ในคณิตศาสตร์วิเคราะห์ความต่อเนื่องกึ่ง (หรือsemi-continuity ) เป็นคุณสมบัติของฟังก์ชันค่าจริงแบบขยายซึ่งอ่อนกว่าความต่อเนื่องฟังก์ชันค่าจริงแบบขยายจะมีความต่อเนื่องกึ่งบน (หรือกึ่งล่าง ) ที่จุดหนึ่งถ้าโดยคร่าวๆ แล้ว ค่าของฟังก์ชันสำหรับตัวแปรใกล้เคียงจุดนั้นไม่สูงกว่า (หรือต่ำกว่า) มาก นัก กล่าว โดยย่อ ฟังก์ชันบนโดเมนหนึ่งจะมีความต่อเนื่องกึ่งล่าง ถ้า กราฟส่วนบนของ ฟังก์ชัน นั้น ปิดใน โดเมนนั้น และมีความต่อเนื่องกึ่งบน ถ้ามีความต่อเนื่องกึ่งล่าง ${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f\left(x_{0}\right).}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{(x,t)\in X\times \mathbb {R} :t\geq f(x)\}}$${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$${\displaystyle -f}$

ฟังก์ชันจะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อเป็นทั้งฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนและกึ่งต่อเนื่องล่าง ถ้าเราใช้ฟังก์ชันต่อเนื่องและเพิ่มค่าของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งเป็นค่าหนึ่งสำหรับค่า n บางค่า ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบน ถ้าเราลดค่าของฟังก์ชันลงเป็นค่าหนึ่ง ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่าง ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f\left(x_{0}\right)+c}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle f\left(x_{0}\right)-c}$

แนวคิดเรื่องฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนและล่างได้รับการนำเสนอและศึกษาครั้งแรกโดยRené Baireในวิทยานิพนธ์ของเขาในปี พ.ศ. 2442 ^{[ 1 ]}

สมมติตลอดทั้งบทความนี้ว่าเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีและเป็นฟังก์ชันที่มีค่าอยู่ใน จำนวน จริง ขยาย${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}=[-\infty ,\infty ]}$

ฟังก์ชันเรียกว่ากึ่งต่อเนื่องบนที่จุดถ้าสำหรับจำนวนจริงทุกตัวจะมีบริเวณใกล้เคียงของที่ทำให้สำหรับทุก[ ^{2 ] หรือ} เทียบเท่า ฟังก์ชันจะกึ่งต่อเนื่องบนที่ก็ต่อเมื่อ โดยที่ lim sup คือลิมิตบนของฟังก์ชันที่จุดซึ่งกำหนดเป็น โดย ที่ ค่า ต่ำ สุด คือค่าเหนือบริเวณใกล้เคียงทั้งหมดของจุด^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle x_{0}\in X}$${\displaystyle y>f\left(x_{0}\right)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f(x)<y}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$$${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)\leq f(x_{0})}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$$${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)=\inf _{x_{0}\in U}\sup _{x\in U}f(x)}$$${\displaystyle x_{0}}$

ถ้าเป็นปริภูมิเมตริกที่มีฟังก์ชันระยะทางและสามารถเขียนใหม่ได้โดยใช้ สูตร - คล้ายกับนิยามของฟังก์ชันต่อเนื่องกล่าวคือ สำหรับแต่ละจะมีที่ทำให้เมื่อใดก็ตามที่${\displaystyle X}$${\displaystyle d}$${\displaystyle f(x_{0})\in \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle f(x)<f(x_{0})+\varepsilon }$${\displaystyle d(x,x_{0})<\delta .}$

ฟังก์ชันจะเรียกว่ากึ่งต่อเนื่องบนหากเป็นไปตามเงื่อนไขที่เทียบเท่ากันต่อไปนี้: ^{[ 2 ]}${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

(1) ฟังก์ชันนี้เป็น ฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนที่ทุกจุดของโดเมน

(2) สำหรับแต่ละเซตเซตเปิดในโดยที่${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$${\displaystyle f^{-1}([-\infty ,y))=\{x\in X:f(x)<y\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [-\infty ,y)=\{t\in {\overline {\mathbb {R} }}:t<y\}}$

(3) สำหรับแต่ละเซตระดับสูงสุดจะปิดใน${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$${\displaystyle y}$${\displaystyle f^{-1}([y,\infty ))=\{x\in X:f(x)\geq y\}}$${\displaystyle X}$

(4) ไฮโปกราฟ ถูกปิดใน.${\displaystyle \{(x,t)\in X\times \mathbb {R} :t\leq f(x)\}}$${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$

(5) ฟังก์ชันจะต่อเนื่องเมื่อโคโดเมนได้รับโทโพโลยีลำดับซ้ายนี่เป็นเพียงการกล่าวซ้ำเงื่อนไข (2) เนื่องจากโทโพโลยีลำดับซ้ายถูกสร้างขึ้นโดยช่วงเวลาทั้งหมด${\displaystyle f}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle [-\infty ,y)}$

ฟังก์ชันเรียกว่าเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างที่จุดถ้าสำหรับทุกจำนวนจริงจะมีบริเวณใกล้เคียงของที่ทำให้สำหรับทุก หรือ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างที่จุด ก็ต่อเมื่อ โดยที่คือลิมิตล่างของฟังก์ชันที่จุด${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle x_{0}\in X}$${\displaystyle y<f\left(x_{0}\right)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f(x)>y}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$$${\displaystyle \liminf _{x\to x_{0}}f(x)\geq f(x_{0})}$$${\displaystyle \liminf }$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}.}$

ถ้าเป็นปริภูมิเมตริกที่มีฟังก์ชันระยะทางและสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: สำหรับแต่ละจะมีอยู่เช่นนั้นเมื่อใดก็ตามที่${\displaystyle X}$${\displaystyle d}$${\displaystyle f(x_{0})\in \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle f(x)>f(x_{0})-\varepsilon }$${\displaystyle d(x,x_{0})<\delta .}$

