ในคณิตศาสตร์เชิงตัวเลข วิธีการแยกส่วนแบบไล่ระดับ ( Gradient Discretisation Method : GDM ) เป็นกรอบการทำงานที่ประกอบด้วยวิธีการเชิงตัวเลขแบบคลาสสิกและแบบใหม่สำหรับปัญหาการแพร่กระจายประเภทต่างๆ ไม่ว่าจะเป็นแบบเชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้น แบบสภาวะคงที่หรือแบบขึ้นอยู่กับเวลา วิธีการเหล่านี้อาจเป็นแบบสอดคล้องหรือไม่สอดคล้อง และอาจใช้ตาข่ายรูปหลายเหลี่ยมหรือทรงหลายเหลี่ยมทั่วไป (หรืออาจไม่มีตาข่ายเลยก็ได้)

จำเป็นต้องมีคุณสมบัติหลักบางประการเพื่อพิสูจน์การลู่เข้าของ GDM คุณสมบัติหลักเหล่านี้ช่วยให้สามารถพิสูจน์การลู่เข้าของ GDM ได้อย่างสมบูรณ์สำหรับปัญหาเชิงวงรีและพาราโบลา ทั้งเชิงเส้นและไม่เชิงเส้น สำหรับปัญหาเชิงเส้น ไม่ว่าจะเป็นแบบคงที่หรือแบบชั่วคราว สามารถกำหนดค่าประมาณข้อผิดพลาดได้โดยอาศัยตัวบ่งชี้สามตัวที่เฉพาะเจาะจงสำหรับ GDM ^{[ 1 ]} (ปริมาณ, และดูด้านล่าง ) สำหรับปัญหาที่ไม่เชิงเส้น การพิสูจน์จะขึ้นอยู่กับเทคนิคความกะทัดรัดและไม่จำเป็นต้องมีข้อสมมติเกี่ยวกับความสม่ำเสมอที่เข้มงวดที่ไม่เป็นไปตามหลักฟิสิกส์เกี่ยวกับคำตอบหรือข้อมูลแบบจำลอง^{[ 2 ]}แบบจำลองที่ไม่เชิงเส้นซึ่งมีการพิสูจน์การลู่เข้าของ GDM ดังกล่าว ได้แก่ปัญหา Stefanซึ่งเป็นแบบจำลองของวัสดุหลอมเหลว การไหลแบบสองเฟสในตัวกลางที่มีรูพรุน สมการ Richardsของการไหลของน้ำใต้ดิน และสมการ Leray-Lions ที่ไม่เชิงเส้นอย่างสมบูรณ์^{[ 3 ]}${\displaystyle C_{D}}$${\displaystyle S_{D}}$${\displaystyle W_{D}}$

วิธีการใดๆ ที่เข้าสู่กรอบงาน GDM นั้นจะทราบกันดีว่าสามารถแก้ปัญหาเหล่านี้ได้ทั้งหมด โดยเฉพาะอย่างยิ่งวิธีการไฟไนต์เอเลเมนต์แบบสอดคล้อง (Conforming Finite Elements) , ไฟไนต์เอเลเมนต์แบบผสม (Mixed Finite Elements) , ไฟไนต์เอเลเมน ต์แบบไม่สอดคล้อง (Nonconforming Finite Elements ) และในกรณีของวิธีการที่ใหม่กว่า เช่น วิธีการดิสคอนทินิวอัส กาเลอร์กิน (Discontinuous Galerkin method) , วิธีการไฮบริดผสมเลียนแบบ (Hybrid Mixed Mimetic method), วิธีการไฟไนต์ดิฟเฟอเรนซ์เลียนแบบโหนด (Nodal Mimetic Finite Difference method) , วิธีการไฟไนต์วอลุ่มแบบทวิภาคไม่ต่อเนื่องบางวิธี และวิธีการประมาณค่าฟลักซ์หลายจุดบางวิธี

