ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีเกมและเศรษฐศาสตร์เชิงคณิตศาสตร์ฟังก์ชันจะเรียกว่าต่อเนื่องบนกราฟได้ ก็ต่อ เมื่อกราฟของฟังก์ชันนั้น—เซตของคู่ข้อมูลเข้า-ข้อมูลออกทั้งหมด—เป็นเซตปิดในโทโพโลยีผลคูณของโดเมนและโคโดเมน กล่าวอย่างง่ายๆ คือ ถ้าลำดับของจุดบนกราฟลู่เข้า จุดลิมิตของลำดับนั้นก็ต้องอยู่ในกราฟด้วย แนวคิดนี้ซึ่งเกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของกราฟปิดในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันช่วยให้สามารถพิจารณาฟังก์ชันผลตอบแทนที่ไม่ต่อเนื่องได้ในวงกว้างขึ้น ในขณะเดียวกันก็ช่วยให้สามารถวิเคราะห์สมดุลในแบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์ได้

ความต่อเนื่องของกราฟได้รับความสนใจอย่างมากจากผลงานของPartha DasguptaและEric Maskinในบทความปี 1986 เกี่ยวกับการมีอยู่ของสมดุลในเกมเศรษฐกิจที่ไม่ต่อเนื่อง^{[ 1 ]}แตกต่างจากความต่อเนื่องแบบมาตรฐานซึ่งต้องมีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในปัจจัยนำเข้าเพื่อทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในผลผลิต ความต่อเนื่องของกราฟอนุญาตให้เกิดความไม่ต่อเนื่องที่มีพฤติกรรมที่ดีได้ คุณสมบัตินี้มีความสำคัญอย่างยิ่งต่อการสร้างสมดุลในบริบทต่างๆ เช่นทฤษฎีการประมูลแบบจำลองผูกขาดและการแข่งขันด้านสถานที่ตั้งซึ่งความไม่ต่อเนื่องของผลตอบแทนเกิดขึ้นตามธรรมชาติ

พิจารณาเกมที่มีเอเจนต์ โดยที่เอเจนต์หนึ่งมีกลยุทธ์; เขียนแทนทูเปิลของการกระทำ N ตัว (เช่น) และเป็นเวกเตอร์ของการกระทำทั้งหมดของเอเจนต์ ยกเว้นเอเจนต์นั้น ${\displaystyle N}$${\displaystyle i}$${\displaystyle A_{i}\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {a} \in \prod _{j=1}^{N}A_{j}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{-i}=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{N})}$${\displaystyle i}$

ให้เป็นฟังก์ชันผลตอบแทนสำหรับตัวแทน ${\displaystyle U_{i}:A_{i}\longrightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle i}$

เกมถูกนิยามว่า... ${\displaystyle [(A_{i},U_{i});i=1,\ldots ,N]}$

ฟังก์ชันจะต่อเนื่องที่กราฟถ้าสำหรับทุกค่า x จะมีฟังก์ชัน x อยู่จริงโดยที่x ต่อเนื่องที่ x = y ${\displaystyle U_{i}:A\longrightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbf {a} \in A}$${\displaystyle F_{i}:A_{-i}\longrightarrow A_{i}}$${\displaystyle U_{i}(F_{i}(\mathbf {a} _{-i}),\mathbf {a} _{-i})}$${\displaystyle \mathbf {a} _{-i}}$

ดาสกุปตาและมาสกินตั้งชื่อคุณสมบัตินี้ว่า "ความต่อเนื่องของกราฟ" เพราะหากเราวาดกราฟแสดงผลตอบแทนของผู้เล่นเป็นฟังก์ชันของกลยุทธ์ของตนเอง (โดยคงกลยุทธ์ของผู้เล่นคนอื่นไว้คงที่) แล้ว ฟังก์ชันผลตอบแทนที่มีความต่อเนื่องของกราฟจะทำให้กราฟนี้เปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องเมื่อเราเปลี่ยนแปลงกลยุทธ์ของผู้เล่นคนอื่น

คุณสมบัติดังกล่าวมีความน่าสนใจเมื่อพิจารณาจากทฤษฎีบทต่อไปนี้

ถ้าเซตไม่ว่างเปล่า นูนและกะทัดรัดและถ้าเป็นกึ่งเว้าในกึ่งต่อเนื่องบนในและต่อเนื่องในกราฟ แล้วเกมจะมีสมดุลแนชแบบกลยุทธ์ บริสุทธิ์${\displaystyle 1\leq i\leq N}$${\displaystyle A_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle U_{i}:A\longrightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle [(A_{i},U_{i});i=1,\ldots ,N]}$