ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลข วิธี ไฟไนต์เอเลเมนต์แบบช่วง ( Interval FEM ) เป็นวิธีไฟไนต์เอเลเมนต์ที่ใช้พารามิเตอร์แบบช่วง Interval FEM สามารถนำไปใช้ในสถานการณ์ที่ไม่สามารถหาลักษณะความน่าจะเป็นที่เชื่อถือได้ของโครงสร้างได้ ซึ่งมีความสำคัญในโครงสร้างคอนกรีต โครงสร้างไม้ ธรณีกลศาสตร์ โครงสร้างคอมโพสิต ชีวกลศาสตร์ และอีกหลายสาขา^{[ 1 ]}เป้าหมายของ Interval Finite Element คือการหาขอบเขตบนและล่างของลักษณะต่างๆ ของแบบจำลอง (เช่นความเค้นการกระจัดพื้นผิวครากฯลฯ) และใช้ผลลัพธ์เหล่านี้ในกระบวนการออกแบบ นี่คือสิ่งที่เรียกว่าการออกแบบกรณีเลวร้ายที่สุด ซึ่งมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับ การ ออกแบบ สถานะจำกัด

การออกแบบกรณีที่เลวร้ายที่สุดต้องการข้อมูลน้อยกว่าการออกแบบเชิงความน่าจะเป็นอย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์ที่ได้จะอนุรักษ์นิยมมากกว่า [Köylüoglu and Elishakoff 1998]

พิจารณา สมการต่อไปนี้: โดยที่aและbเป็นจำนวนจริงและ$${\displaystyle ax=b}$$${\displaystyle x={\frac {b}{a}}}$

บ่อยครั้งที่ค่าที่แน่นอนของพารามิเตอร์aและbนั้นไม่เป็นที่ทราบแน่ชัด

สมมติว่าและในกรณีนี้ จำเป็นต้องแก้สมการต่อไปนี้ ${\displaystyle a\in [1,2]=\mathbf {a} }$${\displaystyle b\in [1,4]=\mathbf {b} }$$${\displaystyle [1,2]x=[1,4]}$$

มีนิยามหลายแบบสำหรับเซตคำตอบของสมการนี้ที่มีพารามิเตอร์ช่วง

ในแนวทางนี้ คำตอบคือชุดข้อมูลต่อไปนี้ $${\displaystyle \mathbf {x} =\left\{x:ax=b,a\in \mathbf {a} ,b\in \mathbf {b} \right\}={\frac {\mathbf {b} }{\mathbf {a} }}={\frac {[1,4]}{[1,2]}}=[0.5,4]}$$

นี่คือชุดคำตอบที่นิยมใช้มากที่สุดของสมการช่วง และชุดคำตอบนี้จะถูกนำมาใช้ในบทความนี้

ในกรณีหลายมิติ ชุดคำตอบรวมจะซับซ้อนกว่ามาก ชุดคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นช่วงต่อ ไปนี้ แสดงอยู่ในภาพต่อไปนี้ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}{[-4,-3]}&{[-2,2]}\\{[-2,2]}&{[-4,-3]}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{[-8,8]}\\{[-8,8]}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle \sum {_{\exists \exists }}(\mathbf {A} ,\mathbf {b} )=\{x:Ax=b,A\in \mathbf {A} ,b\in \mathbf {b} \}}$$

ชุดคำตอบที่แน่นอนมีความซับซ้อนมาก ดังนั้นจึงจำเป็นต้องหาช่วงที่เล็กที่สุดซึ่งมีชุดคำตอบที่แน่นอนอยู่ หรือ พูดง่ายๆ ก็คือ ที่ [1]$${\displaystyle \diamondsuit \left(\sum {_{\exists \exists }}(\mathbf {A} ,\mathbf {b} )\right)=\diamondsuit \{x:Ax=b,A\in \mathbf {A} ,b\in \mathbf {b} \}}$$$${\displaystyle \diamondsuit \left(\sum {_{\exists \exists }}(\mathbf {A} ,\mathbf {b} )\right)=[{\underline {x}}_{1},{\overline {x}}_{1}]\times [{\underline {x}}_{2},{\overline {x}}_{2}]\times \dots \times [{\underline {x}}_{n},{\overline {x}}_{n}]}$$$${\displaystyle {\underline {x}}_{i}=\min\{x_{i}:Ax=b,A\in \mathbf {A} ,b\in \mathbf {b} \},\ \ {\overline {x}}_{i}=\max\{x_{i}:Ax=b,A\in \mathbf {A} ,b\in \mathbf {b} \}}$$$${\displaystyle x_{i}\in \{x_{i}:Ax=b,A\in \mathbf {A} ,b\in \mathbf {b} \}=[{\underline {x}}_{i},{\overline {x}}_{i}]}$$

วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์แบบช่วง (Interval Finite Element Method) จำเป็นต้องแก้ระบบสมการที่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ (โดยปกติจะเป็นเมทริกซ์สมมาตรบวกกำหนด) ตัวอย่างของเซตคำตอบของระบบสมการที่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ทั่วไปมีดังนี้

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}\\p_{2}+1&p_{1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {p_{1}+6p_{2}}{5.0}}\\2p_{1}-6\end{bmatrix}},\ \ {\text{for}}\ \ p_{1}\in [2,4],p_{2}\in [-2,1].}$$ แสดงในรูปภาพด้านล่าง^{[ 2 ]}