พิจารณาสมการปัวซงในโดเมนเปิดที่มีขอบเขตโดยมีเงื่อนไขขอบเขตแบบดิริชเลต์ที่ เป็นเอกพันธ์${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle -\Delta {\overline {u}}=f,}$

1

โดยที่. ความหมายปกติของวิธีแก้ปัญหาที่อ่อนแอ^{[ 4 ]}สำหรับแบบจำลองนี้คือ: ${\displaystyle f\in L^{2}(\Omega )}$

${\displaystyle {\mbox{จงหา }}{\overline {u}}\in H_{0}^{1}(\Omega ){\mbox{ โดยที่สำหรับทุก }}{\overline {v}}\in H_{0}^{1}(\Omega ),\quad \int _{\Omega }\nabla {\overline {u}}(x)\cdot \nabla {\overline {v}}(x)dx=\int _{\Omega }f(x){\overline {v}}(x)dx.}$

2

โดยสรุป GDM สำหรับแบบจำลองดังกล่าวประกอบด้วยการเลือกพื้นที่มิติจำกัดและตัวดำเนินการสร้างใหม่สองตัว (ตัวหนึ่งสำหรับฟังก์ชัน ตัวหนึ่งสำหรับเกรเดียนต์) และแทนที่องค์ประกอบแบบไม่ต่อเนื่องเหล่านี้ด้วยองค์ประกอบแบบต่อเนื่องใน (2) กล่าวโดยละเอียด GDM เริ่มต้นด้วยการกำหนดการแบ่งเกรเดียนต์ (GD) ซึ่งเป็นสามองค์ประกอบโดยที่: ${\displaystyle D=(X_{D,0},\Pi _{D},\nabla _{D})}$

• เซตของตัวแปรที่ไม่ทราบค่าแบบไม่ต่อเนื่องนั้นเป็นปริภูมิเวกเตอร์จริงที่มีมิติจำกัด${\displaystyle X_{D,0}}$
• การสร้างฟังก์ชันขึ้นใหม่เป็นการแมปเชิงเส้นที่สร้างฟังก์ชันขึ้นใหม่จากองค์ประกอบของ ไปยังฟังก์ชันบน${\displaystyle \Pi _{D}~:~X_{D,0}\to L^{2}(\Omega )}$${\displaystyle X_{D,0}}$${\displaystyle \Omega }$
• การสร้างเกรเดียนต์ขึ้นใหม่ เป็นการแมปเชิงเส้นซึ่งสร้าง "เกรเดียนต์" (ฟังก์ชันค่าเวกเตอร์) บนจากองค์ประกอบของ โดยต้องเลือกเกรเดียนต์ขึ้นใหม่นี้ให้มีค่าเป็นนอร์มบน${\displaystyle \nabla _{D}~:~X_{D,0}\to L^{2}(\โอเมก้า )^{d}}$${\displaystyle X_{D,0}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Vert \nabla _{D}\cdot \Vert _{L^{2}(\โอเมก้า )^{d}}}$${\displaystyle X_{D,0}}$

แผนการไล่ระดับที่เกี่ยวข้องสำหรับการประมาณค่าของ (2) กำหนดโดย: หาค่าที่ทำให้ ${\displaystyle u\in X_{D,0}}$

${\displaystyle \forall v\in X_{D,0},\qquad \int _{\Omega }\nabla _{D}u(x)\cdot \nabla _{D}v(x)dx=\int _{\Omega }f(x)\Pi _{D}v(x)dx.}$

3

ในกรณีนี้ GDM จึงเป็นวิธีการที่ไม่สอดคล้องสำหรับการประมาณค่าของ (2) ซึ่งรวมถึงวิธีการไฟไนต์เอเลเมนต์ที่ไม่สอดคล้อง โปรดทราบว่าข้อความกลับกันนั้นไม่เป็นจริง ในแง่ที่ว่ากรอบงาน GDM ประกอบด้วยวิธีการต่างๆ ที่ทำให้ไม่สามารถคำนวณฟังก์ชันจากฟังก์ชันได้ ${\displaystyle \nabla _{D}u}$${\displaystyle \Pi _{D}u}$

