตามเงื่อนไขสองข้อข้างต้น แต่ไม่ใช่ฐานตัวกรอง มันจะสร้าง ฐาน ย่อย ใกล้เคียง ที่(แทนที่จะเป็นฐานใกล้เคียง) สำหรับโทโพโลยีเวกเตอร์บน ${\mathcal {B}}$ $0$ $X.$

โดยทั่วไป เซตของเซตย่อยที่สมดุลและดูดซับทั้งหมดของปริภูมิเวกเตอร์จะไม่ตรงตามเงื่อนไขของทฤษฎีบทนี้และไม่ก่อให้เกิดฐานใกล้เคียงที่จุดกำเนิดสำหรับโทโพโลยีเวกเตอร์ใดๆ^{[ 5 ]}

การกำหนดโทโพโลยีโดยใช้สตริง

ให้เป็นปริภูมิเวกเตอร์ และให้เป็นลำดับของเซตย่อยของโดยแต่ละเซตในลำดับเรียกว่า เซตย่อย $X$ $U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ $X.$ $U_{\bullet }$ ปมของและสำหรับทุกดัชนีเรียกว่าปมที่ -thของเซตเรียกว่าจุดเริ่มต้นของลำดับคือ:^[⁷^]^[⁸^]^[⁹^] $U_{\bullet }$ $i,$ $U_{i}$ $i$ $U_{\bullet }.$ $U_{1}$ $U_{\bullet }.$ $U_{\bullet }$

ผลรวมถ้าสำหรับทุกดัชนี $U_{i+1}+U_{i+1}\subseteq U_{i}$ $i.$
สมดุล (หรือ ดูดซับปิด [^{หมายเหตุ 1} ]^นูนเปิดสมมาตรทรงกระบอกนูน /กลมอย่างสมบูรณ์ฯลฯ) หากสิ่งนี้เป็นจริงสำหรับ^ทุกสิ่ง $U_{i}.$
เงื่อนไข ifเป็นแบบรวมผล ดูดซับผล และสมดุล $U_{\bullet }$
สตริงเชิงทอพอโลยีหรือสตริงเพื่อนบ้านในระบบพิกัดเชิงเวกเตอร์ถ้าเป็นสตริงและปมแต่ละปมเป็นเพื่อนบ้านของจุดกำเนิดใน $X$ $U_{\bullet }$ $X.$

ถ้าเป็นดิสก์ดูดซับในปริภูมิเวกเตอร์ลำดับที่กำหนดโดยจะสร้างสตริงที่เริ่มต้นด้วยซึ่งเรียกว่าสตริงธรรมชาติของ^[⁷^]ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าปริภูมิเวกเตอร์มีมิติที่นับได้ สตริงทุกสตริงจะมีสตริง นูนสัมบูรณ์ $U$ $X$ $U_{i}:=2^{1-i}U$ $U_{1}=U.$ $U$ $X$

ลำดับผลรวมของเซตมีคุณสมบัติที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือ สามารถนิยาม ฟังก์ชัน ย่อยบวก ต่อเนื่องที่มีค่าเป็นจำนวนจริงและไม่เป็นลบได้ ฟังก์ชันเหล่านี้สามารถนำมาใช้พิสูจน์คุณสมบัติพื้นฐานหลายอย่างของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีได้

ทฤษฎีบท ( ฟังก์ชันค่า n ที่เกิดจากสตริง) $\mathbb {R}$ —ให้เป็นกลุ่มของเซตย่อยของปริภูมิเวกเตอร์ โดยที่และสำหรับทุกสำหรับทุกให้ $U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i=0}^{\infty }$ $0\in U_{i}$ $U_{i+1}+U_{i+1}\subseteq U_{i}$ $i\geq 0.$ $u\in U_{0},$ $\mathbb {S} (u):=\left\{n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)~:~k\geq 1,n_{i}\geq 0{\text{ for all }}i,{\text{ and }}u\in U_{n_{1}}+\cdots +U_{n_{k}}\right\}.$

กำหนดโดยถ้าและ มิฉะนั้น ให้ $f:X\to [0,1]$ $f(x)=1$ $x\not \in U_{0}$ $f(x):=\inf _{}\left\{2^{-n_{1}}+\cdots 2^{-n_{k}}~:~n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)\in \mathbb {S} (x)\right\}.$

จากนั้นจะเป็นแบบย่อยบวก (หมายความว่าสำหรับทุก) และบนดังนั้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าทั้งหมดเป็นเซตสมมาตรแล้วและถ้าทั้งหมดเป็นเซตสมดุลแล้วสำหรับสเกลาร์ทั้งหมดเช่นและทั้งหมดถ้าเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี และถ้าทั้งหมดเป็นย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิดแล้วจะต่อเนื่อง โดยที่ถ้านอกจากนี้เป็น Hausdorff และสร้างฐานของย่านใกล้เคียงที่สมดุลของจุดกำเนิดในแล้วจะเป็นเมตริกที่กำหนดทอพอโลยีเวกเตอร์บน $f$ $f(x+y)\leq f(x)+f(y)$ $x,y\in X$ $f=0$ ${\textstyle \bigcap _{i\geq 0}U_{i};}$ $f(0)=0.$ $U_{i}$ $f(-x)=f(x)$ $U_{i}$ $f(sx)\leq f(x)$ $s$ $|s|\leq 1$ $x\in X.$ $X$ $U_{i}$ $f$ $X$ $U_{\bullet }$ $X$ $d(x,y):=f(x-y)$ $X.$

บทความเรื่อง "ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีที่สามารถกำหนดเมตริกได้" ได้ให้การพิสูจน์ทฤษฎีบทข้างต้นไว้ แล้ว

ถ้าและเป็นเซตย่อยสองเซตของปริภูมิเวกเตอร์และถ้าเป็นสเกลาร์ แล้วตามคำนิยาม: ^[⁷^] $U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }$ $V_{\bullet }=\left(V_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }$ $X$ $s$

$V_{\bullet }$ ประกอบด้วย : ก็ต่อเมื่อสำหรับทุกดัชนี $U_{\bullet }$ $\ U_{\bullet }\subseteq V_{\bullet }$ $U_{i}\subseteq V_{i}$ $i.$
ชุดปม : $\ \operatorname {Knots} U_{\bullet }:=\left\{U_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}.$
เคอร์เนล : ${\textstyle \ \ker U_{\bullet }:=\bigcap _{i\in \mathbb {N} }U_{i}.}$
ตัวคูณสเกลาร์ : $\ sU_{\bullet }:=\left(sU_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }.$
ผลรวม : $\ U_{\bullet }+V_{\bullet }:=\left(U_{i}+V_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }.$
จุดตัด : $\ U_{\bullet }\cap V_{\bullet }:=\left(U_{i}\cap V_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }.$

ถ้าเป็นชุดลำดับของเซตย่อยของแล้วจะกล่าวได้ว่า เป็นเซตที่มีทิศทาง ( ลงล่าง ) ภายใต้การรวมหรือเรียกง่ายๆ ว่า มีทิศทางลงล่างถ้าไม่ว่างเปล่า และสำหรับทุกจะมีบางค่าที่ทำให้และ(กล่าวอีกอย่างหนึ่งคือ ถ้าและเฉพาะเมื่อเป็นตัวกรองเบื้องต้นที่เกี่ยวข้องกับการบรรจุที่กำหนดไว้ข้างต้น) $\mathbb {S}$ $X,$ $\mathbb {S}$ $\mathbb {S}$ $U_{\bullet },V_{\bullet }\in \mathbb {S} ,$ $W_{\bullet }\in \mathbb {S}$ $W_{\bullet }\subseteq U_{\bullet }$ $W_{\bullet }\subseteq V_{\bullet }$ $\mathbb {S}$ $\,\subseteq \,$

สัญลักษณ์ : ให้เป็นเซตของปมทั้งหมดของสายทั้งหมดใน ${\textstyle \operatorname {Knots} \mathbb {S} :=\bigcup _{U_{\bullet }\in \mathbb {S} }\operatorname {Knots} U_{\bullet }}$ $\mathbb {S} .$

การกำหนดโทโพโลยีเวกเตอร์โดยใช้ชุดของสตริงนั้นมีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับการกำหนดคลาสของระบบเวกเตอร์เชิงโครงสร้าง (TVS) ที่ไม่จำเป็นต้องเป็นรูปทรงนูนเฉพาะที่

ทฤษฎีบท^{[ 7 ]} (โทโพโลยีที่เกิดจากสตริง) —ถ้าเป็นปริภูมิเวกเตอร์โทโพโลยีแล้วจะมีเซต^[^{พิสูจน์ 1}^]ของสตริงใกล้เคียงในที่มีทิศทางลงและเซตของปมทั้งหมดของสตริงทั้งหมดในเป็นฐานใกล้เคียงที่จุดกำเนิดสำหรับ การรวบรวมสตริงดัง กล่าว เรียกว่าพื้นฐาน $(X,\tau )$ $\mathbb {S}$ $X$ $\mathbb {S}$ $(X,\tau ).$ $\tau$

ในทางกลับกัน ถ้าเป็นปริมาณเวกเตอร์ และถ้าเป็นเซตของสตริงในที่มีทิศทางลงด้านล่าง เซตของปมทั้งหมดของสตริงทั้งหมดในจะก่อให้เกิดฐานใกล้เคียงที่จุดกำเนิดสำหรับโทโพโลยีเวกเตอร์บนในกรณีนี้ โทโพโลยีนี้จะถูกแทนด้วยและเรียกว่าโทโพโลยีที่สร้างโดย $X$ $\mathbb {S}$ $X$ $\operatorname {Knots} \mathbb {S}$ $\mathbb {S}$ $X.$ $\tau _{\mathbb {S} }$ $\mathbb {S} .$

ถ้าเป็นเซตของสตริงโทโพโลยีทั้งหมดใน TVS แล้ว^[⁷^] TVS ของ Hausdorff จะสามารถวัดได้ก็ต่อเมื่อโทโพโลยีของมันสามารถเหนี่ยวนำได้ด้วยสตริงโทโพโลยีเพียงสตริงเดียว^[¹⁰^] $\mathbb {S}$ $(X,\tau )$ $\tau _{\mathbb {S} }=\tau .$

โครงสร้างเชิงทอพอโลยี

ปริภูมิเวกเตอร์เป็นกลุ่มอาเบเลียนโดยสัมพันธ์กับการดำเนินการบวก และในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี การดำเนินการผกผันจะต่อเนื่องเสมอ (เนื่องจากเหมือนกับการคูณด้วย ) ดังนั้น ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีทุกปริภูมิจึงเป็น กลุ่มเชิงทอพอโลยีอาเบเลียน ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีทุกปริภูมิมีความสม่ำเสมอโดยสมบูรณ์แต่ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีไม่จำเป็นต้องเป็นแบบปกติ^[¹¹^] $-1$

ให้เป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี เมื่อกำหนดปริภูมิ ย่อย ปริภูมิ ผลหารที่มีทอพอโลยีผลหารตามปกติจะเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบเฮาส์ดอร์ฟก็ต่อเมื่อเป็นปริภูมิปิด^[^{หมายเหตุ 2}^]สิ่งนี้อนุญาตให้สร้างสิ่งต่อไปนี้ได้: เมื่อกำหนดปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (ซึ่งอาจไม่ใช่แบบเฮาส์ดอร์ฟ) ให้สร้างปริภูมิผลหารโดยที่เป็นการปิดของแล้ว จะเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบเฮาส์ดอร์ฟที่สามารถศึกษาได้แทน $X$ $M\subseteq X,$ $X/M$ $M$ $X$ $X/M$ $M$ $\{0\}.$ $X/M$ $X.$

ความไม่เปลี่ยนแปลงของโทโพโลยีเวกเตอร์

หนึ่งในคุณสมบัติที่ใช้บ่อยที่สุดของโทโพโลยีเวกเตอร์คือ โทโพโลยีเวกเตอร์ทุกแบบนั้นคงที่เมื่อแปล :

สำหรับแผนที่ ทั้งหมด ที่กำหนดโดยนั้นเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมแต่ถ้าเป็นเช่นนั้น มันจะไม่เป็นเชิงเส้นและดังนั้นจึงไม่ใช่ไอโซมอร์ฟิซึมแบบ TVS

x_{0}\in X,

X\to X

x\mapsto x_{0}+x

x_{0}\neq 0

การคูณสเกลาร์ด้วยสเกลาร์ที่ไม่เป็นศูนย์เป็นไอโซมอร์ฟิซึมแบบ TVS หมายความว่า ถ้าแล้วแผนที่เชิงเส้นที่กำหนดโดย จะเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึม การใช้จะสร้างแผนที่การปฏิเสธที่กำหนดโดยซึ่งเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมเชิงเส้นและเป็นไอโซมอร์ฟิซึมแบบ TVS ด้วย $s\neq 0$ $X\to X$ $x\mapsto sx$ $s=-1$ $X\to X$ $x\mapsto -x,$

ถ้าและเซตย่อยใด ๆแล้ว^[⁶^]และยิ่งไปกว่านั้น ถ้าแล้วจะเป็นย่านใกล้เคียง (หรือย่านใกล้เคียงแบบเปิด ย่านใกล้เคียงแบบปิด) ของในก็ต่อเมื่อสิ่งเดียวกันนี้เป็นจริงของที่จุดกำเนิด $x\in X$ $S\subseteq X,$ $\operatorname {cl} _{X}(x+S)=x+\operatorname {cl} _{X}S$ $0\in S$ $x+S$ $x$ $X$ $S$

แนวคิดท้องถิ่น

เซตย่อยของปริภูมิเวกเตอร์เรียกว่า... $E$ $X$

การดูดซับ (ใน): ถ้าสำหรับทุก ๆมีอยู่จริง ๆเช่นนั้นสำหรับสเกลาร์ใด ๆ ที่สอดคล้อง^{กับ [}¹²^] $X$ $x\in X,$ $r>0$ $cx\in E$ $c$ $|c|\leq r.$
สมดุลหรือวงกลม : ถ้าสำหรับสเกลาร์ทุกตัว^[¹²^] $tE\subseteq E$ $|t|\leq 1.$
นูน : ถ้าสำหรับจำนวนจริงทุก^[¹²^] $tE+(1-t)E\subseteq E$ $0\leq t\leq 1.$
แผ่นดิสก์หรือนูนอย่างสมบูรณ์ : ถ้าเป็นนูนและสมดุล $E$
สมมาตร : ถ้าหรือเทียบเท่ากับ ถ้า $-E\subseteq E,$ $-E=E.$

