การวิเคราะห์ไอโซจีโอเมตริกเป็นวิธีการคำนวณที่เปิดโอกาสให้สามารถบูรณาการการวิเคราะห์องค์ประกอบจำกัด (FEA) เข้ากับ เครื่องมือออกแบบ CAD แบบดั้งเดิม ที่ใช้NURBSปัจจุบัน จำเป็นต้องแปลงข้อมูลระหว่างแพ็คเกจ CAD และ FEA เพื่อวิเคราะห์การออกแบบใหม่ในระหว่างการพัฒนา ซึ่งเป็นงานที่ยากเนื่องจากวิธีการคำนวณทางเรขาคณิตทั้งสองแตกต่างกัน การวิเคราะห์ไอโซจีโอเมตริกใช้เรขาคณิต NURBS ที่ซับซ้อน (ซึ่งเป็นพื้นฐานของแพ็คเกจ CAD ส่วนใหญ่) ในแอปพลิเคชัน FEA โดยตรง ทำให้สามารถออกแบบ ทดสอบ และปรับแต่งโมเดลได้ในคราวเดียว โดยใช้ชุดข้อมูลทั่วไป^{[ 1 ]}

ผู้บุกเบิกเทคนิคนี้คือTom Hughesและกลุ่มของเขาที่มหาวิทยาลัยเท็กซัสที่ออสติน GeoPDEs เป็น ซอฟต์แวร์ อ้างอิงฟรี ที่ใช้สำหรับการวิเคราะห์ไอโซจีโอเมตริกบางวิธี ^{[ 2 ] [ 3 ]} ในทำนองเดียวกัน สามารถพบการใช้งานอื่นๆ ได้ทางออนไลน์ ตัวอย่างเช่น PetIGA ^{[ 4 ]}เป็นเฟรมเวิร์กแบบเปิดสำหรับการวิเคราะห์ไอโซจีโอเมตริกประสิทธิภาพสูงที่ใช้PETSc เป็นหลัก นอกจากนี้ MIGFEM ยังเป็นโค้ด IGA อีกตัวหนึ่งที่เขียนด้วยMatlabและรองรับ IGA เสริม Partition of Unity สำหรับการแตกหักแบบ 2 มิติและ 3 มิติ ยิ่งไปกว่านั้น G+Smo ^{[ 5 ]}เป็นไลบรารี C++ แบบเปิดสำหรับการวิเคราะห์ไอโซจีโอเมตริก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง FEAP ^{[ 6 ]}เป็นโปรแกรมวิเคราะห์องค์ประกอบจำกัดซึ่งรวมถึงไลบรารีการวิเคราะห์ไอโซจีโอเมตริก FEAP IsoGeometric (เวอร์ชัน FEAP84 และเวอร์ชัน FEAP85)

การวิเคราะห์ไอโซจีโอเมตริกนำเสนอข้อดีหลักสองประการเมื่อเทียบกับวิธีไฟไนต์เอเลเมนต์: ^{[ 1 ] [ 7 ]}

• ไม่มีข้อผิดพลาดในการประมาณ ทางเรขาคณิต เนื่องจากโดเมนถูกแสดงอย่างแม่นยำ^{[ 1 ]}
• ปัญหาการแพร่กระจาย ของคลื่นเช่น ที่เกิดขึ้นในสรีรวิทยาไฟฟ้าของหัวใจเสียงและ พลศาสตร์ ของความยืดหยุ่น ได้รับการอธิบายได้ดีขึ้นด้วยการลดข้อผิดพลาดในการกระจายและการสูญเสียเชิงตัวเลข^{[ 7 ]}

ในกรอบของ IGA แนวคิดของทั้งตาข่าย ควบคุม และตาข่ายทางกายภาพได้รับการกำหนดไว้^{[ 1 ]}

ตาข่ายควบคุมสร้างขึ้นจากจุดควบคุมที่เรียกว่าจุดควบคุม และได้มาจากการสอดแทรกเชิงเส้น แบบเป็นช่วงๆ ของจุดควบคุม จุดควบคุมยังทำหน้าที่เป็นองศาอิสระ (DOF) อีกด้วย ^{[ 1 ]}

