ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในโทโพโลยีภายในของเซตย่อยSในปริภูมิโทโพโลยีXคือการรวมกันของเซตย่อยทั้งหมดของSที่เป็นเซตเปิดในXจุดที่อยู่ในภายในของSเรียกว่าจุดภายในของSภายในของSคือส่วนเติมเต็มของการปิดของส่วนเติมเต็มของSในแง่นี้ ภายในและการปิดจึงเป็นแนวคิด คู่กัน

ภายนอกของเซตSคือส่วนเติมเต็มของการปิดของSกล่าวคือ ประกอบด้วยจุดที่ไม่อยู่ในเซตหรือขอบเขตของเซตภายในขอบเขตและภายนอกของเซตย่อยรวมกันแบ่งพื้นที่ทั้งหมดออกเป็นสามส่วน (หรือน้อยกว่านั้นเมื่อส่วนใดส่วนหนึ่งหรือมากกว่านั้นว่างเปล่า )

ถ้าเป็นเซตย่อยของปริภูมิยูคลิดแล้วเป็นจุดภายในของถ้ามีลูกบอลเปิดที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ซึ่งบรรจุอยู่ใน อย่างสมบูรณ์ (ดังที่แสดงไว้ในส่วนนำของบทความนี้) ${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S.}$

นิยามนี้สามารถขยายไปยังเซตย่อยใดๆของปริภูมิเมตริกที่มีเมตริกได้โดยที่ เป็นจุดภายในของถ้ามีจำนวนจริง อยู่จริงที่ทำให้อยู่ในเมื่อใดก็ตามที่ระยะห่าง${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle d}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle r>0,}$${\displaystyle y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle d(x,y)<r.}$

นิยามนี้สามารถขยายไปสู่ปริภูมิเชิงทอพอโลยีได้โดยการแทนที่ "ลูกบอลเปิด" ด้วย " เซตเปิด " ถ้าเป็นเซตย่อยของปริภูมิเชิงทอพอโลยีแล้วจะเป็นจุดภายในของในถ้าบรรจุอยู่ในเซตเปิดย่อยของที่บรรจุอยู่ใน อย่างสมบูรณ์ (หรือเทียบเท่ากันจะเป็นจุดภายในของถ้าเป็นย่านใกล้เคียงของ) ${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x.}$

ภายในของเซตย่อยของปริภูมิเชิงทอพอโลยีซึ่งแทนด้วยหรือหรือสามารถนิยามได้ด้วยวิธีที่เทียบเท่ากันดังต่อไปนี้ :${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}$${\displaystyle \operatorname {int} S}$${\displaystyle S^{\circ },}$

1. ${\displaystyle \operatorname {int} S}$เป็นเซตย่อยแบบเปิดที่ใหญ่ที่สุดของที่บรรจุอยู่ใน${\displaystyle X}$${\displaystyle S.}$
2. ${\displaystyle \operatorname {int} S}$คือการรวมกันของเซตเปิดทั้งหมดที่บรรจุอยู่ใน${\displaystyle X}$${\displaystyle S.}$
3. ${\displaystyle \operatorname {int} S}$คือเซตของจุดภายในทั้งหมดของ${\displaystyle S.}$

หากเข้าใจความหมายของช่องว่างจากบริบทแล้ว โดยทั่วไปมักนิยมใช้ สัญลักษณ์ที่สั้นกว่า${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {int} S}$${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S.}$

• ในพื้นที่ใดๆ ภายในของเซตว่างก็คือเซตว่างนั่นเอง
• ในพื้นที่ใดๆถ้าหากว่า${\displaystyle X,}$${\displaystyle S\subseteq X,}$${\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq S.}$
• ถ้าเป็นเส้นจำนวนจริง (ที่มีโทโพโลยีมาตรฐาน) แล้วในขณะที่ภายในของเซตของจำนวนตรรกยะว่างเปล่า:${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \operatorname {int} ([0,1])=(0,1)}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \operatorname {int} \mathbb {Q} =\varnothing .}$
• ถ้าเป็นระนาบเชิงซ้อนแล้ว${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \operatorname {int} (\{z\in \mathbb {C} :|z|\leq 1\})=\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}.}$
• ในปริภูมิยูคลิด ใดๆ ภายในของเซตจำกัด ใดๆ ก็ คือเซตว่าง