ฟังก์ชันจะเรียกว่าเป็น ฟังก์ชัน กึ่งต่อเนื่องล่าง (lower semicontinuous)หากฟังก์ชันนั้นเป็นไปตามเงื่อนไขเทียบเท่าข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้: ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

(1) ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างที่ทุกจุดของโดเมน

(2) สำหรับแต่ละเซตเซตเปิดในโดยที่${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$${\displaystyle f^{-1}((y,\infty ])=\{x\in X:f(x)>y\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (y,\infty ]=\{t\in {\overline {\mathbb {R} }}:t>y\}}$

( 3) สำหรับแต่ละ, - เซตย่อยระดับปิดใน .${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$${\displaystyle y}$${\displaystyle f^{-1}((-\infty ,y])=\{x\in X:f(x)\leq y\}}$${\displaystyle X}$

(4) จารึก ปิดใน. ^{[ 6 ] : 207} ${\displaystyle \{(x,t)\in X\times \mathbb {R} :t\geq f(x)\}}$${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$

(5) ฟังก์ชันจะต่อเนื่องเมื่อโคโดเมนได้รับโทโพโลยีลำดับที่ถูกต้องนี่เป็นเพียงการกล่าวซ้ำเงื่อนไข (2) เนื่องจากโทโพโลยีลำดับที่ถูกต้องถูกสร้างขึ้นโดยช่วงเวลาทั้งหมด${\displaystyle f}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle (y,\infty ]}$

พิจารณาฟังก์ชัน ที่กำหนด แบบเป็นช่วงดังนี้: ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนที่แต่ไม่ใช่ฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่าง ${\displaystyle f,}$$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}x<0,\\1&{\mbox{if }}x\geq 0\end{cases}}}$$${\displaystyle x_{0}=0,}$

ฟังก์ชันพื้น (floor function) ซึ่งส่งคืนจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับจำนวนจริงที่กำหนดให้ เป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนทุกที่ ในทำนองเดียวกันฟังก์ชันเพดาน (ceiling function)เป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่าง ${\displaystyle f(x)=\lfloor x\rfloor ,}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle f(x)=\lceil x\rceil }$

ความต่อเนื่องกึ่งบนและล่างไม่มีความสัมพันธ์กับความต่อเนื่องจากด้านซ้ายหรือจากด้านขวาสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรจริง ความต่อเนื่องกึ่งถูกกำหนดในแง่ของการเรียงลำดับในช่วงของฟังก์ชัน ไม่ใช่ในโดเมน^{[ 7 ]} ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน มีความต่อเนื่องกึ่งบนที่ ในขณะที่ลิมิตของฟังก์ชันจากด้านซ้ายหรือด้านขวาที่ศูนย์นั้นไม่มีอยู่จริง $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin(1/x)&{\mbox{if }}x\neq 0,\\1&{\mbox{if }}x=0,\end{cases}}}$$${\displaystyle x=0}$

ถ้าเป็นปริภูมิยุคลิด (หรือโดยทั่วไปคือปริภูมิเมตริก) และเป็นปริภูมิของเส้นโค้งใน(โดยมีระยะทางสูงสุด ) แล้วฟังก์ชันความยาวที่กำหนดความยาวให้กับเส้นโค้งแต่ละเส้นจะเป็นกึ่งต่อเนื่องล่าง^{[ 8 ]}ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาการประมาณเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วยด้วยบันไดจากด้านล่าง บันไดมีความยาว 2 เสมอ ในขณะที่เส้นทแยงมุมมีความยาวเพียง ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \Gamma =C([0,1],X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle d_{\Gamma }(\alpha ,\beta )=\sup\{d_{X}(\alpha (t),\beta (t)):t\in [0,1]\}}$${\displaystyle L:\Gamma \to [0,+\infty ],}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle L(\alpha ),}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

ตัวอย่างพื้นฐานในวิเคราะห์เชิงจริงคือทฤษฎีบทของฟาตู (Fatou's lemma ) ซึ่งกล่าวว่า ถ้าเป็นลำดับของฟังก์ชันที่วัด ได้และไม่เป็นลบ แล้ว โดย ที่ แทน ลิมิตล่าง ( แบบจุดต่อจุด ) ความหมายโดยทั่วไปคือ ถ้าเป็นปริภูมิการวัด และแทนเซตของฟังก์ชันที่วัดได้ที่เป็นบวกซึ่งมีโทโพโลยีของการลู่เข้าในการวัดเทียบกับแล้วปริพันธ์ ซึ่งมองว่าเป็นตัวดำเนินการจากไปยัง จะมีความต่อเนื่องกึ่งล่าง ${\displaystyle f_{n}}$$${\displaystyle \int \liminf f_{n}\leq \liminf \int f_{n}}$$${\displaystyle \liminf }$${\displaystyle (X,\mu )}$${\displaystyle L^{+}(X,\mu )}$${\displaystyle \mu ,}$${\displaystyle L^{+}(X,\mu )}$${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$

เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น ฟังก์ชันทั้งหมดด้านล่างนี้เป็นฟังก์ชันจากปริภูมิเชิงทอพอโลยี ไปยังจำนวนจริงขยายผลลัพธ์หลายอย่างใช้ได้กับความต่อเนื่องกึ่งคงที่ ณ จุดใดจุดหนึ่ง แต่เพื่อความกระชับ จึงกล่าวถึงเฉพาะความต่อเนื่องกึ่งคงที่ตลอดทั้งโดเมนเท่านั้น${\displaystyle X}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=[-\infty ,\infty ].}$

• ฟังก์ชันจะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนและกึ่งต่อเนื่องล่าง${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$
• ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะหรือฟังก์ชันบ่งชี้ของเซต(กำหนดโดยถ้าและถ้า) จะเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนก็ต่อเมื่อเป็นเซตปิดและจะเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างก็ต่อเมื่อเป็นเซตเปิด${\displaystyle A\subset X}$${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=1}$${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle x\notin A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$
• ในสาขาการวิเคราะห์ความนูน ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของเซตถูกนิยามแตกต่างกัน เช่นถ้าและถ้าด้วยนิยามนี้ ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของเซตปิด ใดๆ จะเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่าง และฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของเซตเปิด ใดๆ จะเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบน${\displaystyle A\subset X}$${\displaystyle \chi _{A}(x)=0}$${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle \chi _{A}(x)=\infty }$${\displaystyle x\notin A}$

