วิธีองค์ประกอบแยกส่วน ( DEM )หรือที่เรียกว่าวิธีองค์ประกอบแยกส่วนคือกลุ่มของ วิธีการ เชิงตัวเลขสำหรับการคำนวณการเคลื่อนที่และผลกระทบของอนุภาคขนาดเล็กจำนวนมาก แม้ว่า DEM จะมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับพลศาสตร์โมเลกุลแต่โดยทั่วไปแล้ววิธีนี้จะโดดเด่นด้วยการรวมองศาอิสระของ การหมุน ตลอดจนการสัมผัสแบบมีสถานะ การเสียรูปของอนุภาค และรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อน (รวมถึงทรงหลายเหลี่ยม) ด้วยความก้าวหน้าของกำลังการคำนวณและอัลกอริธึมเชิงตัวเลขสำหรับการเรียงลำดับเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุด ทำให้สามารถจำลองอนุภาคหลายล้านอนุภาคในเชิงตัวเลขบนโปรเซสเซอร์ตัวเดียวได้ ปัจจุบัน DEM กำลังได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางว่าเป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพในการแก้ปัญหาทางวิศวกรรมในวัสดุที่เป็นเม็ดและไม่ต่อเนื่อง โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการไหลของเม็ด กลศาสตร์ผง กลศาสตร์น้ำแข็งและหิน DEM ได้รับการขยายไปสู่​​Extended Discrete Element Methodโดย คำนึงถึงการถ่ายเทความร้อน^{[ 1 ]}ปฏิกิริยาเคมี^{[ 2 ]}และการเชื่อมต่อกับCFD ^{[ 3 ]}และFEM ^{[ 4 ]}

วิธีการองค์ประกอบแบบไม่ต่อเนื่องนั้นต้องใช้การคำนวณค่อนข้างมาก ซึ่งจำกัดทั้งความยาวของการจำลองหรือจำนวนอนุภาค โค้ด DEM หลายตัว เช่นเดียวกับโค้ดพลศาสตร์โมเลกุล ใช้ประโยชน์จากความสามารถในการประมวลผลแบบขนาน^{[ 5 ]} (ระบบที่ใช้ร่วมกันหรือแบบกระจาย) เพื่อเพิ่มขนาดจำนวนอนุภาคหรือความยาวของการจำลอง ทางเลือกอื่นนอกเหนือจากการจัดการอนุภาคทั้งหมดแยกกันคือการหาค่าเฉลี่ยทางฟิสิกส์ของอนุภาคจำนวนมากและจัดการวัสดุเป็นแบบต่อเนื่องในกรณีของ พฤติกรรมเม็ดแบบ ของแข็งเช่น ในกลศาสตร์ดินวิธีการแบบต่อเนื่องมักจะจัดการวัสดุเป็นแบบยืดหยุ่นหรือยืดหยุ่นพลาสติกและจำลองด้วยวิธีองค์ประกอบจำกัดหรือวิธีไร้ตาข่ายในกรณีของการไหลของเม็ดแบบของเหลวหรือก๊าซ วิธีการแบบต่อเนื่องอาจจัดการวัสดุเป็นของเหลวและใช้พลศาสตร์ของไหลเชิงคำนวณ อย่างไรก็ตาม ข้อเสียของการทำให้ฟิสิกส์ระดับเม็ดเป็นเนื้อเดียวกันนั้นได้รับการบันทึกไว้อย่างดีและควรพิจารณาอย่างรอบคอบก่อนที่จะพยายามใช้วิธีการแบบต่อเนื่อง