ในแนวทางนี้ x คือช่วงจำนวนที่สมการ เป็นจริง กล่าวคือ ด้านซ้ายของสมการเท่ากับด้านขวาของสมการ ในกรณีนี้ คำตอบคือเนื่องจาก $${\displaystyle [1,2]x=[1,4]}$$${\displaystyle x=[1,2]}$$${\displaystyle ax=[1,2][1,2]=[1,4]}$$

ถ้าความไม่แน่นอนมีขนาดใหญ่ขึ้น เช่นแล้วเนื่องจาก ${\displaystyle a=[1,4]}$${\displaystyle x=[1,1]}$$${\displaystyle ax=[1,4][1,1]=[1,4]}$$

หากความไม่แน่นอนมีขนาดใหญ่กว่านั้น เช่น แสดงว่าไม่มีคำตอบ การหาความหมายทางกายภาพของเซตคำตอบช่วงพีชคณิตนั้นซับซ้อนมาก ดังนั้น ในการใช้งานจึงมักใช้เซตคำตอบรวม ${\displaystyle a=[1,8]}$

พิจารณาสมการอนุพันธ์ย่อยที่มีพารามิเตอร์ช่วง

$${\displaystyle G(x,u,p)=0}$$

1

โดยที่เป็นเวกเตอร์ของพารามิเตอร์ซึ่งอยู่ในช่วงที่กำหนด ${\displaystyle p=(p_{1},\dots ,p_{m})\in {\mathbf {p} }}$$${\displaystyle p_{i}\in [{\underline {p}}_{i},{\overline {p}}_{i}]={\mathbf {p} }_{i},}$$$${\displaystyle {\mathbf {p} }={\mathbf {p} }_{1}\times {\mathbf {p} }_{2}\times \cdots \times {\mathbf {p} }_{m}.}$$

ตัวอย่างเช่น สมการการถ่ายเทความร้อน โดยที่เป็นพารามิเตอร์ช่วง (เช่น) $${\displaystyle k_{x}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+k_{y}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+q=0{\text{ for }}x\in \Omega }$$$${\displaystyle u(x)=u^{*}(x){\text{ for }}x\in \partial \Omega }$$${\displaystyle k_{x},k_{y}}$${\displaystyle k_{x}\in {\mathbf {k} }_{x},\ k_{y}\in {\mathbf {k} }_{y}}$

วิธีแก้ปัญหาของสมการ ( 1 ) สามารถกำหนดได้ด้วยวิธีต่อไปนี้ $${\displaystyle {\tilde {u}}(x):=\{u(x):G(x,u,p)=0,p\in {\mathbf {p} }\}}$$

ตัวอย่างเช่น ในกรณีของสมการการถ่ายเทความร้อน $${\displaystyle {\tilde {u}}(x)=\left\{u(x):k_{x}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+k_{y}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+q=0{\text{ for }}x\in \Omega ,u(x)=u^{*}(x){\text{ for }}x\in \partial \Omega ,k_{x}\in {\mathbf {k} }_{x},\ k_{y}\in {\mathbf {k} }_{y}\right\}}$$

วิธีแก้ปัญหานี้ ซับซ้อนมาก ดังนั้นในทางปฏิบัติ การค้นหาช่วงเวลาที่เล็กที่สุดที่ครอบคลุมชุดคำตอบที่ถูกต้องจึงน่าสนใจกว่า${\displaystyle {\tilde {u}}}$${\displaystyle {\tilde {u}}}$

$${\displaystyle {\mathbf {u} }(x)=\lozenge {\tilde {u}}(x)=\lozenge \{u(x):G(x,u,p)=0,p\in {\mathbf {p} }\}}$$

ตัวอย่างเช่น ในกรณีของสมการการถ่ายเทความร้อน $${\displaystyle {\mathbf {u} }(x)=\lozenge \left\{u(x):k_{x}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+k_{y}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+q=0{\text{ for }}x\in \Omega ,u(x)=u^{*}(x){\text{ for }}x\in \partial \Omega ,k_{x}\in {\mathbf {k} }_{x},\ k_{y}\in {\mathbf {k} }_{y}\right\}}$$

วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์นำไปสู่ระบบสมการพีชคณิตที่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ดังต่อไปนี้ โดยที่Kคือเมทริกซ์ความแข็งเกร็งและQคือด้านขวาของสมการ $${\displaystyle K(p)u=Q(p),\ \ \ p\in {\mathbf {p} }}$$

คำตอบช่วงสามารถกำหนดได้ว่าเป็นฟังก์ชันหลายค่า $${\displaystyle {\mathbf {u} }=\lozenge \{u:K(p)u=Q(p),p\in {\mathbf {p} }\}}$$

ในกรณีที่ง่ายที่สุด ระบบข้างต้นสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นระบบ สมการ เชิง เส้นช่วง

นอกจากนี้ ยังสามารถกำหนดคำตอบของช่วงเป็นคำตอบของปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดต่อไปนี้ได้อีกด้วย $${\displaystyle {\underline {u}}_{i}=\min\{u_{i}:K(p)u=Q(p),p\in {\mathbf {p} }\}}$$$${\displaystyle {\overline {u}}_{i}=\max\{u_{i}:K(p)u=Q(p),p\in {\mathbf {p} }\}}$$

