ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันและโทโพโลยีกราฟปิดเป็นคุณสมบัติของฟังก์ชัน[ ^{1 ] [ 2 ] ฟังก์ชัน}จริงจะเป็นกราฟ ปิดก็ต่อเมื่อกราฟนั้นเป็นกราฟปิด ซึ่งหมายความว่ากราฟนั้นประกอบด้วย จุดลิมิตทั้งหมดของฟังก์ชันนั้นฟังก์ชันต่อเนื่องทุก ฟังก์ชัน จะมีกราฟปิด แต่ในทางกลับกันนั้นไม่จำเป็นต้องเป็นจริงเสมอไป ${\displaystyle y=f(x)}$

โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันf  : X → Yระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยีจะ มีกราฟปิดก็ต่อเมื่อกราฟ ของฟังก์ชันนั้น เป็นเซตย่อยปิดของปริภูมิผลคูณX × Y

คุณสมบัตินี้ได้รับการศึกษาเนื่องจากมีทฤษฎีบทมากมายที่เรียกว่าทฤษฎีบทกราฟปิดซึ่งให้เงื่อนไขที่ฟังก์ชันที่มีกราฟปิดจะต้องต่อเนื่องเสมอ หนึ่งในทฤษฎีบทกราฟปิดที่รู้จักกันดีคือทฤษฎีบทกราฟปิดในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน

นิยามและสัญลักษณ์ : กราฟของฟังก์ชันf  : X → Yคือเซต

Gr f  := { ( x , f ( x )) : x ∈ X } = { ( x , y ) ∈ X × Y  : y = f ( x )} .

สัญลักษณ์ : ถ้าYเป็นเซตเซตกำลังของYซึ่งเป็นเซตของเซตย่อยทั้งหมดของYจะ ใช้สัญลักษณ์ 2 ^Yหรือ𝒫( Y )แทน

นิยาม : ถ้าXและYเป็นเซตฟังก์ชันค่าเซตในYบนX (เรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันหลายค่า ใน YบนX ) คือฟังก์ชันF  : X → 2 ^Yที่มีโดเมนเป็นXและมีค่าอยู่ใน2 ^Yกล่าวคือFเป็นฟังก์ชันบนXโดยที่สำหรับทุกx ∈ Xแล้วF ( x )เป็นเซตย่อยของ Y

• ผู้เขียนบางท่านเรียกฟังก์ชันF  : X → 2 ^Yว่าเป็นฟังก์ชันเซตก็ต่อเมื่อเป็นไปตามข้อกำหนดเพิ่มเติมที่ว่าF ( x )ไม่ว่างเปล่าสำหรับทุกx ∈ Xเท่านั้น บทความนี้ไม่ได้กำหนดข้อกำหนดนี้

นิยามและสัญลักษณ์ : ถ้าF  : X → 2 ^Yเป็นฟังก์ชันค่าเซตในเซตYแล้วกราฟของFคือเซต

Gr F  := { ( x , y ) ∈ X × Y  : y ∈ F ( x )} .

นิยาม : ฟังก์ชันf  : X → Yสามารถระบุได้อย่างเป็นแบบแผนด้วยฟังก์ชันเซตค่าF  : X → 2 ^Yที่กำหนดโดยF ( x ) := { f ( x )}สำหรับทุกx ∈ Xโดยที่Fเรียกว่าฟังก์ชันเซตค่าแบบแผนเชิงแคนอนิกที่ เหนี่ยวนำโดย (หรือเกี่ยวข้องกับ) f

• โปรดทราบว่าในกรณีนี้Gr f = Gr F

เราให้คำจำกัดความที่ครอบคลุมมากขึ้นว่าเมื่อใดที่ ฟังก์ชันค่า Yหรือฟังก์ชันค่าเซตซึ่งกำหนดบนเซตย่อยSของXจะมีกราฟปิด เนื่องจากความทั่วไปนี้จำเป็นในการศึกษาตัวดำเนินการเชิงเส้นปิดที่กำหนดบนปริภูมิย่อยหนาแน่นSของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีX (และไม่จำเป็นต้องกำหนดบน Xทั้งหมด) กรณีเฉพาะนี้เป็นหนึ่งในเหตุผลหลักที่ทำให้มีการศึกษาฟังก์ชันที่มีกราฟปิดในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน

ข้อสมมติ : ตลอดทั้ง เอกสารนี้ XและYเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีS ⊆ Xและf เป็น ฟังก์ชันที่มีค่าใน Yหรือฟังก์ชันที่มีค่าเป็นเซตบนS (เช่นf  : S → Yหรือf  : S → 2 ^Y ) X × Yจะมีทอพอโลยีแบบผลคูณเสมอ

นิยาม : ^{[ 3 ]}เรากล่าวว่าfมีกราฟปิดในX × Yถ้ากราฟของf , Gr f , เป็น เซตย่อย ปิดของX × Yเมื่อX × Yมีโทโพโลยีผลคูณ ถ้าS = Xหรือถ้าXชัดเจนจากบริบท เราอาจละเว้นการเขียน "ในX × Y "

ข้อสังเกต : ถ้าg  : S → Yเป็นฟังก์ชัน และGเป็นฟังก์ชันเซตค่ามาตรฐานที่เกิดจากg (กล่าวคือG  : S → 2 ^YถูกกำหนดโดยG ( s ) := { g ( s )}สำหรับทุกs ∈ S ) แล้ว เนื่องจากGr g = Gr Gดังนั้นgมีกราฟปิด (หรือกราฟปิดตามลำดับ) ในX × Y ก็ ต่อเมื่อ Gมีคุณสมบัติเดียวกัน

นิยาม : เรากล่าวว่าฟังก์ชัน (หรือฟังก์ชันค่าเซต) fสามารถปิดได้ในX × Yถ้ามีเซตย่อยD ⊆ Xที่ประกอบด้วยSและฟังก์ชัน (หรือฟังก์ชันค่าเซต) F  : D → Yซึ่งกราฟของฟังก์ชันนี้เท่ากับการปิดของเซตGr fในX × Y ฟังก์ชัน Fดังกล่าวเรียกว่าการปิดของfในX × Yใช้สัญลักษณ์fและจำเป็นต้องขยายfด้วย

• ข้อสมมติเพิ่มเติมสำหรับแผนที่เชิงเส้น : ถ้าS , XและYเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี และf  : S → Yเป็นแผนที่เชิงเส้นแล้ว การจะเรียกfว่าปิดได้นั้น เรายังต้องมีเงื่อนไขเพิ่มเติมคือ เซตDเป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ของXและการปิดของfต้องเป็นแผนที่เชิงเส้นด้วย

นิยาม : ถ้าfเป็นฟังก์ชันที่ปิดได้บนSแล้ว โดเมน หลักหรือโดเมนสำคัญของfคือเซตย่อยD ⊆ Sซึ่งการปิดในX × Yของกราฟของการจำกัดf | _D  : D → YของfไปยังDเท่ากับการปิดของกราฟของfในX × Y (กล่าวคือ การปิดของGr fในX × Yเท่ากับการปิดของGr f | _DในX × Y )

นิยามและสัญลักษณ์ : เมื่อเราเขียนf  : D ( f ) ⊆ X → Yหมายความว่าfเป็น ฟังก์ชันที่มีค่าอยู่ใน YโดยมีโดเมนคือD ( f )ซึ่งD ( f ) ⊆ Xถ้าเรากล่าวว่าf  : D ( f ) ⊆ X → Yเป็นเซตปิด (หรือเซตปิดตามลำดับ ) หรือมีกราฟปิด (หรือกราฟปิดตามลำดับ ) หมายความว่ากราฟของfเป็นกราฟปิด (หรือกราฟปิดตามลำดับ) ในX × Y (ไม่ใช่ในD ( f ) × Y )

เมื่ออ่านเอกสารเกี่ยวกับวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันถ้าf  : X → Yเป็นแผนที่เชิงเส้นระหว่างปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (TVS) (เช่นปริภูมิบานาค ) แล้ว " fเป็นปริภูมิปิด" มักจะหมายถึงสิ่งต่อไปนี้:

นิยาม : ฟังก์ชันf  : X → Yเรียกว่าฟังก์ชันปิดถ้ากราฟของฟังก์ชันนั้นเป็นกราฟปิดในX × Yโดยเฉพาะอย่างยิ่ง คำว่า " ตัวดำเนินการเชิงเส้นปิด " เกือบจะหมายถึงฟังก์ชันเชิงเส้นที่มีกราฟเป็นกราฟปิด

