ในสาขาคณิตศาสตร์ของสมการเชิงอนุพันธ์และการวิเคราะห์เชิงเรขาคณิตหลักการค่าสูงสุดเป็นหนึ่งในเครื่องมือที่มีประโยชน์และเป็นที่รู้จักมากที่สุดกล่าวได้ว่า คำตอบของ สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (หรือโดยทั่วไปแล้ว อสมการเชิงอนุพันธ์) ในโดเมนD สอดคล้องกับ หลักการค่าสูงสุด หากคำ ตอบนั้นมีค่าสูงสุดที่ขอบเขตของD ฟังก์ชันฮาร์มอนิกและโดยทั่วไปแล้ว คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบวงรีสอดคล้องกับหลักการค่าสูงสุด

หลักการค่าสูงสุดช่วยให้สามารถรับข้อมูลเกี่ยวกับคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ได้โดยไม่ต้องมีความรู้ที่ชัดเจนเกี่ยวกับคำตอบเหล่านั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หลักการค่าสูงสุดเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์ในการประมาณค่าเชิงตัวเลขของคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญและเชิงอนุพันธ์ย่อย และในการกำหนดขอบเขตของข้อผิดพลาดในการประมาณค่าดังกล่าว^{[ 1 ]}

ในกรณีสองมิติอย่างง่าย ให้พิจารณาฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวu ( x , y )ดังนี้

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.}$

หลักการค่าสูงสุดแบบอ่อนในบริบทนี้ กล่าวว่า สำหรับเซตย่อยเปิดที่มีขอบเขตใดๆMในโดเมนของuค่าสูงสุดของuบนส่วนปิดของMจะเกิดขึ้นที่ขอบเขตของM หลักการค่าสูงสุด แบบเข้มกล่าวว่า เว้นแต่ว่าuจะเป็นฟังก์ชันคงที่ ค่าสูงสุดจะไม่สามารถเกิดขึ้นได้ที่ใดบนMเอง โปรดสังเกตว่าทั้งสองข้อความนี้เป็นจริงสำหรับค่าต่ำสุดของu ด้วย เนื่องจาก-uเป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เดียวกัน

ในสาขาการเพิ่มประสิทธิภาพแบบนูนมีข้อความที่คล้ายคลึงกันซึ่งยืนยันว่าค่าสูงสุดของฟังก์ชันนูนบนเซตแบบนูน^ที่กระชับ จะบรรลุได้ที่ขอบเขต^[ 2 ^]

ในที่นี้เราจะพิจารณากรณีที่ง่ายที่สุด แม้ว่าแนวคิดเดียวกันนี้สามารถขยายไปสู่สถานการณ์ทั่วไปที่ซับซ้อนกว่าได้ก็ตาม ให้Mเป็นเซตย่อยเปิดของปริภูมิยุคลิดและให้uเป็น ฟังก์ชัน C ²บนMโดยที่

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}=0}$

โดยที่สำหรับแต่ละiและjระหว่าง 1 ถึงnนั้นa _ijเป็นฟังก์ชันบนMโดยที่ a _ij = a _ji

กำหนดค่า xบางค่าในMตามทฤษฎีบทสเปกตรัมของพีชคณิตเชิงเส้นค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของเมทริกซ์[ a _ij ( x )]เป็นจำนวนจริง และมีฐานเชิงตั้งฉากปกติของℝ ⁿที่ประกอบด้วยเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ กำหนดให้ค่าลักษณะเฉพาะเป็นλ _iและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกันเป็นv _iสำหรับiตั้งแต่ 1 ถึงnจากนั้นสมการเชิงอนุพันธ์ ณ จุดxสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\left.{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\right|_{t=0}{\big (}u(x+tv_{i}){\big )}=0.}$