ทุกย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิดเป็นเซตดูดซับและมี ย่านใกล้เคียง ที่สมดุล แบบเปิด ของ^[⁶^]ดังนั้นทุกปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีจึงมีฐานท้องถิ่นของเซตดูดซับและสมดุลจุดกำเนิดยังมีฐานใกล้เคียงที่ประกอบด้วยย่านใกล้เคียงที่สมดุลแบบปิดของหากปริภูมิเป็นแบบนูนเฉพาะที่ ก็จะมีฐานใกล้เคียงที่ประกอบด้วยย่านใกล้เคียงที่สมดุลแบบนูนปิดของจุดกำเนิดด้วย $0$ $0;$

เซตย่อยที่มีขอบเขต

เซตย่อยของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีมีขอบเขต^[¹³^]ถ้าสำหรับทุกย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิดมีอยู่เช่นนั้น $E$ $X$ $V$ $t$ $E\subseteq tV$

นิยามของขอบเขตสามารถอ่อนลงได้เล็กน้อย กล่าวคือ เซตจะมีขอบเขตก็ต่อเมื่อเซตย่อยที่นับได้ทุกเซตของเซตนั้นมีขอบเขต เซตจะมีขอบเขตก็ต่อเมื่อลำดับย่อยแต่ละลำดับของเซตนั้นเป็นเซตที่มีขอบเขต^[¹⁴^]นอกจากนี้เซตจะมีขอบเขตก็ต่อเมื่อสำหรับย่านใกล้เคียงที่สมดุลทุกย่านของจุดกำเนิด จะมีอยู่เช่นนั้น $E$ $E$ $V$ $t$ $E\subseteq tV.$

ยิ่งไปกว่านั้น เมื่อเป็นแบบนูนเฉพาะที่ ความมีขอบเขตสามารถกำหนดลักษณะได้ด้วยเซมินอร์ม : เซตย่อยมีขอบเขตก็ต่อเมื่อเซมินอร์มต่อเนื่องทุกตัวมีขอบเขตบน^[¹⁵^] $X$ $E$ $p$ $E.$

เซต ที่มีขอบเขตทั้งหมดทุกเซตมีขอบเขต^{[ 14 ]}ถ้าเป็นเวกเตอร์ซับสเปซของ TVS แล้วซับเซตของจะมีขอบเขตในก็ต่อเมื่อมีขอบเขตใน^[¹⁴^] $M$ $X,$ $M$ $M$ $X.$

ความสามารถในการวัด

ทฤษฎีบท Birkhoff–Kakutani —ถ้าเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแล้วเงื่อนไขทั้งสี่ต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน:^[¹⁶^]^[^{หมายเหตุ 3}^] $(X,\tau )$

จุดเริ่มต้นถูกปิดล้อมและมีจำนวนย่าน ที่สามารถนับได้ณ จุดเริ่มต้นนั้น $\{0\}$ $X$ $X.$
$(X,\tau )$ สามารถกำหนดเมตริกได้ (ในฐานะปริภูมิเชิงทอพอโลยี)
มีเมตริกที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลบนซึ่งเหนี่ยวนำบนโทโพโลยีซึ่งเป็นโทโพโลยีที่กำหนดบน $X$ $X$ $\tau ,$ $X.$
$(X,\tau )$ เป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีที่สามารถวัดได้ [ ^{หมายเหตุ 4 ]}

จากทฤษฎีบท Birkhoff–Kakutani จึงสรุปได้ว่ามีเมตริกที่เทียบเท่ากันซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการเลื่อนตำแหน่ง

ระบบพิกัดสามมิติ (TVS) จะเรียกว่า สามารถระบุได้ด้วยเมตริกเทียมก็ต่อเมื่อมีฐานใกล้เคียงที่นับได้ที่จุดกำเนิด หรือเทียบเท่าก็ต่อเมื่อโทโพโลยีของมันถูกสร้างขึ้นโดยเซมิโนร์ม F ระบบพิกัด สามมิติ (TVS) จะเรียกว่าสามารถระบุได้ด้วยเมตริกก็ต่อเมื่อเป็นระบบเฮาส์ดอร์ฟและสามารถระบุได้ด้วยเมตริกเทียม

กล่าวให้ชัดเจนยิ่งขึ้น: ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีจะเรียกว่าสามารถกำหนดบรรทัดฐานได้หากทอพอโลยีของมันสามารถเหนี่ยวนำได้ด้วยบรรทัดฐาน ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีสามารถกำหนดบรรทัดฐานได้ก็ต่อเมื่อมันเป็น Hausdorff และมีบริเวณใกล้เคียงที่จำกัดและนูนรอบจุดกำเนิด^{[ 17 ]}

ให้เป็นฟิลด์โทโพโลยีแบบไม่แยก ส่วนที่มีความกะทัดรัด เฉพาะที่ เช่น จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน ปริภูมิเวกเตอร์โทโพโลยีแบบเฮาส์ดอร์ ฟเหนือ จะมีความกะทัดรัดเฉพาะที่ก็ต่อเมื่อมีมิติจำกัดนั่นคือ สมมาตรกับสำหรับจำนวนธรรมชาติบางจำนวน^[¹⁸^] $\mathbb {K}$ $\mathbb {K}$ $\mathbb {K} ^{n}$ $n.$

ความสมบูรณ์และโครงสร้างที่เป็นเอกภาพ

ความสม่ำเสมอแบบแคนอน^{[ 19 ]}บน TVS คือความสม่ำเสมอ ที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามการแปลที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งเหนี่ยวนำให้เกิดโทโพโลยีบน $(X,\tau )$ $\tau$ $X.$

ถือว่า TVS ทุกตัวมีคุณสมบัติความสม่ำเสมอแบบแคนอนิก ซึ่งทำให้ TVS ทุกตัวกลายเป็นพื้นที่สม่ำเสมอดังนั้นจึงมีความหมายต่อแนวคิดที่เกี่ยวข้อง เช่นความสมบูรณ์การบรรจบกันแบบสม่ำเสมอ เครือข่ายโคชี และความต่อเนื่องแบบสม่ำเสมอเป็นต้น ซึ่งถือว่าสอดคล้องกับความสม่ำเสมอนี้เสมอ (เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น) ซึ่งหมายความว่าปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบเฮาส์ดอร์ฟทุกตัวเป็นไทโคนอฟ [ ^{20 ] เซต}ย่อยของ TVS จะกระชับก็ต่อเมื่อมันสมบูรณ์และมีขอบเขตโดยสมบูรณ์ (สำหรับ TVS แบบเฮาส์ดอร์ฟ เซตที่มีขอบเขตโดยสมบูรณ์เทียบเท่ากับการเป็นเซตกระชับก่อน ) แต่ถ้า TVS ไม่ใช่แบบเฮาส์ดอร์ฟ ก็จะมีเซตย่อยกระชับที่ไม่ปิดอยู่ อย่างไรก็ตาม การปิดของเซตย่อยกระชับของ TVS ที่ไม่ใช่แบบเฮาส์ดอร์ฟนั้นกระชับอีกครั้ง (ดังนั้นเซตย่อยกระชับจึงกระชับสัมพัทธ์ )

ในแง่ของความสม่ำเสมอนี้เน็ต (หรือลำดับ ) จะเป็นโคชีก็ต่อเมื่อสำหรับทุกย่านใกล้เคียงของจะมีดัชนีบางตัวที่ทำให้เมื่อใดก็ตามที่และ $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ $V$ $0,$ $n$ $x_{i}-x_{j}\in V$ $i\geq n$ $j\geq n.$

ลำดับโคชีทุกตัวมีขอบเขตจำกัด แม้ว่าโครงข่ายโคชีและตัวกรองโคชีอาจไม่มีขอบเขตจำกัดก็ตาม ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีที่ลำดับโคชีทุกตัวลู่เข้าเรียกว่าสมบูรณ์ตามลำดับ (sequentially complete ) โดยทั่วไปแล้ว ปริภูมิดังกล่าวอาจไม่สมบูรณ์ (ในความหมายที่ว่าตัวกรองโคชีทุกตัวลู่เข้า)

การดำเนินการบวกในปริภูมิเวกเตอร์นั้นมีความต่อเนื่องสม่ำเสมอและเป็นแผนที่เปิดการคูณด้วยสเกลาร์มีความต่อเนื่องแบบโคชีแต่โดยทั่วไปแล้วแทบจะไม่มีความต่อเนื่องสม่ำเสมอเลย ด้วยเหตุนี้ ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีทุกปริภูมิจึงสามารถทำให้สมบูรณ์ได้ และด้วยเหตุนี้จึงเป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้น หนาแน่น ของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีที่สมบูรณ์

TVS ทุกตัวมีการเติมเต็มและ TVS ของ Hausdorff ทุกตัวมีการเติมเต็มของ Hausdorff ^{[ 6 ]} TVS ทุกตัว (แม้แต่ตัวที่เป็น Hausdorff และ/หรือสมบูรณ์) ก็มีการเติมเต็มที่ไม่ใช่ Hausdorff ที่ไม่สมมาตรกันเป็นจำนวนอนันต์
เซตย่อยขนาดกะทัดรัดของ TVS (ไม่จำเป็นต้องเป็น Hausdorff) นั้นสมบูรณ์^{[ 21 ]}เซตย่อยที่สมบูรณ์ของ TVS ของ Hausdorff นั้นปิด^{[ 21 ]}
ถ้าเป็นเซตย่อยที่สมบูรณ์ของ TVS แล้วเซตย่อยใดๆ ของที่ปิดอยู่ในจะเป็นเซตย่อยที่สมบูรณ์^[²¹^] $C$ $C$ $C$
ลำดับโคชีในระบบเทกเซียลเฮาส์ดอร์ฟไม่จำเป็นต้องมีความกะทัดรัดเชิงสัมพัทธ์เสมอไป (กล่าวคือ ส่วนปิดของมันในระบบ เทกเซียลเฮาส์ดอร์ฟ ไม่จำเป็นต้องมีความกะทัดรัดเสมอไป) $X$ $X$
ถ้าตัวกรอง Cauchy ใน TVS มีจุดสะสม ก็จะลู่เข้าสู่จุดนั้น $x$ $x.$
ถ้าอนุกรมลู่เข้า^[^{หมายเหตุ 5}^]ใน TVS แล้วใน^[²²^] ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}$ $X$ $x_{\bullet }\to 0$ $X.$

ตัวอย่าง

โทโพโลยีเวกเตอร์ที่ละเอียดที่สุดและหยาบที่สุด

ให้เป็นปริภูมิเวกเตอร์จริงหรือเชิงซ้อน $X$

โทโพโลยีแบบธรรมดา

โทโพโลยีแบบไม่สำคัญหรือโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง นั้นเป็นโทโพโลยี TVS เสมอในปริภูมิเวกเตอร์ใดๆและเป็นโทโพโลยี TVS ที่หยาบที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ผลที่สำคัญประการหนึ่งจากเรื่องนี้คือ การตัดกันของกลุ่มโทโพโลยี TVS ใดๆ บนปริภูมิเวกเตอร์ใดๆ จะมีโทโพโลยี TVS อยู่เสมอ ปริภูมิเวกเตอร์ใดๆ (รวมถึงปริภูมิที่มีมิติอนันต์) ที่มีโทโพโลยีแบบไม่สำคัญนั้น เป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงโทโพโลยีแบบสมบูรณ์ กระชับ (และดังนั้นจึงกระชับ ในระดับท้องถิ่น ) ที่สามารถกำหนดเมตริก เทียมได้และมีค่า กึ่ง นอร์ม และ เป็นแบบเฮาส์ดอร์ฟก็ต่อเมื่อ $\{X,\varnothing \}$ $X$ $X$ $\dim X=0.$

โครงสร้างเวกเตอร์ที่ดีที่สุด

มีโทโพโลยี TVS อยู่ตัวหนึ่งที่เรียกว่า $\tau _{f}$ $X,$ โทโพโลยีเวกเตอร์ที่ดีที่สุดบนซึ่งละเอียดกว่าโทโพโลยี TVS อื่นๆ บน(นั่นคือ โทโพโลยี TVS ใดๆ บนจำเป็นต้องเป็นเซตย่อยของ)^[²³^]^[²⁴^]แผนที่เชิงเส้นทุกแผนที่จากไปยัง TVS อื่น จำเป็นต้องต่อเนื่อง ถ้ามีฐาน Hamelไม่แสดงว่าไม่นูนเฉพาะที่และไม่สามารถวัดได้^[²⁴^] $X,$ $X$ $X$ $\tau _{f}$ $\left(X,\tau _{f}\right)$ $X$ $\tau _{f}$

ผลคูณคาร์ทีเซียน

ผลคูณคาร์ทีเซียนของตระกูลปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี เมื่อกำหนดทอพอโลยีผลคูณแล้วจะเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี พิจารณาเซตของฟังก์ชันทั้งหมดโดยที่มีทอพอโลยีแบบยุคลิด ตามปกติ เซตนี้เป็นปริภูมิเวกเตอร์จริง (ซึ่งการบวกและการคูณสเกลาร์ถูกกำหนดแบบจุดต่อจุดตามปกติ) ที่สามารถระบุได้ว่าเป็น (และในความเป็นจริง มักถูกกำหนดให้เป็น) ผลคูณคาร์ทีเซียนที่มีทอพอโลยีผลคูณ ตามธรรมชาติ ด้วยทอพอโลยีผลคูณนี้จะกลายเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีที่มีทอพอโลยีเรียกว่าทอพอโลยีของการลู่เข้าแบบจุดต่อจุดบนเหตุผลของชื่อนี้มีดังต่อไปนี้: ถ้าเป็นลำดับ (หรือโดยทั่วไปแล้ว เป็นเน็ต ) ขององค์ประกอบในและถ้าแล้วลู่เข้าสู่ในก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกจำนวนจริงลู่เข้าสู่ใน ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอ โลยีนี้สมบูรณ์เฮาส์ดอร์ฟและนูนเฉพาะที่แต่ไม่สามารถกำหนดเมตริกได้และด้วยเหตุนี้จึงไม่สามารถกำหนดนอร์มได้อันที่จริงแล้ว ทุกย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิดในโทโพโลยีผลคูณนั้นประกอบด้วยเส้น (กล่าวคือ พื้นที่ย่อยเวกเตอร์ 1 มิติ ซึ่งเป็นเซตย่อยในรูปแบบที่มี) $X$ $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $X$ $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} },$ $X:=\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ $\mathbb {R} .$ $\left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ $X$ $f\in X$ $f_{n}$ $f$ $X$ $x,$ $f_{n}(x)$ $f(x)$ $\mathbb {R} .$ $\mathbb {R} f:=\{rf:r\in \mathbb {R} \}$ $f\neq 0$