อนุญาต. ${\displaystyle f,g:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

• ถ้าและเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่าง ผลรวมก็จะเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างเช่นกัน^{[ 9 ]} (โดยมีเงื่อนไขว่าผลรวมนั้นถูกกำหนดไว้อย่างดี กล่าวคือไม่ใช่รูปแบบที่ไม่แน่นอน ) หลักการเดียวกันนี้ใช้ได้กับฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนด้วย${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f+g}$${\displaystyle f(x)+g(x)}$${\displaystyle -\infty +\infty }$
• ถ้าและเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างและไม่เป็นลบ ฟังก์ชันผลคูณก็จะเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างเช่นกัน ผลลัพธ์ที่สอดคล้องกันนี้ใช้ได้กับฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนด้วย${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle fg}$
• ฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างก็ต่อเมื่อ ฟังก์ชันนั้น เป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบน${\displaystyle f}$${\displaystyle -f}$
• ถ้าและเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบน และเป็น ฟังก์ชันไม่ลดลงแล้วฟังก์ชันประกอบจะเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบน ในทางกลับกัน ถ้าไม่ใช่ฟังก์ชันไม่ลดลง แล้วอาจจะไม่ใช่ฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบน ตัวอย่างเช่นกำหนดให้ เป็น แล้วเป็น ฟังก์ชัน ต่อเนื่อง และ ซึ่งไม่ใช่ฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบน เว้นแต่ว่าจะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x)=-x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\circ g=-g}$${\displaystyle g}$
• ถ้าและเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่าง ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด (แบบจุดต่อจุด) ของฟังก์ชันเหล่านั้น (กำหนดโดยและ) ก็จะเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างเช่นกัน ดังนั้น เซตของฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างทั้งหมดจากไปยัง(หรือไปยัง) จึงก่อตัวเป็นแลตทิซข้อความที่สอดคล้องกันนี้ยังใช้ได้กับฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนด้วย${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle x\mapsto \max\{f(x),g(x)\}}$${\displaystyle x\mapsto \min\{f(x),g(x)\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

• ค่าสูงสุด (แบบจุดต่อจุด) ของตระกูลฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างที่กำหนดโดย) นั้นเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่าง^{[ 10 ]}${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle f_{i}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle f(x)=\sup\{f_{i}(x):i\in I\}}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ลิมิตของลำดับ ฟังก์ชันต่อเนื่อง ที่เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องจะเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่าง (ทฤษฎีบทของแบร์ด้านล่างให้บทกลับบางส่วน) ฟังก์ชันลิมิตโดยทั่วไปจะเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างเท่านั้น ไม่ใช่ฟังก์ชันต่อเนื่อง ตัวอย่างหนึ่งคือฟังก์ชันที่กำหนดสำหรับ${\displaystyle f_{1}\leq f_{2}\leq f_{3}\leq \cdots }$${\displaystyle f_{n}(x)=1-(1-x)^{n}}$${\displaystyle x\in [0,1]}$${\displaystyle n=1,2,\ldots .}$

ในทำนองเดียวกัน ค่าต่ำสุดของตระกูลฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนใดๆ ก็เป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนเช่นกัน และลิมิตของ ลำดับฟังก์ชันต่อเนื่องที่ลดลงอย่างต่อเนื่อง ก็เป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนด้วย

• ถ้าเป็นปริภูมิกระชับ (เช่น ช่วงปิดที่มีขอบเขต) และเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบน แล้วจะมีค่าสูงสุดบนถ้าเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างบนจะมีค่าต่ำสุดบน${\displaystyle C}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f:C\to {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C,}$${\displaystyle C.}$

( การพิสูจน์กรณีเซมิคอนทินิวอัสบน : โดยเงื่อนไข (5) ในนิยามจะต่อเนื่องเมื่อกำหนดโทโพโลยีลำดับซ้ายให้ ดังนั้นภาพของมันจะเป็นเซตกระชับในโทโพโลยีนั้น และเซตกระชับในโทโพโลยีนั้นก็คือเซตที่มีค่าสูงสุด สำหรับการพิสูจน์ทางเลือกอื่น โปรดดูบทความเกี่ยวกับทฤษฎีบทค่าสุดขีด )${\displaystyle f}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle f(C)}$

• ( ทฤษฎีบทของแบร์ ) ^{[หมายเหตุ 1 ]}ให้เป็นปริภูมิเมตริกฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างทุกฟังก์ชัน เป็นลิมิตของลำดับ ที่เพิ่มขึ้นแบบจุดต่อจุด ของฟังก์ชันต่อเนื่องค่าจริงที่ขยายบน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีลำดับของฟังก์ชันต่อเนื่องอยู่เช่นนั้น${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \{f_{i}\}}$${\displaystyle f_{i}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

$${\displaystyle f_{i}(x)\leq f_{i+1}(x)\quad \forall x\in X,\ \forall i=0,1,2,\dots }$$และ

$${\displaystyle \lim _{i\to \infty }f_{i}(x)=f(x)\quad \forall x\in X.}$$

ถ้าไม่รับค่าฟังก์ชันต่อเนื่องสามารถถือเป็นค่าจริงได้^{[ 11 ] [ 12 ]}${\displaystyle f}$${\displaystyle -\infty }$

นอกจากนี้ ฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนทุกฟังก์ชันจะเป็นลิมิตของ ลำดับ ลดลงแบบโมโนโทนของฟังก์ชันต่อเนื่องค่าจริงที่ขยายออกไปบนถ้า ฟังก์ชันต่อเนื่องนั้น ไม่มีค่าเป็นจำนวนจริง${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle X;}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \infty ,}$

• ฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนใดๆบนปริภูมิเชิงทอพอโลยี ใดๆ จะมีค่าคงที่เฉพาะที่บนเซตย่อยเปิดหนาแน่นบางส่วนของ ปริภูมิเชิงทอพอโลยีนั้น${\displaystyle f:X\to \mathbb {N} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

• ถ้าปริภูมิเชิงทอพอโลยีเป็นแบบลำดับ ฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนก็ต่อเมื่อเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนแบบลำดับ กล่าวคือ ถ้าสำหรับทุกและลำดับใดๆที่ลู่เข้าสู่จะเป็น จริง หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง ในปริภูมิแบบลำดับ ฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนก็ต่อเมื่อเซตระดับบนของมันเป็นเซตปิดแบบลำดับสำหรับทุกโดยทั่วไป ฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนจะเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนแบบลำดับ แต่ข้อความกลับอาจไม่เป็นจริง${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle (x_{n})_{n}\subset X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }f(x_{n})\leqslant f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \{\,x\in X\,|\,f(x)\geqslant y\,\}}$${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$

สำหรับฟังก์ชันค่าเซตมีแนวคิดเรื่องความต่อเนื่องกึ่งหลายแบบที่ได้รับการกำหนดไว้ ได้แก่ ความต่อเนื่องกึ่งบน ความต่อเนื่อง กึ่งล่าง ความต่อเนื่อง กึ่งภายนอกและ ความต่อเนื่องกึ่ง ภายในรวมถึงความต่อเนื่องกึ่งบนและกึ่งล่างฟังก์ชันค่าเซตจากเซตหนึ่งไปยังอีกเซตหนึ่งเขียนได้ ดังนี้ สำหรับแต่ละฟังก์ชันจะกำหนดเซตหนึ่ง ภาพผกผันของเซตภายใต้จะถูกกำหนดเป็น นั่นคือคือเซตที่ประกอบด้วยทุกจุดในซึ่งไม่ทับซ้อนกับ^{[ 13 ]}${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle F:A\rightrightarrows B.}$${\displaystyle x\in A,}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F(x)\subset B.}$${\displaystyle S\subset B}$${\displaystyle F}$$${\displaystyle F^{-1}(S):=\{x\in A:F(x)\cap S\neq \varnothing \}.}$$${\displaystyle F^{-1}(S)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle S}$

แผนที่ค่าเซตจะมีความต่อเนื่องกึ่งบนที่ถ้าสำหรับทุกเซตเปิดที่ จะมีย่านใกล้เคียงของที่ ซึ่ง^{[ 13 ] : นิยาม 2.1} ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle F(x)\subset U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F(V)\subset U.}$

แผนที่ค่าเซตจะมีความต่อเนื่องกึ่งล่างที่ถ้าสำหรับทุกเซตเปิดที่มีบริเวณใกล้เคียงของที่^{[ 13 ] : นิยาม 2.2} ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x\in F^{-1}(U),}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V\subset F^{-1}(U).}$

ความต่อเนื่องกึ่งค่าเซตบนและล่างยังถูกกำหนดโดยทั่วไปมากขึ้นสำหรับแผนที่ค่าเซตระหว่างพื้นที่โทโพโลยีโดยการแทนที่และในคำจำกัดความข้างต้นด้วยพื้นที่โทโพโลยีตามอำเภอใจ^{[ 13 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

โปรดทราบว่าไม่มีความสัมพันธ์โดยตรงระหว่างความต่อเนื่องกึ่งล่างและกึ่งบนแบบค่าเดียวและความต่อเนื่องกึ่งล่างและกึ่งบนแบบเซตค่า ฟังก์ชันค่าเดียวที่มีความต่อเนื่องกึ่งบนไม่จำเป็นต้องมีความต่อเนื่องกึ่งบนเมื่อพิจารณาเป็นแผนที่แบบเซตค่า^{[ 13 ] : 18} ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันที่กำหนดโดย มีความต่อเนื่องกึ่งบนในความหมายแบบค่าเดียว แต่แผนที่แบบเซตค่าไม่มีความต่อเนื่องกึ่งบนในความหมายแบบเซตค่า ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}x<0,\\1&{\mbox{if }}x\geq 0\end{cases}}}$$${\displaystyle x\mapsto F(x):=\{f(x)\}}$

ฟังก์ชันค่าเซตเรียกว่ากึ่งต่อเนื่องภายในที่ถ้าสำหรับทุกและทุกลำดับลู่เข้าในที่มีลำดับในที่และสำหรับค่า ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอทั้งหมด^{[ 14 ] [หมายเหตุ 2 ]}${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y\in F(x)}$${\displaystyle (x_{i})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle x_{i}\to x}$${\displaystyle (y_{i})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle y_{i}\to y}$${\displaystyle y_{i}\in F\left(x_{i}\right)}$${\displaystyle i\in \mathbb {N} .}$

ฟังก์ชันค่าเซตเรียกว่ากึ่งต่อเนื่องภายนอกที่ถ้าสำหรับลำดับการลู่เข้าทุกตัวในที่และลำดับการลู่เข้าทุกตัวในที่สำหรับแต่ละลำดับจะลู่เข้าสู่จุดใน(นั่นคือ) ^{[ 14 ]}${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (x_{i})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle x_{i}\to x}$${\displaystyle (y_{i})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle y_{i}\in F(x_{i})}$${\displaystyle i\in \mathbb {N} ,}$${\displaystyle (y_{i})}$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle \lim _{i\to \infty }y_{i}\in F(x)}$

เนื่องจากค่าสูงสุดของตระกูลฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่าง ถ้าเป็นฟังก์ชันค่าจริงขยายใดๆ บนปริภูมิโทโพโลยีค่าสูงสุดของเซตของฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างที่ครอบงำโดย จะ เป็น ^{ฟังก์ชัน}กึ่งต่อเนื่องล่าง ฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างที่ครอบงำโดย นี้ คือ ฮัลล์กึ่งต่อเนื่องล่างของ^{[ 15} ] ฮัลล์ถูกกำหนดแบบจุดต่อจุดโดยความสัมพันธ์^{[ 16 ]} ฮัลล์มีคุณสมบัติว่าเอพิกราฟของมันคือการปิดของเอพิกราฟของ ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle H_{f}}$$${\displaystyle H_{f}(x)=\liminf _{y\to x}f(y).}$$${\displaystyle H_{f}}$${\displaystyle f}$