ในกรณีหลายมิติ สามารถเขียนคำตอบช่วงได้ดังนี้ $${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{1}\times \cdots \times \mathbf {u} _{n}=[{\underline {u}}_{1},{\overline {u}}_{1}]\times \cdots \times [{\underline {u}}_{n},{\overline {u}}_{n}]}$$

สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่าพารามิเตอร์ช่วงให้ผลลัพธ์ที่แตกต่างจากตัวแปรสุ่มที่มีการกระจายแบบสม่ำเสมอ

พารามิเตอร์ช่วงจะพิจารณาการกระจายความน่าจะเป็นที่เป็นไปได้ทั้งหมด (สำหรับ) ${\displaystyle \mathbf {p} =[{\underline {p}},{\overline {p}}]}$${\displaystyle p\in [{\underline {p}},{\overline {p}}]}$

ในการกำหนดค่าพารามิเตอร์ช่วง จำเป็นต้องทราบเพียงขอบเขตบนและขอบเขตล่างเท่านั้น ${\displaystyle {\overline {p}}}$${\displaystyle {\underline {p}}}$

การคำนวณลักษณะเชิงความน่าจะเป็นจำเป็นต้องอาศัยความรู้จากผลการทดลองจำนวนมาก

สามารถแสดงได้ว่า ผลรวมของตัวเลขช่วง n ตัวนั้นกว้างกว่าผลรวมของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปกติที่เหมาะสมหลายเท่า ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

ผลรวมของจำนวนช่วงn จำนวน เท่ากับ ${\displaystyle \mathbf {p} =[{\underline {p}},{\overline {p}}]}$$${\displaystyle n\mathbf {p} =[n{\underline {p}},n{\overline {p}}]}$$

ความกว้างของช่วงนั้นเท่ากับ $${\displaystyle n{\overline {p}}-n{\underline {p}}=n({\overline {p}}-{\underline {p}})=n\Delta p}$$

พิจารณาตัวแปรสุ่มX ที่มีการแจกแจงแบบปกติ โดยที่ $${\displaystyle m_{X}=E[X]={\frac {{\overline {p}}+{\underline {p}}}{2}},\sigma _{X}={\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}={\frac {\Delta p}{6}}}$$

ผลรวมของ ตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปกติจำนวน n ตัวคือ ตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปกติซึ่งมีลักษณะดังต่อไปนี้ (ดูSix Sigma ) $${\displaystyle E[nX]=n{\frac {{\overline {p}}+{\underline {p}}}{2}},\sigma _{nX}={\sqrt {n\operatorname {Var} [X]}}={\sqrt {n}}\sigma ={\sqrt {n}}{\frac {\Delta p}{6}}}$$

เราสามารถสันนิษฐานได้ว่าความกว้างของผลลัพธ์เชิงความน่าจะเป็นนั้นเท่ากับ 6 ซิกมา (เปรียบเทียบกับซิกซ์ซิกมา ) $${\displaystyle 6\sigma _{nX}=6{\sqrt {n}}{\frac {\Delta p}{6}}={\sqrt {n}}\Delta p}$$

ตอนนี้เราสามารถเปรียบเทียบความกว้างของช่วงผลลัพธ์และผลลัพธ์เชิงความน่าจะเป็นได้แล้ว $${\displaystyle {\frac {{\text{width of }}n{\text{ intervals}}}{{\text{width of }}n{\text{ random variables}}}}={\frac {n\Delta p}{{\sqrt {n}}\Delta p}}={\sqrt {n}}}$$

ด้วยเหตุนี้ ผลลัพธ์ของการวิเคราะห์องค์ประกอบจำกัดแบบช่วง (หรือโดยทั่วไปคือการวิเคราะห์กรณีที่เลวร้ายที่สุด) อาจถูกประเมินค่าสูงเกินไปเมื่อเปรียบเทียบกับการวิเคราะห์องค์ประกอบจำกัดเชิงสุ่ม (ดูเพิ่มเติมที่การแพร่กระจายของความไม่แน่นอน ) อย่างไรก็ตาม ในกรณีของความไม่แน่นอนที่ไม่ใช่เชิงความน่าจะเป็นนั้น ไม่สามารถใช้วิธีการเชิงความน่าจะเป็นบริสุทธิ์ได้ เนื่องจากลักษณะเชิงความน่าจะเป็นในกรณีนั้นไม่เป็นที่ทราบแน่ชัด ( Elishakoff 2000)

เป็นไปได้ที่จะพิจารณาตัวแปรสุ่ม (และตัวแปรสุ่มแบบคลุมเครือ) ด้วยพารามิเตอร์ช่วง (เช่น ด้วยค่าเฉลี่ยช่วง ความแปรปรวน ฯลฯ) นักวิจัยบางคนใช้การวัดแบบช่วง (คลุมเครือ) ในการคำนวณทางสถิติ (เช่น[2] เก็บถาวรเมื่อ 2010-06-16 ที่Wayback Machine ) ผลลัพธ์ของการคำนวณดังกล่าวจะทำให้เราได้ความน่าจะเป็นที่ไม่แม่นยำ