สาระสำคัญของหลักการค่าสูงสุดคือการสังเกตง่ายๆ ว่า ถ้าค่าไอเกนแต่ละค่าเป็นบวก (ซึ่งเท่ากับเป็นสูตรหนึ่งของ "ความเป็นวงรี" ของสมการเชิงอนุพันธ์) แล้วสมการข้างต้นจะกำหนดความสมดุลบางอย่างของอนุพันธ์อันดับสองเชิงทิศทางของคำตอบ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าอนุพันธ์อันดับสองเชิงทิศทางตัวใดตัวหนึ่งเป็นลบ อีกตัวหนึ่งจะต้องเป็นบวก ณ จุดสมมติที่uมีค่าสูงสุด อนุพันธ์อันดับสองเชิงทิศทางทั้งหมดจะเป็นลบโดยอัตโนมัติ และ "ความสมดุล" ที่แสดงโดยสมการข้างต้นจึงต้องการให้อนุพันธ์อันดับสองเชิงทิศทางทั้งหมดเป็นศูนย์โดยสมบูรณ์

อาจกล่าวได้ว่าเหตุผลพื้นฐานนี้เป็นการกำหนดหลักการค่าสูงสุดที่เข้มงวดในรูปแบบที่เล็กมาก ซึ่งระบุว่าภายใต้ข้อสมมติเพิ่มเติมบางประการ (เช่น ความต่อเนื่องของa ) uจะต้องคงที่หากมีจุดหนึ่งในMที่uมีค่าสูงสุด

โปรดทราบว่าเหตุผลข้างต้นจะไม่เปลี่ยนแปลงหากพิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยทั่วไปมากขึ้น

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}=0,}$

เนื่องจากพจน์ที่เพิ่มเข้ามาจะมีค่าเป็นศูนย์โดยอัตโนมัติ ณ จุดสูงสุดสมมุติใดๆ เหตุผลนี้ยังคงใช้ได้เช่นเดิมหากพิจารณาเงื่อนไขทั่วไปที่กว้างกว่านี้

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0,}$

ซึ่งเราสามารถสังเกตปรากฏการณ์เพิ่มเติมได้ เช่น ความขัดแย้งโดยตรง หากมีความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวด ( >แทนที่จะเป็น≥ ) ในเงื่อนไขนี้ ณ จุดสูงสุดสมมุติ ปรากฏการณ์นี้มีความสำคัญในการพิสูจน์อย่างเป็นทางการของหลักการค่าสูงสุดแบบอ่อนคลาสสิก

อย่างไรก็ตาม เหตุผลข้างต้นใช้ไม่ได้อีกต่อไปหากพิจารณาเงื่อนไขดังกล่าว

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\leq 0,}$

เนื่องจากเงื่อนไข "การสมดุล" ในปัจจุบัน ซึ่งประเมิน ณ จุดสูงสุดสมมุติของuนั้น บอกเพียงว่าค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของปริมาณที่ไม่เป็นบวกอย่างชัดเจนนั้นไม่เป็นบวก ซึ่งเป็นความจริงที่เห็นได้ชัด และดังนั้นจึงไม่สามารถสรุปอะไรที่สำคัญจากมันได้ สิ่งนี้สะท้อนให้เห็นได้จากตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมมากมาย เช่น ข้อเท็จจริงที่ว่า

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{\big (}{-x}^{2}-y^{2}{\big )}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}{\big (}{-x}^{2}-y^{2}{\big )}\leq 0,}$

และในบริเวณเปิดใดๆ ที่มีจุดกำเนิดอยู่ ฟังก์ชัน− x ² − y ²จะมีค่าสูงสุดอย่างแน่นอน

ให้Mแทนเซตย่อยเปิดของปริภูมิยุคลิด ถ้าฟังก์ชันเรียบมีค่าสูงสุดที่จุดpแล้วจะได้โดยอัตโนมัติว่า: ${\displaystyle u:M\to \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle (du)(p)=0}$
• ${\displaystyle (\nabla ^{2}u)(p)\leq 0,}$ในรูปของอสมการเมทริกซ์

เราอาจมองสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเป็นการกำหนดความสัมพันธ์เชิงพีชคณิตระหว่างอนุพันธ์ต่างๆ ของฟังก์ชัน ดังนั้น ถ้าuเป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแล้ว เงื่อนไขข้างต้นเกี่ยวกับอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งและอันดับที่สองของuอาจขัดแย้งกับความสัมพันธ์เชิงพีชคณิตนี้ นี่คือสาระสำคัญของหลักการค่าสูงสุด เห็นได้ชัดว่า การประยุกต์ใช้แนวคิดนี้ขึ้นอยู่กับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยนั้นๆ เป็นอย่างมาก

ตัวอย่างเช่น ถ้าuแก้สมการเชิงอนุพันธ์

${\displaystyle \Delta u=|du|^{2}+2,}$

ดังนั้น จึงเป็นไปไม่ได้อย่างชัดเจนที่จะมีค่าu อยู่ที่จุดใด ๆ ในโดเมน ดังนั้น จากข้อสังเกตข้างต้น จึงเป็นไปไม่ได้ที่uจะมีค่าสูงสุด ถ้าหากว่าuแก้สมการเชิงอนุพันธ์ได้สำเร็จก็จะไม่มีข้อขัดแย้งเช่นนี้ และการวิเคราะห์ที่กล่าวมาข้างต้นก็ไม่ได้บ่งชี้ถึงสิ่งใดที่น่าสนใจ ถ้าหากว่าuแก้สมการเชิงอนุพันธ์ได้สำเร็จ การวิเคราะห์แบบเดียวกันก็จะแสดงให้เห็นว่าuไม่สามารถมีค่าต่ำสุดได้ ${\displaystyle \Delta u\leq 0}$${\displaystyle du=0}$${\displaystyle \Delta u=|du|^{2}}$${\displaystyle \Delta u=|du|^{2}-2,}$

ความเป็นไปได้ของการวิเคราะห์ดังกล่าวไม่ได้จำกัดอยู่แค่สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเท่านั้น ตัวอย่างเช่น ถ้าเป็นฟังก์ชันที่ ${\displaystyle u:M\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \Delta u-|du|^{4}=\int _{M}e^{u(x)}\,dx,}$

ซึ่งเป็นสมการเชิงอนุพันธ์แบบ "ไม่เฉพาะที่" ดังนั้น ความเป็นบวกอย่างเคร่งครัดโดยอัตโนมัติของด้านขวามือแสดงให้เห็นโดยการวิเคราะห์แบบเดียวกันกับข้างต้นว่าuไม่สามารถมีค่าสูงสุดได้

มีหลายวิธีที่จะขยายขอบเขตการใช้งานของการวิเคราะห์ประเภทนี้ในรูปแบบต่างๆ ตัวอย่างเช่น ถ้าuเป็นฟังก์ชันฮาร์มอนิก ความขัดแย้งแบบข้างต้นจะไม่เกิดขึ้นโดยตรง เนื่องจากจุดp ที่มีอยู่ ซึ่งไม่ขัดแย้งกับข้อกำหนดทุกที่ อย่างไรก็ตาม เราอาจพิจารณาฟังก์ชันu _sที่กำหนดโดย สำหรับจำนวนจริง s ใดๆ${\displaystyle \Delta u(p)\leq 0}$${\displaystyle \Delta u=0}$

