กราฟของฟังก์ชันกำลังสาม บนช่วงเป็นกราฟปิดเนื่องจากฟังก์ชันมีความต่อเนื่องส่วนกราฟของฟังก์ชันเฮวิไซด์บนไม่ใช่กราฟปิดเนื่องจากฟังก์ชันไม่มีความต่อเนื่อง${\displaystyle f(x)=x^{3}-9x}$${\displaystyle [-4,4]}$${\displaystyle [-2,2]}$

ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทกราฟปิดอาจหมายถึงผลลัพธ์พื้นฐานหลายประการที่อธิบายลักษณะของฟังก์ชันต่อเนื่องโดยพิจารณาจากกราฟของฟังก์ชัน นั้น แต่ละทฤษฎีบทจะให้เงื่อนไขว่าฟังก์ชันที่มีกราฟปิดนั้นจำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องหรือไม่

บทความในบล็อก^{[ 1 ]}โดยT. Taoแสดงรายการทฤษฎีบทกราฟปิดหลายรายการในวิชาคณิตศาสตร์

ถ้าเป็นแผนที่ระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยีแล้วกราฟของคือเซตหรือเทียบเท่ากับ กล่าวได้ว่ากราฟของเป็นกราฟปิดถ้าเป็นเซตย่อยปิดของ(โดยมีทอพอโลยีแบบผลคูณ ) ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \Gamma _{f}:=\{(x,f(x)):x\in X\}}$$${\displaystyle \Gamma _{f}:=\{(x,y)\in X\times Y:y=f(x)\}}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle \Gamma _{f}}$${\displaystyle X\times Y}$

ฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆ ในปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟจะมีกราฟปิด (ดู§ ทฤษฎีบทกราฟปิดในโทโพโลยีเซตจุด )

แผนที่เชิงเส้นใดๆระหว่างปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีสองปริภูมิซึ่งทอพอโลยีสมบูรณ์ (โคชี) เมื่อเทียบกับเมตริกที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามการเลื่อน และถ้านอกจากนี้ (1a) มีความต่อเนื่องตามลำดับในความหมายของทอพอโลยีผลคูณ แผนที่นั้นจะมีความต่อเนื่องและกราฟของมันGr Lจะต้องปิด ในทางกลับกัน ถ้าเป็นแผนที่เชิงเส้นดังกล่าว โดยแทนที่ (1a) ด้วยกราฟของคือ (1b) ที่ทราบกันว่าปิดในปริภูมิผลคูณคาร์ทีเซียนแล้วจะมีความต่อเนื่องและดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีความต่อเนื่องตามลำดับ^{[ 2 ]}${\displaystyle L:X\to Y,}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle L}$

ถ้าเป็นปริภูมิใดๆ แผนที่เอกลักษณ์จะต่อเนื่อง แต่กราฟของมันซึ่งเป็นเส้นทแยงมุมจะปิดใน ก็ต่อเมื่อเป็น Hausdorff ^{[ 3 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าไม่ใช่ Hausdorff แล้วจะต่อเนื่องแต่ไม่มีกราฟปิด ${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Id} :X\to X}$${\displaystyle \Gamma _{\operatorname {Id} }:=\{(x,x):x\in X\},}$${\displaystyle X\times X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Id} :X\to X}$

ให้แทนจำนวนจริง ที่มี โทโพโลยีแบบยุคลิดปกติและให้แทนโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง (โดยสังเกตว่าไม่ใช่Hausdorffและฟังก์ชันทุกฟังก์ชันที่มีค่าใน นั้นต่อเนื่อง) ให้กำหนดโดยและสำหรับทุกแล้วจะต่อเนื่อง แต่กราฟของมันไม่ปิดใน^{[ 4 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f(0)=1}$${\displaystyle f(x)=0}$${\displaystyle x\neq 0}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X\times Y}$

ในโทโพโลยีเซตจุดทฤษฎีบทกราฟปิดกล่าวไว้ดังนี้:

