ในคณิตศาสตร์เชิงฟังก์ชัน ตัว ดำเนินการเชิง เส้นปิดหรือที่เรียกกันทั่วไปว่าตัวดำเนินการปิดคือตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กำหนดขึ้นบางส่วนซึ่งกราฟของตัวดำเนินการนั้นเป็นกราฟปิด (ดูคุณสมบัติของกราฟปิด ) มันเป็นตัวอย่างพื้นฐานของ ตัวดำเนิน การ ที่ไม่จำกัดขอบเขต

ทฤษฎีบทกราฟปิดกล่าวว่า ตัวดำเนินการเชิงเส้นระหว่างปริภูมิบานาคจะเป็นตัวดำเนินการปิดก็ต่อเมื่อเป็นตัวดำเนินการที่มีขอบเขตและโดเมนของตัวดำเนินการนั้นคือในทางปฏิบัติ ตัวดำเนินการจำนวนมากไม่มีขอบเขต แต่ก็ยังเป็นที่พึงปรารถนาที่จะทำให้ตัวดำเนินการเหล่านั้นมีกราฟปิด ดังนั้น ตัวดำเนินการเหล่านั้นจึงไม่สามารถนิยามได้บนทั้งหมดของเพื่อให้ยังคงมีประโยชน์ ตัวดำเนินการเหล่านั้นจึงถูกนิยามบนปริภูมิย่อยที่เหมาะสมแต่หนาแน่นแทนซึ่งยังคงอนุญาตให้ประมาณเวกเตอร์ใดๆ ได้ และรักษาเครื่องมือสำคัญๆ (การปิด การผกผันทฤษฎีสเปกตรัม ) ให้ใช้งานได้ ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

ในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน เป็นเรื่องปกติที่จะพิจารณาฟังก์ชันบางส่วนซึ่งเป็นฟังก์ชันที่กำหนดบนเซตย่อยของปริภูมิบางส่วน ฟังก์ชันบางส่วนจะถูกประกาศด้วยสัญลักษณ์ซึ่งบ่งชี้ว่ามีต้นแบบ(นั่นคือโดเมน ของมัน คือและโคโดเมน ของมัน คือ) ${\displaystyle X.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f:D\subseteq X\to Y,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f:D\to Y}$${\displaystyle D}$${\displaystyle Y}$

ฟังก์ชันบางส่วนทุกฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชัน ดังนั้นคำศัพท์ทั้งหมดที่ใช้กับฟังก์ชันจึงสามารถนำมาใช้กับฟังก์ชันบางส่วนได้ ตัวอย่างเช่นกราฟของฟังก์ชันบางส่วนคือเซต อย่างไรก็ตาม มีข้อยกเว้นหนึ่งข้อคือคำจำกัดความของ "กราฟปิด" ฟังก์ชันบางส่วนจะกล่าวได้ว่ามีกราฟปิดก็ต่อเมื่อเป็นเซตย่อยปิดของในโทโพโลยีผลคูณที่สำคัญคือ โปรดทราบว่าปริภูมิผลคูณคือและไม่ใช่ตามที่ได้นิยามไว้ข้างต้นสำหรับฟังก์ชันทั่วไป ในทางตรงกันข้าม เมื่อพิจารณา เป็นฟังก์ชันทั่วไป (แทนที่จะเป็นฟังก์ชันบางส่วน) แล้ว "การมีกราฟปิด" จะหมายความว่าเป็นเซตย่อยปิดของถ้าเป็นเซตย่อยปิดของแล้ว ก็เป็นเซตย่อยปิดของ ด้วยเช่นกันแม้ว่าโดยทั่วไปแล้วจะไม่รับประกันว่าจะเป็นไปในทางตรงกันข้ามก็ตาม ${\displaystyle f}$${\displaystyle \operatorname {graph} {\!(f)}=\{(x,f(x)):x\in \operatorname {dom} f\}.}$${\displaystyle f:D\subseteq X\to Y}$${\displaystyle \operatorname {graph} f}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle D\times Y=\operatorname {dom} f\times Y}$${\displaystyle f:D\to Y}$${\displaystyle f:D\subseteq X\to Y}$${\displaystyle \operatorname {graph} f}$${\displaystyle D\times Y.}$${\displaystyle \operatorname {graph} f}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle \operatorname {dom} (f)\times Y}$

นิยาม : ถ้าXและYเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโล ยี (TVS) แล้ว เราจะเรียกแผนที่เชิงเส้นf  : D ( f ) ⊆ X → Yว่าตัวดำเนินการเชิงเส้นปิดถ้ากราฟของมันเป็นกราฟปิดในX × Y

คำตรงข้ามของ "ปิด" คือ "ไม่ปิด" กล่าวคือตัวดำเนินการเชิงเส้นที่ไม่ปิดคือตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีกราฟเล็กกว่าส่วนปิดของมันอย่างชัดเจน

