ในทางคณิตศาสตร์ปัญหาค่าขอบเขตเชิงวงรีเป็นปัญหาค่าขอบเขตชนิดพิเศษซึ่งสามารถมองได้ว่าเป็นสภาวะคงที่ของปัญหาการวิวัฒนาการตัวอย่างเช่นปัญหา Dirichletสำหรับตัวดำเนินการลาปลาเซียนจะให้การกระจายความร้อนในห้องในที่สุดหลายชั่วโมงหลังจากเปิดเครื่องทำความร้อน

สมการเชิงอนุพันธ์อธิบายปรากฏการณ์ทางธรรมชาติมากมาย ตั้งแต่สมการความร้อนที่อธิบายการเปลี่ยนแปลงของความร้อนใน (เช่น) แผ่นโลหะ ไปจนถึงสมการนาเวียร์-สโตกส์ที่อธิบายการเคลื่อนที่ของของเหลว รวมถึงสมการของไอน์สไตน์ที่อธิบายจักรวาลทางกายภาพในเชิงสัมพัทธภาพ แม้ว่าสมการเหล่านี้จะเป็นปัญหาค่าขอบเขต แต่ก็ยังแบ่งย่อยออกเป็นหมวดหมู่ต่างๆ อีก ซึ่งจำเป็นเพราะแต่ละหมวดหมู่จะต้องได้รับการวิเคราะห์โดยใช้เทคนิคที่แตกต่างกัน บทความนี้กล่าวถึงหมวดหมู่ของปัญหาค่าขอบเขตที่เรียกว่าปัญหาเชิงเส้นวงรี

ปัญหาค่าขอบเขตและสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยระบุความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณสองปริมาณขึ้นไป ตัวอย่างเช่น ในสมการความร้อน อัตราการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิ ณ จุดหนึ่งมีความสัมพันธ์กับความแตกต่างของอุณหภูมิระหว่างจุดนั้นกับจุดใกล้เคียง กล่าวคือ เมื่อเวลาผ่านไป ความร้อนจะไหลจากจุดที่ร้อนกว่าไปยังจุดที่เย็นกว่า ปัญหาค่าขอบเขตอาจเกี่ยวข้องกับพื้นที่ เวลา และปริมาณอื่นๆ เช่น อุณหภูมิ ความเร็ว ความดัน สนามแม่เหล็ก เป็นต้น

ปัญหาบางอย่างไม่เกี่ยวข้องกับเวลา ตัวอย่างเช่น หากแขวนราวตากผ้าไว้ระหว่างบ้านกับต้นไม้ ในกรณีที่ไม่มีลม ราวตากผ้าจะไม่ขยับและจะโค้งงออย่างนุ่มนวลซึ่งเรียกว่าเส้นโค้งแคทเทนารี [ ^{1 ] รูป}ทรงโค้งนี้สามารถคำนวณได้จากการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ที่เชื่อมโยงตำแหน่ง แรงตึง มุม และแรงโน้มถ่วง แต่เนื่องจากรูปทรงไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา จึงไม่มีตัวแปรเวลา

ปัญหาค่าขอบเขตเชิงวงรีเป็นกลุ่มของปัญหาที่ไม่เกี่ยวข้องกับตัวแปรเวลา แต่ขึ้นอยู่กับตัวแปรเชิงพื้นที่เท่านั้น

ในสองมิติ ให้เป็นพิกัด เราจะใช้สัญลักษณ์ตัวห้อยสำหรับอนุพันธ์ย่อยอันดับ ที่หนึ่งและอันดับที่สอง ของเทียบกับและสัญลักษณ์ที่คล้ายกันสำหรับเรากำหนดเกรเดียนต์ ตัวดำเนินการลาปลาสและไดเวอร์เจนซ์โปรดสังเกตจากนิยามว่า ${\displaystyle x,y}$${\displaystyle u_{x},u_{xx}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \nabla u=(u_{x},u_{y})}$${\displaystyle \Delta u=u_{xx}+u_{yy}}$${\displaystyle \nabla \cdot (u,v)=u_{x}+v_{y}}$${\displaystyle \Delta u=\nabla \cdot (\nabla u)}$

