วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์ ( FEM ) เป็นวิธีที่ได้รับความนิยมในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงตัวเลขที่เกิดขึ้นในงานวิศวกรรมและการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สาขาปัญหาที่น่าสนใจโดยทั่วไป ได้แก่การวิเคราะห์โครงสร้างการถ่ายเทความร้อนการไหลของของเหลวการขนส่งมวล และศักย์แม่เหล็กไฟฟ้า โดยปกติแล้วจะใช้คอมพิวเตอร์ในการคำนวณ ด้วย ซูเปอร์คอมพิวเตอร์ความเร็วสูงทำให้ได้ผลลัพธ์ที่ดีกว่า และมักจำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาที่ใหญ่ที่สุดและซับซ้อนที่สุด

FEM เป็นวิธีการเชิงตัวเลข ทั่วไป สำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยในตัวแปรเชิงพื้นที่สองหรือสามตัว (เช่นปัญหาค่าขอบเขต บางอย่าง ) นอกจากนี้ยังมีการศึกษาเกี่ยวกับการใช้ FEM เพื่อแก้ปัญหาที่มีมิติสูง^{[ 1 ]}ในการแก้ปัญหา FEM จะแบ่งระบบขนาดใหญ่ออกเป็นส่วนย่อยที่เล็กกว่าและง่ายกว่าที่เรียกว่าองค์ประกอบไฟไนต์ ซึ่งทำได้โดย การแบ่งส่วนเชิงพื้นที่เฉพาะในมิติเชิงพื้นที่ ซึ่งดำเนินการโดยการสร้างตาข่ายของวัตถุ: โดเมนเชิงตัวเลขสำหรับคำตอบที่มีจำนวนจุดจำกัด การกำหนดสูตร FEM ของปัญหาค่าขอบเขตในที่สุดจะส่งผลให้เกิดระบบสมการพีชคณิตวิธีการนี้จะประมาณฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าเหนือโดเมน^{[ 2 ]}จากนั้นสมการง่ายๆ ที่จำลององค์ประกอบไฟไนต์เหล่านี้จะถูกประกอบเข้าด้วยกันเป็นระบบสมการที่ใหญ่กว่าซึ่งจำลองปัญหาทั้งหมด จากนั้น FEM จะประมาณคำตอบโดยการลดฟังก์ชันข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้องให้เหลือน้อยที่สุดผ่าน แคลคูลัสของ การ แปรผัน

การศึกษาหรือวิเคราะห์ปรากฏการณ์โดยใช้ FEM มักเรียกว่าการวิเคราะห์องค์ประกอบจำกัด (Finite Element Analysis หรือ FEA)

แบบจำลอง FEM ที่สร้างขึ้นโดยนักวิเคราะห์ก่อนที่จะหาทางแก้ไข ปัญหา ทางแม่เหล็กโดยใช้ซอฟต์แวร์ FEM สีต่างๆ แสดงถึงคุณสมบัติของวัสดุที่นักวิเคราะห์กำหนดไว้สำหรับแต่ละโซน ในกรณีนี้ ขดลวด ตัวนำเป็นสีส้ม ส่วนประกอบ เฟอร์โรแมกเนติก (อาจเป็นเหล็ก ) เป็นสีฟ้าอ่อน และอากาศเป็นสีเทา แม้ว่ารูปทรงเรขาคณิตอาจดูเรียบง่าย แต่การคำนวณสนามแม่เหล็กสำหรับโครงสร้างนี้โดยไม่ใช้ซอฟต์แวร์ FEM โดยใช้สมการเพียงอย่างเดียวจะเป็นเรื่องที่ท้าทายมาก

ภาพด้านซ้ายแสดงวิธีแก้ปัญหาโดยใช้ ระเบียบ วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์ (FEM) ซึ่งเกี่ยวข้องกับแผ่นป้องกันสนามแม่เหล็กรูปทรง กระบอก ส่วนทรงกระบอกที่เป็น วัสดุเฟอร์โรแมก เนติก จะป้องกันพื้นที่ภายในทรงกระบอกโดยการเบี่ยงเบนสนามแม่เหล็กที่สร้างขึ้น โดยขดลวด (พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าทางด้านขวา) สีแสดงถึง แอมพลิจูดของความหนาแน่นของฟลักซ์แม่เหล็กดังที่ระบุไว้ในมาตราส่วนในคำอธิบายภาพย่อย โดยสีแดงแสดงถึงแอมพลิจูดสูง พื้นที่ภายในทรงกระบอกมีแอมพลิจูดต่ำ (สีน้ำเงินเข้ม โดยมีเส้นฟลักซ์แม่เหล็กที่เว้นระยะห่างกันมาก) ซึ่งบ่งชี้ว่าแผ่นป้องกันทำงานได้ตามที่ออกแบบไว้

การแบ่งโดเมนทั้งหมดออกเป็นส่วนย่อยที่ง่ายกว่านั้นมีข้อดีหลายประการ: ^{[ 3 ]}

• การแสดงผลรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อนได้อย่างแม่นยำ
• การรวมคุณสมบัติของวัสดุที่แตกต่างกัน;
• การนำเสนอโซลูชันโดยรวมที่เข้าใจง่าย และ
• การบันทึกผลกระทบในพื้นที่

วิธีการทั่วไปที่ใช้แนวทางนี้ประกอบด้วยขั้นตอนดังต่อไปนี้:

1. แบ่งขอบเขตของปัญหาออกเป็นชุดของขอบเขตย่อย โดยแต่ละขอบเขตย่อยจะถูกแทนด้วยชุดสมการองค์ประกอบสำหรับปัญหาดั้งเดิม
2. โดยการนำชุดสมการขององค์ประกอบทั้งหมดมารวมกันอย่างเป็นระบบในระบบสมการโดยรวมสำหรับการคำนวณขั้นสุดท้าย

ระบบสมการระดับโลกใช้วิธีการแก้สมการที่เป็นที่รู้จัก และสามารถคำนวณได้จากค่าเริ่มต้นของปัญหาดั้งเดิมเพื่อให้ได้คำตอบเชิงตัวเลข

ในขั้นตอนแรกข้างต้น สมการองค์ประกอบเป็นสมการง่ายๆ ที่ประมาณค่าสมการเชิงซ้อนดั้งเดิมที่ต้องการศึกษาในระดับท้องถิ่น โดยที่สมการดั้งเดิมมักจะเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (PDE) เพื่ออธิบายการประมาณค่าในกระบวนการนี้ โดยทั่วไปแล้วจะมีการแนะนำ FEM เป็นกรณีพิเศษของวิธี Galerkinกระบวนการนี้ในทางคณิตศาสตร์คือการสร้างอินทิกรัลของผลคูณภายในของค่าตกค้างและฟังก์ชันน้ำหนักจากนั้นตั้งค่าอินทิกรัลเป็นศูนย์ กล่าวโดยง่ายคือ เป็นกระบวนการที่ลดข้อผิดพลาดในการประมาณค่าให้เหลือน้อยที่สุดโดยการปรับฟังก์ชันทดลองให้เข้ากับ PDE ค่าตกค้างคือข้อผิดพลาดที่เกิดจากฟังก์ชันทดลอง และฟังก์ชันน้ำหนักคือ ฟังก์ชันประมาณค่า พหุนามที่ฉายค่าตกค้าง กระบวนการนี้จะกำจัดอนุพันธ์เชิงพื้นที่ทั้งหมดออกจาก PDE ดังนั้นจึงประมาณค่า PDE ในระดับท้องถิ่นโดยใช้สิ่งต่อไปนี้:

• ชุดสมการพีชคณิตสำหรับ ปัญหา ภาวะคงที่และ
• ชุดสมการเชิงอนุพันธ์สามัญสำหรับปัญหาชั่วคราว

ชุดสมการเหล่านี้คือสมการองค์ประกอบ จะเป็นสมการเชิงเส้นหากสมการอนุพันธ์ย่อยพื้นฐานเป็นเชิงเส้น และในทางกลับกัน ชุดสมการพีชคณิตที่เกิดขึ้นในปัญหาภาวะคงที่นั้นแก้ได้โดยใช้ วิธี พีชคณิตเชิงเส้นเชิง ตัวเลข ในทางตรงกันข้าม ชุด สมการอนุพันธ์สามัญที่เกิดขึ้นในปัญหาภาวะไม่คงที่นั้นแก้ได้โดยการหาปริพันธ์เชิงตัวเลขโดยใช้วิธีมาตรฐาน เช่นวิธีของออยเลอร์หรือวิธีรันเก-คัตตา