ขอบเขตกึ่งต่อเนื่องล่างมีบทบาทสำคัญในการวิเคราะห์ความนูนเมื่อกำหนดฟังก์ชันนูน (จำนวนจริงที่ขยายออกไป) แล้ว กราฟด้านบนอาจไม่ปิด แต่ขอบเขตกึ่งต่อเนื่องล่างของฟังก์ชันนูนนั้นเป็นฟังก์ชันนูน และเรียกว่าการปิดของฟังก์ชันนูนดั้งเดิม

การดำเนินการบางอย่างในการวิเคราะห์ความนูน เช่นการแปลงเลอจองเดอร์จะสร้างฟังก์ชันนูนปิดโดยอัตโนมัติ การแปลงเลอจองเดอร์ที่ใช้กับฟังก์ชันนูนสองครั้งจะให้ผลลัพธ์เป็นการปิดของฟังก์ชันเดิม ไม่ใช่ฟังก์ชันเดิม ดังนั้น ขอบล่างกึ่งต่อเนื่องจึงเป็นวิธีหนึ่งในการทำให้ฟังก์ชันนูนเป็นระเบียบ โดยการปรับเปลี่ยนฟังก์ชันที่จุดขอบของโดเมนที่มีประสิทธิภาพ

ในแง่ของหมวดหมู่ ขอบเขตกึ่งต่อเนื่องล่างของฟังก์ชันคือส่วนขยาย Kan (ซ้าย) ของตามการรวมของโพเซตของย่านใกล้เคียงแบบเปิด (เรียงลำดับโดยการรวมแบบย้อนกลับ) เข้าสู่พื้นที่โทโพโลยีโดยชัดเจน ค่าของขอบเขตที่จุดหนึ่งจะได้รับจากโคลิมิต ซึ่งตรงกับส่วนขยาย Kan ซ้ายภายใต้ฟังก์ชันการรวมในการกำหนดสูตรนี้ กระบวนการของการใช้ซองกึ่งต่อเนื่องเป็นกรณีพิเศษของกลไกการขยาย Kan ในทฤษฎีหมวดหมู่ที่เสริม ขอบเขตกึ่งต่อเนื่องบนเป็นส่วนขยาย Kan ขวา^{[ 17 ]}${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H_{f}}$${\displaystyle x\in X}$$${\displaystyle (\mathrm {Lan} _{\iota }f)(x)=\inf _{U\ni x}\sup _{y\in U}f(y),}$$${\displaystyle \liminf _{y\to x}f(y)}$${\displaystyle \iota }$

มักมีการพิจารณาประเภทของเปลือกหุ้มอื่นๆ ในการใช้งาน ตัวอย่างเช่น ค่าต่ำสุดของเซตของฟังก์ชันเชิง เส้นต่อเนื่อง ที่ครอบงำฟังก์ชันที่กำหนดบนเซตย่อยนูนของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบน ข้อเท็จจริงนี้ใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทChoquet ^{[ 18 ]}แนวคิดที่คล้ายกันที่ใช้กับฟังก์ชันย่อยฮาร์มอนิกใช้ในวิธีการของ Perronสำหรับการแก้ปัญหา Dirichletสำหรับตัวดำเนินการ Laplaceในโดเมน เงื่อนไขสำคัญสำหรับคลาสของคำตอบย่อยฮาร์มอนิกคือความเป็นกึ่งต่อเนื่องบน โดยเฉพาะอย่างยิ่งใกล้ขอบเขตที่ใช้เงื่อนไขขอบเขต

การประยุกต์ใช้ที่สำคัญของความต่อเนื่องกึ่งคือแคลคูลัสของการแปรผันความสำคัญในบริบทนี้เกิดจากทฤษฎีบทต่อไปนี้^{[ 19 ]}ให้เป็นปริภูมิเชิงโทโพโลยี และลำดับที่ลดค่าต่ำสุดคือลำดับในเช่นนั้น ทฤษฎีบทคือ ถ้าเป็นลำดับที่ต่อเนื่องกึ่งล่าง และเป็นลำดับที่ลดค่าต่ำสุดที่ลู่เข้าสู่แล้ว นั่นคือเป็นค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของ ${\displaystyle X}$${\displaystyle F:X\to (-\infty ,+\infty ]}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle \lim _{k\to \infty }F(x_{k})=\inf _{X}F.}$$${\displaystyle F}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle x_{0}}$$${\displaystyle F(x_{0})=\inf _{X}F.}$$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle F}$

ผลลัพธ์เหล่านี้มักถูกนำไปรวมกับผลลัพธ์อื่นๆ เช่นทฤษฎีบทของ Tonelliในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันซึ่งอธิบาย ความต่อเนื่องกึ่งล่างที่ อ่อนแอของฟังก์ชันไม่เชิงเส้น บนปริภูมิL ^pโดยพิจารณาจากความนูนของฟังก์ชันอื่น ผลลัพธ์ที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้นในลักษณะนี้มีประโยชน์ในการกำหนดรูปแบบแปรผันของปัญหาในสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยซึ่งเชื่อมโยงความต่อเนื่องกึ่งของฟังก์ชันที่กำหนดโดยการอินทิเกรตกับคุณสมบัติความนูนของตัวถูกอินทิเกรต ซึ่งมักกำหนดบนปริภูมิ Sobolev บางแห่ง ตัวอย่างต้นแบบคือปัญหา Dirichletสำหรับตัวดำเนินการ Laplaceซึ่งสามารถกำหนดเป็นปัญหาการลดค่าพลังงาน ให้เหลือน้อยที่สุด ภายใต้เงื่อนไขขอบเขต กล่าว คือ อินทิกรัลของค่ากำลังสองของนอร์มของเกรเดียนต์ของฟังก์ชันบนโดเมนที่มีขอบเขตในปริภูมิยุคลิด ตัวถูกอินทิเกรตมีความนูนในปริภูมิ Sobolev ที่เหมาะสม ดังนั้นลิมิตของลำดับที่ลดค่าให้เหลือน้อยที่สุดจึงเป็นคำตอบของปัญหา Dirichlet สิ่งนี้มีนัยสำคัญ ตัวอย่างเช่น สำหรับ วิธีการแก้ปัญหาด้วยวิธีไฟ ไนต์เอเลเมนต์ซึ่งเป็นวิธีในการสร้างลำดับการลดค่าให้น้อยที่สุด $${\displaystyle F(u)=\int _{\Omega }|\nabla u|^{2},}$$