ตัวอย่างหลักของปัญหาค่าขอบเขตคือตัวดำเนินการลาปลาส

${\displaystyle \Delta u=f{\text{ in }}\Omega ,}$

${\displaystyle u=0{\text{ บน }}\partial \Omega ;}$

โดยที่เป็นบริเวณในระนาบ และเป็นขอบเขตของบริเวณนั้น ฟังก์ชันคือข้อมูลที่ทราบแล้ว และคำตอบคือสิ่งที่ต้องคำนวณ ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle f}$${\displaystyle u}$

คำตอบนี้สามารถตีความได้ว่าเป็นการกระจายความร้อนแบบคงที่หรือแบบจำกัดในแผ่นโลหะรูปทรง ที่ มีขอบเขตคงที่ที่อุณหภูมิศูนย์องศา ฟังก์ชันนี้แสดงถึงความเข้มของการเกิดความร้อน ณ แต่ละจุดในแผ่น หลังจากรอเป็นเวลานาน การกระจายอุณหภูมิในแผ่นโลหะจะเข้าใกล้ค่าคงที่ ${\displaystyle u}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle f}$${\displaystyle u}$

โดยทั่วไป ปัญหาค่าขอบเขต (BVP) ประกอบด้วยสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (PDE) ที่อยู่ภายใต้เงื่อนไขขอบเขตสำหรับตอนนี้เราจะพิจารณาสม การเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับสองที่อยู่ภายใต้เงื่อนไขขอบเขตแบบ Dirichlet

ให้เป็นเซตย่อยแบบเปิดและมี ขอบเขตของ ให้ แทนขอบเขตของเซตย่อยด้วยและแทนตัวแปรด้วย การ แทนสมการ เชิงอนุพันธ์ย่อยด้วยตัว ดำเนิน การเชิงอนุพันธ์ ย่อย ที่กระทำกับฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าของจะส่งผลให้เกิดปัญหาค่าขอบเขตในรูปแบบ โดยที่เป็นฟังก์ชันที่กำหนดให้และและตัวดำเนินการมีรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งดังต่อไปนี้: หรือ สำหรับฟังก์ชันสัมประสิทธิ์ที่กำหนดให้ ${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \partial U}$${\displaystyle x=(x_{1},...,x_{n})}$${\displaystyle L}$${\displaystyle u=u(x)}$${\displaystyle x\in U}$$${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}Lu&=f&&{\text{in }}U\\u&=0&&{\text{on }}\partial U,\end{aligned}}\right.}$$${\displaystyle f:U\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle f=f(x)}$${\displaystyle u:U\cup \partial U\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle L}$$${\displaystyle Lu(x)=-\sum _{i,j=1}^{n}(a_{ij}(x)u_{x_{i}})_{x_{j}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(x)u_{x_{i}}(x)+c(x)u(x),}$$$${\displaystyle Lu(x)=-\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(x)u_{x_{i}x_{j}}+\sum _{i=1}^{n}{\tilde {b}}_{i}(x)u_{x_{i}}(x)+c(x)u(x),}$$${\displaystyle a_{ij}(x),b_{i}(x),c(x)}$

สมการอนุพันธ์ ย่อย (PDE) จะอยู่ในรูปแบบไดเวอร์เจนซ์ในกรณีแรก และอยู่ในรูปแบบนอนไดเวอร์เจนซ์ในกรณีหลัง ถ้าฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องทั้งสองกรณีจะเทียบเท่ากัน ใน สัญกรณ์เมทริกซ์ เราสามารถให้เป็นฟังก์ชันค่าเมทริกซ์ของและเป็นฟังก์ชันค่าเวกเตอร์คอลัมน์มิติของจากนั้นเราสามารถเขียน (รูปแบบไดเวอร์เจนซ์เป็น) เราอาจสมมติโดยไม่เสียความเป็นทั่วไปว่าเมทริกซ์เป็นเมทริกซ์สมมาตร (นั่นคือ สำหรับทุก, . เราจะใช้สมมติฐานนี้ในส่วนที่เหลือของบทความนี้ ${\displaystyle Lu=f}$${\displaystyle a_{ij}}$$${\displaystyle {\tilde {b}}_{i}(x)=b_{i}(x)+\sum _{j}a_{ij,x_{j}}(x).}$$${\displaystyle a(x)}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle b(x)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle Lu=-\nabla \cdot (a\nabla u)+b^{T}\nabla u+cu}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle i,j,x}$${\displaystyle a_{ij}(x)=a_{ji}(x)}$