ในขั้นตอนที่สองข้างต้น ระบบสมการระดับโลกจะถูกสร้างขึ้นจากสมการขององค์ประกอบโดยการแปลงพิกัดจากโหนดท้องถิ่นของโดเมนย่อยไปยังโหนดระดับโลกของโดเมน การแปลงเชิงพื้นที่นี้รวมถึงการปรับทิศทาง ที่เหมาะสม ตามที่ใช้กับระบบพิกัด อ้างอิง กระบวนการนี้มักดำเนินการโดยใช้ซอฟต์แวร์ FEM โดยใช้ ข้อมูล พิกัดที่สร้างขึ้นจากโดเมนย่อย

การประยุกต์ใช้ FEM ในทางปฏิบัติเรียกว่า การวิเคราะห์องค์ประกอบจำกัด (Finite Element Analysis: FEA) FEA ที่ใช้ในงานวิศวกรรมเป็นเครื่องมือคำนวณสำหรับการวิเคราะห์ทางวิศวกรรมซึ่งรวมถึงการใช้ เทคนิค การสร้างตาข่ายเพื่อแบ่งปัญหาที่ซับซ้อนออกเป็นองค์ประกอบย่อยๆ รวมถึงการใช้ซอฟต์แวร์ที่เขียนด้วยอัลกอริทึม FEM เมื่อนำ FEA มาใช้ ปัญหาที่ซับซ้อนมักจะเป็นระบบทางกายภาพที่มีฟิสิกส์ พื้นฐาน เช่น สมการคานออยเลอร์-เบอร์นูลลี สมการ ความร้อนหรือ สมการ นาเวียร์-สโตกส์ ซึ่งแสดงในรูปสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (PDE) หรือสมการเชิงอินทิก รัล ในขณะที่องค์ประกอบย่อยๆ ที่แบ่งออกของปัญหาที่ซับซ้อนนั้นแสดงถึงพื้นที่ต่างๆ ในระบบทางกายภาพ

FEA อาจใช้สำหรับการวิเคราะห์ปัญหาในโดเมนที่ซับซ้อน (เช่น รถยนต์และท่อส่งน้ำมัน) เมื่อโดเมนเปลี่ยนแปลง (เช่น ระหว่างปฏิกิริยาของแข็งที่มีขอบเขตเคลื่อนที่) เมื่อความแม่นยำที่ต้องการแตกต่างกันไปทั่วทั้งโดเมน หรือเมื่อโซลูชันขาดความราบรื่น การจำลอง FEA เป็นทรัพยากรที่มีค่า เนื่องจากช่วยลดการสร้างและทดสอบต้นแบบที่ซับซ้อนหลายครั้งสำหรับสถานการณ์ที่มีความแม่นยำสูงต่างๆ^{[ 4 ]}ตัวอย่างเช่น ในการจำลองการชนด้านหน้า สามารถเพิ่มความแม่นยำในการทำนายในพื้นที่สำคัญ เช่น ด้านหน้าของรถ และลดความแม่นยำที่ด้านหลังของรถ ซึ่งจะช่วยลดต้นทุนของการจำลอง อีกตัวอย่างหนึ่งคือการพยากรณ์อากาศเชิงตัวเลขซึ่งการทำนายที่แม่นยำมีความสำคัญมากกว่าในปรากฏการณ์ที่ไม่เป็นเชิงเส้นสูงที่กำลังพัฒนา เช่นพายุไซโคลนเขตร้อนในชั้นบรรยากาศหรือกระแสน้ำวนในมหาสมุทร มากกว่าในพื้นที่ที่ค่อนข้างสงบ

การนำเสนอแนวทางนี้อย่างชัดเจน ละเอียด และเป็นรูปธรรม สามารถพบได้ในตำราเรียนThe Finite Element Method for Engineers ^{[ 5 ]}

แม้ว่าจะเป็นเรื่องยากที่จะระบุวันที่คิดค้น FEM แต่วิธีการนี้มีต้นกำเนิดมาจากความต้องการแก้ปัญหาความยืดหยุ่น ที่ซับซ้อน และการวิเคราะห์โครงสร้าง ใน วิศวกรรมโยธาและวิศวกรรมการบิน [ ^{6 ] การ}พัฒนาของวิธีการนี้สามารถสืบย้อนไปถึงงานของAlexander Hrennikoff ^{[ 7 ]}และRichard Courant ^{[ 8 ]}ในช่วงต้นทศวรรษ 1940 ผู้บุกเบิกอีกคนหนึ่งคือIoannis Argyrisในสหภาพโซเวียต การนำ FEM มาใช้ในทางปฏิบัติมักเชื่อมโยงกับLeonard Oganesyan [ ^{9 ] นอกจาก}นี้ยังได้รับการค้นพบใหม่โดยอิสระในประเทศจีนโดยFeng Kangในช่วงปลายทศวรรษ 1950 และต้นทศวรรษ 1960 โดยอิงจากการคำนวณการก่อสร้างเขื่อน ซึ่งเรียกว่า " วิธีผลต่างจำกัด " โดยอิงจากหลักการแปรผัน แม้ว่าวิธีการที่ผู้บุกเบิกเหล่านี้ใช้จะแตกต่างกัน แต่พวกเขามีลักษณะสำคัญร่วมกันอย่างหนึ่งคือการแบ่งส่วนตาข่าย ของโดเมนต่อเนื่องออกเป็นชุดของโดเมนย่อยที่ไม่ต่อเนื่อง ซึ่งมักเรียกว่าองค์ประกอบ

งานของ Hrennikoff ใช้หลักการแบ่งโดเมนออกเป็นส่วนย่อยโดยใช้ การเปรียบเทียบกับโครง ตาข่ายในขณะที่วิธีการของ Courant แบ่งโดเมนออกเป็นส่วนย่อยรูปสามเหลี่ยมที่มีขนาดจำกัด เพื่อแก้ สม การเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับสองแบบ วงรี ซึ่งเกิดขึ้นจากปัญหาการบิดของทรงกระบอกผลงานของ Courant เป็นการพัฒนาต่อยอดจากผลลัพธ์ก่อนหน้านี้จำนวนมากเกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่พัฒนาโดยLord Rayleigh , Walther RitzและBoris Galerkin

การประยุกต์ใช้ FEM ได้รับแรงผลักดันมากขึ้นในช่วงทศวรรษ 1960 และ 1970 เนื่องจากการพัฒนาของJH Argyrisและเพื่อนร่วมงานที่มหาวิทยาลัยสตุทการ์ท ; RW Cloughและเพื่อนร่วมงานที่มหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย เบิร์กลีย์ ; OC Zienkiewiczและเพื่อนร่วมงานErnest Hinton , Bruce Irons [ ^{10 ] และ}คนอื่นๆ ที่มหาวิทยาลัยสวอนซี ; Philippe G. Ciarletที่มหาวิทยาลัยปารีส 6 ; และRichard Gallagherและเพื่อนร่วมงานที่มหาวิทยาลัยคอร์เนลล์ในช่วงเวลานี้ แรงผลักดันเพิ่มเติมมาจากโปรแกรม FEM แบบโอเพนซอร์สที่มีอยู่ NASA สนับสนุนNASTRAN เวอร์ชันดั้งเดิม มหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย เบิร์กลีย์ ทำให้โปรแกรมไฟไนต์เอเลเมนต์ SAP IV ^{[ 11 ]}และต่อมาOpenSeesเป็นที่แพร่หลาย ในนอร์เวย์ สมาคมจัดประเภทเรือ Det Norske Veritas (ปัจจุบันคือDNV GL ) ได้พัฒนาSesamในปี 1969 เพื่อใช้ในการวิเคราะห์เรือ^{[ 12 ]}พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดสำหรับ FEM ได้รับการนำเสนอในปี พ.ศ. 2516 ด้วยการตีพิมพ์ของGilbert StrangและGeorge Fix [ ^{13 ] ตั้งแต่}นั้นมา วิธีการนี้ได้รับการขยายให้ครอบคลุมถึงการสร้างแบบจำลองเชิงตัวเลข ของระบบทางกายภาพในสาขา วิศวกรรมที่หลากหลายเช่นแม่เหล็กไฟฟ้าการถ่ายเทความร้อนและพลศาสตร์ของไหล^{[ 14 ] [ 15 ]}

วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์มีลักษณะเฉพาะคือ การกำหนดสูตรแบบแปรผันกลยุทธ์การแบ่งส่วนย่อย อัลกอริทึมการแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่งวิธี และขั้นตอนการประมวลผลภายหลัง

ตัวอย่างของการกำหนดสูตรแบบแปรผัน ได้แก่วิธี Galerkin , วิธี Galerkin แบบไม่ต่อเนื่อง, วิธีผสม เป็นต้น