${\displaystyle u_{s}(x)=u(x)+se^{x_{1}}.}$

เป็นเรื่องชัดเจนที่จะเห็นได้ว่า

${\displaystyle \Delta u_{s}=se^{x_{1}}.}$

จากการวิเคราะห์ข้างต้น ถ้าเช่นนั้นu _sจะไม่สามารถมีค่าสูงสุดได้ เราอาจต้องการพิจารณาลิมิตเมื่อs เข้าใกล้ 0 เพื่อสรุปว่าuก็ไม่สามารถมีค่าสูงสุดได้เช่นกัน อย่างไรก็ตาม เป็นไปได้ที่ลิมิตแบบจุดต่อจุดของลำดับฟังก์ชันที่ไม่มีค่าสูงสุดจะมีค่าสูงสุด ถึงกระนั้น ถ้าMมีขอบเขตที่ทำให้Mพร้อมกับขอบเขตนั้นเป็นเซตกระชับ (compact) แล้วสมมติว่าuสามารถขยายไปยังขอบเขตได้อย่างต่อเนื่อง ก็จะสรุปได้ทันทีว่าทั้งuและu _sมีค่าสูงสุดบน ขอบเขตนั้น เนื่องจากเราได้แสดงให้เห็นแล้วว่าu _sในฐานะฟังก์ชันบนMไม่มีค่าสูงสุด ดังนั้นจุดสูงสุดของu _sสำหรับs ใดๆ จะอยู่บนขอบเขตนั้นโดยความกระชับแบบลำดับของขอบเขตนั้น สรุปได้ว่าค่าสูงสุดของuจะเกิดขึ้นบนขอบเขตนั้น นี่คือหลักการค่าสูงสุดแบบอ่อนสำหรับฟังก์ชันฮาร์มอนิก ซึ่งโดยตัวมันเองไม่ได้ตัดความเป็นไปได้ที่ค่าสูงสุดของuจะเกิดขึ้นที่ใดที่หนึ่งบนMออกไป นั่นคือเนื้อหาของ "หลักการค่าสูงสุดที่เข้มงวด" ซึ่งต้องมีการวิเคราะห์เพิ่มเติม ${\displaystyle s>0}$${\displaystyle M\cup \partial M.}$${\displaystyle \partial M.}$${\displaystyle \partial M,}$${\displaystyle \partial M.}$

การใช้ฟังก์ชันเฉพาะข้างต้นนั้นไม่สำคัญเลย สิ่งสำคัญคือต้องมีฟังก์ชันที่ขยายได้อย่างต่อเนื่องไปยังขอบเขตและมีค่า Laplacian เป็นบวกอย่างเคร่งครัด ดังนั้นเราจึงสามารถใช้ตัวอย่างเช่น ${\displaystyle e^{x_{1}}}$

${\displaystyle u_{s}(x)=u(x)+s|x|^{2}}$

โดยให้ผลลัพธ์เช่นเดียวกัน

ให้Mเป็นเซตย่อยเปิดของปริภูมิยุคลิด ให้เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้สองครั้งและมีค่าสูงสุดที่Cสมมติว่า ${\displaystyle u:M\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0.}$

สมมติว่าเราสามารถค้นพบ (หรือพิสูจน์การมีอยู่ของ):

• เซตย่อยกระชับΩของM ที่มี ภายในไม่ว่างเปล่า โดยที่u ( x ) < CสำหรับทุกxในภายในของΩและมีx₀ _อยู่บนขอบของΩโดยที่u ( x₀ ₎ = C
• ฟังก์ชันต่อเนื่องที่สามารถหาอนุพันธ์อันดับสองได้ภายในΩและด้วย${\displaystyle h:\Omega \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle a_{ij}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+b_{i}{\frac {\partial h}{\partial x^{i}}}\geq 0,}$

และเพื่อให้u + h ≤ CบนขอบเขตของΩโดยที่h ( x ₀ ) = 0

จากนั้นL ( u + h − C ) ≥ 0บนΩโดยที่u + h − C ≤ 0บนขอบของΩตามหลักการค่าสูงสุดแบบอ่อน จะได้ว่าu + h − C ≤ 0บนΩสามารถเรียบเรียงใหม่ได้ดังนี้

${\displaystyle -{\frac {u(x)-u(x_{0})}{|x-x_{0}|}}\geq {\frac {h(x)-h(x_{0})}{|x-x_{0}|}}}$

สำหรับทุกxในΩหากสามารถเลือกhได้เพื่อให้ด้านขวามือมีลักษณะเป็นบวกอย่างชัดเจน สิ่งนี้จะขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ว่าx ₀เป็นจุดสูงสุดของuบนMดังนั้นเกรเดียนต์ของมันจึงต้องเป็นศูนย์

