ในทฤษฎี สม การ เชิงอนุพันธ์ย่อยตัวดำเนินการเชิงวงรีเป็น ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ที่ขยายความจากตัวดำเนินการลาปลาสโดยนิยามจากเงื่อนไขที่ว่าสัมประสิทธิ์ของอนุพันธ์อันดับสูงสุดต้องเป็นบวก ซึ่งหมายถึงคุณสมบัติสำคัญที่ว่าสัญลักษณ์หลักนั้นสามารถผกผันได้ หรือเทียบเท่ากับว่าไม่มีทิศทาง ลักษณะเฉพาะที่ เป็นจำนวนจริง

ตัวดำเนินการเชิงวงรีเป็นลักษณะเฉพาะของทฤษฎีศักย์และปรากฏบ่อยครั้งในไฟฟ้าสถิตและกลศาสตร์ต่อเนื่องความสม่ำเสมอเชิงวงรีบ่งชี้ว่าคำตอบของตัวดำเนินการเหล่านี้มีแนวโน้มที่จะเป็นฟังก์ชันเรียบ (หากสัมประสิทธิ์ในตัวดำเนินการเรียบ) คำตอบสภาวะคงที่ของสมการไฮเปอร์โบลิกและพาราโบลิกโดยทั่วไปจะแก้สมการเชิงวงรีได้

ให้เป็น ตัว ดำเนิน การเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับmบนโดเมนในR ⁿที่กำหนดโดย โดย ที่แทนดัชนีหลายตัวและ แทนอนุพันธ์ย่อยอันดับใน${\displaystyle L}$${\displaystyle \Omega }$$${\displaystyle Lu=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)\บางส่วน ^{\alpha }u}$$${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}$${\displaystyle \partial ^{\alpha }u=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{n}^{\alpha _{n}}u}$${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle x_{i}}$

เรียกว่าเป็นแบบวงรีถ้า สำหรับทุกxในและทุกค่าที่ไม่เป็นศูนย์ในR ⁿโดย ที่${\displaystyle L}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \xi }$$${\displaystyle \sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }\neq 0,}$$${\displaystyle \xi ^{\alpha }=\xi _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \xi _{n}^{\alpha _{n}}}$

ในการใช้งานหลายๆ ครั้ง เงื่อนไขนี้ไม่เข้มงวดเพียงพอ และแทนที่จะเป็นเช่นนั้น อาจมีการกำหนด เงื่อนไขความเป็นวงรีที่สม่ำเสมอสำหรับตัวดำเนินการที่มีอันดับm  = 2k โดยที่ C เป็นค่าคงที่บวก โปรดทราบว่าความเป็นวงรีขึ้นอยู่กับพจน์ที่มีอันดับสูงสุดเท่านั้น^{[ 1 ]}$${\displaystyle (-1)^{k}\sum _{|\alpha |=2k}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }>C|\xi |^{2k},}$$

ตัวดำเนินการไม่เชิงเส้น เรียกว่าตัวดำเนินการเชิงวงรี ถ้าการทำให้เป็นเชิงเส้นของตัวดำเนิน การนั้น เป็นตัวดำเนินการเชิงวงรี กล่าวคือ การกระจายอนุกรมเทย์เลอร์อันดับแรกเทียบกับuและอนุพันธ์ของมันรอบจุดใดๆ ก็ตามเป็นตัวดำเนินการเชิงวงรี $${\displaystyle L(u)=F\left(x,u,\left(\partial ^{\alpha }u\right)_{|\alpha |\leq m}\right)}$$

ตัวอย่างที่ 1

ตัวดำเนิน การ ลาปลาเซียนเชิงลบในR ^dที่กำหนดโดยเป็นตัวดำเนินการเชิงวงรีสม่ำเสมอ ตัวดำเนินการลาปลาเซียนปรากฏบ่อยครั้งในไฟฟ้าสถิต ถ้า ρ คือความหนาแน่นประจุภายในบริเวณ Ω ที่มีค่าสภาพยอม เชิงเส้น ɛ ศักย์ไฟฟ้า Φ ต้องสอดคล้องกับสมการนี้ ซึ่งเป็นผลโดยตรงจากสมการแรกของแม็กซ์เวลล์กฎของเกาส์และนิยามของศักย์ดังนี้:$${\displaystyle -\Delta u=-\sum _{i=1}^{d}\partial _{i}^{2}u}$$$${\displaystyle -\Delta \Phi ={\frac {\rho }{\varepsilon }}.}$$${\displaystyle -\nabla \Phi ={\boldสัญลักษณ์ {E}}\,.}$