กลยุทธ์การแบ่งส่วนย่อยหมายถึงชุดขั้นตอนที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน ซึ่งครอบคลุม (ก) การสร้างตาข่ายองค์ประกอบจำกัด (ข) การกำหนดฟังก์ชันพื้นฐานบนองค์ประกอบอ้างอิง (เรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันรูปร่าง) และ (ค) การแมปองค์ประกอบอ้างอิงไปยังองค์ประกอบของตาข่าย ตัวอย่างของกลยุทธ์การแบ่งส่วนย่อย ได้แก่ เวอร์ชัน h เวอร์ชันp เวอร์ชัน hp x - FEM การวิเคราะห์ไอโซจีโอเมตริกเป็นต้นกลยุทธ์การแบ่งส่วนย่อยแต่ละแบบมีข้อดีและข้อเสีย เกณฑ์ที่เหมาะสมในการเลือกกลยุทธ์การแบ่งส่วนย่อยคือการทำให้ได้ประสิทธิภาพที่ใกล้เคียงกับค่าที่เหมาะสมที่สุดสำหรับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่หลากหลายที่สุดในกลุ่มแบบจำลองเฉพาะ

อัลกอริทึมการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขต่างๆ สามารถจำแนกได้เป็นสองประเภทใหญ่ๆ คือ วิธีแก้โดยตรงและวิธีแก้แบบวนซ้ำ อัลกอริทึมเหล่านี้ได้รับการออกแบบมาเพื่อใช้ประโยชน์จากความเบาบางของเมทริกซ์ ซึ่งขึ้นอยู่กับการกำหนดสูตรแบบแปรผันและกลยุทธ์การแบ่งส่วนย่อยที่เลือก

ขั้นตอนการประมวลผลภายหลังได้รับการออกแบบมาเพื่อดึงข้อมูลที่สนใจจากผลลัพธ์ของวิธีไฟไนต์เอเลเมนต์ เพื่อให้ตรงตามข้อกำหนดของการตรวจสอบความถูกต้องของผลลัพธ์ โปรแกรมประมวลผลภายหลังจำเป็นต้องมี การประมาณค่าความคลาดเคลื่อน ภายหลังในแง่ของปริมาณที่สนใจ เมื่อความคลาดเคลื่อนของการประมาณค่ามีขนาดใหญ่กว่าที่ยอมรับได้ การแบ่งส่วนย่อยจะต้องถูกเปลี่ยนแปลงไม่ว่าจะโดยกระบวนการปรับตัวอัตโนมัติหรือโดยการกระทำของนักวิเคราะห์ โปรแกรมประมวลผลภายหลังที่มีประสิทธิภาพสูงบางตัวช่วยให้สามารถบรรลุการลู่เข้าอย่างรวดเร็วได้

ปัญหาต่อไปนี้สองข้อแสดงให้เห็นถึงวิธีการวิเคราะห์องค์ประกอบจำกัด (Finite Element Method)

P1 เป็นปัญหาหนึ่งมิติ โดยที่ถูกกำหนดมาให้เป็นฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าของและเป็นอนุพันธ์อันดับสองของเทียบกับ $${\displaystyle {\text{ P1 }}:{\begin{cases}u''(x)=f(x){\text{ ใน }}(0,1),\\u(0)=u(1)=0,\end{cases}}}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle u}$${\displaystyle x}$${\displaystyle u''}$${\displaystyle u}$${\displaystyle x}$

P2 เป็นปัญหาแบบสองมิติ ( ปัญหาของ Dirichlet ) $${\displaystyle {\text{P2 }}:{\begin{cases}u_{xx}(x,y)+u_{yy}(x,y)=f(x,y)&{\text{ ใน }}\Omega ,\\u=0&{\text{ บน }}\partial \Omega ,\end{cases}}}$$

โดยที่เป็นบริเวณเปิดที่เชื่อมต่อกันในระนาบซึ่งมีขอบเขตเรียบ (เช่นแมนิโฟลด์เรียบหรือรูปหลายเหลี่ยม ) และและแทนอนุพันธ์อันดับสองเทียบกับและตามลำดับ ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle u_{xx}}$${\displaystyle u_{yy}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

ปัญหา P1 สามารถแก้ไขได้โดยตรงโดยการคำนวณอนุพันธ์ผกผันอย่างไรก็ตาม วิธีการแก้ปัญหาค่าขอบเขต (BVP) นี้ใช้ได้เฉพาะเมื่อมีมิติเชิงพื้นที่เพียงมิติเดียวเท่านั้น ไม่สามารถขยายไปสู่ปัญหาที่มีมิติสูงกว่าหรือปัญหาเช่น ด้วยเหตุนี้ เราจึงจะพัฒนาวิธีไฟไนต์เอเลเมนต์สำหรับ P1 และอธิบายการขยายไปสู่ ​​P2 ${\displaystyle u+V''=f}$

คำอธิบายของเราจะแบ่งออกเป็นสองขั้นตอน ซึ่งสะท้อนถึงสองขั้นตอนสำคัญที่ต้องดำเนินการเพื่อแก้ปัญหาค่าขอบเขต (BVP) โดยใช้วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์ (FEM)

• ขั้นตอนแรกคือการเขียนปัญหาค่าขอบเขตเดิมใหม่ให้อยู่ในรูปแบบอ่อน โดยปกติแล้วขั้นตอนนี้ไม่จำเป็นต้องคำนวณมากนัก การแปลงจะทำด้วยมือบนกระดาษ
• ขั้นตอนที่สองคือการแบ่งส่วนย่อย โดยที่รูปแบบอ่อนจะถูกแบ่งส่วนย่อยในปริภูมิที่มีมิติจำกัด

หลังจากขั้นตอนที่สองนี้ เราจะได้สูตรที่เป็นรูปธรรมสำหรับปัญหาเชิงเส้นขนาดใหญ่แต่ มี มิติจำกัด ซึ่งคำตอบของสูตรนี้จะช่วยแก้ปัญหา BVP เดิมได้โดยประมาณ จากนั้นจึงนำปัญหาที่มีมิติจำกัดนี้ไปใช้งานบนคอมพิวเตอร์

ขั้นตอนแรกคือการแปลง P1 และ P2 ให้เป็นรูป แบบอ่อน ที่เทียบเท่ากัน

ถ้าแก้ P1 ได้แล้ว สำหรับฟังก์ชันเรียบใดๆที่สอดคล้องกับเงื่อนไขขอบเขตการกระจัด กล่าวคือที่และเราจะได้ว่า ${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v=0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=1}$

$${\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)v(x)\,dx=\int _{0}^{1}u''(x)v(x)\,dx.}$$

1

ในทางกลับกัน หาก สอดคล้อง กับ(1) สำหรับทุกฟังก์ชันเรียบแล้ว อาจแสดงได้ว่าสิ่งนี้จะแก้ปัญหา P1 การพิสูจน์จะง่ายขึ้นสำหรับฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้สองครั้งอย่างต่อเนื่อง( ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย ) แต่ก็สามารถพิสูจน์ได้ใน แง่ ของการกระจายเช่นกัน ${\displaystyle u}$${\displaystyle u(0)=u(1)=0}$${\displaystyle v(x)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$

เรากำหนดตัวดำเนินการหรือแผนที่ใหม่โดยใช้การบูรณาการโดยส่วนทางด้านขวามือของ (1): ${\displaystyle \phi (u,v)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}f(x)v(x)\,dx&=\int _{0}^{1}u''(x)v(x)\,dx\\&=u'(x)v(x)|_{0}^{1}-\int _{0}^{1}u'(x)v'(x)\,dx\\&=-\int _{0}^{1}u'(x)v'(x)\,dx\equiv -\phi (u,v),\end{aligned}}}$

2

โดยที่เราใช้สมมติฐานว่า. ${\displaystyle v(0)=v(1)=0}$

ถ้าเราทำการอินทิเกรตโดยใช้ส่วนโดยใช้รูปแบบหนึ่งของเอกลักษณ์ของกรีนเราจะเห็นว่าถ้าแก้ P2 ได้แล้ว เราอาจกำหนดสำหรับใดๆโดย ${\displaystyle u}$${\displaystyle \phi (u,v)}$${\displaystyle v}$$${\displaystyle \int _{\Omega }fv\,ds=-\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,ds\equiv -\phi (u,v),}$$

โดยที่แทนเกรเดียนต์และแทนผลคูณดอทในระนาบสองมิติสามารถแปลงเป็นผลคูณภายในบนปริภูมิที่เหมาะสมของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้หนึ่งครั้งซึ่งมีค่าเป็นศูนย์บน ได้เช่นกัน เราได้สมมติไว้แล้วว่า(ดูปริภูมิโซโบเลฟ ) การมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของคำตอบก็สามารถแสดงได้เช่นกัน ${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle \,\!\phi }$${\displaystyle H_{0}^{1}(\โอเมก้า )}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle v\in H_{0}^{1}(\โอเมก้า )}$