ความน่าจะเป็นที่ไม่แม่นยำนั้นเข้าใจได้ในความหมายที่กว้างมาก มันถูกใช้เป็นคำทั่วไปเพื่อครอบคลุมแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดที่วัดโอกาสหรือความไม่แน่นอนโดยไม่มีความน่าจะเป็นเชิงตัวเลขที่แน่นอน ซึ่งรวมถึงทั้งแบบจำลองเชิงคุณภาพ (ความน่าจะเป็นเชิงเปรียบเทียบ ลำดับความชอบบางส่วน ฯลฯ) และแบบจำลองเชิงปริมาณ (ความน่าจะเป็นช่วง ฟังก์ชันความเชื่อ การคาดการณ์บนและล่าง ฯลฯ) แบบจำลองความน่าจะเป็นที่ไม่แม่นยำมีความจำเป็นในปัญหาการอนุมานที่ข้อมูลที่เกี่ยวข้องมีน้อย คลุมเครือ หรือขัดแย้งกัน และในปัญหาการตัดสินใจที่ความชอบอาจไม่สมบูรณ์เช่นกัน[3 ]

ใน ปัญหา แรงดึง - แรงอัดสมการต่อไปนี้แสดงความสัมพันธ์ระหว่างการกระจัดuและแรงP : โดยที่LคือความยาวAคือพื้นที่หน้าตัด และEคือ โมดูลั ส ของยัง$${\displaystyle {\frac {EA}{L}}u=P}$$

หากค่าสัมประสิทธิ์ยังส์และแรงไม่แน่นอนแล้ว $${\displaystyle E\in [{\underline {E}},{\overline {E}}],P\in [{\underline {P}},{\overline {P}}]}$$

ในการหาขอบเขตบนและขอบเขตล่างของการกระจัดuให้คำนวณอนุพันธ์ย่อย ต่อไปนี้ : $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial E}}={\frac {-PL}{E^{2}A}}<0}$$$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial P}}={\frac {L}{EA}}>0}$$

คำนวณค่าสุดขีดของการกระจัดดังต่อไปนี้: $${\displaystyle {\underline {u}}=u({\overline {E}},{\underline {P}})={\frac {{\underline {P}}L}{{\overline {E}}A}}}$$$${\displaystyle {\overline {u}}=u({\underline {E}},{\overline {P}})={\frac {{\overline {P}}L}{{\underline {E}}A}}}$$

คำนวณค่าความเครียดโดยใช้สูตรต่อไปนี้: $${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{L}}u}$$

คำนวณอนุพันธ์ของความเครียดโดยใช้อนุพันธ์จากค่าการกระจัด: $${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon }{\partial E}}={\frac {1}{L}}{\frac {\partial u}{\partial E}}={\frac {-P}{E^{2}A}}<0}$$$${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon }{\partial P}}={\frac {1}{L}}{\frac {\partial u}{\partial P}}={\frac {1}{EA}}>0}$$

คำนวณค่าสุดขีดของการกระจัดดังต่อไปนี้: $${\displaystyle {\underline {\varepsilon }}=\varepsilon ({\overline {E}},{\underline {P}})={\frac {\underline {P}}{{\overline {E}}A}}}$$$${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}=\varepsilon ({\underline {E}},{\overline {P}})={\frac {\overline {P}}{{\underline {E}}A}}}$$

นอกจากนี้ ยังสามารถคำนวณค่าความเครียดสูงสุดโดยใช้การกระจัดได้อีก ด้วย $${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon }{\partial u}}={\frac {1}{L}}>0}$$$${\displaystyle {\underline {\varepsilon }}=\varepsilon ({\underline {u}})={\frac {\underline {P}}{{\overline {E}}A}}}$$$${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}=\varepsilon ({\overline {u}})={\frac {\overline {P}}{{\underline {E}}A}}}$$

วิธีการเดียวกันนี้สามารถนำไปใช้กับความเครียด ได้ เช่น กัน $${\displaystyle \sigma =E\varepsilon }$$$${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial E}}=\varepsilon +E{\frac {\partial \varepsilon }{\partial E}}=\varepsilon +E{\frac {1}{L}}{\frac {\partial u}{\partial E}}={\frac {P}{EA}}-{\frac {P}{EA}}=0}$$$${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial P}}=E{\frac {\partial \varepsilon }{\partial P}}=E{\frac {1}{L}}{\frac {\partial u}{\partial P}}={\frac {1}{A}}>0}$$$${\displaystyle {\underline {\sigma }}=\sigma ({\underline {P}})={\frac {\underline {P}}{A}}}$$$${\displaystyle {\overline {\sigma }}=\sigma ({\overline {P}})={\frac {\overline {P}}{A}}}$$

ถ้าเราพิจารณาความเครียดเป็นฟังก์ชันของความเค้น แล้ว $${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial \varepsilon }}={\frac {\partial }{\partial \varepsilon }}(E\varepsilon )=E>0}$$$${\displaystyle {\underline {\sigma }}=\sigma ({\underline {\varepsilon }})=E{\underline {\varepsilon }}={\frac {\underline {P}}{A}}}$$$${\displaystyle {\overline {\sigma }}=\sigma ({\overline {\varepsilon }})=E{\overline {\varepsilon }}={\frac {\overline {P}}{A}}}$$