ตัวอย่างที่ 2 ^{[ 2 ]}

กำหนดให้ฟังก์ชันเมทริกซ์A ( x ) เป็นเมทริกซ์บวกแน่นอนสม่ำเสมอสำหรับทุกxโดยมีส่วนประกอบa ^ijตัวดำเนินการนี้เป็นตัวดำเนินการเชิงวงรี นี่คือรูปแบบทั่วไปที่สุดของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงวงรีเชิงเส้นแบบไดเวอร์เจนซ์อันดับสอง ตัวดำเนินการลาปลาสได้มาจากการกำหนดให้A = Iตัวดำเนินการเหล่านี้ยังปรากฏในไฟฟ้าสถิตในตัวกลางโพลาไรซ์ด้วย$${\displaystyle Lu=-\partial _{i}\left(a^{ij}(x)\partial _{j}u\right)+b^{j}(x)\partial _{j}u+cu}$$

ตัวอย่างที่ 3

สำหรับpที่เป็นจำนวนไม่ติดลบ ตัวดำเนินการ p-Laplacian คือตัวดำเนินการเชิงวงรีแบบไม่เชิงเส้นที่กำหนดโดยตัวดำเนินการแบบไม่เชิงเส้นที่คล้ายกันนี้เกิดขึ้นในกลศาสตร์ของธารน้ำแข็งเทนเซอร์ความเค้นของ Cauchyของน้ำแข็ง ตามกฎการไหลของ Glenกำหนดโดยสำหรับค่าคงที่B บาง ค่า ความเร็วของแผ่นน้ำแข็งในสภาวะสมดุลจะแก้ระบบสมการเชิงวงรีแบบไม่เชิงเส้นโดยที่ρคือความหนาแน่นของน้ำแข็งgคือเวกเตอร์ความเร่งโน้มถ่วงpคือความดัน และQคือเทอมแรงกระทำ$${\displaystyle L(u)=-\sum _{i=1}^{d}\partial _{i}\left(|\nabla u|^{p-2}\partial _{i}u\right).}$$$${\displaystyle \tau _{ij}=B\left(\sum _{k,l=1}^{3}\left(\partial _{l}u_{k}\right)^{2}\right)^{-{\frac {1}{3}}}\cdot {\frac {1}{2}}\left(\partial _{j}u_{i}+\partial _{i}u_{j}\right)}$$$${\displaystyle \sum _{j=1}^{3}\partial _{j}\tau _{ij}+\rho g_{i}-\partial _{i}p=Q,}$$

ให้Lเป็นตัวดำเนินการเชิงวงรีอันดับ 2k ที่มีสัมประสิทธิ์ที่มีอนุพันธ์ต่อเนื่อง 2k ตัวปัญหา DirichletสำหรับLคือการหาฟังก์ชันuโดยกำหนดฟังก์ชันfและค่าขอบเขตที่เหมาะสมบางค่า ซึ่งทำให้Lu = fและu มีค่าขอบเขต และ อนุพันธ์ปกติที่เหมาะสม ทฤษฎีการมีอยู่ของตัวดำเนินการเชิงวงรี โดยใช้ความไม่เท่าเทียมกันของ Gårding , บทตั้งของ Lax–Milgramและทางเลือกของ Fredholmระบุเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับ การมีอยู่ ของคำตอบอ่อนuใน^{ปริภูมิ} Sobolev Hk

ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวดำเนินการเชิงวงรีอันดับสองดังในตัวอย่างที่ 2

• มีจำนวนγ>0อยู่จำนวนหนึ่ง ซึ่งสำหรับแต่ละμ>γและแต่ละค่าจะมีคำตอบเฉพาะตัวของปัญหาค่าขอบเขตซึ่งอิงตามทฤษฎีบทของ Lax- Milgram${\displaystyle f\in L^{2}(U)}$${\displaystyle u\in H_{0}^{1}(U)}$${\displaystyle Lu+\mu u=f{\text{ ใน }}U,u=0{\text{ บน }}\partial U}$
• (ก) สำหรับใดๆ( 1) จะมีคำตอบที่ไม่ซ้ำกัน หรือ (ข) จะมีคำตอบซึ่งขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของตัวดำเนินการแบบกระชับและทางเลือกของเฟรดโฮล์ม${\displaystyle f\in L^{2}(U)}$${\displaystyle Lu=f{\text{ ใน }}U,u=0{\text{ บน }}\partial U}$${\displaystyle Lu=0{\text{ ใน }}U,u=0{\text{ บน }}\partial U}$${\displaystyle u\not \equiv 0}$

