ศักย์ แม่เหล็กไฟฟ้าสี่มิติเป็นฟังก์ชันเวกเตอร์สัมพัทธภาพ ซึ่งสามารถหาได้ จาก สนามแม่เหล็กไฟฟ้า โดยจะรวมทั้ง ศักย์สเกลาร์ไฟฟ้าและศักย์เวกเตอร์แม่เหล็ก เข้าเป็นเวก เตอร์สี่มิติเดียว^{[ 1 ]}

เมื่อวัดในกรอบอ้างอิง ที่กำหนด และสำหรับเกจ ที่กำหนด องค์ประกอบแรกของศักย์ไฟฟ้าสี่มิติทางแม่เหล็กไฟฟ้าโดยทั่วไปจะถือว่าเป็นศักย์สเกลาร์ไฟฟ้า และองค์ประกอบอีกสามองค์ประกอบที่เหลือประกอบกันเป็นศักย์เวกเตอร์แม่เหล็ก แม้ว่าทั้งศักย์สเกลาร์และเวกเตอร์จะขึ้นอยู่กับกรอบอ้างอิง แต่ศักย์ไฟฟ้าสี่มิติทางแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นแบบลอเรนซ์โคแวเรียนต์

เช่นเดียวกับศักยภาพอื่นๆ ศักยภาพแม่เหล็กไฟฟ้าสี่มิติที่แตกต่างกันจำนวนมากสอดคล้องกับสนามแม่เหล็กไฟฟ้าเดียวกัน ขึ้นอยู่กับการเลือกเกจ

บทความนี้ใช้สัญกรณ์ดัชนีเทนเซอร์และข้อกำหนดเครื่องหมายเมตริกมินคอฟสกี(+ − − −)โปรดดู รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับสัญกรณ์ ได้ที่ ความแปรปรวนร่วมและความแปรปรวนผกผันของเวกเตอร์และการยกและลดดัชนี สูตรต่างๆแสดงในหน่วย SIและหน่วย Gaussian- cgs

ศักยภาพแม่เหล็กไฟฟ้าสี่มิติแบบคอนทราแวเรียน ต์ สามารถกำหนดได้ดังนี้: ^{[ 2 ]}

หน่วย SI	หน่วยเกาส์เซียน
${\displaystyle A^{\alpha }=\left({\frac {1}{c}}\phi ,\mathbf {A} \right)\,\!}$	${\displaystyle A^{\alpha }=(\phi ,\mathbf {A} )}$

โดยที่ϕคือศักย์ไฟฟ้าและAคือศักย์แม่เหล็ก ( ศักย์เวกเตอร์ ) หน่วยของA ^αคือV · s · m ⁻¹ในระบบ SI และMx · cm ⁻¹ในระบบ Gaussian- CGS

สนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กที่เกี่ยวข้องกับศักยภาพทั้งสี่นี้คือ: ^{[ 3 ]}

หน่วย SI	หน่วยเกาส์เซียน
${\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \phi -{\frac {\บางส่วน \mathbf {A} }{\บางส่วน t}}}$	${\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\บางส่วน \mathbf {A} }{\บางส่วน t}}}$
${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} }$	${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} }$

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กจะแปลงรูปภายใต้การแปลงลอเรนซ์ซึ่งสามารถเขียนได้ในรูปของเทนเซอร์ อันดับสอง – เทนเซอร์แม่เหล็กไฟฟ้าส่วนประกอบคอนทราแวเรียนต์ 16 ส่วนของเทนเซอร์แม่เหล็กไฟฟ้า โดยใช้แบบแผนเมตริกของมินคอฟสกี(+ − − −)จะเขียนในรูปของศักย์สี่มิติแม่เหล็กไฟฟ้าและเกรเดียนต์สี่มิติดังนี้:

${\displaystyle F^{\mu \nu }=\บางส่วน ^{\mu }A^{\nu }-\บางส่วน ^{\nu }A^{\mu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B _{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bเมทริกซ์}}}$

หากลายเซ็นดังกล่าวเป็น(− + + +) แทน แล้ว:

${\displaystyle F'\,^{\mu \nu }=\บางส่วน '\,^{\mu }A^{\nu }-\บางส่วน '\,^{\nu }A^{\mu }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&B_{z}&-B_{ y}\\-E_{y}/c&-B_{z}&0&B_{x}\\-E_{z}/c&B_{y}&-B_{x}&0\end{bเมทริกซ์}}}$

โดยพื้นฐานแล้ว นี่เป็นการนิยามศักยภาพสี่มิติในแง่ของปริมาณที่สามารถสังเกตได้ทางกายภาพ รวมทั้งลดทอนลงเหลือคำนิยามข้างต้นด้วย

บ่อยครั้งเงื่อนไขเกจ Lorenz ในกรอบอ้างอิงเฉื่อยจะถูกนำมาใช้เพื่อลดรูปสมการของ Maxwellดังนี้: ^{[ 2 ]}${\displaystyle \partial _{\alpha }A^{\alpha }=0}$