โครงสร้างจะปลอดภัยหากความเค้นมีค่าน้อยกว่าค่าที่กำหนดกล่าวคือ เงื่อนไขนี้เป็นจริงหาก ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma _{0}}$$${\displaystyle \sigma <\sigma _{0}}$$$${\displaystyle {\overline {\sigma }}<\sigma _{0}}$$

จากการคำนวณ เราทราบว่าความสัมพันธ์นี้จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ $${\displaystyle {\frac {\overline {P}}{A}}<\sigma _{0}}$$

ตัวอย่างนี้เรียบง่ายมาก แต่แสดงให้เห็นถึงการประยุกต์ใช้พารามิเตอร์ช่วงในกลศาสตร์ FEM แบบช่วงใช้วิธีการที่คล้ายคลึงกันมากในกรณีหลายมิติ [Pownuk 2004]

อย่างไรก็ตาม ในกรณีหลายมิติ ความสัมพันธ์ระหว่างพารามิเตอร์ที่ไม่แน่นอนและคำตอบไม่ได้เป็นแบบโมโนโทนเสมอไป ในกรณีเหล่านั้น ต้องใช้วิธีการเพิ่มประสิทธิภาพที่ซับซ้อนกว่า^{[ 1 ]}

ในกรณีของปัญหาแรงดึง- แรงอัดสมการสมดุลจะมีรูปแบบดังต่อไปนี้ โดยที่uคือการกระจัดEคือ โมดูลัส ของยังAคือพื้นที่หน้าตัด และnคือแรงกระจาย เพื่อให้ได้คำตอบที่ไม่ซ้ำกัน จำเป็นต้องเพิ่มเงื่อนไขขอบเขตที่เหมาะสม เช่น $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(EA{\frac {du}{dx}}\right)+n=0}$$$${\displaystyle u(0)=0}$$$${\displaystyle \left.{\frac {du}{dx}}\right|_{x=0}EA=P}$$

หากค่าสัมประสิทธิ์ยังโมดูลัสEและnไม่แน่นอน สามารถกำหนดคำตอบในช่วงได้ด้วยวิธีต่อไปนี้

$${\displaystyle {\mathbf {u} }(x)=\left\{u(x):{\frac {d}{dx}}\left(EA{\frac {du}{dx}}\right)+n=0,u(0)=0,{\frac {du(0)}{dx}}EA=P,E\in [{\underline {E}},{\overline {E}}],P\in [{\underline {P}},{\overline {P}}]\right\}}$$

สำหรับแต่ละองค์ประกอบ FEM สามารถคูณสมการด้วยฟังก์ชันทดสอบv ได้ โดยที่$${\displaystyle \int _{0}^{L^{e}}\left({\frac {d}{dx}}\left(EA{\frac {du}{dx}}\right)+n\right)v=0}$$${\displaystyle x\in [0,L^{(e)}].}$

หลังจากทำการอินทิเกรตโดยใช้การแยกส่วนเราจะได้สมการในรูปแบบอ่อน โดยที่$${\displaystyle \int _{0}^{L^{(e)}}EA{\frac {du}{dx}}{\frac {dv}{dx}}dx=\int _{0}^{L^{(e)}}nv\,dx}$$${\displaystyle x\in [0,L^{(e)}].}$

ขอแนะนำชุดจุดกริดโดยที่คือจำนวนองค์ประกอบ และฟังก์ชันรูปร่างเชิงเส้นสำหรับแต่ละองค์ประกอบ FEM โดยที่${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{Ne}}$${\displaystyle Ne}$$${\displaystyle N_{1}^{(e)}(x)=1-{\frac {1-x_{0}^{(e)}}{x_{1}^{(e)}-x_{0}^{(e)}}},\ \ N_{2}^{(e)}(x)={\frac {1-x_{0}^{(e)}}{x_{1}^{(e)}-x_{0}^{(e)}}}.}$$${\displaystyle x\in [x_{0}^{(e)},x_{1}^{(e)}].}$

${\displaystyle x_{1}^{(e)}}$จุดปลายด้านซ้ายขององค์ประกอบจุดปลายด้านซ้ายขององค์ประกอบหมายเลข "e" คำตอบโดยประมาณในองค์ประกอบที่ "e" คือการรวมเชิงเส้นของฟังก์ชันรูปร่าง ${\displaystyle x_{1}^{(e)}}$

$${\displaystyle u_{h}^{(e)}(x)=u_{1}^{e}N_{1}^{(e)}(x)+u_{2}^{e}N_{2}^{(e)}(x),\ \ v_{h}^{(e)}(x)=u_{1}^{e}N_{1}^{(e)}(x)+u_{2}^{e}N_{2}^{(e)}(x)}$$

หลังจากแทนค่าลงในสมการรูปแบบอ่อนแล้ว เราจะได้ระบบสมการดังต่อไปนี้

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}&-{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}\\-{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}&{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}^{(e)}\\u_{2}^{(e)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\int _{0}^{L^{(e)}}nN_{1}^{(e)}(x)dx\\\int _{0}^{L^{(e)}}nN_{2}^{(e)}(x)dx\end{bmatrix}}}$$ หรือในรูปแบบเมทริกซ์ $${\displaystyle K^{(e)}u^{(e)}=Q^{(e)}}$$