สามารถดำเนินการ "โปรแกรม" ข้างต้นได้ เลือกΩให้เป็นวงแหวนทรงกลม เลือกจุดศูนย์กลางx _cให้เป็นจุดที่อยู่ใกล้กับเซตปิดu ⁻¹ ( C )มากกว่าเซตปิด∂ Mและเลือก รัศมีภายนอก R ให้เป็นระยะห่างจากจุดศูนย์กลางนี้ไปยัง u ⁻¹ ( C )ให้x ₀เป็นจุดบนเซตหลังนี้ซึ่งทำให้เกิดระยะดังกล่าว รัศมีภายในρเป็นค่าใดๆ ก็ได้ กำหนด

${\displaystyle h(x)=\varepsilon {\Big (}e^{-\alpha |x-x_{\text{c}}|^{2}}-e^{-\alpha R^{2}}{\Big )}.}$

ขอบเขตของΩประกอบด้วยทรงกลมสองลูก บนทรงกลมด้านนอกh = 0เนื่องจากการเลือกRทำให้u ≤ Cบนทรงกลมนี้ ดังนั้นu + h − C ≤ 0จึงเป็นจริงบนส่วนนี้ของขอบเขต พร้อมกับเงื่อนไขh ( x ₀ ) = 0บนทรงกลมด้านในu < Cเนื่องจากความต่อเนื่องของuและความกะทัดรัดของทรงกลมด้านใน เราสามารถเลือกδ > 0ได้เพื่อให้u + δ < Cเนื่องจากhมีค่าคงที่บนทรงกลมด้านในนี้ เราสามารถเลือกε > 0ได้เพื่อให้u + h ≤ Cบนทรงกลมด้านใน และด้วยเหตุนี้จึงเป็นจริงบนขอบเขตทั้งหมดของ Ω

การคำนวณโดยตรงแสดงให้เห็นว่า

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial h}{\partial x^{i}}}=\varepsilon \alpha e^{-\alpha |x-x_{\text{c}}|^{2}}\left(4\alpha \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x){\big (}x^{i}-x_{\text{c}}^{i}{\big )}{\big (}x^{j}-x_{\text{c}}^{j}{\big )}-2\sum _{i=1}^{n}a_{ii}-2\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\big (}x^{i}-x_{\text{c}}^{i}{\big )}\right).}$

มีเงื่อนไขหลายประการที่รับประกันได้ว่าด้านขวามือจะเป็นค่าที่ไม่เป็นลบ โปรดดูรายละเอียดในทฤษฎีบทด้านล่าง

สุดท้ายนี้ โปรดสังเกตว่าอนุพันธ์ทิศทางของhที่x ₀ตามแนวเส้นรัศมีที่ชี้เข้าด้านในของวงแหวนนั้นมีค่าเป็นบวกอย่างเคร่งครัด ดังที่ได้อธิบายไว้ในบทสรุปข้างต้น สิ่งนี้จะทำให้มั่นใจได้ว่าอนุพันธ์ทิศทางของuที่x ₀จะมีค่าไม่เป็นศูนย์ ซึ่งขัดแย้งกับสมมติฐานที่ว่าx ₀เป็นจุดสูงสุดของuบนเซตเปิด M

ต่อไปนี้คือข้อความของทฤษฎีบทในหนังสือของ Morrey และ Smoller ซึ่งอ้างอิงจากข้อความดั้งเดิมของ Hopf (1927):

ให้Mเป็นเซตย่อยเปิดของปริภูมิยุคลิดℝ ⁿสำหรับแต่ละiและjระหว่าง 1 ถึงnให้a _ijและb _iเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนMโดยที่a _ij = a _jiสมมติว่าสำหรับทุกxในMเมทริกซ์สมมาตร[ a _ij ]เป็นเมทริกซ์บวกแน่นอน ถ้าuเป็น ฟังก์ชัน C ² ที่ไม่ใช่ค่าคงที่ บนMโดยที่