ตาข่ายทางกายภาพวางอยู่บนรูปทรงเรขาคณิตโดยตรง และประกอบด้วยแพ็ตและช่วงปม ตามจำนวนแพ็ตที่ใช้ในตาข่ายทางกายภาพเฉพาะนั้น จะมีการใช้แนวทางแบบแพ็ตเดียวหรือหลายแพ็ตอย่างมีประสิทธิภาพ แพ็ตจะถูกแมปจากสี่เหลี่ยมผืนผ้า อ้างอิง ในสองมิติและจากทรงสี่เหลี่ยมลูกบาศก์ อ้างอิง ในสามมิติ: สามารถมองได้ว่าเป็นโดเมนการคำนวณทั้งหมดหรือส่วนเล็ก ๆ ของโดเมนนั้น แต่ละแพ็ตสามารถแยกย่อยออกเป็นช่วงปม ซึ่งเป็นจุดเส้นและพื้นผิวใน1 มิติ 2 มิติ และ 3 มิติ ตามลำดับ ปมจะถูกแทรกอยู่ภายในช่วงปมและกำหนดองค์ประกอบฟังก์ชันพื้นฐานจะข้ามปม โดยมีระดับของพหุนามและความซ้ำซ้อนของปมเฉพาะ และระหว่างปมหนึ่งกับปมถัดไปหรือปมก่อนหน้า^{[ 1 ]}${\displaystyle C^{pm}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle m}$${\displaystyle C^{\infty }}$

เวกเตอร์ปม ซึ่งโดยปกติจะแสดงด้วยคือเซตของจุดที่ไม่ลดลงคือปมคือจำนวนฟังก์ชันหมายถึงลำดับของฟังก์ชันพื้นฐาน ปมจะแบ่งช่วงปมออกเป็นองค์ประกอบ เวกเตอร์ปมจะเป็นแบบสม่ำเสมอหรือไม่สม่ำเสมอขึ้นอยู่กับว่าปมของมัน เมื่อไม่คำนึงถึงความซ้ำซ้อนแล้ว จะมีระยะห่างเท่ากันหรือไม่ ถ้าปมแรกและปมสุดท้ายปรากฏครั้ง เวกเตอร์ปมนั้นจะเรียกว่าเวกเตอร์เปิด^{[ 1 ] [ 7 ]}${\displaystyle \Xi =\{\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n+p+1}\}}$${\displaystyle \xi _{i}\in \mathbb {R} }$${\displaystyle i^{th}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p+1}$

เมื่อมีการกำหนดนิยามของเวกเตอร์ปมแล้ว สามารถนำฟังก์ชันพื้นฐานหลายประเภทมาใช้ในบริบทนี้ได้ เช่นB-splines , NURBSและT- splines ^{[ 1 ]}

B-splines สามารถหาได้แบบเวียนซ้ำจากฟังก์ชันคงที่แบบแบ่งส่วนด้วย: ^{[ 1 ]}${\displaystyle p=0}$

${\displaystyle N_{i,0}(\xi )={\mathcal {I}}_{[\xi _{i},\xi _{i+1})}(s)\quad 1\leq i\leq n}$

การใช้อัลกอริทึมของ De Boorสามารถสร้าง B-splines ที่มีลำดับตามอำเภอใจได้: ^{[ 1 ]}${\displaystyle p}$

${\displaystyle N_{i,p}(\xi )={\frac {\xi -\xi _{i}}{\xi _{i+p}-\xi _{i}}}N_{i,p-1}(\xi )+{\frac {\xi _{i+p+1}-\xi }{\xi _{i+p+1}-\xi _{i+1}}}N_{i+1,p-1}(\xi )\quad 1\leq i\leq n}$

ใช้ได้กับทั้งเวกเตอร์ปมแบบสม่ำเสมอและไม่สม่ำเสมอ เพื่อให้สูตรข้างต้นทำงานได้อย่างถูกต้อง ให้กำหนดให้การหารด้วยศูนย์ สองตัว เท่ากับศูนย์ นั่นคือ ${\displaystyle {\dfrac {0}{0}}:=0}$

B-splines ที่สร้างขึ้นด้วยวิธีนี้มีทั้ง คุณสมบัติ การแบ่งส่วนของเอกภาพและความเป็นบวก กล่าวคือ: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}N_{i,p}(\xi )=1\quad \forall \xi }$

${\displaystyle N_{i,p}(\xi )\geq 0\quad \forall \xi }$

เพื่อคำนวณอนุพันธ์หรือลำดับของB-splines ที่มีดีกรีสามารถใช้สูตรเวียนเกิดอื่นได้ดังนี้: ^{[ 1 ]}${\displaystyle k}$${\displaystyle i^{th}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\frac {d^{k}}{d^{k}\xi }}N_{i,p}(\xi )={\frac {p!}{(pk)!}}\sum _{j=0}^{k}\alpha _{k,j}N_{i+j,pk}(\xi )}$

ที่ไหน:

${\displaystyle \alpha _{0,0}=1}$

${\displaystyle \alpha _{k,0}={\frac {\alpha _{k-1,0}}{\xi _{i+p-k+1}-\xi _{i}}},}$

${\displaystyle \alpha _{k,j}={\frac {\alpha _{k-1,j}-\alpha _{k-1,j-1}}{\xi _{i+p+j-k+1}-\xi _{i+j}}}\quad j=1,...,k-1,}$

${\displaystyle \alpha _{k,k}={\frac {-\alpha _{k-1,j-1}}{\xi _{i+p+1}-\xi _{i+k}}}.}$

เมื่อใดก็ตามที่ตัวส่วนของสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์ สัมประสิทธิ์ทั้งหมดก็จะถูกบังคับให้เป็นศูนย์ด้วยเช่นกัน ${\displaystyle \alpha _{j,j}}$

เส้นโค้ง B-spline สามารถเขียนได้ในลักษณะต่อไปนี้: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\textbf {C}}(\xi )=\sum _{i=1}^{n}N_{i,p}(\xi ){\textbf {B}__{i}}$

โดยที่คือจำนวนฟังก์ชันพื้นฐานและคือจุดควบคุม ซึ่งมีมิติเท่ากับปริภูมิที่เส้นโค้งนั้นฝังตัวอยู่ ${\displaystyle n}$${\displaystyle N_{i,p}}$${\displaystyle {\textbf {B}__{i}\in \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle i^{th}}$${\displaystyle d}$

การขยายกรณีสองมิติสามารถทำได้ง่ายจากเส้นโค้ง B-spline ^{[ 7 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่งพื้นผิว B-spline ได้รับการแนะนำดังนี้: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\textbf {S}}(\xi ,\eta )=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}N_{i,p}(\xi )M_{j,q}(\eta ){\textbf {B}__{i,j}}$

โดยที่และคือจำนวนของฟังก์ชันพื้นฐานที่กำหนดบนเวกเตอร์ปมสองตัวที่แตกต่างกันและในที่นี้ แทนเมทริกซ์ของจุดควบคุม (หรือเรียกว่าเครือข่ายควบคุม) ${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle N_{i,p}}$${\displaystyle M_{j,q}}$${\displaystyle \Xi =\{\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n+p+1}\}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}=\{\eta _{1},\eta _{2},...,\eta _{m+q+1}\}}$${\displaystyle {\textbf {B}__{i,j}}$

สุดท้ายนี้ ของแข็ง B-splines ซึ่งต้องการชุดฟังก์ชันพื้นฐาน B-splines สามชุดและเทนเซอร์ของจุดควบคุม สามารถกำหนดได้ดังนี้: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\textbf {S}}(\xi ,\eta ,\zeta )=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}\sum _{k=1}^{l}N_{i,p}(\xi )M_{j,q}(\eta )L_{k,r}(\zeta ){\textbf {B}__{i,j,k}}$

ใน IGA ฟังก์ชันพื้นฐานยังถูกนำมาใช้เพื่อพัฒนาโดเมนการคำนวณและไม่เพียงแต่ใช้เพื่อแสดงผลลัพธ์เชิงตัวเลขเท่านั้น ด้วยเหตุนี้ ฟังก์ชันพื้นฐานจึงควรมีคุณสมบัติทั้งหมดที่อนุญาตให้แสดงรูปทรงเรขาคณิตได้อย่างแม่นยำ ตัวอย่างเช่น B-splines เนื่องจากโครงสร้างภายในของมัน ไม่สามารถสร้างรูปทรงวงกลมได้อย่างถูกต้อง^{[ 1 ]}เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหานี้ จึงมีการนำ non-uniform rational B-splines หรือ NURBS มาใช้ในลักษณะต่อไปนี้: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle R_{i}^{p}(s)={\frac {N_{i,p}(s)\omega _{i}}{W(s)}}}$

โดยที่เป็น B-spline หนึ่งมิติเรียกว่าฟังก์ชันถ่วงน้ำหนักและสุดท้ายคือน้ำหนัก ${\displaystyle N_{i,p}}$${\displaystyle W(s)=\sum _{i=1}^{n}N_{i,p}(s)\omega _{i}}$${\displaystyle \omega _{i}}$${\displaystyle i^{th}}$

ตามแนวคิดที่พัฒนาขึ้นในหัวข้อย่อยเกี่ยวกับ B-splines เส้นโค้ง NURBS จะถูกสร้างขึ้นดังนี้: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\textbf {C}}(s)=\sum _{i=1}^{n}R_{i}^{p}(s){\textbf {B}}_{i}}$