เพื่อประกอบเมทริกซ์ความแข็งแกร่งโดยรวม จำเป็นต้องพิจารณาสมการสมดุลในแต่ละจุด หลังจากนั้นสมการจะมีรูปแบบเมทริกซ์ดังต่อไปนี้ โดยที่ คือเมทริกซ์ความแข็งแกร่งโดยรวม คือเวกเตอร์คำตอบ และ คือด้านขวามือ $${\displaystyle Ku=Q}$$$${\displaystyle K={\begin{bmatrix}K_{11}^{(1)}&K_{12}^{(1)}&0&\cdots &0\\K_{21}^{(1)}&K_{22}^{(1)}+K_{11}^{(2)}&K_{12}^{(2)}&\cdots &0\\0&K_{21}^{(2)}&K_{22}^{(2)}+K_{11}^{(3)}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &K_{22}^{(Ne-1)}+K_{11}^{(Ne)}&K_{11}^{(Ne)}\\0&0&\cdots &K_{21}^{(Ne)}&K_{22}^{(Ne)}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle u={\begin{bmatrix}u_{0}\\u_{1}\\\vdots \\u_{Ne}\\\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}Q_{0}\\Q_{1}\\\vdots \\Q_{Ne}\\\end{bmatrix}}}$$

ในกรณีของปัญหาแรงดึง-แรงอัด

$${\displaystyle K={\begin{bmatrix}{\frac {E^{(1)}A^{(1)}}{L^{(1)}}}&-{\frac {E^{(1)}A^{(1)}}{L^{(1)}}}&0&\cdots &0\\-{\frac {E^{(1)}A^{(1)}}{L^{(1)}}}&{\frac {E^{(1)}A^{(1)}}{L^{(1)}}}+{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}&-{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}&\cdots &0\\0&-{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}&{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}+{\frac {E^{(3)}A^{(3)}}{L^{(3)}}}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\frac {E^{(Ne-1)}A^{(Ne-1)}}{L^{(Ne-1)}}}+{\frac {E^{(Ne)}A^{(Ne)}}{L^{(Ne)}}}&-{\frac {E^{(Ne)}A^{(Ne)}}{L^{(Ne)}}}\\0&0&\cdots &-{\frac {E^{(Ne)}A^{(Ne)}}{L^{(Ne)}}}&{\frac {E^{(Ne)}A^{(Ne)}}{L^{(Ne)}}}\end{bmatrix}}}$$

ถ้าเราไม่พิจารณาโหลดแบบกระจายn

$${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}R\\0\\\vdots \\0\\P\\\end{bmatrix}}}$$

หลังจากพิจารณาเงื่อนไขขอบเขตแล้ว เมทริกซ์ความแข็งจะมีรูปแบบดังต่อไปนี้

$${\displaystyle K={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&{\frac {E^{(1)}A^{(1)}}{L^{(1)}}}+{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}&-{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}&\cdots &0\\0&-{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}&{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}+{\frac {E^{(3)}A^{(3)}}{L^{(3)}}}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\frac {E^{(e-1)}A^{(e-1)}}{L^{(e-1)}}}+{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}&-{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}\\0&0&\cdots &-{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}&{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}\end{bmatrix}}=K(E,A)=K{\left(E^{(1)},\dots ,E^{(Ne)},A^{(1)},\dots ,A^{(Ne)}\right)}}$$

ด้านขวามือมีรูปแบบดังต่อไปนี้

$${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\\P\\\end{bmatrix}}=Q(P)}$$

สมมติว่าค่าโมดูลัสของยัง (Young's modulus ) Eพื้นที่หน้าตัดAและแรงPไม่แน่นอนและอยู่ในช่วงใดช่วงหนึ่ง $${\displaystyle E^{(e)}\in [{\underline {E}}^{(e)},{\overline {E}}^{(e)}]}$$$${\displaystyle A^{(e)}\in [{\underline {A}}^{(e)},{\overline {A}}^{(e)}]}$$$${\displaystyle P\in [{\underline {P}},{\overline {P}}]}$$

สามารถกำหนดคำตอบช่วงได้โดยการคำนวณด้วยวิธีต่อไปนี้

$${\displaystyle \mathbf {u} =\lozenge \left\{u:K(E,A)u=Q(P),E^{(e)}\in [{\underline {E}}^{(e)},{\overline {E}}^{(e)}],A^{(e)}\in [{\underline {A}}^{(e)},{\overline {A}}^{(e)}],P\in [{\underline {P}},{\overline {P}}]\right\}}$$

โดยทั่วไปการคำนวณเวกเตอร์ช่วง เป็น ปัญหา NP-hardแต่ในบางกรณีก็สามารถคำนวณหาคำตอบได้ ซึ่งสามารถนำไปใช้ในงานวิศวกรรมหลายด้านได้ ${\displaystyle {\mathbf {u} }}$

ผลลัพธ์ของการคำนวณคือการกระจัดช่วง $${\displaystyle u_{i}\in [{\underline {u}}_{i},{\overline {u}}_{i}]}$$

สมมติว่าการเคลื่อนตัวของเสาจะต้องมีค่าน้อยกว่าค่าที่กำหนดไว้ (เพื่อความปลอดภัย) $${\displaystyle u_{i}<u_{i}^{\max }}$$