ในทางกลับกัน โดยเฉพาะในเอกสารเกี่ยวกับโทโพโลยีเซตจุด " fเป็นเซตปิด" อาจหมายถึงสิ่งต่อไปนี้แทน:

นิยาม : ฟังก์ชันf  : X → Yระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยี เรียกว่าฟังก์ชันปิดถ้าภาพของเซตย่อยปิดของXเป็นเซตย่อยปิดของY

คำจำกัดความทั้งสองของ "แผนที่ปิด" นี้ไม่เหมือนกัน หากไม่ชัดเจน ขอแนะนำให้ผู้อ่านตรวจสอบคำจำกัดความของ "แผนที่ปิด" จากเอกสารที่ตนกำลังอ่านอยู่

ตลอดทั้งบทความนี้ ให้XและYเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี

ฟังก์ชันที่มีกราฟปิด

ถ้าf  : X → Yเป็นฟังก์ชันแล้ว ข้อความต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน:

1. fมีกราฟปิด (ในX × Y );
2. (นิยาม) กราฟของf , Gr f , คือเซตย่อยปิดของX × Y ;
3. สำหรับทุกx ∈ Xและเน็ตx _• = ( x _i ) _{i ∈ I}ในXที่x _• → xในXถ้าy ∈ Yเป็นเช่นนั้น เน็ตf ( x _• ) := ( f ( x _i )) _{i ∈ I} → yในYแล้วy = f ( x ) ; ^{[ 3 ]}
   • เปรียบเทียบสิ่งนี้กับนิยามของความต่อเนื่องในแง่ของเน็ต ซึ่งจำได้ว่ามีดังนี้: สำหรับทุกx ∈ Xและเน็ตx _• = ( x _i ) _{i ∈ I}ในXที่x _• → xในX , f ( x _• ) → f ( x )ในY
   • ดังนั้น เพื่อแสดงว่าฟังก์ชันfมีกราฟปิด เราอาจสมมติว่าf ( x _• )ลู่เข้าในYไปยังy ∈ Y บางค่า (แล้วแสดงว่าy = f ( x ) ) ในขณะที่เพื่อแสดงว่าfต่อเนื่อง เราไม่ สามารถ สมมติว่าf ( x _• )ลู่เข้าในY ไปยัง y ∈ Yบางค่าได้และเราต้องพิสูจน์ว่าสิ่งนี้เป็นจริง (และยิ่งไปกว่านั้น เราต้องพิสูจน์ให้ชัดเจนยิ่งขึ้นว่าf ( x _• )ลู่เข้าสู่f ( x )ในY )

และถ้าYเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟที่กระชับเราอาจเพิ่มรายการนี้ได้อีก:

และถ้าทั้งXและYเป็น ปริภูมิ ที่นับได้เป็นอันดับแรกแล้ว เราอาจเพิ่มสิ่งต่อไปนี้ลงในรายการได้:

ฟังก์ชันที่มีกราฟปิดตามลำดับ

ถ้าf  : X → Yเป็นฟังก์ชันแล้ว ข้อความต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน:

1. fมีกราฟปิดตามลำดับ (ในX × Y )
2. ( นิยาม) กราฟของfคือเซตย่อยปิดตามลำดับของX × Y
3. สำหรับทุกx ∈ Xและลำดับx _• = ( x _i )^∞ _{i =1}ในXโดยที่x _• → xในXถ้าy ∈ Yเป็นเช่นนั้นที่ฟังก์ชันสุทธิf ( x _• ) := ( f ( x _i ))^∞ _{i =1}→ yในYจากนั้นy = f ( x ) ; ^{[ 3 ]}

ฟังก์ชันเซตที่มีกราฟปิด

ถ้าF  : X → 2 ^Yเป็นฟังก์ชันค่าเซตระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยีXและYแล้วข้อความต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน:

1. Fมีกราฟปิด (ในX × Y );
2. (นิยาม) กราฟของFเป็นเซตย่อยปิดของX × Y ;

และถ้าYเป็นเซตกระชับและเป็นแบบเฮาส์ดอร์ฟ เราอาจเพิ่มรายการนี้ได้อีก:

