ฟังก์ชันทดสอบ เป็น ฟังก์ชันเสริมที่ใช้ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เพื่อตรวจสอบฟังก์ชันอื่นๆการแจกแจง สมการเชิงอนุพันธ์หรือเอกลักษณ์แปรผันโดยปกติจะเลือกฟังก์ชันเหล่านี้จากกลุ่มฟังก์ชันที่มีความสม่ำเสมอ การลดลง หรือพฤติกรรมขอบเขตที่เพียงพอที่จะรองรับการดำเนินการต่างๆ เช่นการอินทิเกรตโดยส่วนการหาตำแหน่ง และการผ่านไปยัง ลิ มิต อ่อน

ให้Uเป็นเซตย่อยเปิดของR ⁿโดยการปรับเปลี่ยนเล็กน้อย เราสามารถแทนที่R ⁿด้วยแมนิโฟลด์เรียบ ( พาราคอมแพ็กต์ ) ใดๆ ก็ได้

ปริภูมิ D( U ) ของฟังก์ชันทดสอบบนUถูกกำหนดดังนี้ ฟังก์ชัน : U → Rกล่าวได้ว่ามีส่วนรองรับแบบกระชับ (compact support)ถ้ามีเซตย่อยกระชับKของU อยู่ ซึ่ง( x ) = 0 สำหรับทุกxในU ∈ Kสมาชิกของ D( U ) คือฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อนันต์ครั้ง : U → Rที่มีส่วนรองรับแบบกระชับ นี่คือปริภูมิเวกเตอร์จริง ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$

สามารถกำหนดโทโพโลยีได้โดยการกำหนดลิมิตของลำดับขององค์ประกอบของ D( U ) ลำดับ ( _k ) ใน D( U ) กล่าวได้ว่าลู่เข้าสู่ ∈ D( U ) ถ้าเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้เป็นจริง: ^{[ 1 ]}${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$

• มีเซตกระชับK  ⊂  Uที่ประกอบด้วยส่วนรองรับของ_k ทั้งหมด :${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \bigcup \nolimits _{k}\operatorname {supp} (\varphi _{k})\subset K.}$

• สำหรับดัชนีหลายตัว α แต่ละตัว ลำดับของอนุพันธ์ย่อยมีแนวโน้มเข้าสู่ค่าคงที่อย่างสม่ำเสมอ${\displaystyle \partial ^{\alpha }\varphi _{k}}$${\displaystyle \partial ^{\alpha }\varphi }$

ด้วยคำจำกัดความนี้ D( U ) จะกลายเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอ พอโล ยีแบบนูนเฉพาะที่สมบูรณ์^{[ 2 ]}

ให้Uเป็นยูเนียนของU _iโดยที่ { U _i } เป็นตระกูลย่อยแบบซ้อนกันที่นับได้ของเซตเปิดของUที่มีการปิดแบบกระชับK _i = U _iแล้วเราจะได้ยูเนียนที่เพิ่มขึ้นแบบนับได้

${\displaystyle \mathrm {D} (U)=\bigcup \nolimits _{i}\mathrm {D} _{K_{i}}}$

โดยที่ D _{K i}คือเซตของฟังก์ชันเรียบทั้งหมดบนUที่มีจุดรองรับอยู่ในK _iในแต่ละ D _{K i}ให้พิจารณาโทโพโลยีที่กำหนดโดยเซมิ-นอร์ม

${\displaystyle \|\varphi \|_{\alpha }=\max _{x\in K_{i}}\left|\partial ^{\alpha }\varphi \right|,}$

กล่าวคือ โทโพโลยีของการลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอของอนุพันธ์อันดับใดๆ ซึ่งทำให้ D _{K i} แต่ละอันเป็น ปริภูมิFréchet โครงสร้าง ปริภูมิ LFที่ได้บน D( U ) คือโทโพโลยีที่อธิบายไว้ข้างต้น