เราสามารถคิดอย่างคร่าวๆ ว่า ฟังก์ชันเหล่า นี้เป็น ฟังก์ชัน ต่อเนื่องสัมบูรณ์ของที่อยู่ที่และ(ดูพื้นที่โซโบเลฟ ) ฟังก์ชันดังกล่าวสามารถหาอนุพันธ์ได้ (อย่างอ่อน) หนึ่งครั้ง และปรากฏว่าแผนที่ทวิ เชิงเส้นสมมาตร จะกำหนดผลคูณภายในซึ่งกลายเป็นพื้นที่ฮิลเบิร์ต (การพิสูจน์โดยละเอียดไม่ใช่เรื่องง่าย) ในทางกลับกัน ด้านซ้ายมือก็เป็นผลคูณภายในเช่นกัน คราวนี้บนพื้นที่ Lpการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทการแสดงแทนของรีซสำหรับพื้นที่ฮิลเบิร์ตแสดงให้เห็นว่ามีคำตอบที่ไม่ซ้ำกัน (2) และดังนั้น P1 คำตอบนี้เป็นเพียงสมาชิกของแต่การใช้ ความสม่ำเสมอ แบบวงรีจะเรียบถ้าคือ ${\displaystyle H_{0}^{1}(0,1)}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=1}$${\displaystyle \!\,\phi }$${\displaystyle H_{0}^{1}(0,1)}$${\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)v(x)dx}$${\displaystyle L^{2}(0,1)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle H_{0}^{1}(0,1)}$${\displaystyle f}$

P1 และ P2 พร้อมที่จะทำการแบ่งส่วนย่อย ซึ่งนำไปสู่ปัญหาย่อยทั่วไป (3) แนวคิดพื้นฐานคือการแทนที่ปัญหาเชิงเส้นมิติอนันต์:

จงหา ค่าที่ทำให้${\displaystyle u\in H_{0}^{1}}$

${\displaystyle \forall v\in H_{0}^{1},\;-\phi (u,v)=\int fv}$

ด้วยเวอร์ชันที่มีมิติจำกัด:

จงหาค่าที่ทำให้${\displaystyle u\in V}$${\displaystyle \forall v\in V,\;-\phi (u,v)=\int fv}$

3

โดยที่ เป็น ปริภูมิย่อยที่มีมิติจำกัดของมีตัวเลือกที่เป็นไปได้มากมายสำหรับ(ความเป็นไปได้หนึ่งนำไปสู่วิธีสเปกตรัม ) อย่างไรก็ตาม เราใช้เป็นปริภูมิของฟังก์ชันพหุนามแบบแบ่งส่วนสำหรับวิธีไฟไนต์เอเลเมนต์ ${\displaystyle V}$${\displaystyle H_{0}^{1}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

เราใช้ช่วงเวลาเลือกค่าของโดยที่และเรากำหนดโดย: ${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 0=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}<x_{n+1}=1}$${\displaystyle V}$$${\displaystyle V=\{v:[0,1]\to \mathbb {R} \;:v{\text{ ต่อเนื่อง, }}v|_{[x_{k},x_{k+1}]}{\text{ เป็นเชิงเส้นสำหรับ }}k=0,\dots ,n{\text{ และ }}v(0)=v(1)=0\}}$$

โดยที่เรากำหนดและสังเกตว่าฟังก์ชันในไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ตามนิยามพื้นฐานของแคลคูลัส อันที่จริง ถ้าแล้วโดยทั่วไปอนุพันธ์จะไม่นิยามที่ค่าใดๆอย่างไรก็ตามอนุพันธ์มีอยู่จริงที่ค่าอื่นๆ ของและเราสามารถใช้อนุพันธ์นี้สำหรับการอินทิเกรตโดยส่วนได้ ${\displaystyle x_{0}=0}$${\displaystyle x_{n+1}=1}$${\displaystyle V}$${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle x=x_{k}}$${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$${\displaystyle x}$

เราจำเป็นต้องมีเซตของฟังก์ชันของในรูปทางด้านขวา เราได้แสดงภาพการแบ่งพื้นที่เป็นรูปสามเหลี่ยม ของ บริเวณรูปหลายเหลี่ยม 15 ด้านบนระนาบ (ด้านล่าง) และฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแบ่งส่วน (ด้านบน ในสี) ของรูปหลายเหลี่ยมนี้ ซึ่งเป็นเชิงเส้นบนแต่ละสามเหลี่ยมของการแบ่งพื้นที่เป็นรูปสามเหลี่ยม พื้นที่ดังกล่าวจะประกอบด้วยฟังก์ชันที่เป็นเชิงเส้นบนแต่ละสามเหลี่ยมของการแบ่งพื้นที่เป็นรูปสามเหลี่ยมที่เลือกไว้ ${\displaystyle V}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle V}$

หวังว่าเมื่อตาข่ายสามเหลี่ยมพื้นฐานละเอียดขึ้นเรื่อยๆ วิธีแก้ปัญหาแบบไม่ต่อเนื่อง (3) จะลู่เข้าสู่วิธีแก้ปัญหาค่าขอบเขตเดิม P2 ในบางแง่ เพื่อวัดความละเอียดของตาข่ายนี้ การสร้างสามเหลี่ยมจะถูกกำหนดดัชนีด้วยพารามิเตอร์ค่าจริงซึ่งถือว่ามีค่าน้อยมาก พารามิเตอร์นี้จะเกี่ยวข้องกับขนาดสามเหลี่ยมที่ใหญ่ที่สุดหรือขนาดเฉลี่ยในการสร้างสามเหลี่ยม เมื่อเราปรับปรุงการสร้างสามเหลี่ยม พื้นที่ของฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแบ่งส่วนจะต้องเปลี่ยนแปลงไปด้วย ด้วยเหตุนี้ ในเอกสารทางวิชาการจึงมักอ่านแทนเนื่องจากเราไม่ได้ทำการวิเคราะห์ดังกล่าว เราจึงจะไม่ใช้สัญลักษณ์นี้ ${\displaystyle h>0}$${\displaystyle V}$${\displaystyle h}$${\displaystyle V_{h}}$${\displaystyle V}$

การแทรกสอดของฟังก์ชันเบสเซล

ฟังก์ชันฐานสามเหลี่ยมที่ปรับขนาดและเลื่อน 16 ฟังก์ชัน (สีต่างๆ) ถูกนำมาใช้เพื่อสร้างฟังก์ชันเบสเซลลำดับศูนย์J ₀ (สีดำ) ขึ้นใหม่

การรวมกันเชิงเส้นของฟังก์ชันพื้นฐาน (สีเหลือง) จะสร้างJ ₀ (สีดำ) ขึ้นมาใหม่ด้วยความแม่นยำตามที่ต้องการ

เพื่อให้การแบ่งส่วนย่อยสมบูรณ์ เราต้องเลือกฐานของในกรณีหนึ่งมิติ สำหรับแต่ละจุดควบคุมเราจะเลือกฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแบ่งส่วนในซึ่งมีค่าที่และเป็นศูนย์ที่ทุก กล่าวคือ ${\displaystyle V}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle v_{k}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle x_{j},\;j\neq k}$$${\displaystyle v_{k}(x)={\begin{cases}{x-x_{k-1} \over x_{k}\,-x_{k-1}}&{\text{ if }}x\in [x_{k-1},x_{k}],\\{x_{k+1}\,-x \over x_{k+1}\,-x_{k}}&{\text{ if }}x\in [x_{k},x_{k+1}],\\0&{\text{ otherwise}},\end{cases}}}$$

สำหรับ; ฐานนี้คือฟังก์ชันเต็นท์ ที่เลื่อนและปรับขนาด สำหรับกรณีสองมิติ เราเลือกฟังก์ชันฐานหนึ่งฟังก์ชันต่อจุดยอดของการแบ่งสามเหลี่ยมของบริเวณระนาบ อีกครั้ง ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันเฉพาะของซึ่งมีค่าที่และเป็นศูนย์ที่ทุกๆ ${\displaystyle k=1,\dots ,n}$${\displaystyle v_{k}}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle v_{k}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle x_{j},\;j\neq k}$

ขึ้นอยู่กับผู้เขียน คำว่า "องค์ประกอบ" ใน "วิธีองค์ประกอบจำกัด" อาจหมายถึงรูปสามเหลี่ยมของโดเมน ฟังก์ชันพื้นฐานเชิงเส้นแบบแบ่งส่วน หรือทั้งสองอย่าง ตัวอย่างเช่น ผู้เขียนที่สนใจโดเมนโค้งอาจแทนที่รูปสามเหลี่ยมด้วยรูปทรงพื้นฐานโค้ง และอาจอธิบายองค์ประกอบว่าเป็นแบบโค้ง ในทางกลับกัน ผู้เขียนบางคนอาจแทนที่ "เชิงเส้นแบบแบ่งส่วน" ด้วย "กำลังสองแบบแบ่งส่วน" หรือแม้แต่ "พหุนามแบบแบ่งส่วน" จากนั้นผู้เขียนอาจกล่าวว่า "องค์ประกอบลำดับสูง" แทนที่จะเป็น "พหุนามดีกรีสูง" วิธีองค์ประกอบจำกัดไม่ได้จำกัดอยู่เฉพาะรูปสามเหลี่ยม (ทรงสี่หน้าใน 3 มิติ หรือซิมเพล็กซ์ลำดับสูงในปริภูมิหลายมิติ) แต่สามารถกำหนดได้บนโดเมนย่อยรูปสี่เหลี่ยม (ทรงหกเหลี่ยม ปริซึม หรือพีระมิดใน 3 มิติ เป็นต้น) รูปทรงลำดับสูง (องค์ประกอบโค้ง) สามารถกำหนดได้ด้วยรูปทรงพหุนามและแม้แต่รูปทรงที่ไม่ใช่พหุนาม (เช่น วงรีหรือวงกลม)