สถานการณ์นี้ในที่สุดก็ไม่เป็นที่น่าพอใจ เนื่องจากคำตอบที่อ่อนแอuอาจไม่มีอนุพันธ์มากพอที่จะทำให้การแสดงออกLuมีความหมายที่ชัดเจนในความหมายแบบคลาสสิก

ทฤษฎีบทความสม่ำเสมอเชิงวงรีรับประกันว่า หากfเป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์กำลังสองได้uจะมี อนุพันธ์อ่อนที่หาปริพันธ์กำลังสองได้ 2kตัว โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าfเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อนันต์ครั้งu ก็จะเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อนันต์ครั้งเช่น กัน

สำหรับLดัง ตัวอย่าง ที่ 2

• ความสม่ำเสมอภายใน : ถ้าmเป็นจำนวนธรรมชาติ(2) เป็นผลเฉลยอ่อนของ (1) แล้วสำหรับเซตเปิดV ใดๆ ในUที่มีการปิดแบบกระชับ(3) โดยที่Cขึ้นอยู่กับU, V, L, mในตัวมันเองซึ่งยังคงเป็นจริงหากmเป็นอนันต์ตามทฤษฎีบทการฝังตัวของโซโบเลฟ${\displaystyle a^{ij},b^{j},c\in C^{m+1}(U),f\in H^{m}(U)}$${\displaystyle u\in H_{0}^{1}(U)}$${\displaystyle \|u\|_{H^{m+2}(V)}\leq C(\|f\|_{H^{m}(U)}+\|u\|_{L^{2}(U)})}$${\displaystyle u\in H_{loc}^{m+2}(U)}$
• ความสม่ำเสมอของขอบเขต : (2) พร้อมกับสมมติฐานที่บ่งชี้ว่า (3) ยังคงเป็นจริงหลังจากแทนที่Vด้วยU กล่าว คือซึ่งยังคงเป็นจริงหากmเป็นอนันต์${\displaystyle \partial U}$${\displaystyle C^{m+2}}$${\displaystyle u\in H^{m+2}(U)}$

ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ใดๆ ที่แสดงคุณสมบัตินี้เรียกว่าตัวดำเนินการไฮโปเอลลิปติกดังนั้น ตัวดำเนินการเชิงวงรีทุกตัวจึงเป็นไฮโปเอลลิปติก คุณสมบัตินี้ยังหมายความว่าผลเฉลยพื้นฐาน ทุกตัว ของตัวดำเนินการเชิงวงรีสามารถหาอนุพันธ์ได้อนันต์ครั้งในบริเวณใกล้เคียงใดๆ ที่ไม่ประกอบด้วย 0

สมมติว่าฟังก์ชันหนึ่งสอดคล้องกับสมการโคชี-รีมันน์เนื่องจากสมการโคชี-รีมันน์ประกอบกันเป็นตัวดำเนินการเชิงวงรี ดังนั้นฟังก์ชันนั้นจึงมีความเรียบ ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

สำหรับLดังเช่นในตัวอย่างที่ 2บนUซึ่งเป็นโดเมนเปิดที่มี ขอบเขต C ¹จะมีจำนวนγ >0 เช่นนั้น สำหรับแต่ละμ > γจะสอดคล้องกับสมมติฐานของ เลมมาของ Lax– Milgram ${\displaystyle L+\mu I:H_{0}^{1}(U)\rightarrow H_{0}^{1}(U)}$

• ความสามารถในการผกผัน: สำหรับแต่ละμ > γจะมีอินเวอร์สขนาดกะทัดรัด${\displaystyle L+\mu I:L^{2}(U)\rightarrow L^{2}(U)}$
• ค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ : ถ้าAเป็นเมทริกซ์สมมาตร และb ⁱ ,cเป็นศูนย์ แล้ว (1) ค่าลักษณะเฉพาะของLจะเป็นจำนวนจริง บวก นับได้ และไม่มีขอบเขต (2) มีฐานเชิงตั้งฉากปกติของL ² (U)ที่ประกอบด้วยเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของL (ดูทฤษฎีบทสเปกตรัม )
• สร้างเซมิกรุปบนL ² (U) : − Lสร้างเซมิกรุปของตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขตบนL ² (U) st ในบรรทัดฐานของL ² (U)สำหรับทุกโดย ทฤษฎีบทของ Hille – Yosida${\displaystyle \{S(t);t\geq 0\}}$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}S(t)u_{0}=-LS(t)u_{0},\|S(t)\|\leq e^{\gamma t}}$${\displaystyle u_{0}\ใน L^{2}(U)}$