ระบบที่ไม่แน่นอนจะปลอดภัยก็ต่อเมื่อวิธีการแก้ปัญหาแบบช่วงเวลาตรงตามเงื่อนไขความปลอดภัยทั้งหมด

ในกรณีเฉพาะนี้ หรือโดยทั่วไปแล้ว $${\displaystyle u_{i}<u_{i}^{\max },\ \ \ u_{i}\in [{\underline {u}}_{i},{\overline {u}}_{i}]}$$$${\displaystyle {\overline {u}}_{i}<u_{i}^{\max }}$$

ในขั้นตอนหลังการประมวลผล สามารถคำนวณค่าความเค้นช่วง ค่าความเครียดช่วง และฟังก์ชันสถานะขีดจำกัด ช่วง และนำค่าเหล่านี้ไปใช้ในกระบวนการออกแบบได้

วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์แบบช่วงสามารถนำไปใช้ในการแก้ปัญหาที่ไม่มีข้อมูลเพียงพอที่จะสร้างลักษณะความน่าจะเป็นที่เชื่อถือได้ของโครงสร้าง ( Elishakoff 2000) วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์แบบช่วง ยัง สามารถนำไปใช้ในทฤษฎีความน่าจะเป็นที่ไม่แม่นยำได้ อีกด้วย

สามารถแก้สมการสำหรับทุกชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ของจุดปลายของช่วงได้รายการ จุดยอดทั้งหมดของช่วงสามารถเขียนได้เป็น ขอบบน และขอบล่างของคำตอบสามารถคำนวณได้ด้วยวิธีต่อไปนี้ ${\displaystyle K(p)u(p)=Q(p)}$${\displaystyle {\hat {p}}}$${\displaystyle {\hat {p}}}$${\displaystyle L=\{p_{1}^{*},...,p_{n}^{*}\}}$

$${\displaystyle {\underline {u}}_{i}=\min\{u_{i}(p_{k}^{*}):K(p_{k}^{*})u(p_{k}^{*})=Q(p_{k}^{*}),p_{k}^{*}\in L\}}$$$${\displaystyle {\overline {u}}_{i}=\max\{u_{i}(p_{k}^{*}):K(p_{k}^{*})u(p_{k}^{*})=Q(p_{k}^{*}),p_{k}^{*}\in L\}}$$

วิธีการรวมจุดสิ้นสุดจะให้คำตอบที่มักจะแม่นยำ น่าเสียดายที่วิธีนี้มีความซับซ้อนในการคำนวณแบบเลขชี้กำลังและไม่สามารถนำไปใช้กับปัญหาที่มีพารามิเตอร์ช่วงจำนวนมากได้^{[ 3 ]}

ฟังก์ชันสามารถขยายได้โดยใช้ชุดอนุกรมเทย์เลอร์ในกรณีที่ง่ายที่สุด ชุดอนุกรมเทย์เลอร์ใช้เพียงการประมาณเชิงเส้นเท่านั้น ${\displaystyle u=u(p)}$

$${\displaystyle u_{i}(p)\approx u_{i}(p_{0})+\sum _{j}{\frac {\partial u(p_{0})}{\partial p_{j}}}\Delta p_{j}}$$

สามารถคำนวณขอบเขตบนและขอบเขตล่างของคำตอบได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้

$${\displaystyle {\underline {u}}_{i}\approx u_{i}(p_{0})-\left|\sum _{j}{\frac {\partial u(p_{0})}{\partial p_{j}}}\right|\Delta p_{j}}$$

$${\displaystyle {\overline {u}}_{i}\approx u_{i}(p_{0})+\left|\sum _{j}{\frac {\partial u(p_{0})}{\partial p_{j}}}\right|\Delta p_{j}}$$

วิธีการนี้มีประสิทธิภาพมาก แต่ไม่แม่นยำมากนัก เพื่อเพิ่มความแม่นยำ สามารถใช้การขยายอนุกรมเทย์เลอร์ลำดับสูงกว่าได้ [Pownuk 2004] แนวทางนี้ยังสามารถนำไปใช้ในวิธีการผลต่างจำกัดช่วงและวิธีการองค์ประกอบขอบเขตช่วงได้ อีก ด้วย

ถ้าเครื่องหมายของอนุพันธ์คงที่ แสดงว่าฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันเอกภาค และสามารถคำนวณหาคำตอบที่ถูกต้องได้อย่างรวดเร็ว ${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial p_{j}}}}$${\displaystyle u_{i}=u_{i}(p)}$

ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial p_{j}}}\geq 0}$${\displaystyle p_{i}^{\min }={\underline {p}}_{i},\ p_{i}^{\max }={\overline {p}}_{i}}$

ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial p_{j}}}<0}$${\displaystyle p_{i}^{\min }={\overline {p}}_{i},\ p_{i}^{\max }={\underline {p}}_{i}}$

สามารถคำนวณค่าสุดขั้วของคำตอบได้ด้วยวิธีต่อไปนี้

$${\displaystyle {\underline {u}}_{i}=u_{i}(p^{\min }),\ {\overline {u}}_{i}=u_{i}(p^{\max })}$$