หน่วย SI	หน่วยเกาส์เซียน
${\displaystyle \Box A^{\alpha }=\mu _{0}J^{\alpha }}$	${\displaystyle \Box A^{\alpha }={\frac {4\pi }{c}}J^{\alpha }}$

โดยที่J ^αคือส่วนประกอบของกระแสสี่ตัวและ

${\displaystyle \Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}=\partial ^{\alpha }\partial _{\alpha }}$

คือ ตัวดำเนินการ ดาล็องแบร์ ​​ในแง่ของศักย์สเกลาร์และเวกเตอร์ สมการสุดท้ายนี้จะกลายเป็น:

หน่วย SI	หน่วยเกาส์เซียน
${\displaystyle \Box \phi =-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}}$	${\displaystyle \Box \phi =4\pi \rho }$
${\displaystyle \Box \mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {j} }$	${\displaystyle \Box \mathbf {A} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} }$

สำหรับการกระจายประจุและกระแสที่กำหนดρ ( r , t )และj ( r , t )คำตอบของสมการเหล่านี้ในหน่วย SI คือ: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {\rho \left(\mathbf {r} ^{\prime },t_{r}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}}\\\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {\mathbf {j} \left(\mathbf {r} ^{\prime },t_{r}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}},\end{aligned}}}$

ที่ไหน

${\displaystyle t_{r}=t-{\frac {\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}{c}}}$

คือเวลาที่ล่าช้าบางครั้งก็แสดงออกมาในรูปแบบนี้ด้วย

${\displaystyle \rho \left(\mathbf {r} ',t_{r}\right)=\left[\rho \left(\mathbf {r} ',t\right)\right],}$

โดยวงเล็บเหลี่ยมหมายถึงการประเมินเวลาที่เวลาหน่วง แน่นอนว่า เนื่องจากสมการข้างต้นเป็นเพียงคำตอบของสมการเชิง อนุพันธ์ ไม่เอกพันธุ์ จึงสามารถนำคำตอบของสมการเอกพันธุ์ใดๆ มาบวกกับสมการเหล่านี้เพื่อให้สอดคล้องกับเงื่อนไขขอบเขตได้ โดยทั่วไปแล้ว คำตอบเอกพันธุ์เหล่านี้แสดงถึงคลื่นที่แพร่กระจายจากแหล่งกำเนิดภายนอกขอบเขต

เมื่อทำการประเมินค่าอินทิกรัลข้างต้นสำหรับกรณีทั่วไป เช่น กระแส (หรือประจุ) ที่สั่น จะพบว่ามีทั้งส่วนประกอบของสนามแม่เหล็กที่แปรผันตามr ⁻² ( สนามเหนี่ยวนำ ) และส่วนประกอบที่ลดลงตามr ⁻¹ ( สนามแผ่รังสี )

เมื่อแปลงให้อยู่ในรูปแบบหนึ่งมิติ (ในสัญกรณ์เทนเซอร์) ศักยภาพสี่มิติ(โดยปกติเขียนเป็นเวกเตอร์ หรือในสัญกรณ์เทนเซอร์) สามารถแยกส่วนได้โดยใช้ทฤษฎีบทการแยกส่วนของฮอดจ์เป็นผลรวมของรูปแบบที่แน่นอนรูปแบบร่วมที่แน่นอน และรูปแบบฮาร์มอนิก ${\displaystyle A_{\mu }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\mu }}$

${\displaystyle A=d\alpha +\delta \beta +\gamma }$.

ในAมีความเป็นอิสระของเกจ กล่าวคือในบรรดารูปแบบทั้งสามในการแยกส่วนนี้ มีเพียงรูปแบบโคเอ็กแซกต์เท่านั้นที่มีผลต่อเทนเซอร์แม่เหล็กไฟฟ้า

${\displaystyle F=dA}$.

รูปแบบที่แน่นอนเป็นรูปแบบปิด เช่นเดียวกับรูปแบบฮาร์มอนิกเหนือโดเมนที่เหมาะสม ดังนั้นและ จึงเป็นแบบนั้นเสมอ ดังนั้นไม่ว่าและจะเป็นอย่างไร เราก็จะได้เพียงแค่ ${\displaystyle dd\alpha =0}$${\displaystyle d\gamma =0}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle F=d\delta \beta }$.

ในปริภูมิ Minkowski ที่ราบเรียบอนันต์ รูปแบบปิดทุกรูปแบบล้วนแม่นยำ ดังนั้นเทอมจึงหายไป การแปลงเกจทุกรูปแบบของจึงสามารถเขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle A}$

${\displaystyle A\Rightarrow A+d\alpha }$.

• ปรากฏการณ์อาฮาโรนอฟ-โบห์ม
• การกำหนดสูตรโคแวเรียนต์ของแม่เหล็กไฟฟ้าแบบคลาสสิก
• เวกเตอร์สี่ตัว
• สนามกลูออน
• สมการของเจฟิเมนโก