สาขาต่างๆ ของตระกูล DEM ได้แก่วิธีองค์ประกอบแยกส่วนที่เสนอโดยPeter A. Cundall ^และ Otto DL Strack ในปี 1979 ^{[ 6 ]}วิธีองค์ประกอบแยกส่วนแบบทั่วไป [ ^{7 ]}การวิเคราะห์การเสียรูปที่ไม่ต่อเนื่อง (DDA) ( Shi 1992 ) และวิธีองค์ประกอบแยกส่วนแบบจำกัดที่พัฒนาพร้อมกันโดยหลายกลุ่ม (เช่นMunjizaและOwen ) วิธีทั่วไปได้รับการพัฒนาครั้งแรกโดย Cundall ในปี 1971 สำหรับปัญหาในกลศาสตร์หิน Williams ^{[ 7 ]}แสดงให้เห็นว่า DEM สามารถมองได้ว่าเป็นวิธีองค์ประกอบแบบจำกัดทั่วไปที่อนุญาตให้มีการเสียรูปและการแตกหักของอนุภาค การประยุกต์ใช้กับ ปัญหาทาง ธรณีกลศาสตร์อธิบายไว้ในหนังสือNumerical Methods in Rock Mechanics [ ^{8 ] การ}ประชุมนานาชาติว่าด้วยวิธีองค์ประกอบแยกส่วนครั้งที่ 1, 2 และ 3 เป็นจุดร่วมสำหรับนักวิจัยในการเผยแพร่ความก้าวหน้าในวิธีการและการประยุกต์ใช้ บทความวารสารที่ทบทวนสถานะของศิลปะได้รับการตีพิมพ์โดย Williams และ O'Connnor ^{[ 9 ]} Bicanic , Bobet et al. (ดูด้านล่าง) และ Vetter ^{[ 5 ]}การวิเคราะห์อย่างครอบคลุมของวิธีการองค์ประกอบไฟไนต์แบบผสมผสานกับวิธีการองค์ประกอบดิสครีตมีอยู่ในหนังสือThe Combined Finite-Discrete Element Method ^{[ 10 ]}

สมมติฐานพื้นฐานของวิธีการนี้คือ วัสดุประกอบด้วยอนุภาคที่แยกจากกันอย่างชัดเจน อนุภาคเหล่านี้อาจมีรูปร่างและคุณสมบัติที่แตกต่างกัน ซึ่งส่งผลต่อการสัมผัสระหว่างอนุภาค ตัวอย่างเช่น:

• ของเหลวและสารละลาย เช่น น้ำตาลหรือโปรตีน;
• วัสดุจำนวนมากที่จัดเก็บในไซโล เช่น ธัญพืช;
• สสารที่เป็นเม็ดเล็กๆ เช่น ทราย;
• ผงต่างๆ เช่น โทนเนอร์
• มวลหินที่เป็นก้อนหรือมีรอยแตก

อุตสาหกรรมทั่วไปที่ใช้ DEM ได้แก่:

• การเกษตรและการจัดการอาหาร
• เคมี
• ผงซักฟอก^{[ 11 ]}
• น้ำมันและก๊าซ
• การทำเหมือง
• การแปรรูปแร่
• อุตสาหกรรมยา^{[ 12 ]}
• โลหะวิทยาผง

การจำลอง DEM เริ่มต้นด้วยการสร้างแบบจำลองก่อน ซึ่งจะส่งผลให้มีการจัดวางตำแหน่งเชิงพื้นที่ของอนุภาคทั้งหมดและกำหนดความเร็ว เริ่มต้น แรงที่กระทำต่ออนุภาคแต่ละตัวจะถูกคำนวณจากข้อมูลเริ่มต้นและกฎทางฟิสิกส์และแบบจำลองการสัมผัสที่เกี่ยวข้อง โดยทั่วไป การจำลองประกอบด้วยสามส่วน ได้แก่ การเริ่มต้น การกำหนดขั้นตอนเวลาอย่างชัดเจน และการประมวลผลภายหลัง การกำหนดขั้นตอนเวลาโดยปกติแล้วจะต้องมีขั้นตอนการจัดเรียงเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดเพื่อลดจำนวนคู่การสัมผัสที่เป็นไปได้และลดความต้องการในการคำนวณ ซึ่งมักจะดำเนินการเป็นระยะๆ เท่านั้น

ในการจำลองระดับมหภาค อาจต้องพิจารณาแรงต่อไปนี้:

• แรงเสียดทาน เกิดขึ้นเมื่ออนุภาคสองอนุภาคสัมผัสกัน
• การเปลี่ยนแปลงรูปร่างเมื่อสัมผัสหรือการดีดกลับ เมื่ออนุภาคสองอนุภาคชนกัน
• แรงโน้มถ่วงคือแรงดึงดูดระหว่างอนุภาคเนื่องจากมวลของพวกมัน ซึ่งมีความเกี่ยวข้องเฉพาะในการจำลองทางดาราศาสตร์เท่านั้น
• ศักยภาพที่น่าสนใจ เช่นแรงยึดเกาะระหว่างอนุภาคแรงยึดติด การเชื่อมต่อด้วยของเหลวและแรงดึงดูดทางไฟฟ้าสถิตโปรดทราบว่า เนื่องจากการคำนวณหาคู่เพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดมีขั้นตอนที่ซับซ้อน การหาค่าที่แม่นยำของแรงระยะไกลเมื่อเทียบกับขนาดอนุภาคอาจเพิ่มต้นทุนการคำนวณหรือต้องใช้อัลกอริธึมเฉพาะทางในการแก้ปัญหาปฏิสัมพันธ์เหล่านี้

ในระดับโมเลกุล เราอาจพิจารณาได้ดังนี้:

• แรงคูลอมบ์คือ แรงดึงดูดหรือแรงผลัก ทางไฟฟ้าสถิตระหว่างอนุภาคที่มีประจุไฟฟ้า
• แรงผลักของเปาลี เกิดขึ้นเมื่ออะตอมสองอะตอมเข้าใกล้กันมาก
• แรงแวนเดอร์วาลส์

แรงทั้งหมดเหล่านี้จะถูกบวกเข้าด้วยกันเพื่อหาแรงรวมที่กระทำต่ออนุภาคแต่ละตัววิธีการอินทิเกรตถูกนำมาใช้ในการคำนวณการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งและความเร็วของอนุภาคแต่ละตัวในช่วงเวลาหนึ่งๆ โดยอาศัยกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันจากนั้น ตำแหน่งใหม่ที่ได้มาจะถูกนำมาใช้ในการคำนวณแรงในขั้นตอนถัดไป และกระบวนการ นี้ จะทำซ้ำไปเรื่อยๆ จนกว่าการจำลองจะสิ้นสุดลง

วิธีการอินทิเกรตทั่วไปที่ใช้ในวิธีองค์ประกอบแยกส่วน ได้แก่:

• อัลกอริทึมเวอร์เลต์
• ความเร็ว Verlet
• ตัวรวมเชิงซิมเพล็กติก
• วิธีการกระโดดข้าม

วิธีการองค์ประกอบแยกส่วน (Discrete Element Method: DEM) ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการพิจารณาปฏิสัมพันธ์ทางกลในปัญหาหลายอนุภาค โดยเฉพาะอย่างยิ่งวัสดุเม็ดเล็ก ในบรรดาส่วนขยายต่างๆ ของ DEM การพิจารณาการไหลของความร้อนนั้นมีประโยชน์อย่างยิ่ง โดยทั่วไปแล้วในวิธีการ Thermal DEM จะมีการพิจารณาการเชื่อมโยงทางความร้อนและกลศาสตร์ โดยจะพิจารณาคุณสมบัติทางความร้อนของแต่ละองค์ประกอบเพื่อจำลองการไหลของความร้อนผ่านตัวกลางเม็ดเล็กหรือหลายองค์ประกอบขนาดใหญ่ที่อยู่ภายใต้ภาระทางกล^{[ 13 ]}แรงระหว่างอนุภาคที่คำนวณเป็นส่วนหนึ่งของ DEM แบบคลาสสิก จะถูกใช้เพื่อกำหนดพื้นที่ของการสัมผัสระหว่างอนุภาคที่แท้จริง และจำลองการถ่ายเทความร้อนแบบนำจากองค์ประกอบของแข็งหนึ่งไปยังอีกองค์ประกอบหนึ่ง อีกแง่มุมหนึ่งที่พิจารณาใน DEM คือการนำความร้อน การแผ่รังสี และการพาความร้อนของเฟสแก๊สในช่องว่างระหว่างอนุภาค เพื่ออำนวยความสะดวกในเรื่องนี้ จำเป็นต้องพิจารณาคุณสมบัติของเฟสแก๊สระหว่างองค์ประกอบในแง่ของความดัน การนำความร้อนของแก๊ส และระยะทางเฉลี่ยอิสระของโมเลกุลแก๊ส^{[ 14 ]}