ร่วมกับสมมติฐานความนูน ทั้งความต่อเนื่องกึ่งบนและล่างมีบทบาทในทฤษฎีบทที่รับประกันการมีอยู่ของจุดอานม้าของฟังก์ชันบนปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบ นูนเฉพาะ ที่ ผลลัพธ์หนึ่งดังกล่าวคือ ทฤษฎีบทมินิแม็ ^กซ์ของ Fan และ Sion ^{[ 20} ] ซึ่งระบุว่าถ้าเป็นฟังก์ชันจากเซตปิดนูนที่ไม่ว่างเปล่าคู่หนึ่งที่อยู่ในปริภูมิ Banach แบบสะท้อนกลับ โดยที่ ${\displaystyle f:X\times Y\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X,Y}$

• ${\displaystyle f(x,\cdot )}$มีลักษณะเว้าและกึ่งต่อเนื่องด้านบนสำหรับแต่ละและ${\displaystyle x\in X}$
• ${\displaystyle f(\cdot ,y)}$เป็นฟังก์ชันนูนและกึ่งต่อเนื่องล่างสำหรับแต่ละค่า${\displaystyle y\in Y}$

ดังนั้นเซตของจุดอานม้าของ จึงเป็นเซตแบบนูน ถ้าทั้งความนูนและความเว้าเป็นแบบเข้มงวด จะมีจุดอานม้าอย่างมากที่สุดหนึ่งจุด ถ้าเซตและมีขอบเขต เซตของจุดอานม้าจะไม่ว่างเปล่า จุดอานม้าตามนิยามคือจุดที่ ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$$${\displaystyle f(x_{0},y_{0})=\inf _{x\in X}\sup _{y\in Y}f(x,y)=\sup _{y\in Y}\inf _{x\in X}f(x,y).}$$

ฟังก์ชันค่าจำนวนเต็มที่สำคัญหลายฟังก์ชันก็เป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องด้วยเช่นกัน ตัวอย่างง่ายๆ สมมติว่าเรามีทรงหลายเหลี่ยม (หรือโดยทั่วไปแล้วคือเซตปิดนูน) ในปริภูมิเวกเตอร์มิติ n หน้าของทรงหลายเหลี่ยมนั้น ตามนิยามแล้วคือเซตของค่าสูงสุดของฟังก์ชันเชิงเส้นบางตัวบนทรงหลายเหลี่ยม นั้น กำหนดฟังก์ชัน แล้วจะเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่าง นี่เป็นเพราะโดยสัญชาตญาณแล้ว ภายใต้การรบกวนเล็กน้อยใดๆ คุณสามารถเคลื่อนจากหน้าที่มีมิติต่ำกว่า เช่น ขอบหรือจุดยอด ไปยังหน้าที่มีมิติสูงกว่าได้ แต่จุดใดๆ บนหน้าที่มีมิติสูงกว่าจะไม่สามารถเคลื่อนไปยังหน้าที่มีมิติต่ำกว่าได้หากการรบกวนนั้นเล็กพอ ${\displaystyle K}$${\displaystyle n}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$$${\displaystyle f(x)=\inf\{\dim F|F{\text{ is a face of }}K{\text{ and }}x\in F\}.}$$${\displaystyle f}$

อีกตัวอย่างหนึ่งที่มีลักษณะคล้ายกันคืออันดับของเมทริกซ์เป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างบนปริภูมิของเมทริกซ์ เนื่องจากอันดับสามารถเพิ่มขึ้นได้ที่เมทริกซ์ที่อยู่ใกล้เคียง แต่ไม่สามารถลดลงได้ ด้วยเหตุนี้ ร่วมกับทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยายเมื่อกลุ่ม Lieกระทำอย่างราบรื่นบนแมนิโฟลด์เรียบ มิติของวงโคจรผ่านจุดหนึ่งจะเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่าง (กล่าวคือ ฟังก์ชัน) ^{[ 21 ]}${\displaystyle n\times m}$${\displaystyle f(x)=\dim(G\cdot x)}$

แนวคิดที่ซับซ้อนกว่านี้มีบทบาทสำคัญในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตโดยที่แผนที่มิติหลายมิติที่มีโดเมนร่วมอยู่ในจำนวนเต็มเป็นที่ทราบกันดีว่าเป็นแบบกึ่งต่อเนื่อง (ตัวอย่างเช่น เมื่อนำไปใช้กับทรงนิวตัน-โอคุนคอฟ )

โดยทั่วไป ให้และเป็นแผนผังและ เป็น มอร์ฟิซึมแบบแบนและเหมาะสมของการนำเสนอแบบจำกัด ให้เป็นโมดูลแบบแบน และมีการนำเสนอแบบจำกัดเหนือแล้วสำหรับฟังก์ชัน ใดๆ จะเป็นกึ่งต่อเนื่อง บน ^{[ 22 ]}กรณีพิเศษที่สำคัญของทฤษฎีบทนี้ เมื่อ นอกจากนี้ ยังเป็นโนเธอร์ เรียน เป็นโปรเจคทีฟ และ เป็นโคฮีเร นต์ สามารถพบได้ในตำรามาตรฐานของHartshorne ^{[ 23 ] : 288} งานดั้งเดิมในภาษาของไฮเปอร์โคโฮโมโลยีสามารถพบได้ในEGA III ^{[ 24 ]} Théorème (7.7.5) โดยอ้างอิงถึงงานก่อนหน้า โดยเฉพาะGrauertสำหรับการตั้งค่าเชิงวิเคราะห์เชิงซ้อน ${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f:X\to S}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$$${\displaystyle h^{i}:S\to \mathbb {Z} _{\geq 0},s\mapsto {\text{dim}}_{\kappa (s)}H^{i}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$$${\displaystyle X,S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