พื้นที่มิติจำกัด

ตามทฤษฎีบทของ F. Rieszปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบ Hausdorff จะมีมิติจำกัดก็ต่อเมื่อมันมีความกะทัดรัด เฉพาะ ที่ ซึ่งเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อมันมีบริเวณใกล้เคียง ที่กะทัดรัด ของจุดกำเนิด

ให้แทนหรือและกำหนดโทโพโลยีแบบยุคลิดที่มีบรรทัดฐานเฮาส์ดอร์ฟตามปกติให้กับให้เป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือที่มีมิติจำกัดและ ดังนั้น จึงเป็นปริภูมิเวกเตอร์ที่สมมูลกับ(โดยชัดแจ้ง หมายความว่ามีไอโซมอร์ฟิซึมเชิงเส้นระหว่างปริภูมิเวกเตอร์และ) ปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดนี้จะมีโทโพโลยีเวกเตอร์เฮาส์ดอร์ฟที่ไม่ซ้ำกันเสมอซึ่งทำให้มันสมมูลกับ TVS โดยที่กำหนดโทโพโลยีแบบยุคลิดตามปกติ (ซึ่งเหมือนกับโทโพโลยีผลคูณ ) โทโพโลยีเวกเตอร์เฮาส์ดอร์ฟนี้ยังเป็นโทโพโลยี เวกเตอร์ ที่ละเอียดที่สุด (ที่ไม่ซ้ำกัน) บนมีโทโพโลยีเวกเตอร์ที่ไม่ซ้ำกันก็ต่อเมื่อ ถ้า แล้วถึงแม้ว่าจะไม่มีโทโพโลยีเวกเตอร์ที่ไม่ซ้ำกัน แต่ก็มีโทโพโลยีเวกเตอร์ เฮาส์ด อร์ฟที่ไม่ซ้ำกัน $\mathbb {K}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {K}$ $X$ $\mathbb {K}$ $n:=\dim X$ $X$ $\mathbb {K} ^{n}$ $X$ $\mathbb {K} ^{n}$ $X$ $\mathbb {K} ^{n},$ $\mathbb {K} ^{n}$ $X.$ $X$ $\dim X=0.$ $\dim X\neq 0$ $X$

ถ้าเช่นนั้นจะมีโทโพโลยีเวกเตอร์เพียงหนึ่งเดียว คือโทโพโลยีแบบไม่สำคัญซึ่งในกรณีนี้ (และ เฉพาะในกรณีนี้ เท่านั้น ) คือโทโพโลยีแบบเฮาส์ดอร์ฟ โทโพโลยีแบบไม่สำคัญบนปริภูมิเวกเตอร์จะเป็นแบบเฮาส์ดอร์ฟก็ต่อเมื่อปริภูมิเวกเตอร์นั้นมีมิติเท่ากับ $\dim X=0$ $X=\{0\}$ $0.$
ถ้าเช่นนั้น จะมีโทโพโลยีเวกเตอร์สองแบบ ได้แก่ โทโพโลยีแบบยุคลิดทั่วไปและโทโพโลยีแบบไม่สำคัญ (ที่ไม่ใช่แบบเฮาส์ดอร์ฟ) $\dim X=1$ $\dim X=1$ $X$ $X$
- เนื่องจากฟิลด์นั้นเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบมิติเหนือและเนื่องจากมันมีบทบาทสำคัญในการนิยามปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี การแบ่งแยกนี้จึงมีบทบาทสำคัญในการนิยามเซตดูดซับและมีผลกระทบที่สะท้อนไปทั่วการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน $\mathbb {K}$ $1$ $\mathbb {K}$

โครงร่างหลักฐาน

การพิสูจน์ความแตกต่างนี้ (กล่าวคือ โทโพโลยีเวกเตอร์เป็นได้ทั้งแบบไม่สำคัญหรือสมมูลกับ) นั้นตรงไปตรงมา ดังนั้นจึงให้เพียงโครงร่างพร้อมข้อสังเกตที่สำคัญเท่านั้น ตามปกติแล้วถือว่า มีโทโพโลยีแบบยุคลิด (แบบมีบรรทัดฐาน) ให้สำหรับทุกให้เป็นปริภูมิเวกเตอร์มิติ เหนือถ้าและเป็นทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่แล้วเมื่อใดก็ตามที่ประกอบด้วย "ลำดับที่ไม่จำกัด" ซึ่งหมายถึงลำดับในรูปแบบ โดยที่และไม่จำกัดในปริภูมิแบบมีบรรทัดฐาน(ในความหมายปกติ) โทโพโลยีเวกเตอร์ใดๆ บนจะคงสภาพการเลื่อนและคงสภาพภายใต้การคูณสเกลาร์ที่ไม่เป็นศูนย์ และสำหรับทุกแผนที่ที่กำหนดโดยเป็นการจับคู่เชิงเส้นแบบต่อเนื่อง เนื่องจากสำหรับ ใดๆ ดังกล่าวทุกเซตย่อยของสามารถเขียนได้เป็นสำหรับเซตย่อยที่ไม่ซ้ำกันบางเซตและถ้าโทโพโลยีเวกเตอร์นี้บนมีบริเวณใกล้เคียงจุดกำเนิดที่ไม่เท่ากับทั้งหมดของแล้วความต่อเนื่องของการคูณสเกลาร์ที่จุดกำเนิดรับประกันการมีอยู่ของทรงกลมเปิดที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่และบริเวณใกล้เคียงแบบเปิดของจุดกำเนิดในเช่นนั้นซึ่งหมายความว่าไม่ ประกอบด้วย "ลำดับที่ไม่จำกัด" ใดๆ นี่หมายความว่าสำหรับทุกๆจะมีจำนวนเต็มบวกบางตัวที่ทำให้จากนี้จึงสามารถอนุมานได้ว่า ถ้าไม่มีโทโพโลยีแบบไม่สำคัญ และถ้าแล้วสำหรับลูกบอลใดๆ ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ 0 ในจะมีย่านใกล้เคียงแบบเปิดของจุดกำเนิดในซึ่งจากนั้นพิสูจน์ได้ว่าเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึม เชิงเส้น จบ การพิสูจน์ $\mathbb {K}$ $\mathbb {K}$ $B_{r}:=\{a\in \mathbb {K} :|a|<r\}$ $r>0.$ $X$ $1$ $\mathbb {K} .$ $S\subseteq X$ $B\subseteq \mathbb {K}$ $0$ $B\cdot S=X$ $S$ $\left(a_{i}x\right)_{i=1}^{\infty }$ $0\neq x\in X$ $\left(a_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq \mathbb {K}$ $\mathbb {K}$ $X$ $0\neq x\in X,$ $M_{x}:\mathbb {K} \to X$ $M_{x}(a):=ax$ $X=\mathbb {K} x$ $x,$ $X$ $Fx=M_{x}(F)$ $F\subseteq \mathbb {K} .$ $X$ $W$ $X,$ $\mathbb {K} \times X\to X$ $B_{r}\subseteq \mathbb {K}$ $0$ $S$ $X$ $B_{r}\cdot S\subseteq W\neq X,$ $S$ $0\neq x\in X,$ $n$ $S\subseteq B_{n}x.$ $X$ $0\neq x\in X,$ $B\subseteq \mathbb {K}$ $\mathbb {K} ,$ $M_{x}(B)=Bx$ $X,$ $M_{x}$ $\blacksquare$

ถ้าเช่นนั้นจะมี โทโพโลยีเวกเตอร์ที่แตกต่างกัน อย่างไม่จำกัดจำนวน : $\dim X=n\geq 2$ $\dim X=n\geq 2$ $X$ $X$
- ต่อไปนี้เป็นการอธิบายโทโพโลยีบางส่วน: ฟังก์ชันเชิงเส้นทุกตัวบนซึ่งเป็นปริภูมิเวกเตอร์ที่สมมาตรกับ จะเหนี่ยวนำให้เกิดเซมิเนอร์มที่กำหนดโดย โดยที่เซมิเนอร์มทุกตัวจะเหนี่ยวนำให้เกิดโทโพโลยีเวกเตอร์ ( นูนเฉพาะ ที่แบบ เสมือนเมตริก ) บนและเซมิเนอร์มที่มีเคอร์เนลต่างกันจะเหนี่ยวนำให้เกิดโทโพโลยีที่แตกต่างกัน ดังนั้นโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เซมิเนอร์มบนที่เหนี่ยวนำโดยฟังก์ชันเชิงเส้นที่มีเคอร์เนลต่างกันจะเหนี่ยวนำให้เกิดโทโพโลยีเวกเตอร์ที่แตกต่างกันบน $f$ $X,$ $\mathbb {K} ^{n},$ $|f|:X\to \mathbb {R}$ $|f|(x)=|f(x)|$ $\ker f=\ker |f|.$ $X$ $X$ $X.$
- อย่างไรก็ตาม ในขณะที่มีโทโพโลยีเวกเตอร์จำนวนอนันต์บนเมื่อมี เพียง โทโพโลยีเวกเตอร์บนเท่านั้น ที่สัมพันธ์กัน แบบ TVS-isomorphismตัวอย่างเช่น ถ้าโทโพโลยีเวกเตอร์บนประกอบด้วยโทโพโลยีแบบไม่สำคัญ โทโพโลยีแบบฮอสดอร์ฟยุคลิด และโทโพโลยีเวกเตอร์ที่ไม่ใช่แบบไม่สำคัญและไม่ใช่แบบยุคลิดที่เหลืออีกจำนวนอนันต์บน ล้วนสัมพันธ์กันแบบ TVS-isomorphism $X$ $\dim X\geq 2,$ $1+\dim X$ $X.$ $n:=\dim X=2$ $X$ $X$

โทโพโลยีที่ไม่ใช่เวกเตอร์

โทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องและแบบโคไฟไนต์

ถ้าเป็นปริมาณเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ (กล่าวคือ มีมิติไม่เป็นศูนย์) แล้วโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องบน(ซึ่งสามารถกำหนดเมตริกได้ เสมอ ) จะไม่ใช่โทโพโลยีแบบ TVS เพราะถึงแม้จะทำให้การบวกและการปฏิเสธต่อเนื่อง (ซึ่งทำให้มันเป็นกลุ่มโทโพโลยีภายใต้การบวก) แต่มันก็ไม่สามารถทำให้การคูณด้วยสเกลาร์ต่อเนื่องได้โทโพโลยีแบบโคไฟไนต์บน(โดยที่เซตย่อยเปิดก็ต่อเมื่อเซตส่วนเติมเต็มของมันเป็นเซตจำกัด) ก็ไม่ใช่โทโพโลยีแบบ TVS บน เช่นกัน $X$ $X$ $X$ $X.$

แผนที่เชิงเส้น

ตัวดำเนินการเชิงเส้นระหว่างปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีสองปริภูมิ ซึ่งต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง จะต่อเนื่องบนโดเมนทั้งหมด ยิ่งไปกว่านั้น ตัวดำเนินการเชิงเส้นจะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อมีขอบเขต (ตามที่กำหนดไว้ด้านล่าง) สำหรับบริเวณใกล้เคียงจุดกำเนิด บางบริเวณ $f$ $f(X)$ $X$

ระนาบไฮเปอร์ในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีจะเป็นได้ทั้งแบบหนาแน่นหรือแบบปิดฟังก์ชันเชิงเส้นบนปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีจะมีเคอร์เนลเป็นแบบหนาแน่นหรือแบบปิด ยิ่งไปกว่านั้น ฟังก์ชันจะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อเคอร์เนล ของมัน เป็น เคอร์เนล แบบ ปิด $X$ $f$ $X$ $f$

ประเภท

ขึ้นอยู่กับการใช้งาน มักมีการกำหนดข้อจำกัดเพิ่มเติมเกี่ยวกับโครงสร้างเชิงโทโพโลยีของปริภูมิ อันที่จริง ผลลัพธ์หลักหลายประการในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันไม่เป็นจริงโดยทั่วไปสำหรับปริภูมิเวกเตอร์เชิงโทโพโลยี ได้แก่ทฤษฎีบทกราฟปิดทฤษฎีบทการแมปแบบเปิดและข้อเท็จจริงที่ว่าปริภูมิคู่ของปริภูมิแยกจุดในปริภูมินั้นออกจากกัน

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีทั่วไป โดยเรียงลำดับตามความ "ดี" ที่เพิ่มขึ้นโดยประมาณ