เรากล่าวว่าตัวดำเนินการนั้นเป็นแบบวงรี (elliptic)ถ้าสำหรับค่าคงที่บางค่า เงื่อนไขที่เทียบเท่ากันต่อไปนี้ข้อใดข้อหนึ่งเป็นจริง: ${\displaystyle L}$${\displaystyle \alpha >0}$

1. ${\displaystyle \lambda _{\min }(a(x))>\alpha \;\;\;\forall x}$(ดูค่าไอเกน )
2. ${\displaystyle u^{T}a(x)u>\alpha u^{T}u\;\;\;\forall u\in \mathbb {R} ^{n}}$.
3. ${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}u_{i}u_{j}>\alpha \sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\;\;\;\forall u\in \mathbb {R} ^{n}}$.

ถ้าตัวดำเนินการอนุพันธ์ย่อยอันดับสองเป็นแบบวงรี ปัญหาค่าขอบเขตที่เกี่ยวข้องจะเรียกว่าปัญหาค่าขอบเขตแบบวงรี ${\displaystyle L}$

ปัญหาค่าขอบเขตข้างต้นเป็นตัวอย่างเฉพาะของปัญหา DirichletปัญหาNeumannคือ

${\displaystyle Lu=f{\text{ ใน }}\Omega }$และ

${\displaystyle u_{\nu }=g{\text{ on }}\partial \Omega }$

โดยที่คืออนุพันธ์ของในทิศทางของเวกเตอร์ปกติที่ชี้ออกด้านนอกของโดยทั่วไป ถ้าเป็นตัวดำเนินการร่องรอย ใดๆ เราสามารถสร้างปัญหาค่าขอบเขตได้ ${\displaystyle u_{\nu }}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle B}$

${\displaystyle Lu=f{\text{ ใน }}\Omega }$และ

${\displaystyle Bu=g{\text{ on }}\partial \Omega }$.

ในส่วนที่เหลือของบทความนี้ เราจะถือว่าเมทริกซ์นั้นเป็นเมทริกซ์วงรี และเงื่อนไขขอบเขตคือเงื่อนไขของDirichlet ${\displaystyle L}$${\displaystyle u=0{\text{ on }}\partial \Omega }$

การวิเคราะห์ปัญหาค่าขอบเขตเชิงวงรีจำเป็นต้องใช้เครื่องมือวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน ที่ค่อนข้างซับซ้อน เราต้องการปริภูมิ ซึ่งเป็นปริภูมิโซโบเลฟของฟังก์ชันที่ "หาอนุพันธ์ได้ครั้งเดียว" บนโดยที่ทั้งฟังก์ชันและอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันนั้นสามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้กล่าวคือ: มีรายละเอียดปลีกย่อยอยู่ตรงนี้คือ อนุพันธ์ย่อยจะต้องถูกกำหนด "ในความหมายแบบอ่อน" (ดูรายละเอียดในบทความเกี่ยวกับปริภูมิโซโบเลฟ) ปริภูมิเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตซึ่งเป็นส่วนสำคัญที่ทำให้การวิเคราะห์ปัญหาเหล่านี้ทำได้ง่าย ${\displaystyle H^{1}(\Omega )}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle u}$${\displaystyle u_{x_{i}}}$${\displaystyle i=1,\dots ,n}$$${\displaystyle H^{1}(\Omega )=\left\{u\in L^{2}(\Omega ),\;\;u_{x_{j}}\in L^{2}(\Omega ),\;\;1\leq i\leq n\right\}.}$$${\displaystyle H^{1}}$

เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น อนุพันธ์ทั้งหมดในบทความนี้จะต้องตีความในความหมายแบบอ่อนของโซโบเลฟ เราใช้คำว่า "อนุพันธ์แบบเข้ม" เพื่ออ้างถึงอนุพันธ์แบบคลาสสิกของแคลคูลัส เรายังระบุด้วยว่าปริภูมิประกอบด้วยฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์แบบเข้มได้ 3 ครั้ง และอนุพันธ์ลำดับที่ มีความต่อเนื่อง ${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle k=0,1,\dots }$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

ขั้นตอนแรกในการกำหนดปัญหาค่าขอบเขตให้อยู่ในรูปของปริภูมิโซโบเลฟ คือการเขียนปัญหานั้นใหม่ให้อยู่ในรูปแบบอ่อน พิจารณาปัญหาลาปลาสคูณแต่ละข้างของสมการด้วย "ฟังก์ชันทดสอบ" แล้วทำการอินทิเกรตโดยใช้ทฤษฎีบทของกรีนเพื่อหาผลลัพธ์ ${\displaystyle \Delta u=f}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle -\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi +\int _{\partial \Omega }u_{\nu }\varphi =\int _{\Omega }f\varphi }$.

เราจะแก้ปัญหา Dirichlet ดังนั้น. ด้วยเหตุผลทางเทคนิค เป็นประโยชน์ที่จะสมมติว่ามาจากปริภูมิฟังก์ชันเดียวกันกับดังนั้นเราจึงสมมติว่า ด้วยซึ่งจะกำจัดเทอม ออกไป ทำให้ได้ .${\displaystyle u=0{\text{ on }}\partial \Omega }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle u}$${\displaystyle \varphi =0{\text{ on }}\partial \Omega }$${\displaystyle \int _{\partial \Omega }}$

${\displaystyle A(u,\varphi )=F(\varphi )}$(*)

ที่ไหน

${\displaystyle A(u,\varphi )=\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi }$และ

${\displaystyle F(\varphi )=-\int _{\Omega }f\varphi }$.

ถ้า เป็น ตัวดำเนินการเชิงวงรีทั่วไปเหตุผลเดียวกันนี้จะนำไปสู่รูปแบบทวิเชิงเส้น ${\displaystyle L}$

${\displaystyle A(u,\varphi )=\int _{\Omega }\nabla u^{T}a\nabla \varphi -\int _{\Omega }b^{T}\nabla u\varphi -\int _{\Omega }cu\varphi }$.

เราไม่ได้กล่าวถึงปัญหาของนอยมันน์ แต่ขอสังเกตว่ามีการวิเคราะห์ปัญหาดังกล่าวในลักษณะที่คล้ายคลึงกัน

แผนที่นี้ถูกกำหนดบนปริภูมิโซโบเลฟของฟังก์ชันซึ่งหาอนุพันธ์ได้หนึ่งครั้งและเป็นศูนย์ที่ขอบเขตโดยมีเงื่อนไขบางประการสำหรับและมีตัวเลือกที่เป็นไปได้มากมาย แต่เพื่อจุดประสงค์ของบทความนี้ เราจะสมมติว่า ${\displaystyle A(u,\varphi )}$${\displaystyle H_{0}^{1}\subset H^{1}}$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle \Omega }$

1. ${\displaystyle a_{ij}(x)}$สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องบนสำหรับ${\displaystyle {\bar {\Omega }}}$${\displaystyle i,j=1,\dots ,n,}$
2. ${\displaystyle b_{i}(x)}$ต่อเนื่องไปเรื่อยๆ${\displaystyle {\bar {\Omega }}}$${\displaystyle i=1,\dots ,n,}$
3. ${\displaystyle c(x)}$ต่อเนื่องไปเรื่อยๆและ${\displaystyle {\bar {\Omega }}}$
4. ${\displaystyle \Omega }$มีขอบเขตจำกัด