ตัวดำเนินการเชิงเส้นคือ${\displaystyle f:D\subseteq X\to Y}$สามารถปิดได้ใน${\displaystyle X\times Y}$ถ้ามีปริภูมิย่อยเวกเตอร์ ที่บรรจุและฟังก์ชัน (หรือฟังก์ชันหลายตัว)ที่กราฟของมันเท่ากับการปิดของเซตในดังกล่าวเรียกว่าการปิดของในใช้สัญลักษณ์และจำเป็นต้องขยาย${\displaystyle E\subseteq X}$${\displaystyle D}$${\displaystyle F:E\to Y}$${\displaystyle \operatorname {graph} f}$${\displaystyle X\times Y.}$${\displaystyle F}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle {\overline {f}},}$${\displaystyle f.}$

ถ้าเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นที่ปิดได้แล้ว${\displaystyle f:D\subseteq X\to Y}$แกนกลางหรือแกนกลางโดเมนสำคัญของคือเซตย่อยที่การปิดในของกราฟของการจำกัดของไปยัง เท่ากับการปิดของกราฟของใน(กล่าวคือ การปิดของในเท่ากับการปิดของใน) ${\displaystyle f}$${\displaystyle C\subseteq D}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle f{\big \vert }_{C}:C\to Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle \operatorname {graph} f}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle \operatorname {graph} f{\big \vert }_{C}}$${\displaystyle X\times Y}$

ตัวดำเนินการปิดระหว่างปริภูมิบานาคมีขอบเขตจำกัด ตามทฤษฎีบทกราฟปิดตัวอย่างที่น่าสนใจกว่าของตัวดำเนินการปิดคือตัวดำเนินการที่ไม่มีขอบเขตจำกัด

ถ้าเป็น Hausdorff TVS และเป็นเวกเตอร์โทโพโลยีบนที่ละเอียดกว่าอย่างเคร่งครัดแล้ว แผนที่เอกลักษณ์จะเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นที่ไม่ต่อเนื่องแบบปิด^{[ 1 ]}${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau ,}$${\displaystyle \operatorname {Id} :(X,\tau )\to (X,\nu )}$

พิจารณาตัวดำเนินการอนุพันธ์โดยที่เป็นปริภูมิ Banach (ที่มีบรรทัดฐานสูงสุด ) ของฟังก์ชันต่อเนื่อง ทั้งหมด บนช่วงถ้าเราเลือกโดเมนเป็นแล้วจะเป็นตัวดำเนินการปิด ซึ่งไม่มีขอบเขต^{[ 2 ]}ในทางกลับกัน ถ้าเป็นปริภูมิของ ฟังก์ชันค่าสเกลาร์ เรียบแล้วจะไม่ปิดอีกต่อไป แต่จะสามารถปิดได้ โดยการปิดคือส่วนขยายที่กำหนดบนเพื่อแสดงว่าไม่ปิดเมื่อจำกัดไว้ที่ให้เลือกฟังก์ชันที่เป็นแต่ไม่เรียบ เช่น จากนั้นทำให้เรียบเป็นลำดับของฟังก์ชันเรียบเช่นแล้วแต่ไม่อยู่ในกราฟของ ${\displaystyle f={\frac {d}{dx}}}$${\displaystyle X=Y=C([a,b])}$${\displaystyle [a,b].}$${\displaystyle D(f)}$${\displaystyle C^{1}([a,b]),}$${\displaystyle f}$${\displaystyle D(f)}$${\displaystyle C^{\infty }([a,b])}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C^{1}([a,b]).}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C^{\infty }([a,b])\to C^{\infty }([a,b])}$${\displaystyle u}$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle u(x)=x^{3/2}}$${\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \|u_{n}-u\|_{\infty }\ถึง 0}$${\displaystyle \|f(u_{n})-u'\|_{\infty }\to 0}$${\displaystyle (u,u')}$${\displaystyle f|_{C^{\infty }([a,b])}}$

คุณสมบัติต่อไปนี้สามารถตรวจสอบได้ง่ายสำหรับตัวดำเนินการเชิงเส้นระหว่างปริภูมิบานาค: ${\displaystyle f:\operatorname {D} (f)\subseteq X\to Y}$

• ถ้าถูกกำหนดไว้บนโดเมนทั้งหมดแล้วจะเป็นเซตปิดก็ต่อเมื่อมีขอบเขต${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$
• ถ้าเซตปิด เซตนั้นก็จะปิดเช่นกัน โดยที่เป็นค่าสเกลาร์ และเป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์${\displaystyle A}$${\displaystyle A-\lambda \mathrm {Id} _{\ชื่อผู้ดำเนินการ {D} (f)}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mathrm {Id} _{\ชื่อผู้ดำเนินการ {D} (f)}}$
• ถ้าเป็นเซตปิดเคอร์เนล (หรือปริภูมิว่าง) ของมันจะเป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ปิดของ;${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$
• ถ้าเซตปิดและเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งแล้วเซตผกผัน ของมัน ก็เป็นเซตปิดเช่นกัน${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}}$
• ตัวดำเนินการเชิงเส้นยอมรับการปิดได้ก็ต่อเมื่อสำหรับทุก ๆและทุกคู่ของลำดับและที่ลู่เข้าสู่ในโดยที่และลู่เข้าสู่ จะมี${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x_{\bullet }=(x_{i})_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle y_{\bullet }=(y_{i})_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle \operatorname {D} (f)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x_{\bullet })=(f(x_{i}))_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle f(y_{\bullet })=(f(y_{i}))_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \lim _{i\to \infty }f(x_{i})=\lim _{i\to \infty }f(y_{i})}$