ใน งาน วิศวกรรมโครงสร้าง หลายๆ ด้าน วิธีนี้ให้คำตอบที่แม่นยำ หากคำตอบไม่เป็นแบบโมโนโทน คำตอบนั้นก็มักจะสมเหตุสมผล เพื่อปรับปรุงความแม่นยำของวิธีนี้ สามารถทำการทดสอบความเป็นโมโนโทนและการวิเคราะห์ความไวลำดับสูงขึ้นได้ วิธีนี้สามารถนำไปใช้กับการแก้ปัญหาเชิงเส้นและไม่เชิงเส้นของกลศาสตร์เชิงคำนวณได้ [Pownuk 2004] การประยุกต์ใช้วิธีการวิเคราะห์ความไวในการแก้ปัญหาทางวิศวกรรมโยธา สามารถพบได้ในเอกสารต่อไปนี้ [MV Rama Rao, A. Pownuk และ I. Skalna 2008] แนวทางนี้ยังสามารถนำไปใช้กับวิธีผลต่างจำกัดช่วงและวิธีองค์ประกอบขอบเขตช่วง ได้อีก ด้วย

Muhanna และ Mullen ใช้การกำหนดสูตรทีละองค์ประกอบเพื่อแก้สมการไฟไนต์เอเลเมนต์ด้วยพารามิเตอร์ช่วง^{[ 4 ]}การใช้วิธีนี้ทำให้สามารถหาคำตอบที่มีความแม่นยำที่รับประกันได้ในกรณีของโครงสร้างโครงถักและโครงสร้างเฟรม

เมทริกซ์ความแข็งของโซลูชันและเวกเตอร์โหลดสามารถขยายได้โดยใช้ทฤษฎีการรบกวนทฤษฎีการรบกวนนำไปสู่ค่าโดยประมาณของโซลูชันช่วง^{[ 5 ]}วิธีนี้มีประสิทธิภาพมากและสามารถนำไปใช้กับปัญหาขนาดใหญ่ของกลศาสตร์เชิงคำนวณได้ ${\displaystyle u=u(p)}$${\displaystyle K=K(p)}$${\displaystyle Q=Q(p)}$

สามารถประมาณคำตอบได้โดยใช้พื้นผิวตอบสนองจากนั้นจึงสามารถใช้พื้นผิวตอบสนองเพื่อหาคำตอบในช่วงได้^{[ 6 ]}การใช้วิธีพื้นผิวตอบสนองทำให้สามารถแก้ปัญหาที่ซับซ้อนมากของกลศาสตร์การคำนวณได้^{[ 7 ]}${\displaystyle u=u(p)}$

ผู้เขียนหลายคนพยายามใช้วิธีการช่วงบริสุทธิ์ในการแก้ปัญหาไฟไนต์เอเลเมนต์ด้วยพารามิเตอร์ช่วง ในบางกรณีอาจได้ผลลัพธ์ที่น่าสนใจมาก เช่น [Popova, Iankov, Bonev 2008] อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้ววิธีนี้จะสร้างผลลัพธ์ที่ประเมินค่าสูงเกินไป^{[ 8 ]}

Popova ^{[ 9 ]}และ Skalna ^{[ 10 ]}ได้นำเสนอวิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นซึ่งสัมประสิทธิ์เป็นผลรวมเชิงเส้นของพารามิเตอร์ช่วง ในกรณีนี้สามารถหาคำตอบที่แม่นยำมากของสมการช่วงได้โดยมีความแม่นยำที่รับประกัน

• วิธีองค์ประกอบขอบเขตช่วง
• ช่วง (คณิตศาสตร์)
• เลขคณิตช่วง
• ความน่าจะเป็นที่ไม่แม่นยำ
• ฟังก์ชันหลายค่า
• การรวมที่แตกต่างกัน
• ข้อผิดพลาดในการสังเกต
• ชุดคอมแพคแบบสุ่ม
• ความน่าเชื่อถือ (สถิติ)
• ช่วงความเชื่อมั่น
• กรณีที่ดีที่สุด กรณีที่แย่ที่สุด และกรณีเฉลี่ย
• การออกแบบเชิงความน่าจะเป็น
• การแพร่กระจายของความไม่แน่นอน
• การวิเคราะห์ความไม่แน่นอนของการทดลอง
• การวิเคราะห์ความไว
• ทฤษฎีการรบกวน
• กลศาสตร์ต่อเนื่อง
• กลศาสตร์ของแข็ง
• มัด
• โครงสร้างแบบสเปซเฟรม
• ความยืดหยุ่นเชิงเส้น
• ความแข็งแรงของวัสดุ

• ภาควิชาวิทยาการคำนวณทางวิศวกรรมที่เชื่อถือได้ สถาบันเทคโนโลยีจอร์เจีย ซาวานนาห์ สหรัฐอเมริกา
• การคำนวณช่วงเวลาถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 20 กันยายน 2008 ที่Wayback Machine
• การคำนวณที่เชื่อถือได้ (วารสาร)
• สมการช่วง (ชุดอ้างอิง)
• แอปพลิเคชันเว็บไฟไนต์เอเลเมนต์แบบช่วงเวลา
• อี. โปโปวา, ชุดคำตอบพาราเมตริกของระบบเชิงเส้นช่วง
• สมาคมความน่าจะเป็นที่ไม่แม่นยำ: ทฤษฎีและการประยุกต์ใช้