โดยมีเวกเตอร์ของจุดควบคุม ${\displaystyle {\textbf {B}}_{i}}$${\displaystyle i^{th}}$

การขยายฟังก์ชันพื้นฐาน NURBS ไปยังแมนิโฟลด์ที่มีมิติสูงกว่า (เช่น 2 และ 3) จะแสดงดังนี้: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle R_{i,j}^{p,q}(s,t)={\frac {N_{i,p}(s)M_{j,q}(t)\omega _{i,j}}{\sum _{a=1}^{n}\sum _{b=1}^{m}N_{a,p}(s)M_{b,q}(t)\omega _{a,b}}}}$

${\displaystyle R_{i,j,k}^{p,q,r}(s,t,w)={\frac {N_{i,p}(s)M_{j,q}(t)L_{k,r}(w)\omega _{i,j,k}}{\sum _{a=1}^{n}\sum _{b=1}^{m}\sum _{c=1}^{l}N_{a,p}(s)M_{b,q}(t)L_{c,r}(w)\omega _{a,b,c}}}}$

ใน IGA มีเทคนิคสามอย่างที่อนุญาตให้ขยายพื้นที่ของฟังก์ชันพื้นฐานโดยไม่ต้องแตะต้องเรขาคณิตและการกำหนดพารามิเตอร์^{[ 1 ]}

วิธีแรกเรียกว่าการแทรกปม (หรือการปรับปรุง h ในกรอบงาน FEA) ซึ่งได้มาจากการเพิ่มปมเพิ่มเติม ซึ่งหมายถึงการเพิ่มจำนวนฟังก์ชันพื้นฐานและจุดควบคุม^{[ 1 ]}${\displaystyle {\overline {\Xi }}=\{{\overline {\xi _{1}}}=\xi _{1},{\overline {\xi _{2}}},...,{\overline {\xi _{n+m+p+1}}}=\xi _{n+p+1}\}}$${\displaystyle \Xi =\{\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n+p+1}\}}$

วิธีที่สองเรียกว่าการยกระดับระดับ (หรือการปรับปรุง p ในบริบทของ FEA) ซึ่งช่วยให้สามารถเพิ่มลำดับพหุนามของฟังก์ชันพื้นฐานได้^{[ 1 ]}

สุดท้าย วิธีที่สามที่เรียกว่า k-refinement (ไม่มีคู่เทียบใน FEA) มาจากเทคนิคสองวิธีข้างต้น กล่าวคือ รวมการยกระดับลำดับเข้ากับการแทรกปมที่ไม่ซ้ำกันใน^{[ 1 ]}${\displaystyle \Xi }$

• GeoPDEs: เครื่องมือซอฟต์แวร์ฟรีสำหรับการวิเคราะห์ไอโซจีโอเมตริกบนพื้นฐานของOctave
• MIG(X)FEM: โค้ด Matlab ฟรีสำหรับ IGA (FEM และ FEM แบบขยาย)
• PetIGA: กรอบการทำงานสำหรับการวิเคราะห์ไอโซจีโอเมตริกประสิทธิภาพสูงเก็บถาวรเมื่อ 14 กรกฎาคม 2014 ที่Wayback MachineโดยอิงจากPETSc
• G+Smo (Geometry plus Simulation modules): ไลบรารี C++ สำหรับการวิเคราะห์แบบไอโซจีโอเมตริก โดยมีเป้าหมายเพื่อการบูรณาการอย่างราบรื่นระหว่างการออกแบบโดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วย (CAD) และการวิเคราะห์องค์ประกอบจำกัด (FEA) ซึ่งได้รับการดูแลโดยชุมชนผู้ร่วมพัฒนาแบบโอเพนซอร์ส
• FEAP: โปรแกรมวิเคราะห์องค์ประกอบจำกัดอเนกประสงค์ที่ออกแบบมาเพื่อการวิจัยและการศึกษา พัฒนาขึ้นที่มหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย เบิร์กลีย์
• Bembel: ไลบรารีโอเพนซอร์สสำหรับองค์ประกอบขอบเขตไอโซจีโอเมตริก สำหรับปัญหา Laplace, Helmholtz และ Maxwell ที่เขียนด้วยภาษา C++
• TJR Hughes, JA Cottrell, Y. Bazilevs: "การวิเคราะห์ไอโซจีโอเมตริก: CAD, องค์ประกอบไฟไนต์, NURBS, เรขาคณิตที่แม่นยำและการปรับปรุงตาข่าย", วิธีการทางคอมพิวเตอร์ในกลศาสตร์ประยุกต์และวิศวกรรม, Elsevier, 2005, 194 (39-41), หน้า 4135-4195