การประมาณค่าความคลาดเคลื่อนต่อไปนี้ ซึ่งได้รับแรงบันดาลใจจากเลมมาที่สองของ G. Strang ^{[ 5 ]}ถือว่าถูกต้อง

${\displaystyle W_{D}(\nabla {\overline {u}})\leq \Vert \nabla {\overline {u}}-\nabla _{D}u_{D}\Vert _{L^{2}(\Omega )^{d}}\leq W_{D}(\nabla {\overline {u}})+2S_{D}({\overline {u}}),}$

4

และ

${\displaystyle \Vert {\overline {u}}-\Pi _{D}u_{D}\Vert _{L^{2}(\Omega )}\leq C_{D}W_{D}(\nabla {\overline {u}})+(C_{D}+1)S_{D}({\overline {u}}),}$

5

กำหนดความหมาย:

${\displaystyle C_{D}=\max _{v\in X_{D,0}\setminus \{0\}}{\frac {\Vert \Pi _{D}v\Vert _{L^{2}(\Omega )}}{\Vert \nabla _{D}v\Vert _{L^{2}(\Omega )^{d}}}},}$

6

ซึ่งใช้วัดค่าความบังคับ (ค่าคงที่ปวงกาเรแบบไม่ต่อเนื่อง)

${\displaystyle \forall \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega ),\,S_{D}(\varphi )=\min _{v\in X_{D,0}}\left(\Vert \Pi _{D}v-\varphi \Vert _{L^{2}(\Omega )}+\Vert \nabla _{D}v-\nabla \varphi \Vert _{L^{2}(\Omega )^{d}}\right),}$

7

ซึ่งใช้วัดค่าความคลาดเคลื่อนของการประมาณค่าในช่วง

${\displaystyle \forall \varphi \in H_{\operatorname {div} }(\Omega ),\,W_{D}(\varphi )=\max _{v\in X_{D,0}\setminus \{0\}}{\frac {\left|\int _{\Omega }\left(\nabla _{D}v(x)\cdot \varphi (x)+\Pi _{D}v(x)\operatorname {div} \varphi (x)\right)\,dx\right|}{\Vert \nabla _{D}v\Vert _{L^{2}(\Omega )^{d}}}},}$

8

ซึ่งเป็นการวัดระดับความบกพร่องของความสอดคล้อง

โปรดทราบว่าขอบเขตบนและล่างของข้อผิดพลาดในการประมาณค่าสามารถหาได้ดังต่อไปนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}&&{\frac {1}{2}}[S_{D}({\overline {u}})+W_{D}(\nabla {\overline {u}})]\\&\leq &\Vert {\overline {u}}-\Pi _{D}u_{D}\Vert _{L^{2}(\Omega )}+\Vert \nabla {\overline {u}}-\nabla _{D}u_{D}\Vert _{L^{2}(\Omega )^{d}}\\&\leq &(C_{D}+2)[S_{D}({\overline {u}})+W_{D}(\nabla {\overline {u}})].\end{aligned}}}$

9

ดังนั้น คุณสมบัติหลักที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการลู่เข้าของวิธีการนี้ สำหรับตระกูลของ GD คือ คุณสมบัติการบังคับ (coercivity) คุณสมบัติความสอดคล้องของ GD (GD-consistency) และคุณสมบัติความสอดคล้องของขีดจำกัด (limit-conformity) ดังที่ได้นิยามไว้ในส่วนถัดไป โดยทั่วไปแล้ว คุณสมบัติหลักทั้งสามนี้เพียงพอที่จะพิสูจน์การลู่เข้าของ GDM สำหรับปัญหาเชิงเส้นและสำหรับปัญหาที่ไม่เป็นเชิงเส้นบางอย่าง เช่นปัญหา -Laplace สำหรับปัญหาที่ไม่เป็นเชิงเส้น เช่น การแพร่กระจายที่ไม่เป็นเชิงเส้น ปัญหาพาราโบลิกที่เสื่อมสภาพ... เราจะเพิ่มคุณสมบัติหลักอีกสองข้อที่อาจจำเป็นในส่วนถัดไป ${\displaystyle p}$

