สมการเชิงอนุพันธ์สามารถเป็นเอกพันธุ์ได้ในสองแง่มุม

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งเรียกว่าเป็นสมการเอกพันธุ์ ถ้าสามารถเขียนได้ โดย ที่fและgเป็นฟังก์ชันเอกพันธุ์ที่มีดีกรีเดียวกันของxและy ^{[ 1 ]}ในกรณีนี้การเปลี่ยนตัวแปรy = uxนำไปสู่สมการในรูปแบบ ซึ่งง่ายต่อการแก้โดยการอินทิเกรตสมาชิกทั้งสอง $${\displaystyle f(x,y)\,dy=g(x,y)\,dx,}$$$${\displaystyle {\frac {dx}{x}}=h(u)\,du,}$$

ในทางกลับกัน สมการเชิงอนุพันธ์จะเป็นสมการเอกพันธุ์ก็ต่อเมื่อเป็นฟังก์ชันเอกพันธุ์ของฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าและอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้น ในกรณีของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นหมายความว่าไม่มีพจน์คงที่ คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิง เส้นใดๆ ที่มีอันดับใดๆ ก็ตาม สามารถหาได้โดยการอินทิเกรตจากคำตอบของสมการเอกพันธุ์ที่ได้จากการกำจัดพจน์คงที่ออกไป

คำว่าhomogeneousถูกนำมาใช้กับสมการเชิงอนุพันธ์เป็นครั้งแรกโดยJohann Bernoulliในส่วนที่ 9 ของบทความDe integraionibus aequationum differentialium (เกี่ยวกับการบูรณาการสมการเชิงอนุพันธ์) ใน ปี ค.ศ. 1726 ^{[ 2 ]}

สม การเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับหนึ่งในรูปแบบ:

$${\displaystyle M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0}$$

จะเป็นประเภทเอกพันธุ์หากฟังก์ชันM ( x , y )และN ( x , y ) ทั้งสอง เป็นฟังก์ชันเอกพันธุ์ที่ มีดีกรี nเดียวกัน^{[ 3 ]}นั่นคือ เมื่อคูณตัวแปรแต่ละตัวด้วยพารามิเตอร์λเราจะพบว่า

$${\displaystyle M(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}M(x,y)\quad {\text{และ}}\quad N(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}N(x,y)\,.}$$

ดังนั้น, $${\displaystyle {\frac {M(\lambda x,\lambda y)}{N(\lambda x,\lambda y)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}\,.}$$

ในผลหารเราสามารถกำหนดให้t = ⁠${\textstyle {\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}}$1/xเพื่อ ลด รูปผลหารนี้ให้เป็นฟังก์ชัน fของตัวแปรเดียวy/x:​

$${\displaystyle {\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}={\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(1,y/x)}{N(1,y/x)}}=f(y/x)\,.}$$ นั่นคือ $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-f(y/x).}$$

แนะนำการเปลี่ยนตัวแปรy = ux ; หาอนุพันธ์โดยใช้กฎผลคูณ :

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d(ux)}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dx}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u.}$$

วิธีนี้จะเปลี่ยนสมการเชิงอนุพันธ์เดิมให้เป็นรูปแบบ ที่แยกตัวแปรได้ หรือ ซึ่งสามารถหาปริพันธ์ได้โดยตรง: ln xเท่ากับอนุพันธ์ผกผันของด้านขวามือ (ดูสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ) $${\displaystyle x{\frac {du}{dx}}=-f(u)-u,}$$$${\displaystyle {\frac {1}{x}}{\frac {dx}{du}}={\frac {-1}{f(u)+u}},}$$

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งในรูปแบบ ( a , b , c , e , f , gเป็นค่าคงที่ทั้งหมด) โดยที่af ≠ be สามารถแปลงเป็นสมการเอกพันธุ์ได้โดยการแปลงเชิงเส้นของตัวแปรทั้งสอง ( αและβเป็นค่าคงที่): โดยที่ สำหรับกรณีที่af = beให้ทำการเปลี่ยนตัวแปรเป็นu = ax + byหรือu = ex + fy ; การหาอนุพันธ์จะได้: หรือ สำหรับการแทนที่แต่ละแบบ ทั้งสองสมการสามารถแก้ได้โดยการ แยกตัวแปร$${\displaystyle \left(ax+by+c\right)dx+\left(ex+fy+g\right)dy=0}$$$${\displaystyle t=x+\alpha ;\;\;z=y+\beta \,,}$$$${\displaystyle \alpha ={\frac {cf-bg}{af-be}};\;\;\beta ={\frac {ag-ce}{af-be}}\,.}$$$${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=a-b{\bigg (}{\frac {ac+au}{ag+eu}}{\bigg )},}$$$${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=e-f{\bigg (}{\frac {ec+au}{eg+eu}}{\bigg )},}$$

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเรียกว่า สมการเอกพันธุ์ (homogeneous ) ถ้าเป็นสมการเชิงเส้นเอกพันธุ์ในฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าและอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้น กล่าวคือ ถ้าφ ( x )เป็นคำตอบcφ ( x ) ก็เป็นคำตอบเช่นกัน สำหรับค่าคงที่ cใดๆ (ที่ไม่เป็นศูนย์) เพื่อให้เงื่อนไขนี้เป็นจริง แต่ละพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์ของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นจะต้องขึ้นอยู่กับฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าหรืออนุพันธ์ใดๆ ของฟังก์ชันนั้น สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่ไม่เป็นไปตามเงื่อนไขนี้เรียกว่าสมการไม่เอกพันธุ์ (inhomogeneous)

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นสามารถแสดงได้ในรูปตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กระทำกับy ( x )โดยที่xมักจะเป็นตัวแปรอิสระและyเป็นตัวแปรตาม ดังนั้น รูปแบบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเอกพันธุ์คือ

$${\displaystyle L(y)=0}$$

โดยที่Lคือตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ซึ่งเป็นผลรวมของอนุพันธ์ (โดยกำหนดให้ "อนุพันธ์ลำดับที่ 0" คือฟังก์ชันดั้งเดิมที่ยังไม่ได้หาอนุพันธ์) แต่ละอนุพันธ์จะถูกคูณด้วยฟังก์ชันf _iของx :

$${\displaystyle L=\sum _{i=0}^{n}f_{i}(x){\frac {d^{i}}{dx^{i}}}\,,}$$ โดยที่f _iอาจเป็นค่าคงที่ แต่f _i ไม่ จำเป็นต้องเป็นศูนย์ ทั้งหมด

ตัวอย่างเช่น สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นต่อไปนี้เป็นสมการเอกพันธุ์:

$${\displaystyle \sin(x){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+4{\frac {dy}{dx}}+y=0\,,}$$

ในขณะที่สองรายการต่อไปนี้ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน:

$${\displaystyle 2x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+4x{\frac {dy}{dx}}+y=\cos(x)\,;}$$

$${\displaystyle 2x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-3x{\frac {dy}{dx}}+y=2\,.}$$ การมีพจน์คงที่ถือเป็นเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับสมการที่ไม่เป็นเอกพันธุ์ ดังเช่นในตัวอย่างข้างต้น

• การแยกตัวแปร

• สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธุ์ที่ MathWorld
• วิกิบุ๊คส์: สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ/การแทนที่ 1