เมื่อพิจารณาแรงระยะไกล (โดยทั่วไปคือแรงโน้มถ่วงหรือแรงคูลอมบ์) จะต้องคำนวณปฏิสัมพันธ์ระหว่างอนุภาคแต่ละคู่ ซึ่งทั้งจำนวนปฏิสัมพันธ์และค่าใช้จ่ายในการคำนวณจะเพิ่มขึ้นเป็นกำลังสองตามจำนวนอนุภาค นี่เป็นสิ่งที่ยอมรับไม่ได้สำหรับการจำลองที่มีอนุภาคจำนวนมาก วิธีหนึ่งที่เป็นไปได้ในการหลีกเลี่ยงปัญหานี้คือการรวมอนุภาคบางส่วนที่อยู่ห่างไกลจากอนุภาคที่กำลังพิจารณาเข้าด้วยกันเป็นอนุภาคเสมือนหนึ่งเดียว ตัวอย่างเช่น ปฏิสัมพันธ์ระหว่างดาวฤกษ์กับกาแล็กซี ที่อยู่ไกลออก ไป ข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นจากการรวมดาวฤกษ์ทั้งหมดในกาแล็กซีที่อยู่ไกลออกไปเป็นมวลจุดเดียวนั้นน้อยมาก อัลกอริทึมแบบต้นไม้ (tree algorithms) ถูกนำมาใช้เพื่อตัดสินใจว่าอนุภาคใดบ้างที่สามารถรวมกันเป็นอนุภาคเสมือน หนึ่งเดียว ได้ อัลกอริทึมเหล่านี้จะจัดเรียงอนุภาคทั้งหมดไว้ในโครงสร้างต้นไม้ ซึ่งเป็นควอดทรี (quadtree)ในกรณีสองมิติ และอ็อกทรี (octree)ในกรณี สามมิติ

อย่างไรก็ตาม การจำลองในพลศาสตร์โมเลกุลจะแบ่งพื้นที่ที่ใช้ในการจำลองออกเป็นเซลล์ อนุภาคที่ออกจากด้านหนึ่งของเซลล์จะถูกแทรกเข้าไปที่อีกด้านหนึ่ง ( เงื่อนไขขอบเขต แบบคาบ ) เช่นเดียวกับแรง แรงจะไม่ถูกนำมาพิจารณาอีกต่อไปหลังจากระยะที่เรียกว่าระยะตัด (โดยปกติคือครึ่งหนึ่งของความยาวเซลล์) เพื่อไม่ให้อนุภาคได้รับอิทธิพลจากภาพสะท้อนของอนุภาคเดียวกันในอีกด้านหนึ่งของเซลล์ ตอนนี้เราสามารถเพิ่มจำนวนอนุภาคได้โดยการคัดลอกเซลล์

อัลกอริทึมที่ใช้ในการจัดการกับแรงระยะไกล ได้แก่:

• การจำลอง แบบบาร์นส์-ฮัท
• วิธี มัลติโพล แบบเร็ว

จากผลงานของ Munjiza และ Owen วิธีการองค์ประกอบจำกัดแบบแยกส่วนแบบผสมผสานได้รับการพัฒนาเพิ่มเติมสำหรับอนุภาคที่ไม่สม่ำเสมอและเปลี่ยนรูปได้หลากหลายในแอปพลิเคชันต่างๆ รวมถึงการอัดเม็ดยา^{[ 15 ]}การจำลองบรรจุภัณฑ์และการไหล^{[ 16 ]}และการวิเคราะห์แรงกระแทก^{[ 17 ]}

ข้อดี

• แบบจำลอง DEM สามารถนำมาใช้จำลองสถานการณ์การไหลของอนุภาคและกลศาสตร์หินได้หลากหลายรูปแบบ กลุ่มวิจัยหลายกลุ่มได้พัฒนาซอฟต์แวร์จำลองขึ้นเองโดยอิสระ ซึ่งให้ผลลัพธ์ที่สอดคล้องกับผลการทดลองในงานวิศวกรรมหลายด้าน รวมถึงผงกาว การไหลของอนุภาค และมวลหินที่มีรอยแตก
• DEM ช่วยให้สามารถศึกษาพลวัตระดับจุลภาคของการไหลของผงได้อย่างละเอียดกว่าการทดลองทางกายภาพทั่วไป ตัวอย่างเช่น สามารถมองเห็นเครือข่ายแรงที่เกิดขึ้นในตัวกลางที่เป็นเม็ดได้โดยใช้ DEM การวัดดังกล่าวแทบเป็นไปไม่ได้เลยในการทดลองที่มีอนุภาคขนาดเล็กและจำนวนมาก
• ลักษณะทั่วไปของการสัมผัสที่ส่งผ่านแรงในกลุ่มเม็ดภายใต้สภาพแวดล้อมการรับน้ำหนักภายนอกสอดคล้องกับการศึกษาเชิงทดลองโดยใช้การวิเคราะห์ความเครียดจากแสง (PSA) ^{[ 18 ] [ 19 ]}