บนเซตของจำนวนจริงเราสามารถใช้โทโพโลยีอื่นๆ นอกเหนือจากโทโพโลยีมาตรฐานได้:

• ถ้าเป็นจำนวนจริงที่มีโทโพโลยีขีดจำกัดล่างแล้ว${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \operatorname {int} ([0,1])=[0,1).}$
• ถ้าเราพิจารณาโทโพโลยีที่ทุกเซตเป็นเซตเปิดแล้ว${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \operatorname {int} ([0,1])=[0,1].}$
• ถ้าเราพิจารณาโทโพโลยีที่เซตเปิดมีเพียงเซตว่างและตัวมันเองเท่านั้น เซตเปิดนั้นก็คือเซตว่าง นั่นเอง${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \operatorname {int} ([0,1])}$

ตัวอย่างเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าภายในของเซตขึ้นอยู่กับโทโพโลยีของปริภูมิพื้นฐาน ตัวอย่างสองข้อสุดท้ายเป็นกรณีพิเศษของสิ่งต่อไปนี้

• ในปริภูมิแบบไม่ต่อเนื่อง ใดๆ เนื่องจากทุกเซตเป็นเซตเปิด ดังนั้นทุกเซตจึงเท่ากับเซตภายในของมัน
• ในปริภูมิที่ไม่ต่อเนื่อง ใดๆ เนื่องจากเซตเปิดเพียงอย่างเดียวคือเซตว่างและตัวมันเองและสำหรับทุกเซตย่อยแท้ของคือเซตว่าง${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {int} X=X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \operatorname {int} S}$

ให้เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี และให้และเป็นเซตย่อยของ${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X.}$

• ${\displaystyle \operatorname {int} S}$เปิดทำการแล้ว${\displaystyle X.}$
• ถ้าเปิดอยู่แล้วก็ต่อเมื่อ${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T\subseteq S}$${\displaystyle T\subseteq \operatorname {int} S.}$
• ${\displaystyle \operatorname {int} S}$เป็นเซตย่อยเปิดของเมื่อกำหนดโทโพโลยีของปริภูมิ ย่อย ให้${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$
• ${\displaystyle S}$เป็นเซตย่อยเปิดของถ้าและก็ต่อเมื่อ${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {int} S=S.}$
• หลักสูตรเข้มข้น :${\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq S.}$
• ภาวะไร้สมรรถภาพทางเพศ :${\displaystyle \operatorname {int} (\operatorname {int} S)=\operatorname {int} S.}$
• รักษา / กระจายผ่านจุดตัดไบนารี :${\displaystyle \operatorname {int} (S\cap T)=(\operatorname {int} S)\cap (\operatorname {int} T).}$
  • อย่างไรก็ตาม ตัวดำเนินการภายในจะไม่กระจายไปทั่วสหภาพ เนื่องจากรับประกันได้เฉพาะในกรณีทั่วไปเท่านั้น และความเท่าเทียมกันอาจไม่เกิดขึ้น^{[หมายเหตุ 1 ]}ตัวอย่างเช่น ถ้าและแล้วจะเป็นเซตย่อยที่แท้จริงของ${\displaystyle \operatorname {int} (S\cup T)~\supseteq ~(\operatorname {int} S)\cup (\operatorname {int} T)}$${\displaystyle X=\mathbb {R} ,S=(-\infty ,0],}$${\displaystyle T=(0,\infty )}$${\displaystyle (\operatorname {int} S)\cup (\operatorname {int} T)=(-\infty ,0)\cup (0,\infty )=\mathbb {R} \setminus \{0\}}$${\displaystyle \operatorname {int} (S\cup T)=\operatorname {int} \mathbb {R} =\mathbb {R} .}$
• โมโนโทน / ไม่ลดลงเมื่อเทียบกับ${\displaystyle \subseteq }$ : ถ้าแล้ว${\displaystyle S\subseteq T}$${\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq \operatorname {int} T.}$