F-spacesคือ ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีที่ สมบูรณ์พร้อมเมตริกที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามการเลื่อน^{[ 25 ]}ซึ่งรวมถึงปริภูมิสำหรับทั้งหมด $L^{p}$ $p>0.$
ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบนูนเฉพาะที่ : ในที่นี้แต่ละจุดมีฐานเฉพาะที่ประกอบด้วยเซตแบบนูน [ ^{25 ] ด้วย}เทคนิคที่เรียกว่าฟังก์ชันมิงโกวสกีสามารถแสดงได้ว่าปริภูมิเป็นแบบนูนเฉพาะที่ก็ต่อเมื่อทอพอโลยีของมันสามารถกำหนดได้ด้วยตระกูลของเซมินอร์ม^{[ 26 ]}ความนูนเฉพาะที่ถือเป็นข้อกำหนดขั้นต่ำสำหรับข้อโต้แย้งทาง "เรขาคณิต" เช่นทฤษฎีบทฮาห์น-บานาคปริภูมิเป็นแบบนูนเฉพาะที่ (ที่จริงคือปริภูมิบานาค) สำหรับทุกแต่ไม่ใช่สำหรับ $L^{p}$ $p\geq 1,$ $0<p<1.$
ปริภูมิทรงกระบอก : ปริภูมิที่มีความนูนเฉพาะที่ซึ่งทฤษฎีบทบานาค-สไตน์เฮาส์เป็น จริง
ปริภูมิบอร์โนโลจิคัล : ปริภูมิที่มีความนูนเฉพาะที่ ซึ่งตัวดำเนินการเชิงเส้นต่อเนื่องในปริภูมิที่มีความนูนเฉพาะที่ใดๆ ก็คือตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขตนั่นเอง
ปริภูมิสเตอริโอไทป์ : ปริภูมิแบบนูนเฉพาะที่ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขการสะท้อนแบบหนึ่ง โดยที่ปริภูมิคู่ขนานนั้นมีโทโพโลยีของการลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอในเซตที่มีขอบเขตโดยสมบูรณ์
ปริภูมิ Montel : ปริภูมิทรงกระบอกที่เซตปิดและมีขอบเขตทุกเซตเป็นเซตกระชับ
ปริภูมิ Fréchet : ปริภูมิเหล่านี้เป็นปริภูมิแบบนูนเฉพาะที่สมบูรณ์ โดยที่โทโพโลยีมาจากเมตริกที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปล หรือเทียบเท่ากับ: มาจากตระกูลเซมินอร์มที่นับได้ ปริภูมิฟังก์ชันที่น่าสนใจหลายแห่งจัดอยู่ในกลุ่มนี้ -- เป็นปริภูมิ Fréchet ภายใต้เซมินอร์มปริภูมิ F แบบนูนเฉพาะที่คือปริภูมิ Fréchet ^[²⁵^] $C^{\infty }(\mathbb {R} )$ ${\textstyle \|f\|_{k,\ell }=\sup _{x\in [-k,k]}|f^{(\ell )}(x)|.}$
LF-spaceคือลิมิตของFréchet spaceส่วนILH spaceคือลิมิตผกผันของ Hilbert space
ปริภูมินิวเคลียร์ : ปริภูมิเหล่านี้เป็นปริภูมิแบบนูนเฉพาะที่ ซึ่งมีคุณสมบัติว่าแผนที่แบบมีขอบเขตทุกแผนที่จากปริภูมินิวเคลียร์ไปยังปริภูมิบานาคใดๆ ก็ตาม เป็นตัวดำเนินการนิวเคลียร์
ปริภูมิบรรทัดฐานและปริภูมิกึ่งบรรทัดฐาน : ปริภูมิที่นูนเฉพาะที่ซึ่งโทโพโลยีสามารถอธิบายได้ด้วยบรรทัดฐานหรือกึ่งบรรทัดฐาน เพียงตัวเดียว ในปริภูมิบรรทัดฐาน ตัวดำเนินการเชิงเส้นจะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อมีขอบเขตเท่านั้น
ปริภูมิบานาค : ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐาน สมบูรณ์ การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันส่วนใหญ่ถูกกำหนดขึ้นสำหรับปริภูมิบานาค กลุ่มนี้รวมถึงปริภูมิของฟังก์ชันที่มีการแปรผันจำกัดและปริภูมิของการวัด บางประเภท $L^{p}$ $1\leq p\leq \infty ,$ $BV$
ปริภูมิบานาคแบบสะท้อนกลับ : ปริภูมิบานาคที่สม isomorphic กับปริภูมิคู่ของมันโดยธรรมชาติ (ดูด้านล่าง) ซึ่งทำให้มั่นใจได้ว่าสามารถใช้เหตุผลทางเรขาคณิตบางอย่างได้ ตัวอย่างที่สำคัญที่ไม่สะท้อนกลับคือ ซึ่ง ปริภูมิคู่ของมันคือแต่ถูกบรรจุอยู่ในปริภูมิคู่ของ อย่างเคร่งครัด $L^{1}$ $L^{\infty }$ $L^{\infty }.$
ปริภูมิฮิลเบิร์ต : ปริภูมิเหล่านี้มีผลคูณภายในแม้ว่าปริภูมิเหล่านี้จะมีมิติอนันต์ แต่การให้เหตุผลทางเรขาคณิตส่วนใหญ่ที่คุ้นเคยจากมิติจำกัดสามารถดำเนินการได้ในปริภูมิเหล่านี้ ซึ่งรวมถึงปริภูมิโซโบเลฟและปริภูมิฮาร์ดี $L^{2}$ $L^{2}$ $W^{2,k},$
ปริภูมิยุคลิด : หรือปริภูมิที่มีโทโพโลยีซึ่งเกิดจากผลคูณภายในมาตรฐาน ดังที่ได้กล่าวไว้ในส่วนก่อนหน้า สำหรับปริภูมิเวกเตอร์เชิงโทโพโลยีแบบจำกัดที่กำหนดจะมีเพียงปริภูมิเวกเตอร์เชิงโทโพโลยีมิติเดียวเท่านั้น โดยขึ้นอยู่กับไอโซมอร์ฟิซึม จากข้อนี้จึงสรุปได้ว่าปริภูมิย่อยมิติจำกัดใดๆ ของปริภูมิเวกเตอร์เชิงโทโพโลยี (TVS) นั้นเป็นปริภูมิปิด ลักษณะเฉพาะของมิติจำกัดคือ ปริภูมิเวกเตอร์เชิงโทโพโลยีแบบเฮาส์ดอร์ฟ (Hausdorff TVS) จะกะทัดรัดเฉพาะที่ก็ต่อเมื่อมีมิติจำกัด (ดังนั้นจึงเป็นไอโซมอร์ฟิกกับปริภูมิยุคลิดบางปริภูมิ) $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {C} ^{n}$ $n,$ $n$

พื้นที่คู่

ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีทุกปริภูมิมีปริภูมิคู่ต่อเนื่อง —เซตของฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่องทั้งหมด นั่นคือแผนที่เชิงเส้นต่อเนื่องจากปริภูมิไปยังฟิลด์ฐานโทโพโลยีบนปริภูมิคู่สามารถกำหนดได้ว่าเป็นโทโพโลยีที่หยาบที่สุดที่ทำให้การจับคู่คู่ที่ประเมินค่าจุดแต่ละจุดมีความต่อเนื่อง ซึ่งจะทำให้ปริภูมิคู่กลายเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบนูนเฉพาะที่ โทโพโลยีนี้เรียกว่าโทโพโลยีแบบอ่อน-* [ ²⁷^]^นี่อาจไม่ใช่โทโพโลยีตามธรรมชาติ เพียงอย่างเดียว บนปริภูมิคู่ ตัวอย่างเช่น ปริภูมิคู่ของปริภูมิที่มีบรรทัดฐานจะมีบรรทัดฐานตามธรรมชาติที่กำหนดไว้บนปริภูมิคู่ อย่างไรก็ตาม มันมีความสำคัญมากในการประยุกต์ใช้เนื่องจากคุณสมบัติความกะทัดรัด (ดูทฤษฎีบท Banach–Alaoglu ) ข้อควรระวัง: เมื่อใดก็ตามที่เป็นปริภูมิแบบนูนเฉพาะที่ไม่มีบรรทัดฐาน แผนที่การจับคู่จะไม่ต่อเนื่อง ไม่ว่าเราจะเลือกโทโพโลยีปริภูมิเวกเตอร์แบบใดก็ตาม ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีมีปริภูมิคู่ต่อเนื่องที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อมีบริเวณใกล้เคียงแบบนูนที่เหมาะสมของจุดกำเนิด^[²⁸^] $X'$ $\mathbb {K} .$ $X'\to \mathbb {K}$ $X$ $X'\times X\to \mathbb {K}$ $X'.$

คุณสมบัติ

สำหรับเซต TVS ใดๆ เปลือกนูน (หรือ เปลือก สมดุล , เปลือกรูปจาน , เปลือกนูนปิด, เปลือกสมดุลปิด, เปลือกรูปจานปิด ) ของเซต นั้น คือเซตย่อยที่เล็กที่สุดของเซตที่มีคุณสมบัตินี้และประกอบด้วยส่วนปิด (หรือส่วนภายใน, เปลือกนูน , เปลือกสมดุล, เปลือกรูปจาน) ของเซตบางครั้งใช้สัญลักษณ์(หรือ) แทน $S\subseteq X$ $X,$ $S$ $X$ $S.$ $S$ $\operatorname {cl} _{X}S$ $\operatorname {Int} _{X}S,$ $\operatorname {co} S,$ $\operatorname {bal} S,$ $\operatorname {cobal} S$

ส่วนนูน ของเซต ย่อย เท่ากับเซตของการรวมแบบนูน ทั้งหมด ขององค์ประกอบซึ่งเป็นการรวมเชิงเส้น จำกัด ในรูปแบบที่เป็นจำนวนเต็มและผลรวมเท่ากับ^[²⁹^]จุดตัดของตระกูลเซตแบบนูนใดๆ ก็เป็นเซตแบบนูน และส่วนนูนของเซตย่อยเท่ากับจุดตัดของเซตแบบนูนทั้งหมดที่บรรจุเซตย่อยนั้น^[²⁹^] $\operatorname {co} S$ $S$ $S,$ $t_{1}s_{1}+\cdots +t_{n}s_{n}$ $n\geq 1$ $s_{1},\ldots ,s_{n}\in S$ $t_{1},\ldots ,t_{n}\in [0,1]$ $1.$

ย่านที่อยู่อาศัยและชุดเปิดโล่ง

คุณสมบัติของย่านที่อยู่อาศัยและพื้นที่เปิดโล่ง

TVS ทุกตัวเชื่อมต่อกัน^{[ 6 ]}และเชื่อมต่อกันในระดับท้องถิ่น^{[ 30 ]}และเซตย่อยเปิดที่เชื่อมต่อกันของ TVS ใดๆ ก็เชื่อมต่อกันแบบอาร์คถ้าและเป็นเซตย่อยเปิดของแล้วจะเป็นเซตเปิดใน^[⁶^]และถ้ามีภายในที่ไม่ว่างเปล่า แล้วจะเป็นย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิด^[⁶^] $S\subseteq X$ $U$ $X$ $S+U$ $X$ $S\subseteq X$ $S-S$

เซตย่อยนูนเปิดของ TVS (ไม่จำเป็นต้องเป็น Hausdorff หรือนูนเฉพาะที่) คือเซตย่อยที่มีรูปแบบสำหรับบางค่า และ ฟังก์ชันย่อยเชิงเส้นต่อเนื่องบวกบางค่าบน^[²⁸^] $X$ $z+\{x\in X:p(x)<1\}~=~\{x\in X:p(x-z)<1\}$ $z\in X$ $p$ $X.$

ถ้าเป็นดิสก์ดูดซับใน TVS และถ้าเป็นฟังก์ชัน Minkowskiของ^[³¹ ] โดยที่สำคัญคือ^ไม่ได้ถือว่ามีคุณสมบัติทางโทโพโลยีใดๆ หรือว่าต่อเนื่อง (ซึ่งเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อเป็นย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิด) $K$ $X$ $p:=p_{K}$ $K$ $\operatorname {Int} _{X}K~\subseteq ~\{x\in X:p(x)<1\}~\subseteq ~K~\subseteq ~\{x\in X:p(x)\leq 1\}~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}K$ $K$ $p$ $K$

ให้และเป็นโทโพโลยีเวกเตอร์สองแบบบนจากนั้นก็ต่อเมื่อเมื่อใดก็ตามที่เน็ตใน ลู่ เข้าในแล้วใน^[³²^] $\tau$ $\nu$ $X.$ $\tau \subseteq \nu$ $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ $X$ $0$ $(X,\nu )$ $x_{\bullet }\to 0$ $(X,\tau ).$

ให้เป็นฐานใกล้เคียงของจุดกำเนิดในให้และให้จากนั้นก็ต่อเมื่อมีเน็ตใน(ดัชนีโดย) เช่นนั้นใน^[³³^]สิ่งนี้แสดงให้เห็นโดยเฉพาะว่ามักจะเพียงพอที่จะพิจารณาเน็ตที่มีดัชนีโดยฐานใกล้เคียงของจุดกำเนิดมากกว่าเน็ตบนเซตทิศทางใดๆ ${\mathcal {N}}$ $X,$ $S\subseteq X,$ $x\in X.$ $x\in \operatorname {cl} _{X}S$ $s_{\bullet }=\left(s_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}$ $S$ ${\mathcal {N}}$ $s_{\bullet }\to x$ $X.$

ถ้าเป็น TVS ที่อยู่ในประเภทที่สองในตัวมันเอง (นั่นคือพื้นที่ที่ไม่ขาดแคลน ) แล้ว เซตย่อย ที่ดูดซับ นูนปิดใดๆ ของจะเป็นย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิด^[³⁴^]สิ่งนี้จะไม่รับประกันอีกต่อไปหากเซตไม่เป็นนูน (มีตัวอย่างค้านอยู่แม้ใน) หรือถ้าไม่ได้อยู่ในประเภทที่สองในตัวมันเอง^[³⁴^] $X$ $X$ $X=\mathbb {R} ^{2}$ $X$

ภายใน

ถ้าและมีพื้นที่ภายในที่ไม่ว่างเปล่า แล้ว และ $R,S\subseteq X$ $S$ $\operatorname {Int} _{X}S~=~\operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}S\right)~{\text{ and }}~\operatorname {cl} _{X}S~=~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}S\right)$ $\operatorname {Int} _{X}(R)+\operatorname {Int} _{X}(S)~\subseteq ~R+\operatorname {Int} _{X}S\subseteq \operatorname {Int} _{X}(R+S).$

ภายในเชิงทอพอโลยีของดิสก์จะไม่ว่างเปล่าก็ต่อเมื่อภายในนี้มีจุดกำเนิด^{[ 35 ]} โดยทั่วไปแล้ว ถ้าเป็น เซต สมดุลที่มีภายในไม่ว่างเปล่าใน TVS แล้วจะต้องเป็นเซตสมดุลด้วย^[⁶^]ดังนั้นจะเป็นเซตสมดุลก็ต่อเมื่อมีจุดกำเนิด^[^{พิสูจน์ 2}^]เพื่อให้สิ่งนี้ (เช่น) เป็นจริง ก็เพียงพอแล้วที่จะเป็นเซตแบบนูนด้วย (นอกเหนือจากการเป็นเซตสมดุลและมีภายในไม่ว่างเปล่า) ^[⁶^] ข้อสรุปอาจเป็นเท็จได้หากไม่เป็นเซตแบบนูนด้วย^[³⁵^]ตัวอย่างเช่นภายในของเซตปิดและสมดุลคือ $S$ $\operatorname {Int} _{X}S\neq \varnothing$ $X$ $\{0\}\cup \operatorname {Int} _{X}S$ $\operatorname {Int} _{X}S$ $0\in \operatorname {Int} _{X}S$ $S$ $0\in \operatorname {Int} _{X}S$ $S$ $X:=\mathbb {R} ^{2},$ $S:=\{(x,y):xy\geq 0\}$ $\{(x,y):xy>0\}.$

ถ้าเป็นนูนแล้ว^[³⁶^] โดยชัดแจ้ง หมายความว่าถ้าเป็นเซตย่อยนูนของ TVS (ไม่จำเป็นต้องเป็น Hausdorff หรือนูนเฉพาะที่) แล้วส่วนของเส้นตรงเปิดที่เชื่อมและอยู่ในส่วนภายในของนั่นคือ^[³⁷^]^[³⁸^]^[^{พิสูจน์ 3}^] $C$ $0<t\leq 1,$ $t\operatorname {Int} C+(1-t)\operatorname {cl} C~\subseteq ~\operatorname {Int} C.$ $C$ $X$ $y\in \operatorname {int} _{X}C,$ $x\in \operatorname {cl} _{X}C$ $x$ $y$ $C;$ $\{tx+(1-t)y:0<t<1\}\subseteq \operatorname {int} _{X}C.$