ปริภูมิชวาร์ตซ์S ( Rn ⁾คือปริภูมิฟังก์ชันของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อนันต์ครั้งทั้งหมดที่ลดลงอย่างรวดเร็วที่อนันต์พร้อมกับอนุพันธ์ย่อยทั้งหมด ดังนั้นφ  : Rn ^→ Rอยู่ในปริภูมิชวาร์ตซ์ก็ต่อเมื่ออนุพันธ์ใดๆ ของφ คูณด้วยกำลังใดๆ ของ | x | ลู่เข้าสู่ 0 เมื่อ | x | → ∞ ฟังก์ชันเหล่านี้ก่อให้เกิดปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี ที่สมบูรณ์ พร้อมด้วยตระกูลเซมิ-นอร์ม ที่กำหนดไว้อย่าง เหมาะสม ${\displaystyle \varphi }$

กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น ให้

${\displaystyle p_{\alpha ,\beta }(\varphi )=\sup _{x\in \mathbf {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }D^{\beta }\varphi (x)\right|}$

สำหรับดัชนีหลายตัวαและβ ที่มีขนาดn ฟังก์ชัน Schwartz ก็คือฟังก์ชันที่ค่าทั้งหมดเป็นไปตามเงื่อนไขที่กำหนด ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle p_{\alpha ,\beta }(\varphi )<\infty .}$

ตระกูลของเซมิ-นอร์มp _{α , β}กำหนด โทโพโลยี แบบนูนเฉพาะที่บนปริภูมิชวาร์ตซ์ เมื่อnเท่ากับ 1 เซมิ-นอร์มเหล่านี้ก็คือนอร์มบนปริภูมิชวาร์ตซ์นั่นเอง มิฉะนั้น เราสามารถกำหนดนอร์มบนS ( R ⁿ ) ได้โดยใช้

${\displaystyle \|\varphi \|_{k}=\max _{|\alpha |+|\beta |\leq k}\sup _{x\in \mathbf {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }D^{\beta }\varphi (x)\right|}$สำหรับ k ≥ 1

ปริภูมิ ชวาร์ตซ์เป็นปริภูมิเมตริกซ์และสมบูรณ์เนื่องจากการแปลงฟูริเยร์เปลี่ยนการอนุพันธ์ด้วยx ^αไปเป็นการคูณด้วยx ^αและในทางกลับกัน สมมาตรนี้จึงหมายความว่าการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันชวาร์ตซ์ก็เป็นฟังก์ชันชวาร์ตซ์เช่นกัน

ในทฤษฎีการกำหนดรูปแบบอ่อนและผลเฉลยอ่อนของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยคำว่าฟังก์ชันทดสอบมักถูกใช้ในวงกว้างกว่าในทฤษฎีการกระจาย เราอาจทดสอบสมการกับฟังก์ชันในก่อนแล้วจึงเปลี่ยนไปยังปริภูมิโซโบเลฟ ที่ใหญ่กว่า โดยใช้ความหนาแน่นหรือการเติมเต็ม ในบริบทนี้ ฟังก์ชันทดสอบมักจะเป็นฟังก์ชันที่ยอมรับได้จากปริภูมิที่เอกลักษณ์อ่อนนั้นจำเป็นต้องมีอยู่ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

ตัวอย่างเช่น ถ้าเปิด พื้นที่โซโบเลฟมักจะถูกกำหนดให้เป็นการปิดของในบรรทัดฐานโซโบเลฟของ[ ^{3 ] ดังนั้น} องค์ประกอบของไม่จำเป็นต้องเรียบ แต่สามารถประมาณได้ในบรรทัดฐานโซโบเลฟโดยฟังก์ชันเรียบที่รองรับแบบกระชับ ด้วยเหตุนี้ ฟังก์ชันในพื้นที่โซโบเลฟเช่น จึงมักถูกใช้เป็นฟังก์ชันทดสอบในสูตรแปรผัน ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle W_{0}^{k,p}(U)}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle W^{k,p}(U)}$${\displaystyle W_{0}^{k,p}(U)}$${\displaystyle H_{0}^{1}(U)}$

ตัวอย่างทั่วไปคือสมการปัวซง แบบอ่อน แทนที่จะกำหนดให้ฟังก์ชันต้องสอดคล้องกับเงื่อนไขทุกจุด เราจะถามว่า... ${\displaystyle u}$${\displaystyle -\Delta u=f}$