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0}$

บนMนั้นuจะไม่ถึงค่าสูงสุดบนM

ประเด็นสำคัญของการสมมติความต่อเนื่องคือ ฟังก์ชันต่อเนื่องมีขอบเขตบนเซตกระชับ โดยเซตกระชับที่เกี่ยวข้องในที่นี้คือวงแหวนทรงกลมที่ปรากฏในบทพิสูจน์ ยิ่งไปกว่านั้น ตามหลักการเดียวกันนี้ มีจำนวนλ อยู่จำนวนหนึ่ง ซึ่งสำหรับทุกxในวงแหวน เมทริกซ์[ a _ij ( x )]จะมีค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดมากกว่าหรือเท่ากับλจากนั้นจึงเลือกα ดังที่ปรากฏในบทพิสูจน์ ให้มีค่ามากเมื่อเทียบกับขอบเขตเหล่านี้ หนังสือของอีแวนส์มีสูตร ที่ อ่อนกว่าเล็กน้อย โดยสมมติว่ามีจำนวนบวกλซึ่งเป็นขอบเขตล่างของค่าลักษณะเฉพาะของ[ a _ij ]สำหรับทุกxในM

ข้อสมมติเรื่องความต่อเนื่องเหล่านี้เห็นได้ชัดว่าไม่ใช่ข้อสมมติที่ครอบคลุมที่สุดที่จะทำให้การพิสูจน์ใช้ได้ผล ตัวอย่างเช่น ต่อไปนี้คือข้อความของทฤษฎีบทที่เสนอโดย Gilbarg และ Trudinger โดยใช้การพิสูจน์แบบเดียวกัน:

ให้Mเป็นเซตย่อยเปิดของปริภูมิยุคลิดℝ ⁿสำหรับแต่ละiและjระหว่าง 1 ถึงnให้a _ijและb _iเป็นฟังก์ชันบนMโดยที่a _ij = a _jiสมมติว่าสำหรับทุกxในMเมทริกซ์สมมาตร[ a _ij ]เป็นเมทริกซ์บวกแน่นอน และให้λ(x)แทนค่าไอเกนที่เล็กที่สุดของเมทริกซ์นี้ สมมติว่าและเป็นฟังก์ชันที่มีขอบเขตบนMสำหรับแต่ละiระหว่าง 1 ถึงnถ้าuเป็น ฟังก์ชัน C ² ที่ไม่ใช่ค่าคงที่ บนMโดยที่ ${\displaystyle \textstyle {\frac {a_{ii}}{\lambda }}}$${\displaystyle \textstyle {\frac {|b_{i}|}{\lambda }}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0}$

บนMนั้นuจะไม่ถึงค่าสูงสุดบนM

เราไม่สามารถขยายข้อความเหล่านี้ไปใช้กับสมการเชิงเส้นเชิงวงรีอันดับสองทั่วไปได้อย่างตรงไปตรงมา ดังที่ได้เห็นไปแล้วในกรณีหนึ่งมิติ ตัวอย่างเช่น สมการเชิงอนุพันธ์สามัญy ″ + 2 y = 0มีคำตอบเป็นฟังก์ชันไซน์ ซึ่งแน่นอนว่ามีค่าสูงสุดภายใน สิ่งนี้ขยายไปถึงกรณีที่มีมิติสูงกว่า ซึ่งมักจะมีคำตอบเป็นสมการ "ฟังก์ชันเฉพาะ" Δ u + cu = 0ซึ่งมีค่าสูงสุดภายใน เครื่องหมายของcมีความสำคัญ ดังที่ได้เห็นในกรณีหนึ่งมิติเช่นกัน ตัวอย่างเช่น คำตอบของy ″ - 2 y = 0เป็นฟังก์ชันเอกซ์ponential และลักษณะของค่าสูงสุดของฟังก์ชันดังกล่าวแตกต่างจากฟังก์ชันไซน์อย่างมาก

• หลักการโมดูลัสสูงสุด
• หลักการสูงสุดของฮอปฟ์