และถ้าทั้งXและYเป็นปริภูมิเมตริก เราอาจเพิ่มสิ่งต่อไปนี้ได้:

ตลอดทั้งบทความนี้ ให้และเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี และมีทอพอโลยีแบบผลคูณ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X\times Y}$

ถ้าเป็นฟังก์ชันแล้ว จะกล่าวได้ว่ากราฟของฟังก์ชันนั้นเป็นกราฟปิดถ้าฟังก์ชันนั้นสอดคล้องกับเงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่งต่อไปนี้: ${\displaystyle f:X\to Y}$

1. (นิยาม): กราฟของเป็นเซตย่อยปิดของ${\displaystyle \operatorname {graph} f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X\times Y.}$
2. สำหรับทุกๆและเน็ตในลักษณะที่ในถ้าเป็นเช่นนั้นเน็ตในแล้ว^{[ 3 ]}${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}\to y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle y=f(x).}$
   • ลองเปรียบเทียบกับนิยามของความต่อเนื่องในแง่ของเน็ต ซึ่งจำได้ว่ามีดังนี้: สำหรับทุกเน็ต และในที่ในใน${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)}$${\displaystyle Y.}$
   • ดังนั้น เพื่อแสดงว่าฟังก์ชันมีกราฟปิดอาจสันนิษฐานได้ว่าลู่เข้าสู่ค่าใดค่าหนึ่ง(แล้วจึงแสดงว่า) ในขณะที่เพื่อแสดงว่ามีความต่อเนื่อง อาจไม่จำเป็นต้องสันนิษฐานว่าลู่เข้าสู่ค่าใดค่าหนึ่งแต่ต้องพิสูจน์ว่าข้อสันนิษฐานนี้เป็นจริง (และยิ่งไปกว่านั้น ต้องพิสูจน์ให้ได้ว่าลู่เข้าสู่ค่า ใน)${\displaystyle f}$${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle Y}$

และหากเป็นพื้นที่ขนาดกะทัดรัดแบบเฮาส์ดอร์ฟ เราอาจเพิ่มรายการนี้ได้อีก: ${\displaystyle Y}$

3. ${\displaystyle f}$ต่อเนื่อง^{[ 4 ]}

และถ้าทั้งและเป็นปริภูมิที่นับได้เป็นอันดับแรก เราอาจเพิ่ม ลงในรายการนี้ได้: ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

4. ${\displaystyle f}$มีกราฟปิดตามลำดับใน${\displaystyle X\times Y.}$

ฟังก์ชันที่มีกราฟปิดตามลำดับ

ถ้าเป็นฟังก์ชันแล้ว สิ่งต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน: ${\displaystyle f:X\to Y}$

1. ${\displaystyle f}$มีกราฟปิดตามลำดับใน${\displaystyle X\times Y.}$
2. นิยาม: กราฟของคือเซตย่อยที่ปิดตามลำดับของ${\displaystyle f}$${\displaystyle X\times Y.}$
3. สำหรับลำดับและทุก ๆในลักษณะที่ในถ้าเป็นเช่นนั้นที่เน็ตในแล้ว^{[ 3 ]}${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right):=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }\to y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle y=f(x).}$

• ถ้าf  : X → Yเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ระหว่างปริภูมิเชิงทอ ^พอโลยี และถ้าYเป็นHausdorffแล้วfจะมีกราฟปิดในX × Y ^{[ 3} ] อย่างไรก็ตาม ถ้าfเป็นฟังก์ชันระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยี Hausdorff แล้วเป็นไปได้ที่fจะมีกราฟปิดในX × Yแต่ไม่ต่อเนื่อง

เงื่อนไขที่รับประกันว่าฟังก์ชันที่มีกราฟปิดจะต้องต่อเนื่อง เรียกว่าทฤษฎีบทกราฟปิดทฤษฎีบทกราฟปิดมีความสำคัญเป็นพิเศษในสาขาการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน เนื่องจากมีทฤษฎีบทมากมายที่ให้เงื่อนไขซึ่งการแปลงเชิงเส้นที่มีกราฟปิดจะต้องต่อเนื่อง