ถ้าXและYเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับ ทฤษฎีบทนี้ก็สามารถอนุมานได้จากทฤษฎีบทการแมปแบบเปิดสำหรับปริภูมิเหล่านั้นเช่นกัน ดูหัวข้อ§ ความสัมพันธ์กับทฤษฎีบทการแมปแบบเปิด

ปริภูมิที่ไม่ใช่แบบเฮาส์ดอร์ฟนั้นพบเห็นได้ยาก แต่ปริภูมิที่ไม่กระชับนั้นพบได้ทั่วไป ตัวอย่างของปริภูมิที่ไม่กระชับคือเส้นจำนวนจริง ซึ่งอนุญาตให้มีฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องกับกราฟปิดได้ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}{\text{ if }}x\neq 0,\\0{\text{ else}}\end{cases}}}$

นอกจากนี้ตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบปิดในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน (ตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีกราฟแบบปิด) โดยทั่วไปจะไม่ต่อเนื่อง

ถ้าเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นระหว่างปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (TVS) แล้ว เราจะกล่าวว่าเป็นตัวดำเนินการปิดถ้ากราฟของเป็นตัวดำเนินการปิดในเมื่อมีทอพอโลยีแบบผลคูณ ${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle X\times Y}$

ทฤษฎีบทกราฟปิดเป็นผลลัพธ์ที่สำคัญในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน ซึ่งรับประกันว่าตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบปิดมีความต่อเนื่องภายใต้เงื่อนไขบางประการ ผลลัพธ์ดั้งเดิมได้รับการขยายความหลายครั้ง เวอร์ชันที่เป็นที่รู้จักกันดีของทฤษฎีบทกราฟปิดมีดังต่อไปนี้

ทฤษฎีบทนี้เป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทการแมปแบบเปิดโปรดดูหัวข้อ § ความสัมพันธ์กับทฤษฎีบทการแมปแบบเปิดด้านล่าง (ในทางกลับกัน ทฤษฎีบทการแมปแบบเปิดสามารถอนุมานได้จากทฤษฎีบทกราฟปิด)

บ่อยครั้งที่ทฤษฎีบทกราฟปิดจะได้รับเป็นผลลัพธ์จากทฤษฎีบทการแมปแบบเปิดในลักษณะต่อไปนี้^{[ 1 ] [ 9 ]}ให้เป็นแผนที่ใดๆ จากนั้นจะแยกตัวประกอบเป็น ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle f:X{\overset {i}{\to }}\Gamma _{f}{\overset {q}{\to }}Y}$.

ทีนี้คือส่วนกลับของการฉายภาพดังนั้น ถ้าทฤษฎีบทการแมปแบบเปิดใช้ได้กับนั่นคือ เป็นการแมปแบบเปิด แล้วจะต่อเนื่อง และจากนั้น ก็จะต่อเนื่อง (เนื่องจากการประกอบกันของการแมปแบบต่อเนื่อง) ${\displaystyle i}$${\displaystyle p:\Gamma _{f}\to X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle i}$${\displaystyle f}$

ตัวอย่างเช่น ข้อโต้แย้งข้างต้นใช้ได้ก็ต่อเมื่อเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นระหว่างปริภูมิบานาคที่มีกราฟปิด หรือเป็นแผนที่ที่มีกราฟปิดระหว่างปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับ ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