คุณสมบัติอื่นๆ ได้แก่:

• ถ้าถูกปิดล้อมแล้ว${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {int} T=\varnothing }$${\displaystyle \operatorname {int} (S\cup T)=\operatorname {int} S.}$

ความสัมพันธ์กับการปิด

ข้อความข้างต้นจะยังคงเป็นจริงหากสัญลักษณ์/คำทั้งหมด

"ภายใน", "int", "เปิด", "เซตย่อย" และ "ใหญ่ที่สุด"

ถูกแทนที่ด้วย ตามลำดับ

" closure ", "cl", "closed", "superset" และ "smallest"

และสัญลักษณ์ต่อไปนี้จะถูกสลับกัน:

1. " " สลับกับ " "${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle \supseteq }$
2. " " สลับกับ " "${\displaystyle \cup }$${\displaystyle \cap }$

สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ โปรดดูตัวดำเนินการภายในด้านล่าง หรือบทความเรื่องสัจพจน์การปิดของ Kuratowski

ตัวดำเนินการภายใน เป็นคู่ตรงข้ามกับตัวดำเนินการปิดซึ่งแสดงด้วยหรือด้วยเครื่องหมายขีดบน^—ในความหมายที่ว่า และ ใน ที่ นี้ คือปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่บรรจุและเครื่องหมายแบ็กสแลชแสดง ถึง ความแตกต่างเชิงเซตดังนั้น ทฤษฎีนามธรรมของตัวดำเนินการปิดและสัจพจน์การปิดของคุราทอฟสกี้สามารถแปลเป็นภาษาของตัวดำเนินการภายในได้อย่างง่ายดาย โดยการแทนที่เซตด้วยส่วนเติมเต็มของเซตใน${\displaystyle \operatorname {int} _{X}}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}}$$${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S=X\setminus {\overline {(X\setminus S)}}}$$$${\displaystyle {\overline {S}}=X\setminus \operatorname {int} _{X}(X\setminus S),}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle \,\setminus \,}$${\displaystyle X.}$

โดยทั่วไป ตัวดำเนินการภายในจะไม่สลับที่กับยูเนียน อย่างไรก็ตาม ในปริภูมิเมตริกสมบูรณ์ผลลัพธ์ต่อไปนี้เป็นจริง:

ผลลัพธ์ข้างต้นบ่งชี้ว่าปริภูมิเมตริกสมบูรณ์ทุกปริภูมิเป็นปริภูมิ แบร์

ภายนอกของเซตย่อยของปริภูมิเชิงทอพอโลยีซึ่งแสดงด้วยหรือเรียกง่ายๆ ว่าคือเซตเปิดที่ใหญ่ที่สุดที่ไม่ทับซ้อนกับกล่าวคือ มันคือการรวมกันของเซตเปิดทั้งหมดในที่ไม่ทับซ้อนกับ ภายนอกคือภายในของส่วนเติมเต็ม ซึ่งเหมือนกับส่วนเติมเต็มของการปิด^{[ 2 ]}ในสูตร ${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \operatorname {ext} _{X}S}$${\displaystyle \operatorname {ext} S,}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S.}$$${\displaystyle \operatorname {ext} S=\operatorname {int} (X\setminus S)=X\setminus {\overline {S}}.}$$

ในทำนองเดียวกัน ภายในก็คือภายนอกของส่วนเติมเต็ม: $${\displaystyle \operatorname {int} S=\operatorname {ext} (X\setminus S).}$$

ภายในขอบเขตและภายนอกของเซตจะแบ่งพื้นที่ทั้งหมดออกเป็นสามบล็อก (หรือน้อยกว่านั้นเมื่อบล็อกใดบล็อกหนึ่งหรือมากกว่านั้นว่างเปล่า) โดยที่หมายถึงขอบเขตของ^{[ 3 ]} ภายในและภายนอกจะเปิด เสมอ ในขณะที่ขอบเขตจะ ปิด${\displaystyle S}$$${\displaystyle X=\operatorname {int} S\cup \partial S\cup \operatorname {ext} S,}$$${\displaystyle \partial S}$${\displaystyle S.}$