ให้เป็นกลุ่มของ GD ที่กำหนดไว้ข้างต้น (โดยทั่วไปจะเกี่ยวข้องกับลำดับของตาข่ายปกติที่มีขนาดเข้าใกล้ 0) ${\displaystyle (D_{m})_{m\in \mathbb {N} }}$

ลำดับ(ที่กำหนดโดย ( 6 )) ยังคงมีขอบเขต ${\displaystyle (C_{D_{m}})_{m\in \mathbb {N} }}$

สำหรับทุก ๆ( กำหนดโดย ( 7 )) ${\displaystyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$${\displaystyle \lim _{m\to \infty }S_{D_{m}}(\varphi )=0}$

สำหรับทุก ๆ( กำหนดโดย ( 8 )) คุณสมบัตินี้บ่งบอกถึงคุณสมบัติการบังคับ ${\displaystyle \varphi \in H_{\operatorname {div} }(\Omega )}$${\displaystyle \lim _{m\to \infty }W_{D_{m}}(\varphi )=0}$

สำหรับลำดับทั้งหมดที่ทำให้สำหรับทุก และ มีขอบเขตจำกัด ลำดับนั้นจะมีความกะทัดรัดสัมพัทธ์ใน(คุณสมบัตินี้บ่งบอกถึงคุณสมบัติการบังคับ) ${\displaystyle (u_{m})_{m\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle u_{m}\in X_{D_{m},0}}$${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$${\displaystyle (\Vert u_{m}\Vert _{D_{m}})_{m\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle (\Pi _{D_{m}}u_{m})_{m\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$

ให้ เป็นการแบ่งส่วนเกรเดียนต์ตามที่กำหนดไว้ข้างต้น ตัวดำเนินการเป็นการสร้างใหม่แบบคงที่แบบเป็นช่วงๆ หากมีฐานของและตระกูลของเซตย่อยที่ไม่ซ้ำกัน ของเช่นนั้น สำหรับทุกโดยที่คือฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของ ${\displaystyle D=(X_{D,0},\Pi _{D},\nabla _{D})}$${\displaystyle \Pi _{D}}$${\displaystyle (e_{i})_{i\in B}}$${\displaystyle X_{D,0}}$${\displaystyle (\Omega _{i})_{i\in B}}$${\displaystyle \Omega }$${\textstyle \Pi _{D}u=\sum _{i\in B}u_{i}\chi _{\Omega _{i}}}$${\textstyle u=\sum _{i\in B}u_{i}e_{i}\in X_{D,0}}$${\displaystyle \chi _{\Omega _{i}}}$${\displaystyle \Omega _{i}}$

เราจะทบทวนปัญหาบางประการที่สามารถพิสูจน์ได้ว่า GDM ลู่เข้าเมื่อคุณสมบัติหลักข้างต้นเป็นไปตามเงื่อนไข

${\displaystyle -\operatorname {div} (\Lambda ({\overline {u}})\nabla {\overline {u}})=f}$

ในกรณีนี้ GDM จะลู่เข้าภายใต้คุณสมบัติการบังคับ การสอดคล้องกับ GD การสอดคล้องกับขีดจำกัด และความกะทัดรัด

${\displaystyle -\operatorname {div} \left(|\nabla {\overline {u}}|^{p-2}\nabla {\overline {u}}\right)=f}$