• แผนที่เชิงเส้นแบบเกือบเปิด  – แผนที่ที่ตรงตามเงื่อนไขคล้ายกับแผนที่แบบเปิดPages displaying short descriptions of redirect targets
• ปริภูมิทรงกระบอก  – ประเภทหนึ่งของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอ พอโลยี
• กราฟปิด  – คุณสมบัติของฟังก์ชันในทางโทโพโลยีPages displaying short descriptions of redirect targets
• ตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบปิด  – ตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีกราฟเป็นแบบปิด
• แผนที่เชิงเส้นที่ไม่ต่อเนื่อง
• ทฤษฎีบทจุดตรึงของคากุทานิ  – ทฤษฎีบทจุดตรึงสำหรับฟังก์ชันค่าเซต
• ทฤษฎีบทการแมปแบบเปิด (การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน)  – เงื่อนไขสำหรับตัวดำเนินการเชิงเส้นที่จะเป็นแบบเปิด
• ทฤษฎีบทของ Ursescu  – การวางนัยทั่วไปของทฤษฎีบทกราฟปิด การแมปแบบเปิด และความมีขอบเขตสม่ำเสมอ
• พื้นที่เชื่อมโยง  – พื้นที่ที่ทฤษฎีบทการแมปแบบเปิดและกราฟแบบปิดใช้ได้
• ทฤษฎีบทหลักของซาริสกี  – ทฤษฎีบทของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและพีชคณิตเชิงสลับเปลี่ยน

• บูร์บากิ, นิโคลัส (1987) [1981]. ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี: บทที่ 1–5 องค์ประกอบทางคณิตศาสตร์ . แปลโดย Eggleston, HG; มาดาน เบอร์ลิน นิวยอร์ก: สปริงเกอร์-แวร์แลกไอเอสบีเอ็น 3-540-13627-4. OCLC  17499190 .
• ฟอลแลนด์, เจอรัลด์ บี. (1984), การวิเคราะห์เชิงจริง: เทคนิคสมัยใหม่และการประยุกต์ใช้ (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 1), จอห์น ไวลีย์ แอนด์ ซันส์ , ISBN 978-0-471-80958-6
• จาร์โชว, ฮันส์ (1981) ช่องว่างนูนเฉพาะที่ สตุ๊ตการ์ท : บีจี ทอยบเนอร์ไอเอสบีเอ็น 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342 .
• เคอเธ่ กอตต์ฟรีด (1983) [1969] ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี I. กรุนเดิลเริน เดอร์ มาเทมาติเชน วิสเซนชาฟเทิน ฉบับที่ 159. แปลโดย Garling, DJH New York: Springer Science & Business Media ไอเอสบีเอ็น 978-3-642-64988-2. MR  0248498 . OCLC  840293704 .
• มุนเครส, เจมส์ อาร์. (2000). โทโพโลยี (ฉบับที่ 2). อัปเปอร์ แซดเดิล ริเวอร์, นิวเจอร์ซีย์ : เพรนทิส ฮอลล์ อิงค์ . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260 .( สามารถเข้าถึงได้สำหรับผู้ใช้บริการที่มีความบกพร่องทางการอ่าน )
• นาริซี, ลอว์เรนซ์; เบคเกนสไตน์, เอ็ดเวิร์ด (2011). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). โบคา ราตัน, ฟลอริดา: สำนักพิมพ์ CRC. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• รูดิน, วอลเตอร์ (1991). การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน . ชุดนานาชาติในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ เล่มที่ 8 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: แมคกรอว์-ฮิลล์ วิทยาศาสตร์/วิศวกรรม/คณิตศาสตร์ . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอ โล ยีGTMเล่ม 8 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์ Springer New York. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• เทรฟส์, ฟรองซัวส์ (2549) [2510] ปริภูมิเวกเตอร์ทอพอโลยี การแจกแจง และเคอร์เนล Mineola, NY: สิ่งพิมพ์โดเวอร์ไอเอสบีเอ็น 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• วิลานสกี, อัลเบิร์ต (2013). วิธีการสมัยใหม่ในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี . ไมเนโอลา, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์โดเวอร์ อิงค์. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .
• Zălinescu, Constantin (30 กรกฎาคม 2545). การวิเคราะห์เชิงนูนในปริภูมิเวกเตอร์ทั่วไป . River Edge, NJ ลอนดอน: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1921556 . OCLC  285163112 – ผ่านทางInternet Archive .
• "การพิสูจน์ทฤษฎีบทกราฟปิด " PlanetMath