ข้อเสีย

• จำนวนอนุภาคสูงสุดและระยะเวลาของการจำลองเสมือนจริงนั้นถูกจำกัดด้วยกำลังการประมวลผล โดยทั่วไปแล้วการไหลจะมีอนุภาคหลายพันล้านอนุภาค แต่การจำลอง DEM ในปัจจุบันบนทรัพยากรการประมวลผลแบบคลัสเตอร์ขนาดใหญ่เพิ่งจะสามารถเข้าถึงระดับนี้ได้ในระยะเวลาที่ยาวนานพอสมควร (เวลาจำลอง ไม่ใช่เวลาการทำงานของโปรแกรมจริง)
• DEM นั้นมีความต้องการการคำนวณสูง ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงยังไม่ได้รับการนำไปใช้อย่างแพร่หลายและง่ายดายเหมือนวิธีการต่อเนื่องใน วิทยาศาสตร์และอุตสาหกรรม วิศวกรรมการคำนวณอย่างไรก็ตาม เวลาในการดำเนินการโปรแกรมจริงสามารถลดลงได้อย่างมากเมื่อใช้หน่วยประมวลผลกราฟิก (GPU) ในการจำลอง DEM เนื่องจาก GPU ทั่วไปมีคอร์การคำนวณจำนวนมาก นอกจากนี้ GPU ยังมีประสิทธิภาพด้านพลังงานมากกว่าคลัสเตอร์คอมพิวเตอร์แบบดั้งเดิมอย่างมากเมื่อทำการจำลอง DEM กล่าวคือ การจำลอง DEM ที่แก้ไขบน GPU ต้องการพลังงานน้อยกว่าเมื่อแก้ไขบนคลัสเตอร์คอมพิวเตอร์แบบดั้งเดิม^{[ 20 ]}

• การจำลองการอัดแน่น
• ออโตมาตาเซลลูลาร์เคลื่อนที่

หนังสือ

• บิคานิก, นีนาด (2004) "วิธีการแยกองค์ประกอบ" ในสไตน์ เออร์วิน; เดอบอร์สต์; ฮิวจ์, โธมัส เจอาร์ (บรรณาธิการ). สารานุกรมกลศาสตร์การคำนวณ . ฉบับที่ 1. ไวลีย์ไอเอสบีเอ็น 978-0-470-84699-5.
• กรีเบล, ไมเคิล; และคณะ (2546) การจำลองตัวเลขใน der Moleküldynamik เบอร์ลิน: สปริงเกอร์. ไอเอสบีเอ็น 978-3-540-41856-6.
• Williams, JR; Hocking, G.; Mustoe, GGW (มกราคม 1985). "พื้นฐานทางทฤษฎีของวิธีการองค์ประกอบแบบไม่ต่อเนื่อง". NUMETA 1985, วิธีการเชิงตัวเลขทางวิศวกรรม, ทฤษฎีและการประยุกต์ใช้ . รอตเตอร์ดัม: AA Balkema.
• Williams, JR; Pande, G.; Beer, JR (1990). วิธีการเชิงตัวเลขในกลศาสตร์หิน . ชิเชสเตอร์: ไวลีย์. ISBN 978-0-471-92021-2.
• Radjai, Farang; Dubois, Frédéric, บรรณาธิการ (2011). การสร้างแบบจำลององค์ประกอบแบบไม่ต่อเนื่องของวัสดุเม็ด . ลอนดอน: Wiley-ISTE. ISBN 978-1-84821-260-2.
• โพเชล, ธอร์สเตน; ชวาเกอร์, ทอมส์ (2005) พลวัตเชิงคำนวณเชิงละเอียด: แบบจำลองและอัลกอริทึม เบอร์ลิน: สปริงเกอร์. ไอเอสบีเอ็น 978-3-540-21485-4.