ผู้อ่านสามารถตรวจสอบได้ว่าแผนที่นี้เป็นแบบทวิเชิงเส้นและต่อเนื่องและแผนที่นี้เป็นเชิงเส้นในและต่อเนื่องหาก (ตัวอย่างเช่น) สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ ${\displaystyle A(u,\varphi )}$${\displaystyle F(\varphi )}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle f}$

เรากล่าวว่าแผนที่นั้นเป็นการบังคับหากมีเงื่อนไขสำหรับทุกเงื่อนไข ${\displaystyle A}$${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle u,\varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$

${\displaystyle A(u,\varphi )\geq \alpha \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi .}$

นี่เป็นความจริงอย่างง่ายๆ สำหรับตัวดำเนินการลาปลาเซียน (โดยที่) และยังเป็นจริงสำหรับตัวดำเนินการเชิงวงรีหากเราสมมติว่าและ(โปรดจำไว้ว่าเมื่อเป็นตัวดำเนินการเชิงวงรี) ${\displaystyle \alpha =1}$${\displaystyle b=0}$${\displaystyle c\leq 0}$${\displaystyle u^{T}au>\alpha u^{T}u}$${\displaystyle L}$

อาจแสดงให้เห็นได้โดยใช้ทฤษฎีบทของ Lax–Milgramว่าเมื่อใดก็ตามที่ เป็นแบบบังคับและเป็นแบบต่อเนื่อง จะมีคำตอบที่ไม่ซ้ำกันสำหรับปัญหาอ่อน (*) ${\displaystyle A(u,\varphi )}$${\displaystyle F(\varphi )}$${\displaystyle u\in H_{0}^{1}(\Omega )}$

ถ้าสมมาตรเพิ่มเติม (เช่น) เราสามารถแสดงผลลัพธ์เดียวกันได้โดยใช้ทฤษฎีบทการแสดงแทนของรีซแทน ${\displaystyle A(u,\varphi )}$${\displaystyle b=0}$

สิ่งนี้อาศัยข้อเท็จจริงที่ว่ามันก่อให้เกิดผลคูณภายในบนซึ่งตัวมันเองก็ขึ้นอยู่กับอสมการของปวงกาเร ${\displaystyle A(u,\varphi )}$${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$

เราได้แสดงให้เห็นแล้วว่ามีวิธีแก้ปัญหาแบบอ่อนได้ แต่เราไม่ทราบว่าวิธีนี้จะแก้ปัญหาแบบแข็งได้ หรือไม่${\displaystyle u\in H_{0}^{1}(\Omega )}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle Lu=f{\text{ in }}\Omega ,}$

${\displaystyle u=0{\text{ on }}\partial \Omega ,}$

สิ่งที่น่าหงุดหงิดยิ่งกว่าคือ เราไม่แน่ใจด้วยซ้ำว่าเมทริกซ์นั้นสามารถหาอนุพันธ์อันดับสองได้หรือไม่ ทำให้สมการนั้นดูเหมือนไร้ความหมาย มีหลายวิธีที่จะแก้ไขสถานการณ์นี้ วิธีหลักคือการใช้หลักการความสม่ำเสมอ (regularity ) ${\displaystyle u}$${\displaystyle u_{x_{i}x_{j}}}$${\displaystyle Lu}$

ทฤษฎีบทความสม่ำเสมอสำหรับปัญหาค่าขอบเขตเชิงเส้นวงรีอันดับสองมีรูปแบบดังนี้

ทฤษฎีบทถ้า (เงื่อนไขบางประการ) แล้วคำตอบจะอยู่ในปริภูมิของฟังก์ชันที่ "สามารถหาอนุพันธ์อันดับสองได้" ซึ่งอนุพันธ์อันดับสองสามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้${\displaystyle u}$${\displaystyle H^{2}(\Omega )}$

ยังไม่มีเงื่อนไขง่ายๆ ที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการสรุปของทฤษฎีบทนี้ แต่เงื่อนไขต่อไปนี้เป็นที่ทราบกันว่าเพียงพอ:

1. ขอบเขตของคือหรือ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle C^{2}}$
2. ${\displaystyle \Omega }$เป็นรูปทรงนูน

อาจดูเหมือนว่าถ้าเป็นแบบแยกส่วนแล้ว ก็จะอยู่ใน ด้วยเช่นกันแต่น่าเสียดายที่ข้อสรุปนั้นไม่ถูกต้อง ${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle H^{2}}$

ในกรณีที่อนุพันธ์อันดับสองของถูกกำหนดไว้เกือบทุกที่และในกรณีนั้นเกือบทุกที่ ${\displaystyle u\in H^{2}(\Omega )}$${\displaystyle u}$${\displaystyle Lu=f}$

อาจพิสูจน์ได้เพิ่มเติมว่า ถ้าขอบเขตของเป็นแมนิโฟลด์เรียบและสามารถหาอนุพันธ์ได้อนันต์ครั้งในความหมายที่เข้มงวดแล้วก็สามารถหาอนุพันธ์ได้อนันต์ครั้งในความหมายที่เข้มงวดเช่นกัน ในกรณีนี้ด้วยนิยามที่เข้มงวดของอนุพันธ์ ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle u}$${\displaystyle Lu=f}$

การพิสูจน์ข้อนี้อาศัยทฤษฎีความสม่ำเสมอที่ได้รับการปรับปรุงซึ่งกล่าวว่า ถ้าและ, , แล้วร่วมกับทฤษฎีการฝังตัวของโซโบเลฟที่กล่าวว่า ฟังก์ชันในจะอยู่ใน ด้วยเช่นกันเมื่อใดก็ตามที่ ${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle f\in H^{k-2}(\Omega )}$${\displaystyle k\geq 2}$${\displaystyle u\in H^{k}(\Omega )}$${\displaystyle H^{k}(\Omega )}$${\displaystyle C^{m}({\bar {\Omega }})}$${\displaystyle 0\leq m<k-n/2}$

แม้ว่าในบางกรณีพิเศษ การแก้ปัญหาเชิงวงรีโดยตรงอาจเป็นไปได้ แต่โดยทั่วไปแล้วเป็นไปไม่ได้ วิธีแก้ปัญหาที่เป็นธรรมชาติคือการประมาณปัญหาเชิงวงรีด้วยปัญหาที่ง่ายกว่า และแก้ปัญหาที่ง่ายกว่านี้ด้วยคอมพิวเตอร์

เนื่องจากคุณสมบัติที่ดีที่เราได้กล่าวมาแล้ว (รวมถึงคุณสมบัติอื่นๆ อีกมากมายที่เราไม่ได้กล่าวถึง) จึงมีตัวแก้ปัญหาเชิงตัวเลขที่มีประสิทธิภาพสูงมากสำหรับปัญหาค่าขอบเขตเชิงเส้นแบบวงรี (ดูตัวอย่าง เช่น วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์วิธีไฟไนต์ดิฟเฟอเรนซ์และวิธีสเปกตรัม )

ทฤษฎีบทการฝังตัวของโซโบเลฟอีกข้อหนึ่งระบุว่าการรวมนั้นเป็นแผนที่เชิงเส้น แบบกะทัดรัด เมื่อรวมกับทฤษฎีบทสเปกตรัมสำหรับตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบกะทัดรัด จะได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้ ${\displaystyle H^{1}\subset L^{2}}$

ทฤษฎีบทสมมติว่าเป็นฟังก์ชันบังคับ ต่อเนื่อง และสมมาตร ฟังก์ชันจากไปเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นกระชับ มีฐานของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะและค่าลักษณะเฉพาะ ที่ตรงกัน โดยที่${\displaystyle A(u,\varphi )}$${\displaystyle S:f\rightarrow u}$${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$${\displaystyle u_{1},u_{2},\dots \in H^{1}(\Omega )}$${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots \in \mathbb {R} }$

