หลักการค่าสูงสุดของฮอปฟ์เป็นหลักการค่าสูงสุดในทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับสองแบบวงรีและได้รับการอธิบายว่าเป็น "ผลลัพธ์คลาสสิกและพื้นฐาน" ของทฤษฎีนั้น โดยการขยายหลักการค่าสูงสุดสำหรับฟังก์ชันฮาร์มอนิก ซึ่ง เกาส์รู้จักอยู่แล้วในปี 1839 เอเบอร์ฮาร์ด ฮอปฟ์พิสูจน์ในปี 1927 ว่าถ้าฟังก์ชันสอดคล้องกับอสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับสองชนิดหนึ่งในโดเมนR ⁿและมีค่าสูงสุดในโดเมนนั้น ฟังก์ชันนั้นจะมีค่าคงที่ แนวคิดง่ายๆ เบื้องหลังการพิสูจน์ของฮอปฟ์ เทคนิคการเปรียบเทียบที่เขาแนะนำเพื่อจุดประสงค์นี้ ได้นำไปสู่การประยุกต์ใช้และการขยายความที่สำคัญมากมาย

ให้u = u ( x ), x = ( x ₁ , ..., x _n ) เป็น ฟังก์ชัน C ²ซึ่งสอดคล้องกับอสมการเชิงอนุพันธ์

${\displaystyle Lu=\sum _{ij}a_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\sum _{i}b_{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\geq 0}$

ในโดเมนเปิด (เซตย่อยเปิดที่เชื่อมต่อกันของR ⁿ ) Ω โดยที่เมทริกซ์สมมาตรa _ij = a _ji ( x ) เป็นเมทริกซ์บวกแน่นอนสม่ำเสมอ ในระดับท้องถิ่น ใน Ω และสัมประสิทธิ์a _ij , b _i มี ขอบเขต ในระดับท้องถิ่นถ้าuมีค่าสูงสุดMใน Ω แล้วu ≡ M

สัมประสิทธิ์a _ijและb _i เป็นเพียงฟังก์ชัน หากทราบว่าฟังก์ชันเหล่านี้ต่อเนื่อง ก็เพียงพอที่จะกำหนดให้a _ij เป็นค่าบวกแน่นอน ณ จุดต่างๆ บนโดเมน

โดยทั่วไปแล้ว มักคิดกันว่าหลักการค่าสูงสุดของฮอปฟ์ใช้ได้เฉพาะกับตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นL เท่านั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง นี่คือมุมมองที่CourantและHilbert นำเสนอใน Methoden der mathematischen Physikอย่างไรก็ตาม ในส่วนท้ายของบทความต้นฉบับของเขา ฮอปฟ์ได้พิจารณาสถานการณ์ทั่วไปที่อนุญาตให้ใช้ตัวดำเนินการไม่เชิงเส้นL บางตัว และในบางกรณี นำไปสู่ข้อความแสดงความเป็นเอกลักษณ์ในปัญหา Dirichletสำหรับ ตัวดำเนินการ ความโค้งเฉลี่ยและ สมการ Monge – Ampère

หากโดเมนมีคุณสมบัติทรงกลมภายใน (เช่น หากมีขอบเขตเรียบ) ก็สามารถกล่าวเพิ่มเติมได้อีกเล็กน้อย หากนอกเหนือจากสมมติฐานข้างต้นและuมีค่าสูงสุดMที่จุดx ₀ใน แล้วสำหรับ ^{ทิศทาง}ภายนอกใดๆ ν ที่x ₀จะเป็นจริงเว้นแต่^[ 1 ^]${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle u\in C^{1}({\overline {\Omega }})}$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x_{0})>0}$${\displaystyle u\equiv M}$