ถ้าเป็นย่านใกล้เคียงที่สมดุลใดๆ ของจุดกำเนิดในแล้ว โดยที่คือเซตของสเกลาร์ทั้งหมดเช่นนั้น $N\subseteq X$ $X$ ${\textstyle \operatorname {Int} _{X}N\subseteq B_{1}N=\bigcup _{0<|a|<1}aN\subseteq N}$ $B_{1}$ $a$ $|a|<1.$

ถ้าเป็นส่วนหนึ่งของเซตนูนและส่วนของเส้นตรงครึ่งเปิดและ^[³⁷^] ถ้าเป็นย่านใกล้เคียงที่สมดุล ของ ในและโดยการพิจารณาจุดตัดของรูปแบบ(ซึ่งเป็นย่านใกล้เคียงสมมาตรนูนของใน TVS จริง) จะได้ว่า: และยิ่งไปกว่านั้น ถ้าแล้วและถ้าแล้ว $x$ $S\subseteq X$ $y\in \operatorname {cl} _{X}S,$ $[x,y):=\{tx+(1-t)y:0<t\leq 1\}\subseteq \operatorname {Int} _{X}{\text{ if }}x\neq y$ $[x,x)=\varnothing {\text{ if }}x=y.$ $N$ $0$ $X$ $B_{1}:=\{a\in \mathbb {K} :|a|<1\},$ $N\cap \mathbb {R} x$ $0$ $\mathbb {R} x$ $\operatorname {Int} N=[0,1)\operatorname {Int} N=(-1,1)N=B_{1}N,$ $x\in \operatorname {Int} N{\text{ and }}r:=\sup\{r>0:[0,r)x\subseteq N\}$ $r>1{\text{ and }}[0,r)x\subseteq \operatorname {Int} N,$ $r\neq \infty$ $rx\in \operatorname {cl} N\setminus \operatorname {Int} N.$

พื้นที่ที่ไม่ใช่เฮาส์ดอร์ฟและการปิดจุดกำเนิด

ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีเป็น Hausdorff ก็ต่อเมื่อเป็นเซตย่อยปิดของหรือเทียบเท่า ก็ต่อเมื่อเนื่องจากเป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ของดังนั้นจึงเป็นจริงเช่นเดียวกันสำหรับส่วนปิดของมันซึ่งเรียกว่าส่วนปิดของจุดกำเนิดในปริภูมิเวกเตอร์นี้สอดคล้องกับ ดังนั้นโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทุกย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิดในจะมีปริภูมิเวกเตอร์เป็นเซตย่อย ทอพอโลยีของปริภูมิย่อยบนคือทอพอโลยีแบบไม่สำคัญ เสมอ ซึ่งโดยเฉพาะอย่างยิ่งหมายความว่าปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอ โลยี เป็นปริภูมิกระชับ (แม้ว่ามิติของมันจะไม่เป็นศูนย์หรือแม้แต่เป็นอนันต์) และด้วยเหตุนี้จึงเป็นเซตย่อยที่มีขอบเขตของในความเป็นจริง ปริภูมิย่อยเวกเตอร์ของ TVS จะมีขอบเขตก็ต่อเมื่อมันอยู่ในส่วนปิดของ^[¹⁴^] ทุกเซตย่อยของยังมีทอพอโลยีแบบไม่สำคัญและดังนั้นจึงเป็นปริภูมิ ย่อยกระชับและสมบูรณ์ด้วย (ดูเชิงอรรถสำหรับการพิสูจน์) ^[^{การพิสูจน์ 4}^]โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าไม่ใช่ Hausdorff แล้วจะมีเซตย่อยที่ทั้งกระชับและสมบูรณ์แต่ไม่ปิดใน^[³⁹^]ตัวอย่างเช่น สิ่งนี้จะเป็นจริงสำหรับเซตย่อยแท้ที่ไม่ว่างเปล่าใดๆ ของ $X$ $\{0\}$ $X,$ $\{0\}=\operatorname {cl} _{X}\{0\}.$ $\{0\}$ $X,$ $\operatorname {cl} _{X}\{0\},$ $X.$ $\operatorname {cl} _{X}\{0\}=\bigcap _{N\in {\mathcal {N}}(0)}N$ $X$ $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $X.$ $\{0\}.$ $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $X$ $X$ $\operatorname {cl} _{X}\{0\}.$

ถ้าเป็นเซตกระชับแล้วและเซตนี้ก็กระชับด้วย ดังนั้นการปิดของเซตย่อยกระชับของ TVS จึงกระชับ (กล่าวอีกอย่างคือ เซตกระชับทั้งหมดเป็นเซตกระชับสัมพัทธ์ ) ^[⁴⁰^]ซึ่งไม่รับประกันสำหรับปริภูมิโทโพโลยี ที่ไม่ใช่เฮาส์ดอร์ ฟ โดยพลการ ^[^{หมายเหตุ 6}^] $S\subseteq X$ $\operatorname {cl} _{X}S=S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}$

สำหรับทุกเซตย่อยและผลที่ตามมา ถ้าเป็นเซตเปิดหรือเซตปิดในแล้ว^[^{พิสูจน์ 5}^] (ดังนั้น เซต ย่อยเปิดหรือปิดใดๆ เหล่านี้ สามารถอธิบายได้ว่าเป็น"ท่อ"ที่มีด้านแนวตั้งเป็นปริภูมิเวกเตอร์) สำหรับเซตย่อยใดๆของ TVS นี้สิ่งต่อไปนี้เทียบเท่ากัน: $S\subseteq X,$ $S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}\subseteq \operatorname {cl} _{X}S$ $S\subseteq X$ $X$ $S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}=S$ $S$ $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $S\subseteq X$ $X,$

$S$ มีขอบเขตจำกัดอย่างสมบูรณ์
$S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ มีขอบเขตจำกัดอย่างสมบูรณ์^{[ 41 ]}
$\operatorname {cl} _{X}S$ มีขอบเขตจำกัดโดยสมบูรณ์^{[ 42 ]}^{[ 43 ]}
ภาพหากอยู่ภายใต้แผนที่ผลหารมาตรฐานจะถูกจำกัดอย่างสมบูรณ์^[⁴¹^] $S$ $X\to X/\operatorname {cl} _{X}(\{0\})$

ถ้าเป็นเวกเตอร์ซับสเปซของ TVS แล้วจะเป็น Hausdorff ก็ต่อเมื่อปิดใน นอกจากนี้แผนที่ผลหาร จะเป็น แผนที่ปิดไปยัง TVS ของ Hausdorff เสมอ^[⁴⁴^] $M$ $X$ $X/M$ $M$ $X.$ $q:X\to X/\operatorname {cl} _{X}\{0\}$

ทุกเวกเตอร์ซับสเปซของที่เป็นส่วนเติมเต็มเชิงพีชคณิตของ(นั่นคือ เวกเตอร์ซับสเปซที่สอดคล้องกับและ) เป็นส่วนเติมเต็มเชิงโทโพโลยีของ ดังนั้น ถ้าเป็นส่วนเติมเต็มเชิงพีชคณิตของในแล้วแผนที่การบวกที่กำหนดโดยเป็นไอโซมอร์ฟิซึม TVS โดยที่จำเป็นต้องเป็น Hausdorff และมี โทโพโล ยีแบบไม่ต่อเนื่อง^[⁴⁵^]ยิ่งไปกว่านั้น ถ้า เป็นการ เติมเต็ม Hausdorff ของแล้วเป็นการเติมเต็มของ^[⁴¹^] $X$ $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $H$ $\{0\}=H\cap \operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $X=H+\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $\operatorname {cl} _{X}\{0\}.$ $H$ $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $X$ $H\times \operatorname {cl} _{X}\{0\}\to X,$ $(h,n)\mapsto h+n$ $H$ $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $C$ $H$ $C\times \operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $X\cong H\times \operatorname {cl} _{X}\{0\}.$

ชุดแบบปิดและกะทัดรัด

เซตกระชับและมีขอบเขตโดยสมบูรณ์

เซตย่อยของ TVS จะกระชับก็ต่อเมื่อสมบูรณ์และมีขอบเขตโดยสมบูรณ์ [ ^{39 ] ดังนั้น}ในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีที่สมบูรณ์เซตย่อยที่ปิดและมีขอบเขตโดยสมบูรณ์จะกระชับ^{[ 39 ]} เซตย่อยของ TVS จะมีขอบเขตโดยสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อมีขอบเขตโดยสมบูรณ์^[⁴²^]^[⁴³^]ก็ต่อเมื่อภาพของมันภายใต้แผนที่ผลหารแบบแคนอนิกมีขอบเขตโดยสมบูรณ์^[⁴¹^] $S$ $X$ $\operatorname {cl} _{X}S$ $X\to X/\operatorname {cl} _{X}(\{0\})$

เซตกระชับสัมพัทธ์ทุกเซตมีขอบเขตสมบูรณ์^{[ 39 ]}และการปิดของเซตที่มีขอบเขตสมบูรณ์ก็มีขอบเขตสมบูรณ์^{[ 39 ]} ภาพของเซตที่มีขอบเขตสมบูรณ์ภายใต้แผนที่ต่อเนื่องสม่ำเสมอ (เช่น แผนที่เชิงเส้นต่อเนื่องเป็นต้น) มีขอบเขตสมบูรณ์^{[ 39 ]} ถ้าเป็นเซตย่อยของ TVS ที่ลำดับทุกลำดับในมีจุดคลัสเตอร์ในแล้วก็มีขอบเขตสมบูรณ์^[⁴¹^] $S$ $X$ $S$ $S$ $S$

ถ้าเป็นเซตย่อยกระชับของ TVS และเป็นเซตย่อยเปิดของที่มีอยู่แล้วจะมีย่านใกล้เคียงของ 0 เช่นนั้น^[⁴⁶^] $K$ $X$ $U$ $X$ $K,$ $N$ $K+N\subseteq U.$

ชุดปิดและชุดปิดสนิท

การปิดของเซตย่อยนูนใดๆ (หรือเซตย่อยสมดุลใดๆ หรือเซตย่อยดูดซับใดๆ) ของระบบเวกเตอร์เชิงซ้อนใดๆ ก็มีคุณสมบัติเดียวกันนี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การปิดของเซตย่อยนูน สมดุล และดูดซับใดๆ ก็คือทรง กระบอก

การปิดของปริภูมิย่อยเวกเตอร์ของ TVS เป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ ปริภูมิย่อยเวกเตอร์มิติจำกัดทุกปริภูมิย่อยเวกเตอร์ Hausdorff ปิด ผลรวมของปริภูมิย่อยเวกเตอร์ปิดและปริภูมิย่อยเวกเตอร์มิติจำกัดปิด^{[ 6 ]} ถ้าเป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ของและเป็นย่านใกล้เคียงปิดของจุดกำเนิดในโดยที่ปิดในแล้วปิดใน^[⁴⁶^] ผลรวมของเซตกระชับและเซตปิดปิด อย่างไรก็ตาม ผลรวมของเซตย่อยปิดสองเซตอาจไม่ปิด^[⁶^] (ดูเชิงอรรถนี้^[^{หมายเหตุ 7}^]สำหรับตัวอย่าง) $M$ $X$ $N$ $X$ $U\cap N$ $X$ $M$ $X.$

ถ้าและเป็นสเกลาร์ แล้วโดยที่ ถ้าเป็น Hausdorff แล้วความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง: โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สเกลาร์คูณที่ไม่เป็นศูนย์ทุกตัวของเซตปิดจะเป็นเซตปิด ถ้าและ ถ้าเป็นเซตของสเกลาร์ซึ่งทั้งสองตัวไม่มีศูนย์ แล้ว^[⁴⁷^] $S\subseteq X$ $a$ $a\operatorname {cl} _{X}S\subseteq \operatorname {cl} _{X}(aS),$ $X$ $a\neq 0,{\text{ or }}S=\varnothing$ $\operatorname {cl} _{X}(aS)=a\operatorname {cl} _{X}S.$ $S\subseteq X$ $A$ $\operatorname {cl} S{\text{ nor }}\operatorname {cl} A$ $\left(\operatorname {cl} A\right)\left(\operatorname {cl} _{X}S\right)=\operatorname {cl} _{X}(AS).$

ถ้าเช่นนั้นจะเป็นนูน^[⁴⁷^] $S\subseteq X{\text{ and }}S+S\subseteq 2\operatorname {cl} _{X}S$ $\operatorname {cl} _{X}S$

ถ้าเช่นนั้น^[⁶^]และด้วยเหตุนี้ ถ้าปิดแล้ว^[⁴⁷^{] ก็ปิดเช่นกัน} $R,S\subseteq X$ $\operatorname {cl} _{X}(R)+\operatorname {cl} _{X}(S)~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}(R+S)~{\text{ and }}~\operatorname {cl} _{X}\left[\operatorname {cl} _{X}(R)+\operatorname {cl} _{X}(S)\right]~=~\operatorname {cl} _{X}(R+S)$ $R+S$ $\operatorname {cl} _{X}(R)+\operatorname {cl} _{X}(S).$

ถ้าเป็น TVS จริง และโดยที่ด้านซ้ายมือไม่ขึ้นอยู่กับโทโพโลยีบน และถ้าเป็นย่านนูนของจุดกำเนิดแล้ว ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง $X$ $S\subseteq X,$ $\bigcap _{r>1}rS\subseteq \operatorname {cl} _{X}S$ $X;$ $S$

สำหรับเซตย่อยใดๆที่มีฐานใกล้เคียงใดๆ ที่จุดกำเนิดสำหรับ^[⁴⁸^] อย่างไรก็ตามและเป็นไปได้ที่การบรรจุนี้จะเป็นแบบเหมาะสม^[⁴⁹^] (ตัวอย่างเช่น ถ้าและเป็นจำนวนตรรกยะ) เป็นผลให้สำหรับทุกย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิดใน^[⁵⁰^] $S\subseteq X,$ $\operatorname {cl} _{X}S~=~\bigcap _{N\in {\mathcal {N}}}(S+N)$ ${\mathcal {N}}$ $X.$ $\operatorname {cl} _{X}U~\supseteq ~\bigcap \{U:S\subseteq U,U{\text{ is open in }}X\}$ $X=\mathbb {R}$ $S$ $\operatorname {cl} _{X}U\subseteq U+U$ $U$ $X.$

ตัวเรือปิด

ในพื้นที่นูนเฉพาะที่ ขอบเขตนูนของเซตที่มีขอบเขตจะมีขอบเขต นี่ไม่เป็นจริงสำหรับ TVS โดยทั่วไป^{[ 14 ]}