ในกรณีนี้ คุณสมบัติหลักจะต้องถูกเขียน โดย แทนที่ด้วย, ด้วย และด้วยและ GDM จะลู่เข้าได้เฉพาะภายใต้คุณสมบัติการบังคับ การสอดคล้องกับ GD และความสอดคล้องของขีดจำกัด เท่านั้น${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$${\displaystyle W_{0}^{1,p}(\Omega )}$${\displaystyle H_{\operatorname {div} }(\Omega )}$${\displaystyle W_{\operatorname {div} }^{p'}(\Omega )}$${\textstyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p'}}=1}$

${\displaystyle \partial _{t}{\overline {u}}-\operatorname {div} (\Lambda ({\overline {u}})\nabla {\overline {u}})=f}$

ในกรณีนี้ GDM จะลู่เข้าภายใต้คุณสมบัติการบังคับ การสอดคล้องกับ GD (ปรับให้เข้ากับปัญหาปริภูมิเวลา) การสอดคล้องกับขีดจำกัด และความกะทัดรัด (สำหรับกรณีไม่เชิงเส้น)

สมมติว่าและเป็นฟังก์ชันลิปชิตซ์ต่อเนื่องที่ไม่ลดลง: ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle \partial _{t}\beta ({\overline {u}})-\Delta \zeta ({\overline {u}})=f}$

โปรดทราบว่า สำหรับปัญหานี้ จำเป็นต้องใช้คุณสมบัติการสร้างใหม่แบบคงที่แบบเป็นช่วงๆ นอกเหนือจากคุณสมบัติความบังคับ การสอดคล้องกับ GD (ปรับให้เข้ากับปัญหาปริภูมิเวลา) ความสอดคล้องของขีดจำกัด และความกะทัดรัด

วิธีการทั้งหมดด้านล่างนี้เป็นไปตามคุณสมบัติหลักสี่ประการแรกของ GDM (ความสามารถในการบังคับ, ความสอดคล้องกับ GD, ความสอดคล้องกับขีดจำกัด, และความกะทัดรัด) และในบางกรณีเป็นไปตามคุณสมบัติข้อที่ห้า (การสร้างใหม่แบบคงที่ทีละส่วน)

ให้ถูกสร้างขึ้นโดยฐานจำกัดวิธีการของ Galerkinใน นั้นเหมือนกับ GDM ที่กำหนด ${\displaystyle V_{h}\subset H_{0}^{1}(\Omega )}$${\displaystyle (\psi _{i})_{i\in I}}$${\displaystyle V_{h}}$

• ${\displaystyle X_{D,0}=\{u=(u_{i})_{i\in I}\}=\mathbb {R} ^{I},}$
• ${\displaystyle \Pi _{D}u=\sum _{i\in I}u_{i}\psi _{i}}$
• ${\displaystyle \nabla _{D}u=\sum _{i\in I}u_{i}\nabla \psi _{i}.}$

ในกรณีนี้ค่าคงที่ที่เกี่ยวข้องกับความไม่เท่าเทียมกันของ Poincaré แบบต่อเนื่อง และสำหรับทุก( กำหนดโดย ( 8 )) จากนั้น ( 4 ) และ ( 5 ) จะถูกอนุมานโดย เลม มา ของ Céa${\displaystyle C_{D}}$${\displaystyle \varphi \in H_{\operatorname {div} }(\Omega )}$${\displaystyle W_{D}(\varphi )=0}$

กรณีองค์ประกอบไฟไนต์แบบ "รวมมวล" เข้าสู่กรอบงานของ GDM โดยแทนที่ด้วยโดย ที่คือเซลล์คู่ที่อยู่ตรงกลางจุดยอดที่มีดัชนีโดย การใช้การรวมมวลช่วยให้ได้คุณสมบัติการสร้างใหม่แบบคงที่แบบเป็นช่วงๆ ${\displaystyle P^{1}}$${\displaystyle \Pi _{D}u}$${\textstyle {\widetilde {\Pi }}_{D}u=\sum _{i\in I}u_{i}\chi _{\Omega _{i}}}$${\displaystyle \Omega _{i}}$${\displaystyle i\in I}$