${\displaystyle \int _{U}\nabla u\cdot \nabla v\,dx=\int _{U}fv\,dx}$

สำหรับฟังก์ชันทดสอบทั้งหมดในพื้นที่ที่เหมาะสม โดยทั่วไปจะทำในครั้งแรกหรือหลังจากเสร็จสิ้น^{[ 4 ]} การเลือกพื้นที่ทดสอบจะเข้ารหัสเงื่อนไขขอบเขต ตัวอย่างเช่น พื้นที่ดังกล่าวสอดคล้องกับเงื่อนไขขอบเขต Dirichlet ที่เป็นเนื้อเดียวกันในความหมายของร่องรอยบนโดเมนที่มีความสม่ำเสมอเพียงพอ ${\displaystyle v}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle H_{0}^{1}(U)}$${\displaystyle H_{0}^{1}(U)}$

การใช้คำนี้ควรแยกแยะออกจากการใช้ตามหลักการทางทฤษฎีการกระจายตัว ซึ่งโดยปกติแล้วฟังก์ชันทดสอบเองมักจะเป็นฟังก์ชันเรียบ ในการกำหนดแบบอ่อน คำว่า " ทดสอบ " เน้นบทบาทของฟังก์ชันในการตรวจสอบสมการหรือเอกลักษณ์แปรผัน มากกว่าการเป็นสมาชิกในปริภูมิฟังก์ชันทดสอบเรียบที่กำหนดไว้

ฟังก์ชันทดสอบสามารถกำหนดได้บนแมนิโฟลด์เรียบ เช่นกัน ถ้าเป็นแมนิโฟลด์เรียบ พื้นที่ประกอบด้วยฟังก์ชันค่าจริงหรือค่าเชิงซ้อนเรียบบนที่มีขอบเขตจำกัดถ้าเป็นแมนิโฟลด์จำกัด แล้ว; บนแมนิโฟลด์ที่ไม่จำกัด เงื่อนไขขอบเขตจำกัดเป็นข้อจำกัดที่แท้จริง ${\displaystyle M}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(M)=C^{\infty }(M)}$

เช่นเดียวกับกรณีของยุคลิดใช้สำหรับการระบุตำแหน่ง การบูรณาการโดยส่วน และการกำหนดการกระจาย ยิ่งไปกว่านั้น การกระจายบนแมนิโฟลด์อาจถูกกำหนดเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่องบนความหนาแน่น เรียบที่รองรับอย่างกะทัดรัด หรือหลังจากเลือกความหนาแน่นบวกเรียบหรือรูปแบบปริมาตรแบบรี มันน์ ^แล้วให้เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่องบน[ ^{5 ]}${\displaystyle C_{c}^{\infty }(M)}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(M)}$

โดยทั่วไปแล้ว ถ้าเป็นเวกเตอร์บันเดิล เรียบ ส่วนเรียบที่รองรับอย่างกระชับจะทำหน้าที่เป็นฟังก์ชันทดสอบที่มีค่าอยู่ในซึ่งมีประโยชน์ เช่น เมื่อกำหนดส่วนอ่อนหรือส่วนกระจายของบันเดิลคู่ รูปแบบเชิงอนุพันธ์ที่มีสัมประสิทธิ์การกระจาย หรือสูตรอ่อนของสมการสำหรับตัวแปรที่ไม่ทราบค่าที่เป็นเวกเตอร์ ${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle \Gamma _{c}(E)}$${\displaystyle E}$

โทโพโลยีบน นั้นถูกกำหนดในระดับท้องถิ่นในลักษณะเดียวกับสำหรับบนเซตย่อยเปิดของปริภูมิยุคลิด บนเซตย่อยกระชับแต่ละเซต การลู่เข้าหมายถึงการลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอของอนุพันธ์ทั้งหมดในพิกัดท้องถิ่น ในระดับสากล โทโพโลยีปกติคือลิมิตแบบอุปนัยเหนือเซตย่อยกระชับ การแบ่งส่วนของเอกภาพและฟังก์ชันตัดขอบ เรียบ ช่วยให้โครงสร้างท้องถิ่นจำนวนมากที่มีฟังก์ชันทดสอบยุคลิดสามารถถ่ายโอนไปยังแมนิโฟลด์ได้ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(M)}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

ในการศึกษาเกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยนั้นฟังก์ชันทดสอบจะถูกใช้เพื่อเปลี่ยนจากสมการเชิงอนุพันธ์ในรูปแบบจุดต่อจุด (เรียกว่า รูปแบบ คลาสสิก ) ไปสู่รูปแบบอ่อน ขั้นตอนปกติคือการคูณสมการด้วยฟังก์ชันทดสอบ ทำการอินทิเกรตเหนือโดเมน และใช้การอินทิเกรตโดยส่วนเพื่อถ่ายโอนอนุพันธ์จากฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าไปยังฟังก์ชันทดสอบ วิธีนี้ช่วยให้สามารถสร้างสมการสำหรับฟังก์ชันที่อาจไม่มีอนุพันธ์ทั้งหมดที่ปรากฏในสมการดั้งเดิมในความหมายแบบคลาสสิกได้

ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเป็นเซตเปิด และพิจารณาสมการปัวซง${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle -\Delta u=f.}$

ถ้าและมีความเรียบเนียนเพียงพอ และแล้วการคูณด้วยและการอินทิเกรตจะได้ ${\displaystyle u}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \int _{U}(-\Delta u)\varphi \,dx=\int _{U}f\varphi \,dx.}$

การอินทิเกรตโดยใช้การแยกส่วน โดยไม่มีพจน์ขอบเขตเนื่องจากมีส่วนรองรับแบบกระชับในให้ผลลัพธ์ดังนี้ ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle U}$

${\displaystyle \int _{U}\nabla u\cdot \nabla \varphi \,dx=\int _{U}f\varphi \,dx.}$

เอกลักษณ์นี้ยังคงสมเหตุสมผลภายใต้สมมติฐานที่อ่อนกว่าสมการดั้งเดิม ตัวอย่างเช่น ถ้าและแล้วอาจเรียกว่าเป็นคำตอบที่อ่อนของถ้าเอกลักษณ์นี้เป็นจริงสำหรับทุก^{[ 6 ]}${\displaystyle u\in H_{\operatorname {loc} }^{1}(U)}$${\displaystyle f\in L_{\operatorname {loc} }^{2}(U)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle -\Delta u=f}$${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(U)}$

เมื่อมีการรวมเงื่อนไขขอบเขตเข้าไปด้วย มักจะเลือกพื้นที่ทดสอบเพื่อเข้ารหัสเงื่อนไขเหล่านั้น สำหรับปัญหา Dirichlet เอกพันธุ์สำหรับสมการ Poisson นั้น โดยทั่วไปแล้วมักจะมองหาค่าที่ทำให้ ${\displaystyle u\in H_{0}^{1}(U)}$

${\displaystyle \int _{U}\nabla u\cdot \nabla v\,dx=\int _{U}fv\,dx}$

สำหรับทั้งหมดในการกำหนดสูตรนี้ ฟังก์ชันทดสอบไม่จำเป็นต้องเรียบ: พวกมันสามารถอยู่ในปริภูมิโซโบเลฟที่ได้รับจากการเติมเต็มของฟังก์ชันเรียบที่รองรับอย่างกะทัดรัดในบรรทัดฐานโซโบเลฟที่เกี่ยวข้อง^{[ 7 ]}${\displaystyle v\in H_{0}^{1}(U)}$

ฟังก์ชันทดสอบยังปรากฏใน อาร์กิวเมนต์ เชิงแปรผันด้วย หากฟังก์ชันถูกหาอนุพันธ์ตามการรบกวนในรูปแบบฟังก์ชันเสริมมักเรียกว่าฟังก์ชันทดสอบหรือการแปรผัน การกำหนดให้การแปรผันแรกเป็นศูนย์สำหรับทุก ๆ ดังกล่าวจะนำไปสู่สมการออยเลอร์-ลากรองจ์ในรูปแบบอ่อน ${\displaystyle u+\varepsilon \varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$

• ฟังก์ชันการกระแทก
• พื้นที่ชวาร์ตซ์
• การแจกแจง (คณิตศาสตร์)
• อนุพันธ์อ่อน
• วิธีแก้ปัญหาที่อ่อนแอ
• พื้นที่โซโบเลฟ
• มอลไลเมอร์

• Gel'fand, IM ; Shilov, GE (1966–1968), ฟังก์ชันทั่วไปเล่ม  1–5 , สำนักพิมพ์ Academic Press.
• รูดิน, ดับเบิลยู. (1991), การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน (ฉบับที่ 2), แมคกรอว์-ฮิลล์, ISBN 0-07-054236-8.