ส่วนนูนปิดของเซตเท่ากับการปิดของส่วนนูนของเซตนั้น กล่าวคือ เท่ากับ^[⁶^] $\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} S).$
เปลือกสมดุลปิดของเซตเท่ากับการปิดของเปลือกสมดุลของเซตนั้น กล่าวคือ เท่ากับ^[⁶^] $\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {bal} S).$
เปลือก ดิสก์ปิดของเซตเท่ากับการปิดของเปลือกดิสก์ของเซตนั้น กล่าวคือ เท่ากับ^[⁵¹^] $\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {cobal} S).$

ถ้าและส่วนนูนปิดของเซตใดเซตหนึ่งหรือเป็นเซตกระชับแล้ว^[⁵¹^] ถ้าแต่ละเซตมีส่วนนูนปิดที่เป็นเซตกระชับ (นั่นคือและเป็นเซตกระชับ) แล้ว^[⁵¹^] $R,S\subseteq X$ $S$ $R$ $\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} (R+S))~=~\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} R)+\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} S).$ $R,S\subseteq X$ $\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} R)$ $\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} S)$ $\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} (R\cup S))~=~\operatorname {co} \left[\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} R)\cup \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} S)\right].$

ตัวเรือและความกะทัดรัด

ใน TVS ทั่วไป เปลือกนูนปิดของเซตกระชับอาจไม่กระชับ เปลือกสมดุลของเซตกระชับ (หรือ เซต ที่มีขอบเขต โดยสมบูรณ์ ) มีคุณสมบัติเดียวกัน^{[ 6 ]} เปลือกนูนของการรวมกันแบบจำกัดของ เซต กระชับนูนนั้นกระชับและนูนอีกครั้ง^{[ 6 ]}

คุณสมบัติอื่นๆ

แห้งแล้ง ไม่มีที่ใดหนาแน่น และแบร์

ดิสก์ใน TVS จะไม่หนาแน่นที่ใดที่หนึ่งก็ต่อเมื่อการปิดของมันเป็นย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิด^[⁹^] ปริภูมิเวกเตอร์ย่อยของ TVS ที่ปิดแต่ไม่เปิดจะไม่หนาแน่นที่ใดที่หนึ่ง^[⁹^]

สมมติว่าเป็น TVS ที่ไม่มีโทโพโลยีแบบ ไม่ต่อเนื่อง ดังนั้นจะเป็นปริภูมิแบร์ก็ต่อเมื่อไม่มีเซตย่อยที่ดูดซับสมดุลซึ่งไม่มีความหนาแน่นที่ใดเลย^[⁹^] $X$ $X$ $X$

TVS เป็นพื้นที่ Baire ก็ต่อเมื่อไม่ใช่พื้นที่ที่เล็กจิ๋วซึ่งเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อไม่มีเซตที่หนาแน่นที่ใดที่ หนึ่ง เช่นนั้น^[⁹^] TVS ที่เป็นนูนเฉพาะที่ ทุกตัวที่ไม่ใช่พื้นที่เล็กจิ๋วเป็นพื้นที่ทรงกระบอก^[⁹^] $X$ $X$ $D$ ${\textstyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }nD.}$

ข้อเท็จจริงทางพีชคณิตที่สำคัญและความเข้าใจผิดที่พบบ่อย

ถ้าเช่นนั้น; ถ้าเป็นเซตแบบนูนแล้วความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง สำหรับตัวอย่างที่ความเท่าเทียมกันไม่เป็นจริง ให้กำหนดให้เป็นค่าที่ไม่เป็นศูนย์ และเซตก็ใช้ได้เช่นกัน $S\subseteq X$ $2S\subseteq S+S$ $S$ $x$ $S=\{-x,x\};$ $S=\{x,2x\}$

เซตย่อยเป็นเซตนูนก็ต่อเมื่อสำหรับจำนวนจริงบวกทั้งหมด^[²⁹^]หรือเทียบเท่าก็ต่อเมื่อสำหรับ^[⁵²^] $C$ $(s+t)C=sC+tC$ $s>0{\text{ and }}t>0,$ $tC+(1-t)C\subseteq C$ $0\leq t\leq 1.$

ส่วนนูนสมดุลของเซตหนึ่งเท่ากับส่วนนูนสมดุลของเซตอีกเซตหนึ่ง นั่นคือ เท่ากับแต่โดยทั่วไปแล้วการรวมอาจเป็นแบบเข้มงวด เนื่องจากส่วนนูนสมดุลของเซตแบบนูนไม่จำเป็นต้องเป็นแบบนูนเสมอไป (มีตัวอย่างค้านแม้ในกรณีนั้น) $S\subseteq X$ $S;$ $\operatorname {co} (\operatorname {bal} S).$ $\operatorname {bal} (\operatorname {co} S)~\subseteq ~\operatorname {cobal} S~=~\operatorname {co} (\operatorname {bal} S),$ $\mathbb {R} ^{2}$

ถ้าและเป็นสเกลาร์แล้ว^[⁶^] ถ้าเป็นเซตที่ไม่ทับซ้อนกันแบบนูนและไม่ว่างเปล่าแล้วหรือ $R,S\subseteq X$ $a$ $a(R+S)=aR+aS,~{\text{ and }}~\operatorname {co} (R+S)=\operatorname {co} R+\operatorname {co} S,~{\text{ and }}~\operatorname {co} (aS)=a\operatorname {co} S.$ $R,S\subseteq X$ $x\not \in R\cup S,$ $S\cap \operatorname {co} (R\cup \{x\})=\varnothing$ $R\cap \operatorname {co} (S\cup \{x\})=\varnothing .$

ในปริภูมิเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ปริภูมิว่างจะมีเซตย่อยนูนสองเซตที่ไม่ทับซ้อนกันและไม่ว่างเปล่า ซึ่งผลรวมของเซตย่อยทั้งสองนี้คือ $X,$ $X.$

คุณสมบัติอื่นๆ

โทโพโลยี TVS ทุกแบบสามารถสร้างขึ้นได้จากตระกูลเซมิโน^ร์มF [ ^{53 ]}

ถ้า เป็น述語เอกภาค(ข้อความที่เป็นจริงหรือเท็จขึ้นอยู่กับ) แล้วสำหรับใดๆ^[^{พิสูจน์ 6}^] ตัวอย่างเช่น ถ้าหมายถึง " " แล้วสำหรับใดๆในทำนองเดียวกัน ถ้าเป็นสเกลาร์ แล้วองค์ประกอบของเซตเหล่านี้ต้องครอบคลุมปริภูมิเวกเตอร์ (นั่นคือ เหนือ) แทนที่จะเป็นเพียงเซตย่อย มิฉะนั้นความเท่าเทียมกันเหล่านี้จะไม่ได้รับการรับประกันอีกต่อไป ในทำนองเดียวกันต้องอยู่ในปริภูมิเวกเตอร์นี้ (นั่นคือ) $P(x)$ $x\in X$ $z\in X,$ $z+\{x\in X:P(x)\}=\{x\in X:P(x-z)\}.$ $P(x)$ $\|x\|<1$ $z\in X,$ $z+\{x\in X:\|x\|<1\}=\{x\in X:\|x-z\|<1\}.$ $s\neq 0$ $s\{x\in X:P(x)\}=\left\{x\in X:P\left({\tfrac {1}{s}}x\right)\right\}.$ $x\in X$ $X$ $z$ $z\in X$

คุณสมบัติที่คงไว้โดยตัวดำเนินการเซต

เปลือกสมดุลของเซตกระชับ (หรือ เซตเปิด ที่มีขอบเขต โดยสมบูรณ์ ) มีคุณสมบัติเดียวกัน^{[ 6 ]}
ผลรวม (มินคอฟสกี)ของเซตกระชับสองเซต (ตามลำดับ มีขอบเขต สมดุล และนูน) มีคุณสมบัติเดียวกัน^{[ 6 ]}แต่ผลรวมของเซตปิดสองเซตไม่ จำเป็น ต้องเป็นเซตปิด
ส่วนนูนของเซตที่สมดุล (หรือเซตเปิด) จะสมดุล (หรือเปิด) อย่างไรก็ตาม ส่วนนูนของเซตปิดไม่ จำเป็น ต้องปิด^{[ 6 ]}และส่วนนูนของเซตที่มีขอบเขตไม่ จำเป็น ต้องมีขอบเขต

ตารางต่อไปนี้ สีของแต่ละช่องจะบ่งบอกว่าคุณสมบัติที่กำหนดของเซตย่อย(ระบุโดยชื่อคอลัมน์ เช่น "นูน") ยังคงอยู่หรือไม่ภายใต้ตัวดำเนินการเซต (ระบุโดยชื่อแถว เช่น "ปิด") หากในทุก TVS คุณสมบัตินั้นยังคงอยู่ภายใต้ตัวดำเนินการเซตที่ระบุ ช่องนั้นจะเป็นสีเขียว มิเช่นนั้นจะเป็นสีแดง $X$

ตัวอย่างเช่น เนื่องจากผลรวมของเซตดูดซับสองเซตยังคงเป็นเซตดูดซับอยู่ ดังนั้นช่องในแถว " " และคอลัมน์ "เซตดูดซับ" จึงเป็นสีเขียว แต่เนื่องจากการตัดกันโดยพลการของเซตดูดซับไม่จำเป็นต้องเป็นเซตดูดซับเสมอไป ดังนั้นช่องในแถว "การตัดกันโดยพลการ (ของอย่างน้อย 1 เซต)" และคอลัมน์ "เซตดูดซับ" จึงเป็นสีแดง หากช่องใดไม่มีสี แสดงว่ายังไม่ได้กรอกข้อมูลในช่องนั้น $R\cup S$

คุณสมบัติที่คงไว้โดยตัวดำเนินการเซต
การดำเนินการ	คุณสมบัติของและเซตย่อยอื่น ๆ ของที่ถือว่า $R,$ $S,$ $X$
การดำเนินการ	การดูดซับ	สมดุล	นูน	สมมาตร	สมดุลนูน	ปริภูมิย่อย เวกเตอร์	เปิด	ย่านใกล้เคียง 0	ปิด	ปิดสมดุล	นูน ปิด	สมดุล นูนปิด	ถัง	ปริภูมิ ย่อยเวกเตอร์ปิด	ถูกจำกัดอย่างสมบูรณ์	กะทัดรัด	นูนขนาด กะทัดรัด	ค่อนข้างกะทัดรัด	สมบูรณ์	เสร็จสมบูรณ์ตามลำดับ	ดิสก์บานาค	ขอบเขต	บอร์นวิฟเตอร์	อินฟราบอร์นิโวรัส	ไม่มีที่ใดหนาแน่น (ใน) $X$	น้อยนิด	แยกออกจากกันได้	ซูโดเมตริก	การดำเนินการ
$R\cup S$																													$R\cup S$
$\cup$ ของโซ่ ที่ไม่ว่างเปล่าที่เพิ่มขึ้น																													$\cup$ ของโซ่ ที่ไม่ว่างเปล่าที่เพิ่มขึ้น
การรวมกันโดยพลการ (อย่างน้อย 1 เซต)																													การรวมกันโดยพลการ (อย่างน้อย 1 เซต)
$R\cap S$																													$R\cap S$
$\cap$ ของโซ่ ที่ไม่ว่างเปล่าที่ลดลง																													$\cap$ ของโซ่ ที่ไม่ว่างเปล่าที่ลดลง
จุดตัดโดยพลการ (ของอย่างน้อย 1 เซต)																													จุดตัดโดยพลการ (ของอย่างน้อย 1 เซต)
$R+S$																													$R+S$
ตัวคูณสเกลาร์																													ตัวคูณสเกลาร์
ตัวคูณสเกลาร์ที่ไม่ใช่ศูนย์																													ตัวคูณสเกลาร์ที่ไม่ใช่ศูนย์
ตัวคูณสเกลาร์บวก																													ตัวคูณสเกลาร์บวก
การปิด																													การปิด
ภายใน																													ภายใน
แกนกลางที่สมดุล																													แกนกลางที่สมดุล
ตัวเรือที่สมดุล																													ตัวเรือที่สมดุล
ตัวถังนูน																													ตัวถังนูน
ตัวเรือทรงโค้งสมดุล																													ตัวเรือทรงโค้งสมดุล
ตัวเรือปิดสมดุล																													ตัวเรือปิดสมดุล
เปลือกนูนปิด																													เปลือกนูนปิด
ตัวเรือทรงโค้งปิดสมดุล																													ตัวเรือทรงโค้งปิดสมดุล
ช่วงเชิงเส้น																													ช่วงเชิงเส้น
ภาพก่อนการแมปเชิงเส้นต่อเนื่อง																													ภาพก่อนการแมปเชิงเส้นต่อเนื่อง
ภาพภายใต้แผนที่เชิงเส้นต่อเนื่อง																													ภาพภายใต้แผนที่เชิงเส้นต่อเนื่อง
ภาพภายใต้การฉายภาพเชิงเส้นต่อเนื่อง																													ภาพภายใต้การฉายภาพเชิงเส้นต่อเนื่อง
เซตย่อยที่ไม่ว่างเปล่าของ $R$																													เซตย่อยที่ไม่ว่างเปล่าของ $R$
การดำเนินการ	การดูดซับ	สมดุล	นูน	สมมาตร	สมดุลนูน	ปริภูมิย่อย เวกเตอร์	เปิด	ย่านใกล้เคียง 0	ปิด	ปิดสมดุล	นูน ปิด	สมดุล นูนปิด	ถัง	ปริภูมิ ย่อยเวกเตอร์ปิด	ถูกจำกัดอย่างสมบูรณ์	กะทัดรัด	นูนขนาด กะทัดรัด	ค่อนข้างกะทัดรัด	สมบูรณ์	เสร็จสมบูรณ์ตามลำดับ	ดิสก์บานาค	ขอบเขต	บอร์นวิฟเตอร์	อินฟราบอร์นิโวรัส	ไม่มีที่ใดหนาแน่น (ใน) $X$	น้อยนิด	แยกออกจากกันได้	ซูโดเมตริก	การดำเนินการ