บนตาข่ายซึ่งเป็นเซตที่สอดคล้องกันของซิมเพล็กซ์ของ องค์ประกอบไฟไนต์ ที่ไม่สอดคล้องกันจะถูกกำหนดโดยฐาน ของฟังก์ชันซึ่งเป็นแอฟฟินในใดๆ และค่าที่จุดศูนย์กลางมวลของหน้าตาข่ายที่กำหนดหนึ่งหน้าคือ 1 และ 0 ที่หน้าอื่นๆ ทั้งหมด (องค์ประกอบไฟไนต์เหล่านี้ใช้ใน [Crouzeix et al ] ^{[ 6 ]}สำหรับการประมาณสมการ Stokes และNavier-Stokes ) จากนั้นวิธีการจะเข้าสู่กรอบงาน GDM ด้วยคำจำกัดความเดียวกันกับในกรณีของวิธีการ Galerkin ยกเว้นข้อเท็จจริงที่ว่า ต้องเข้าใจว่าเป็น "เกรเดียนต์ที่แตกหัก" ของในแง่ที่ว่ามันเป็นฟังก์ชันคงที่แบบเป็นชิ้นๆ ที่เท่ากันในแต่ละซิมเพล็กซ์กับเกรเดียนต์ของฟังก์ชันแอฟฟินในซิมเพล็กซ์ ${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle P^{1}}$${\displaystyle (\psi _{i})_{i\in I}}$${\displaystyle K\in T}$${\displaystyle \nabla \psi _{i}}$${\displaystyle \psi _{i}}$

วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์แบบผสมประกอบด้วยการกำหนดพื้นที่แยกสองพื้นที่ พื้นที่หนึ่งสำหรับการประมาณค่าของและอีกพื้นที่หนึ่งสำหรับ[ ^{7 ] การ} ใช้ความสัมพันธ์แบบแยกระหว่างการประมาณค่าเหล่านี้ก็เพียงพอแล้วในการกำหนด GDM การใช้ฟังก์ชันพื้นฐาน Raviart–Thomas ระดับต่ำ ช่วยให้ได้คุณสมบัติการสร้างใหม่แบบคงที่แบบเป็นช่วงๆ ${\displaystyle \nabla {\overline {u}}}$${\displaystyle {\overline {u}}}$

วิธีการ Discontinuous Galerkin ประกอบด้วยการประมาณปัญหาด้วยฟังก์ชันพหุนามแบบแบ่งส่วน โดยไม่มีข้อกำหนดเกี่ยวกับการกระโดดจากองค์ประกอบหนึ่งไปยังอีกองค์ประกอบหนึ่ง^{[ 8 ]}มันถูกเสียบเข้าไปในกรอบงาน GDM โดยการรวมเทอมการกระโดดในเกรเดียนต์แบบไม่ต่อเนื่อง ซึ่งทำหน้าที่เป็นการทำให้เกรเดียนต์เป็นระเบียบในแง่ของการกระจาย

วิธีการตระกูลนี้ได้รับการแนะนำโดย [Brezzi et al ] ^{[ 9 ]}และเสร็จสมบูรณ์ใน [Lipnikov et al ] ^{[ 10 ]}ซึ่งช่วยให้สามารถประมาณปัญหาวงรีโดยใช้ตาข่ายทรงหลายเหลี่ยมจำนวนมาก การพิสูจน์ว่ามันเข้าสู่กรอบงาน GDM ทำได้ใน [Droniou et al ] ^{[ 2 ]}

• วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์

• วิธีการแยกส่วนแบบไล่ระดับโดย Jérôme Droniou, Robert Eymard, Thierry Gallouët, Cindy Guichard และRaphaèle Herbin