ตัวอย่างของวิธีการที่ใช้ฟังก์ชันพื้นฐานพหุนามแบบแบ่งส่วนที่มีดีกรีสูงกว่า ได้แก่hp-FEMและspectral FEM

การใช้งานขั้นสูงกว่า (วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์แบบปรับตัวได้) จะใช้วิธีการประเมินคุณภาพของผลลัพธ์ (โดยอิงจากทฤษฎีการประมาณค่าความคลาดเคลื่อน) และปรับเปลี่ยนตาข่ายระหว่างการแก้ปัญหาโดยมีเป้าหมายเพื่อให้ได้คำตอบโดยประมาณภายในขอบเขตที่กำหนดจากคำตอบที่แท้จริงของปัญหาต่อเนื่อง การปรับตัวของตาข่ายอาจใช้วิธีการต่างๆ มากมาย ซึ่งที่นิยมใช้มากที่สุด ได้แก่:

• โหนดเคลื่อนที่ (r-adaptivity)
• องค์ประกอบที่ผ่านการกลั่น (และไม่ผ่านการกลั่น) (ความสามารถในการปรับตัว h)
• การเปลี่ยนลำดับของฟังก์ชันพื้นฐาน (p-adaptivity)
• การผสมผสานของสิ่งต่างๆ ข้างต้น ( ความสามารถในการปรับตัวของ HP )

ข้อได้เปรียบหลักของการเลือกฐานนี้คือ ผลคูณภายใน และ จะเป็นศูนย์สำหรับเกือบทุกค่า(เมทริกซ์ที่บรรจุในตำแหน่งนั้นเรียกว่าเมทริกซ์แกรมเมียน ) ในกรณีหนึ่งมิติช่วงของคือช่วงดังนั้น ตัวอินทิกรัลของและจะเป็นศูนย์โดยสมบูรณ์เมื่อใดก็ตามที่ $${\displaystyle \langle v_{j},v_{k}\rangle =\int _{0}^{1}v_{j}v_{k}\,dx}$$$${\displaystyle \phi (v_{j},v_{k})=\int _{0}^{1}v_{j}'v_{k}'\,dx}$$${\displaystyle j,k}$${\displaystyle \langle v_{j},v_{k}\rangle }$${\displaystyle (j,k)}$${\displaystyle v_{k}}$${\displaystyle [x_{k-1},x_{k+1}]}$${\displaystyle \langle v_{j},v_{k}\rangle }$${\displaystyle \phi (v_{j},v_{k})}$${\displaystyle |j-k|>1}$

ในทำนองเดียวกัน ในกรณีระนาบ ถ้าและไม่ใช้ขอบร่วมกันของการแบ่งสามเหลี่ยมแล้ว ค่าอินทิกรัล และ จะเป็นศูนย์ทั้งคู่ ${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle x_{k}}$$${\displaystyle \int _{\Omega }v_{j}v_{k}\,ds}$$$${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla v_{j}\cdot \nabla v_{k}\,ds}$$

ถ้าเราเขียนแล้วปัญหา (3) โดยแทนค่าจะกลายเป็น ${\displaystyle u(x)=\sum _{k=1}^{n}u_{k}v_{k}(x)}$${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}v_{k}(x)}$${\displaystyle v(x)=v_{j}(x)}$${\displaystyle j=1,\dots ,n}$

${\displaystyle -\sum _{k=1}^{n}u_{k}\phi (v_{k},v_{j})=\sum _{k=1}^{n}f_{k}\int v_{k}v_{j}dx}$สำหรับ${\displaystyle j=1,\dots ,n.}$

4

ถ้าเรากำหนดให้และเป็นเวกเตอร์คอลัมน์และและถ้าเราให้ และ เป็นเมทริกซ์ที่มีสมาชิกเป็น และ แล้วเราอาจเขียน (4) ใหม่ได้เป็น ${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {f} }$${\displaystyle (u_{1},\dots ,u_{n})^{t}}$${\displaystyle (f_{1},\dots ,f_{n})^{t}}$$${\displaystyle L=(L_{ij})}$$$${\displaystyle M=(M_{ij})}$$$${\displaystyle L_{ij}=\phi (v_{i},v_{j})}$$$${\displaystyle M_{ij}=\int v_{i}v_{j}dx}$$

$${\displaystyle -L\mathbf {u} =M\mathbf {f} .}$$

5

ไม่จำเป็นต้องสมมติสำหรับฟังก์ชันทั่วไปปัญหา (3) ที่มีสำหรับจะง่ายขึ้นจริง ๆ เนื่องจากไม่ได้ใช้ เมทริกซ์${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}v_{k}(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle v(x)=v_{j}(x)}$${\displaystyle j=1,\dots ,n}$${\displaystyle M}$

$${\displaystyle -L\mathbf {u} =\mathbf {b} ,}$$

6

ที่ไหนและเพื่ออะไร ${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},\dots ,b_{n})^{t}}$${\displaystyle b_{j}=\int fv_{j}dx}$${\displaystyle j=1,\dots ,n}$

ดังที่เราได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ ค่าส่วนใหญ่ของเมทริกซ์และเป็นศูนย์ เนื่องจากฟังก์ชันพื้นฐานมีขอบเขตจำกัด ดังนั้น ตอนนี้เราต้องแก้ระบบสมการเชิงเส้นในตัวแปรที่ไม่ทราบค่าโดยที่ค่าส่วนใหญ่ของเมทริกซ์ซึ่งเราจำเป็นต้องหาเมทริกซ์ผกผัน เป็นศูนย์ ${\displaystyle L}$${\displaystyle M}$${\displaystyle v_{k}}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle L}$

เมทริกซ์ดังกล่าวเรียกว่าเมทริกซ์แบบเบาบาง (sparse matrices ) และมีตัวแก้ปัญหาที่มีประสิทธิภาพสำหรับปัญหาดังกล่าว (มีประสิทธิภาพมากกว่าการหาเมทริกซ์ผกผันจริง ๆ) นอกจากนี้ เมทริกซ์ดังกล่าวยัง เป็นเมทริกซ์สมมาตรและเป็นบวกแน่นอน (positive definite) ดังนั้นจึงนิยมใช้วิธีการเช่นวิธีการไล่ระดับแบบสังยุค (conjugate gradient method ) สำหรับปัญหาที่ไม่ใหญ่มากการแยกตัวประกอบแบบเบาบาง LUและการแยกตัวประกอบแบบ Choleskyยังคงใช้งานได้ดี ตัวอย่างเช่น ตัวดำเนินการ backslash ของ MATLAB (ซึ่งใช้การแยกตัวประกอบแบบเบาบาง LU, Cholesky และวิธีการแยกตัวประกอบอื่น ๆ) ก็เพียงพอสำหรับตาข่ายที่มีจุดยอดหนึ่งแสนจุด ${\displaystyle L}$

โดยทั่วไป เมทริกซ์นี้จะถูกเรียกว่าเมทริกซ์ความแข็งในขณะที่เมทริกซ์อีกตัวหนึ่งจะถูกเรียกว่าเมทริกซ์มวล ${\displaystyle L}$${\displaystyle M}$

โดยทั่วไป วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์มีลักษณะเฉพาะด้วยกระบวนการดังต่อไปนี้

• เราเลือกใช้ตารางสำหรับในวิธีการก่อนหน้านี้ ตารางประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยม แต่เราสามารถใช้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือรูปหลายเหลี่ยมโค้งได้เช่นกัน${\displaystyle \Omega }$
• จากนั้นจึงเลือกฟังก์ชันพื้นฐาน ในการอธิบายของเรา เราใช้ฟังก์ชันพื้นฐานเชิงเส้นแบบแบ่งช่วง แต่โดยทั่วไปมักใช้ฟังก์ชันพื้นฐานพหุนามแบบแบ่งช่วง

สิ่งที่ต้องพิจารณาแยกต่างหากคือความเรียบของฟังก์ชันพื้นฐาน สำหรับ ปัญหาค่าขอบเขตเชิงวงรีอันดับสองฟังก์ชันพื้นฐานพหุนามแบบแบ่งส่วนที่ต่อเนื่องก็เพียงพอแล้ว (กล่าวคือ อนุพันธ์ไม่ต่อเนื่อง) สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับสูงกว่า ต้องใช้ฟังก์ชันพื้นฐานที่เรียบกว่า ตัวอย่างเช่น สำหรับปัญหาอันดับสี่ เช่นอาจใช้ฟังก์ชันพื้นฐานกำลังสองแบบแบ่งส่วนที่เป็น ${\displaystyle u_{xxxx}+u_{yyyy}=f}$${\displaystyle C^{1}}$