ดูเพิ่มเติม

ปริภูมิบานาค – ปริภูมิเวกเตอร์แบบนอร์มที่สมบูรณ์
ฟิลด์ที่สมบูรณ์
ปริภูมิฮิลเบิร์ต – ประเภทหนึ่งของปริภูมิเวกเตอร์ในทางคณิตศาสตร์
ปริภูมิเวกเตอร์ของเหลว – สาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ใช้เซตแบบย่อ
ปริภูมิบรรทัดฐาน – ปริภูมิเวกเตอร์ที่กำหนดระยะทาง
สนามขนาดกะทัดรัดในท้องถิ่น
กลุ่มกระชับเฉพาะที่ – ประเภทหนึ่งของกลุ่มเชิงทอพอโลยีในทางคณิตศาสตร์
กลุ่มควอนตัมขนาดกะทัดรัดเฉพาะที่
ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบนูนเฉพาะที่ – ปริภูมิที่มีทอพอโลยีที่สร้างขึ้นจากเซตแบบนูน
ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบเรียงลำดับ
กลุ่มอาเบเลียนเชิงทอพอโลยี
ฟิลด์เชิงทอพอโลยี – โครงสร้างพีชคณิตที่มีการบวก การคูณ และการหาร
กลุ่มเชิงทอพอโลยี – กลุ่มที่เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่มีการดำเนินการกลุ่มแบบต่อเนื่อง
โมดูลเชิงทอพอโลยี
วงแหวนเชิงทอพอโลยี
เซมิกรุปเชิงทอพอโลยี
แลตทิซเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี
ทฤษฎีการวัดในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี – หัวข้อหนึ่งในวิชาคณิตศาสตร์

หมายเหตุ

^คุณสมบัติทางทอพอโลยีนั้นยังต้องการให้เป็นระบบพิกัดเชิงทอพอโลยี (TVS) $X$
^โดยเฉพาะจะเป็น Hausdorff ก็ต่อเมื่อเซตนั้นเป็นเซตปิด (นั่นคือเป็นปริภูมิ T ₁ ) $X$ $\{0\}$ $X$
^อันที่จริง นี่เป็นความจริงสำหรับกลุ่มโทโพโลยี เนื่องจากบทพิสูจน์ไม่ได้ใช้การคูณสเกลาร์
^เรียกอีกอย่างว่าปริภูมิเชิงเส้นเมตริกซึ่งหมายความว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์จริงหรือเชิงซ้อนพร้อมกับเมตริกที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อน ซึ่งการบวกและการคูณด้วยสเกลาร์มีความต่อเนื่อง
^อนุกรมจะลู่เข้าในระบบอนุกรมเชิงเวลา (TVS)ถ้าลำดับของผลรวมย่อยลู่เข้า ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}$ $X$
^โดยทั่วไปในโทโพโลยี การปิดของเซตย่อยกระชับของปริภูมิที่ไม่ใช่เฮาส์ดอร์ฟอาจไม่กระชับ (ตัวอย่างเช่นโทโพโลยีจุดเฉพาะบนเซตอนันต์) ผลลัพธ์นี้แสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้ไม่เกิดขึ้นในปริภูมิเชิงทฤษฎีที่ไม่ใช่เฮาส์ดอร์ฟกระชับเพราะเป็นภาพของเซตกระชับภายใต้แผนที่การบวกต่อเนื่องโปรดจำไว้ว่าผลรวมของเซตกระชับ (นั่นคือ) และเซตปิดนั้นปิด ดังนั้น จึงปิดใน $S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $S\times \operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $\cdot \,+\,\cdot \;:X\times X\to X.$ $S$ $S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $X.$
^ในผลรวมของแกน x และกราฟซึ่งเป็นส่วนเติมเต็มของแกน y จะเป็นเซตเปิดในในผลรวมมินคอฟสกีจะเป็นเซตย่อยหนาแน่นที่นับได้ของดังนั้นจึงไม่ใช่เซตปิดใน $\mathbb {R} ^{2},$ $y$ $y={\frac {1}{x}},$ $y$ $\mathbb {R} ^{2}.$ $\mathbb {R} ,$ $\mathbb {Z} +{\sqrt {2}}\mathbb {Z}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} .$

หลักฐาน

^เงื่อนไขนี้จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อหมายถึงเซตของสตริงเชิงโทโพโลยีทั้งหมดใน $\mathbb {S}$ $(X,\tau ).$
^ทั้งนี้เพราะเซตสมดุลที่ไม่ว่างเปล่าทุกเซตจะต้องมีจุดกำเนิด และเพราะว่าก็ต่อเมื่อ $0\in \operatorname {Int} _{X}S$ $\operatorname {Int} _{X}S=\{0\}\cup \operatorname {Int} _{X}S.$
^แก้ไขเพื่อให้เหลือเพียงแสดงว่าอยู่ในโดยการแทนที่ด้วยถ้าจำเป็น เราอาจสมมติโดยไม่เสียความเป็นทั่วไปว่าเพียงแสดงว่าเป็นย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิด ให้ เพื่อให้เนื่องจาก การคูณสเกลาร์ด้วยเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมเชิงเส้นเนื่องจากและจึงสรุปได้ว่าโดยที่ เนื่องจากเป็นเซตเปิด จึงมีบางตัวที่สอดคล้องกับกำหนดโดยซึ่งเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมเพราะเซตจึงเป็นเซตย่อยเปิดของที่มี และยังมีถ้าแล้วเนื่องจากเป็นเซตนูนและซึ่งพิสูจน์ได้ว่าดังนั้นเป็นเซตย่อยเปิดของที่มีจุดกำเนิดและบรรจุอยู่ในQED $0<r<1$ $w_{0}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~rx+(1-r)y$ $\operatorname {int} _{X}C.$ $C,x,y$ $C-w_{0},x-w_{0},y-w_{0}$ $rx+(1-r)y=0,$ $C$ $s~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\tfrac {r}{r-1}}<0$ $y={\tfrac {r}{r-1}}x=sx.$ $s\neq 0$ $X\to X,$ $\operatorname {cl} _{X}\left({\tfrac {1}{s}}C\right)={\tfrac {1}{s}}\operatorname {cl} _{X}C.$ $x\in \operatorname {int} C$ $y\in \operatorname {cl} C,$ $x={\tfrac {1}{s}}y\in \operatorname {cl} \left({\tfrac {1}{s}}C\right)\cap \operatorname {int} C$ $\operatorname {int} C$ $c_{0}\in \left({\tfrac {1}{s}}C\right)\cap \operatorname {int} C,$ $sc_{0}\in C.$ $h:X\to X$ $x\mapsto rx+(1-r)sc_{0}=rx-rc_{0},$ $0<r<1.$ $h\left(\operatorname {int} C\right)$ $X$ ${\textstyle h(c_{0})=rc_{0}-rc_{0}=0.}$ $c\in \operatorname {int} C$ ${\textstyle h(c)=rc+(1-r)sc_{0}\in C}$ $C$ $0<r<1,$ $sc_{0},c\in C,$ $h\left(\operatorname {int} C\right)\subseteq C.$ $h\left(\operatorname {int} C\right)$ $X$ $C.$
เนื่องจาก ปริภูมิเอกรูปมีโทโพโลยีแบบไม่สำคัญ ดังนั้นเซตย่อยแต่ละเซตของมันก็มีโท โพโลยีแบบไม่สำคัญเช่นกัน ซึ่งทำให้เซตย่อยทั้งหมดเป็นเซตกระชับ เป็นที่ทราบกันว่าเซตย่อยของปริภูมิเอกรูปใดๆ จะเป็นเซตกระชับก็ต่อเมื่อปริภูมิเอกรูปนั้นเป็นเซตสมบูรณ์และมีขอบเขตโดยสมบูรณ์ $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$
^ถ้าเช่นนั้นเพราะถ้าเป็นเซตปิดแล้ว ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์ สามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่า ส่วนเติมเต็มในของเซตใดๆที่สอดคล้องกับความเท่าเทียมกันจะต้องสอดคล้องกับความเท่าเทียมกันนี้ด้วย (เมื่อถูกแทนที่ด้วย) $s\in S$ $s+\operatorname {cl} _{X}\{0\}=\operatorname {cl} _{X}(s+\{0\})=\operatorname {cl} _{X}\{s\}\subseteq \operatorname {cl} _{X}S.$ $S\subseteq S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}\subseteq \operatorname {cl} _{X}S,$ $S$ $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $X$ $S$ $S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}=S$ $X\setminus S$ $S$
^และด้วยเหตุนี้จึงใช้และความจริงที่ว่าสิ่งนี้เท่ากับ QED $z+\{x\in X:P(x)\}=\{z+x:x\in X,P(x)\}=\{z+x:x\in X,P((z+x)-z)\}$ $y=z+x$ $z+X=X,$ $\{y:y-z\in X,P(y-z)\}=\{y:y\in X,P(y-z)\}=\{y\in X:P(y-z)\}.$ $\blacksquare$

การอ้างอิง

^ Rudin 1991 , หน้า 4-5 §1.3.
^ ^a ^b ^c Köthe 1983 , หน้า 91.
^ Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 74–78.
^ Grothendieck 1973 , หน้า 34–36.
^ ^a ^b ^c Wilansky 2013 , หน้า 40–47.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^o ^p ^q ^{r s}^t ^Narici & Beckenstein 2011 , pp. 67–113.
↑ ^a ^b ^c ^d ^e Adasch, Ernst & Keim 1978 , หน้า 5–9.
↑เชคเตอร์ 1996 , หน้า 721–751.
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 371–423.
↑อดาสช์, เอิร์นส์ แอนด์ เคอิม 1978 , หน้า 10–15
^วิลานสกี 2013 , หน้า 53.
^ ^a ^b ^c Rudin 1991 , หน้า 6 §1.4.
^รูดิน 1991 , หน้า 8.
↑ ^a ^b ^c ^d ^e Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 155–176.
^ Rudin 1991 , หน้า 27-28 ทฤษฎีบท 1.37
^ Köthe 1983 , ส่วนที่ 15.11.
^ "ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994] , สืบค้นเมื่อ 26 กุมภาพันธ์ 2021
^ Rudin 1991 , หน้า 17 ทฤษฎีบท 1.22
^ Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 12–19.
^ Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 16.
↑ ^a ^b ^cนาริซีและเบคเกนสไตน์ 2011 , หน้า 115–154.
^สวาร์ตซ์ 1992 , หน้า 27–29.
^ "การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทกราฟปิดอย่างรวดเร็ว" . ข่าวสารล่าสุด . 2016-04-22 . สืบค้นเมื่อ2020-10-07 .
^ ^a ^b Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 111.
^ ^a ^b ^c Rudin 1991 , หน้า 9 §1.8.
^ Rudin 1991 , หน้า 27 ทฤษฎีบท 1.36
↑รูดิน 1991 , หน้า. 62-68 §3.8-3.14
↑ ^ข ^นาริซี และเบคเกนสไตน์ 2011 , หน้า 177–220.
^ ^a ^b ^c Rudin 1991 , หน้า 38.
^ Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 35.
^ Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 119-120.
^วิลานสกี 2013 , หน้า 43.
^วิลานสกี 2013 , หน้า 42.
^ ^a ^b Rudin 1991 , หน้า 55.
^ ^a ^b Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 108.
^ Jarchow 1981 , หน้า 101–104.
^ ^a ^b Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 38.
^คอนเวย์ 1990 , หน้า 102.
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 47–66.
^ Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 156.
^ ^a ^b ^c ^d ^e Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 12–35.
^ ^a ^b Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 25.
^ ^a ^b Jarchow 1981 , หน้า 56–73.
^ Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 107–112.
^วิลานสกี 2013 , หน้า 63.
↑ ^ข ^นาริซี และเบคเกนสไตน์ 2011 , หน้า 19–45.
^ ^a ^b ^c Wilansky 2013 , หน้า 43–44.
^ Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 80.
^ Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 108–109.
^ Jarchow 1981 , หน้า 30–32.
^ ^a ^b ^c Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 109.
^รูดิน 1991หน้า 6
^สวาร์ตซ์ 1992 , หน้า 35.

บรรณานุกรม

Adasch, Norbert; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี: ทฤษฎีที่ไม่มีเงื่อนไขความนูน . บันทึกการบรรยายทางคณิตศาสตร์. เล่มที่ 639. เบอร์ลิน นิวยอร์ก: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003 .
จาร์โชว, ฮันส์ (1981) ช่องว่างนูนเฉพาะที่ สตุ๊ตการ์ท : บีจี ทอยบเนอร์ไอเอสบีเอ็น 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 .
เคอเท, กอตต์ฟรีด (1983) [1969] ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี I กรุนเดิลเริน เดอร์ มาเทมาติเชน วิสเซนชาฟเทิน ฉบับที่ 159. แปลโดย Garling, DJH New York: Springer Science & Business Media ไอเอสบีเอ็น 978-3-642-64988-2. MR 0248498 . OCLC 840293704 .
นาริซี, ลอว์เรนซ์; เบคเกนสไตน์, เอ็ดเวิร์ด (2011). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). โบคา ราตัน, ฟลอริดา: สำนักพิมพ์ CRC. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
รูดิน, วอลเตอร์ (1991). การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน . ชุดนานาชาติในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ เล่มที่ 8 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: แมคกรอว์-ฮิลล์ วิทยาศาสตร์/วิศวกรรม/คณิตศาสตร์ . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอ โล ยีGTMเล่ม 8 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์ Springer New York. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
Schechter, Eric (1996). คู่มือการวิเคราะห์และรากฐาน . ซานดิเอโก, แคลิฟอร์เนีย: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 .
Swartz, Charles (1992). บทนำสู่การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน . นิวยอร์ก: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067 .
วิลานสกี, อัลเบิร์ต (2013). วิธีการสมัยใหม่ในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี . ไมเนโอลา, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์โดเวอร์ อิงค์ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .

อ่านเพิ่มเติม

Bierstedt, Klaus-Dieter ( 1988). "บทนำสู่ขีดจำกัดอุปนัยนูนเฉพาะที่"การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันและการประยุกต์ใช้สิงคโปร์-นิวเจอร์ซีย์-ฮ่องกง: ห้องสมุดมหาวิทยาลัย: 35–133 สืบค้นเมื่อ 20 กันยายน 2020
บูร์บากิ, นิโคลัส (1987) [1981]. ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี: บทที่ 1–5 องค์ประกอบทางคณิตศาสตร์ . แปลโดย Eggleston, HG; มาดาน เบอร์ลิน นิวยอร์ก: สปริงเกอร์-แวร์แลกไอเอสบีเอ็น 3-540-13627-4. OCLC 17499190 .
คอนเวย์, จอห์น บี. (1990). หลักสูตรการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน . ตำราเรียนคณิตศาสตร์ระดับบัณฑิตศึกษา . เล่มที่ 96 (ฉบับที่ 2). นิวยอร์ก: สปริงเกอร์-เวอร์แลก . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908 .
Dunford, Nelson ; Schwartz, Jacob T. (1988). ตัวดำเนินการเชิงเส้น . คณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์. เล่ม 1. นิวยอร์ก: Wiley-Interscience . ISBN 978-0-471-60848-6. OCLC 18412261 .
เอ็ดเวิร์ดส์, โรเบิร์ต อี. (1995). การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน: ทฤษฎีและการประยุกต์ใช้ . นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์โดเวอร์. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138 .
Grothendieck, Alexander (1973). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี แปลโดย Chaljub, Orlando. นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์ Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098 .
Horváth, John (1966). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีและการแจกแจง . ชุดหนังสือคณิตศาสตร์ Addison-Wesley เล่มที่ 1. Reading, MA: Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 978-0201029857.
เคอเท, กอตต์ฟรีด (1979) ทอพอโลยีเวกเตอร์สเปซ II กรุนเดิลเริน เดอร์ มาเทมาติเชน วิสเซนชาฟเทิน ฉบับที่ 237. นิวยอร์ก: สื่อวิทยาศาสตร์และธุรกิจของสปริงเกอร์. ไอเอสบีเอ็น 978-0-387-90400-9. OCLC 180577972 .
Lang, Serge (1972). Differential manifolds . Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc. ISBN 0-201-04166-9.
Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี . Cambridge Tracts in Mathematics . เล่มที่ 53. เคมบริดจ์ ประเทศอังกฤษ: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250 .
เทรฟส์, ฟรองซัวส์ (2549) [2510] ปริภูมิเวกเตอร์ทอพอโลยี การแจกแจง และเคอร์เนล Mineola, NY: สิ่งพิมพ์โดเวอร์ไอเอสบีเอ็น 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
Valdivia, Manuel (1982). Nachbin, Leopoldo (บรรณาธิการ). Topics in Locally Convex Spaces . เล่มที่ 67. อัมสเตอร์ดัม นิวยอร์ก, NY: Elsevier Science Pub. Co. ISBN 978-0-08-087178-3. OCLC 316568534 .
Voigt, Jürgen (2020). หลักสูตรเกี่ยวกับปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี . ตำราเรียนคณิตศาสตร์ขนาดกะทัดรัด. Cham: Birkhäuser Basel . ISBN 978-3-030-32945-7. OCLC 1145563701 .

ลิงก์ภายนอก

สื่อที่เกี่ยวข้องกับปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีในวิกิมีเดียคอมมอนส์

[10] คุณสมบัติทางทอพอโลยีนั้นยังต้องการให้เป็นระบบพิกัดเชิงทอพอโลยี (TVS) $X$

[14] โดยเฉพาะจะเป็น Hausdorff ก็ต่อเมื่อเซตนั้นเป็นเซตปิด (นั่นคือเป็นปริภูมิ T ₁ ) $X$ $\{0\}$ $X$

[20] อันที่จริง นี่เป็นความจริงสำหรับกลุ่มโทโพโลยี เนื่องจากบทพิสูจน์ไม่ได้ใช้การคูณสเกลาร์

[21] เรียกอีกอย่างว่าปริภูมิเชิงเส้นเมตริกซึ่งหมายความว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์จริงหรือเชิงซ้อนพร้อมกับเมตริกที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อน ซึ่งการบวกและการคูณด้วยสเกลาร์มีความต่อเนื่อง

[27] อนุกรมจะลู่เข้าในระบบอนุกรมเชิงเวลา (TVS)ถ้าลำดับของผลรวมย่อยลู่เข้า ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}$ $X$

[50] โดยทั่วไปในโทโพโลยี การปิดของเซตย่อยกระชับของปริภูมิที่ไม่ใช่เฮาส์ดอร์ฟอาจไม่กระชับ (ตัวอย่างเช่นโทโพโลยีจุดเฉพาะบนเซตอนันต์) ผลลัพธ์นี้แสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้ไม่เกิดขึ้นในปริภูมิเชิงทฤษฎีที่ไม่ใช่เฮาส์ดอร์ฟกระชับเพราะเป็นภาพของเซตกระชับภายใต้แผนที่การบวกต่อเนื่องโปรดจำไว้ว่าผลรวมของเซตกระชับ (นั่นคือ) และเซตปิดนั้นปิด ดังนั้น จึงปิดใน $S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $S\times \operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $\cdot \,+\,\cdot \;:X\times X\to X.$ $S$ $S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $X.$

[58] ในผลรวมของแกน x และกราฟซึ่งเป็นส่วนเติมเต็มของแกน y จะเป็นเซตเปิดในในผลรวมมินคอฟสกีจะเป็นเซตย่อยหนาแน่นที่นับได้ของดังนั้นจึงไม่ใช่เซตปิดใน $\mathbb {R} ^{2},$ $y$ $y={\frac {1}{x}},$ $y$ $\mathbb {R} ^{2}.$ $\mathbb {R} ,$ $\mathbb {Z} +{\sqrt {2}}\mathbb {Z}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} .$

[11] เงื่อนไขนี้จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อหมายถึงเซตของสตริงเชิงโทโพโลยีทั้งหมดใน $\mathbb {S}$ $(X,\tau ).$

[42] ทั้งนี้เพราะเซตสมดุลที่ไม่ว่างเปล่าทุกเซตจะต้องมีจุดกำเนิด และเพราะว่าก็ต่อเมื่อ $0\in \operatorname {Int} _{X}S$ $\operatorname {Int} _{X}S=\{0\}\cup \operatorname {Int} _{X}S.$

[46] แก้ไขเพื่อให้เหลือเพียงแสดงว่าอยู่ในโดยการแทนที่ด้วยถ้าจำเป็น เราอาจสมมติโดยไม่เสียความเป็นทั่วไปว่าเพียงแสดงว่าเป็นย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิด ให้ เพื่อให้เนื่องจาก การคูณสเกลาร์ด้วยเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมเชิงเส้นเนื่องจากและจึงสรุปได้ว่าโดยที่ เนื่องจากเป็นเซตเปิด จึงมีบางตัวที่สอดคล้องกับกำหนดโดยซึ่งเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมเพราะเซตจึงเป็นเซตย่อยเปิดของที่มี และยังมีถ้าแล้วเนื่องจากเป็นเซตนูนและซึ่งพิสูจน์ได้ว่าดังนั้นเป็นเซตย่อยเปิดของที่มีจุดกำเนิดและบรรจุอยู่ในQED $0<r<1$ $w_{0}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~rx+(1-r)y$ $\operatorname {int} _{X}C.$ $C,x,y$ $C-w_{0},x-w_{0},y-w_{0}$ $rx+(1-r)y=0,$ $C$ $s~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\tfrac {r}{r-1}}<0$ $y={\tfrac {r}{r-1}}x=sx.$ $s\neq 0$ $X\to X,$ $\operatorname {cl} _{X}\left({\tfrac {1}{s}}C\right)={\tfrac {1}{s}}\operatorname {cl} _{X}C.$ $x\in \operatorname {int} C$ $y\in \operatorname {cl} C,$ $x={\tfrac {1}{s}}y\in \operatorname {cl} \left({\tfrac {1}{s}}C\right)\cap \operatorname {int} C$ $\operatorname {int} C$ $c_{0}\in \left({\tfrac {1}{s}}C\right)\cap \operatorname {int} C,$ $sc_{0}\in C.$ $h:X\to X$ $x\mapsto rx+(1-r)sc_{0}=rx-rc_{0},$ $0<r<1.$ $h\left(\operatorname {int} C\right)$ $X$ ${\textstyle h(c_{0})=rc_{0}-rc_{0}=0.}$ $c\in \operatorname {int} C$ ${\textstyle h(c)=rc+(1-r)sc_{0}\in C}$ $C$ $0<r<1,$ $sc_{0},c\in C,$ $h\left(\operatorname {int} C\right)\subseteq C.$ $h\left(\operatorname {int} C\right)$ $X$ $C.$

[47] เนื่องจาก ปริภูมิเอกรูปมีโทโพโลยีแบบไม่สำคัญ ดังนั้นเซตย่อยแต่ละเซตของมันก็มีโท โพโลยีแบบไม่สำคัญเช่นกัน ซึ่งทำให้เซตย่อยทั้งหมดเป็นเซตกระชับ เป็นที่ทราบกันว่าเซตย่อยของปริภูมิเอกรูปใดๆ จะเป็นเซตกระชับก็ต่อเมื่อปริภูมิเอกรูปนั้นเป็นเซตสมบูรณ์และมีขอบเขตโดยสมบูรณ์ $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$

[ProofSumOfSetAndClosureOf0-51] ถ้าเช่นนั้นเพราะถ้าเป็นเซตปิดแล้ว ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์ สามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่า ส่วนเติมเต็มในของเซตใดๆที่สอดคล้องกับความเท่าเทียมกันจะต้องสอดคล้องกับความเท่าเทียมกันนี้ด้วย (เมื่อถูกแทนที่ด้วย) $s\in S$ $s+\operatorname {cl} _{X}\{0\}=\operatorname {cl} _{X}(s+\{0\})=\operatorname {cl} _{X}\{s\}\subseteq \operatorname {cl} _{X}S.$ $S\subseteq S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}\subseteq \operatorname {cl} _{X}S,$ $S$ $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $X$ $S$ $S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}=S$ $X\setminus S$ $S$

[66] และด้วยเหตุนี้จึงใช้และความจริงที่ว่าสิ่งนี้เท่ากับ QED $z+\{x\in X:P(x)\}=\{z+x:x\in X,P(x)\}=\{z+x:x\in X,P((z+x)-z)\}$ $y=z+x$ $z+X=X,$ $\{y:y-z\in X,P(y-z)\}=\{y:y\in X,P(y-z)\}=\{y\in X:P(y-z)\}.$ $\blacksquare$

[FOOTNOTERudin19914-5_§1.3-1] Rudin 1991 , หน้า 4-5 §1.3.

[FOOTNOTEKöthe198391-2] Köthe 1983 , หน้า 91.

[FOOTNOTESchaeferWolff199974–78-3] Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 74–78.

[FOOTNOTEGrothendieck197334–36-4] Grothendieck 1973 , หน้า 34–36.

[FOOTNOTEWilansky201340–47-5] Wilansky 2013 , หน้า 40–47.

[FOOTNOTENariciBeckenstein201167–113-6] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^o ^p ^q ^{r s}^t ^Narici & Beckenstein 2011 , pp. 67–113.

[FOOTNOTEAdaschErnstKeim19785–9-7] Adasch, Ernst & Keim 1978 , หน้า 5–9.

[FOOTNOTESchechter1996721–751-8] เชคเตอร์ 1996 , หน้า 721–751.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011371–423-9] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 371–423.

[FOOTNOTEAdaschErnstKeim197810–15-12] อดาสช์, เอิร์นส์ แอนด์ เคอิม 1978 , หน้า 10–15

[FOOTNOTEWilansky201353-13] วิลานสกี 2013 , หน้า 53.

[FOOTNOTERudin19916_§1.4-15] Rudin 1991 , หน้า 6 §1.4.

[FOOTNOTERudin19918-16] รูดิน 1991 , หน้า 8.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011155–176-17] Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 155–176.

[FOOTNOTERudin199127-28_Theorem_1.37-18] Rudin 1991 , หน้า 27-28 ทฤษฎีบท 1.37

[FOOTNOTEKöthe1983section_15.11-19] Köthe 1983 , ส่วนที่ 15.11.

[springer-22] "ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994] , สืบค้นเมื่อ 26 กุมภาพันธ์ 2021

[FOOTNOTERudin199117_Theorem_1.22-23] Rudin 1991 , หน้า 17 ทฤษฎีบท 1.22

[FOOTNOTESchaeferWolff199912–19-24] Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 12–19.

[FOOTNOTESchaeferWolff199916-25] Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 16.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011115–154-26] นาริซีและเบคเกนสไตน์ 2011 , หน้า 115–154.

[FOOTNOTESwartz199227–29-28] สวาร์ตซ์ 1992 , หน้า 27–29.

[29] "การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทกราฟปิดอย่างรวดเร็ว" . ข่าวสารล่าสุด . 2016-04-22 . สืบค้นเมื่อ2020-10-07 .

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011111-30] Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 111.

[FOOTNOTERudin19919_§1.8-31] Rudin 1991 , หน้า 9 §1.8.

[FOOTNOTERudin199127_Theorem_1.36-32] Rudin 1991 , หน้า 27 ทฤษฎีบท 1.36

[FOOTNOTERudin199162-68_§3.8-3.14-33] รูดิน 1991 , หน้า. 62-68 §3.8-3.14

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011177–220-34] ข ^นาริซี และเบคเกนสไตน์ 2011 , หน้า 177–220.

[FOOTNOTERudin199138-35] Rudin 1991 , หน้า 38.

[FOOTNOTESchaeferWolff199935-36] Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 35.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011119-120-37] Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 119-120.

[FOOTNOTEWilansky201343-38] วิลานสกี 2013 , หน้า 43.

[FOOTNOTEWilansky201342-39] วิลานสกี 2013 , หน้า 42.

[FOOTNOTERudin199155-40] Rudin 1991 , หน้า 55.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011108-41] Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 108.

[FOOTNOTEJarchow1981101–104-43] Jarchow 1981 , หน้า 101–104.

[FOOTNOTESchaeferWolff199938-44] Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 38.

[FOOTNOTEConway1990102-45] คอนเวย์ 1990 , หน้า 102.

[FOOTNOTENariciBeckenstein201147–66-48] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 47–66.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011156-49] Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 156.

[FOOTNOTESchaeferWolff199912–35-52] Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 12–35.

[FOOTNOTESchaeferWolff199925-53] Schaefer & Wolff 1999 , หน้า 25.

[FOOTNOTEJarchow198156–73-54] Jarchow 1981 , หน้า 56–73.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011107–112-55] Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 107–112.

[FOOTNOTEWilansky201363-56] วิลานสกี 2013 , หน้า 63.

[FOOTNOTENariciBeckenstein201119–45-57] ข ^นาริซี และเบคเกนสไตน์ 2011 , หน้า 19–45.

[FOOTNOTEWilansky201343–44-59] Wilansky 2013 , หน้า 43–44.

[FOOTNOTENariciBeckenstein201180-60] Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 80.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011108–109-61] Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 108–109.

[FOOTNOTEJarchow198130–32-62] Jarchow 1981 , หน้า 30–32.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011109-63] Narici & Beckenstein 2011 , หน้า 109.

[FOOTNOTERudin19916-64] รูดิน 1991หน้า 6

[FOOTNOTESwartz199235-65] สวาร์ตซ์ 1992 , หน้า 35.

[ 1 ]

[ 2

]คือแผนที่

[ 4 ]

[

[ 6 ]

[

[

[

หมายเหตุ 1

[

[

[

[

กับ [

[

[

[

[

[

หมายเหตุ 4 ]

[ 17 ]

[

[ 19 ]

20 ] เซต

[ 21 ]

[

[

[

[

[ 25 ]

[ 26 ]

27

[

[

[ 30 ]

[

[

[

[

[ 35 ]

[

[

[

[

[

[

[

[

[

[

[ 41 ]

[ 42 ]

[ 43 ]

[

[