1. ${\displaystyle Su_{k}=\lambda _{k}u_{k},k=1,2,\dots ,}$
2. ${\displaystyle \lambda _{k}\rightarrow 0}$เช่น ,${\displaystyle k\rightarrow \infty }$
3. ${\displaystyle \lambda _{k}\gneqq 0\;\;\forall k}$,
4. ${\displaystyle \int _{\Omega }u_{j}u_{k}=0}$เมื่อใดก็ตามและ${\displaystyle j\neq k}$
5. ${\displaystyle \int _{\Omega }u_{j}u_{j}=1}$สำหรับทุกคน${\displaystyle j=1,2,\dots \,.}$

หากคำนวณค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะได้แล้ว ก็จะสามารถหาคำตอบ "ที่ชัดเจน" ของสมการได้ ${\displaystyle Lu=f}$

${\displaystyle u=\sum _{k=1}^{\infty }{\hat {u}}(k)u_{k}}$

โดยใช้สูตร

${\displaystyle {\hat {u}}(k)=\lambda _{k}{\hat {f}}(k),\;\;k=1,2,\dots }$

ที่ไหน

${\displaystyle {\hat {f}}(k)=\int _{\Omega }f(x)u_{k}(x)\,dx.}$

(ดูอนุกรมฟูริเยร์ )

อนุกรมลู่เข้าที่ . เมื่อนำไปใช้กับคอมพิวเตอร์โดยใช้การประมาณเชิงตัวเลข วิธี นี้เรียกว่าวิธีสเปกตรัม${\displaystyle L^{2}}$

พิจารณาปัญหา

${\displaystyle u-u_{xx}-u_{yy}=f(x,y)=xy}$บน${\displaystyle (0,1)\times (0,1),}$

${\displaystyle u(x,0)=u(x,1)=u(0,y)=u(1,y)=0\;\;\forall (x,y)\in (0,1)\times (0,1)}$(เงื่อนไขของ Dirichlet)

ผู้อ่านสามารถตรวจสอบได้ว่าเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะนั้นถูกต้องแม่นยำ

${\displaystyle u_{jk}(x,y)=\sin(\pi jx)\sin(\pi ky)}$,${\displaystyle j,k\in \mathbb {N} }$

ด้วยค่าลักษณะเฉพาะ

${\displaystyle \lambda _{jk}={1 \over 1+\pi ^{2}j^{2}+\pi ^{2}k^{2}}.}$

ค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ของสามารถหาได้จากตาราง โดยจะได้ดังนั้น ${\displaystyle g(x)=x}$${\displaystyle {\hat {g}}(n)={(-1)^{n+1} \over \pi n}}$

${\displaystyle {\hat {f}}(j,k)={(-1)^{j+k+1} \over \pi ^{2}jk}}$

ส่งผลให้ได้วิธีแก้ปัญหา

${\displaystyle u(x,y)=\sum _{j,k=1}^{\infty }{(-1)^{j+k+1} \over \pi ^{2}jk(1+\pi ^{2}j^{2}+\pi ^{2}k^{2})}\sin(\pi jx)\sin(\pi ky).}$

หลักการหาค่าสูงสุดมีหลายรูปแบบ เราจะยกตัวอย่างแบบง่ายๆ มาหนึ่งแบบ

ทฤษฎีบท(หลักการค่าสูงสุดแบบอ่อน) ให้และสมมติว่าสมมติว่าในแล้วกล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่าสูงสุดจะเกิดขึ้นที่ขอบเขต${\displaystyle u\in C^{2}(\Omega )\cap C^{1}({\bar {\Omega }})}$${\displaystyle c(x)=0\;\forall x\in \Omega }$${\displaystyle Lu\leq 0}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \max _{x\in {\bar {\Omega }}}u(x)=\max _{x\in \partial \Omega }u(x)}$

หลักการค่าสูงสุดที่แข็งแกร่งจะสรุปได้ว่าสำหรับทุกกรณีเว้นแต่ว่าค่าคงที่ ${\displaystyle u(x)\lneqq \max _{y\in \partial \Omega }u(y)}$${\displaystyle x\in \Omega }$${\displaystyle u}$