• ถ้าf  : X → Yเป็นฟังก์ชันระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่มีกราฟปิดในX × Yและถ้าYเป็นปริภูมิกระชับแล้วf  : X → Yจะต่อเนื่อง^{[ 3 ]}

• ให้Xแทนจำนวนจริงℝ ที่มี โทโพโลยีแบบยุคลิดปกติและให้Yแทนℝที่มีโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง (โดยสังเกตว่าYไม่ใช่Hausdorffและฟังก์ชันทุกฟังก์ชันที่มีค่าในYเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง) ให้^f :  X → Y ถูกกำหนดโดยf (0) = 1และf ( x ) = 0สำหรับทุกx ≠ 0แล้วf  : X → Yเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แต่กราฟของมันไม่ปิดในX × Y ^{[ 3} ]
• ถ้าXเป็นปริภูมิใดๆ แผนที่เอกลักษณ์Id : X → Xจะต่อเนื่อง แต่กราฟของมัน ซึ่งเป็นกราฟแนวทแยงGr Id := { ( x , x ) : x ∈ X }จะปิดในX × Xก็ต่อเมื่อXเป็น Hausdorff ^{[ 6 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าXไม่ใช่ Hausdorff แล้วId : X → Xจะต่อเนื่องแต่ไม่ปิด
• ถ้าf  : X → Yเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีกราฟไม่เป็นกราฟปิด แล้วYจะไม่ใช่ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ

• ให้XและYแทนจำนวนจริงℝ ที่มี โทโพโลยีแบบยุคลิดตามปกติให้f  : X → Yกำหนดโดยf (0) = 0และf ( x ) = ⁠1/xสำหรับทุก x ≠ 0แล้ว f : X → Y  จะมีกราฟปิด (และกราฟปิดตามลำดับ) ใน X × Y = ℝ ²แต่จะไม่ต่อเนื่อง (เนื่องจากมีจุดไม่ต่อเนื่องที่ x = 0 ) ^{[ 3 ]}
• ให้Xแทนจำนวนจริงℝ ที่มี โทโพโลยีแบบยุคลิดปกติให้Yแทนℝที่มีโทโพโลยีแบบ ไม่ต่อเนื่อง และให้Id : X → Yเป็นแผนที่เอกลักษณ์ (นั่นคือId( x ) := xสำหรับทุกx ∈ X ) แล้วId : X → Yเป็นแผนที่เชิงเส้นที่มีกราฟปิดในX × Yแต่เห็นได้ชัดว่าไม่ต่อเนื่อง (เนื่องจากเซตที่มีสมาชิกตัวเดียวเปิดในYแต่ไม่เปิดในX ) ^{[ 3 ]}
• ให้( X , 𝜏)เป็น Hausdorff TVS และให้𝜐เป็นเวกเตอร์โทโพโลยีบนXที่ละเอียดกว่า𝜏 อย่างเคร่งครัด จากนั้นแผนที่เอกลักษณ์Id : ( X , 𝜏) → ( X , 𝜐)เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบไม่ต่อเนื่องแบบปิด^{[ 7 ]}

• แผนที่เชิงเส้นแบบเกือบเปิด  – แผนที่ที่ตรงตามเงื่อนไขคล้ายกับแผนที่แบบเปิดหน้าเว็บที่แสดงคำอธิบายสั้น ๆ ของเป้าหมายการเปลี่ยนเส้นทาง
• ทฤษฎีบทกราฟปิด  – ทฤษฎีบทที่เชื่อมโยงความต่อเนื่องกับกราฟ
• ทฤษฎีบทกราฟปิด (การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน)  – ทฤษฎีบทที่เชื่อมโยงความต่อเนื่องกับการปิดของกราฟ
• ทฤษฎีบทจุดตรึงของคากุทานิ  – ทฤษฎีบทจุดตรึงสำหรับฟังก์ชันค่าเซต
• ทฤษฎีบทการแมปแบบเปิด (การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน)  – เงื่อนไขสำหรับตัวดำเนินการเชิงเส้นที่จะเป็นแบบเปิด
• พื้นที่เชื่อมโยง  – พื้นที่ที่ทฤษฎีบทการแมปแบบเปิดและกราฟแบบปิดใช้ได้
• กราฟฟังก์ชันต่อเนื่อง