วารสาร

• Bobet, A.; Fakhimi, A.; Johnson, S.; Morris, J.; Tonon, F.; Yeung, M. Ronald (พฤศจิกายน 2552). "แบบจำลองเชิงตัวเลขในสื่อที่ไม่ต่อเนื่อง: การทบทวนความก้าวหน้าสำหรับการประยุกต์ใช้กลศาสตร์หิน" วารสารวิศวกรรมธรณีเทคนิคและธรณีสิ่งแวดล้อม135 (11): 1547– 1561. doi : 10.1061 /(ASCE)GT.1943-5606.0000133 .
• Cundall, PA; Strack, ODL (มีนาคม 1979). "แบบจำลองเชิงตัวเลขแบบไม่ต่อเนื่องสำหรับกลุ่มเม็ด". Géotechnique . 29 (1): 47– 65. doi : 10.1680/geot.1979.29.1.47 .
• Kafashan, J.; Wiącek, J.; Abd Rahman, N.; Gan, J. (2019). "การสร้างแบบจำลองรูปร่างอนุภาคสองมิติสำหรับการจำลอง DEM ในงานวิศวกรรม: บทวิจารณ์" Granular Matter . 21 (3): 80. doi : 10.1007/s10035-019-0935-1 . S2CID  199383188 .
• Kawaguchi, T.; Tanaka, T.; Tsuji, Y. (พฤษภาคม 1998). "การจำลองเชิงตัวเลขของเตาเผาแบบฟลูอิไดซ์สองมิติโดยใช้วิธีองค์ประกอบแยกส่วน (การเปรียบเทียบระหว่างแบบจำลองสองมิติและสามมิติ)" . เทคโนโลยีผง . 96 (2): 129– 138. doi : 10.1016/S0032-5910(97)03366-4 . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2007-09-30 . สืบค้นเมื่อ2005-08-23 .
• Williams, JR; O'Connor, R. (ธันวาคม 1999). "การจำลององค์ประกอบแบบไม่ต่อเนื่องและปัญหาการสัมผัส". Archives of Computational Methods in Engineering . 6 (4): 279– 304. CiteSeerX  10.1.1.49.9391 . doi : 10.1007/BF02818917 . S2CID  16642399 .
• Zhu, HP; Zhou, ZY; Yang, RY; Yu, AB (กรกฎาคม 2550). "การจำลองอนุภาคแบบไม่ต่อเนื่องของระบบอนุภาค: การพัฒนาทางทฤษฎี". Chemical Engineering Science . 62 (13): 3378– 3396. Bibcode : 2007ChEnS..62.3378Z . doi : 10.1016/j.ces.2006.12.089 .
• Zhu, HP; Zhou, ZY; Yang, RY; Yu, AB (2008). "การจำลองอนุภาคแบบไม่ต่อเนื่องของระบบอนุภาค: การทบทวนการประยุกต์ใช้งานและการค้นพบที่สำคัญ" . Chemical Engineering Science . 63 (23): 5728– 5770. Bibcode : 2008ChEnS..63.5728Z . doi : 10.1016/j.ces.2008.08.006 .

การดำเนินการ

• Shi, Gen-Hua (กุมภาพันธ์ 1992). "การวิเคราะห์การเสียรูปที่ไม่ต่อเนื่อง: แบบจำลองเชิงตัวเลขใหม่สำหรับสถิตศาสตร์และพลศาสตร์ของโครงสร้างบล็อกที่เสียรูปได้" การคำนวณทางวิศวกรรม9 (2): 157– 168. doi : 10.1108/eb023855 .
• Williams, John R.; Pentland, Alex P. (กุมภาพันธ์ 1992). "Superquadrics และ Modal Dynamics สำหรับองค์ประกอบแบบแยกส่วนในการออกแบบเชิงโต้ตอบ" Engineering Computations . 9 (2): 115– 127. doi : 10.1108/eb023852 .
• วิลเลียมส์, จอห์น อาร์.; มัสโต, เกรแฮม จี.ดับบลิว., บรรณาธิการ (1993). รายงานการประชุมนานาชาติครั้งที่ 2 เรื่องวิธีการองค์ประกอบไม่ต่อเนื่อง (DEM) (ฉบับที่ 2). เคมบริดจ์, แมสซาชูเซตส์: สำนักพิมพ์ IESL. ISBN 978-0-918062-88-8.