ให้เป็นแผนผังและเป็นมอร์ฟิซึมของประเภทจำกัด ฟังก์ชัน จะเชื่อมโยง มิติของไฟเบอร์ กับ ใดๆถ้าเป็นมอร์ฟิซึมแบบราบของแผนผังที่มีการนำเสนอแบบจำกัด แล้วจะเป็นกึ่งต่อเนื่องล่าง^{[ 25 ]}ถ้าเป็นมอร์ฟิซึมที่เหมาะสมของแผนผัง แล้วจะเป็นกึ่งต่อเนื่องบน^{[ 26 ]}${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$$${\displaystyle n_{X/Y}:Y\to \mathbb {Z} _{\geq 0}\cup \{\infty \},y\mapsto {\text{dim}}_{\text{top}}X_{y}}$$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle X_{y}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle n_{X/Y}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle n_{X/Y}}$

Vakilได้รวบรวมรายการผลลัพธ์กึ่งต่อเนื่องเพิ่มเติมในเรขาคณิตพีชคณิต^{[ 27 ]}

ฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องถูกใช้ในทฤษฎีเซตเชิงพรรณนาเพื่อกำหนดการแบ่งชั้นของพื้นที่โทโพโลยีโดยใช้มาตรวัดความซับซ้อน เช่นมิติอันดับหรือความสูงเชิงลำดับ[ ^{28 ] [ 29 ] [ 30 ] ฟังก์ชัน}ดังกล่าวมักจะมีค่าเป็นเชิงลำดับและความกึ่งต่อเนื่องของฟังก์ชันเหล่านี้ทำให้มั่นใจได้ว่าเซตเหล่านั้นเป็นเซตปิด (และด้วยเหตุนี้จึงเป็นเซต Borelในพื้นที่ Polish ) ${\displaystyle \{x:f(x)\geq \alpha \}}$

ตัวอย่างสำคัญประการหนึ่งคือฟังก์ชันอันดับ (rank function) บนต้นไม้ที่มีรากฐานที่ดี (well-founded trees) ให้เป็นต้นไม้ที่เข้ารหัสด้วยจุด ในปริภูมิแบร์ (Baire space ) อันดับถูกกำหนดให้เป็นค่าสูงสุดของความยาวของลำดับที่ลดลงในฟังก์ชันที่กำหนดอันดับให้กับแต่ละต้นไม้เป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่าง (lower semicontinuous)เมื่อเทียบกับโทโพโลยีตามธรรมชาติของรหัสต้นไม้ อันดับนี้แบ่งปริภูมิของต้นไม้เป็นเซตปิดในลักษณะเดียวกับที่อันดับของ เมทริกซ์แบ่งปริภูมิ${\displaystyle {\mathcal {T}}\subseteq \omega ^{<\omega }}$${\displaystyle \omega ^{\omega }}$${\displaystyle \rho ({\mathcal {T}})\in \omega _{1}\cup \{\infty \}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle \rho ({\mathcal {T}})}$${\displaystyle \{{\mathcal {T}}:\rho ({\mathcal {T}})\geq \alpha \}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times m}}$

โดยทั่วไปแล้วฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างที่มีค่าเป็นลำดับจะถูกใช้เพื่อวัดความซับซ้อนของจุดหรือโครงสร้างในปริภูมิโปแลนด์เช่นอันดับสก็อตต์ของโครงสร้างที่นับได้ อันดับเชิงฉายของเซต หรือความซับซ้อนของลูซิน-โนวิคอฟของความสัมพันธ์สมมูล ฟังก์ชันเหล่านี้ช่วยให้สามารถจำแนกประเภทได้อย่างละเอียด และมีความสำคัญอย่างยิ่งในการกำหนดเซตสากลและการกำหนดพารามิเตอร์ที่มีประสิทธิภาพในระดับที่สูงขึ้นของลำดับชั้นเชิงฉาย

เนื่องจากภาพผกผันของช่วงภายใต้ฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างเป็นเซตปิด ฟังก์ชันดังกล่าวจึงทำให้เกิดการแบ่งชั้นเชิงแคนอนิกของปริภูมิเชิงทอพอโลยีออกเป็นส่วนปิด (ดังนั้นจึงเป็นแบบบอเรล) ที่มีความซับซ้อนเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ คุณสมบัตินี้มักถูกนำไปใช้ในการพิสูจน์หลักการสะท้อนทฤษฎีบทการแยกและในการจำแนกความสัมพันธ์สมมูลแบบบอเรลอย่าง มีประสิทธิภาพ${\displaystyle [\alpha ,\infty ]}$

ในทฤษฎีเออร์โกดิกและพลวัตเชิงทอพอโลยี ความต่อเนื่องกึ่งเกิดขึ้นตามธรรมชาติเมื่อศึกษาฟังก์ชันบนพื้นที่ของการวัดที่ไม่เปลี่ยนแปลงของระบบพลวัตตัวอย่างที่สำคัญที่สุดคือฟังก์ชันเอนโทรปี ซึ่งกำหนด เอนโทรปีเชิงทฤษฎีการวัดให้กับการวัดที่ไม่เปลี่ยนแปลงแต่ละรายการ^{[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]}

ให้เป็นระบบพลวัตเชิงทอพอโลยีที่มีขนาดกะทัดรัดและต่อเนื่อง ปริภูมิของการวัดความน่าจะเป็นแบบบอเรลที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ - เป็นเซตย่อยนูนขนาดกะทัดรัดของปริภูมิคู่ของภายใต้ทอพอโลยีแบบอ่อน-* แผนที่เอนโทรปีเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบน บน: ${\displaystyle (X,T)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T:X\to X}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{T}(X)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle C(X)}$${\displaystyle \mu \mapsto h_{\mu }(T)}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{T}(X)}$$${\displaystyle \limsup _{\mu _{n}\to \mu }h_{\mu _{n}}(T)\leq h_{\mu }(T).}$$