อีกประเด็นที่ควรพิจารณาคือความสัมพันธ์ระหว่างปริภูมิที่มีมิติจำกัดกับปริภูมิที่มีมิติอนันต์ในตัวอย่างข้างต้นวิธีการองค์ประกอบที่สอดคล้องกันคือวิธีการที่ปริภูมิเป็นปริภูมิย่อยของปริภูมิองค์ประกอบสำหรับปัญหาต่อเนื่อง ตัวอย่างข้างต้นเป็นวิธีการดังกล่าว หากเงื่อนไขนี้ไม่เป็นไปตามที่กำหนด เราจะได้วิธีการองค์ประกอบที่ไม่สอดคล้องกันซึ่งตัวอย่างหนึ่งคือปริภูมิของฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแบ่งส่วนบนตาข่าย ซึ่งต่อเนื่องที่จุดกึ่งกลางของขอบแต่ละด้าน เนื่องจากฟังก์ชันเหล่านี้โดยทั่วไปไม่ต่อเนื่องตามขอบ ปริภูมิที่มีมิติจำกัดนี้จึงไม่ใช่ปริภูมิย่อยของปริภูมิเดิม ${\displaystyle V}$${\displaystyle H_{0}^{1}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle H_{0}^{1}}$

โดยทั่วไปแล้ว จะมีอัลกอริทึมสำหรับการแบ่งย่อยตาข่ายที่กำหนด หากวิธีการหลักในการเพิ่มความแม่นยำคือการแบ่งย่อยตาข่าย จะมี วิธี h ( hคือเส้นผ่านศูนย์กลางขององค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุดในตาข่าย) ด้วยวิธีนี้ หากแสดงให้เห็นว่าข้อผิดพลาดของกริดมีขอบเขตบนโดยสำหรับบางค่าและจะมีวิธีอันดับpภายใต้สมมติฐานเฉพาะ (ตัวอย่างเช่น หากโดเมนเป็นนูน) วิธีพหุนามแบบแบ่งส่วนอันดับจะมีข้อผิดพลาดอันดับ ${\displaystyle h}$${\displaystyle Ch^{p}}$${\displaystyle C<\infty }$${\displaystyle p>0}$${\displaystyle d}$${\displaystyle p=d+1}$

หากแทนที่จะทำให้hเล็กลง เราเพิ่มดีกรีของพหุนามที่ใช้ในฟังก์ชันพื้นฐาน เราจะได้ วิธี pหากเราผสมผสานวิธีการปรับปรุงทั้งสองแบบนี้เข้าด้วยกัน เราจะได้ วิธี hp ( hp-FEM ) ใน hp-FEM ดีกรีของพหุนามสามารถแตกต่างกันไปในแต่ละองค์ประกอบ วิธีการลำดับสูงที่มีค่า p สม่ำเสมอขนาดใหญ่ เรียกว่า วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์เชิงสเปกตรัม ( SFEM )ซึ่งไม่ควรสับสนกับวิธีเชิงสเปกตรัม

สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเวกเตอร์ ฟังก์ชันพื้นฐานอาจมีค่าอยู่ใน ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

วิธีองค์ประกอบประยุกต์ (Applied Element Method หรือ AEM) ผสมผสานคุณสมบัติของทั้งวิธีองค์ประกอบจำกัด (Finite Element Method หรือ FEM) และวิธีองค์ประกอบแยกส่วน (Discrete Element Methodหรือ DEM) เข้าด้วยกัน

หยางและหลุยได้นำเสนอวิธีการองค์ประกอบเสริมแบบไฟไนต์เอเลเมนต์ (Augmented-Finite Element Method) ซึ่งมีเป้าหมายเพื่อจำลองความไม่ต่อเนื่องแบบอ่อนและแบบแข็งโดยไม่จำเป็นต้องมีองศาอิสระเพิ่มเติม ดังที่ PuM ได้กล่าวไว้

วิธีการ Cut Finite Element ได้รับการพัฒนาในปี 2014 ^{[ 16 ]}วิธีการนี้คือ "การทำให้การแบ่งส่วนย่อยเป็นอิสระจากคำอธิบายทางเรขาคณิตให้มากที่สุดและลดความซับซ้อนของการสร้างตาข่ายให้น้อยที่สุด ในขณะที่ยังคงรักษาความแม่นยำและความแข็งแกร่งของวิธีการไฟไนต์เอเลเมนต์มาตรฐาน" ^{[ 17 ]}

วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์แบบทั่วไป (GFEM) ใช้พื้นที่เฉพาะที่ประกอบด้วยฟังก์ชัน ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นพหุนาม ที่สะท้อนข้อมูลที่มีอยู่เกี่ยวกับคำตอบที่ไม่ทราบ และด้วยเหตุนี้จึงรับประกันการประมาณค่าเฉพาะที่ดี จากนั้นจึง ใช้ การแบ่งส่วนของเอกภาพเพื่อ "เชื่อม" พื้นที่เหล่านี้เข้าด้วยกันเพื่อสร้างพื้นที่ย่อยการประมาณค่า ประสิทธิภาพของ GFEM ได้รับการแสดงให้เห็นเมื่อนำไปใช้กับปัญหาที่มีโดเมนที่มีขอบเขตที่ซับซ้อน ปัญหาที่มีมาตราส่วนขนาดเล็ก และปัญหาที่มีชั้นขอบเขต^{[ 18 ]}

วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์แบบผสมเป็นวิธีไฟไนต์เอเลเมนต์ประเภทหนึ่งที่เพิ่มตัวแปรอิสระพิเศษเข้ามาเป็นตัวแปรโหนดในระหว่างการแบ่งส่วนปัญหาของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย

hp -FEMผสมผสานองค์ประกอบแบบปรับได้ที่มีขนาดhและระดับพหุนามp ที่แปรผันได้ เพื่อให้ได้อัตราการบรรจบกันแบบเอกซ์โพเนนเชียลที่รวดเร็วเป็นพิเศษ^{[ 19 ]}

hpk -FEMผสมผสานองค์ประกอบแบบปรับเปลี่ยนได้ โดยมีขนาดh ที่แปรผันได้ ระดับพหุนามของการประมาณค่าเฉพาะที่pและความสามารถในการหาอนุพันธ์โดยรวมของการประมาณค่าเฉพาะที่ ( k -1) เพื่อให้ได้อัตราการล convergence ที่ดีที่สุด

วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์แบบขยาย (XFEM) เป็นเทคนิคเชิงตัวเลขที่พัฒนามาจากวิธีไฟไนต์เอเลเมนต์แบบทั่วไป (GFEM) และวิธีแบ่งส่วนเอกภาพ (PUM) โดยขยายวิธีไฟไนต์เอเลเมนต์แบบคลาสสิกด้วยการเพิ่มขอบเขตของพื้นที่คำตอบสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์แบบขยายจะเพิ่มขอบเขตของการประมาณค่าเพื่อให้สามารถจำลองคุณลักษณะที่ท้าทายที่เกี่ยวข้องกับปัญหาที่สนใจได้อย่างเป็นธรรมชาติ เช่น ความไม่ต่อเนื่อง จุดเอกฐาน ชั้นขอบเขต เป็นต้น พบว่าสำหรับบางปัญหา การฝังคุณลักษณะของปัญหาลงในพื้นที่ของการประมาณค่าสามารถปรับปรุงอัตราการล convergence และความแม่นยำได้อย่างมีนัยสำคัญ นอกจากนี้ การแก้ปัญหาที่มีความไม่ต่อเนื่องด้วย XFEM ยังช่วยลดความจำเป็นในการสร้างและปรับตาข่ายพื้นผิวที่ไม่ต่อเนื่อง ทำให้ลดต้นทุนการคำนวณและข้อผิดพลาดในการฉายภาพที่เกี่ยวข้องกับวิธีไฟไนต์เอเลเมนต์แบบดั้งเดิมลงได้ โดยแลกกับการจำกัดความไม่ต่อเนื่องไว้ที่ขอบของตาข่าย

รหัสวิจัยหลายรหัสได้นำเทคนิคนี้ไปใช้ในระดับต่างๆ กัน:

1. GetFEM++
2. xfem++
3. openxfem++

XFEM ยังถูกนำไปใช้ในซอฟต์แวร์ต่างๆ เช่น Altair Radios, ASTER, Morfeo และ Abaqus และกำลังได้รับความนิยมมากขึ้นในซอฟต์แวร์ไฟไนต์เอเลเมนต์เชิงพาณิชย์อื่นๆ โดยมีปลั๊กอินและส่วนการใช้งานหลักบางส่วนที่พร้อมใช้งาน (ANSYS, SAMCEF, OOFELIE เป็นต้น)