ให้เป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ (ซึ่งอาจไม่ใช่เชิงเส้น) ระหว่างกลุ่มเวกเตอร์ที่มีอันดับเดียวกันซึ่งมีผลคูณภายในแบบไฟเบอร์ หาค่าสัญลักษณ์หลัก ของตัวดำเนินการนี้ โดยเทียบกับวันฟอร์ม (โดยพื้นฐานแล้ว สิ่งที่เรากำลังทำคือการแทนที่ อนุพันธ์ร่วมแปรอันดับสูงสุดด้วยฟิลด์เวกเตอร์และประเมินค่าเทียบกับวันฟอร์ม) ${\displaystyle D}$${\displaystyle \sigma _{\xi }(D)}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \xi }$

เรากล่าวว่าเป็นแบบวงรีอ่อนถ้าเป็นไอโซมอร์ฟิซึม เชิงเส้น สำหรับทุกค่าที่ไม่เป็นศูนย์ ${\displaystyle D}$${\displaystyle \sigma _{\xi }(D)}$${\displaystyle \xi }$

เรากล่าว ว่า เป็น วงรีที่แข็งแกร่ง (อย่างสม่ำเสมอ) ถ้าสำหรับค่าคงที่บางค่า ${\displaystyle D}$${\displaystyle c>0}$$${\displaystyle ||\sigma _{\xi }(D)(v)||\geq c\|v\|}$$

เพื่อทุกคนและทุกสิ่ง ${\displaystyle \|\xi \|=1}$${\displaystyle v}$

นิยามของความเป็นวงรีในส่วนก่อนหน้าของบทความคือความเป็นวงรีแบบเข้มข้นโปรดสังเกตว่าเป็นฟิลด์โคเวกเตอร์หรือวันฟอร์ม แต่เป็นองค์ประกอบของเวกเตอร์บันเดิลที่กระทำอยู่ ${\displaystyle \xi }$${\displaystyle v}$${\displaystyle D}$

ตัวอย่างที่สำคัญที่สุดของตัวดำเนินการเชิงวงรี (อย่างเข้มแข็ง) คือ ตัวดำเนินการ ลาปลาเซียน (หรือตัวดำเนินการลบของมัน ขึ้นอยู่กับข้อตกลง) เห็นได้ชัดว่าตัวดำเนินการลาปลาเซียนต้องมีอันดับเป็นเลขคู่จึงจะถือว่าเป็นตัวดำเนินการเชิงวงรีอย่างเข้มแข็งได้ มิฉะนั้นก็คงต้องพิจารณาการแทนค่าทั้งตัวดำเนินการลาปลาเซียนและตัวดำเนินการลบของมัน ในทางกลับกัน ตัวดำเนินการอันดับหนึ่งเชิงวงรีอย่างอ่อน เช่น ตัวดำเนินการดิแรกสามารถยกกำลังสองเพื่อกลายเป็นตัวดำเนินการเชิงวงรีอย่างเข้มแข็ง เช่น ตัวดำเนินการลาปลาเซียน การประกอบกันของตัวดำเนินการเชิงวงรีอย่างอ่อนก็จะได้ผลลัพธ์เป็นเชิงวงรีอย่างอ่อนเช่นกัน ${\displaystyle D}$${\displaystyle \xi }$

ถึงแม้จะเป็นฟังก์ชันวงรีแบบอ่อน แต่ก็ยังแข็งแกร่งเพียงพอสำหรับ ทางเลือก ของFredholm การประมาณค่าของ Schauderและทฤษฎีบทดัชนี Atiyah–Singerในทางกลับกัน เราต้องการฟังก์ชันวงรีแบบแข็งแกร่งสำหรับหลักการค่าสูงสุดและเพื่อรับประกันว่าค่าลักษณะเฉพาะเป็นค่าไม่ต่อเนื่อง และจุดลิมิตเพียงจุดเดียวคืออนันต์

• พื้นที่โซโบเลฟ
• ตัวดำเนินการไฮโปเอลลิปติก
• สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยวงรี
• สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยไฮเปอร์โบลิก
• สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยพาราโบลิก
• หลักการสูงสุดของฮอปฟ์
• คอมเพล็กซ์รูปวงรี
• สมการคลื่นอัลตร้าไฮเปอร์โบลิก
• ตัวดำเนินการกึ่งวงรี
• ทฤษฎีบทของเวย์ล

• สมการเชิงเส้นวงรีที่ EqWorld: โลกแห่งสมการทางคณิตศาสตร์
• สมการเชิงวงรีไม่เชิงเส้นที่ EqWorld: โลกแห่งสมการทางคณิตศาสตร์