คุณสมบัตินี้มีบทบาทสำคัญในหลักการแปรผันซึ่งยืนยันว่าเอนโทรปีเชิงโทโพโลยีคือค่าสูงสุดของมาตรวัดไม่แปรเปลี่ยนทั้งหมด ความต่อเนื่องกึ่งบนรับประกันว่าค่าสูงสุดนี้จะเกิดขึ้นเมื่อปริภูมิของมาตรวัดเป็นปริภูมิกระชับ ${\displaystyle h_{\mathrm {top} }(T)}$${\displaystyle h_{\mu }(T)}$

โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันนัลที่น่าสนใจหลายอย่าง เช่นเลขชี้กำลัง Lyapunovสเปกตรัมมิติ หรือ สถิติ เวลาการกลับมาล้วนเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนปริภูมิของการวัดแบบไม่เปลี่ยนแปลง ในบางกรณี คุณสมบัติกึ่งต่อเนื่องเหล่านี้ถูกนำมาใช้เพื่อพิสูจน์การมีอยู่ของการวัดที่ทำให้ปริมาณที่กำหนดมีค่าสูงสุดหรือต่ำสุด หรือเพื่อสร้างคุณสมบัติเชิงโครงสร้างของซิมเพล็กซ์ (เช่น การวัดแบบเออร์โกดิกก่อให้เกิดเซตตกค้างที่มีความหนาแน่นสูง) ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{T}(X)}$${\displaystyle G_{\delta }}$

แนวคิดที่คล้ายกันนี้ปรากฏในทฤษฎีการเชื่อมต่อ (joinings theory ) ซึ่งศึกษาการเชื่อมโยงที่ไม่เปลี่ยนแปลงระหว่างระบบต่างๆ เซตของการเชื่อมต่อเป็นเซตกระชับในโทโพโลยีแบบอ่อน-* (weak-* topology) และความต่อเนื่องแบบกึ่ง (semicontinuity) ถูกนำมาใช้ในการวิเคราะห์การแยกออกจากกันและความเป็นเอกลักษณ์ของการเชื่อมโยงที่ไม่เปลี่ยนแปลง

• ความต่อเนื่องเชิงทิศทาง  – ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่ไม่มีการเปลี่ยนแปลงอย่างฉับพลันPages displaying short descriptions of redirect targets
• ทฤษฎีบทการแทรกของ Katětov–Tong  – เกี่ยวกับการมีอยู่ของฟังก์ชันต่อเนื่องระหว่างขอบเขตบนและล่างแบบกึ่งต่อเนื่อง
• ความต่อเนื่องครึ่งหนึ่ง  – ความต่อเนื่องแบบกึ่งสำหรับฟังก์ชันค่าเซต
• Càdlàg  – ฟังก์ชันต่อเนื่องทางขวาที่มีขีดจำกัดทางซ้าย

• Aubin, Jean-Pierre (1998). จุดเหมาะสมและสมดุล (ฉบับที่ 2). Springer.
• Benesova, B.; Kruzik, M. (2017). "ความต่อเนื่องกึ่งล่างที่อ่อนแอของฟังก์ชันเชิงอินทิกรัลและการประยุกต์ใช้" SIAM Review . 59 (4): 703– 766. arXiv : 1601.00390 . doi : 10.1137/16M1060947 . S2CID  119668631 .
• Bourbaki, Nicolas (1998a). องค์ประกอบของคณิตศาสตร์ : โทโพโลยีทั่วไป, 1–4 . Springer. ISBN 0-201-00636-7.
• Bourbaki, Nicolas (1998b). องค์ประกอบของคณิตศาสตร์: โทโพโลยีทั่วไป, 5–10 . Springer. ISBN 3-540-64563-2.
• Ekeland; Témam (1999), การวิเคราะห์เชิงนูนและปัญหาเชิงแปรผัน , คลาสสิกในคณิตศาสตร์ประยุกต์, เล่มที่ 28, SIAM
• เองเกลคิง, ริสซาร์ด (1989) โทโพโล ยีทั่วไปเฮลเดอร์มันน์ แวร์ลัก, เบอร์ลินไอเอสบีเอ็น 3-88538-006-4.
• Gelbaum, Bernard R. ; Olmsted, John MH (2003). ตัวอย่างค้านในการวิเคราะห์ . สำนักพิมพ์ Dover. ISBN 0-486-42875-3.
• Giusti (2003), วิธีการโดยตรงในแคลคูลัสของการแปรผัน , World Scientific
• Hyers, Donald H.; Isac, George; Rassias, Themistocles M. (1997). หัวข้อในการวิเคราะห์เชิงไม่เชิงเส้นและการประยุกต์ใช้ . World Scientific. ISBN 981-02-2534-2.
• ร็อกกาเฟลลาร์ (1970), การวิเคราะห์แบบนูน
• ร็อกกาเฟลลาร์; เวทส์ (1997), การวิเคราะห์เชิงแปรผัน
• เฟลป์ส (1966), บรรยายเกี่ยวกับทฤษฎีบทโชเกต์
• Stromberg, Karl (1981). บทนำสู่การวิเคราะห์เชิงจริงแบบคลาสสิก . Wadsworth. ISBN 978-0-534-98012-2.
• วิลลาร์ด, สตีเฟน (2004) [1970]. โทโพโลยีทั่วไป . ไมเนโอลา, นิวยอร์ก : สำนักพิมพ์โดเวอร์ . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240 .
• Zălinescu, Constantin (30 กรกฎาคม 2545). การวิเคราะห์ความนูนในปริภูมิเวกเตอร์ทั่วไป . River Edge, NJ ลอนดอน: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1921556 . OCLC  285163112 – ผ่านทางInternet Archive .