การแนะนำวิธีองค์ประกอบไฟไนต์ขอบเขตแบบปรับขนาด (SBFEM) มาจาก Song และ Wolf (1997) ^{[ 20 ]} SBFEM เป็นหนึ่งในผลงานที่มีประโยชน์มากที่สุดในด้านการวิเคราะห์เชิงตัวเลขของปัญหาทางกลศาสตร์การแตกหัก เป็นวิธีการกึ่งวิเคราะห์ที่ไม่ต้องใช้ผลเฉลยพื้นฐาน ซึ่งรวมข้อดีของสูตรและขั้นตอนไฟไนต์เอเลเมนต์และการแบ่งส่วนองค์ประกอบขอบเขต อย่างไรก็ตาม แตกต่างจากวิธีองค์ประกอบขอบเขต ไม่จำเป็นต้องใช้ผลเฉลยเชิงอนุพันธ์พื้นฐาน

S-FEM (Smoothed Finite Element Methods) เป็นวิธีการจำลองเชิงตัวเลขเฉพาะประเภทหนึ่งสำหรับการจำลองปรากฏการณ์ทางกายภาพ โดยได้รับการพัฒนาขึ้นจากการผสมผสานวิธีการแบบไร้ตาข่าย (mesh-free methods) เข้ากับวิธีการไฟไนต์เอเลเมนต์ (finite element method)

วิธีการองค์ประกอบสเปกตรัมรวมความยืดหยุ่นทางเรขาคณิตขององค์ประกอบไฟไนต์และความแม่นยำสูงของวิธีการสเปกตรัม วิธีการสเปกตรัมเป็นวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณของสมการย่อยรูปแบบอ่อนโดยอาศัยการแทรกสอดแบบลากรางจ์ลำดับสูงและใช้เฉพาะกับกฎการหาปริพันธ์บางอย่างเท่านั้น^{[ 21 ]}

การวนซ้ำของ Loubignacเป็นวิธีการวนซ้ำในวิธีไฟไนต์เอเลเมนต์

วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์แบบพลาสติกของผลึก (CPFEM) เป็นเครื่องมือเชิงตัวเลขขั้นสูงที่พัฒนาโดย Franz Roters โลหะสามารถมองได้ว่าเป็นกลุ่มผลึกที่มีพฤติกรรมไม่เป็นเนื้อเดียวกันภายใต้การเสียรูป เช่น การกระจายตัวของความเค้นและความเครียดที่ผิดปกติ CPFEM ซึ่งอาศัยการเลื่อน (อัตราความเครียดเฉือน) สามารถคำนวณการเคลื่อนที่ของดิสโลเคชัน การวางแนวของผลึก และข้อมูลโครงสร้างอื่นๆ เพื่อพิจารณาความไม่เป็นเนื้อเดียวกันของผลึกในระหว่างกระบวนการทำงาน วิธีการนี้ถูกนำไปประยุกต์ใช้ในการศึกษาเชิงตัวเลขเกี่ยวกับการเสียรูปของวัสดุ ความหยาบของพื้นผิว การแตกหัก ฯลฯ

วิธีองค์ประกอบเสมือน (VEM) ซึ่งแนะนำโดย Beirão da Veiga et al. (2013) ^{[ 22 ]}เป็นส่วนขยายของ วิธี ผลต่างจำกัดแบบเลียนแบบ (MFD) เป็นการวางนัยทั่วไปของวิธีองค์ประกอบจำกัดมาตรฐานสำหรับรูปทรงเรขาคณิตขององค์ประกอบใดๆ วิธีนี้อนุญาตให้ใช้รูปหลายเหลี่ยมทั่วไป (หรือรูปทรงหลายเหลี่ยมใน 3 มิติ) ที่มีรูปร่างไม่สม่ำเสมอและไม่นูน ชื่อเสมือนมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าไม่จำเป็นต้องมีความรู้เกี่ยวกับฐานฟังก์ชันรูปร่างเฉพาะที่ และในความเป็นจริงแล้วจะไม่มีการคำนวณอย่างชัดเจน

วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์บางประเภท (เช่น วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์แบบสอดคล้อง วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์แบบไม่สอดคล้องและวิธีไฟไนต์เอเลเมนต์แบบผสม) เป็นกรณีเฉพาะของวิธีการแยกส่วนแบบเกรเดียนต์ (GDM) ดังนั้น คุณสมบัติการลู่เข้าของ GDM ซึ่งได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับปัญหาหลายประเภท (เช่น ปัญหาเชิงวงรีเชิงเส้นและไม่เชิงเส้น ปัญหาเชิงพาราโบลาเชิงเส้น ไม่เชิงเส้น และแบบเสื่อมสภาพ) จึงใช้ได้กับวิธีไฟไนต์เอเลเมนต์เฉพาะเหล่านี้ด้วยเช่นกัน

วิธีผลต่างจำกัด (Finite Difference Method: FDM) เป็นอีกวิธีหนึ่งในการประมาณค่าคำตอบของสมการอนุพันธ์ย่อย (PDEs) ความแตกต่างระหว่างวิธีผลต่างจำกัด (Finite Element Method: FEM) และวิธีผลต่างจำกัด (FDM) มีดังนี้:

• คุณสมบัติที่น่าสนใจที่สุดของ FEM คือความสามารถในการจัดการกับรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อน (และขอบเขต) ได้อย่างง่ายดาย ในขณะที่ FDM ในรูปแบบพื้นฐานนั้นจำกัดอยู่เฉพาะการจัดการรูปทรงสี่เหลี่ยมผืนผ้าและการเปลี่ยนแปลงอย่างง่ายเท่านั้น การจัดการรูปทรงเรขาคณิตใน FEM นั้นทำได้ง่ายในทางทฤษฎี^{[ 3 ] [ 23 ]}
• FDM มักไม่ได้ใช้กับรูปทรงเรขาคณิต CAD ที่ไม่สม่ำเสมอ แต่มักใช้กับโมเดลรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือบล็อกมากกว่า^{[ 24 ]}
• โดยทั่วไป FEM อนุญาตให้ปรับตาข่ายได้ยืดหยุ่นกว่า FDM ^{[ 23 ]}
• คุณสมบัติที่น่าสนใจที่สุดของความแตกต่างแบบจำกัดคือสามารถนำไปใช้งานได้อย่างง่ายดาย^{[ 23 ]}
• อาจพิจารณา FDM เป็นกรณีเฉพาะของวิธีการ FEM ได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่น FEM อันดับแรกจะเหมือนกับ FDM สำหรับสมการปัวซงหากปัญหาถูกแบ่งเป็นส่วนย่อยด้วยตาข่ายสี่เหลี่ยมผืนผ้าปกติ โดยแต่ละสี่เหลี่ยมผืนผ้าถูกแบ่งออกเป็นสองสามเหลี่ยม
• มีเหตุผลหลายประการที่ควรพิจารณาพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ของการประมาณค่าด้วยวิธีไฟไนต์เอเลเมนต์ว่ามีความถูกต้องแม่นยำมากกว่า เช่น เนื่องจากคุณภาพของการประมาณค่าระหว่างจุดกริดในวิธีไฟไนต์เดโมกราฟี (FDM) นั้นไม่ดีนัก
• โดยทั่วไป คุณภาพของการประมาณค่าด้วยวิธี FEM มักจะสูงกว่าวิธี FDM ที่สอดคล้องกัน แต่ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับลักษณะของปัญหาเป็นอย่างมาก และสามารถยกตัวอย่างที่แสดงให้เห็นในทางตรงกันข้ามได้หลายกรณี

โดยทั่วไปแล้ว วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์ ( FEM) เป็นวิธีที่นิยมใช้ในการวิเคราะห์ทุกประเภทในกลศาสตร์โครงสร้าง (เช่น การหาค่าการเสียรูปและความเค้นในวัตถุแข็ง หรือพลศาสตร์ของโครงสร้าง) ในทางตรงกันข้ามพลศาสตร์ของไหลเชิงคำนวณ (CFD) มักจะใช้วิธีไฟไนต์ดิฟเฟอเรนซ์ (FDM) หรือวิธีอื่นๆ เช่น วิธีปริมาตรจำกัด (FVM) ปัญหา CFD มักต้องการการแบ่งปัญหาออกเป็นเซลล์/จุดกริดจำนวนมาก (หลายล้านจุดขึ้นไป) ดังนั้น ต้นทุนในการแก้ปัญหาจึงเอื้อต่อการประมาณค่าแบบง่ายๆ ที่มีลำดับต่ำกว่าภายในแต่ละเซลล์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในปัญหา 'การไหลภายนอก' เช่น การไหลของอากาศรอบรถยนต์ เครื่องบิน หรือการจำลองสภาพอากาศ