คุณสมบัติบางประการของตัวควบคุมภายนอกนั้นแตกต่างจากตัวควบคุมภายใน:

• ตัวดำเนินการภายนอกจะกลับด้านการรวม หากเป็นเช่นนั้น${\displaystyle S\subseteq T,}$${\displaystyle \operatorname {ext} T\subseteq \operatorname {ext} S.}$
• ตัวดำเนินการภายนอกไม่ใช่ตัวดำเนินการที่ไม่เปลี่ยนแปลงสถานะแต่มีคุณสมบัติที่ว่า${\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq \operatorname {ext} \left(\operatorname {ext} S\right).}$

รูปทรงสองรูปเรียกว่ารูปทรงที่ไม่ทับซ้อนกันภายในหากส่วนที่ตัดกันของพื้นที่ภายในของรูปทรงทั้งสองนั้นว่างเปล่า รูปทรงที่ไม่ทับซ้อนกันภายในอาจตัดกันที่ขอบเขตหรือไม่ก็ได้ ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

• ภายในเชิงพีชคณิต  – การขยายแนวคิดภายในเชิงทอพอโลยี
• DE-9IM  – แบบจำลองเชิงทอพอโลยี
• พีชคณิตภายใน  – โครงสร้างทางพีชคณิต
• ทฤษฎีเส้นโค้งจอร์แดน  – ทฤษฎีในวิชาโทโพโลยี
• ภายในเชิงสัมพัทธ์เสมือน  – การวางนัยทั่วไปของภายในเชิงพีชคณิต
• ภายในเชิงสัมพัทธ์  – การวางนัยทั่วไปของภายในเชิงโทโพโลยี

• บูร์บากิ, นิโคลัส (1989) [1966] โทโพโลยีทั่วไป: บทที่ 1–4 [ Topologie Générale ] องค์ประกอบทางคณิตศาสตร์ . เบอร์ลินนิวยอร์ก: Springer Science & Business Media ไอเอสบีเอ็น 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129 .
• Dixmier, Jacques (1984). โทโพโลยีทั่วไป . ตำราเรียนคณิตศาสตร์ระดับปริญญาตรี. แปลโดย Berberian, SK นิวยอร์ก: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC  10277303 .
• Császár, Ákos (1978) โทโพโล ยีทั่วไปแปลโดย Császár, Klára บริสตอล อังกฤษ: Adam Hilger Ltd. ISBN 0-85274-275-4. OCLC  4146011 .
• Dugundji, James (1966). Topology . Boston: Allyn and Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485 .
• Joshi, KD (1983). บทนำสู่โทโพโลยีทั่วไป . นิวยอร์ก: John Wiley and Sons Ltd. ISBN 978-0-85226-444-7. OCLC  9218750 .
• เคลลีย์, จอห์น แอล. (1975) [1955]. โทโพโลยีทั่วไป . ตำราระดับบัณฑิตศึกษาทางคณิตศาสตร์ . เล่มที่ 27 (ฉบับที่ 2). นิวยอร์ก: สปริงเกอร์-เวอร์แลก. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC  1365153 .
• มุนเครส, เจมส์ อาร์. (2000). โทโพโลยี (ฉบับที่ 2). อัปเปอร์ แซดเดิล ริเวอร์, นิวเจอร์ซีย์ : เพรนทิส ฮอลล์ อิงค์ . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260 .( สามารถเข้าถึงได้สำหรับผู้ใช้บริการที่มีความบกพร่องทางการอ่าน )
• ชูเบิร์ต, ฮอร์สต์ (1968). โทโพโลยี . ลอนดอน: แมคโดนัลด์ แอนด์ โค. ISBN 978-0-356-02077-8. OCLC  463753 .
• Wilansky, Albert (17 ตุลาคม 2551) [1970]. Topology for Analysis . Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-46903-4. OCLC  227923899 .
• วิลลาร์ด, สตีเฟน (2004) [1970]. โทโพโลยีทั่วไป . ไมเนโอลา, นิวยอร์ก : สำนักพิมพ์โดเวอร์ . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240 .

• การ ตกแต่งภายในที่PlanetMath