อีกวิธีหนึ่งที่ใช้ในการประมาณคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยคือการแปลงฟูริเยร์แบบเร็ว (FFT) โดยคำตอบจะถูกประมาณด้วยอนุกรมฟูริเยร์ที่คำนวณโดยใช้ FFT สำหรับการประมาณการตอบสนองทางกลของวัสดุภายใต้ความเค้น FFT มักจะเร็วกว่ามาก^{[ 25 ]}แต่ FEM อาจมีความแม่นยำมากกว่า^{[ 26 ]}ตัวอย่างหนึ่งของข้อดีของทั้งสองวิธีคือการจำลองการรีดแผ่นอลูมิเนียม (โลหะ FCC) และการดึงลวดทังสเตน (โลหะ BCC) การจำลองนี้ไม่มีอัลกอริทึมการอัปเดตรูปร่างที่ซับซ้อนสำหรับวิธี FFT ในทั้งสองกรณี วิธี FFT เร็วกว่า FEM มากกว่า 10 เท่า แต่ในการจำลองการดึงลวด ซึ่งมีการเสียรูปขนาดใหญ่ในเกรนวิธี FEM มีความแม่นยำมากกว่ามาก ในการจำลองการรีดแผ่น ผลลัพธ์ของทั้งสองวิธีมีความคล้ายคลึงกัน^{[ 26 ]} FFT มีข้อได้เปรียบด้านความเร็วที่มากกว่าในกรณีที่เงื่อนไขขอบเขตถูกกำหนดไว้ในความเครียด ของวัสดุ และสูญเสียประสิทธิภาพบางส่วนในกรณีที่ ใช้ ความเค้นในการกำหนดเงื่อนไขขอบเขต เนื่องจากต้องใช้การวนซ้ำของวิธีการมากขึ้น^{[ 27 ]}

วิธี FE และ FFT ยังสามารถรวมกันได้ใน วิธีการแบบ ว็อกเซล (2) เพื่อจำลองการเสียรูปในวัสดุ โดยใช้วิธี FE สำหรับความเค้นและการเสียรูปในระดับมหภาค และใช้วิธี FFT ในระดับจุลภาคเพื่อจัดการกับผลกระทบของระดับจุลภาคต่อการตอบสนองทางกล^{[ 28 ]}แตกต่างจาก FEM ความคล้ายคลึงกันของวิธี FFT กับวิธีการประมวลผลภาพหมายความว่าภาพจริงของโครงสร้างจุลภาคจากกล้องจุลทรรศน์สามารถป้อนเข้าสู่ตัวแก้ปัญหาเพื่อให้ได้การตอบสนองความเค้นที่แม่นยำยิ่งขึ้น การใช้ภาพจริงกับ FFT ช่วยหลีกเลี่ยงการสร้างตาข่ายของโครงสร้างจุลภาค ซึ่งจำเป็นหากใช้การจำลอง FEM ของโครงสร้างจุลภาค และอาจทำได้ยาก เนื่องจากค่าประมาณฟูริเยร์มีลักษณะเป็นคาบโดยธรรมชาติ FFT จึงสามารถใช้ได้เฉพาะในกรณีของโครงสร้างจุลภาคที่เป็นคาบเท่านั้น แต่เป็นเรื่องปกติในวัสดุจริง^{[ 28 ]} FFT ยังสามารถรวมกับวิธี FEM ได้โดยใช้ส่วนประกอบฟูริเยร์เป็นฐานแปรผันสำหรับการประมาณฟิลด์ภายในองค์ประกอบ ซึ่งสามารถใช้ประโยชน์จากความเร็วของตัวแก้ปัญหาแบบ FFT ได้^{[ 29 ]}

สาขาเฉพาะทางต่างๆ ภายใต้ขอบเขตของสาขาวิชาวิศวกรรมเครื่องกล (เช่น อุตสาหกรรมการบิน วิศวกรรมชีวกลศาสตร์ และอุตสาหกรรมยานยนต์) มักใช้ FEM แบบบูรณาการในการออกแบบและพัฒนาผลิตภัณฑ์ของตน แพ็คเกจ FEM สมัยใหม่หลายแพ็คเกจประกอบด้วยส่วนประกอบเฉพาะ เช่น สภาพแวดล้อมการทำงานด้านความร้อน แม่เหล็กไฟฟ้า ของเหลว และโครงสร้าง ในการจำลองโครงสร้าง FEM ช่วยอย่างมากในการสร้างภาพความแข็งและความแข็งแรง และลดน้ำหนัก วัสดุ และต้นทุน^{[ 30 ]}

เครื่องมือออกแบบอันทรงพลังนี้ได้ปรับปรุงมาตรฐานการออกแบบทางวิศวกรรมและวิธีการกระบวนการออกแบบในแอปพลิเคชันทางอุตสาหกรรมหลายอย่างอย่างมีนัยสำคัญ^{[ 32 ]}การนำ FEM มาใช้ทำให้เวลาในการนำผลิตภัณฑ์จากแนวคิดไปสู่สายการผลิตลดลงอย่างมาก^{[ 32 ]}การทดสอบและการพัฒนาได้รับการเร่งให้เร็วขึ้นเป็นหลักผ่านการออกแบบต้นแบบเริ่มต้นที่ดีขึ้นโดยใช้ FEM ^{[ 33 ]}โดยสรุป ประโยชน์ของ FEM ได้แก่ ความแม่นยำที่เพิ่มขึ้น การออกแบบที่ดีขึ้นและข้อมูลเชิงลึกที่ดีขึ้นเกี่ยวกับพารามิเตอร์การออกแบบที่สำคัญ การสร้างต้นแบบเสมือนจริง ต้นแบบฮาร์ดแวร์ที่น้อยลง วงจรการออกแบบที่เร็วขึ้นและประหยัดค่าใช้จ่ายมากขึ้น ผลผลิตที่เพิ่มขึ้น และรายได้ที่เพิ่มขึ้น^{[ 32 ]}

ในช่วงทศวรรษ 1990 มีการเสนอให้ใช้ FEM ในการสร้างแบบจำลองเชิงสุ่มเพื่อแก้ปัญหาแบบจำลองความน่าจะเป็นเชิงตัวเลข^{[ 34 ]}และต่อมาเพื่อการประเมินความน่าเชื่อถือ^{[ 35 ]}

FEM ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการประมาณสมการเชิงอนุพันธ์ที่อธิบายระบบทางกายภาพ วิธีนี้เป็นที่นิยมมากในชุมชนพลศาสตร์ของไหลเชิงคำนวณและมีการประยุกต์ใช้มากมายในการแก้สมการ Navier–Stokesด้วย FEM ^{[ 36 ] [ 37 ] [ 38 ]} เมื่อเร็วๆ นี้ การประยุกต์ใช้ FEM ได้เพิ่มขึ้นในการวิจัยพลาสมาเชิงคำนวณ มีการเสนอผลลัพธ์เชิงตัวเลขที่น่าสนใจโดยใช้ FEM สำหรับพลศาสตร์ของไหลแม่เหล็กสม การ Vlasovและสมการ Schrödinger ^{[ 39 ] [ 40 ]}

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับ การสร้างแบบจำลอง ด้วยวิธีไฟไนต์เอเลเมนต์

• G. Allaire และ A. Craig: การวิเคราะห์เชิงตัวเลขและการหาค่าเหมาะสมที่สุด: บทนำสู่การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และการจำลองเชิงตัวเลข
• KJ Bathe: วิธีการเชิงตัวเลขในการวิเคราะห์องค์ประกอบจำกัด , Prentice-Hall (1976)
• Thomas JR Hughes: วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์: การวิเคราะห์ไฟไนต์เอเลเมนต์เชิงเส้นแบบสถิตและแบบไดนามิก, Prentice-Hall (1987)
• J. Chaskalovic: วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์สำหรับวิทยาศาสตร์วิศวกรรม , Springer Verlag, (2008).
• Endre Süli : วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย
• OC Zienkiewicz, RL Taylor, JZ Zhu: วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์: พื้นฐานและหลักการ , Butterworth-Heinemann (2005)
• N. Ottosen, H. Petersson: บทนำสู่วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์, Prentice-Hall (1992)
• Susanne C. Brenner, L. Ridgway Scott: ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของวิธีองค์ประกอบจำกัด , Springer-Verlag นิวยอร์ก, ISBN 978-0-387-75933-3 (2008)
• Zohdi, TI (2018) คู่มือเบื้องต้นเกี่ยวกับวิธีไฟไนต์เอเลเมนต์สำหรับผู้เริ่มต้น - ฉบับขยายพร้อมตัวอย่างแบบทดสอบและโครงงาน ฉบับพิมพ์ครั้งที่สองhttps://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-70428-9
• Leszek F. Demkowicz: ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ขององค์ประกอบจำกัด , SIAM, ISBN 978-1-61197-772-1 (2024)